EMB5013 Aula teo 02 num

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Sistemas de numeração 
e aritmética binária
Introdução à programação de 
computadores – EMB 5013
Objetivos da aula
• Sistemas de numeração:
– decimal, binário, octal e hexadecimal;
• Conversão de base;
• Conceitos básicos de aritmética binária e 
representação de números pelo computador;
• Noções de codificação.
2
Sistemas de numeração
• Representação de valores numéricos:
– Analógica: as quantidades variam
continuamente numa faixa de valores;
– Digital: as quantidades variam 
em passos discretos;
3
Sistemas de numeração
• Sistema decimal ou de base 10:
– Composto de 10 algarismos ou símbolos;
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
• Quando expressam um número são chamados dígitos;
– É do tipo posicional: o valor do dígito depende da 
posição dentro do número (numeral);
– Com N posições podemos representar 10N
números
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Sistemas de numeração
• Sistema decimal (cont.):
– Exemplo: 196710
Pesos expressos como potências de dez:
196710 = 1 x 10
3 + 9 x 102 + 6 x 101 + 7 x 100
5
1000 1 x 1000 1 x 103 
900 9 x 100 9 x 102 
60 6 x 10 6 x 101 
+ 7 +7 x 1 +7 x 100
1967 1967 1967
Sistemas de numeração
• Sistema decimal (cont.):
– Exemplo: 2745,21410
Pesos expressos como potências de dez:
2745,21410 = 2 x 10
3 + 7 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 + 2 x 10-1 + 1 x 10-2 + 4 x 10-3
6
2000,000 2 x 1000 2 x 103 
745,000 7 x 100 7 x 102 
40,000 4 x 10 4 x 101 
5,000 5 x 1 5 x 100 
0,200 2 x 0,1 2 x 10-1
0,010 1 x 0,01 1 x 10-2
+ 0,004 +4 x 0,001 +4 x 10-3
2745,214 2745,214 2745,214
Sistemas de numeração
• Sistema decimal (cont.):
– Contagem decimal:
7
0 10 100 1000
1 11 101 1001
2 12 … …
3 13 199 1499
4 14 200 1500
5 15 … 201 …
6 16 … 1999
7 17 997 2000
8 18 998 2001
9 19 999 …
Sistemas de numeração
• Sistema decimal não é adequado para 
sistemas digitais:
– Exigiria 10 níveis de tensão (ou corrente) distintos;
– Sistema binário:
• Apenas dois
níveis de tensão
8
Binário 0
Binário 1
Não usado
0 V
0,8 V
2 V
5 V
Sistemas de numeração
• Sistema binário ou de base 2:
– Composto de 2 algarismos ou símbolos;
• 0, 1;
• Mas pode ser usado para caracterizar qualquer número 
do sistema decimal;
• O dígito é chamado de bit (binary digit).
– É do tipo posicional;
– Com N posições podemos representar 2N números
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Sistemas de numeração
• Sistema binário (cont.):
– Contagem binária:
• Restrita ao número de bits disponíveis – Ex.: 3 bits
10
22=4 21=2 20=1 Decimal
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
Peso
Sistemas de numeração
• Sistema octal ou de base 8:
– Composto de 8 algarismos ou símbolos;
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
• O dígito é chamado de bit (binary digit).
– É do tipo posicional;
– Com N posições podemos representar 8N números
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Sistemas de numeração
• Sistema octal (cont.):
– Contagem octal:
12
0 10 100 1000
1 11 101 1001
2 12 … …
3 13 177 1477
4 14 200 1500
5 15 … 201 …
6 16 … 1777
7 17 777 2000
Sistemas de numeração
• Sistema hexadecimal ou de base 16:
– Composto de 16 algarismos ou símbolos;
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
– É do tipo posicional;
– Com N posições podemos representar 16N
números
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Sistemas de numeração
• Sistema hexadecimal (cont.):
– Contagem hexadecimal:
14
0 10 100
1 11 101
… … …
9 19 1FF
A 1A 200
B 1B … 201
C 1C …
D 1D 2FF
E 1E 300
F 1F …
Sistemas de numeração
• Sistema de base B:
– Composto de B algarismos ou símbolos;
– Com N posições podemos representar BN
números;
– É do tipo posicional;
– Expresso em decimal como potências de B;
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Conversão de base
• Para cada sistema numérico apresentado
vimos como obter o equivalente decimal;
• Agora vamos ver outras conversões possíveis.
