Anexos 201644

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UNIP 2016 CONCRETO ARMADO I PARTE II - pag (15 a 27 ).doc
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4.1.2 cargas acidentais (sobrecargas, p)
As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além das que se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos devidos a pessoas, móveis, utensílios, assumidas como uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados. Alem dessas, o peso de veículos (leves) especiais; a força de frenagem e aceleração dos mesmos; o peso de mobiliário especial, como cofres, que não são determinados em norma deverão ser informados pelo fabricante ou fornecedor. 
A NBR 6120 (ABNT,1980) prescreve os seguintes valores para edifícios residenciais: 
	quarto, sala, copa, cozinha, banheiro .............150 kgf/m2 (1,5 kN/m2)
	despensa, área de serviço, lavanderia ............200 kgf/m2 (2,0 kN/m2)
4.1.3 Determinação dos momentos fletores 
A determinação dos momentos fletores em uma placa, pela Teoria da Elasticidade é bastante trabalhosa. Entretanto, como já foi dito, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito. Neste trabalho adotamos as tabelas de CZERNY, adaptadas pelo prof. Burke para coeficiente de Poisson ν = 0,2
Nelas, o lado lx é sempre o lado menor.
As notações M (“positivo”) e X (“negativo”) significam momentos fletores por unidade de largura (por metro) de laje. O calculo é imediato:
			Mx = qlx2 /m x (kN.m /m)
			My = qlx2 /m y	“
			Xx = qlx2 /n x	“
			Xy = qlx2 /n y	“		onde:
os coeficientes mx , my ,nx , ny são tabelados;
q é a carga total de serviço atuante; (q = g+p)
Mx e My são os momentos fletores positivos; Mx na direção x e My na direção y
Xx e Xy são os momentos fletores negativos; Xx na direção x e Xy na direção y
Cálculo dos momentos fletores Mx , My , Xx , Xy
laje armada em uma direção – pode ser extraído das tabelas ou calculado manualmente . Nos casos mais comuns. 
 	Para laje simplesmente apoiada M = (g+p) l 2 / 8 
	Para laje apoiada-engastada M = (g+p) l 2 / 14,22
 						X = (g+p) l 2 / 8
	Para laje engastada-engastada M = (g+p) l 2 / 24
 						X = (g+p) l 2 / 12
laje armada em duas direções - uso das tabelas de Czerny
 Os momentos quer sejam positivos (quando tracionam em baixo, M) 
 ou negativos (quando tracionam em cima, X), são determinados pela 
 expressão :
				M = (g+p). lx2 / k , onde:
g+p = q = carga total sobre a laje (kN/m2)
lx = vão menor da laje
k = coeficiente função das condições de contorno (restrições nos apoios)
k = mx (my) para momentos positivos na direção x (y)
k = nx (ny) para momentos negativos na direção x (y) 
M = momento fletor máximo positivo ou negativo, em kN.m /metro de laje
Em função das restrições nos apoios as tabelas apresentam 9 tipos de lajes como indicadas a seguir, com as indicações:
	 
				apoio articulado simples
				apoio livre , isto é ausência de apoio
				apoio engastado
	
Alem dos coeficientes m e n, as tabelas apresentam o coeficiente ( para o cálculo de verificação da esbeltez da laje, limitada pela flecha admissível l / 300, (da norma,)e considerando o caso mais desfavorável de laje simplesmente apoiada em seu contorno.
			
 com;
lx = vão menor
q = carga total na laje
E = módulo de elasticidade do concreto
I = momento de inércia da seção da laje (100 x h)
Para os casos também comuns que aparecem freqüentemente nos projetos de edifícios, de lajes poligonais aplicam-se as mesmas tabelas de lajes retangulares porem considerando certas simplificações demonstradas pela pratica e a favor da segurança.
Observações quanto a casos particulares	
Caso de lajes poligonais
			
			 Calcula-se a laje como sendo retangular, de dimensões a,b
hipóteses:
-calcula-se a laje como sendo retangular de 
 dimensões a,( f+d)
-calcula-se como retangular de dimensões 
 a, [( f+d + b)/2] etc
Apoio ou engaste?
. apesar da não ser uma norma, pode-se considerar engaste quando a aresta 
 comum tenha um comprimento maior ou igual a 2/3 do comprimento do lado 
. se essa aresta comum tiver um comprimento menor do que 2/3 do lado maior, 
 considera-se apoio
. no caso de se ter uma laje muito maior do que a adjacente, considerar a maior 
 apoiada e a laje menor engastada na maior (caso de laje de corredor)
4.1.4 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
Laje armada em uma direção
No caso, a armadura principal se distribuirá ao longo do lado menor. O momento fletor máximo é calculado como visto em resistência dos materiais. Dependendo das condições de contorno podemos ter os casos:
 
Lajes armadas em duas direções
As tabelas de Czerny originais foram adaptadas pelo prof. Burke (EPUSP) e fornecem os valores dos momentos ( positivos e negativos ) para nove tipos de lajes, por meio dos coeficientes mx, my, nx, ny, e o valor de um coeficiente (() para a verificação da esbeltez (flecha). Nelas sempre lx é o lado menor. 
			LAJE TIPO 
Mx = p lx2 / mx 	 My = p lx2 / my	 p = g+q	
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		22,7
		22,7
		-
		-
		0,046729
		1,05
		20,8
		22,5
		-
		-
		0,051546
		1,10
		19,3
		22,3
		-
		-
		0,056180
		1,15
		18,1
		22,3
		-
		-
		0,060606
		 1,20
		16,9
		22,3
		-
		-
		0,064935
		1,25
		15,9
		22,4
		-
		-
		0,069930
		1,30
		15,2
		22,7
		-
		-
		0,073529
		1,35
		14,4
		22,9
		-
		-
		0,077519
		 1,40
		13,8
		23,1
		-
		-
		0,081301
		1,45
		13,2
		23,3
		-
		-
		0,085470
		1,50
		12,7
		23,5
		-
		-
		0,089286
		1,55
		12,3
		23,5
		-
		-
		0,092593
		1,60
		11,9
		23,5
		-
		-
		0,096154
		1,65
		11,5
		23,5
		-
		-
		0,099010
		1,70
		11,2
		23,5
		-
		-
		0,102041
		1,75
		10,8
		23,5
		-
		-
		0,105263
		1,80
		10,7
		23,5
		-
		-
		0,107527
		1,85
		10,4
		23,5
		-
		-
		0,109890
		1,90
		10,2
		23,5
		-
		-
		0,112360
		1,95
		10,1
		23,5
		-
		-
		0,114943
		2,00
		9,90
		23,5
		-
		-
		0,116279
		>2,0
		8,00
		23,5
		-
		-
		0,149254
				
	
		
		 LAJE TIPO 2A 
	 
 	Mx = p lx2 / mx 	My = p lx2 / my	 Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		32,4
		26,5
		-
		11,9
		0,03205
		1,05
		29,2
		25,0
		-
		11,3
		0,03623
		1,10
		26,1
		24,4
		-
		10,9
		0,04049
		1,15
		23,7
		23,9
		-
		10,4
		0,04484
		1,20
		22,0
		23,8
		-
		10,1
		0,04926
		1,25
		20,2
		23,6
		-
		9,8
		0,05348
		1,30
		19,0
		23,7
		-
		9,6
		0,05780
		1,35
		17,8
		23,7
		-
		9,3
		0,06211
		1,40
		16,8
		23,8
		-
		9,2
0,06622
		1,45
		15,8
		23,9
		-
		9,0
		0,07042
		1,50
		15,1
		24,0
		-
		8,9
		0,07407
		1,55
		14,3
		24,0
		-
		8,8
		0,07812
		1,60
		13,8
		24,0
		-
		8,7
		0,08197
		1,65
		13,2
		24,0
		-
		8,6
		0,08547
		1,70
		12,8
		24,0
		-
		8,5
		0,08929
		1,75
		12,3
		24,0
		-
		8,45
		0,09259
		1,80
		12,0
		24,0
		-
		8,4
		0,09524
		1,85
		11,5
		24,0
		-
		8,35
		0,09901
		1,90
		11,3
		24,0
		-
		8,3
		0,10101
		1,95
		10,9
		24,0
		-
		8,25
		0,10416
		2,00
		10,8
		24,0
		-
		8,2
		0,10638
		(2,0
		8,0
		24,0
		-
		8,0
		0,14925
			
		
			LAJE TIPO 2B
		Mx = p lx2 /mx 	My = plx2 /my	Xx = p lx2 / nx 
		
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		26,5
		32,4
		11,9
		-
		0,03205
		1,05
		25,7
		33,3
		11,3
		-
		0,03425
		1,10
		24,4
		33,9
		10,9
		-
		0,03650
		1,15
		23,3
		34,5
		10,5
		-
		0,03846
		1,20
		22,3
		34,9
		10,2
		-
		0,04032
		1,25
		21,4
		35,2
		9,9
		-
		0,04202
		1,30
		20,7
		35,4
		9,7
		-
		0,04367
		1,35
		20,1
		37,8
		9,4
		-
		0,04525
		1,40
		19,7
		39,9
		9,3
		-
		0,04651
		1,45
		19,2
		41,1
		9,1
		-
		0,04785
		1,50
		18,8
		42,5
		9,0
		-
		0,04902
		1,55
		18,3
		42,5
		8,9
		-
		0,05000
		1,60
		17,8
		42,5
		8,8
		-
		0,05102
		1,65
		17,5
		42,5
		8,7
		-
		0,05181
		1,70
		17,2
		42,5
		8,6
		-
		0,05263
		1,75
		17,0
		42,5
		8,5
		-
		0,05348
		1,80
		16,8
		42,5
		8,4
		-
		0,05405
		1,85
		16,5
		42,5
		8,3
		-
		0,05464
		1,90
		16,4
		42,5
		8,3
		-
		0,05525
		1,95
		16,3
		42,5
		8,3
		-
		0,05556
		2,00
		16,2
		42,5
		8,3
		-
		0,05618
		(2,0
		14,2
		42,5
		8,0
		-
		0,05988
		
