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TEORIA E PRÁTICA NA UTILIZAÇÃO DA MATRIZ INSUMO-PRODUTO COMO 
FERRAMENTA DE PESQUISA 
THEORY AND PRACTICE ON THE USING OF INPUT-OUTPUT MATRIX AS A 
RESEARCH TOOL 
RESUMO 
Neste trabalho apresenta-se a metodologia de uso de matrizes 
insumo-produto desenvolvida por Leontief e uma versão adaptada à 
economia brasileira a partir dos dados da Contabilidade Social. É um 
instrumento de apoio aos gestores públicos e empresariais, que evita 
colapsos e interrupções na demanda agregada e no fornecimento de 
insumos produtivos. Nas análises para a tomada de decisão, tem a 
finalidade de mensurar variáveis macroeconômicas, de identificar 
gargalos do sistema econômico e de otimizar o fluxo de produto entre 
setores e departamentos no planejamento das empresas. A utilização 
de matrizes insumo-produto teve início nos anos quarenta com a 
economia americana e foi amplamente difundida com o advento da 
computação. A mensuração das variáveis macroeconômicas, tais 
como: nível de renda, emprego, massa de salários, consumo 
agregado, fluxos de poupança e de investimentos e os impostos 
diretos e indiretos, facilita e otimiza o sincronismo ente os 
departamentos e minimiza as despesas com estoques e outros gastos 
desnecessários. O artigo decorre de dissertação realizada no 
Mestrado em Desenvolvimento Econômico pela Universidade Federal 
do Paraná em 1997. Mesmo decorridos dez anos, esta ferramenta 
atende à demanda de planejamento dos estados, municípios e 
empresas, especialmente em dias de Plano de Aceleração do 
Crescimento. 
Palavras-chave: Insumo-produto; planejamento; otimização de custos. 
ABSTRACT 
In this paper, the method of using input-output matrixes developed by 
Leontief is presented with a version adapted to Brazilian economy from 
Social Accounting data. This is a support instrument to public and 
company managers in order to avoid interruptions and collapses in the 
added demand and also in the productive supply inputs. In decision-
taking analysis, it has the role to measure macroeconomic variables, to 
identify economic system bottlenecks ant to optimize output flow 
between economic sectors and departments in social and company 
planning. The using of input-output matrixes had it’s beginning in the 
forties with the American economy development and was widely 
spread out after computing advent. Measuring macroeconomic 
variables such as income level, employment, total wage, aggregate 
consumption, savings and investments flow, direct and indirect taxes 
facilitates and optimizes synchronism between departments and 
minimizes inventory expenditures and other unnecessary expenses. 
The paper becomes from author’s Final Research Paper at Paraná 
State University Master’s Program in Economic Development, done in 
1997. Even though ten years elapsed from then, this tool remains 
useful to public and company demand on planning, specially on these 
days of Brazilian Government’s Plano de Aceleração do Crescimento 
(Growing Acceleration Program). 
Keywords: Input-output, planning, cost optimization 
Nivaldo Camilo 
Professor Coordenador do 
Curso de Ciências Econômicas 
do ICSP/FESP 
Economista (FAE) 
Especialista em 
Desenvolvimento Econômico 
(UFPR) 
Mestre em Desenvolvimento 
Econômico (UFPR) 
Rua das Seringueiras, 167 
82.840-70 Curitiba – PR – 
Brasil (41) 3206-
3134 
camilo@fesppr.br 
JEL: C-61, C-67, L-230. 
 
