Sistemas de Numeração

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Introdução à (Engenharia de) Computação IC(IEC)
REPRESENTAÇÃO DE DADOS:
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E ARITMÉTICA BINÁRIA
Referências:
(OECTB4ed/5ed): Organização Estruturada de Computadores, A.S. 
Tanenbaum (4ª e 5ª. Ed): cap 3, apêndices A e B 
Introdução à Organização de Computadores, M. Monteiro: cap 3, 4 e 
apêndice A. 
Arquitetura e Organização Computadores, W. Stallings (5ª. Ed.): cap 
8, apêndices A e 8A. 
Parte I:
Sistemas de numeração e aritmética binária 
inteira 
Referências:
Mário Monteiro (IOC) : cap 3, 4 e apêndice A. 
William Stallings (AOC) : cap 8, apêndices A e 8A. 
A.S. Tanenbaum (OEC) : cap 3, apêndices A e B 
Memória
É o componente de um 
computador que armazena 
dados e instruções du-
rante o processamento.
Ela é composta de células 
(posições) que são locali-
zadas através de um 
número (endereço) único. 
cé lu la = 8 b its
en
de
re
ço
s
0
2 -11 6
2
1
instru çã o ou da d o
Sistemas de numeração
• Um SISTEMA NUMÉRICO é o conjunto de 
símbolos, palavras e regras que permitem escrever 
e representar todos os números.
• NUMERAL é um símbolo designado para 
representar um número. 
• NÚMERO é um conceito abstrato que representa 
uma certa quantidade, ou seja, é a idéia que um 
grupo de símbolos representa.
Bases numéricas:
• É a quantidade de símbolos (numerais) usados 
para representar os números em um sistema 
numérico.
• Exemplos:
Base 2 (binária) : 2 símbolos (0 e 1)
Base 8 (octal) : 8 símbolos (0 a 7)
Base 10 (decimal) : 10 símbolos (0 a 9)
Base 16 (hexadecimal) : 16 símbolos (0 a 9, A a F)
Notação Posicional
Os algarismos componentes de um número 
assumem valores diferentes, dependendo de 
sua posição relativa no número (N) :
Nb = (dn-1 dn-2 dn-3 ....d1 d0)b
n indica o número de dígitos 
d indica cada algarismo do número
n-1, n-2, 1, 0 são índices que indicam a posição de cada algarismo
b indica a base do sistema de numeração
Posições
As posições são numeradas da direita para a 
esquerda iniciando-se em zero. Exemplo:
 3 2 1 0  posições
N10 = 1 9 6 810  ( número na base 10) 
Valor da posição
• Corresponde ao valor associado ao símbolo (alga-rismo 
ou dígito) da posição considerada. O valor do i-ésimo 
digito, d, é calculado por: d X basei , ou seja, este valor 
é calculado multiplicando-se o valor do símbolo pelo 
valor da base elevada à posição.