		
	
		LAJE TIPO 		 3
	 Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my Xx = p lx2 / nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		34,5
		34,5
		14,3
		14,3
		0,02421
		1,05
		32,1
		33,7
		13,3
		13,8
		0,02695
		1,10
		30,1
		33,9
		12,7
		13,6
		0,02899
		1,15
		28,0
		33,9
		12,0
		13,3
		0,03155
		1,20
		26,4
		34,0
		11,5
		13,1
		0,03344
		1,25
		24,9
		34,4
		11,1
		12,9
		0,03546
		1,30
		23,8
		35,0
		10,7
		12,8
		0,03731
		1,35
		23,0
		36,6
		10,3
		12,7
		0,03922
		1,40
		22,2
		37,8
		10,0
		12,6
		0,04082
		1,45
		21,4
		39,1
		9,8
		12,5
		0,04255
		1,50
		20,7
		40,2
		9,6
		12,4
		0,04405
		1,55
		20,2
		40,2
		9,4
		12,3
		0,04525
		1,60
		19,7
		40,2
		9,2
		12,3
		0,04651
		1,65
		19,2
		40,2
		9,1
		12,2
		0,04762
		1,70
		18,8
		40,2
		8,9
		12,2
		0,04878
		1,75
		18,4
		40,2
		8,8
		12,2
		0,04975
		1,80
		18,1
		40,2
		8,7
		12,2
		0,05076
		1,85
		17,8
		40,2
		8,6
		12,2
		0,05154
		1,90
		17,5
		40,2
		8,5
		12,2
		0,05263
		1,95
		17,2
		40,2
		8,4
		12,2
		0,05319
		2,00
		17,1
		40,2
		8,4
		12,2
		0,05405
		(2,0
		14,2
		40,2
		8,0
		12,0
		0,05988
	 
		
		
	
		LAJE TIPO 4A
 Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my	 Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		46,1
		31,6
		-
		14,3
		0,02207
		1,05
		39,9
		29,8
		-
		13,4
		0,02551
		1,10
		36,0
		28,8
		-
		12,7
		0,02907
		1,15
		31,9
		27,7
		-
		12,0
		0,03289
		1,20
		29,0
		26,9
		-
		11,5
		0,03676
		1,25
		26,2
		26,1
		-
		11,1
		0,04082
		1,30
		24,1
		25,6
		-
		10,7
		0,04484
		1,35
		22,1
		25,1
		-
		10,3
		0,04902
		1,40
		20,6
		24,8
		-
		10,0
		0,05319
		1,45
		19,3
		24,6
		-
		9,75
		0,05714
		1,50
		18,1
		24,4
		-
		9,5
		0,06135
		1,55
		17,0
		24,3
		-
		9,3
		0,06536
		1,60
		16,2
		24,3
		-
		9,2
		0,06944
		1,65
		15,4
		24,3
		-
		9,05
		0,07299
		1,70
		14,7
		24,3
		-
		8,9
		0,07692
		1,75
		14,0
		24,3
		--
		8,8
		0,08064
		1,80
		13,5
		24,3
		-
		8,7
		0,08403
		1,85
		13,0
		24,3
		-
		8,6
		0,08772
		1,90
		12,6
		24,3
		-
		8,5
		0,09091
		1,95
		12,1
		24,3
		-
		8,4
		0,09434
		2,00
		11,8
		24,3
		-
		8,4
		0,09709
		(2,0
		8,0
		24,3
		-
		8.0
		0,14925
	
		 
		
		
		LAJE TIPO 4B
	
		Mx = p lx2 / mx 	 My = plx2 / my	Xx = p lx2 / nx 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		31,6
		46,1
		14,3
		-
		0,02207
		1,05
		29,9
		46,4
		13,8
		-
		0,02315
		1,10
		29,0
		47,2
		13,5
		-
		0,02410
		1,15
		28,0
		47,7
		13,2
		-
		0,02494
		1,20
		27,2
		48,1
		13,0
		-
		0,02564
		1,25
		26,4
		48,2
		12,7
		-
		0,02638
		1,30
		25,8
		48,1
		12,6
		-
		0,02688
		1,35
		25,3
		47,9
		12,4
		-
		0,02740
		1,40
		24,8
		47,8
		12,3
		-
		0,02778
		1,45
		24,4
		47,7
		12,2
		-
		0,02809
		1,50
		24,2
		47,6
		12,2
		-
		0,02849
		1,55
		24,0
		47,6
		12,1
		-
		0,02882
		1,60
		24,0
		47,6
		12,0
		-
		0,02899
		1,65
		24,0
		47,6
		12,0
		-
		0,02924
		1,70
		24,0
		47,4
		12,0
		-
		0,02950
		1,75
		24,0
		47,3
		12,0
		-
		0,02959
		1,80
		24,0
		47,2
		12,0
		-
		0,02967
		1,85
		24,0
		47,1
		12,0
		-
		0,02976
		1,90
		24,0
		47,1
		12,0
		-
		0,02985
		1,95
		24,0
		47,1
		12,0
		-
		0,02994
		2,00
		24,0
		47,0
		12,0
		-
		0,03003
		(2,0
		24,0
		47,0
		12,0
		-
		0,03125
	 
		
		
		
		LAJE TIPO 5A
	Mx = p lx2 / mx My = plx2 /my	Xx = p lx2 / nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		44,6
		38,1
		18,3
		16,2
		0,01605
		1,05
		41,7
		37,3
16,6
		15,4
		0,02037
		1,10
		38,1
		36,7
		15,4
		14,8
		0,02268
		1,15
		34,9
		36,4
		14,4
		14,3
		0,02494
		1,20
		32,1
		36,2
		13,5
		13,9
		0,02725
		1,25
		29,8
		36,1
		12,7
		13,5
		0,02959
		1,30
		28,0
		36,2
		12,2
		13,3
		0,03155
		1,35
		26,4
		36,6
		11,6
		13,1
		0,03367
		1,40
		25,2
		37,0
		11,2
		13,0
		0,03559
		1,45
		24,0
		37,5
		10,9
		12,8
		0,03759
		1,50
		23,1
		38,3
		10,6
		12,7
		0,03968
		1,55
		22,3
		39,3
		10,3
		12,6
		0,04082
		1,60
		21,7
		40,3
		10,1
		12,6
		0,04237
		1,65
		21,1
		41,4
		9,9
		12,5
		0,04386
		1,70
		20,4
		42,7
		9,7
		12,5
		0,04525
		1,75
		20,0
		43,8
		9,5
		12,4
		0,04651
		1,80
		19,5
		44,8
		9,4
		12,4
		0,04762
		1,85
		19,1
		45,9
		9,2
		12,3
		0,04878
		1,90
		18,7
		46,7
		9,0
		12,3
		0,04975
		1,95
		18,4
		47,7
		8,9
		12,3
		0,05076
		2,00
		18.0
		48,6
		8,8
		12,3
		0,05181
		(2,0
		14,2
		48,6
		8,0
		12,0
		0,05988
	 
		
	 LAJE TIPO 5B
	Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my		Xx = p lx2/ nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		38,1
		44,6
		16,2
		18,3
		0,01805
		1,05
		35,5
		44,8
		15,3
		17,9
		0,01938
		1,10
		33,7
		45,7
		14,8
		17,7
		0,02053
		1,15
		32,0
		47,1
		14,2
		17,6
		0,02169
		1,20
		30,7
		47,6
		13,9
		17,5
		0,02268
		1,25
		29,5
		47,7
		13,5
		17,5
		0,02353
		1,30
		28,4
		47,7
		13,2
		17,5
		0,02427
		1,35
		27,6
		47,9
		12,9
		17,5
		0,02506
		1,40
		26,8
		48,1
		12,7
		17,5
		0,02571
		1,45
		26,2
		48,3
		12,6
		17,5
		0,02632
		1,50
		25,7
		48,7
		12,5
		17,5
		0,02688
		1,55
		25,2
		49,0
		12,4
		17,5
		0,02740
		1,60
		24,8
		49,4
		12,3
		17,5
		0,0278
		1,65
		24,5
		49,8
		12,2
		17,5
		0,02825
		1,70
		24,2
		50,2
		12,2
		17,5
		0,02857
		1,75
		24,0
		50,7
		12,1
		17,5
		0,02890
		1,80
		24,0
		51,3
		12,1
		17,5
		0,02907
		1,85
		24,0
		52,0
		12,0
		17,5
		0,02924
		1,90
		24,0
		52,6
		12,0
		17,5
		0,02950
		1,95
		24,0
		53,4
		12,0
		17,5
		0,02959
		2,00
		24,0
		54,1
		12,0
		17,5
		0,02967
		(2,0
		24,0
		54,0
		12,0
		17,5
		0,03125
	 