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INTRODUÇÃO 
As matrizes insumo-produto desenvolvidas pelo russo naturalizado norte 
americano – Wassily W. Leontief, revolucionaram a maneira de trabalhar com os 
dados da economia americana. As barreiras deixadas pela falta de informações ou 
pela má qualidade destas, quando do levantamento estatístico, foram amenizadas 
pelo uso da técnica. Difundida pelos governantes do resto do mundo capitalista, a 
técnica de insumo-produto ganhou fôlego com o advento e melhoria nos programas 
de computador. A Organização das Nações Unidas – ONU, na pessoa de seus 
técnicos, apressou-se em recomendar padronizações para o uso adequado das 
informações e tornar uma linguagem universal a análise dos dados obtidos com os 
países membros. Não obstante, o uso da técnica tornou-se extensiva aos meios 
empresariais e aos governantes dos estados e municípios, porém não dispensa o 
conhecimento e uso das teorias econômicas na análise dos dados processados. O 
uso das matrizes insumo-produto constitui em um importante ferramental nos 
planejamentos públicos e empresariais, apontando lacunas e pontos de 
estrangulamento, que uma vez resolvidos, torna o sistema econômico, as empresas, 
e a sociedade, mais dinâmicos e prósperos, especialmente em dias de Plano de 
Aceleração do Crescimento. 
1 A FERRAMENTA MATRIZES INSUMO-PRODUTO 
 A abordagem metodológica consiste na utilização de um modelo 
multissetorial de mensuração da participação relativa de cada setor de um sistema 
econômico na economia ou da participação de cada departamento de uma empresa 
em seu todo. O instrumental metodológico apresenta a técnica do modelo de cálculo 
das matrizes de coeficientes técnicos diretos e de impacto total, seguido de 
compatibilização e desagregação das matrizes insumo-produto. 
1.1 Evolução Histórica do Modelo 
A análise de insumo-produto envolve uma avaliação das relações 
intersetoriais entre setores compradores de bens e serviços e os que produzem bens 
e serviços que são vendidos a outros setores. Dentro de uma empresa, esta relação 
ocorre entre os diversos departamentos, desde os insumos que entram nos 
 3 
estoques na relação da empresa com seus fornecedores a seu produto final com 
seus clientes. 
Esta relação de interdependência entre os setores foi apresentada 
primeiramente em 1758 por François Quesnay ao publicar a obra ‘Tableau 
Economique’, considerado trabalho pioneiro ao tentar descrever os fluxos da 
economia francesa. Pouco mais de um século depois, outro francês Leon Walras 
dava um novo passo ao publicar ‘Elements d`Économie Politique Pure’ em 1874, 
onde através de um sistema de equações Walras buscava determinar de forma 
simultânea todos os preços em uma economia, além do que, considerava os custos 
da produção em cada setor. 
O modelo desenvolvido por Walras, segundo Miernyk (1974, p.13) “mostra a 
interdependência entre os setores de produção da economia e as demandas 
correntes de cada setor para os fatores de produção”. Ainda faz parte do modelo 
equações representando a renda e as despesas do consumidor, além do que o 
modelo também contempla a possibilidade de substituição de produtos de um setor 
por produtos de outro. Não obstante, não fora apenas o pioneirismo de Quesnay 
sobre as relações de interdependência que o avanço do modelo de Walras chegou 
ao modelo de Insumo-produto de Leontief, importantes economistas, como Gustav 
Cassel da Suécia e Vilfredo Pareto da Itália também deram sua parcela de 
contribuição para o desenvolvimento da teoria do equilíbrio geral. 
No entanto, o desfecho do trabalho de Quesnay só ocorre por volta de 
agosto de 1936, portanto, 178 anos depois na Universidade de Harward nos Estados 
Unidos com a publicação da obra do Professor Wassily Leontief, através de seu 
artigo ‘Quantitative Input - Output Relations in the Economic System of the United 
States’. A experiência prática do trabalho de Leontief se dá em 1941 com a 
publicação das idéias de seu trabalho inicial analisando as tabelas de insumo-
produto da economia ‘The Structure of American Economy, 1919 – 1929’. 
A evolução do trabalho de Leontief conforme Rossetti (1992, p.232) 
“corresponde a um modelo simplificado do modelo Walrasiano”. O que Leontief 
propunha, contribuiria com um estreitamento definitivo entre a teoria e a prática, 
numa avaliação empírica do equilíbrio geral. Esse novo instrumento veio permitir a 
obtenção de resultados analíticos mais precisos e commaior nível de detalhamento, 
dada a vasta possibilidade de cruzamento das informações estatísticas sobre 
variáveis econômicas como a produção, consumo, os preços, o emprego e ‘n’ outros 
 4 
indicadores, sem dúvida de extrema importância para os tomadores de decisões 
relacionadas a medidas de política econômica. 
A importância da análise das relações intersetoriais levou muitas nações a 
investirem na pesquisa de novas técnicas de construção de matrizes insumo-produto 
a partir dos anos cinqüenta. Na realidade, esta nova sistemática, em última 
instância, atribuída ao trabalho de Leontief tornou possível realizar avaliações 
intersetoriais de vários sistemas econômicos. Constituiu-se, assim, no ferramental 
básico para o desenvolvimento de pesquisas, destacando a participação de cada 
setor no sistema econômico e sua importância para a economia, empiricamente em 
relação aos demais setores, bem como nos estudos da participação de cada 
departamento da empresa relativamente à empresa como um todo. 
1.2 As Matrizes insumo-produto do Sistema Econômico Brasileiro 
Uma condição essencial para se obter matrizes insumo-produto, em 
qualquer sistema econômico, é a disponibilidade de dados. Na economia brasileira 