• Exemplo:
Para N = 1 9 6 810, o algarismo 9 está na posição 2, deste 
modo, o valor desta posição é : 
 9 X 102 = 9 X 100 = 900 
 
Valor numérico 
Corresponde ao somatório (soma) dos valores 
de todas as posições que compõem um 
determinado número: 
N = dn-1x bn-1+ dn-2xbn-2 + ... + d0xb0
Exemplo: N = 1 9 6 810 
196810 = 1X103 + 9X102 + 6X101 + 8X100
 = 1X1000 + 9X100 + 6X10 + 8x1
 = 1000 + 900 + 60 + 8 
Conversão para a base decimal
A conversão de qualquer base para a base 
decimal é feita calculando-se o valor numérico 
na base decimal. Exemplos:
a) Binário  Decimal
3 2 1 0  (posições)
1 0 1 02 = 1 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 0 X 20
 = 1 X 8 + 0 X 4 + 1 X 2 + 0 X 1 
 = 8 + 0 + 2 + 0 = 1010
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●binário → decimal)
● Fazendo a volta (binário → decimal):
● 1110
(2)
0x20 = 0x1 = 0
1x21 = 1x2 = 2
1x22 = 1x4 = 4
1x23 = 1x8 = 8
● Total = 0+2+4+8 = 14
Conversão octal  decimal
b) Octal  Decimal
2 1 0  (posições)
3 0 28 = 3 X 82 + 0 X 81 + 2 X 80
 = 3 X 64 + 0 X 8 + 2 X 1 
 = 192 + 0 + 2 = 19410
Conversão hexadecimal  decimal
c) Hexadecimal  Decimal
1 0  (posições)
3 516 = 3 X 161 + 5 X 160
 = 3 X 16 + 5 X 1 
 = 48 + 5 = 5310
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Conversão de decimal para binário
● Para a conversão da base decimal para 
base binária
● Primeiro, observe como é formado o valor 
na base decimal:
2612
2x1
1x10
6x100
2x1000
● Ou, de outra maneira: 
Base decimal  Outra base
A conversão da base decimal para qualquer outra 
base utiliza o método das divisões sucessivas. 
Para converter um número da base decimal para 
uma base b basta dividí-lo sucessivamente por 
b até chegar ao quociente zero.
O número representado na base b será formado 
pelos restos das divisões sucessivas, lidos de 
cima para baixo. 
Decimal  Binário (exemplo)
19 | 2
 1 9 | 2
 1 4 | 2
 0 2 | 2
 0 1 | 2
 1 0
Os restos são 1, 0, 0, 1 e 1, portanto:
1910 = 100112 
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Decimal  Binário
● Conversão para base binária
● Segue-se o mesmo princípio: dividir 
sucessivamente o número por 2 e utilizar o 
resto da divisão
● Ex: 
● Ou seja, 14
(10)
 = 1110
(2)
Decimal  Octal (exemplo)
157 | 8
 5 19 | 8
 3 2 | 8
 2 0
 
Os restos são 2, 3 e 5, portanto:
15710 = 2358 
Decimal  Hexadecimal (exemplo)
157 | 16
 13 9 | 16
 9 0 
 
Os restos são 13 (D em hexadecimal ) e 9, portanto:
15710 = 9D16 
Conversão entre Bases Potência de 2
Entre bases 2 e 8: agrupamento de 3 em 3 bits
Obs: 8 = 23
Entre bases 2 e 16: agrupamento de 4 em 4 bits
Obs: 16 = 24
Entre bases 8 e 16: é usada a base 2 como 
intermediária
Obs: o a agrupamento de bits é sempre da direita 
para a esquerda.
Potências de 2
20 = 1 29 = 512 218 = 262144 (256Ki)
21 = 2 210 = 1024 (1Ki) 219 = 524288 (512Ki) 
22 = 4 211 = 2048 (2ki) 220 = 1024K = 1Mi
23 = 8 212 = 4096 (4Ki) 230 = 1024M = 1Gi
24 = 16 213 = 8192 (8Ki) 240 = 1024G = 1Ti
25 = 32 214 = 16384 (16ki) 250 = 1024T = 1Pi
26 = 64 215 = 32768 (32Ki) 260 = 1024P = 1Ei
27 = 128 216 = 65536 (64Ki) 270 = 1024E = 1Zi
28 = 256 217 = 131072 (128Ki) 280 = 1024Z = 1Yi
Potências de 2
20 = 1 29 = 512 218 = 262144 (256K)
21 = 2 210 = 1024 (1K) 219 = 524288 (512K) 
22 = 4 211 = 2048 (2k) 220 = 1024K = 1M
23 = 8 212 = 4096 (4K) 230 = 1024M = 1G
24 = 16 213 = 8192 (8K) 240 = 1024G = 1T
25 = 32 214 = 16384 (16k) 250 = 1024T = 1P
26 = 64 215 = 32768 (32K) 260 = 1024P = 1E
27 = 128 216 = 65536 (64K) 270 = 1024E = 1Z
28 = 256 217 = 131072 (128K) 280 = 1024Z = 1Y
Quantificação de Memória
Unidade Sigla Quantidade
(bytes)
1 Kilobyte 1 KB = 1.024 1.024
1 Megabyte 1 MB = 1.0242 1.048.576
1 Gigabyte 1 GB = 1.0243 1.073.741.824
1 Terabyte 1 TB = 1.0244 1.099.511.627.776
Conversão Base 2  8 (exemplo)
10000012 = X8
 
1 000 001  base 2
1 0 1  base 8
X8 = 1018 
Conversão Base 2  16 (exemplo)
10000012 = Y16
 
100 0001  base 2
 4 1  base 16
Y16 = 4116 
Aritmética binária (adição)
É semelhante à adiçao (soma) em decimal, 
levando-se em conta que há apenas dois 
algarismos disponíveis: 0 e 1.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0, com “vai 1”.