	LAJE TIPO 6		
	 Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my	 Xx = p lx2 / nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		47,3
		47,3
		19,4
		19,4
		0,01460
		1,05
		43,1
		47,3
		18,2
		18,8
		0,01603
		1,10
		40,0
		47,8
		17,1
		18,4
		0,01736
		1,15
		37,3
		48,3
		16,3
		18,1
		0,01873
		1,20
		35,2
		49,3
		15,5
		18,1
		0,01988
		1,25
		33,4
		50,5
		14,9
		17,9
		0,02101
		1,30
		31,0
		51,7
		14,5
		17,7
		0,02207
		1,35
		30,7
		53,3
		14,0
		17,6
		0,02304
		1,40
		29,6
		54,8
		13,7
		17,5
		0,02381
		1,45
		28,6
		56,4
		13,4
		17,5
		0,02469
		1,50
		27,8
		57,3
		13,2
		17,5
		0,02532
		1,55
		27,2
		57,6
		13,0
		17,5
		0,02604
		1,60
		26,6
		57,8
		12,8
		17,5
		0,02660
		1,65
		26,1
		57,9
		12,7
		17,5
		0,02710
		1,70
		25,5
		57,8
		12,5
		17,5
		0,02755
		1,75
		25,1
		57,7
		12,4
		17,5
		0,02793
		1,80
		24,8
		57,6
		12,3
		17,5
		0,02825
		1,85
		24,5
		57,5
		12,2
		17,5
		0,02849
		1,90
		24,2
		57,4
		12,1
		17,5
		0,02882
		1,95
		24,0
		57,2
		12,0
		17,5
		0,02899
		2,00
		24,0
		57,1
		12,0
		17,5
		0,02915
		(2,0
		24,0
		57,0
		12,0
		17,5
		0,03125
 
4.1.5 CÁLCULO DA ESBELTEZ DAS LAJES 
O item 13.2 da NBR8116 trata dos deslocamentos limites de estrutura. Grande mudança com relação à norma anterior foram introduzidas. No caso das lajes de edifícios vamos adotar os limites (Montoya 14a edição,2000) para a flecha f: 
		fp = l / 500 - para carga acidental p = carga acidental
		fq = l / 350 - para carga total q = g + p
O cálculo da flecha será feito por: 
 ( p* lx4 
			f = 			com:
			 EC I 	
	
EC = módulo de elasticidade = 4760 fck1/2 MPa
(= coeficiente tabelado, função da carga, e do tipo de apoio
I = momento de inércia
p* = carga total (ou acidental, dependendo do caso)				 
lx = lado menor
	
Consideração do efeito da fluência do concreto, com a carga total, 
q=g+p tem-se:
	ffinal = finicial . (1/(final) / (1/(inicial ) = finicial (3(c+(s) / ((c+ (s)
	(C / (S = x / d-x = kx / 1-kx
Com 1/( = curvatura, ( (deformação) tomado em módulo e adotando-se 
kx = x/d = 0,7 vem:
Carga a considerar
				q* = 2,4g + 0,7p
Então, da condição, f ( 1/300 pode-se determina a altura h
		
Xx
Xy
Mx
My
Lx
Ly
x
y
z
1
2AA
2BA
3
4AA
4B
5A
5B
6
a
b
d
e
c
a
b
c
d
e
f
Considerar ambas as lajes engastadas, 
se l ≥ 2/3 L
Laje maior apoiada na menor e laje menor
engastada na maior quando l < 2/3 L
l
L
Considerar laje maior apoiada na menor; laje menor engastada na maior. 
Considerar apoio da laje maior na menor e 
engaste da menor na maior
Considerar apoio da maior laje na menor e 
considerar engaste da menor na maior
l
L
Mmáx = ql2 / 8
l
M = ql2/14,22
X = ql2/8
l
L
X = ql2/12
l
L
M = ql2/24
ly
lx
1
lx
ly
lx
ly
ly
lx
ly
lx
lx
ly
lx
ly
lx
ly
ly
lx
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UNIP 2016 - pag (15 a 27 ) CONCRETO ARMADO I PARTE II.doc
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�PAGE �27�
4.1.2 cargas acidentais (sobrecargas, p)
As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além das que se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos devidos a pessoas, móveis, utensílios, assumidas como uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados. Alem dessas, o peso
de veículos (leves) especiais; a força de frenagem e aceleração dos mesmos; o peso de mobiliário especial, como cofres, que não são determinados em norma deverão ser informados pelo fabricante ou fornecedor. 
A NBR 6120 (ABNT,1980) prescreve os seguintes valores para edifícios residenciais: 
	quarto, sala, copa, cozinha, banheiro .............150 kgf/m2 (1,5 kN/m2)
	despensa, área de serviço, lavanderia ............200 kgf/m2 (2,0 kN/m2)
4.1.3 Determinação dos momentos fletores 
A determinação dos momentos fletores em uma placa, pela Teoria da Elasticidade é bastante trabalhosa. Entretanto, como já foi dito, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito. Neste trabalho adotamos as tabelas de CZERNY, adaptadas pelo prof. Burke para coeficiente de Poisson ν = 0,2
Nelas, o lado lx é sempre o lado menor.
As notações M (“positivo”) e X (“negativo”) significam momentos fletores por unidade de largura (por metro) de laje. O calculo é imediato:
			Mx = qlx2 /m x (kN.m /m)
			My = qlx2 /m y	“
			Xx = qlx2 /n x	“
			Xy = qlx2 /n y	“		onde:
os coeficientes mx , my ,nx , ny são tabelados;
q é a carga total de serviço atuante; (q = g+p)
Mx e My são os momentos fletores positivos; Mx na direção x e My na direção y
Xx e Xy são os momentos fletores negativos; Xx na direção x e Xy na direção y
Cálculo dos momentos fletores Mx , My , Xx , Xy
laje armada em uma direção – pode ser extraído das tabelas ou calculado manualmente . Nos casos mais comuns. 
 	Para laje simplesmente apoiada M = (g+p) l 2 / 8 
	Para laje apoiada-engastada M = (g+p) l 2 / 14,22
 						X = (g+p) l 2 / 8
	Para laje engastada-engastada M = (g+p) l 2 / 24
 						X = (g+p) l 2 / 12
laje armada em duas direções - uso das tabelas de Czerny
 Os momentos quer sejam positivos (quando tracionam em baixo, M) 
 ou negativos (quando tracionam em cima, X), são determinados pela 
 expressão :
				M = (g+p). lx2 / k , onde:
g+p = q = carga total sobre a laje (kN/m2)
lx = vão menor da laje
k = coeficiente função das condições de contorno (restrições nos apoios)
k = mx (my) para momentos positivos na direção x (y)
k = nx (ny) para momentos negativos na direção x (y) 
M = momento fletor máximo positivo ou negativo, em kN.m /metro de laje
Em função das restrições nos apoios as tabelas apresentam 9 tipos de lajes como indicadas a seguir, com as indicações:
	 
				apoio articulado simples
				apoio livre , isto é ausência de apoio
				apoio engastado
	
Alem dos coeficientes m e n, as tabelas apresentam o coeficiente ( para o cálculo de verificação da esbeltez da laje, limitada pela flecha admissível l / 300, (da norma,)e considerando o caso mais desfavorável de laje simplesmente apoiada em seu contorno.
			
 com;
lx = vão menor
q = carga total na laje
E = módulo de elasticidade do concreto
I = momento de inércia da seção da laje (100 x h)
Para os casos também comuns que aparecem freqüentemente nos projetos de edifícios, de lajes poligonais aplicam-se as mesmas tabelas de lajes retangulares porem considerando certas simplificações demonstradas pela pratica e a favor da segurança.
Observações quanto a casos particulares	
Caso de lajes poligonais
			
			 Calcula-se a laje como sendo retangular, de dimensões a,b
hipóteses:
-calcula-se a laje como sendo retangular de 
 dimensões a,( f+d)
-calcula-se como retangular de dimensões 
 a, [( f+d + b)/2] etc
Apoio ou engaste?
. apesar da não ser uma norma, pode-se considerar engaste quando a aresta 
 comum tenha um comprimento maior ou igual a 2/3 do comprimento do lado 
. se essa aresta comum tiver um comprimento menor do que 2/3 do lado maior, 
 considera-se apoio
. no caso de se ter uma laje muito maior do que a adjacente, considerar a maior 
 apoiada e a laje menor engastada na maior (caso de laje de corredor)
4.1.4 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
Laje armada em uma direção
No caso, a armadura principal se distribuirá ao longo do lado menor. O momento fletor máximo é calculado como visto em resistência dos materiais. Dependendo das condições de contorno podemos ter os casos:
 
Lajes armadas em duas direções
As tabelas de Czerny originais foram adaptadas pelo prof. Burke (EPUSP) e fornecem os valores dos momentos ( positivos e negativos ) para nove tipos de lajes, por meio dos coeficientes mx, my, nx, ny, e o valor de um coeficiente (() para a verificação da esbeltez (flecha). Nelas sempre lx é o lado menor. 
			LAJE TIPO 
Mx = p lx2 / mx 	 My = p lx2 / my	 p = g+q	
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		22,7
		22,7
		-
		-
		0,046729
		1,05
		20,8
		22,5
		-
		-
		0,051546
		1,10
		19,3
		22,3
		-
		-
		0,056180
		1,15
		18,1
		22,3
		-
		-
		0,060606
		 1,20
		16,9
		22,3
		-
		-
		0,064935
		1,25
		15,9
		22,4
		-
		-
		0,069930
		1,30
		15,2
		22,7
		-
		-
		0,073529
		1,35
		14,4
		22,9
		-
		-
		0,077519
		 1,40
		13,8
		23,1
		-
		-
		0,081301
		1,45
		13,2
		23,3
		-
		-
		0,085470
		1,50
		12,7
		23,5
		-
		-
		0,089286
		1,55
		12,3
		23,5
		-
		-
		0,092593
		1,60
		11,9
		23,5
		-
		-
		0,096154
		1,65
		11,5
		23,5
		-
		-
		0,099010
		1,70
		11,2
		23,5
		-
		-
		0,102041
		1,75
		10,8
		23,5
		-
		-
		0,105263
		1,80
		10,7
		23,5
		-
		-
		0,107527
		1,85
		10,4
		23,5
		-
		-
		0,109890
		1,90
		10,2
		23,5
		-
		-
		0,112360
		1,95
		10,1
		23,5
		-
		-
		0,114943
		2,00
		9,90
		23,5
		-
		-
		0,116279
		>2,0
		8,00
		23,5
		-
		-
		0,149254
				