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Conversão de base
Decimal para binário
• A conversão do sistema Decimal para o binário é 
realizado por sucessivas divisões por 2, ou seja, o 
número em decimal é dividido sucessivamente por 2 
até que o quociente seja igual a 0
• O resto da última divisão representa o dígito mais à 
esquerda do número binário, o resto da próxima 
divisão o próximo dígito, e assim por diante
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Conversão de base
Decimal para binário
13 2
1 6 2 
0 3 2 
1 1 2
1 0 => 1310 = 11012
18
Conversão de base
Decimal para binário
1492 2
0 746 2 
0 373 2
1 186 2 
0 93 2 
1 46 2
0 23 2
1 11 2
1 5 2
1 2 2
0 1 2
149210 = 101110101002 1 0
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Conversão de base
• Outra opção de representação das divisões
sucessivas:
110012 1001012
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3710 para binário
37/2 = 18,5 0,5 x 2 1
18/2 = 9,0 0 x 2 0
9/2 = 4,5 0,5 x 2 1
4/2 = 2,0 0 x 2 0
2/2 = 1,0 0 X 2 0
1/2 = 0,5 0,5 x 2 1
2510 para binário
25/2 = 12 resto 1
12/2 = 6 resto 0
6/2 = 3 resto 0
3/2 = 1 resto 1
1/2 = 0 resto 1
Conversão de base
Binário para decimal
A conversão do sistema binário para o decimal é realizado através da 
forma polinomial:
Aj-1 * 2
j-1 + Aj-2 * 2
j-2 + ... + A2 * 2
2 + A1 * 2
1 + A0 * 2
0 
Onde A = 0 ou 1 e j é a posição do dígito do número
- Exemplo:
101102 = 1*2
4 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = 16+4+2 = 2210
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Conversão de base
• Decimal para octal:
– Como decimal para binário, mas usar 8 ao invés de 
2;
• Decimal para hexadecimal:
– Como decimal para binário, mas usar 16 ao invés
de 2;
• Decimal para base B:
– Como decimal para binário, mas usar B ao invés
de 2;
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Conversão de base
• Binário para octal/octal para binário:
– Fácil conversão;
– Números binários são muito extensos
– Digitos octais são convertidos nos equivalentes
binários de três bits e vice-versa:
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Dígito octal 0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente binário 000 001 010 011 100 101 110 111
4 7 2 8 101 100 011 001 2
100 111 010 2 5 4 3 1 8
Conversão de base
• Binário para hexa/hexa para binário:
– Como no caso do octal, “abrevia” números binários
– Digitos hexadecimais são convertidos nos equivalentes
binários de quatro bits e vice-versa:
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Dígito hexa 0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente binário 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
9 F 2 16 0011 1010 0110 2
1001 1111 0010 2 3 A 6 16
Dígito hexa 8 9 A (10) B (11) C (12) D (13) E (14) F (15)
Equivalente binário 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Conversão de base
• Octal para hexa/hexa para octal:
– Primeiro é necessário converter para binário;
25
9 F 2 16
1001 1111 0010 2
3 A 6 164 7 6 2 8
1 6 4 68
001 110 100 110 2
Conversão de base
26
Resumo:
Conversão de base
• Base A para base B
Conversão em duas etapas:
1 – Base A para decimal - polinômio
2 – Número decimal para base B – divisões
sucessivas
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Conversão de base
• Exemplo de conversão da Base A para a base B
– Base 4: dígitos 0, 1, 2, 3;
– Base 7: dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;
– Converter 2214 para base 7
• Passo 1: converter 2214 para base decimal (polinômio)
– 2 x 42 + 2 x 41 + 1 x 40 = 2 x 16 + 2 x 4 + 1 x 1 = 32 + 8 + 1 = 4110
• Passo 2: Converter o valor encontrado (4110) para a 
base 7 (divisão)
41 7
6 5 7 
5 0 => 2214 = 567
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Aritmética binária
• Representação dos números:
– As informções manipuladas pelo computador estão na 
base binária;
– Como o computador realiza as operações aritméticas?
– Como os números negativos são armazenados?
– No escopo desta disciplina só vamos tratar dos 
número inteirose das operações de negação, adição e 
subtração.
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Aritmética binária
• Representação dos números inteiros:
– Os números inteiros sem sinal são armazenados 
conforme apresentado anteriormente;
• 8 bits = 1 byte
– Existem diferentes convenções para representar 
os números com sinal (positivo e negativo);
– A mais utilizada é a representação em 
complemento a dois.
30
Aritmética binária
• Representação em complemento a dois:
– Utilizada para representar número inteiros positivos e 
negativos;
– O bit mais significativo (mais à esquerda) é o bit de 
sinal:
• 0 � número é positivo
• 1 � número negativo
– O número 0 (zero) é representando com todos os bits 
em zero:
• É considerado (na representação) um número positivo.