as matrizes são construídas a partir de informações das Contas Nacionais. Os dados 
originais disponibilizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, 
sobre as relações intersetoriais são organizados em duas matrizes básicas, a matriz 
de produção e a matriz de absorção, ambas retangulares, inapropriadas para 
utilização direta da metodologia de Leontief que requer os dados em uma única 
matriz quadrada. 
Da mesma forma, o nível de desagregação setorial difere entre as matrizes 
para cada série de dados. Estas restrições à utilização direta da metodologia de 
Leontief são superadas através de um aparato metodológico próprio, desenvolvido 
pelos técnicos do IBGE conforme recomendações das Nações Unidas, constituindo 
uma metodologia própria que vem permitir análise de dados da economia brasileira 
com a obtenção de matriz quadrada e compatibilizada. 
O modelo parte de um sistema com as matrizes de produção e a de 
absorção ou consumo de insumos, que leva a obtenção da matriz tecnológica. Trata-
se de uma composição de submatrizes, que permite a partir de então a adoção 
direta da metodologia de Leontief, para uma análise da conjuntura econômica do 
sistema. 
São duas identidades contáveis q = Uni + Eni e g = Vi, consistindo no ponto 
de partida para o desenvolvimento do modelo. 
 5 
A primeira condiz com o conceito do ‘valor da produção interna por produto’ 
que é igual ao total do seu consumo intermediário pelas atividades produtivas, 
somado à sua utilização pela demanda final, enquanto que a outra, se define pelo 
‘valor da produção de cada atividade’ que é igual à soma dos produtos nela 
produzidos. 
Além da simbologia, ainda é indispensável algumas observações para o 
desenvolvimento do modelo. Nas equações, (diag) significa matriz diagonal 
construída a partir de um vetor, enquanto que (i) condiz com um vetor unidade, ou 
um vetor em que todos os elementos são iguais a unidade. Da mesma forma, a 
multiplicação de uma matriz por (i) resulta num vetor em que cada elemento 
corresponde ao somatório dos elementos da linha correspondente da matriz. 
Segue o desenvolvimento do modelo a partir das identidades contábeis 
básicas: 
q = Uni + Eni (1) 
Indica que o vetor da produção nacional por produto é igual ao total de seu 
consumo intermediário pelos setores produtivos somado à sua utilização final. 
g = Vi (2) 
Significa que o valor da produção de cada setor produtivo é igual ao 
somatório dos produtos nele produzidos. 
Adotando a hipótese de tecnologia de setor associada à construção de 
modelo, obtém-se a matriz de participação do consumo de insumos intermediários 
no valor da produção dessa atividade, ou seja, a matriz B de coeficientes de insumo-
produto, onde: 
B = Un diag (g)-1 ou 
Un = B diag (g) (3) 
em que a simbologia diag(g) corresponde à diagonalização do vetor de 
produção por atividade g. 
Em relação à hipótese, da participação constante dos setores produtivos na 
produção dos produtos, obtém-se a matriz D de coeficientes de participação setorial 
na produção: 
D = V diag (q)-1, ou 
V = D diag (q) (4) 
Neste caso também a simbologia diag(q) tem um significado, corresponde à 
diagonalização do vetor de produção por produtos q. 
 6 
Sendo o valor da produção de cada atividade igual à soma dos produtos 
nela produzidos, então: 
 g = Vi (5) 
Substituindo-se (4) em (5): 
g = D diag (q) i , ou 
g = Dq (6) 
Partindo-se da identidade (1), e substituindo-se (3) e (6) fica: 
q = B diag (g) i + Eni , ou 
q = Bg + Eni ; q = Bdq + Eni ; q - Bdq = Eni ; q.(1 - BD) = Eni (7) 
q = (1 - BD)-1 . Eni (8) 
Na equação (8) o elemento BD é a matriz de coeficientes técnicos diretos 
entre produtos, enquanto que (1 - BD)-1 é a matriz de impacto diretos e indiretos 
entre produtos, também denominada de matriz inversa de Leontief. 
Com o desfecho de modelo para a economia brasileira, a partir da 
correlação produto versus produto na equação (8), pode-se facilmente derivar a 
correlação atividade versus atividade. Assim, para obter-se a equação em termos de 
atividade, basta substituir (7) em (6), então: 
g = DBg + Eni , ou 
g - Dbg = Eni ; 
g = (1 - DB)-1. Eni (9)
 Contudo, na equação (9), a matriz Eni apresenta uma correlação produto 
versus produto. Para transformá-la numa correlação atividade versus atividade, 
basta multiplicar D pela matriz Eni, então: 
g = (1 - DB)-1 . D.Eni (10) 
onde DB é a matriz de coeficientes técnicos diretos entre atividades e (1-
DB)-1 é a matriz de impacto diretos e indiretos entre atividades. 
A multiplicação das matrizes D e Eni funciona como transformadora do valor 
dos totais de demanda final por produtos em outro vetor dos totais de demanda final 
por atividade (IBGE, 1989, p.35-42). 
A obtenção da equação (10) da metodologia desenvolvida pelo IBGE, 
permite uma associação direta com a equação básica da metodologia do insumo-
produto de Leontief, ou seja, a matriz DB ou matriz A, que instrumentaliza para uma 
análise das relações intersetoriais, porém restrita a uma avaliação dos impactos 
 7 
diretos, onde mudanças ocorridas em um determinado setor implicam diretamente 
em variações nos demais setores. 
Para uma análise mais ampla do insumo-produto, a matriz (1 - DB)-1, ou 
matriz inversa de Leontief, equivalente a (I - A)-1 do modelo e denota os impactos 
diretos e indiretos, quando mudanças ocorridas em um determinado setor, implica 
direta e indiretamente em variações nos demais setores da economia. 
Uma vez identificadas e demonstradas as matrizes integrantes da equação 
do modelo de insumo-produto, a estrutura matricial conforme Rossetti (1992, p.249) 
pode ser apresenta da seguinte forma: 
 