	
		
		 LAJE TIPO 2A 
	 
 	Mx = p lx2 / mx 	My = p lx2 / my	 Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		32,4
		26,5
		-
		11,9
		0,03205
		1,05
		29,2
		25,0
		-
		11,3
		0,03623
		1,10
		26,1
		24,4
		-
		10,9
		0,04049
		1,15
		23,7
		23,9
		-
		10,4
		0,04484
		1,20
		22,0
		23,8
		-
		10,1
		0,04926
		1,25
		20,2
		23,6
		-
		9,8
		0,05348
		1,30
		19,0
		23,7
		-
		9,6
		0,05780
		1,35
		17,8
		23,7
		-
		9,3
		0,06211
		1,40
		16,8
		23,8
		-
		9,2
		0,06622
		1,45
		15,8
		23,9
		-
		9,0
		0,07042
		1,50
		15,1
		24,0
		-
		8,9
		0,07407
		1,55
		14,3
		24,0
		-
		8,8
		0,07812
		1,60
		13,8
		24,0
		-
		8,7
		0,08197
		1,65
		13,2
		24,0
		-
		8,6
		0,08547
		1,70
		12,8
		24,0
		-
		8,5
		0,08929
		1,75
		12,3
		24,0
-
		8,45
		0,09259
		1,80
		12,0
		24,0
		-
		8,4
		0,09524
		1,85
		11,5
		24,0
		-
		8,35
		0,09901
		1,90
		11,3
		24,0
		-
		8,3
		0,10101
		1,95
		10,9
		24,0
		-
		8,25
		0,10416
		2,00
		10,8
		24,0
		-
		8,2
		0,10638
		(2,0
		8,0
		24,0
		-
		8,0
		0,14925
			
		
			LAJE TIPO 2B
		Mx = p lx2 /mx 	My = plx2 /my	Xx = p lx2 / nx 
		
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		26,5
		32,4
		11,9
		-
		0,03205
		1,05
		25,7
		33,3
		11,3
		-
		0,03425
		1,10
		24,4
		33,9
		10,9
		-
		0,03650
		1,15
		23,3
		34,5
		10,5
		-
		0,03846
		1,20
		22,3
		34,9
		10,2
		-
		0,04032
		1,25
		21,4
		35,2
		9,9
		-
		0,04202
		1,30
		20,7
		35,4
		9,7
		-
		0,04367
		1,35
		20,1
		37,8
		9,4
		-
		0,04525
		1,40
		19,7
		39,9
		9,3
		-
		0,04651
		1,45
		19,2
		41,1
		9,1
		-
		0,04785
		1,50
		18,8
		42,5
		9,0
		-
		0,04902
		1,55
		18,3
		42,5
		8,9
		-
		0,05000
		1,60
		17,8
		42,5
		8,8
		-
		0,05102
		1,65
		17,5
		42,5
		8,7
		-
		0,05181
		1,70
		17,2
		42,5
		8,6
		-
		0,05263
		1,75
		17,0
		42,5
		8,5
		-
		0,05348
		1,80
		16,8
		42,5
		8,4
		-
		0,05405
		1,85
		16,5
		42,5
		8,3
		-
		0,05464
		1,90
		16,4
		42,5
		8,3
		-
		0,05525
		1,95
		16,3
		42,5
		8,3
		-
		0,05556
		2,00
		16,2
		42,5
		8,3
		-
		0,05618
		(2,0
		14,2
		42,5
		8,0
		-
		0,05988
		
		
	
		LAJE TIPO 		 3
	 Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my Xx = p lx2 / nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		34,5
		34,5
		14,3
		14,3
		0,02421
		1,05
		32,1
		33,7
		13,3
		13,8
		0,02695
		1,10
		30,1
		33,9
		12,7
		13,6
		0,02899
		1,15
		28,0
		33,9
		12,0
		13,3
		0,03155
		1,20
		26,4
		34,0
		11,5
		13,1
		0,03344
		1,25
		24,9
		34,4
		11,1
		12,9
		0,03546
		1,30
		23,8
		35,0
		10,7
		12,8
		0,03731
		1,35
		23,0
		36,6
		10,3
		12,7
		0,03922
		1,40
		22,2
		37,8
		10,0
		12,6
		0,04082
		1,45
		21,4
		39,1
		9,8
		12,5
		0,04255
		1,50
		20,7
		40,2
		9,6
		12,4
		0,04405
		1,55
		20,2
		40,2
		9,4
		12,3
		0,04525
		1,60
		19,7
		40,2
		9,2
		12,3
		0,04651
		1,65
		19,2
		40,2
		9,1
		12,2
		0,04762
		1,70
		18,8
		40,2
		8,9
		12,2
		0,04878
		1,75
		18,4
		40,2
		8,8
		12,2
		0,04975
		1,80
		18,1
		40,2
		8,7
		12,2
		0,05076
		1,85
		17,8
		40,2
		8,6
		12,2
		0,05154
		1,90
		17,5
		40,2
		8,5
		12,2
		0,05263
		1,95
		17,2
		40,2
		8,4
		12,2
		0,05319
		2,00
		17,1
		40,2
		8,4
		12,2
		0,05405
		(2,0
		14,2
		40,2
		8,0
		12,0
		0,05988
	 
		
		
	
		LAJE TIPO 4A
 Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my	 Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		46,1
		31,6
		-
		14,3
		0,02207
		1,05
		39,9
		29,8
		-
		13,4
		0,02551
		1,10
		36,0
		28,8
		-
		12,7
		0,02907
		1,15
		31,9
		27,7
		-
		12,0
		0,03289
		1,20
		29,0
		26,9
		-
		11,5
		0,03676
		1,25
		26,2
		26,1
		-
		11,1
		0,04082
		1,30
		24,1
		25,6
		-
		10,7
		0,04484
		1,35
		22,1
		25,1
		-
		10,3
		0,04902
		1,40
		20,6
		24,8
		-
		10,0
		0,05319
		1,45
		19,3
		24,6
		-
		9,75
		0,05714
		1,50
		18,1
		24,4
		-
		9,5
		0,06135
		1,55
		17,0
		24,3
		-
		9,3
		0,06536
		1,60
		16,2
		24,3
		-
		9,2
		0,06944
		1,65
		15,4
		24,3
		-
		9,05
		0,07299
		1,70
		14,7
		24,3
		-
		8,9
		0,07692
		1,75
		14,0
		24,3
		--
		8,8
		0,08064
		1,80
		13,5
		24,3
		-
		8,7
		0,08403
		1,85
		13,0
		24,3
		-
		8,6
		0,08772
		1,90
		12,6
		24,3
		-
		8,5
		0,09091
		1,95
		12,1
		24,3
		-
		8,4
		0,09434
		2,00
		11,8
		24,3
		-
		8,4
		0,09709
		(2,0
		8,0
		24,3
		-
		8.0
		0,14925
	
		 
		
		
		LAJE TIPO 4B
	
		Mx = p lx2 / mx 	 My = plx2 / my	Xx = p lx2 / nx 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		31,6
		46,1
		14,3
		-
		0,02207
		1,05
		29,9
		46,4
		13,8
		-
		0,02315
		1,10
		29,0
		47,2
		13,5
		-
		0,02410
		1,15
		28,0
		47,7
		13,2
		-
		0,02494
		1,20
		27,2
		48,1
		13,0
		-
		0,02564
		1,25
		26,4
		48,2
		12,7
		-
		0,02638
		1,30
		25,8
		48,1
		12,6
		-
		0,02688
		1,35
		25,3
		47,9
		12,4
		-
		0,02740
		1,40
		24,8
		47,8
		12,3
		-
		0,02778
		1,45
		24,4
		47,7
		12,2
		-
		0,02809
		1,50
		24,2
		47,6
		12,2
		-
		0,02849
		1,55
		24,0
		47,6
		12,1
		-
		0,02882
		1,60
		24,0
		47,6
		12,0
		-
		0,02899
		1,65
		24,0
		47,6
		12,0
		-
		0,02924
		1,70
		24,0
		47,4
		12,0
		-
		0,02950
		1,75
		24,0
		47,3
		12,0
		-
		0,02959
		1,80
		24,0
		47,2
		12,0
		-
		0,02967
		1,85
		24,0
		47,1
		12,0
		-
		0,02976
		1,90
		24,0
		47,1
		12,0
		-
		0,02985
		1,95
		24,0
		47,1
		12,0
		-
		0,02994
		2,00
		24,0
		47,0
		12,0
		-
		0,03003
		(2,0
		24,0
		47,0
		12,0
		-
		0,03125
	 
		
		