Adição binária (exemplo)
 1 1111 (vai “um”)
101101
+ 101011
 ----------
 1011000
Conversão entre comprimentos de 
palavra diferentes
• Números positivos são completados com zeros à 
esquerda (extensão de sinal) :
• +18 = 00010010
• +18 = 00000000 00010010
• Números negativos são completados com unsos 
à esquerda (extensão de sinal) :
• -18 = 10010010
• -18 = 11111111 10010010
Aritmética binária (subtração)
É semelhante a subtraçãoem decimal. No caso de 
“empréstimo” deve-se utilizar o valor da base (2).
Exemplo:
 2 
 002
 101101
- 100111
 ---------- 
 000110
Aritmética binária (mult/div)
• A multiplicação de números binários é seme-
lhante à multiplicação em decimal (somas 
sucessivas).
• A divisão de números binários é semelhante à 
divisão decimal. Considerando que:
0/1 = 0 e 1/1 = 1
e que a divisão por zero acarreta erro
Multiplicação binária (exemplo)
 1011
 X 101
 ------ 
 1011
 0000
 1011
-------------
 110111 
Divisão binária (exemplo)
100’1’0 |11
 - 11 110
 -----
 0011 
 11
 --- 
 000 
Álgebra Booleana
 A Álgebra de Chaveamento (“Switching 
Álgebra”) é um ramo da Álgebra Booleana 
(George Boole 1815-1864) que é utilizada para 
descrever, projetar e analisar os sistemas digitais 
(lógicos) de um computador.
 As variáveis na Álgebra Booleana, Xi, assumem 
apenas dois valores: 0 e 1. Xi ∈ {0,1}
Operações lógicas básicas
OU (OR) X = A + B (A|B  bit a bit C/C++)
AND (E) X= A . B = AB (A&B  bit a bit C/C++)
NÃO (NOT) X = A‘ = ~A (~A  bit a bit C/C++)
Portas Lógicas
• Uma porta lógica é um elemento de hardware 
que recebe um ou mais sinais de entrada e 
produz um sinal de saída.
• Tabela Verdade: forma tabular de representar os 
possíveis valores de saída gerados a partir das 
possíveis combinações de valores de entrada.
Portas Lógicas Básicas
• AND
• OR
• NOT (inversor)
• NAND (AND seguido de NOT)
• NOR (OR seguido de NOT)
• XOR (eXclusive OR)
Circuitos Digitais
• Em um computador digital, as informações são 
representadas pelo bits 0 (p. ex. : 0V a 1V) e 1 (p. ex.: 
2V a 4V).
• Circuitos digitais: circuitos eletrônicos que armazenam 
os sinais binários e realizam certos tipos de operações 
com eles.
• Os circuitos digitais são compostos de pequenos 
elementos (portas lógicas) capazes de manipular apenas 
grandezas binárias.
