11 MÉTODO DE NÖKKENTVED

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ESTRUTURAS DE CONCRETO III – Engenharia Civil – Prof. Márcio Martinho Mayer 
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O método de NÖKKENTVED despreza a contenção lateral do solo e considera as estacas 
como hastes bi-rotuladas no topo e na ponta da mesma. Além de não considerar a ação do 
solo, pois as estacas são admitidas como hastes bi-rotuladas, o método de NÖKKENTVED 
pressupõe as seguintes hipóteses: 
 O bloco de coroamento das estacas é infinitamente rígido, ou seja, suas deformações 
podem ser desprezadas diante da grandeza da deformação das estacas; 
 O material da estaca obedece à lei de Hooke; 
 A carga em cada estaca é proporcional à projeção do deslocamento do topo da estaca 
sobre o eixo da mesma, antes do deslocamento; 
 Cada estaca é representada pelas coordenadas yi, zi de sua cota de arrasamento em 
relação a um sistema global de referência qualquer constituído por eixos cartesianos, 
em que o eixo x é vertical e orientado para baixo; 
 O ângulo que o eixo da estaca forma com o eixo x é denominado  e será sempre 
considerado positivo. Se a estaca for vertical  = 0º; 
 A relação entre o deslocamento do topo da estaca e a carga na mesma é dada pelo fator 
de proporcionalidade 
 
 
 denominado rigidez da estaca. A carga numa estaca 
que sofra um encurtamento será então ; 
 Se todas as estacas tiverem a mesma seção, o mesmo comprimento e forem do mesmo 
material, todas terão rigidez si = 1; 
 A carga em cada estaca é obtida por 
 
∑ 
 
 
∑ 
 
 
∑ 
 
 O cálculo é feito projetando-se o estaqueamento nos dois planos de simetria; 
 A parcela ∑ é obtida para todas as estacas do bloco, ao contrário da parcela 
∑ só aplicada às estacas projetadas; 
 Quando o estaqueamento tem mais de um grupo de estacas paralelas, trabalha-se com 
uma estaca fictícia passando pelo baricentro do grupo de estacas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: ALONSO, U. R. Dimensionamento de fundações profundas. São Paulo: Blücher, 2003. 
 
 
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Calcular a carga nas estacas do bloco abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: ALONSO, U. R. Dimensionamento de fundações profundas. São Paulo: Blücher, 2003. 
 
Dados: 
 V = 5766 kN (Ação vertical sem o peso próprio do bloco) 
 Hy = -55 kN (Ação horizontal na mesma direção, mas com sentido contrário ao eixo y) 
 Hz = 54 kN (Ação horizontal na mesma direção e sentido do eixo z) 
 My = 516 kN.m (Ação momento na mesma direção e sentido do eixo y) 
 Mz = 2415 kN.m (Ação momento na mesma direção e sentido do eixo z) 
 As estacas 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 12 estão inclinadas a 12º e as demais são verticais. 
 Todas as estacas tem a mesma rigidez. 
 
a) Cálculo da altura dos centros elásticos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Redução das cargas ao centro elástico: 
 
 
 
 
 
 
c) Dados Iniciais: 
 
 c.1) Eixo: direção da projeção da estaca sobre um plano horizontal. 
 As projeções das estacas 1, 4, 9 e 12 possuem direção paralela ao eixo y. 
 As projeções das estacas 2, 3, 10 e 11 são pontuais. 
 As projeções das estacas 5, 6, 7 e 8 possuem direção paralela ao eixo z. 
 Estaca 1: 
 Estaca 2: estaca vertical 
 Estaca 3: estaca vertical 
 Estaca 4: 
 Estaca 5: 
 Estaca 6: 
 Estaca 7: 
 Estaca 8: 
 Estaca 9: 
 Estaca 10: estaca vertical 
 Estaca 11: estaca vertical 
 Estaca 12: 
 