		
		LAJE TIPO 5A
	Mx = p lx2 / mx My = plx2 /my	Xx = p lx2 / nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		44,6
		38,1
		18,3
		16,2
		0,01605
		1,05
		41,7
		37,3
		16,6
		15,4
		0,02037
		1,10
		38,1
		36,7
		15,4
		14,8
		0,02268
		1,15
		34,9
		36,4
		14,4
		14,3
		0,02494
		1,20
		32,1
		36,2
		13,5
		13,9
		0,02725
		1,25
		29,8
		36,1
		12,7
		13,5
		0,02959
		1,30
		28,0
		36,2
		12,2
		13,3
		0,03155
		1,35
		26,4
		36,6
		11,6
		13,1
		0,03367
1,40
		25,2
		37,0
		11,2
		13,0
		0,03559
		1,45
		24,0
		37,5
		10,9
		12,8
		0,03759
		1,50
		23,1
		38,3
		10,6
		12,7
		0,03968
		1,55
		22,3
		39,3
		10,3
		12,6
		0,04082
		1,60
		21,7
		40,3
		10,1
		12,6
		0,04237
		1,65
		21,1
		41,4
		9,9
		12,5
		0,04386
		1,70
		20,4
		42,7
		9,7
		12,5
		0,04525
		1,75
		20,0
		43,8
		9,5
		12,4
		0,04651
		1,80
		19,5
		44,8
		9,4
		12,4
		0,04762
		1,85
		19,1
		45,9
		9,2
		12,3
		0,04878
		1,90
		18,7
		46,7
		9,0
		12,3
		0,04975
		1,95
		18,4
		47,7
		8,9
		12,3
		0,05076
		2,00
		18.0
		48,6
		8,8
		12,3
		0,05181
		(2,0
		14,2
		48,6
		8,0
		12,0
		0,05988
	 
		
	 LAJE TIPO 5B
	Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my		Xx = p lx2/ nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		38,1
		44,6
		16,2
		18,3
		0,01805
		1,05
		35,5
		44,8
		15,3
		17,9
		0,01938
		1,10
		33,7
		45,7
		14,8
		17,7
		0,02053
		1,15
		32,0
		47,1
		14,2
		17,6
		0,02169
		1,20
		30,7
		47,6
		13,9
		17,5
		0,02268
		1,25
		29,5
		47,7
		13,5
		17,5
		0,02353
		1,30
		28,4
		47,7
		13,2
		17,5
		0,02427
		1,35
		27,6
		47,9
		12,9
		17,5
		0,02506
		1,40
		26,8
		48,1
		12,7
		17,5
		0,02571
		1,45
		26,2
		48,3
		12,6
		17,5
		0,02632
		1,50
		25,7
		48,7
		12,5
		17,5
		0,02688
		1,55
		25,2
		49,0
		12,4
		17,5
		0,02740
		1,60
		24,8
		49,4
		12,3
		17,5
		0,0278
		1,65
		24,5
		49,8
		12,2
		17,5
		0,02825
		1,70
		24,2
		50,2
		12,2
		17,5
		0,02857
		1,75
		24,0
		50,7
		12,1
		17,5
		0,02890
		1,80
		24,0
		51,3
		12,1
		17,5
		0,02907
		1,85
		24,0
		52,0
		12,0
		17,5
		0,02924
		1,90
		24,0
		52,6
		12,0
		17,5
		0,02950
		1,95
		24,0
		53,4
		12,0
		17,5
		0,02959
		2,00
		24,0
		54,1
		12,0
		17,5
		0,02967
		(2,0
		24,0
		54,0
		12,0
		17,5
		0,03125
	 
	LAJE TIPO 6		
	 Mx = p lx2 / mx 	My = plx2 / my	 Xx = p lx2 / nx Xy = p lx2 / ny 
		ly / lx
		mx
		my
		nx
		ny
		(
		1,00
		47,3
		47,3
		19,4
		19,4
		0,01460
		1,05
		43,1
		47,3
		18,2
		18,8
		0,01603
		1,10
		40,0
		47,8
		17,1
		18,4
		0,01736
		1,15
		37,3
		48,3
		16,3
		18,1
		0,01873
		1,20
		35,2
		49,3
		15,5
		18,1
		0,01988
		1,25
		33,4
		50,5
		14,9
		17,9
		0,02101
		1,30
		31,0
		51,7
		14,5
		17,7
		0,02207
		1,35
		30,7
		53,3
		14,0
		17,6
		0,02304
		1,40
		29,6
		54,8
		13,7
		17,5
		0,02381
		1,45
		28,6
		56,4
		13,4
		17,5
		0,02469
		1,50
		27,8
		57,3
		13,2
		17,5
		0,02532
		1,55
		27,2
		57,6
		13,0
		17,5
		0,02604
		1,60
		26,6
		57,8
		12,8
		17,5
		0,02660
		1,65
		26,1
		57,9
		12,7
		17,5
		0,02710
		1,70
		25,5
		57,8
		12,5
		17,5
		0,02755
		1,75
		25,1
		57,7
		12,4
		17,5
		0,02793
		1,80
		24,8
		57,6
		12,3
		17,5
		0,02825
		1,85
		24,5
		57,5
		12,2
		17,5
		0,02849
		1,90
		24,2
		57,4
		12,1
		17,5
		0,02882
		1,95
		24,0
		57,2
		12,0
		17,5
		0,02899
		2,00
		24,0
		57,1
		12,0
		17,5
		0,02915
		(2,0
		24,0
		57,0
		12,0
		17,5
		0,03125
 
4.1.5 CÁLCULO DA ESBELTEZ DAS LAJES 
O item 13.2 da NBR8116 trata dos deslocamentos limites de estrutura. Grande mudança com relação à norma anterior foram introduzidas. No caso das lajes de edifícios vamos adotar os limites (Montoya 14a edição,2000) para a flecha f: 
		fp = l / 500 - para carga acidental p = carga acidental
		fq = l / 350 - para carga total q = g + p
O cálculo da flecha será feito por: 
 ( p* lx4 
			f = 			com:
			 EC I 	
	
EC = módulo de elasticidade = 4760 fck1/2 MPa
(= coeficiente tabelado, função da carga, e do tipo de apoio
I = momento de inércia
p* = carga total (ou acidental, dependendo do caso)				 
lx = lado menor
	
Consideração do efeito da fluência do concreto, com a carga total, 
q=g+p tem-se:
	ffinal = finicial . (1/(final) / (1/(inicial ) = finicial (3(c+(s) / ((c+ (s)
	(C / (S = x / d-x = kx / 1-kx
Com 1/( = curvatura, ( (deformação) tomado em módulo e adotando-se 
kx = x/d = 0,7 vem:
Carga a considerar
				q* = 2,4g + 0,7p
Então, da condição, f ( 1/300 pode-se determina a altura h
		
Xx
Xy
Mx
My
Lx
Ly
x
y
z
1
2AA
2BA
3
4AA
4B
5A
5B
6
a
b
d
e
c
a
b
c
d
e
f
Considerar ambas as lajes engastadas, 
se l ≥ 2/3 L
Laje maior apoiada na menor e laje menor
engastada na maior quando l < 2/3 L
l
L
Considerar laje maior apoiada na menor; laje menor engastada na maior. 
Considerar apoio da laje maior na menor e 
engaste da menor na maior
Considerar apoio da maior laje na menor e 
considerar engaste da menor na maior
l
L
Mmáx = ql2 / 8
l
M = ql2/14,22
X = ql2/8
l
L
X = ql2/12
l
L
M = ql2/24
ly
lx
1
lx
ly
lx
ly
ly
lx
ly
lx
lx
ly
lx
ly
lx
ly
ly
lx
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UNIP 2016 CONCRETO ARMADO I PARTE I - pag (1 a 14).doc
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��Prof. Edward Cristiani CONCRETO ARMADO I
INTRODUÇÃO
1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
O Sistema métrico decimal foi introduzido na França e declarado obrigatório em 1840. No Brasil seu uso foi oficializado em 1862. O nome sistema internacional de unidades (SI) foi adotado em 1960, quando instituiu regras para os prefixos, as unidades derivadas e as suplementares. O SI compreende sete unidades básicas duas suplementares, unidades derivadas, múltiplos e submúltiplos das unidades anteriores.
Unidades básicas:
		grandeza
		unidade
		símbolo
		comprimento
		metro
		m
		massa
		kilograma
		kg
		tempo
		segundo
		s
		corrente elétrica
		ampère
A
		temperatura termodinâmica
		kelvin
		K
		quantidade de matéria
		mol
		mol
		intensidade lunimosa
		candela
		cd
Unidades suplementares:
	
		grandeza
		unidade
		símbolo
		ângulo plano
		radiano
		rad
		ângulo sólido 
		esterradiano
		st
Unidades derivadas:
		grandeza
		unidade
		simbolo
		velocidade
		metro por segundo
		m/s
		velocidade angular
		radiano por segundo
		rad/s
		aceleração
		metro/segundo ao quadrado
		m/s2
		força
		Newton
		N
Múltiplos e submúltiplos: kN (kiloNewton) ; MPa (Megapascal) ; cm (centímetro), etc
Unidades derivadas mais importantes 
 a) Unidade de Força (SI) deriva da própria definição: F = ma 
A unidade é o Newton (N)			1N = 1 kg. 1m/s2
A unidade de força, fora do SI admitida temporariamente é o kilograma-força (kgf)
						1kgf = 1 kg. 9,8 m/s2 ~ 10 N
b) Unidade de Pressão da definição: p = F/A força ( área 
A unidade é o Pascal (Pa) 		1Pa = 1 N/1m2
Esta também é uma unidade de tensão. O pascal é muito pequena e, por isso, é comum e mais cômodo trabalhar com uma unidade 1 milhão de vezes maior: o megapascal (MPa).
			1MPa = 106 Pa = 100 N/cm2 = 1 N/mm2 ( 10 kgf/cm2
c) Unidade de energia da definição: T = F.e ( trabalho =força x deslocamento) 
A unidade é o Joule (J) 			1J = 1 N.1m
Miscelânea
. 1 tf = 103 kgf 	 
. 1 kN =103 N
. 1 GPa = 109 Pa			 
 
