Exercício Resolvido: Superfície com Orientação Induzida

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UM EXERCI´CIO RESOLVIDO
Exerc´ıcio. Sejam ϕ,ψ : [0, 1]→ R com ϕ > 0, e
C = {(ϕ(v), 0, ψ(v)) ∈ R3 | 0 ≤ v ≤ 1} ,
de modo que h : (0, 1) → R3, definida por h(t) =
(ϕ(t), 0, ψ(t)), seja uma parametrizac¸a˜o da curva C no
plano xz.
Seja S o subconjunto de R3 obtido ao se rotacionar com
relac¸a˜o ao eixo z a curva C.
(1) Determine espac¸os tangentes a S.
(2) Supondo que a parametrizac¸a˜o f : (0, 2pi)× [0, 1)→
R3 de S dada por
f(u, v) = (ϕ(v).cos(u), ϕ(v).sen(u), ψ(v))
preserve-orientac¸a˜o, descreva a orientac¸a˜o induzida no
bordo de S.
Soluc¸a˜o. Comec¸emos por verificar que f e´ uma parametrizac¸a˜o de S, isto e´, que f satisfaz a condic¸a˜o (P′).
Evidentemente, f e´ injetiva e de classe C∞. De fato, se f(u, v) = f(u′, v′) enta˜o ψ(v) = ψ(v′) e u = u′, donde u = u′
e v = v′, ja´ que h e´ uma parametrizac¸a˜o de C; e, a func¸a˜o f e´ de classe C∞ pois h o e´. Ale´m disso:
(P1) f((0, 2pi)× [0, 1)) = S ∩ U para
U = R3 − ({(x, y, z) ∈ R3 |x > 0 e y = 0} ∪ {(x, y, z) ∈ R3 | z > ψ(1)}) ;
(P2) Df(a, b) : R2 → R3 e´ injetiva para cada (a, b) em (0, 2pi)× [0, 1), pois como
f ′(a, b) =
(
−ϕ(b).sen(a) ϕ′(b).cos(a)
ϕ(b).cos(a) ϕ′(b).sen(a)
0 ψ′(b)
)
,
temos que o quadrado da norma do produto vetorial dos vetores-coluna de f ′(a, b) e´ o nu´mero ϕ(b)2(ψ′(b)2 +
ϕ′(b)2), o qual e´ 6= 0 ja´ que h e´ uma parametrizac¸a˜o de C;
(P3) f−1 : f((0, 2pi)× [0, 1))→ (0, 2pi)× [0, 1) e´ cont´ınua, pois se u 6= pi enta˜o
tg
(u
2
)
=
sen
(
u
2
)
cos
(
u
2
) = 2 sen (u2 ) cos (u2 )
2 cos2
(
u
2
) = sen (u)
1 + cos (u)
=
y
ϕ(v)
1 + xϕ(v)
=
y
x+
√
x2 + y2
,
donde u = 2 arctg
(
y
x+
√
x2+y2
)
; analogamente, se u pertence a um pequeno intervalo em torno de pi, obtemos
u = 2 arccotg
(
y
−x+
√
x2+y2
)
.
Assim, f e´ uma parametrizac¸a˜o em torno de qualquer ponto (x, y, z) de S ∩ U .
Juntamente com mais treˆs parametrizac¸o˜es semelhantes, os argumentos anteriores mostram que, S e´ uma superf´ıcie
diferencia´vel com bordo em R3. Doravante, faremos calculac¸o˜es apenas com a parametrizac¸a˜o f .
Seja p = f(a, b). Por definic¸a˜o, Tp(S) e´ a imagem da aplicac¸a˜o linear
T(a,b)(f) : T(a,b)(R2) −→ Tp(R3)
(v1, v2)(a,b) 7−→ (Df((a, b))((v1, v2)))p .
Ou seja, Tp(S) e´ o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares dos vetores (−ϕ(b).sen(a), ϕ(b).cos(a), 0)p e
(ϕ′(b).cos(a), ϕ′(b).sen(a), ψ′(b))p.†
Finalmente, vejamos a orientac¸a˜o no bordo ∂S de S. Notemos que S e´ orienta´vel (ao usarmos as outras treˆs
parametrizac¸o˜es semelhantes – cheque!). O vetor normal unita´rio exterior no ponto p e´ o vetor np de Tp(S) definido
por np ⊥ Tp(∂S), |np| = 1, e np = T(a,b)(f)(v(a,b)) para algum v com u´ltima coordenada < 0. Como Tp(∂S) e´ gerado
por (−ϕ(b).sen(a), ϕ(b).cos(a), 0)p, e observando que os vetores-coluna de f ′(a, b) sa˜o ortogonais, temos que
np = − (ϕ
′(b).cos(a), ϕ′(b).sen(a), ψ′(b))p√
ϕ′(b)2 + ψ′(b)2
.
Da´ı, ja´ que [T(a,b)(f)((e1)(a,b)), T(a,b)(f)((e2)(a,b))] = [−T(a,b)(f)((e2)(a,b)), T(a,b)(f)((e1)(a,b))], como f
preserva-orientac¸a˜o temos µp = [np, T(a,b)(f)((e1)(a,b))] . Logo, por definic¸a˜o, (∂µ)p = [T(a,b)(f)((e1)(a,b))]. Na˜o e´
dif´ıcil ver que as duas componentes de ∂S esta˜o dessa maneira orientadas com sentidos opostos.
†Exemplo. Se ϕ(v) = 2, ψ(v) = v, e (a, b) = (pi/4, 0), enta˜o Tp(S) e´ gerado pelos vetores (−
√
2,
√
2, 0)p e (0, 0, 1)p.