Aula 3 Leis de Kirchhoff

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EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   1/8	
  
	
  
Introdução	
  Teórica	
  Aula	
  3:	
  
Leis	
  de	
  Kirchhoff	
  
Gustav	
  Kirchhoff	
  
Gustav	
  Kirchhoff	
  (1824-­‐1887)	
  foi	
  um	
  físico	
  alemão	
  que	
  juntamente	
  com	
  o	
  químico	
   alemão	
   Robert	
   Wilhelm	
   Bunsen,	
   desenvolveu	
   o	
   espectroscópio	
  
moderno	
   para	
   análise	
   química.	
   Em	
   1860,	
   eles	
   descobriram	
   o	
   césio	
   e	
  rubídio	
   por	
   espectroscopia.	
   Ele	
   liderou	
   a	
   pesquisa	
   importante	
   na	
  transferência	
  de	
  calor	
  e	
   fez	
  duas	
  regras,	
  atualmente	
  conhecidas	
  como	
  leis	
  
de	
   Kirchhoff	
   (1845)	
   no	
   que	
   diz	
   respeito	
   à	
   distribuição	
   de	
   corrente	
   em	
  circuitos	
  elétricos.	
  
	
  
1ª	
  Lei	
  de	
  Kirchhoff	
  	
  Conhecida	
  como	
  a	
  Lei	
  das	
  correntes	
  de	
  Kirchhoff	
  ou	
  Kirchhoff	
  Current	
  Law	
  (KCL):	
  
• Em	
  um	
  nó,	
  a	
  soma	
  das	
  correntes	
  elétricas	
  que	
  entram	
  é	
  igual	
  à	
  soma	
  das	
  correntes	
  que	
  saem	
  (não	
  há	
  acumulação	
  de	
  carga).	
  	
  Por	
  exemplo:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Para	
  um	
  nó	
  com	
  N	
  ramos:	
  	
  	
  
2ª	
  Lei	
  de	
  Kirchhoff	
  	
  Conhecida	
  como	
  a	
  Lei	
  das	
  tensões	
  de	
  Kirchhoff	
  ou	
  Kirchhoff	
  Voltage	
  Law	
  (KVL):	
  
• A	
  soma	
  algébrica	
  das	
  diferenças	
  de	
  potencial	
  elétrico	
  em	
  um	
  percurso	
  fechado	
  ou	
  malha	
  é	
  nula.	
  	
  	
  	
  	
  	
  
i1
i2
i3
i4
i5
R1
R2
R3
R4
R5
Nó 1
KCL1
i1 + i2 + i3 = i4 + i5
i1 + i2 + i3 − i4 − i5 = 0
N∑
j=0
ij = 0
EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   2/8	
  
	
  	
  Por	
  exemplo:	
  
	
  	
  Para	
  uma	
  malha	
  com	
  M	
  diferenças	
  de	
  potencial:	
  	
  	
  	
  Exemplo	
  de	
  resolução	
  de	
  circuitos	
  resistivos	
  aplicando	
  as	
  leis	
  de	
  Kirchhoff	
  e	
  de	
  Ohm:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Para	
  calcular	
  todas	
  as	
  intensidades	
  e	
  tensões	
  do	
  circuito	
  apresentado	
  o	
  primeiro	
  passo	
  é	
  calcular	
  a	
  resistência	
  equivalente	
  do	
  circuito	
  e	
  a	
  intensidade	
  if	
  aplicando	
  a	
  lei	
  de	
  Ohm:	
  
	
  	
  	
  O	
  seguinte	
  passo	
  é	
  o	
  calculo	
  de	
  i4	
  aplicando	
  a	
  lei	
  de	
  Kirchhoff	
  das	
  correntes	
  no	
  nó	
  4	
  (KCL4):	
  	