CONVERSÃO DE UNIDADES
Comprimento 
Força	 
Massa		
 
Tempo		
NORMAS TÉCNICAS RELATIVAS AO CONCRETO ARMADO 
NBR-6118/2003 - Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado 
NBR-6119 - Cálculo e Execução de Lajes Mistas 
NBR-6120/1986 - Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações
NBR-6123/1988 - Forças devido ao Vento em Edificações
NBR-7480/2008 –Aço destinado a armadura para estruturas de Concreto Armado
NBR 8681/2003 – Ações e segurança nas estruturas
NOTAÇÕES	
f	resistência
fck	resistência característica do concreto à compressão (tensão 
 mínima estatística) é a resistência especificada no projeto.
ftk	resistência característica do concreto à tração
fcc	resistência à compressão do concreto (= fc)
ft	resistência à tração do concreto
fcd	resistência de cálculo à compressão 		fcd = fck /(C
ftd	resistência de cálculo do concreto à tração
fyck	resistência característica do aço à compressão 
fyk	resistência característica do aço à tração 
fy	resistência de escoamento do aço à tração
fyc	resistência de escoamento do aço à compressão
fyd	resistência de cálculo do aço à tração	fyd = fyk /(S
fycd	resistência de cálculo do aço à compressão
(	tensão normal 
(C	tensão normal de compressão no concreto
(S	tensão normal de tração na armadura
(	tensão tangencial
(W	tensão convencional de cisalhamento 
(Wd	tensão (W de cálculo 
(Wu	valor último de (W
Obs:
	0,85 fck = resistência à compressão do concreto, sob a influência de 
 diversos fatores como tempo, condições de concretagem, etc., 
 (valor adotado).
	 (C = coeficiente de minoração das resistências para o concreto. = 1,4
	 (S = coeficiente de minoração das resistências para o aço. = 1,15
		 
CAPÍTULO I - GENERALIDADES
1 CONCRETO
É um material de construção resultante da mistura de cimento (aglomerante) pedra britada, areia e água. No início, a mistura encontra-se em um estado praticamente plástico, podendo ser moldada adquirindo a forma que se desejar. O lançamento do concreto deve ser efetuado antes de duas horas, quando se tem o início da “pega”. Após aproximadamente sete horas da mistura, tem-se o fim da pega e o início do processo de endurecimento. 
Pode-se denominar as misturas com cimento e agregados como sendo: 
pasta			= cimento + água
argamassa		= pasta + areia
argamassa armada	= argamassa + armadura (aço)
concreto simples	= argamassa + pedra britada
concreto armado	= concreto simples + armadura de aço passiva
concreto protendido= concreto armado + armadura de aço ativa
2. CONCRETO ARMADO E CONCRETO PROTENDIDO
O concreto armado é o resultado da associação de dois materiais; o concreto simples e o aço (em forma de barras). Cada um deles tem uma função específica; o concreto resiste aos esforços de compressão e o aço aos de tração. Para ser considerado armado, entretanto, não basta uma associação simples; eles devem ser solidários, isto é deve haver uma perfeita aderência entre eles.
No concreto protendido essa aderência não é exigida. As barras de aço são colocadas dentro de bainhas metálicas e posteriormente tracionadas e ancoradas nas extremidades.
O concreto pode ser classificado em: 
quanto à origem: usinado (pré-misturado) ou fabricado no local da obra (por meio de betoneiras)
quanto à execução: vibrado (c/ o uso de vibradores), bombeado, ou jateado.
quanto ao peso específico: concreto pesado (p/ usinas atômicas), normal (estrutural) e leve (utilizando agregado leve tipo argila expandida, e empregado como em coberturas, fechamentos, etc).
quanto à aplicação; concreto massa (ou ciclópico), utilizado em barragens, muros de arrimo, etc; concreto estrutural, empregado em edifícios, pontes, etc.
quanto ao aspecto exterior: concreto aparente e revestido.
3. CONCRETO E AÇO COMO MATERIAIS ESTRUTURAIS
 
CONCRETO - Material frágil, constituído de uma mistura de aglomerado , agregados e água. É responsável peal resistência á compressão nas peças estruturais. Pode ser classificado por sua resistência em C15 - C20 - C25 - C30- C40 - C45 - C50. Hoje em dia concretos de alta resistência (desempenho ou CAD) podem chegar ao valor C100. Os Números indicam o fck (resistência) aos vinte e oito dias e em MPa. Recomenda-se usar:
		Fundações e obras provisórias…….C15, C18
		Concreto armado………………...….( C20
		Concreto protendido………….......( C30
Parâmetros do concreto 
Peso especifico 		 		(C = 25 kN/m3
	Coeficiente de dilatação 	 		( = 10-5/0C 
	Módulo de elasticidade :
						inicial: Ec = 5600fck1/2 em MPa
secante: Ecs = 0,85Ec = 0,85x5600fck1/2 
 = 4760 fck1/2 (MPa) 
	Módulo de elasticidade transversal 	 G = E/(2+ν) ~ 0,40EC 
	Coeficiente de Poisson ( = 0,2
Diagrama Tensão-deformação de cálculo no concreto (adotado)
 AÇO – material dúctil responsável pela resistência à tração nas peças de CA e 
 CP. É produzido em usinas siderúrgicas 
Aço de armadura passiva 
Classifica-se segundo sua resistência ao escoamento nas categorias indicadas por CA25 - CA50 e CA60 sendo:
CA= concreto armado Número = tensão de escoamento em kN / cm2
Parâmetros do aço
Peso especifico 		 		(S = 78,5 kN/m3
Coeficiente de dilatação 	 		( (10-5/0C ( –20 (T( +1500C ) 
Módulo de elasticidade 	 	Es = 210.000 MPa = 210GPa
Módulo de elasticidade transversal 	G ( 0,40 E 
Coeficiente de Poisson 	 ( = 0,3	
Diagrama Tensão-deformação (adptado-simplificado)
Aço de armadura ativa
São barras, fios e cordoalhas classificados nas categorias CP conforme sua resistência à tração. Os mais comuns são:
CP 175 com fpyk = 1580 MPa fptk = 1750 MPa 
 CP 190 com fpyk = 17100 MPa fptk
= 1900 MPa sendo: 
CP=concreto protendido ; número = resistência ao escoamento 
Módulo de elasticidade 		E=200 GPa
Diagrama tensão-deformação
CAPÍTULO II - CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
1. INTRODUÇÃO
As estruturas de concreto armado de um edifício podem ser de vários tipos. Seja qual forem, todas são constituídas de elementos básicos (subestruturas) conhecidas como lajes, vigas, pilares, tirantes, sapatas e blocos de fundação. De acordo com seu tipo, condições de vínculos, e carregamento, sempre estarão sujeitas a esforços de tração, compressão, flexão, torção, ou combinações deles.
Tipos mais comuns de subestruturas:
Lajes - estrutura superficial plana, com uma das dimensões muito menor do que as outras duas e, com carregamento perpendicular ao seu plano. Suporta predominantemente, esforços de flexão.
	maciças
	mistas
	nervuradas
	
	cogumelo
Vigas - estrutura linear, em geral horizontal, com uma das dimensões muito maior do que as outras duas.O carregamento é considerado ao longo do eixo longitudinal. Predomina esforços de flexão (tensões normais e de cisalhamento). Principais tipos:
Viga em balanço (engastada)
viga bi apoiada
	
viga rotulada (Gerber)
	
viga com apoio- engaste
viga com bi engastada
	
viga contínua
				
Pilares - estrutura linear, vertical com carregamento preponderantemente vertical (não é regra). Predomina esforços de compressão.
Tirantes - estrutura semelhante ao pilar, porem sujeita a esforços de tração
Sapatas - estrutura semelhante às lajes, responsável pela transmissão das cargas diretamente ao solo.
Blocos - estrutura da fundação cuja função é transmitir a carga da estrutura às estacas ou aos tubulões.
2. Esforços as quais as estruturas podem estar sujeitas
								
		 				 
		
		
		
				
		
						 
							
Flexão simples Normal
					
							
										
Flexão Simples Oblíqua					
Flexão Composta Normal ( M,V e N )			
Flexão Composta Oblíqua (M,V e N)
Torção em seção circular (Mt)
3. PROJETO DA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO EM CONCRETO ARMADO 
Hoje em dia, com as facilidades proporcionadas pelos softwares e microcomputadores pessoais, já se tem condições de projetar um edifício como ele realmente é: uma estrutura tridimensional. O enfoque tradicional - ainda utilizado – considera a estrutura subdividida me vários elementos (subestruturas) e admitindo-se hipóteses simplificadoras quanto ao seu funcionamento.
Assim, o edifício é decomposto nos seguintes elementos:
Lajes - são elementos superficiais, horizontais, de formas variadas (quadradas, retangulares, etc) as quais, recebendo as cargas verticais permanentes (peso da própria laje, de revestimentos, equipamentos fixos, etc) e variáveis (pessoas, móveis, etc), a transmitem para as:
Vigas - elementos lineares, horizontais colocados me geral nos contornos das lajes que recebem as cargas destas e das alvenarias transmitindo-as para os:
Pilares - elementos lineares verticais que recebem as cargas das vigas dos vários andares e as conduzem para as: 
Fundações - elementos responsáveis pela transmissão das cargas do edifício para o solo. 
As eventuais cargas horizontais (vento;terremoto,etc) que o edifício deve resistir são consideradas no cálculo dos pilares e das fundações
 
