[RESOLUÇÃO] - Primeira Prova

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Resolução da Primeira Prova
Questão 1)
(i) Determine a reta r que passa pelo ponto A=(5,1,0) e é perpendicular ao plano pi: 2x-
y+z=1.
(ii) Encontre o ponto B que é a interseção entre a reta r e o plano pi.
(iii) Determine a distância do ponto A ao plano pi.
Resolução:
(i) Para encontrarmos a equação da reta r é preciso encontrarmos o vetor diretor dela. Como essa reta é 
perpendicular ao plano, seu vetor diretor v será o vetor normal de pi. Logo
v = 2,K1, 1
v =
2
K1
1
Com o vetor diretor v e o ponto A chegamos a equação da reta r:
x = 5C2$t;
 y = 1K t;
 z = t;
(ii) Para encontrarmos a interseção da reta r com o plano pi, basta substituirmos x, y, e z da equação da 
reta r na equação do plano. Então
2$xKyCz = 1
2$ 5C2$t K 1K t Ct = 1
9C6 t = 1
Assim, t vale
K
4
3
E as coordenadas do ponto B serão
B d 5C2$ K43 , 1K K
4
3 ,K
4
3
7
3
7
3
K
4
3
(iii) Em vez de aplicarmos a fórmula de distância a plano, observemos que a norma do vetor AB é a 
distância entre A e pi. Portanto
Norm 5, 1, 0 KB , 2 ;
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(7)
(8)
4
3 6
será a distância entre A e pi.
Questão 2) Os pontos P=(1, 0, 1), Q=(2, 4, 6), R=(3,-1, 2) e S=(6, 2, 8) estão no mesmo plano? Caso 
estejam, encontre a equação do plano que os contém.
Resolução:
Se os pontos P, Q, R e S estiverem no mesmo plano os vetores PQ, PR e PS serão coplanares. Mas para 
isto devemos verificar que produto misto entre os três vetores anteriores é nulo.
Obtendo os vetores
PS d 6, 2, 8 K 1, 0, 1 ;
 PR d 3,K1, 2 K 1, 0, 1 ;
 PQd 2, 4, 6 K 1, 0, 1 ;
5
2
7
2
K1
1
1
4
5
respectivamente.
O produto misto [PS,PR,PQ] é o produto misto da matriz:
A d Matrix Transpose PS , Transpose PR , Transpose PQ ;
5 2 7
2 K1 1
1 4 5
Cujo determinante é 
Determinant A
0
Portanto eles são coplanares consequentemente pertencem ao mesmo plano.
Um Ponto V(x,y,z) está nesse plano se o vetor PV for coplanar com PS e PR. Utilizando o produto misto
e igualando a zero, podemos obter a equação do plano.
PV d x, y, z K 1, 0, 1
xK1
y
zK1
são as coordenadas do vetor PV. 
O produto misto [PV, PS, PR] será o determinante da matriz
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(11)
B d Matrix Transpose PV , Transpose PS , Transpose PR ;
xK1 y zK1
5 2 7
2 K1 1
Igualando o determinante da matriz acima a zero, obtemos:
Determinant B = 0
9 xK9 zC9 y = 0
Que é a equação do plano que contém os pontos P, Q, R e S.
Questâo 3) Determine as equações das retas que passam pelo ponto A=(1,2,1) e formam um ângulo de 
60º com o eixo z.
Resolução:
Para medirmos ângulos entre as retas é preciso termos em mãos os vetores diretores delas. Para a reta 
que representa o eixo z podemos tomar o vetor v1=(0,0,1), ou qualquer múltiplo escalar dele. Já para 
escolhermos um diretor v2 que passa pelo ponto A e corta o eixo z devemos pegar um ponto P, que 
pertence ao eixo z, e tomar como diretor PA. Como o ponto P está em cima do eixo z ele terá 
coordenadas P=(0,0,t).