  
+ REqVf
_
if
M∑
j=0
Vj = 0
+
Vf
_
R1
R2
R3
R4
A
B
C
i1
i3
i2
i4
if
1
2
3
4
Vf = 5.5V
R1 = 1kΩ
R2 = 2kΩ
R3 = 3kΩ
R4 = 4kΩ
REq = (R1 + R2)‖R3 +R4 ⇒ REq =
3
2
+ 4 = 5.5kΩ
if =
5.5
5.5
= 1mA
KCL4 ⇒ i4 = if = 1mA
EEL7011	
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  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   3/8	
  
	
  Podemos	
  então	
  calcular	
  a	
  tensão	
  V13	
  aplicando	
  a	
  lei	
  de	
  Kirchhoff	
  na	
  malha	
  B	
  (KVLB):	
  	
  Podemos	
  então	
  calcular	
  a	
  intensidade	
  i3	
  se	
  aplico	
  a	
  lei	
  de	
  Ohm:	
  	
   	
  	
  A	
  partir	
  de	
  KVLB	
  calculo	
  V34	
  	
   	
  	
   	
  	
  Aplico	
  agora	
  KCL	
  no	
  nó	
  3:	
  	
  	
   	
  	
  Para	
  o	
  cálculo	
  de	
  i1	
  aplico	
  KCL	
  no	
  nó	
  2:	
  	
  	
  	
  Por	
  último	
  para	
  calcular	
  as	
  tensões	
  V23	
  e	
  V12	
  aplico	
  KVL	
  na	
  malha	
  1:	
  	
  	
  
Divisor	
  de	
  tensão	
  A	
  regra	
  do	
  divisor	
  de	
  tensão	
  é	
  uma	
  técnica	
  de	
  projeto	
  utilizada	
  para	
  criar	
  uma	
  tensão	
  elétrica	
  que	
  seja	
  proporcional	
  à	
  outra	
  tensão.	
  Exemplo	
  para	
  um	
  circuito	
  com	
  duas	
  resistências:	
  
	
  
	
  Igualo	
  as	
  intensidades	
  e	
  isolo	
  V12:	
  
	
   	
  Aplico	
  a	
  lei	
  de	
  Kirchhoff	
  na	
  malha	
  A:	
  	
  	
  e	
  substituo	
  na	
  equação	
  anterior	
  para	
  obter	
  V23:	
  
V13 = i3R3 ⇒ i3 = 0.5mA
Vf − V13 = V34
5.5V − 1.5V = V34 ⇒ V34 = 4V
Vf − V13 = V34
5.5V − 1.5V = V34 ⇒ V34 = 4V
KCL3 ⇒ i2 + i3 = i4
i2 = 1mA− 0.5mA = 0.5mA
KCL2 ⇒ i1 = i2
i1 = 0.5mA
KV LA ⇒ V12 + V23 = V13 ⇒ i1R1 + V23 = 1.5V ⇒ V23 = 0.5V
V12 = 1V
+
Vf
_
R1
R2
A
21
3
V12
+ _
V23
+
_
V12
R1
=
V13
R2
⇒ V12 =
R1
R2
V23
V13 = V12 + V23
KV LB ⇒ Vf = V13 + V34 = V13 + i4R4 ⇒ V13 = 1.5V
V12 = iR1
V23 = iR2
EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   4/8	
  
	
  Se	
  quiser	
  obter	
  V13	
  igualo	
  as	
  intensidades,	
  mas	
  isolando	
  desta	
  vez	
  V23:	
  
	
  	
  
	
  Se	
  levamos	
  esta	
  regra	
  para	
  um	
  circuito	
  com	
  N	
  resistências:	
  
	
  A	
  tensão	
  entre	
  os	
  nós	
  N	
  e	
  N+1	
  e	
  igual	
  a:	
  
	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Vf = (
R1
R2
+ 1)V23 ⇒ V23 =
R2
R1 +R2
Vf
V12
R1
=
V13
R2
⇒ V23 =
R2
R1
V12
Vf = (
R2
R1
+ 1)V12 ⇒ V12 =
R1
R1 +R2
Vf
+
Vf
_
R1
RN
A
N1
N+1
V12+ _
VN(N+1)
+
_
V(N-1)N+ _
VN(N+1) =
RN
∑N
i=1Ri
Vf
EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   5/8	
  
