ISOMORFISMO - MARIA INÊS, UFSC

Prévia do material em texto

Isomorfismos
Profa. Maria Inez C. Gonc¸alves
Universidade Federal de Santa Catarina
Isomorfismos
Definic¸a˜o
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K.
a) Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. Se T for bijetora, enta˜o dizemos que T e´ um
Isomorfismo.
b) Se existir um isomorfismo T : U → V , dizemos que U e V sa˜o isomorfos e indicaremos ,
U ∼= V ,
Observac¸a˜o
Se T : U → V e´ isomorfismo, T possui uma inversa T−1 : V → U, a qual tambe´m e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Isomorfismos
Proposic¸a˜o
Sejam U e V espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita, se dim(U) = dim(V ), enta˜o U e V sa˜o
isomorfos.
Demonstrac¸a˜o:
Seja B = {u1, u2, · · · , un} uma base de U e B′ = {v1, v2, · · · , vn} uma base de V .
Seja T : U → V dada por
T (u) = T (α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun) = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn,∀u ∈ U,
T e´ um isomorfismo e portanto U e V sa˜o isomorfos.