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Aritmética binária
• Representação em complemento a dois 
(cont.):
– Número positivo:
• Como na forma binária normal, mas com o bit de sinal 
no valor 0;
– Número negativo:
• É obtido pela operação de negação do número positivo;
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Aritmética binária
• Representação em complemento a dois
(cont.):
– Um número A positivo de n bits possui:
• Um bit de sinal: an-1 = 0;
• Os bits restantes (an-2an-3...a1a0) representam a 
magnitude do número;
– Conversão para decimal: 
A = ∑ 2�a�			para	A ≥ 0
�
�
���
33
Aritmética binária
• Representação em complemento a dois
(cont.):
– Um número A negativo de n bits possui:
• Um bit de sinal: an-1 = 1;
• Os bits restantes (an-2an-3...a1a0) representam a 
magnitude do número;
– Conversão para decimal:
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∑
−
=
−
− +−=
2
0
1
1 22
n
i
i
i
n
n aaA
Aritmética binária
• Representação em complemento a dois
(cont.):
– A conversão de decimal para números binários em 
complemento a dois positivos é realizada da 
mesma maneira apresentada anteriormente e 
números negativos são precisos duas etapas : 
divisões sucessivas (ignorando o sinal) e negação 
do número binário encontrado
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Aritmética binária
• Negação:
– Negar um número inteiro na base binária 
representado em complemento a dois consiste em 
dois passos:
• 1) Inverter todos os bits (0 � 1 e 1 � 0)
• 2) Considerar o resultado do passo 1 como um número 
binário sem sinal e somar 1, sendo que:
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0 0 1 1
+ 0 + 1 + 0 + 1
0 1 1 10
1 carry
Aritmética binária
• Negação (cont.):
– Exemplo: Negar o número 0110002 = 2410
• Passo 1: inverter todos os bits:
• Passo 2: somar 1:
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Bit de sinal (positivo)
011000
100111
100111
+000001
101000
carry111
= -2410
Aritmética binária
• Adição e subtração:
– A adição prossegue como se os números fossem sem 
sinal;
– Os resultados obtidos também serão números em 
complemento a dois;
– O bit de carry que eventualmente resultar da adição 
dos bits mais significativos é ignorado;
– Em complemento a dois a subtração é a adição de um 
número com a negação de outro número.
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Aritmética binária
• Adição e subtração (cont.):
– Exemplos:
39
1001 -7
+ 0101 + 5
1110 -2
1100 -4
+ 0100 + 4
0000 0
carry é descartado
0011 3
+ 0100 + 4
0111 7
0101 5
- 0010 -(+2)
0101 5
+ 1110 +(-2)
0011 3
carry é descartado
Aritmética binária
• Adição e subtração (cont.):
– Se o resultado da adição ou subtração não puder 
ser representado com o número de bits definidos, 
ocorre um erro de overflow;
40
0101 5
+ 0100 +4
1001
overflow (a adição 
de dois números 
positivos resultou 
em um número 
negativo!)
1010 -6
+ 1100 -4
0110
overflow (a adição 
de dois números 
negativos resultou 
em um número 
positivo!)
Codificação
• Quando os números, letras ou palavras são 
representados por um grupo especial de 
símbolos, dizemos que estão codificados;
• O grupo de símbolos é chamado código;
– Exemplos:
• Binário Codificado Decimal (BCD)
• Código Excesso-3
• Código Gray
• Códigos Alfanuméricos
– Código ASCII
– UNICODE
– UTF-8 (“padrão” na web)
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Codificação
• Exemplo (ASCII):
42
Binário Oct Dec Hex Glifo
010 0001 041 33 21 !
010 0010 042 34 22 "
010 0011 043 35 23 #
010 0100 044 36 24 $
010 0101 045 37 25 %
010 0110 046 38 26 &
... ... ... ... ...
011 0001 181 97 61 a
Avisos
• Conteúdo desta aula:
– Capítulo 3 do livro do Guimarães e Lages;
• Lista de exercícios:
– Disponível no moodle.
43
Exercícios
44
Converta os seguintes números para base decimal:
a) 1010112
b) 100001102
Converta os seguintes números para base binária:
a) 1FF016
b) 128710
c) 7538
Converta os seguintes números de uma base A para base B:
a) 25713 => X6 b) 14325 => X7
Exercícios
45
Calcule as seguintes operações para números inteiros com sinal, 
considerando números de 8 bits:
a) 00100101 + 00011110 
b) 00100110 + 00010000 
c) 00100111 + 00011110
Considere números de 4 bits. Encontre a negação dos seguintes 
números em complemento a dois:
a) 0101 
b) 1001
Exercícios (respostas)
46
Converta os seguintes números para base decimal:
a) 1010112� 43
b) 100001102� 134
Converta os seguintes números para base binária:
a) 1FF016� 0001 1111 1111 0000
b) 128710 � 10100000111
c) 7538 � 111 101 011
Converta os seguintes números de uma base A para base B:
a) 25713 => X6 � 25713 = 41010 = 15226
b) 14325 => X7 � 14325 = 24210 = 4647
Exercícios (respostas)
47
Calcule as seguintes operações para números inteiros com sinal, 
considerando números de 8 bits:
a) 00100101 + 00011110 � 0 1 0 0 0 0 1 1
b) 00100110 + 00010000 � 0 0 1 1 0 1 1 0
c) 00100111 + 00011110 � 0 1 0 0 0 1 0 1
Considere números de 4 bits. Encontre a negação dos seguintes 
números em complemento a dois:
a) 0101 � 1 0 1 1 
b) 1001 � 0 1 1 1