Roteiro	
  laboratório	
  Aula	
  3:	
  
Leis	
  de	
  Kirchhoff	
  
Objetivos	
  
• Introdução	
  à	
  análise	
  de	
  circuitos	
  resistivos	
  
• Praticar	
  medidas	
  de	
  tensões	
  e	
  correntes	
  em	
  circuitos	
  resistivos	
  
• Verificar	
  experimentalmente	
  as	
  Leis	
  de	
  Kirchhoff	
  
• Projetar	
  um	
  circuito	
  usando	
  a	
  regra	
  do	
  divisor	
  de	
  tensão	
  
Lista	
  de	
  material	
  
• Resistores	
  R1	
  =	
  1,5kΩ,	
  R2	
  =	
  30kΩ,	
  R3	
  =	
  7,5kΩ	
  e	
  R4	
  =	
  9,1kΩ	
  
• Fonte	
  de	
  tensão	
  DC,	
  protoboard,	
  multímetro,	
  cabos	
  e	
  fios	
  diversos	
  
Roteiro	
  do	
  experimento	
  1) Considere	
  o	
  circuito	
  abaixo.	
  Assuma	
  Vf	
  =	
  5V.	
  	
  
	
  	
   a) Identifique	
   no	
   diagrama	
   acima	
   todos	
   os	
   nós	
   do	
   circuito	
   (A,	
   B,	
   C,	
   D)	
   e	
   enuncie	
   a	
   Lei	
   de	
  Kirchhoff	
  das	
  Correntes	
  para	
  cada	
  nó:	
  b) Identifique	
   no	
   diagrama	
   acima	
   todas	
   as	
   malhas	
   do	
   circuito	
   (1,	
   2,	
   3)	
   e	
   enuncie	
   a	
   Lei	
   de	
  Kirchhoff	
  das	
  Tensões	
  para	
  cada	
  malha:	
  c) Enuncie	
  a	
  Lei	
  de	
  Ohm	
  para	
  todos	
  os	
  resistores	
  do	
  circuito:	
  	
  De	
   agora	
   em	
  diante,	
   sempre	
   que	
   for	
   registrar	
   grandezas	
   elétricas,	
   utilize	
   os	
   prefixos	
   apropriados	
  para	
  escrever	
  os	
  valores	
  em	
  termos	
  de	
  centenas,	
  dezenas	
  ou	
  unidades.	
  Por	
  exemplo:	
  0,18	
  V	
  	
  è	
  	
  180	
  mV;	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  7200	
  Ω	
  	
  è	
  	
  7,2	
  kΩ;0,042·10-­‐3	
  A	
  	
  è	
  	
  42	
  µA	
  d) Calcule	
  a	
  resistência	
  equivalente	
  do	
  circuito.	
  e) Usando	
  a	
  Lei	
  de	
  Ohm	
  e	
  as	
  Leis	
  de	
  Kirchhoff,	
  calcule	
  todas	
  as	
  tensões	
  e	
  correntes	
  no	
  circuito,	
  preenchendo	
   os	
   valores	
   teóricos	
   da	
   tabela	
   abaixo.	
   Proceda	
   de	
   maneira	
   sequencial,	
  determinando	
  uma	
  nova	
  grandeza	
  a	
  cada	
  nova	
  equação	
  utilizada.	
  Por	
  exemplo,	
  a	
  Lei	
  de	
  Ohm	
  aplicada	
  a	
  Req	
  nos	
  permite	
  determinar	
  If.	
  Em	
  seguida,	
  a	
  Lei	
  de	
  Kirchhoff	
  das	
  Correntes	
  para	
  o	
  nó	
  A	
  nos	
  permite	
  determinar	
  I1,	
  e	
  assim	
  por	
  diante.	
  	