					 				
3.1 ESTRUTURAÇÃO
No jargão dos calculistas, estruturar é determinar a posição dos pilares, vigas e conseqüentemente das lajes. Esta fase é chamada de ante-projeto e talvez seja a fase mais importante do projeto. Uma má posição dos pilares e vigas pode acarretar um projeto anti-econômico ou mesmo inseguro. Nela, a experiência do engenheiro projetista tem peso considerável. 
Partindo das plantas de arquitetura, o engenheiro lança a estrutura dos vários pavimentos, iniciando pelo andar-tipo sempre verificando se a posição dos pilares lançados não irá causar problemas de circulação na garagem ou no pavimento térreo. 
A maneira mais comum é a utilização de papel de rascunho (manteiga), que permite alteração das posições com facilidade. Casos há em que, a impossibilidade de se levar algum pilar até as fundações, exige a execução de “vigas de transição”, sempre muito sérias e não recomendadas. 
A seguir, apresenta-se uma planta de fôrmas do andar-tipo de um edifício, onde as lajes (L), vigas (V) e pilares(P) são numeradas respeitando-se as seguintes disposições:
Pilares - sempre com a letra “P” maiúscula e numerados inicialmente da esquerda para a direita e a seguir de cima para baixo.
Vigas - sempre com a letra “V”, maiúscula e numeradas da mesma forma
Lajes - sempre com a letra “L”, maiúscula e numeradas como as anteriores
Alguns calculistas numeram os elementos por seu nível considerando-se, por exemplo, nível negativo para os subsolos, e múltiplos de dez para os andares. 
Assim P801 indicará o pilar P01 do 8o andar, V03 indicará a viga V03 do térreo, L310 a laje L10 de 3o andar, etc.
A escada pode ser desenhada em outra folha, porem nas fôrmas dos andares traça-se uma linha diagonal do retângulo (ou as duas diagonais) correspondente à sua localização, e indica-se que há uma “caixa de escada” nessa região. 
Igualmente as lajes rebaixadas são indicadas com uma “diagonal”. Os espaços vazios, bem como o poço dos elevadores são indicados por meio de um “X”. Aonde se fizer necessário, as fôrmas devem apresentar cortes internos e rebatidos de modo a mostrar com clareza e facilidade a posição das vigas me relação às lajes. Um critério prático é “cortar e rebater para cima” para os cortes horizontais e para os verticais “cortar e rebater para a esquerda”.
Exemplo
Considere-se(esquematicamente) um edifício residencial . São fornecidas as plantas de arquitetura do ático (casa de máquinas e caixa d´água), cobertura, teto-tipo e térreo. 
					
Arquitetura - Piso da Casa de Máquinas ; caixa d’água
Arquitetura - Cobertura 
Arquitetura - Andar tipo
Arquitetura – Térreo
Para auxiliar nessa fase, é útil certas orientações práticas a serem 
seguidas, sempre que for possível:
a) embutir pilares nas alvenarias
b) esconder pilares (por ex. atrás de portas, dentro de armários, etc)
c) colocar pilares nos cantos de lajes
d) considerar a locação dos pilares do tipo em conjunto com a locação da garagem e/ou da loja do térreo, de modo a “fugir” de vigas de transição.
e) embutir vigas me alvenaria
f) em geral, colocar vigas sob a laje e sob paredes
g) procurar não ter grandes vãos (máximo de 4 a 5 metros)
h) procurar apoiar as vigas em pilares.
i) evitar apoios sucessivos de vigas em vigas.
j) permitir passagem de tubulações
4. CÁLCULO DAS LAJES MACIÇAS
Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente normais ao seu plano médio. Elas transmitem as cargas do piso às vigas, que, por sua vez, as transmitem
aos pilares. Dos pilares, as cargas são encaminhadas às fundações, e daí ao solo. As cargas horizontais são também transmitidas ao solo pelos mesmos elementos acima e mais alguns, se necessário. Só consideraremos, neste curso, as cargas verticais.
As lajes maciças em edifícios podem ter formas irregulares; entretanto, nos casos mais comuns, elas são retangulares. Por essa razão limitaremos nosso estudo às lajes dessa forma. Se o lado menor da laje for l e o maior L, pode-se classificá-las conforme a relação entre esses seus lados em armadas em uma direção quando L ( 2 l e armadas nas duas direções (ou em cruz), quando L< 2l . 
Seja qual for o tipo de laje, o cálculo (dimensionamento) consiste na determinação da altura d (espessura) da laje e da seção de aço (armadura, As) necessária para resistir os esforços de tração. Para isso devemos carregar a laje, isto é determinar as cargas que sobre ela agem e a seguir calcular os esforços solicitantes (momento fletor, e força cortante), com os quais se determinam as armaduras As para combater a flexão e as armaduras eventuais para o cisalhamento(estribos). Esse cálculo pode ser realizado por diversos métodos os quais se apóiam na teoria das placas e levam o nome de seus autores. Tais métodos foram a muitos anos colocados em forma de tabelas permitindo a obtenção com rapidez dos esforços. Por exemplo as tabelas de Marcus; Czerny; Loser, Bares, Kalmanok, Szilard e outros. Iremos trabalhar com o método de Czerny e suas respectivas tabelas apresentadas mais adiante.
4.1 Determinação das cargas
Ações a considerar. 
As cargas verticais que atuam sobre as lajes de edifícios residenciais ou comercias são consideradas distribuídas uniformemente; algumas o são de fato, outras através de hipóteses simplificadoras. 
As principais cargas a considerar são:
	. peso próprio (ditas permanente)
	. peso de enchimento em lajes rebaixadas (em desuso)
	. revestimentos (de piso e de forro)
	. peso de paredes sobre as lajes
	. carga acidental (ou sobrecarga)
4.1.1 cargas permanentes (g)
Peso próprio (pp) – sabendo que o peso especifico do concreto armado é admitido igual a 25 kN/m3, resulta que 1,0 m2 de laje pesará:
			25 kN/m3x1,0mx1,0m x h kN , 
com h (altura ou espessura da laje) em metros.
Como a espessura h da laje não é conhecida “a priori”, ela deve ser estimada. Sugere-se a expressão empírica desenvolvida por “Machado”, para a altura útil (d) da laje:
			 d = (2,5 – 0,1 Ne ) . L# onde:
	
d = altura útil da laje, isto é altura total menos o cobrimento da armadura (cm)
Ne = número de bordas engastadas da laje
					 comprimento do vão menor ( lx)
L# = é o menor dos dois valores: 
					 70% do vão maior (0,7 L) 
Estimada a altura útil d, a altura (espessura) da laje h será h = d +c cm onde c é o cobrimento que pode ser de 1 ou 1,5 cm (ou mais) para lajes no interior do edifício.
Enchimento - o cálculo da carga devido ao enchimento é análogo. Basta saber a profundidade do rebaixo e o peso especifico do material de enchimento. Exemplo se hreb = 25 cm e γ = 12 kN/m3 - teremos: 0,25x12 = 3,0 kN/m2 
Revestimento – há dois revestimentos a considerar na laje: o inferior (do forro) e o superior (do piso). Na falta de dados mais precisos pode-se adotar, para os pesos específicos aparentes de revestimentos (γ):
	30 kgf/m2 (0,3 kN/m2) para revestimento de forro
	60 kgf/m2 (0,6 kN/m2) para piso acabado com tacos de madeira
	80 kgf/m2 (0,8 kN/m2) para piso acabado em cerâmica 
Paredes sobre lajes – na falta de dados mais preciso adotam-se os seguintes pesos por m2 de parede acabada (revestida e pintada) isto é: 1,0m de altura x 1,0m de comprimento	
alvenaria de ½ tijolo maciço de 15cm: 240 Kgf/m2 (2,4 kN/m2)
	alvenaria de 1 tijolo maciço de 25cm: 400 Kgf/m2 (4,0 kN/m2)
	alvenaria de ½ tijolo furado de 15cm: 150 Kgf/m2 (1,5 kN/m2)
	alvenaria de 1 tijolo furado de 25cm: 250 Kgf/m2 (2,5 kN/m2)
	alvenaria de blocos de concreto de 10cm: 170 kgf/m2 (1,7 kN/m2)
	alvenaria de blocos de concreto de 15cm: 234 kgf/m2 (2,34 kN/m2)
	alvenaria de blocos de concreto de 20cm: 300 kgf/m2 (3,0 kN/m2)
O peso total da parede será dado pelo produto da carga por metro linear pelo comprimento da parede. Nas lajes em cruz divide-se esse peso total da parede pela área da laje, obtendo-se uma carga por m2, suposta uniformemente distribuída. Isso representa uma simplificação meio grosseira porem justificável pelas pequenas dimensões dos vãos das lajes dos edifícios.
Nas lajes armadas em uma só direção, essa simplificação foge muito da realidade; é preferível substituí-la por outras regras praticas: se a parede é paralela ao lado lx, supõe-se que a faixa resistente tenha largura 2/3 lx; se a parede é paralela ao lado ly, considera –se a carga distribuída linearmente.
(cd
(cd(encurtamento)
0,85 fcd
fck
0,00.2
0,0035
(c
(cd
parábola do 
20 grau
(cd = o,85 fck / γC
(Sd
(sd
1%
(rup
fyk
fyd
(S
(S
(Sd
(s
Es
(p
(p
fptk
fptd
fpyk
fpyd
(pyk
(uk
(pyd
e
b
h
capa de concreto
 lajota cerâmica
nervura
inter-eixos
F
A0
F
Tração
( =F/A0 tensão normal de tração
( = F/A0
F
A0
F
F
F
Compressão
( = F/A0
( =F/A0 tensão normal de compressão
Corte
F
F
F
F
( = F/A
( =F/A0 tensão normal de cisalhamento
A
A0
(
N
T
F
A
A0
F
A
F
Cisalhamento
( = T/A tensão de cisalhamento
σ = N /A tensão normal
A = A0 / cos ( 
N = F / cos (
T = F sen(	
( = N/A = F / A0
(=T/A = F sen( cos( / A0
y
( = M / W ,	W = I / y
( = V.Ms / b. I
traço do plano do momento
N
N
MT
cobertura
andar
 tipo
térreo
1o andar
subsolo
garagem
ático
viga de transição
cortina
casa das máquinas
caixa dágua e zelador
P1
V1
L1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
V2
V3
V4
V5
V6
ly ( 2 lx 
ly
2/3 lx
ly
lx
lx
_1452767530.unknown
_1452767540.unknown
_1452767675.unknown
_1452766803.unknown
UNIP 2016 pag 28 a 37 CONCRETO ARMADO I EXEMPLOS DE LAJES PAARTE III pag (28 a 37).doc
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��Prof. Edward Cristiani Estruturas de concreto armado
5. DIMENSIONAMENTO DAS LAJES
Uma vez calculados os esforços solicitantes pelas tabelas de Czerny, e a espessura das lajes, resta-nos determinar a armação, isto é, a seção de ferros necessária. Para isso, laje por laje, com os momentos fletores característicos, Mk, determinam-se por meio de tabelas ( ver adiante), os coeficientes adimensionais kC e kS. O primeiro deles, dado por:
 
