Apostila Eletricidade

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1 Apostila de Eletricidade 
 
Unidade 1 
A NATUREZA DA ELETRICIDADE 
 
1.1 Introdução 
 
No século VI A.C., na Grécia Antiga, o grego Thales de Mileto descobriu uma resina fóssil 
(o âmbar), cujo nome em grego é elektron, que adquiria a propriedade de atrair corpos leves quando 
atritada com lã. Esse fato ficou praticamente esquecido até 1600 quando o médico inglês William 
Gilbert, retomando as observações de Thales, inventou o pêndulo elétrico, o que tornou possível a 
observação de uma série de fenômenos que se transformaram na base da Eletricidade. A Eletrostáti-
ca é o ramo da Eletricidade que estuda as cargas elétricas em repouso. 
A eletricidade é uma forma de energia. Primariamente, os estudiosos da eletricidade se 
preocupavam em como controlar a energia elétrica, pois, sabe-se que, quando controlada correta-
mente, essa forma de energia pode realizar muito trabalho para manter a sociedade em atuação. En-
tretanto, a eletricidade sem controle pode ser muito destrutiva. 
 
1.2 Estrutura da Matéria 
 
Toda a matéria é formada por átomos, que são os elementos básicos encontrados na natu-
reza. Existem mais de cem diferentes tipos de átomos. A substância formada por um único tipo de 
átomo é chamada elemento. Então, existem tantos elementos quantos são os átomos. O ouro, a pra-
ta, o tungstênio, o cobre e o alumínio são exemplos de elementos. 
No mundo existem milhares e milhares de diferentes materiais e muitos deles são compos-
tos por mais de um elemento. Quando diferentes tipos de átomos se combinam quimicamente, eles 
formam os materiais chamados compostos. O vidro, o giz, a pedra e a madeira são constituídos de 
átomos, independente de suas características físicas. A pedra é diferente da madeira devido aos ti-
pos de átomos que a compõem. Um outro exemplo de um material composto é a água (H2O). Mui-
tos dos componentes utilizados em circuitos eletrônicos são compostos. 
Os átomos, por sua vez, são constituídos por partículas menores. As três principais partícu-
las que formam os átomos são: o elétron, o próton e o nêutron. O centro do átomo é chamado nú-
cleo, o qual contém os prótons e os nêutrons. A parte periférica do átomo é chamada de eletrosfera, 
a qual contém os elétrons que giram em nuvens elípticas ao redor do núcleo. O elétron possui um 
2 Apostila de Eletricidade 
volume maior (aproximadamente 2000 vezes) que o volume do próton ou o do nêutron. No entanto, 
ele é muito mais leve que o próton ou o nêutron (em torno de 2000 vezes mais leve). Deste modo, o 
núcleo do átomo contém o maior peso, enquanto os elétrons compõem o maior volume. A figura 1.1 
representa o átomo de hélio em uma forma bidimensional. Trata-se de um átomo simples com nú-
cleo composto de dois prótons e dois nêutrons. Os dois únicos elétrons orbitam em torno do núcleo. 
Figura 1.1 Estrutura de um átomo de hélio. 
 
1.3 Carga Elétrica ( Q ) 
 
As primeiras explicações de que, quando são esfregados uns contra os outros, certos corpos 
adquirem a propriedade de atrair pequenos objetos foram dadas pelo filósofo e matemático grego 
Thales de Mileto. Atualmente sabe-se que, quando duas substâncias diferentes são atritadas e depois 
separadas (ex.vidro e lã), elas passam a apresentar propriedades físicas importantes (item 1.4). 
Várias teorias foram propostas para explicar os fenômenos de atração e repulsão entre os corpos. Há 
muito é aceita a idéia que estes corpos, quando atritados, adquirem uma propriedade caracterizada 
por uma grandeza denominada carga elétrica, tendo os fenômenos sido denominados fenômenos 
elétricos. 
Os elétrons e prótons possuem cargas elétricas. Convencionou-se que o elétron possui uma 
carga elétrica negativa (−), enquanto o próton possui uma carga elétrica positiva (+). Duas cargas 
positivas ou duas cargas negativas se repelem, ao passo que duas cargas elétricas opostas se atraem. 
Estas interações são representadas na Figura 1.2. A força de atração entre o próton (positivo) e o 
elétron (negativo) ajuda a manter a órbita do elétron em torno do núcleo. O nêutron, localizado no 
núcleo do átomo, não possui carga elétrica e por isso ele pode ser ignorado quando se considera a 
carga elétrica do átomo. 
 
 
Apostila de Eletricidade 3 
Figura 1.2 Tipos de força entre as cargas elétricas. 
 
Deste fato pode-se concluir que 
 
Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem. 
 
Um átomo em equilíbrio tem uma carga elétrica igual a zero, ou seja, sempre possui um 
número de elétrons igual ao número de prótons. Se diz que um átomo é eletricamente neutro mesmo 
que individualmente os prótons e os elétrons estejam eletricamente carregados. 
Portando, uma substância estará eletrizada quando as suas quantidades de prótons e de 
elétrons forem diferentes, ou seja, quando se altera o equilíbrio entre prótons e elétrons é que a 
substância apresenta propriedades elétricas. 
 
1.4 Elétrons de Valência 
 
Os elétrons de valência são os elétrons que estão na última camada do átomo. Eles estão 
envolvidos em reações químicas e correntes elétricas. 
Quanto mais próximas entre si estiverem duas partículas de cargas elétricas opostas, maior 
será a força de atração entre elas. À medida que o elétron e o próton do núcleo se distanciam, a 
atração entre eles decresce. Portanto, os elétrons de valência sofrem menor atração do núcleo do 
que os elétrons localizados nas camadas mais internas. 
Todos os elétrons possuem energia e, portanto, são capazes de realizar trabalho. Elétrons 
de valência possuem mais energia do que os elétrons localizados nas camadas mais internas. Em 
geral, quanto mais afastado do núcleo estiver o elétron, maior é a energia que ele possui. 
 
 
 
 
4 Apostila de Eletricidade 
1.5 Elétrons Livres 
 
Os elétrons livres são todos aqueles elétrons de valência que temporariamente separam-se 
de seus átomos. Eles estão livres, próximos ao espaço em volta do átomo. Eles não estão agregados 
a qualquer átomo em particular. Somente os elétrons de valência podem tornar-se elétrons livres. Os 
elétrons localizados nas camada mais internas são muito presos ao núcleo e não podem ser 
separados do átomo original. Um elétron de valência é libertado de seu átomo quando energia é 
adicionada ao átomo. Tal energia permite ao elétron de valência escapar da força de atração entre si 
e o núcleo. Aquecer um átomo é uma forma de providenciar esta energia adicional para libertar os 
elétrons de valência. 
 