Materiais e Componentes Eletrônicos
• Condutores: 
• ferro(Fe), cobre(Cu), prata(Ag), ouro(Au), etc.
• Isolantes: 
• vidros, borrachas, plásticos, etc.
• Semicondutores: 
• silício (Si), germânio(Ge), etc.
Transistores
• Substituiu as válvulas
• Menor 
• Mais barato 
• Menos dissipação de calor 
• Dispositivo de estado sólido 
• Feito de Silício (Terra e areia) 
• Inventado 1947 pelo Sino Labs 
• William Shockley et al. 
Transistor – 1 
Transistor - 2
Transistor - 3
Transistor - 4
célula de memória: Flash NAND
Portas Lógicas (OECTB5ed) 
(a) Inversor com transistor (b) Porta NAND (c) Porta NOR.
Portas (operadores) lógicas e as 
respectivas tabela(s) verdade (OECTB5ed) 
Circuitos integrados
Classificação de pastilhas 
(chips) quanto à integração 
• Integração: quantidade de portas lógicas
• SSI (Small Scale Integration) - 1 a 10 portas
• MSI (Medium Scale Integration) - até 100 portas
• LSI (Large Scale Integration) - até 100.000 portas
• VLSI (Very LSI) - acima de 100.000 portas
Números binários negativos
• Representação Sinal-Magnitude
• Representação em Complemento-1
• Representação em Complemento-2
Representação Sinal-Magnitude
• O bit MSB (mais significativo = bit da esquerda) é o 
bit de sinal
• MSB = 0 (número positivo)
• MSB = 1 (número negativo)
• Exemplos: +18 = 00010010 e -18 = 10010010
• Problemas:
- É necessário considerar o sinal e a magnitude nas 
operações aritméticas.
- Existem duas representações para o zero: 
 (+0 e -0)
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Representação Sinal-Magnitude
● Representando com 8 bits (1 byte):
● Devemos completar os bits à esquerda com … 
0
● O último bit é utilizado para sinal:
0 → número positivo
1 → número negativo
● Assim, 14
(10)
 = 1110
(2)
, com 8 bits:
00001110
● Como ficaria representado o valor -14 ?
10001110
Representação em Complemento-1
• A Representação em Complemento a 1 
(Complemento Booleano) de um número 
binário é obtida efetuando-se a negação booleana 
de todos os bits do número. É usado o operador 
lógico NÃO (NOT = ~ bit a bit C/C++). Para 
negar o valor de um número deve-se substituir 
cada bit 1 pelo bit 0 cada bit 0 pelo bit 1. 
• Exemplo: 310 = 000000112
 -310 = ~000000112 = 111111002 (NÃO bit a bit) 
 
Representação em Complemento-2
• A Representação em Complemento a 2 de 
um número binário de m bits é obtida somando-
se 1 ao complemento 1. Caso ocorra um “carry” 
no bit MSB, este bit é descartado. Deve-se 
completar previamente com zeros à esquerda até 
completar os m bits. 
• Exemplo: 310 = 000000112 (m= 8 bits)
 ~000000112 = 111111002 (complemento-1)
 + 1
 -310 = 111111012 (complemento-2)
Representação em Complemento-2
• A Representação em Complemento a 2 de 
um número binário de m bits é obtida somando-
se 1 ao complemento 1. Caso ocorra um “carry” 
no bit MSB, este bit é descartado. Deve-se 
completar previamente com zeros à esquerda até 
completar os m bits. 