1 - a11 0 - a12 0 - a13 ... 0 - a1n X1 Y1 
0 - a
 21 1 - a22 0 - a23 ... 0 - a2n X2 Y2 
0 - a31 0 - a32 1 - a33 ... 0 - a3n x X3 = Y3 
....................................................... .... .... 
0 - an1 0 - an2 0 - an3 ... 1 -ann Xn Yn 
 
A primeira matriz indica [ I - A ], enquanto a segunda e a terceira são 
definidas por X e Y respectivamente representando matrizes-coluna, assim o produto 
entre matrizes é obtido da seguinte forma: 
[ I - A ] X = Y 
Ainda de acordo com as explicações de Rossetti (1992, p.250), “a matriz A é 
a matriz dos coeficientes técnicos, I é uma matriz de identidade de ordem n, Xé a 
matriz-coluna dos valores brutos da produção de cada indústria e Y a matriz-coluna 
da demanda final.” 
Normalmente o interesse do analista econômico baseia-se na intenção de 
conhecer os valores brutos da produção, decorrentes dos efeitos diretos e indiretos 
de determinada expansão da demanda final. De maneira análoga, na empresa o 
administrador deseja saber os resultados, sendo necessário detectar os insumos 
para chegar ao resultado desejado. Para tanto, a resolução da equação matricial 
visando o atendimento desse objetivo, requer um procedimento para isolar a matriz 
X. A expressão matricial da forma como está apresentada, permite o cálculo da 
demanda final ( Y ), uma vez conhecidos os coeficientes técnicos ( A ) e o valor bruto 
da produção ( X ). No entanto, o que se deseja é o oposto disto, ou seja, conhecida 
 8 
determinada mudança na demanda final, deseja-se calcular todas as suas 
repercussões no aparelho produtivo da economia e os resultantes valores brutos da 
produção. 
A solução matemática, sem transgredir regras das operações com matrizes, 
advém da multiplicação de ambos os membros da equação pela inversa de [ I - A ], 
ou seja: [ I - A ]-1, então tem-se: 
[ I - A ]-1 . [ I - A ] X = [ I - A ]-1 . Y onde: 
I . X = [ I - A ]-1 . Y, mas como: 
I . X = X, tem-se: 
X = ( I - A )-1 . Y 
Neste sentido, a estrutura matricial fica representada conforme segue: 
 -1 
X1 1 - a11 0 - a12 0 - a13 ... 0 - a1n Y1 
X2 0 - a21 1 - a22 0 - a23 ... 0 - a2n Y2 
X3 = 0 - a31 0 - a32 1 - a33 ... 0 - a3n x Y3 
...
 
 .................................................................... ... 
Xn 0 - an1 0 - an2 0 - an3 ... 1 - ann Yn 
 
