aula 04

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Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 04 
Zero de Função – Métodos Iterativos: Ponto Fixo 
 
 
 
1. Método do Ponto Fixo 
 
Os métodos estudados anteriormente – Bissecção e Posição Falsa – se baseiam em algum 
intervalo que contém certamente uma raiz de e depois alguma lógica para diminuir esse 
intervalo até atingir uma determinada precisão que será o critério de parada. 
 
Contudo, existem métodos que determinam uma raiz de com base em apenas um valor inicial! 
Estudaremos o Método do Ponto Fixo (MPF) e partiremos de um exemplo: 
 
Considere a seguinte função √ cujo gráfico é apresentado na figura 1. 
 
 
Figura 1 – Gráfico de √ . 
 
Note que existe uma raiz entre e , e, poderíamos facilmente diminuir esse intervalo 
utilizando a Bissecção ou um Posição Falsa. Contudo, será que conseguiríamos encontrar um valor 
aproximado do zero da função com apenas um valor inicial? 
 
Ou seja, o desafio é encontrar um método que não necessite de um intervalo para encontrar a raiz! 
Seria como se soltássemos um cão treinado para encontrar um determinado produto em um 
aeroporto internacional ou uma sonda com inteligência artificial para realizar uma determinada 
missão. Chamamos esses últimos de métodos iterativos e desafiamos você a entender nossa 
analogia na figura 2. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2 – (a) Redução do intervalo = Batman; (b) Encontrando a raiz com apenas um valor inicial = Matrix. 
 
Voltando ao nosso problema, se é raiz de √ , então . Vamos utilizar 
essa informação na nossa análise, ou seja, existe um valor tal que: 
 √ 
 √ 
 √ 
 
Se fizermos √ , podemos afirmar que procuramos um valor tal que . 
Chamamos de função iterativa e mudamos um pouco o problema: Estamos à procura de um 
valor que substituindo em resulte em ele mesmo! Chamamos esse valor de ponto fixo. 
 
Mas, por que é chamada de função iterativa? É fácil! Veja o porquê: 
 
Vamos iniciar com um valor qualquer para , digamos... : 
 
 
 
Veja que encontramos o ponto fixo que também é a raiz de √ . 
 
Para realizar esse procedimento no Matlab, basta escrever 0 na linha de comando e, sabendo que 
o último resultado fica armazenado na variável ans, basta executar várias vezes o comando 
3*sqrt(ans)+1/3 (figura 3). 
 
 
Figura 3 – Recalculando com base na resposta anterior. 
 
Teríamos obtido o mesmo resultado com mais rapidez se tivéssemos feito uma melhor 
aproximação inicial. Por exemplo, para o valor inicial , a mesma raiz aproximada é obtida com 
12 iterações. 
 
Outro ponto é que existem várias funções iterativas , também chamadas de funções auxiliares, 
de forma que . Na verdade, qualquer função do tipo será uma função 
iterativa, já que no ponto fixo , e a equação será reduzida a forma . 
 
Então, a convergência depende da escolha de uma boa função ! Depois daremos um 
tratamento melhor na escolha das funções iterativas de forma a garantir a convergência do método, 
mas, a figura 4 mostra como a escolha pode resultar em uma sequência convergente (figura 
4-a) ou divergente (figura 4-b). 
 
 
 (a) (b) 
Figura 4 – (a) Sequência convergente; (b) Sequência divergente. 
 
 
Como exercício, modifique o script do Método da Posição Falsa para um método de Ponto Fixo 
com os seguintes parâmetros de entrada: função a ser encontrada a raiz; valor inicial de ; 
função iterativa ; e, a precisão. Utilize como critério de parada | | e (para o caso de funções e valores iniciais que gerem sequências divergentes!). 
 
Agora, faça diversos testes com relação a valores iniciais e funções iterativas com objetivo de 
encontrar as raízes das seguintes funções: 
 
a) √ 
 
b) 
 
c) 
 
d) √ 
 
e) 
 
 
Faça o gráfico das funções para verificar a possível existência de raízes. 
 
Gostaria de finalizar esta aula com a seguinte reflexão: será que existe alguma forma de 
determinar automaticamente uma boa função iterativa e que seja programável? Em outras 
palavras, o usuário comum quer apenas informar a função original e solicitar suas raízes, então, 
como fazê-lo? 
 
Por fim, uma pergunta crucial: Métodos baseados em intervalo ou Métodos iterativos, qual você 
escolhe (figura 5)? 
 
 
Figura 5 – Métodos baseados em intervalo (pílula azul) ou iterativos (pílula vermelha). 
 
 
Um forte abraço e até a próxima!