1.6 Cálculo da Carga Elétrica de um Corpo 
 
A carga do elétron é a menor quantidade de carga elétrica existente na natureza, motivo 
pelo qual foi tomada como carga padrão nas medidas de carga elétrica. 
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de medida de carga elétrica é o 
Coulomb (C). A carga do elétron, quando tomada em valor absoluto, é chamada de carga elétrica 
elementar e é representada por e. 
 
Carga elementar → 1,6.10−19 C 
Carga do próton → +1,6.10−19 C 
Carga do elétron → −1,6.10−19 C 
Como visto anteriormente, se em um corpo o número de prótons for igual ao número de 
elétrons, diz-se que ele está neutro. Quando um corpo apresenta falta ou excesso de elétrons, ele 
adquire, respectivamente, uma carga elétrica Q positiva ou negativa, a qual é sempre um número 
inteiro n de elétrons, de modo que: 
 
 Q ne= (1.1) 
 
onde, 
n: número de elétrons perdidos ou ganhos pelo corpo (desequilíbrio entre o número de 
prótons e elétrons no corpo); 
e: carga elétrica elementar ( C ) . 
Apostila de Eletricidade 5 
 
Exemplo 1.1: 
 
a) Um corpo possui 3.1018 elétrons e 4.1018 prótons. Qual é a carga elétrica deste corpo? 
 n = 4.1018 − 3.1018 = 1.1018 elétrons em falta 
 Q = n e = 1.1018 × 1,6.10−19 = 1,6.10−1 C = 0,16 C (positiva) 
 
b) Quantos elétrons em excesso tem um corpo eletrizado com uma carganegativa de 16 nC? 
 
9
10
19
16.10 10.10 elétrons
1,6.10
QQ n e n
e
−
−
= ⋅ ⇒ = = = 
 
1.7 Lei de Coulomb 
 
Considere duas cargas puntiformes Q e q separadas por uma distância d, observando-se 
que chamam-se de cargas puntiformes os corpos eletrizados cujas dimensões são desprezíveis em 
comparação com as distâncias que os separam de outros corpos eletrizados. 
Sabe-se que cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e de sinais diferentes se atraem 
(fig.1.3). Isto acontece devido à ação de forças de natureza elétrica sobre elas. 
Em fins do século XVIII, Charles Coulomb verificou experimentalmente que, 
 
A força de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas é diretamente 
proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
que as separa. 
 
 
1.8 Campo Elétrico ( E ) 
 
O campo elétrico é a região do espaço que envolve um corpo eletrizado, onde outras cargas 
ficam sujeitas a forças de origem elétrica. 
Considerando-se uma carga Q, sabe-se que esta originará um campo elétrico ao seu redor. 
Admitindo-se esta carga Q fixa, quando se coloca a uma certa distância desta uma carga de prova q, 
a qual por definição é sempre positiva, sabe-se que q fica sujeita a uma força F. 
Portanto, o vetor campo elétrico E mede a força por unidade de carga que age num ponto 
6 Apostila de Eletricidade 
qualquer da região de influência da carga Q (eq. 1.4), analogamente ao campo gravitacional da 
Terra. Para ajudar na visualização de campos elétricos são utilizadas linhas imaginárias, as quais 
recebem o nome de linhas de força. 
A direção do vetor campo elétrico num determinado ponto P é a direção da reta que une o 
ponto P à carga puntiforme que originou o campo e o sentido deste vetor depende do sinal da carga 
que origina o campo. A Figura 1.3 mostra a direção e sentido dos campos elétricos criados por 
cargas puntiformes positivas e negativas, assim como a direção e sentido do vetor força sobre uma 
carga de prova q colocada em um ponto P do campo elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura 1.4 representa um campo elétrico uniforme originado por duas placas paralelas e 
uniformemente eletrizadas com cargas elétricas de sinais contrários. Neste tipo de campo, o vetor 
campo elétrico é constante em todos os pontos do campo, isto é, tem sempre a mesma intensidade, a 
mesma direção e o mesmo sentido. Nele, as linhas de força são retas paralelas igualmente 
orientadas e igualmente espaçadas. 
Figura 1.4 Campo elétrico uniforme. 
 
+ 
Carga Positiva 
Campo de Afastamento 
 - 
Carga Negativa 
Campo de Aproximação 
Figura 1.3 Campo elétrico de cargas puntiformes e força elétrica sobre uma carga de prova q. 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 B 
 A 
 
q 
F 
q 
F 
Apostila de Eletricidade 7 
1.9 Tensão Elétrica ou Diferença de Potencial Elétrico (ddp) 
 
A tensão é um tipo de “pressão elétrica” que provoca o movimento de cargas elétricas 
através de um meio condutor. A tensão é também conhecida como força eletromotriz (fem) ou 
diferença de potencial (ddp). A diferença de potencial é o termo que melhor descreve o fenômeno, 
porque uma tensão é uma diferença de potencial elétrico existente entre dois pontos. Para que se 
entenda melhor a tensão, deve-se entender energia potencial elétrica e potencial elétrico. 
Antes, porém, é preciso relembrar que a energia existente na natureza encontra-se na forma 
cinética ou na forma potencial. A energia cinética se refere à energia em movimento. Quando se 
chuta uma bola de futebol, ela adquire energia cinética. O seu pé realiza trabalho quando bate na 
bola, ou seja, o seu pé exerce uma força na bola colocando-a em movimento. A energia potencial é 
a energia em repouso. Quando ela está sendo transformada, converte-se em energia cinética. Por 
exemplo, a água armazenada em um lago de uma usina hidrelétrica possui energia potencial devido 
às forças gravitacionais. Quando se necessita dessa energia, a água circula através de tubos, em 
forma de energia cinética e atinge as pás das turbinas. 
De uma forma semelhante, uma carga elétrica possui energia potencial elétrica. Considere-
se o campo elétrico da Figura 1.3. Ao se abandonar, por exemplo, uma carga de prova em um ponto 
A distante 2m da carga Q, uma força elétrica age sobre esta carga. No entanto, se esta mesma carga 
for abandonada em um ponto B distante 5m da carga Q, uma força elétrica também agirá sobre a 
carga de prova, só que agora com menor intensidade. Assim, a diferença entre os pontos A e B, a 
carga elétrica possui uma energia associada à sua posição chamada de energia potencial elétrica ou 
tensão. 
A tensão é uma diferença de potencial elétrico (ddp). Portanto, a tensão entre os pontos A e 
B pode ser escrita por, 
 VAB = VA – VB (1.7) 
 
A tensão é uma das grandezas mais importantes da eletricidade, sendo utilizada para 
explicar o movimento das cargas elétricas. 
As fontes, também chamadas de geradores, são elementos cuja função é a alimentação dos 
circuitos elétricos, isto é, têm a função de fornecer energia elétrica para a movimentação das cargas 
elétricas a fim de possibilitar que os circuitos funcionem de maneira adequada. Todas as fontes 
disponíveis são capazes de fornecer uma diferença de potencial (ddp) entre seus terminais, motivo 
pelo qual recebem a denominação técnica de fontes de tensão. O cientista italiano, Alexandre Volta, 
em 1800 conseguiu obter uma corrente elétrica de duração apreciável construindo uma pilha que era 
8 Apostila de Eletricidade 
constituída por duas placas metálicas (eletrodos), uma de zinco e outra de cobre, mergulhadas numa 
solução de ácido sulfúrico (eletrólito, líquido condutor). Pode-se obter uma ddp apenas introduzindo 
uma placa de cobre e outra de zinco em um limão (Figura 1.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5 Diferença de potencial entre dois eletrodos. 
 