				kC = b d2 / Md com:
b = 100 cm ( largura de uma faixa da laje)
		d = altura útil da laje = h – 1,0 cm ou mais, dependendo do caso 
		Mk = momento fletor, de serviço (ou característico) em kN .cm (!)
Nessa tabela, os valores de entrada dos momentos são os de cálculo. Note-se que as unidades do momento devem ser em kN.cm. 
Uma vez determinado k6, escolhe-se o aço a ser empregado e determina-se, pela tabela, o valor de kS. A seguir calcula-se a seção de aço necessária por:
				AS = kS M d / d
Notar que, para uma mesma laje, o valor de kS é calculado uma única vez, isto é; calcula-se o valor de kC pelo maior momento (positivo ou negativo),e determina-se o valor de kS . Esse mesmo valor será utilizado para o cálculo da seção de armadura necessária para todos os outros momentos da laje.
Para facilitar a procura e disposição das barras de aço, entra-se na tabela que a seguir se apresenta, a qual fornece a seção de aço em cm2 por metro de largura da laje (cm2 / m ).
TABELA DOS “Ks” (TABELA A)
 TABELA B	 ÁREAS DE AÇO AS (cm2) 
		 BITOLA (()
		 NÚMERO DE BARRAS
		Pol “ 
		(mm)
		 1
		 2
		 3
		 4
		 5
		 6
		 7
		 8
		 9
		 10
		 3/16
		( 5
		 0,18
		 0,36
		 0,53
		 0,72
		 0,90
		 1,08
		 1,26
		 1,44
		 1,62
		 1,80
		 1/4
		( 6,3
		 0,31 
		 0,63
		 0,94
		 1,26
		 1,57
		 1,89
		 2,20
		 2,52
		 2,83
		 3,15
		 5/16
		( 8
		 0,50
		 1,00
		 1,47
		 2,00
		 2,50
		 3,00
		 3,50
		 4,00
		 4,50
		 5,00
		 3/8
		( 10
		 0,80
		 1,60
		 2,40
		 3,20
		 4,00
		 4,80
		 5,60
		 6,40
		 7,20
		 8,00
		 1/2
		( 12,5
		 1,25
		 2,50
		 3,75
		 5,00
		 6,25
		 7,50
		 8,75
		10,00
		11,25 
		12,50 
		 5/8
		( 16
		 2,00
		 4,00
		 6,00
		 8,00
		10,00
		12,00
		14,00
		16.00
		18,00
		20,00
		 3/4
		( 20
		 3,15
		 6,30
		 9,45
		12,60
		15,75
		18,90
		22,05
		25,20
		28,35
		31,50
		 7/8
		( 22
		 3,88
		 7,76
		11,64 
		15,52
		19,40
		23,28
		27,16
		31,04
		34,92
		38,80
		 1
		( 25
		 5,00
		10,00
		15,00
		20,00
		25,00
		30,00
		35,00
		40,00
		45,00
		50,00
		 1 1/4
		( 32
		 8,00
		16,00
		24,00
		32,00
		40,00
		48,00
		56,00
		64,00
		72,00
		80,00
		 1 1/2
		( 40
		12,50
		25,00
		37,50
		50,00
		62.50
		75,00
		87,50
		100,0
		112,5
		125,0
 TABELA C ÁREA DE AÇO POR METRO DE LARGURA (LAJES) ( cm2/m )
		Espaçamento
		 B i t o l a (mm)
		 (cm)
		5
		6,3
		8
		10
		12,5
		7,0
		2,86
		4,50
		7,14
		11,43
		17,86
		7,5
		2,67
		4,20
		6,67
		10,67
		16,67
		8,0
		2,50
		3,94
		6,25
		10,00
		15,63
		8,5
		2,35
		3,71
		5,88
		9,41
		14,71
		9,0
		2,22
		3,50
		5,56
		8,89
		13,89
		9,5
		2,11
		3,32
		5,26
		8,42
		13,16
		10,0
		2,00
		3,15
		5,00
		8,00
		12,50
		11.0
		1,82
		2,86
		4,55
		7,27
		11,36
		12,0
		1,67
		2,62
		4,17
		6,67
		10,42
		12,5
		1,60
		2,52
		4,00
		6,40
		10,00
		13,0
		1,54
		2,42
		3,85
		6,15
		9,62
		14,0
		1,43
		2,25
		3,57
		5,71
		8,93
		15,0
		1,33
		2,10
		3,33
		5,33
		8,33
		16,0
		1,25
		1,97
		3,13
		5,00
		7,81
		17,0
		1,18
		1,85
		2,94
		4,71
		7,35
		17,5
		1,14
		1,80
		2,86
		4,57
		7,14
		18,0
		1,11
		1,75
		2,78
		4,44
		6,94
		19,0
		1,05
		1,66
		2,63
		4,21
		6,58
		20,0
		1,00
		1,58
		2,50
		4,00
		6,25
6. EXEMPLOS
6.1. CÁLCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
6.1.1 Laje simplesmente apoiada, armada em uma direção 
Alvenarias de 25cm (viga de 20) e 15cm (viga de 12)
Esquema estático
Cálculo dos vãos da laje :
As medidas são tomadas de eixo a eixo de paredes.
	na direção x: 4,80 + 0,125+0,075 = 5,00m
	na direção y: 14,80 + 0,125+0,075 = 15,00m
Carregamento. 
Para o cálculo do peso próprio precisamos da altura “h” da laje; esta é estimada por (ver teoria):
altura (útil) d = (2,5 – 0,1n)l* = (2,5 – 0)x5 =12,5 cm d = 12,5 cm logo, 
adotando cobrimento de 1,5cm, tem-se:
		 h = d +1,5 = 12,5 + 1,5 = 14,0 cm		
peso próprio pp = γ.h = 25x0,14 = 3,50 kN/m2
revestimento...por exemplo 30+60 = 90 kgf/m2 = 0,9 kN/m2 
sobrecarga p.ex.....................................................1,5 kN/m2 
					 total ..................5,90 kN/m2 
Cálculo do momento fletor máximo (de serviço)
Adotar concreto C30 e aço CA50
Mk = q.l2/8 = 5,9x52/8 =18,44 kN.m = 1844 kN. cm
Md = 1,4.Mk = 2581,6 ( 2582 kN.cm
Cálculo de kC e kS ------> kC = b.d2/Md = 100.12,52/2582 = 6,052 Tabela A
kS = 0,024 
Seção de aço: As = ks Md/d = 0,o24 x 2582/12,5 = 4,95 cm2/m --> tabela C ( 10 cada 16cm (indica-se: (10c/16)
Nota: segundo a Norma, em lajes armada em uma direção o espaçamento não pode superar 2xd . No caso, ok
Detalhe da ferragem
		
 
6.1.2.Laje apoiada /engastada, armada em uma direção. (mesma laje anterior)
Esquema estático 
Cálculo dos vãos da laje :
 As medidas são tomadas de eixo a eixo de paredes.
	na direção x: 4,80 + 0,125+0,075 = 5,00m	
	na direção y: 14,80 + 0,125+0,075 = 15,00m
	
Carregamento. 
Para o calculo do peso próprio precisamos da altura “h” da laje; esta é estimada por (ver apostila de teoria):
altura (útil) d = (2,5 – 0,1n)l* = (2,5 – 0,1x1)x5 =12,0 cm d = 12,0 cm l adotando cobrimento de 1,5cm, tem-se:
		 h = d +1,5 = 12,0 + 1,5 = 13,5 cm		
peso próprio pp = γ.h = 25x0,135 = 3,38 kN/m2
revestimento...por exemplo 30+60 = 90 kgf/m2 = 0,9 kN/m2 
sobrecarga p.ex.....................................................1,5 kN/m2 
					 total ..................5,78 kN/m2 
Cálculo do momento fletor
Diagrama de momentos fletores
 
Mk = q.l2/14,22 = 5,78x5002/100x14,22 (1016 kN.cm = 10160 Md = 1423 kNcm
Xk = q.l2/8 = 5,78x5002/100x8 =1806 kN.cm ; Xd (2529 kN.cm
Cálculo da seção de aço
		kC = b.d2/Mmáx,d = 100 x12,02/2529 = 5,69 ---( TABELA “B” 
concreto: fck = 30 MPa, aço CA50, --( kS =0,024
 área da seção de aço por metro de laje 
ASX= 0,024 x2529/12,0 = 5,06 cm2 /m ----( TABELA “C” (------ ( 10,0 c/16 
ASM= 0,024 x1423/12,0 = 2,85 cm2 /m -----TABELA “C” (------ ( 8 c/17,5
		 
Detalhe da armação
			
			
		
6.1.3.Laje apoiada nas quatro bordas, armada em duas direções. 
(ou em cruz)