  
DICA:	
  Sempre	
  que	
  um	
  valor	
  medido	
  não	
  estiver	
  próximo	
  do	
  valor	
  teórico	
  (assumindo	
  que	
  este	
  foi	
  calculado	
  corretamente),	
  significa	
  que	
  houve	
  erro	
  na	
  medição	
  ou	
  na	
  montagem	
  do	
  circuito.	
  Alguns	
  procedimentos	
  que	
  podem	
  ser	
  usados	
  para	
  verificar	
  se	
  a	
  montagem	
  está	
  correta	
  incluem:	
  
EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   6/8	
  
• Verificar	
  a	
  resistência	
  equivalente	
  do	
  circuito	
  (com	
  a	
  fonte	
  desconectada);	
  
• Verificar	
  a	
  continuidade	
  do	
  circuito	
  (com	
  a	
  fonte	
  desligada);	
  
• Verificar	
  se	
  há	
  tensão	
  nos	
  terminais	
  da	
  fonte	
  e	
  nos	
  terminais	
  dos	
  resistores.	
  	
  	
   f) Monte	
  o	
  circuito	
  na	
  protoboard	
  e	
  meça	
  sua	
  resistência	
  equivalente	
  Req	
  (vista	
  pelos	
  terminais	
  da	
  fonte),	
  com	
  a	
  fonte	
  desconectada.	
  Preencha	
  o	
  valor	
  encontrado	
  na	
  tabela	
  1.	
  Caso	
  o	
  valor	
  esteja	
  discrepante	
  do	
  encontrado	
  teoricamente,	
  significa	
  que	
  houve	
  erro	
  na	
  montagem.	
  	
   g) Continue	
   preenchendo	
   a	
   tabela	
   1,	
   medindo	
   primeiramente	
   as	
   tensões,	
   e	
   em	
   seguida	
   as	
  correntes.	
   Lembre	
   que	
   o	
   amperímetro	
   deve	
   ser	
   conectado	
   em	
   série.	
   Utilize	
   sempre	
   a	
  escala	
   que	
   proporciona	
   maior	
   precisão	
   para	
   cada	
   medida.	
   Caso	
   algum	
   valor	
   medido	
   se	
  mostre	
  muito	
  discrepante	
  do	
  valor	
  teórico,	
  refaça	
  sua	
  medição.	
  h) Calcule	
  a	
  potência	
  dissipada	
  em	
  cada	
  resistor	
  e	
  preencha	
  a	
  tabela	
  2.	
  Os	
  valores	
  de	
  resistores	
  comerciais	
  mais	
  comuns	
  (série	
  EIA	
  E24)	
  são	
  listados	
  na	
  tabela	
  a	
  seguir:	
  	
   10	
   11	
   12	
   13	
   15	
   16	
   18	
   20	
  22	
   24	
   27	
   30	
   33	
   36	
   39	
   43	
  47	
   51	
   56	
   62	
   68	
   75	
   82	
   91	
  	
  Para	
  obter	
  os	
  demais	
  valores,	
  multiplique	
  por	
  potências	
  de	
  10.	
  Ex:	
  4,7Ω,	
  470Ω,	
  47kΩ,	
  etc.	
  	
  2) Utilizando	
  uma	
   fonte	
  de	
   tensão	
  Vf	
   =	
   15V	
   e	
   qualquer	
  quantidade	
  de	
   resistores	
   comerciais	
   (ver	
  tabela	
   acima),	
   deseja-­‐se	
  projetar	
  um	
  circuito	
   em	
  que	
   se	
  observe	
  uma	
   tensão	
  de	
  3V	
  entre	
  dois	
  pontos	
   quaisquer.	
   O	
   circuito	
   mais	
   simples	
   que	
   permite	
   satisfazer	
   esses	
   requerimentos	
   está	
  mostrado	
  abaixo,	
  o	
  qual	
  é	
  conhecido	
  como	
  divisor	
  de	
  tensão.	
  Calcule	
  V1	
  e	
  V2	
  em	
  função	
  de	
  Vf	
  e	
  os	
  resistores	
  R1	
  e	
  R2.	
  	