1.9.1 Instrumento de Medida para Tensão Elétrica 
A tensão entre dois pontos de um circuito elétrico é medida através de um instrumento 
chamado Voltímetro. A ligação do voltímetro é bastante simples, basta conectá-lo entre os dois 
pontos que se deseja medir a tensão ou ddp (experimento 1.1). Na Figura 1.6, apresenta-se o 
símbolo utilizado para este instrumento. 
 
 
Figura 1.6 Símbolo do Voltímetro. 
 
1.9.2 Tipos de Tensão 
A tensão elétrica pode ser classificada em dois tipos: tensão contínua e tensão alternada. 
 
a) Tensão Contínua: é aquela que apresenta sempre o mesmo valor (módulo) e mesma polaridade 
com o transcorrer do tempo (Figura 1.7). É encontrada em pilhas e baterias. 
0 t
V
v
 
Figura 1.7 Tensão contínua 
V 
ddp 
Cobre 
Zinco 
Apostila de Eletricidade 9 
 
b) Tensão Alternada: é aquela que varia em intensidade (módulo) e que periodicamente inverte a 
sua polaridade com o transcorrer do tempo (Figura 1.8). Podemos encontrar tensão alternada nas 
tomadas residenciais. No caso do Brasil, esta inversão de polaridade ocorre 120 vezes por segundo 
(a freqüência da rede elétrica é 60 Hz). 
0 t
V
-V
v
 
Figura 1.8 Tensão alternada 
 
1.10 Corrente Elétrica ( I ) 
 
A corrente elétrica é o movimento de partículas carregadas em uma direção específica. A 
partícula carregada pode ser um elétron, um cátion ou um ânion e é, muitas vezes, referida como 
portador de corrente. O movimento da partícula pode ser através de um sólido, um gás, um líquido 
ou o vácuo. Em um sólido, como um fio de cobre, o portador de corrente é o elétron. Os íons no fio 
de cobre e em outros sólidos são mantidos rigidamente no local pela estrutura atômica (cristalina) 
do material. Portanto, os íons não podem ser portadoresde corrente em materiais sólidos. Entretan-
to, nos líquidos e nos gases, os íons estão livres para se movimentar pela região vizinha e tornarem-
se portadores de corrente. 
Em se tratando de Eletricidade, foi visto que a tensão (ddp) é a grandeza responsável pela 
circulação de corrente em meios condutores. A ddp exerce uma força elétrica sobre os portadores de 
corrente, fazendo com que estes entrem em movimento e, assim, estabelecendo a circulação de cor-
rente. A Eletrodinâmica é o ramo da Eletricidade que estuda os fenômenos que ocorrem com as 
cargas elétricas em movimento. 
O símbolo de corrente elétrica é I. O símbolo I foi escolhido porque, primitivamente, os ci-
entistas falavam em intensidade da corrente elétrica em um fio. No Sistema Internacional de Unida-
des, a unidade de corrente elétrica é o Ampère (A). 
10 Apostila de Eletricidade 
 
1.10.1 Sentidos da Corrente Elétrica 
 
O sentido da corrente elétrica é determinado pelo sinal do portador de corrente que é utili-
zado na análise do circuito. É importante salientar que este sentido é apenas uma referência para a 
análise elétrica do circuito, não tendo ligação alguma com o sentido correto do movimento dos por-
tadores de corrente no condutor em questão. 
 
Os sentidos da corrente elétrica, então, podem ser: 
 
a) Sentido eletrônico ou real: analisa o movimento das cargas elétricas negativas, ou seja, 
os portadores de corrente se movimentam para pontos de maior potencial. 
 
b) Sentido convencional: analisa o movimento das cargas elétricas positivas, ou seja, os 
portadores de corrente se movimentam para pontos de menor potencial. 
 
1.10.2 Corrente Contínua e Corrente Alternada 
 
Sabendo-se que a responsável pelo estabelecimento de uma corrente elétrica é a tensão, 
dependendo do tipo de tensão, tem-se um determinado tipo de corrente. Por exemplo, a corrente que 
circula através de uma lâmpada conectada a pilhas ou a uma bateria é uma corrente contínua. Por 
outro lado, a corrente que circula através de uma lâmpada conectada a uma tomada elétrica residen-
cial é uma corrente alternada. 
 
Exemplos: 
0 t
I
i
 
 
 
a) Módulo e Sentido constantes 
0 t
I
- I
i
 
b) Módulo e Sentido variáveis 
Figura 1.9: a) Corrente contínua e b) Corrente alternada 
Apostila de Eletricidade 11 
 
1.10.3 Cálculo da Intensidade da Corrente Elétrica 
 
Fisicamente, a corrente elétrica relaciona a quantidade de carga elétrica que passa através 
da seção transversal de um condutor e o tempo decorrido nesta movimentação. Matematicamente, 
esta relação pode ser expressa como 
 
 qI
t
∆
=
∆
 
(1.9) 
 
onde, 
∆q é a quantidade de carga elétrica que circula através da seção transversal do condutor; 
∆t é o intervalo de tempo decorrido (em segundos). 
 
Em termos de unidades, tem-se 
 
u( ) (C)
u( ) (A)
u( ) (s)
q CoulombI Ampère
t segundo
∆
= = =
∆
 
 
Exemplo 1.2: Uma carga elétrica de 960 µC atravessa a seção transversal de um fio condutor em 
um tempo de 30 s. Calcule a intensidade da corrente elétrica que percorreu este fio. 
 
6
6960.10 32.10 A 32 A
30
qI I
t
µ
−
−
∆
= = = → =
∆
 
 
Exemplo 1.3: Uma corrente elétrica de 200 mA percorreu um condutor sólido em um intervalo de 
tempo de 2 s. Calcule a quantidade de elétrons que atravessaram a seção transversal deste condutor. 
 
CtIq
t
qI 33 10.4002x10.200 −− ==∆=∆→
∆
∆
= 
3
16
19
400.10
 250.10 elétrons
1,6.10
q
n n
e
−
−
= = = 
 
1.10.4 Instrumento de Medida para Corrente Elétrica 
A corrente elétrica de um circuito elétrico é medida através de um instrumento chamado 
Amperímetro. Para ligar o amperímetro, deve-se seccionar o circuito no ponto em que se quer 
12 Apostila de Eletricidade 
conhecer a corrente e ali inseri-lo. Na Figura 1.10, apresenta-se o símbolo utilizado para este 
instrumento. 
 
