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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS 
CAMPUS MANAUS – CENTRO 
DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPERIOR 
COORDENAÇÃO DE LICENCIATURA EM FÍSICA 
 
2ª Lista de Exercícios de Termodinâmica Estatística 
 
 
Algumas consequências da 1ª lei da Termodinâmica 
 
1) A partir da relação ܿ௣ − ܿ௩ = ቂ݌ + ቀడ௨డ௩ቁ்ቃ ቀడ௩డ்ቁ௣mostre que a diferença entre os calores específicos é: (a) para o gás 
ideal ܿ௣ − ܿ௩ = ܴ, (b) e para o gás de Van der Waals ܿ௣ − ܿ௩ = ோ
ଵି
మೌ(ೡష್)మ
ೃ೅ೡయ
. 
2) Para um gás ideal, mostre que num processo adiabático reversível ܶݒఊ = ܿ݋݊ݏݐ e ܶ݌ംషభം = ܿ݋݊ݏݐ. 
3) Para um gás de Van der Waals, mostre que num processo adiabático reversível ܶ(ݒ − ܾ) ೃ೎ೡ = ܿ݋݊ݏݐ. 
4) A energia interna de um certo gás é dada por: ܷ = ܽܶ − ܾ݌, onde a e b são constantes. Os coeficientes de dilatação 
e de compressibilidade do gás são, respectivamente, ଵ
்
 e ଵ
௣
. Encontre a expressão do calor específico a volume 
constante em função de a, b, p e T. (Resp.: ܿ௩ = ܽ − ௕௣் .) 
5) Um gás ideal, para o qual ܿ௩ = ହோଶ , é levado desde o ponto a até b por vários caminhos: acb, adb e ab, conforme 
mostrado no diagrama p –v (fig.1). Considere que ݌ଶ = 2݌ଵ e ݒଶ = 2ݒଵ: (a) Calcule a quantidade de calor 
fornecido ao sistema (gás), por mol, em cada um dos caminhos adotados. (b) Calcule o calor molar do gás durante a 
transformação ab. Expresse suas respostas em função de R e T1. (Resp.: (a) 
ଵଽோ భ்
ଶ
, ଵ଻ோ భ்
ଶ
, ଵ଼ோ భ்
ଶ
; (b) c = 3R.) 
6) A entalpia molar de muitas substâncias, a temperaturas não muito baixas, pode ser expressa por meio da equação 
empírica ℎ = ܽܶ + ܾܶଶ + ܿܶିଵ + ݀, onde a, b, c e d são constantes. Encontre a expressão para o calor específico a 
pressão constante. 
 
7) Demonstre que o rendimento de um ciclo de Carnot, que usa como substância no sistema um 
gás que obedece a equação de estado de Clausius ݌(ݒ − ܾ) = ܴܶ, é o mesmo que para um 
gás ideal. 
 
Entropia 
 
8) Um quilograma de água é aquecido por meio de uma resistência elétrica de 20oC até 80oC. 
Calcule a variação da entropia (a) da água e (b) do universo. (Resp.: 778,7 J/K.) 
9) Mistura-se um quilograma de água à temperatura de 280K com 2kg de água à temperatura de 310K num recipiente 
termicamente isolado. Encontre o valor da variação da entropia do universo. (Resp.: 14,27J/K.) 
10) Uma massa m de um líquido à temperatura T1 é misturada com uma massa igual do mesmo líquido à temperatura 
T2. O sistema está isolado termicamente. Demonstre que a variação da entropia do universo é: 
∆ܵ = 2݉ܿ௣݈݊ ൤( భ்ା మ்)ଶඥ భ் మ்൨ e prove que é necessariamente positiva. 
 
Combinação da Primeira e Segunda Leis 
 
11) Obtenha as seguintes relações termodinâmicas: 
a. T e p variáveis independentes: ቀడ௨
డ௣
ቁ
்
= ݌ߢݒ − ܶߚݒ; ቀడ௦
డ்
ቁ
௣
= ௖೛
்
; ቀడ௦
డ௣
ቁ
்
= −ߚݒ;ቀడ௦
డ௣
ቁ
௩
= ఑௖ೡ
ఉ்
; ቀడ௦
డ௩
ቁ
௣
= ௖೛
ఉ்௩
 
b. p e v variáveis independentes: ቀడ௦
డ௣
ቁ
௩
= ௖ೡ
்
ቀడ்
డ௩
ቁ
௣
= ௖ೡ
்ఉ௩
; ቀడ௦
డ௩
ቁ
௣
= ௖೛
்
ቀడ்
డ௩
ቁ
௣
= ௖೛
ఉ்௩
. 
 