• Exemplo: 310 = 000000112 (m= 8 bits)
 ~000000112 = 111111002 (complemento-1)
 + 1
 -310 = 111111012 (complemento-2)
Complemento-2 (exemplos)
• +3 = 00000011
• +2 = 00000010
• +1 = 00000001
• +0 = 00000000
• -1 = 11111111
• -2 = 11111110
• -3 = 11111101
Vantagens do Complemento-2
• Representation única do zero
• Operações aritméticas simplificadas
• É a representação mais usada. Revisando:
– +310 = 000000112
– Complemento Booleano !000000112 = 111111002
– Somar 1 +12 
 
– -310 = 111111012
Complemento-2 (exemplo : overflow)
 Caso especial 1
• 0 = 00000000
• Não bit a bit 11111111
• somar 1 +1
• Resultado 1 00000000
• Overflow (O bit carry 1 MSB is ignorado), então:
• - 0 = 0 √
Complemento-2 (exemplo : overflow) 
Caso especial 2
• -128 = 10000000
• not bit a bit 01111111
• Somar 1 +1
• Resultado 10000000
• Então:
• -(-128) = -128 ?
• Monitorar MSB (bit de sinal) para o caso do menor 
número negativo representável com m bits, no caso
 (-12810 ) = 10000000, ou seja, (+12810 ) não pode ser 
representado com 8 bits em complemento-2.
Faixa de valores - Complemento-2
• Complemento-2 de 8 bits
– +127 = 01111111 = 27 -1
– -128 = 10000000 = -27
• Complemento-2 de 16 bits
– +32767 = 011111111 11111111 = 215 - 1
– -32768 = 100000000 00000000 = -215
Caracterísiticas e valores: complemento-2 32 bits
Parte II:
Números Fracionários: ponto flutuante (PF)
Referências:
Mário Monteiro (IOC) : cap 3, 4 e apêndice A. 
William Stallings (AOC) : cap 8, apêndices A e 8A. 
A.S. Tanenbaum (OEC) : cap 3, apêndices A e B 
Conversão de Números Fracionários
É semelhante aos números inteiros, porém com 
expoentes negativos:
N = d-1Xbr-1 + d-2Xbr-2 + ... + d-mXbr-m
onde m é a quantidade de algarismos 
fracionários.
Exemplo: converter 1001,10102 para a base 10
Usando o esquema de numeração posicional:
 3 2 1 0 -1 -2 -3
 1 0 0 1 , 1 0 12 
= 24 + 20 + 2-1 + 2-3 = 9,62510
1001,10102 = 9,62510
Conversão de números fracionários da
 base 10 para a base 2
Fazer a operação inversa:
Exemplos 
1) Converter o número 0,7510 para a base 2
 
2) Converter o número 9,62510 para a base 2
3) Converter o número 0,726562510 para a base 2.
Conversão de 0,7510 para a base 2
i Valor a ser multiplicado ResultadoParte Inteira = d-i Parte Fracionária
por Br = 2
1 0,75 1,5 1 0,5
1 0,5 1,0 1 0,0
 0,7510 = 0,112
 PROVA:
 0 -1 -2 
 0 , 1 12 = 2-1 + 2-2 = 1/21 + 1/22 = 
 = 0,510 + 0,2510 = 0,7510 OK 
Conversão de 9,62510 para a base 2
 9,62510 = 910 + 0 ,62510
 910 = 10012 
 
i Valor a ser multiplicado Resultado Parte Inteira = d-i Parte Fracionária
por Br = 2
1 0,625 1,25 1 0,25
1 0,25 0,5 0 0,5
2 0,5 1,0 1 0,0
 9,62510 = 10012 + 0,1012 = 1001,1012
Conversão de 0,726562510 para a base 2
-i Valor a ser multiplicado Resultado Parte Inteira = d-i Parte Fracionária
por Br = 2
1 0,7265625 1,453125 1 0,453125
2 0,453125 0,90625 0 0,90625 
3 0,90625 1,8125 1 0,8125
4 0,8125 1,625 1 0,625
5 0,625 1,25 1 0,25
6 0,25 0,50 0 0,50
1 0,50 1,00 1 0,00
 0,726562510 = 0,10111012
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Ponto fixo
● Ponto fixo: a vírgula é subentendida 
sempre em uma mesma posição
● Representação por sinal e magnitude:
● Convenção: bit 0 para positivo
● Ex:
00001001
10011111
Sinal Magnitude
1 bit 7 bits
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Ponto fixo
● Ponto fixo causa desperdícios inaceitáveis 
em valores muito grandes ou muito 
pequenos.