Figura 1.10: Símbolo do Amperímetro. 
1.11 Exercícios 
 
1.11.1 Assinale a afirmativa correta. 
 
1. Duas chapas metálicas com cargas elétricas de sinais contrários, onde A tem carga negativa e B 
tem carga positiva, são interligadas por um fio condutor. Através do fio, deslocam-se: 
a) prótons de A para B. 
b) elétrons de A para B. 
c) elétrons de B para A e prótons de A para B. 
d) prótons de B para A e elétrons de A para B. 
 
2. Dispõe-se de quatro esferas metálicas P, Q, R e S. Sabe-se que P repele Q, que P atrai R, que R 
repele S e que S está carregada positivamente. Pode-se dizer que: 
a) P está carregada positivamente. 
b) P e Q estão carregadas positivamente. 
c) P e R têm cargas de mesmo sinal. 
d) P repele S. 
e) Q tem carga negativa. 
 
1.11.2 Resolva os problemas abaixo. 
 
1. Considerando que o módulo da carga elétrica de um elétron é 1,6.10-19C, calcule quantos elétrons 
devem ser retirados de um determinado corpo para que ele adquira uma carga de 1C. 
 Rta.:6,25.1018 elétrons 
 
 
2. Um corpo apresenta-se eletrizado com carga Q=32µC. Pede-se: 
a) informar se o corpo recebeu ou cedeu elétrons na eletrização, explicando sua resposta. 
b) calcular o nº de elétrons transferidos na eletrização. Rta.:200.1012 elétrons 
 
A 
Apostila de Eletricidade 13 
3. Um corpo, inicialmente neutro, recebeu 300.1012 elétrons quando foi eletrizado. Responda: 
a) qual o módulo da carga elétrica deste corpo? Rta.:48µC 
b) o corpo, agora, está eletrizado positivamente ou negativamente? 
 
 
 
 
4. O que é corrente elétrica? Qual a sua unidade? 
 
 
 
 
5. Diferencie corrente contínua de corrente alternada. 
 
 
 
 
6. A cada 64ms, uma carga de 0,16C atravessa a seção reta de um condutor. Determine a corrente 
em Ampères. Rta.: 2,5 A 
 
 
 
7. Determine o tempo necessário para que 4.1016 elétrons atravessem a seção reta de um condutor, 
se a corrente for 5mA. Rta.: 1,28s 
 
 
 
 
Respostas item 1.11.1. 
1. b) elétrons de A para B. 
2. e) Q tem carga negativa. 
Respostas item 1.11.2. 
2. a) cedeu. 
3. b) negativamente. 
14 Apostila de Eletricidade 
Unidade 2 
LEI DE OHM 
2.1 Introdução 
 
George S. Ohm foi um físico alemão que muito contribuiu para o progresso das pesquisas 
no ramo de eletricidade. Deve-se a ele o estabelecimento da relação entre as grandezas tensão, cor-
rente e resistência elétrica em um circuito. Após várias experiências, medindo tensões e correntes 
em diferentes condutores, verificou que, para muitos materiais, a relação entre a tensão e corrente 
mantinha-se constante, sendo, portanto, uma característica do condutor. 
 
1ª. Lei de Ohm 
 
O quociente entre a tensão nos terminais de um resistor pela intensidade de corrente 
que o atravessa é constante e igual à resistência elétrica do resistor. 
 
I
VR =
 (2.1) 
 
As relações entre estas grandezas da 1ª. Lei de Ohm pode ser expressa como: 
 
V RI= (2.2) 
 
A tensão elétrica é diretamente proporcional ao produto da resistência e a corrente elétrica. 
 
VI
R
= (2.3) 
 
A corrente elétrica é diretamente proporcional à tensão e inversamente proporcional à resistência 
elétrica. 
 
 
 
Exemplo 2.1: Uma minilâmpada de 12 V consome uma corrente elétrica de 80 mA. Calcule a sua 
resistência elétrica. 
Ω=Ω===
−
 150 10150
1080
12 3
3 .,
.
R
I
VR 
 
Apostila de Eletricidade 15 
Exemplo 2.2: Calcule a corrente da lâmpada do exemplo anterior, se ela fosse alimentada por uma 
tensão de 9 V, considerando a resistência elétrica constante. 
mA 60A 06,0
150
9
==== I
R
VI 
 
2.2 ResistênciaElétrica ( R ) 
 
A oposição que um material oferece à circulação de corrente é chamada resistência elétri-
ca. O símbolo utilizado para a resistência é a letra R. No Sistema Internacional de Unidades, a uni-
dade de resistência elétrica é o Ohm (Ω). 
Todos os materiais oferecem alguma resistência à passagem da corrente. Alguns mais, ou-
tros menos. Por isso, os materiais podem ser classificados em: 
Condutores: oferecem resistência muito baixa à passagem da corrente elétrica. Em geral, 
estes elementos possuem três ou menos elétrons na camada de valência. Como exemplo, tem-se o 
cobre (1), a prata (1), o ferro (2), o alumínio (3), etc. Entre esses elementos existe uma grande vari-
ação na capacidade de conduzir a corrente elétrica. Por exemplo, o ferro tem, aproximadamente, 
cinco vezes mais resistência do que o cobre, todavia, ambos são considerados condutores. Embora a 
prata seja ligeiramente melhor condutora do que o cobre, ela é muito mais cara. O alumínio não é 
um condutor tão bom quanto o cobre, entretanto é mais barato e mais leve. A supercondutividade é 
a condição na qual um material não tem resistência elétrica. 
Isolantes: são materiais que oferecem uma alta resistência à corrente. Em termos práticos, 
considera-se como isolante aquele material que não permite que a corrente elétrica circule através 
de si. Os materiais mais comumente empregados em eletricidade são papel, madeira, vidro, plástico, 
borracha e mica. Normalmente, os materiais isolantes não são elementos puros, mas materiais nos 
quais dois ou mais elementos são compostos para formar uma nova substância. Neste processo, os 
elementos partilham seus elétrons de valência (ligação covalente). Na natureza, não existe um mate-
rial isolante perfeito. 
Semicondutores: possuem resistência intermediária entre os condutores e os isolantes. 
Possuem quatro elétrons de valência. Os materiais semicondutores mais conhecidos são germânio e 
silício. Os materiais semicondutores são muito utilizados em processos industriais para a fabricação 
de componentes eletrônicos, tais como diodos, transistores, circuitos integrados, etc. 
 
16 Apostila de Eletricidade 
2.2.1 Cálculo da Resistência Elétrica 
 
A resistência elétrica de um condutor depende do comprimento do condutor, da área da sua 
seção transversal e do tipo de material que é constituído. 
 
