prova 2 2007.1 cálculo I area II CIn UFPE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
RESOLUC¸A˜O DO SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR DE CA´LCULO 1
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2007 – 2 DE JULHO DE 2007
1aQuesta˜o: (1,5 ponto) Um cilindro circular reto tem suas dimenso˜es continuamente alteradas, de
modo que o volume permanece constante igual a 1000 cm3. O raio da base cresce a` taxa
constante de 2 cm/s. Com que rapidez a altura do cilindro esta´ decrescendo quando o raio da
base e´ 10 cm?
Resoluc¸a˜o: Volume de um cil´ındro circular reto: V = pir2h, onde r e´ o raio e h a altura.
Derivando:
d
dt
V =
d
dt
(
pir2h
)
=
d
dt
(1000) ∴ pi
(
2rh
dr
dt
+ r2
dh
dt
)
= 0 ∴ dh
dt
= −2h
r
· dr
dt
; ja´
que
dr
dt
= 10 e 1000 = pir2h, temos h =
10
pi
e Resposta:
dh
dt
= − 4
pi
cm/s
2aQuesta˜o: (2,5 pontos) De uma placa retangular de lados com comprimentos 3 m e 8 m remove-
se de cada um dos quatro cantos um quadrado de lado x a fim de se formar uma caixa sem
tampa. Determine o valor de x para que o volume da caixa seja ma´ximo.
Lembre-se: na˜o basta calcular pontos cr´ıticos. Justifique sua resposta.
Resoluc¸a˜o: A caixa montada tera´ dimenso˜es: (8− 2x), (3− 2x) e x, com 0 ≤ x ≤ 3/2.
Para maximizar a func¸a˜o: V = f(x) = x(8−2x)(3−2x) = 4x3−22x2+24x , 0 ≤ x ≤ 3/2,
teremos que determinar os pontos cr´ıticos: f ′(x) = 12x2 − 44x+ 24 = 0, temos duas ra´ızes:
x1 = 2/3 e x2 = 3, pore´m so´ a primeira raiz esta´ no dom´ınio da func¸a˜o.
f(0) = f(3/2) = 0 e f(2/3) =
200
27
. Resposta: Volume ma´ximo para x = 2/3m e Vmax =
200
27
m3
Outra soluc¸a˜o e´ constar que 2/3 e´ o u´nico ponto cr´ıtico e e´ ponto de ma´ximo local:
f ′′(x) = 24x2 − 44 e f ′′(2/3) = −100
3
< 0
3aQuesta˜o: (1 ponto) Calcule o limite: lim
x→0
(cos 7x)
1
x2 .
Sugesta˜o: use a Regra de L’Hoˆpital de forma apropriada.
Resoluc¸a˜o: a = elna ⇒ ab = eb ln a ⇒ (cos 7x) 1x2 = e ln(cos 7x)x2 , usando a continuidade da
func¸a˜o exponencial temos: lim
x→0
(cos 7x)
1
x2 = elimx→0
ln(cos 7x)
x2 . Quando x→ 0 temos cos 7x→ 1
e consequ¨entemente ln(cos 7x)→ 0, assim lim
x→0
ln(cos 7x)
x2
e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo
0
0
.
lim
x→0
ln(cos 7x)
x2
= lim
x→0
−7 sen 7x
cos 7x
2x
= lim
x→0
−49
2 cos 7x
· lim
x→0
sen 7x
7x
= −49
2
Usamos o limite fundamental lim
x→0
senx
x
= 1, mas poder´ıamos ter usado L’Hoˆpital outra vez
para concluir que lim
x→0
−7 sen 7x
2x cos 7x
= lim
x→0
−49 cos 7x
2 cos x− 14 sen 7x = −
49
2
Resposta: lim
x→0
(cos 7x)
1
x2 = e−
49
2
 
1 2 –1
1 
x
y
1x =
1y = −
( )
2
2
1
1
x xy
x
+ += +
Ponto de Mínimo Local 
Ponto de Inflexão 
Assíntota Horizontal 
A
ssíntota V
ertical
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