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 c.2) Coordenadas y e z: 
 Cada estaca é representada pelas coordenadas yi, zi de sua cota de arrasamento em 
relação a um sistema global de referência qualquer constituído por eixos cartesianos. 
 Estaca 1: 
 Estaca 2: 
 Estaca 3: 
 Estaca 4: 
 Estaca 5: 
 Estaca 6: 
 Estaca 7: 
 Estaca 8: 
 Estaca 9: 
 Estaca 10: 
 Estaca 11: 
 Estaca 12: 
 
 c.3) Ângulo : 
 O ângulo que o eixo da estaca forma com o eixo x é denominado  e será sempre 
considerado positivo. Se a estaca for vertical  = 0º. 
 Estaca 1: 
 Estaca 2: 
 Estaca 3: 
 Estaca 4: 
 Estaca 5: 
 Estaca 6: 
 Estaca 7: 
 Estaca 8: 
 Estaca 9: 
 Estaca 10: 
 Estaca 11: 
 Estaca 12: 
 
 
 
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d) Cosseno do ângulo : 
 Estaca 1: 
 Estaca 2: 
 Estaca 3: 
 Estaca 4: 
 Estaca 5: 
 Estaca 6: 
 Estaca 7: 
 Estaca 8: 
 Estaca 9: 
 Estaca 10: 
 Estaca 11: 
 Estaca 12: 
 
e) Cosseno ao quadrado do ângulo : 
 Estaca 1: 
 
 Estaca 2: 
 
 Estaca 3: 
 
 Estaca 4: 
 
 Estaca 5: 
 
 Estaca 6: 
 
 Estaca 7: 
 
 Estaca 8: 
 
 Estaca 9: 
 
 Estaca 10: 
 
 Estaca 11: 
 
 Estaca 12: 
 
 
f) Somatório do cosseno ao quadrado do ângulo : 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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g) Parcela das reações nas estacas devido à carga vertical V (kN): 
 
 
∑ 
 
 Estaca 1: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 2: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 3: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 4: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 5: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 6: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 7: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 8: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 9: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 10: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 11: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 12: 
 
∑ 
 
 
 
 
 
h) Seno do ângulo : somente para as estacas com direção de projeção paralela ao eixo y. 
 Estaca 1: 
 Estaca 2: desconsidera-seEstaca 3: desconsidera-se 
 Estaca 4: 
 Estaca 5: desconsidera-se 
 Estaca 6: desconsidera-se 
 Estaca 7: desconsidera-se 
 Estaca 8: desconsidera-se 
 Estaca 9: 
 Estaca 10: desconsidera-se 
 Estaca 11: desconsidera-se 
 Estaca 12: 
 
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i) Seno ao quadrado do ângulo : 
 Estaca 1: 
 
 Estaca 2: desconsidera-se 
 Estaca 3: desconsidera-se 
 Estaca 4: 
 
 Estaca 5: desconsidera-se 
 Estaca 6: desconsidera-se 
 Estaca 7: desconsidera-se 
 Estaca 8: desconsidera-se 
 Estaca 9: 
 
 Estaca 10: desconsidera-se 
 Estaca 11: desconsidera-se 
 Estaca 12: 
 
 
j) Somatório do seno ao quadrado do ângulo : 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
k) Parcela das reações nas estacas devido à carga horizontal Hy (kN): 
 
 
 
∑ 
 
 Estaca 1: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 2: desconsidera-se 
 Estaca 3: desconsidera-se 
 Estaca 4: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 5: desconsidera-se 
 Estaca 6: desconsidera-se 
 Estaca 7: desconsidera-se 
 Estaca 8: desconsidera-se 
 Estaca 9: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 10: desconsidera-se 
 Estaca 11: desconsidera-se 
 Estaca 12: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
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l) Seno do ângulo : somente para as estacas com direção de projeção paralela ao eixo z. 
 Estaca 1: desconsidera-se 
 Estaca 2: desconsidera-se 
 Estaca 3: desconsidera-se 
 Estaca 4: desconsidera-se 
 Estaca 5: 
 Estaca 6: 
 Estaca 7: 
 Estaca 8: 
 Estaca 9: desconsidera-se 
 Estaca 10: desconsidera-se 
 Estaca 11: desconsidera-se 
 Estaca 12: desconsidera-se 
 
m) Seno ao quadrado do ângulo : 
 Estaca 1: desconsidera-se 
 Estaca 2: desconsidera-se 
 Estaca 3: desconsidera-se 
 Estaca 4: desconsidera-se 
 Estaca 5: 
 
 Estaca 6: 
 
 Estaca 7: 
 
 Estaca 8: 
 
 Estaca 9: desconsidera-se 
 Estaca 10: desconsidera-se 
 Estaca 11: desconsidera-se 
 Estaca 12: desconsidera-se 
 
n) Somatório do seno ao quadrado do ângulo : 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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o) Parcela das reações nas estacas devido à carga horizontal Hz (kN): 
 