2ª. Lei de Ohm 
A resistência de um condutor é função, basicamente, das dimensões e do tipo de material 
que o constitui. 
Em termos de dimensão, tem-se que quanto maior o comprimento (ℓ), maior será a resis-
tência do condutor. Quanto maior a área da seção transversal (�), menor será a resistência elétrica. 
Portanto, pode-se escrever que 
 
 
1
 R R R
A A
∝ ∝ ⇒ ∝
l
l 
 
A constante de proporcionalidade para transformar a proporção acima em igualdade é a re-
sistividade do material. Esta propriedade traduz de que forma o tipo de material influi no valor da 
resistência elétrica do condutor. O símbolo de resistividade (também conhecida como resistência 
específica) é a letra grega rô (�). Portanto a expressão anterior pode, agora, ser escrita como uma 
igualdade 
 
� = �
ℓ
�
 
(2.4) 
 
Na equação acima, isolando-se a resistividade obtém-se 
 
 
RAR
A
ρ ρ= → =l
l
 
 
portanto, em termos de unidades resulta 
 
2u( ) u( ) m
u( ) m
u( ) m
R Aρ ⋅ Ω ⋅= = = Ω ⋅
l
 
 
Por outro lado, variações de temperatura podem provocar variação na resistência elétrica dos condu-
Apostila de Eletricidade 17 
tores. Este fator de variação é conhecido como coeficiente de temperatura da resistividade e cada 
material tem seu próprio coeficiente. O símbolo é a letra grega alfa (α) e a sua unidade é o °C−1. 
Nem todos os materiais se comportam de forma semelhante com variações de temperatura. 
Por exemplo, o carbono tem um coeficiente de temperatura negativo. Isto significa que se a tempe-
ratura aumenta, a sua resistência diminui. Já a maioria dos metais apresenta um coeficiente de tem-
peratura positivo (a resistência elétrica aumenta com aumentos de temperatura). Finalmente, exis-
tem materiais que, praticamente, não variam a sua resistência com a variação da temperatura. Em 
geral, são ligas metálicas, como por exemplo, o constantan (55% Cu + 45% Ni). 
Matematicamente, a relação entre a resistividade e a temperatura pode ser expressa como 
 
 0 (1 )tρ ρ α= + ∆ (2.5) 
onde, 
0 e ρρ são as resistividades, respectivamente, nas temperaturas t e t0; 
∆t é a variação de temperatura, ou seja, ∆t = t − t0. 
 
A tabela 2.1 apresenta alguns materiais e os seus respectivos valores de resistividade e coe-
ficiente de temperatura. 
 
Tabela 2.1 Valores típicos de resistividade e de coeficiente de temperatura de alguns materiais. 
 Material ρ (Ω⋅m) à 20°C α (°C−1) 
Condutores 
Prata 1,6.10−8 0,0038 
Cobre 1,7.10−8 0,0040 
Alumínio 2,8.10−8 0,0039 
Tungstênio 5,0.10−8 0,0048 
Latão 8,6.10−8 0,0015 
Constantan 50.10−8 0 
Níquel-cromo 110.10−8 0,0017 
Semicondutores Carbono / grafite 4.000 a 8000.10−8 −0,0002 a −0,0008 
Isolantes 
Água pura 2,5.103 
Vidro 1010 a 1013 
Porcelana 3,0.1012 
Mica 1013 a 1015 
Baquelite 2,0.1014 
Borracha 1015 a 1016 
Âmbar 1016 a 1017 
 
 
18 Apostila de Eletricidade 
Exemplo 2.3: Calcule a resistência elétrica de um condutor de 8 m de comprimento que possui uma 
área de seção transversal igual a 3,2 mm2. O condutor é constituído de prata. 
8
2
6
1,6.10 8 4.10 0,04
3,2.10
R R
A
ρ −
−
−
×
= = = Ω = Ωl 
 
Exemplo 2.4: Considere o mesmo exemplo anterior só que, agora, o condutor de prata é substituído 
por um condutor de níquel-cromo (utilizado em chuveiros elétricos). 
8
6
110.10 8 2,75
3,2.10
R R
A
ρ −
−
×
= = = Ωl 
Exemplo 2.5: A seção transversal de um fio condutor possui um diâmetro de 0,4 mm. Sabendo que 
este fio possui uma resistência elétrica de 0,108 Ω e é feito de cobre, calcule o seu comprimento. 
2 3 2
6 23,14 (0,4.10 ) 0,126.10 m
4 4
dA Api
−
−
×
= = = 
6
8
0,108 0,126.10
 0,80
1,7.10
RAR m
A
ρ
ρ
−
−
×
= → = = =
l
l l 
 
2.2.2 Instrumento de Medida para Resistência Elétrica 
 
A resistência elétrica de um circuito elétrico é medida através de um instrumento chamado 
Ohmímetro. Existem aparelhos denominados multímetros que podem funcionar como voltímetros, 
amperímetros e também como ohmímetros. Na figura 2.1, apresenta-se o símbolo utilizado para este 
instrumento. 
 
 
 Figura 2.1 Símbolo do Ohmímetro. 
 
A figura 2.2 mostra como pode ser feita a medida de uma resistência usando-se um voltí-
metro e um amperímetro. Como já foi visto o voltímetro fornece o valor da tensão VAB entre a resis-
tência e o amperímetro indica o valor da corrente I que passa nesta resistência. O valor da resistên-
cia R é obtido pela 1ª. Lei de Ohm. 
 
 
 
 
Figura 2.2 Circuito elétrico. 
Ω 
R
A
V
 A B
VAB
I
Apostila de Eletricidade 19 
2.4 Potência e Energia Elétrica 
 
Em Física, a grandeza potência se refere a quão rapidamente a energia é usada ou conver-
tida em outra forma de energia. Desde que a energia é a capacidade em realizar trabalho, pode-se 
dizer que a potência está relacionada com a rapidez na realização do trabalho. O símbolo utilizado 
para a potência elétrica é P. 
Matematicamente, escreve-se 
 
 
t
WP AB
∆
= 
(2.6) 
 
onde, 
WAB é a quantidade de trabalho elétrico realizada; 
∆t é o intervalo de tempo em que o trabalho foi realizado. 
 
No Sistema Internacional de Unidades, tem-se 
 
(W) (s) 
(J) 
)u(
)u()u( Watt
segundo
Joule
t
WP AB ==
∆
=Por outro lado, lembrando da definição de ddp, pode-se escrever 
 
 
AB
AB
WV W Vq
q
= → = 
 
que substituindo na equação da potência elétrica, resulta em 
 
 
ABW Vq qP I
t t t
∆
= = → =
∆ ∆ ∆
 
 
logo, 
 
 P VI= (2.7) 
 
20 Apostila de Eletricidade 
Na vida diária, nas residências, têm-se vários equipamentos elétricos que são responsáveis 
pelo consumo de potência elétrica. Por este motivo, as companhias de eletricidade poderiam ser 
chamadas “companhias de potência”. Contudo, quando se paga a conta de eletricidade no final do 
mês, paga-se o consumo de energia elétrica ao invés do consumo de potência elétrica. Para as com-
panhias concessionárias de energia elétrica interessa mais o consumo da energia elétrica do que a 
rapidez com que houve este consumo de energia. Como a energia é a capacidade de realizar traba-
lho, pode-se reescrever a equação de potência como 
 
 E P t= ∆ (2.8) 
 
onde, 
E é a energia elétrica consumida. 
 