Uma vez identificadas e demonstradas as matrizes integrantes da equação 
de Leontief, o desfecho do modelo completo de insumo produto se formaliza através 
da própria equação: X = ( I - A )-1 . Y, permitindo a partir de então uma análise dos 
impactos diretos e indiretos das matrizes insumo-produto que este modelo 
contempla. 
1.3 A Compatibilização de Matrizes Insumo-Produto 
As matrizes insumo-produto para qualquer sistema econômico, no original, 
não são compatibilizadas devido as diferentes disponibilidades de dados para cada 
período transcorrido, desde a publicação de uma matriz até a publicação de outra, 
associado ainda às necessidades de se adaptar as normas de padronização 
recomendadas pela Organização Mundial das Nações Unidas. 
O processo de compatibilização entre matrizes de uma mesma economia é 
necessário devido os diferentes níveis de agregação de setores e produtos quando 
da elaboração das mesmas. Embora o avanço na elaboração e publicação de 
 9 
matrizes tenha alcançado as expectativas da ONU em relação a seus países 
membros, a necessidade de melhorar as técnicas de coleta de dados e 
padronização da metodologia, implicou na publicação de matrizes originais 
descompatibilizadas. Pelas características inerentes do funcionamento de um 
sistema econômico, é natural esperar-se que para cada ramo de atividade, resulte 
em mais de um produto. 
As matrizes originais de insumo-produto, normalmente são representadas 
por um número inferior de atividades em relação ao montante de produtos, 
resultando em matrizes retangulares. Como exemplo, na Matriz brasileira de 1975, 
para a atividade Extrativa Vegetal os equivalentes produtos são: Madeira em Tora, 
Lenha, Carvão Vegetal e Outros produtos da Extrativa Vegetal. 
Para obter uma matriz quadrada do tipo Leontief, as Nações Unidas, 
publicou apostila instruindo sobre o procedimento correto e recomenda que “os 
sistemas de classificação utilizados defina o mesmo número de mercadorias que o 
de indústrias, onde cada indústria se defina em termos de seu produto principal”. No 
exemplo anterior é necessário agregar os produtos para haver correspondência, 
denominando-se simplesmente Madeira em Tora ou Produtos da Extrativa Vegetal, 
para que a nomenclatura do produto seja mais representativa possível. 
São duas as condicionantes básicas que antecedem a obtenção de matrizes 
quadradas e compatibilizadas para análise do insumo-produto. Primeiro que as 
informações nas matrizes originais são dispostas em duas matrizes básicas, a matriz 
de produção e matriz de absorção, ambas retangulares. Segundo, que o nível de 
desagregação setorial se difere entre as mesmas para cada período de 
levantamento de dados. Assim, a estrutura básica de uma matriz insumo-produto se 
subdivide em três submatrizes que compreende a matriz de demanda intermediária, 
a matriz de demanda final e a matriz dos insumos primários ou matriz renda. 
A demanda intermediária ou consumo intermediário “corresponde ao 
consumo corrente realizado pelos setores produtivos”. (ROSSETTI, 1992, p. 298). 
“Demanda intermediária, representa os fornecimentos e aquisições de cada setor em 
relação a si próprio e aos demais.” (Idem, ibid.) Para Considera e Silva (1994, p. 27), 
consumo intermediário “é o consumo de bens e serviços mercantis utilizados na 
produção de outros bens e serviços - mercantis ou não, realizado por unidades 
residentes no território econômico nacional.” Desta maneira, a interdependência 
econômica entre os setores produtivos, resulta da interação entre as unidades 
 10
produtoras que repassam seus bens a outras unidades para serem processados, 
passando por uma nova etapa do processo produtivo na unidade de destino. Neste 
sentido, quanto mais etapas e unidades produtivas a que estão sujeitos os produtos 
no sistema econômico, até ficarem prontos para o consumo final, maior a 
especialização do trabalho e interdependência econômica. Naturalmente, este grau 
de interdependência ocorre de forma distinta para cada seguimento setorial da 
economia. 
Na demanda final, os agregados macroeconômicos básicos, são as 
unidades familiares, o governo e a formação bruta de capital fixo. A partir da ótica da 
produção a demanda final é analisada enfatizando-se unicamente o destino dessa 
produção. Para Considera e Silva (1994, p. 27), a demanda final “são os bens 
destinados à satisfação das necessidades da população”. Destina-se única e 
exclusivamente às unidades familiares e administrações públicas, uma vez que o 
consumo intermediário é atributo das empresas. 
O consumo pessoal na demanda final é atribuído ao indivíduo, quando da 
absorção de bens e serviços do mercado, mediante a contraprestação com recursos 
do seu salário. O consumo do governo é tomado unicamente como uma categoria de 
destino da produção, não sendo valorado a sua produção nem considerados os 
salários pagos nas suas atividades, uma vez que produção e renda restringem-se 
aos setores produtivos. A formação Bruta de Capital Fixo para Considera e Silva 
(1994, p.28), consiste no “valor dos bens duráveis, assim como os serviços a eles 
incorporados, com vida útil normal superior a um ano, para serem usados no 
processo de produção”. 
1.4 Matriz Renda ou Matriz dos Insumos Primários 
Os denominados recursos primários da economia são computados 
separadamente daqueles oriundos das transações intersetoriais no processo 
produtivos. A diferença está que os recursos primários são gerados na própria 
instituição (basicamente os salários, lucros e impostos indiretos), contrapondo-se 
com o conceito de insumos secundários que entram no processo produtivo 
adquiridos de outras instituições, seja dentro do próprio setor que representa ou 
adquiridos de outros setores do sistema econômico. 
Os insumos primários são valores agregados necessários para efetivar a 
produção do bem ou serviço, cuja finalidade está na remuneraçãodo capital (a 
 11
renda, os juros e aluguéis), do trabalho e outras rendas destinadas a compor 
indiretamente parte das receitas públicas, ou seja, os impostos indiretos. 
Como exemplo, basta recorre à matriz renda da economia brasileira de 
1975, pois para identificar essa matriz, o código 8001000 representa o total de 
salários pagos, enquanto que os impostos indiretos estão indicados pelo código 
7070001 e o código 80040001 indica a remuneração do capital. Naturalmente, esses 
itens, dado a complexidade das matrizes insumo-produto, não constituem os únicos 
elementos do valor agregado da economia brasileira, mas são considerados para 
efeito de análise dado os seus níveis de representatividade e objeto de investigação 
e preocupação dos economistas em termos de remuneração do capital, do trabalho 
e geração de impostos. 
Outro exemplo é a matriz renda da economia brasileira de 1985 que, dado o 
seu maior nível de agregação, o IBGE não denominou especificamente com códigos 
os elementos de cada linha da matriz a exemplo do que o fez com as matrizes 
anteriores, no entanto, para melhor identificação dos elementos da matriz, optou-se 
por identificá-los pela ordem das linhas da esquerda para a direita e de cima para 
baixo. Nessa sistemática, são identificados os salários, decomposto em salários com 
vínculo e salário sem vínculo. A remuneração do capital está identificada como 
excedente bruto ou remuneração bruta do capital e os impostos indiretos estão 
denominados como impostos indiretos sobre atividades. 
2 A UTILIZAÇÃO DIRETA DE MATRIZES INSUMO-PRODUTO 
O capítulo anterior esclarece as etapas que antecedem a utilização direta de 
matrizes insumo-produto de Leontief. As etapas que ora se desenvolvem procura 
demonstrar os passos para a utilização de matrizes no planejamento governamental 
e empresarial. 
Tomando-se como exemplo um modelo hipotético simples de economia 
fechada com governo a três setores, ou um sistema empresarial decomposto em “n” 
setores, as matrizes insumo-produto são quadros de dupla entrada, construídos a 
partir da desagregação da conta produção que consiste em estabelecer a produção 
ao nível de cada um dos setores do sistema macroeconômico ou microeconômico 
em nível de empresa, conforme o caso. Em seqüência, o procedimento leva ao 
intercruzamento de vetores-linha e de vetores-coluna, respectivamente 
 12
correspondentes às transações contabilizadas a crédito e a débito. Seguindo esta 
lógica, as matrizes insumo-produto constituem-se de vetores-linha e vetores-coluna. 
Os primeiros indicam, para cada um dos setores do sistema econômico ou 
departamentos de produção na indústria, a destinação de seus produtos. Quanto 
aos vetores-coluna, indicam para cada caso, sistema econômico ou empresa, a 
origem dos bens e serviços intermediários utilizados no processo processamento de 
sua produção e seus correspondentes valores agregados brutos. 
Desta forma, a Figura 1 apresenta o modelo hipotético de matrizes insumo-
produto aplicado a três setores ou departamentos: 
Figura 1 Matriz insumo-produto de três departamentos 
Demanda Intermediária 
 