 
∑ 
 
 Estaca 1: desconsidera-se 
 Estaca 2: desconsidera-se 
 Estaca 3: desconsidera-se 
 Estaca 4: desconsidera-se 
 Estaca 5: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 6: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 7: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 8: 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 9: desconsidera-se 
 Estaca 10: desconsidera-se 
 Estaca 11: desconsidera-se 
 Estaca 12: desconsidera-se 
 
p) Coordenada das estacas: desconsiderar para as estacas com direção de projeção paralela ao 
eixo z. 
 Estaca 1: 
 Estaca 2: 
 Estaca 3: 
 Estaca 4: 
 Estaca 5: desconsidera-se 
 Estaca 6: desconsidera-se 
 Estaca 7: desconsidera-se 
 Estaca 8: desconsidera-se 
 Estaca 9: 
 Estaca 10: 
 Estaca 11: 
 Estaca 12: 
 
 
 
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q) Quadrado da coordenada das estacas: desconsiderar para as estacas com direção de projeção 
paralela ao eixo z. 
 Estaca 1: 
 ( ) 
 Estaca 2: 
 ( ) 
 Estaca 3: 
 
 Estaca 4: 
 
 Estaca 5: desconsidera-se 
 Estaca 6: desconsidera-se 
 Estaca 7: desconsidera-se 
 Estaca 8: desconsidera-se 
 Estaca 9: 
 ( ) 
 Estaca 10: 
 ( ) 
 Estaca 11: 
 
 Estaca 12: 
 
 
r) Somatório dos quadrados das coordenadas das estacas: 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s) Parcela das reações nas estacas devido à carga momento My (kN): 
 
 
 
∑ 
 
 Estaca 1: 
 
 
∑ 
 
( )
 
 
 Estaca 2: 
 
 
∑ 
 
( )
 
 
 Estaca 3: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 4: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 5: desconsidera-se 
 Estaca 6: desconsidera-se 
 Estaca 7: desconsidera-se 
 Estaca 8: desconsidera-se 
 Estaca 9: 
 
 
∑ 
 
( )
 
 
 Estaca 10: 
 
 
∑ 
 
( )
 
 
 Estaca 11: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 Estaca 12: 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
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t) Coordenada das estacas: desconsiderar para as estacas com direção de projeção paralela ao 
eixo y. 
 Estaca 1: desconsidera-se 
 Estaca 2: 
 Estaca 3: 
 Estaca 4: desconsidera-se 
 Estaca 5: 
 Estaca 6: 
 Estaca 7: 
 Estaca 8: 
 Estaca 9: desconsidera-se 
 Estaca 10: 
 Estaca 11: 
 Estaca 12: desconsidera-se 
 
u) Quadrado da coordenada das estacas: desconsiderar para as estacas com direção de 
projeção paralela ao eixo y. 
 Estaca 1: desconsidera-se 
 Estaca 2: 
 
 Estaca 3: 
 
 Estaca 4: desconsidera-se 
 Estaca 5: 
 
 Estaca 6: 
 
 Estaca 7: 
 ( ) 
 Estaca 8: 
 ( ) 
 Estaca 9: desconsidera-se 
 Estaca 10: 
 ( ) 
 Estaca 11: 
 ( ) 
 Estaca 12: desconsidera-se 
 
v) Somatório dos quadrados das coordenadas das estacas: 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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w) Parcela das reações nas estacas devido à carga momento Mz (kN): 
 
 
∑ 
 
 Estaca 1: desconsidera-se 
 Estaca 2: 
 
∑ 
 ( 
 
 
) 
 Estaca 3: 
 
∑ 
 ( 
 
 
) 
 Estaca 4: desconsidera-se 
 Estaca 5: 
 
∑ 
 ( 
 
 
) 
 Estaca 6: 
 
∑ 
 ( 
 
 
) 
 Estaca 7: 
 
∑ 
 (( )
 
) 
 Estaca 8: 
 
∑ 
 ( 
( )
 
) 
 Estaca 9: desconsidera-se 
 Estaca 10: 
 
∑ 
 ( 
( )
 
) 
 Estaca 11: 
 
∑ 
 ( 
( )
 
) 
 Estaca 12: desconsidera-se 
 
x) Total das reações nas estacas (kN): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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