Sabe-se que, no SI, a unidade de energia é o Joule (J). Entretanto, as concessionárias de 
energia elétrica utilizam uma outra unidade para a energia. Esta nova unidade será mostrada a se-
guir. 
 
kWhhkW)u()u()u( =⋅=∆⋅= tPE 
 
Esta unidade recebe o nome de “quilowatt-hora”. Tanto o kWh como o Joule são unidades 
de energia elétrica, portanto, eles possuem uma relação entre si. 
 
J 1063kWh 1
J 1063s W1063s 3600 W101h 1kW 1kWh 1
6
663
.,
.,.,.
=
=⋅=⋅=⋅=
 
 
 
 
2.5 Efeito Joule 
 
Observa-se que uma corrente elétrica ao atravessar um meio condutor produz um aqueci-
mento deste meio. Isto se deve ao choque dos elétrons livres com os átomos do material. Este efeito 
pode ser utilizado na prática, fazendo-se uma corrente elétrica circular através de uma resistência 
para produzir-se deliberadamente um aquecimento. 
Apostila de Eletricidade 21 
O efeito Joule é a transformação de energia elétrica em calor (energia térmica) e também 
pode ser avaliado em termos de potência elétrica. Na equação 2.8 vimos que 
 
P VI= 
 
Por outro lado, recordando a expressão matemática da Lei de Ohm, pode-se escrever 
 
V RI= → 2.P VI RI I R I= = = ⋅ , então 
 
 
2P RI= (2.9) 
 
ou 
R
VI = → 
2V VP VI V
R R
= = = , então 
 
 
R
VP
2
= 
(2.10) 
 
Aplicações práticas do efeito Joule: 
 
� Chuveiro elétrico: a corrente passando através da resistência do chuveiro gera calor que 
aquece a água para o banho; 
� Ferro elétrico; 
� Secadora de roupa; 
� Fusível: são constituídos fundamentalmente de um pedaço de fio (elo fusível) que apre-
senta baixo ponto de fusão (chumbo, estanho, etc). O fusível protege um circuito contra correntes de 
valor elevado (curto-circuitos). Quando uma corrente elevada circula pelo elo fusível, gera-se calor 
por efeito Joule que funde o elo fusível, que se rompe, interrompendo a circulação de corrente elé-
trica; 
� Lâmpada incandescente. 
 
 
 
22 Apostila de Eletricidade 
Exemplo 2.6: Um ferro elétrico de passar roupa é percorrido por uma corrente de 4 A quando liga-
do a uma rede elétrica de 220 V. Calcule a potência elétrica dissipada por ele. 
220 4P VI= = × W880=P 
 
Exemplo 2.7: Um aparelho elétrico instalado em uma indústria possui uma resistência de 125Ω. 
Sabendo que ele dissipa uma potência de 500 W, determine: 
 a) o valor da corrente elétrica que o percorre; 
 b) o valor da tensão na qual o aparelho está ligado. 
 
a) 2 500 2 A
125
PP RI I I
R
= → = = = 
b) 
2
 500 125 250 VVP V PR V
R
= → = = × = 
 
Exemplo 2.8: Um chuveiro elétrico em uma residência fica ligado, em média, 1,5 h por dia. Sabe-
se que a potência deste chuveiro é de 5000 W. Calcule: 
 a) o consumo mensal de energia elétrica em kWh e em Joules (considere o mês com 30 dias); 
 b) o valor deste consumo, se 1 kWh custa R$ 0,40. 
 
a) 5 1,5 30 225 kWhE P t E= ∆ = × × = 
 
65000 (1,5 3600) 30 810.10 JE P t E= ∆ = × × × = 
 
b) 1 kWh  R$ 0,40 
 225 kWh  valor valor = R$ 90,00 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Eletricidade 23 
2.6 Exercícios 
1. Numere a segunda coluna de acordo com a primeira. 
 
(1) Condutores ( ) 1,2 ou 3 elétrons de valência 
(2) Isolantes ( ) cobre 
(3) Semicondutores ( ) alumínio 
 ( ) alta resistência 
 ( ) 4 elétrons de valência 
 ( ) silício 
 ( ) borracha 
 ( ) baixa resistência 
 
2. Diferencie resistência elétrica de resistividade. 
 
 
3. Calcule a resistência de um fio de alumínio (ρ=2,8.10-8 Ω.m) com comprimento de 1km e área de 
seção transversal de 2,09.10-6m2. Rta.: aproximadamente 13,4Ω. 
 
 
4. Calcule a resistividade do alumínio a uma temperatura de 60oC. Rta.: 3,24.10-8 Ω.m. 
 
 
5. Quando não tem um fogão para aquecer a água do chimarrão, o gaúcho usa um aparato chamado 
popularmente de “rabo quente”. Calcule a corrente absorvida pelo rabo quente considerando que ele 
tem uma resistência de 50Ω e está ligado numa tomada de 220V. Rta.: 4,4 A. 
 
 
6. Uma torradeira elétrica tem resistência de 8,53Ω e absorve 12,9A. Calcule a tensão aplicada. 
Rta.: 110V. 
 
 
7. Calcule a resistência de um chuveiro elétrico que consome 20A de uma fonte de 220V. 
 Rta.: 11Ω. 
24 Apostila de Eletricidade 
8. Uma lâmpada de lanterna tem uma resistência de 12Ω. Qual a corrente que flui pela lâmpada se a 
bateria fornece uma tensão de 6V? Rta.: 0,5A. 
 
 
9. Uma corrente de 1 A deve ser mantida para o funcionamento dos faróis de um veículo. Sabendo-
se que os faróis apresentam resistência de 12Ω, pergunta-se: 
a) qual a tensão que deve ser aplicada nos terminas da lâmpada para resultar a corrente desejada? 
 Rta.: 12V 
 
b) qual a corrente nominal do fusível de proteção dos faróis? Rta.: 1A 
 
 
10. Aplicando-se uma tensão de 12V a uma lâmpada de lanterna, ocorre a circulação de uma corren-
te de 1A. Qual é a resistência da lâmpada? Rta.: 12 Ω. 
 