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Sub-Total DF VBP 
Agricultura 100 400 250 750 400 1150 
Indústria 150 100 400 650 350 1000 
Serviços 600 200 300 1100 500 1600 
Sub Total 850 700 950 2500 1250 3750 
VAB 300 300 650 1250 
VBP 1150 1000 1600 3750 
Fonte: ROSSETTI, 1992, p. 266 
 Conforme os dados da matriz, o valor bruto da produção – VBP de 
cada setor ou indústria é decomposto na demanda intermediária – DI e demanda 
final – DF. O vetor valor agregado bruto – VAB, se constitui na submatriz renda que 
se obtém ao empregar e combinar os insumos procedentes da própria indústria ou 
de outras – ou setores, uma vez que se realiza pagamento a fatores, sob a forma de 
salários, juros, aluguéis, lucros, recolhimento de impostos indiretos, e lança em seus 
custos, estimativa da depreciação do capital fixo utilizado. Ainda em relação ao valor 
bruto da produção – VBP, o mesmo consiste no somatório do valor agregado bruto 
coma as despesas com aquisição de insumos para a realização da produção, na 
empresa individual ou no sistema econômico de modo geral. 
2.1 Planejamento da Demanda Final 
Assim como em qualquer empresa, para o sistema econômico, mais 
explicitamente, nos projetos de governo se objetiva a expansão da demanda final ou 
do produto interno bruto – PIB, mais comumente conhecido. Seguindo o exemplo 
 13
hipotético, se desejarmos um aumento de 50% para o setor 1 – (DF de 400 para 
600); aumento de 60% para o setor 2 – (DF de 350 para 560); e, aumento de 80% 
para o setor 3 – (DF de 500 para 900), para um período de cinco anos, o ponto de 
partida é determinar os coeficientes técnicos de produção. 
Neste sentido, o procedimento consiste em desenvolver algebricamente a 
metodologia das matrizes de Leontief para estimar as taxas de crescimento do valor 
bruto da produção por setor ou indústria e os correspondentes valores absolutos 
das transações intermediárias e finais. 
2.2 Determinação dos Coeficientes Técnicos de Produção 
Determinadas as metas a serem atingidas, pela empresa ou sistema 
econômico, o primeiro passo é estabelecer a notação matricial aos valores 
absolutos, como no exemplo a matriz de demanda intermediária está exposta em 
uma matriz quadrada – três vetores linha por três vetores coluna, conforme a seguir: 
 
a11 a12 a13 100 400 250 
a21 a22 a23 correspondendo 150 100 400 
a31 a32 a33 600 200 300 
 
O coeficiente técnico é obtido averiguando o quanto que cada setor ou 
indústria participa no valor bruto da produção, ou seja: 
a11 = x11/X1 ou 100 /1150 = 0,0870; 
a21 = x21/X1 ou 150 /1150 = 0,1304; 
a31 = x31/X1 ou 600/1150 = 0,5217; 
a12 = x12/X2 ou 400 /1000 = 0,4000; 
a22 = x22/X2 ou 100 /1000 = 0,1000; 
a32 = x32/X2 ou 200/1000 = 0,2000; 
a13 = x13/X3 ou 250 /1600 = 0,1563; 
a23 = x23/X3 ou 400 /1600 = 0,2500; 
a33 = x33/X3 ou 300/1600 = 0,1875, 
onde x11 por exemplo corresponde a 100 na matriz dos valores absolutos e 
para este mesmo exemplo, X1 corresponde ao valor bruto da produção do setor ou 
indústria 1 (agricultura no exemplo). 
 14
2.3 Matriz A ou Matriz dos Coeficientes Técnicos de Produção 
Esta matriz, no sistema de matrizes insumo-produto de Leontief representa o 
espelho da capacidade produtiva para a empresa ou sistema econômico quando do 
levantamento dos dados junto aos relatórios técnicos da empresa ou pelos órgãos 
de pesquisas como no caso brasileiro o instituto brasileiro de geografia e estatística 
– IBGE, para expressar as demanda intermediária e final necessárias, tecnicamente 
para atingir o objetivo almejado ao final do quinto ano como no exemplo. Na 
seqüência, a matriz dos coeficientes técnicos de produção, matriz identidade de 
ordem ‘n’, matriz coluna dos valores brutos da produção por indústria ou setor e a 
matriz coluna da demanda final: 
 