Vetor diretor do eixo z:
v1 d 0, 0, 1
0
0
1
Vetor diretor v2 da reta que passa por A e P:
v2 d 1, 2, 1 K 0, 0, t
1
2
1Kt
Sabemos que esses dois vetores devem formar um ângulo de 60º, logo
cos 60 = v1$v2
v1 $ v2
Reescrevendo em termos das coordenadas:
1
2 =
0, 0, 1 $ 1, 2, 1Kt
1$ 1C4C1K2$tC t2
1
2 =
1Kt
t2K2$tC6
Elevando ao quadrado e desenvolvendo, encontramos:
expand t2K2$tC6 = 4$ 1Kt 2
t2K2 tC6 = 4K8 tC4 t2
(15)
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Resolvendo a equação
sol d solve t2K2$tC6 = 4$ 1Kt 2, t
1K 13 15 , 1C
1
3 15
Assim teremos dois vetores diretores possíveis para a reta que passa por A e corta o eixo z.
v21 d 1, 2, 1 K 0, 0, 1K 13 15 ;
 v22 d 1, 2, 1 K 0, 0, 1C 13 15
1
2
1
3 15
1
2
K
1
3 15
Assim a equações das retas que forma um angulo de 60º com o eixo z serão
Reta r1 com vetor diretor v21:
x = 1Ct
 y = 2C 2$t
 z = 1C 13 15 $t
Reta r2 com vetor diretor v22:
x = 1Ct
 y = 2C 2$t
 z = 1K13 15 $t
Questão 4) Para calcularmos a projeção de um vetor v sobre um plano pi procedemos da seguinte forma: 
tomamos um representante AB de v em que A2pi, e uma reta perpendicular à pi passando por B. Essa 
reta cortará pi em algum ponto C. O vetor AC é a projeção de v em pi.
(i) Faça um desenho que represente a definição de projeção de um vetor em um plano.
(ii) Baseado na definição de projeção de um vetor em um plano, calcule o tamanho da 
projeção do vetor v = i-j+k sobre o plano 2x-3y+z-4=0.
Resolução:
(i)
ProjectionPlot 1,K1, 1 , 2$ x K 3$ yCz = 0, x, y, z , showcomplement = true , title
= "Projeção de um vetor sobre um plano" ;
Projeção de um vetor sobre um plano
O vetor vermelho é o vetor no qual estamos projetando no plano. O resultado da projeção é o vetor azul 
escuro. O vetor azul claro representa um múltiplo escalar do normal.
(ii) Estamos interessadas apenas no tamanho do vetor azul escuro. Logo podemos aplicar as relações 
trigonométricas no triângulo retângulo (o triângulo será o formado pelos vetores auzl claro, vermelho e o
vetor pontilhado que é paralelo ao azul escuro). Assim temos que sen(vetor azul claro, vetor vermelho)=
tamanho do vetor azul dividido pela hipotenusa que é o tamanho do vetor vermelho. Observando que o 
sen(vetor azul claro, vetor vermelho)=sen(vetor normal ao plano, vetor vermelho), temos
sen vetor vermelho, vetor normal = vetor vermelho # vetor normal
vetor vermelho $ vetor normal
Colocando coordenadas, temos:
sen 1,K1, 1 , 2,K3, 1 = 1,K1, 1 # 2,K3, 11,K1, 1 $ 2,K3, 1
Logo sen 1,K1, 1 , 2,K3, 1 será
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(18)
Norm CrossProduct 1,K1, 1 , 2,K3, 1
Norm 1,K1, 1 , 2 $Norm 2,K3, 1 , 2
1
21 3 14
Usando a trigonometria do triângulo retângulo, temos o tamanho da projeção será o produto de 
sen 1,K1, 1 , 2,K3, 1 por 1,K1, 1 , portanto o tamanho da projeção será
Norm 1,K1, 1 , 2 $ Norm CrossProduct 1,K1, 1 , 2,K3, 1
Norm 1,K1, 1 , 2 $Norm 2,K3, 1 , 2
1
7 14