 
11. Uma lâmpada incandescente tem as seguintes especificações: 120V/60W. Calcule: 
a) A corrente nominal desta lâmpada. Rta.: 0,5A 
b) A energia consumida (em kWh) em 5 horas de funcionamento. Rta.: 0,3kWh 
 
 
12. Uma estufa tem as seguintes especificações: 110V/2000W. Calcule: 
a) A resistência elétrica da estufa. Rta.: 6,05Ω 
b) A energia elétrica consumida em 2 minutos de funcionamento. Rta.: 0,0667kWh 
 
 
13. Preocupado com o custo da energia elétrica, o proprietário de certa residência anotou a potência 
de alguns aparelhos e o tempo de funcionamento durante o período de um mês, resultando na tabela 
abaixo. 
 Aparelho Potência Elétrica Tempo 
 Chuveiro 5400 W 13 horas 
 Ferro de passar 750 W 24 horas 
 Estufa 900 W 15 horas 
 
Apostila de Eletricidade 25 
Sabendo que o preço do kWh é R$ 0,4348 e desconsiderando qualquer imposto, calcule o custo 
da energia durante o mês para a alimentação destes aparelhos. Rta.: R$ 44,22. 
 
 
 
 
14. Um fio de cobre é percorrido por uma corrente elétrica devido a uma tensão de 220V existente 
em seus extremos. A corrente circula durante 10s e o trabalho elétrico realizado é de 5,5J. Determi-
nar a corrente que percorre o condutor. Apresente a resposta utilizando o prefixo mili. 
Rta.:2,5mA. 
 
 
15. Explique qual é a diferença entre resistor e resistênciaelétrica. 
 
 
16. As especificações de um resistor são 1kΩ/1W. Calcule a máxima tensão que pode ser aplicada 
ao resistor. Rta.: 31,6V. 
 
 
17. Em um chuveiro, existem duas posições: verão e inverno. Explique o que ocorre internamente 
quando se muda de uma posição para outra. 
 
 
18. A resistência de um chuveiro elétrico tem um comprimento L. Cortando-se um pedaço desta 
resistência, de modo a reduzi-la a ½ do comprimento inicial, o que acontecerá com a potência 
dissipada pelo chuveiro? Considere que a tensão aplicada permanece constante. 
 
 
 
19. Por que a maioria dos chuveiros é para 220V? 
 
 
26 Apostila de Eletricidade 
Unidade 3 
 
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE CONTÍNUA 
 
3.1 O Circuito Elétrico 
 
Um circuito elétrico básico consiste, na prática, nos seguintes componentes: 
 
a) Fonte de força eletromotriz (tensão): responsável pelo fornecimento de energia elétrica ao cir-
cuito. Por exemplo, uma pilha, uma bateria ou uma tomada elétrica residencial. 
 
b) Carga: elemento que consume a energia fornecida ao circuito elétrico. Por exemplo, lâmpadas, 
rádios, chuveiros, etc. Podem ser representados através de resistores. 
 
c) Elementos de interligação: servem para conectar os elementos do circuito elétrico entre si. São 
os condutores. Por exemplo, fios de cobre. 
 
d) Elementos de manobra: servem para abrir e fechar o circuito elétrico. Por exemplo, as chaves e 
interruptores. 
Ch
 
Chave fechada 
Ch
 
Chave aberta 
 
e) Elementos de proteção: servem para proteger o circuito elétrico contra funcionamentos indese-
jados, como, por exemplo, curtos-circuitos. São os fusíveis e os disjuntores. 
+ -
E E E
 Bateria Gerador CC Gerador CA
ou
 Lâmpada
R
 Resistor
R
Resistor
L
D
Disjuntor
F
Fusível
Apostila de Eletricidade 27 
3.2 Condições de um Circuito Elétrico 
 
3.2.1 Circuito Fechado 
 
É aquele no qual a corrente elétrica flui normalmente com um valor previamente estimado. 
A figura 3.1 mostra um circuito elétrico nessas condições de operação. Neste caso, a lâmpada L está 
acesa. 
E L
Ch
I
 
Figura 3.1 Circuito elétrico fechado. 
 
3.2.2 Circuito Aberto 
 
É aquele no qual não há circulação de corrente elétrica. Esta situação pode ocorrer pela a-
tuação dos elementos de manobra ou dos elementos de proteção. A figura 3.2 mostra um circuito e-
létrico nessas condições de operação. Neste caso, a lâmpada L está apagada. 
E L
Ch
I = 0
 
Figura 3.2 Circuito elétrico aberto. 
 
 
 
3.2.3 Curto-circuito 
 
Para proteger um circuito elétrico, conecta-se ao mesmo um elemento de proteção (fusível 
ou disjuntor). O fusível ou o disjuntor são calculados para permitir a passagem de um determinado 
valor máximo de corrente elétrica. Se este valor exceder ao máximo, o fusível rompe-se (o disjuntor 
abre), abrindo o circuito elétrico. Normalmente, quando circula pelo circuito uma corrente muito a-
cima do valor normal estipulado, diz-se que houve um curto-circuito. Este, geralmente, é provocado 
28 Apostila de Eletricidade 
por uma ligação acidental que oferece uma resistência elétrica muito pequena entre dois pontos do 
circuito. A figura 3.3 mostra um circuito elétrico em curto. Neste caso, a corrente I que iria percor-
rer a fonte possui um valor muito elevado. Nessa situação, o fusível F se rompe, evitando que essa 
corrente de valor elevado circule pelo circuito elétrico. 
 
 
E L
Ch
IF
Curto-circuito
 
Figura 3.3 Circuito elétrico em curto. 
 
3.3 Resistor Equivalente 
 
Como o valor da resistência de um resistor é padronizado, nem sempre é possível obter certos 
valores de resistência. Associando-se convenientemente resistores entre si, podemos obter o valor 
desejado. 
Chama-se resistor equivalente a um resistor que pode substituir uma associação de resisto-
res sem que o resto do circuito note diferença. Outra aplicação para a associação de resistores é a 
divisão de uma tensão ou a divisão de uma corrente. 
 
3.4 Associação em Série 
 
Resistores estão associados em série quando a corrente que passa por um for a mesma que 
passa pelo(s) outro(s). A figura 3.4(a) mostra uma associação série de resistores e a figura 3.4(b), a 
resistência equivalente. 
+ − + − + −V1 V2 V3
VT
I
R1 R2 R3
 
Figura 3.4 (a) 
R
eq
VT
I
 
Figura 3.4 (b) 
 
Da figura 3.4 (a), tem-se 
Apostila de Eletricidade 29 
 
 321 VVVVT ++= , isto é, a soma das tensões nos resistores da associação é igual à tensão to-
tal. 
Desta figura ainda percebe-se que existe somente uma corrente (I) percorrendo o circuito, 
ou seja, em uma associação série existe apenas uma corrente e todos os resistores são percorridos 
pela mesma corrente. 
Em cada resistor da associação série, usando a Lei de Ohm, tem-se 
 
 1 1V R I= 2 2V R I= 3 3V R I= , que substituindo na equação acima de VT 
 resulta em 
 1 2 3 1 2 3( )TV R I R I R I R R R I= + + = + + 
 