0,0870 0,4000 0,1563 1 0 0 
A = 0,1304 0,1000 0,2500 I = 0 1 0 
0,5217 0,2000 0,1875 0 0 1 
 
X1 1150 Y1 400 
X = X2 corresponde 1000 Y = Y2 corresponde 350 
X3 1600 Y3 500 
 
Sendo a notação matricial simplificada [ I – A ] . X = Y, esta expressão 
matricial permitedeterminar a demanda final ( Y ), conhecidos os coeficientes 
técnicos de produção ( A ) e o valor bruto da produção ( X ), mas a questão se 
resume que o problema é o oposto do que se propõe, ou seja, conhecida uma 
determinada mudança na demanda final ( Y ), busca-se determinar todas as suas 
repercussões no aparelho produtor da economia ( A ) e os resultantes valores 
brutos da produção ( X ). Como saída, multiplica-se os dois membros da expressão 
matricial pelo inverso da [ I – A ]-1 , então: [ I – A ]-1 . [ I – A ] . X = [ I – A ]-1 . Y, ou 
seja, I.X = [ I – A ]-1 . Y , mas, como I.X = X, logo, tem-se: X = [ I – A ]-1 . Y, que 
representa a matriz dos requisitos diretos e indiretos por unidade de demanda final. 
Recorrendo à matriz de coeficientes técnicos de produção ( A ), e 
conhecidos os níveis programados da demanda final de cada indústria ou setor, 
calculam-se os níveis resultantes da demanda intermediária e do valor bruto da 
produção. 
 15
2.4 Matriz dos Requisitos Diretos e Indiretos por Unidade de Demanda Final 
O cálculo da matriz dos coeficientes diretos e indiretos de produção, de 
acordo com a estrutura produtiva de cada unidade produtiva empresarial ou sistema 
econômico, é extremamente favorecido graças ao avanço tecnológico alcançado nos 
últimos tempos com os recursos da planilha eletrônica que a rigor é obtido com a 
inversão da matriz resultante da matriz identidade ( I ) menos a matriz ( A ), que de 
acordo com o exemplo segue representada: 
 1,5147 0,7921 0,5351 
[ I – A ]-1 = 0,5256 1,4680 0,5529 
 1,1018 0,8699 1,7108 
Esta é a matriz dos requisitos diretos e indiretos por unidade de demanda 
final vinculada ao exemplo, oferece subsídios para transformar os impactos de 
índices em valores absolutos. 
2.5 Determinação do Valor Bruto da Produção e Demanda Intermediária 
Programados 
Uma vez estabelecidos os impactos diretos e indiretos por unidade de 
demanda final esta passa a ser a matriz chave que pode estabelecer em valores 
absolutos todas as necessidades de insumos para o alcance de metas 
estabelecidas, seja no âmbito microeconômico das empresas ou no sistema 
macroeconômico nas administrações públicas das esferas municipais, estaduais e 
da união. 
Conhecidas as novas projeções de demanda final e determinada a matriz 
dos coeficientes diretos e indiretos pela matriz inversa da matriz tecnológica menos 
a matriz identidade, calculam-se os novos valores bruto da produção, desagregados 
ao nível de cada indústria ou setor resolvendo o seguinte sistema matricial: 
 
X1 1,5147 0,7921 0,5351 600 
X2 = 0,5256 1,4680 0,5529 x 560 
X3 1,1018 0,8699 1,7108 900 
 
Efetuada a operação indicada são obtidos os novos valores brutos da 
produção de cada uma das indústrias ou setores do sistema econômico, ou seja: 
X1 = (1,5147 x 600) + (0,7921 x 560) + (0,5351 x 900) = 1.834 
 16
X2 = (0,5256 x 600) + (1,4680 x 560) + (0,5529 x 900) = 1.635 
X3 = (1,1018 x 600) + (0,8699 x 560) + (1,7108 x 900) = 2.688 
Conhecidos os valores brutos da produção e recorrendo à matriz dos 
coeficientes técnicos inicialmente calculados é estabelecida a nova estrutura setorial 
ou industrial de insumo-produto conforme segue: 
x11 = a11.X1 ou 0,0870 x 1.834 = 160, 
x21 = a21.X1 ou 0,1304 x 1.834 = 239, 
x31 = a31.X1 ou 0,5217 x 1.834 = 957; 
x12 = a12.X2 ou 0,4000 x 1.635 = 654, 
x22 = a22.X2 ou 0,1000 x 1.635 = 164, 
x32 = a32.X2 ou 0,2000 x 1.635 = 327; 
x13 = a13.X3 ou 0,1563 x 2.688 = 420, 
x23 = a23.X3 ou 0,2500 x 2.688 = 672, 
x33 = a33.X3 ou 0,1875 x 2.688 = 504. 
Com os novos valores brutos da produção por setor ou indústria e com a 
nova estrutura setorial ou industrial de insumo-produto, por resíduo, chega-se aos 
novos valores agregados brutos de cada setor ou indústria, definindo desta forma, a 
matriz modificada em decorrência das metas estabelecidas de demanda final, como 
na Figura 2, a seguir: 
Figura 2 Matriz modificada 
Demanda Intermediária 
 