  
	
  	
   a) Determine	
  matematicamente	
  qual	
  deve	
  ser	
  a	
  relação	
  entre	
  R1	
  e	
  R2	
  para	
  que	
  V1	
  =	
  3V.	
  b) Utilizando	
  apenas	
  resistores	
  comerciais	
  (possivelmente	
  em	
  associação),	
  dê	
  um	
  exemplo	
  de	
  como	
  obter	
  resistências	
  R1	
  e	
  R2	
  satisfazendo	
  a	
  relação	
  da	
  Questão	
  2.a).	
  c) 	
  (OPCIONAL.)	
   Agora,	
   resolva	
   o	
   problema	
   usando	
   apenas	
   2	
   dos	
   4	
   resistores	
   fornecidos	
   na	
  lista	
  de	
  material.	
  Em	
  seguida,	
  monte	
  o	
  circuito	
  e	
  meça	
  os	
  valores	
  de	
  V1	
  e	
  V2.	
  	
  	
  	
  	
  
EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   7/8	
  
Aluno(a):	
  ______________________________________________________.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Turma:	
  _________________________	
  Matrícula:	
  _______________________	
  Data:	
  _____/_____/__________	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Nota:	
  ___________________________	
  	
  
Questão 1.a) i) Nó	
  A:	
   	
   𝐼! + −𝐼! = 0	
   	
   	
   ou	
   	
   𝐼! = 𝐼!	
  ii) Nó	
  B:	
   ______________________________________	
   ou	
   ___________________________________	
  iii) Nó	
  C:	
   ______________________________________	
   ou	
   ___________________________________	
  iv) Nó	
  D:	
   ______________________________________	
   ou	
   ___________________________________	
  
	
  
Questão 1.b) i) Malha	
  1:	
   	
   𝑉! + 𝑉! + −𝑉! = 0	
   	
   ou	
   	
   𝑉! = 𝑉! + 𝑉!	
  ii) Malha	
  2:	
   ______________________________________	
   ou	
   ___________________________________	
  iii) Malha	
  3:	
   ______________________________________	
   ou	
   __________________________________	
  
	
  
Questão 1.c) i) R1:	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  𝑉! = 𝑅!𝐼!	
   	
   	
   iii)	
  R3:	
  	
   	
  	
  	
  	
  _____________________________	
  ii) R2:	
  	
  	
  	
  	
  	
  __________________________	
   	
   iv)	
  R4:	
  	
   	
  	
  	
  	
  ___________________________	
  
	
  
Questão 1.d) 	
  𝑅!" = 𝑅! + (𝑅!//(𝑅! + 𝑅!)) =	
  	
  	
  
Tabela 1 	
  
	
   Equação	
   Valor	
  teórico	
   Valor	
  medido	
   Escala	
  
Req	
   𝑅!" = 𝑅! + (𝑅!//(𝑅! + 𝑅!))	
   	
   	
   	
  
Vf	
   —	
   5	
  V	
   	
   	
  
V1	
   	
   	
   	
   	
  
V2	
   	
   	
   	
   	
  
V3	
   	
   	
   	
   	
  
V4	
   	
   	
   	
   	
  
If	
   𝐼! = 𝑉!/𝑅!" 	
   	
   	
   	
  
I1	
   𝐼! = 𝐼! 	
   	
   	
   	
  
I2	
   	
   	
   	
   	
  
I3	
   	
   	
   	
   	
  
I4	
   	
   	
   	
   	
  	
  
EEL7011	
  –	
  Eletricidade	
  Básica	
  –	
  Aula	
  3	
   EEL/CTC/UFSC	
  
	
   8/8	
  
Tabela 2 	
  
PR1	
   PR2	
   PR3	
   PR4	
  	
   	
   	
   	
  
 
Questão 2 	
  	
  	
  
 
Questão 2.a) 
 	
  	
  	
  	
  	
  
 
Questão 2.b) 	
  	
  	
  	
  
 
Questão 2.c) R1	
  =	
  _______________	
   R2	
  =	
  _______________	
   V1	
  =	
  _______________	
  	
   V2	
  =	
  _______________	
  
 
Questão de preparação Determine	
  o	
  valor	
  da	
  corrente	
  I	
  para	
  os	
  circuitos	
  abaixo.	
  Comente.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  V1	
  =	
  	
   	
  V2	
  =