Potenciais Termodinâmicos 
 
12) Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que S é extensiva. Determine as equações de estado para 
cada caso. Ache a relação fundamental na representação da energia. 
a. S = A(UV N)1/3; 
b. S = a(U2V3N)1/6; 
c. S = B(U3V)1/4; 
d. S = b(UV)1/2. 
13) Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que U é extensiva. Determine as equações de estado para 
cada caso. 
a. U = aS3/VN; 
b. U = AS3/(V3N)1/2; 
Figura 1: Diagrama p - v 
 
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c. U = b(S4/V)1/3; 
d. U = BS2/V. 
14) Encontre as três equações de estado para um sistema com a equação fundamental ܷ = ቀ௩೚ఏ
ோమ
ቁ
ௌయ
ே௏
 e determine  em 
função de T,V e N. Mostre, através de um diagrama (em escala arbitrária), a dependência da pressão com o volume 
para temperatura fixa para o sistema do problema 2.2-1. Desenhe tais “isotermas”, correspondentes a dois valores 
da temperatura, e indique qual isoterma corresponde à temperatura mais elevada. (Resp.: ߤ = − ோ
ଷඥଷ௩೚ఏ
ቀ
௏
ே
ቁ
ଵ/ଶ
ܶଷ/ଶ, 
ܲ = ோ
ଷඥଷ௩೚ఏ
ቀே
௏
ቁ
ଵ/ଶ
ܶଷ/ଶ) 
15) Determine as três equações de estado para um sistema com equação fundamental ݑ = ቀఏ
ோ
ቁ ݏଶ + ቀோఏ
௩೚
మቁ ݒ
ଶ , expresse  
em função de T,P. (Resp.: ߤ = − ଵ
ସ
[ቀோ
ఏ
ቁܶଶ + ቀ௩೚మ
ோఏ
ቁ ܲଶ]) 
16) Dois sistemas particulares têm as seguintes equações de estado: ଵ
்(భ) = ଷଶܴ ே(భ)௎(భ) e ଵ்(మ) = ଷଶܴ ே(మ)௎(మ), onde R é uma 
constante tendo o valor R = 1, 986 cal/mol K. O número de mol do primeiro sistema é N(1) = 2 e do segundo, N(2) = 
3. Os dois sistemas são separados por uma parede diatérmica e a energia total no sistema composto é de 6000 cal. 
Qual é a energia interna de cada sistema em equilíbrio? (Resp.: U(1) = 1714,3 cal e U(2) = 4285,7 cal) 
17) Obtenha a expressão para a energia livre de Helmholtz do gás ideal. Na representação de Helmholtz escreva as 
equações de estado do gás ideal. 
18) Obtenha uma expressão para a energia livre de Helmholtz por partícula, f = f (T,v), para um sistema puro que 
obedece as equações de estado ݑ = ଷ
ଶ
݌ݒ e ݌ = ܣݒܶସ, onde A é uma constante. 
19) Obtenha a expressão para a energia livre de Gibbs por partícula, g = g(T,p), para um sistema puro caracterizado 
pela equação ቀௌ
ே
− ݏ௢ቁ
ସ = ܣ ௏௎మ
ேయ
, onde A e so são constantes. 
 
Referências 
 
 SEARS, F. W., SALINGER, G. L. Termodinâmica, Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística. Editora 
Guanabara Dois S. A. 3ª edição. Rio de Janeiro. 1979. 
 SEARS, F. W. Termodinámica. Editora Reverté S.A. Barcelona. 1974 (Massachusetts Institute Technology - MIT). 
 SÍLVIO, R. A. S. Introdução à Física Estatística. Editora da Universidade de São Paulo. 2ª edição. São Paulo. 1999.