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Sub-Total DF VBP 
Agricultura 160 654 420 1.234 600 1.834 
Indústria 239 164 672 1.075 560 1.635 
Serviços 957 327 504 1.788 900 2.688 
Sub Total 1.356 1.145 1.596 4.097 2.060 6.157 
VAB 478 490 1092 2.060 
VBP 1.834 1.635 2.688 6.157 
Fonte: ROSSETTI, 1992, p. 270 
O desfecho da aplicação desta ferramenta, a utilização das matrizes insumo-
produto, no planejamento público e empresarial, está sintetizado em Rossetti (2002, 
p. 270-271), conforme segue: 
A nova matriz obtida reverte-se de fundamental importância como 
instrumento de orientação do crescimento econômico programado. Os novos valores 
 17
obtidos para as transações intra e interindustriais constituem ‘marcos de referência’, 
indicadores dos suprimentos que devem ocorrer dentro do aparelho de produção da 
economia, para que os novos níveis programados de demanda final possam ser 
efetivamente alcançados. A matriz indica os montantes dos valores brutos da 
produção, dos valores agregados brutos e das relações intra e interindustriais 
‘compatíveis com a demanda final desejada’. Confrontando-se esses novos 
montantes com a capacidade de produção instalada, podem ser definidos os planos 
de expansão do aparelho produtor do sistema, no sentido de que a capacidade de 
produção de cada ramo industrial possa ser adequada não somente aos níveis 
programados da demanda final, mas também às exigências internas dos 
fornecedores intermediários. Se os planos de expansão forem orientados segundo 
os marcos de referencia fornecidos pela matriz modificada de insumo-produto, 
poderão ser minimizados os pontos de estrangulamento internos, no sentido de que 
as metas de crescimento da demanda final não sejam comprometidas por 
insuficientes capacidades de atendimento da demanda intermediária. 
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 A base do sucesso no mundo moderno é o domínio da informação. Não 
obstante, o fluxo de dados transborda as caixas postais dos executivos e dos 
relatórios das empresas e das repartições públicas. Paradoxalmente, a geração de 
dados provoca uma multiplicidade de inovações para matar a sede de informações 
que ultrapassam a capacidade de registros. Ao mesmo tempo, fazer levantamento 
de dados como pesquisa de mercado, novas tendências para os negócios e as 
melhores escolhas para investimentos em papéis públicos ou privados, custa muito 
dinheiro. A ferramenta matrizes insumo-produto de Leontief vem trazer alento ao 
mundo dos negócios quando utilizada adequadamente, pois otimiza os custos 
facilitando o gerenciamento de negócios, abrangendo o maior número de dados com 
o menor custo possível na obtenção das informações em valores absolutos. É a 
ferramenta do século XX que associada ao avanço tecnológico, como no caso das 
planilhas eletrônicas, facilita o gerenciamento das empresas e leva ao sucesso 
pessoas e entidades pelo uso extraordinário do maior número e domínio de 
informações. O sucesso absoluto no uso das matrizes insumo-produto de Leontief se 
complementa com o auxílio da estatística para o alcance abrangente das 
 18
informações ao menor custo possível, constatando-se na prática o que a teoria 
afirma. Na dúvida, basta que coloquemos à prova pesquisas sobre os mais variados 
assuntos fazendo uso da ferramenta – as matrizes insumo-produto de Leontief. 
 
REFERÊNCIAS 
CONSIDERA, Cláudio M.; SILVA, Antônio Bras de O. Contas Nacionais. Niterói, 
Universidade Federal Fluminense, Faculdade de Economia e Administração, Departamento 
de Economia, 1994. 172 p. 
IBGE/DECNA. Matrizde relações intersetoriais: Brasil 1975. Rio de Janeiro, 1989. 565 p. 
IBGE/DECNA. Matriz de relações intersetoriais: Brasil 1985. Rio de Janeiro, 1995. 
LEONTIEF, Wassily. A economia do insumo-produto; tradução de Maurício Dias David, São 
Paulo, Abril Cultural, 1983. 226 p. 
MENEZES, Antônio C.; ORTEGA, José A. Matrizes insumo-produto brasileiras 1970, 
1975 e 1980: compatibilização de atividades e produtos, metodologia e resultados. Rio 
de Janeiro: UFRJ/IEI, 1991. 72 p. 
MIERNYK, Willian H. Elementos de análise do insumo-produto; tradução de Augusto 
Reis. São Paulo, Atlas, 1974. 164 p. 
NACIONES UNIDAS. Problemas y análisis de las tablas de insumo-producto. Serie F nº 
14, Rev. 1, Nueva York: Departamento de Asuntos Económicos y Sociales, Oficina de 
Estadística de las Naciones Unidas. Estudios de Métodos, 1974. 155 p. 
QUESNAY, François. Tableau économique des physiocrates, 1758, tradução de João 
Guilherme Vargas Neto. São Paulo: Abril Cultural 1983. 106 p. 
RICHARDSON, Harry W. Insumo-produto e economia regional; tradução de Sérgio Goes 
de Paula. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1978. 267 p. 
ROSSETTI, José Paschoal. Contabilidade nacional: uma abordagem introdutória. 2ª ed., 
São Paulo: Atlas, 1992, 298 p. 
ROSSETTI, José Paschoal. Contabilidade nacional: uma abordagem introdutória. 3ª ed., 
São Paulo: Atlas, 2002, 307 p.