● Ex: 
25370000000000,000000000000000
+ 00000000000000,000000000000074
= 25370000000000,000000000000074
Onde colocar a vírgula (ponto) binário ?
 962.500 ou 96,25 x 104
0,000.096.250 ou 96,25 x 10-6
Como representar ?
• Números muito grandes
9.349.398.989.787.762.244.859.087.678
• Números muito pequenos
0,0000000000000000000000045691
• Números racionais e irracionais
 2/3 e ∏
Usar a notação científica
6.02 x 10 
23
expoente
basemantissa
ponto decimal
Sign, magnitude
Sign, magnitude
Notação científica 
• 962.500 = 9,625 x 105
• 0,000.096.250 = 9,625 x 10-5
• 976.000.000.000.000 = 9,76 x 1014
• 96,25 = 9,625 x 101
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●Ponto flutuante
● Ponto flutuante: representação baseada na 
notação científica
● 2,537 x 10E13
● 7,4 x 10E-14
● Ou seja, é necessário representar:
– sinal
– parte fracionária (mantissa)
– expoente
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Ponto flutuante: passos
● Converter para base decimal
● Normalizar a mantissa
● Deve ser fracionária
● Primeiro algarismo após a vírgula deve ser 1
● Definir expoente e sinal
IEEE 754
• Padrão (Standard) para armazenamento de PF
• Padrão para 32 e 64 bits
• Expoentes de 8 e 11 bits respectivamante
• Formatos extendidos (para mantissa e expoente) 
para resultados intermediários
Padrão IEEE 754
• Padrão (standard) para representar e armazenar 
números em ponto flutuante (PF) nos 
computadores
• 32 bits para precisão simples (ex: float)
• 64 bits para precisão dupla (ex: double)
• Expoentes de 8 e 11 bits respectivamante
Formatos IEEE 754
Padrão IEEE 754 para precisão simples: 32 bits
1 8 23
sinal
expoente
excesso 127
mantissa: normalizado
com bit implícito 1.M
O expoente real é e = E - 127
S E M
N = (-1)S x 2 E-127 x(1.M)
Onde: 0 < E < 255
IEEE 754: ponto flutuante (PF)
• S armazena o sinal: 0(positivo) e 1(negativo)
• EP(expoente polarizado) = expoente + polarização
• expoente indica a posição da vírgula (ponto)
• A mantissa é armazenada com o bit implícito
• (-1)sinalx (1 + MANTISSA) x 2expoente polarizado 
S EP MANTISSA
Exemplos de Ponto flutuante
Faixa dos números PF: 32 bits
• Para números de 32 bits (precisão simples)
• expoente de 8 bits 
• 10-38 a 10+38 
• Acurácia
• O efeito de mudar o LSB da mantissa
• Mantissa de 23 bits 2-23 ≈ 1.2 x 10-7
• Aproximadamente 6 casas decimais 
Faixa dos números PF: 64 bits
• Para números de 64 bits (precisão dupla)
• expoente de 11 bits 
• +/- 2256 ≈ 10-308 a 10+308
Números binários representáveis: 32 bits
Problemas com números de PF
• Overflow
• Underflow 
• Erro de arredondamento
PUC Minas – Sistemas de Informação – Introdução à Computação – Prof. João Caram
Overflow
● Overflow é quando o tamanho da 
representação não é suficiente para o 
número desejado
● Ex: 96 + 64, em representação de ponto fixo 
com 8 bits (1 sinal + 7 magnitude)
 01100000
+01000000
=10100000 → -32
● Lembram-se do bug do milênio?
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