pg 2014 1 ee1 Processamento Gráfico Prova CIn UFPE

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1. Considere as figuras a seguir:
Pretende-se fazer, via operadores afins, a animac¸a˜o
de um carro que percorre um trilho formando um
lac¸o coloidal (de uma montanha russa). Na Figura
1 ilustra-se o lac¸o como um todo, em que o carro
deve percorrer os trechos em sequeˆncia: AB, BC,
CD e DE. Esses trechos sa˜o arcos de treˆs circun-
fereˆncias que sofreram um pequeno cisalhamento,
como ilustrados nas Figuras 2 e 3. Os trechos AB e
DE sa˜o arcos cisalhados de circunfereˆncias de raio
10 m, enquanto BC e CD sa˜o arcos cisalhados
de uma circunfereˆncia de raio 2 m. As posic¸o˜es
dos pontos sa˜o: A = (8, 2, 0), B = (�2, 1
3
, 10),
C = (0, 0, 12), D = (2,�1
3
, 10) e E = (�8,�2, 0).
Nesta simulac¸a˜o os aˆngulos de rotac¸a˜o sera˜o de 30o
para cada quadro da animac¸a˜o. Encontre as matri-
zes dos operadores afins mais adequados para esta
simulac¸a˜o. (2.500, 0.000)
2. Considere uma curva spline composta de duas cur-
vas de Be´zier cu´bicas com os seguintes pontos
de controle: b0 = (0, 20), b1 = (�20,�70),
b2 = (100, 80), b3 = (85, 50), b4 = (80, 40)
e b6 = (80, 0). As curvas sa˜o parametrizadas
por [u0, u1] e [u1, u2], onde u0 < u1 < u2. Se
b5 = (a, b), marque |a+ b|. (1.500, 0.000)
3. Considere a transformac¸a˜o afim T : IR2 ! IR2 tal
que: T (0, 0) = (�10, 20), T (10, 20) = (�10, 50) e
T (20, 10) = (20, 20). Se T (50, 30) = (a, b) marque
|a+ b|: (1.000, 0.000)
4. Seja b1,200 (s, t) a superf´ıcie de Be´zier controlada
por: b00 = (0, 0, 2), b10 = (2, 0, 2), b01 =
(0, 0, 0),b02 = (0, 2, 0), b11 = (2, 1, 1) e b12 =
(2, 2, 0). Se b1,200 (
1
2
,
1
2
) = (a, b, c), enta˜o marque
4(a+ b+ c). (1.500, 0.000)
5. Considere uma superf´ıcie de Be´zier controlada por
bij com i, j 2 {0, 1, 2, 3}. Assinale quantas inter-
polac¸o˜es lineares sera˜o feitas a mais pelo Algoritmo
de de Casteljau Direto, quando comparado ao Algo-
ritmo de de Casteljau tensorial. (1.000,
0.000)
6. Considere a curva de Be´zier qua´rtica controlada
por: b0 = (�2, 0), b1 = (�2, 2), b3 = (2, 0),
b4 = (0, 0). Assinale
1
6
|| d
2
dt2
b40(
1
2
)||2. (1.000,
0.000)
7. Responda V ou F: (1.500, -1.500)
(A) A inversa de uma transformac¸a˜o afim e´
tambe´m uma transformac¸a˜o afim.
(B) Toda transformac¸a˜o afim pode ser vista como
uma transformac¸a˜o linear aplicada sobre um
vetor seguida de uma u´nica translac¸a˜o.
(C) A soma bariceˆntrica de vetores na˜o esta´ bem
definida, ela esta´ bem definida apenas para
pontos.
(D) Qualquer curva contida numa superf´ıcie de
Be´zier e´ uma curva de Be´zier.
(E) A r-e´sima derivada de uma curva de Be´zier
gera sempre o mesmo vetor para r > n.
(F) Duas curvas de Be´zier se intersectam, se suas
poligonais de controle se intersectam.
70
90
10
12
78
VnullnullVnullnullnullFnullnullnullFnullnullVnullnullF