Por outro lado, da figura 3.4 (b), no resistor equivalente tem-se 
 
 T eqV R I= 
 
Comparando as duas últimas equações, deduz-se que 
 
321 RRRReq ++= 
 
Resumo das Características da Associação de Resistores em Série 
 
a) Um componente depende do outro para que o circuito funcione; 
b) Os componentes são percorridos pela mesma corrente elétrica; 
c) A tensão aplicada ao circuito divide-se sobre os resistores associados (diretamente proporcional): 
 
 321 VVVVT ++= (3.1) 
 
d) A resistência total do circuito (resistor equivalente) é obtida através da soma das resistências do 
circuito: 
 321 RRRReq ++= (3.2) 
 
30 Apostila de Eletricidade 
e) A potência dissipada no resistor equivalente é igual a soma das potências dissipadas por cada 
resistor da associação: 
 
 1 2 3eqP P P P= + + (3.3) 
 
Sabendo-se que 
 
2
2 1
1 1 1
1
VP R I V I
R
= = = 
2
2 2
2 2 2
2
VP R I V I
R
= = = 
2
2 3
3 3 3
3
VP R I V I
R
= = = 
pode-se escrever, 
 
 
2
2
R
T
eq eq
eq
VP R I= = 
(3.4) 
 
ou ainda, 
 eq TP V I= (3.5) 
 
Exemplo 3.1: Dois resistores R1 = 40 Ω e R2 = 60 Ω são ligados em série. Uma tensão de 50 V é a-
plicada à associação, calcule: 
a) o valor do resistor equivalente; 
b) a tensão e corrente em cada resistor; 
c) a potência dissipada em cada resistor e no resistor equivalente. 
 
 604021 +=+= RRReq Ω= 100eqR 
 
50
100
T
eq
VI
R
= = 0,5 AI = 
 1 1 40 0,5V R I= = × V 201 =V 
 2 2 60 0,5V R I= = × V 302 =V 
 
2 2
1 1 40 (0,5)P R I= = × W101 =P 
 
2 2
2 2 60 (0,5)P R I= = × W152 =P 
 
2 2100 (0,5)eq eqP R I= = × W25=eqP 
 
Apostila de Eletricidade 31 
Exemplo 3.2: Quatro resistores R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 40 Ω e R4 = 80 Ω são ligados em série. 
Sabendo-se que a tensão em R3 é 20 V, calcule: 
a) o valor do resistor equivalente; 
b) a tensão aplicada na associação; 
c) a potência dissipada na associação. 
 
 804020104321 +++=+++= RRRRReq Ω= 150eqR 
 V 203 =V 
 
3
3
20
40
VI
R
= = 0,5 AI = 
 150 0,5T eqV R I= = × V 75=TV 
 
 
2 2150 (0,5)eq eqP R I= = × W537 ,=eqP 
 
3.5 Associação em Paralelo 
 
Em uma associação em paralelo, a tensão em todos os resistores é a mesma, a corrente é que se 
divide. Na figura 3.5 (a), temos uma associação paralela de três resistores e na figura 3.5 (b), o 
resistor equivalente da associação. 
 
V R1 R2 R3
I3I1 I2
IT
 
Figura3.5 (a) 
V R
eq
IT
 
Figura 3.5 (b) 
 
 Da figura 3.5 (a), obtém-se que a tensão V é a mesma em todos os resistores associados e que 
 
331 IIIIT ++= , como 
 1 2 3
1 2 3
V V VI I I
R R R
= = = , substituindo na equação da corrente total, 
tem-se 
 
1 2 3 1 2 3
1 1 1
T
V V VI V
R R R R R R
 
= + + = + + 
 
 
32 Apostila de Eletricidade 
 
 No circuito equivalente da figura 3.5 (b), obtém-se 
 
 
1
T
eq eq
VI V
R R
= = 
 
 Comparando as duas últimas expressões, conclui-se que 
 
 
321
1111
RRRReq
++= ou 
321
111
1
RRR
Req
++
=
 
 
Resumo das Características da Associação de Resistores em Paralelo 
 
a) Os componentes são eletricamente independentes entre si; 
b) A tensão é a mesma sobre todos os resistores, pois os mesmos estão ligados nos extremos da 
fonte; 
c) A corrente elétrica divide-se através dos resistores associados (inversamente proporcional): 
 
 331 IIIIT ++= (3.6) 
 
d) A resistência total do circuito é menor do que a menor resistência associada: 
 
 
321
111
1
RRR
Req
++
=
 
(3.7) 
 
 
e) A potência dissipada no resistor equivalente é igual a soma das potências dissipadas por cada 
resistor da associação: 
 
 1 2 3eqP P P P= + + (3.8) 
 
Apostila de Eletricidade 33 
Casos Especiais: 
 
a) Apenas dois resistores associados em paralelo: 
 
1 2
1 2
eq
R RR
R R
=
+
 
b) Todos os resistores associados em paralelo têm o mesmo valor de resistência: 
 
paralelo em resistores de número o é 
 resistores dos um de valor o é onde
n
R
n
RReq = 
 
Exemplo 3.3: Dois resistores R1 = 40 Ω e R2 = 60 Ω são ligados em paralelo. A associação é sub-
metida a uma tensão de 48 V, calcule: 
a) o valor do resistor equivalente; 
b) a corrente em cada resistor; 
c) a potência dissipada em cada resistor da associação e no resistor equivalente. 
 
 
1 2
1 2
40 60
40 60eq
R RR
R R
×
= =
+ +
 Ω= 24eqR 
 
 
 1
1
48
40
VI
R
= = A 212 ,=I 
 
60
48
2
2 == R
VI T A 802 ,=I 
 
24
48
==
eq
T
T R
VI A 2=TI 
 
 
2 2
1 1 1 40 (1,2)P R I= = × W6571 ,=P 
 
2 2
2 2 2 60 (0,8)P R I= = × W4382 ,=P 
 
2 224 2eq eq TP R I= = × W96=eqP 
 
34 Apostila de Eletricidade 
Exemplo 3.4: Quatro resistores R1 = 5 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 60 Ω e R4 = 120 Ω são ligados em 
paralelo. Sabendo-se que a corrente através do resistor R4 é 0,5 A, calcule: 
a) o valor do resistor equivalente; 
b) a tensão aplicada na associação e a corrente em cada resistor; 
c) a potência dissipada em cada resistor e no resistor equivalente. 
 
 
30
120
120
30
1
120
12324
1
120
1
60
1
40
1
5
1
1
1111
1
4321
==
+++
=
+++
=
+++
=
RRRR
Req 
 Ω= 4eqR 
 
A 504 ,=I 
 
4 4 120 0,5V R I= = × 60 VV = 
 1
1
60
5
VI
R
= = A 121 =I 
 2
2
60
40
VI
R
= = A 512 ,=I 
 3
3
60
60
VI
R
= = A 13 =I 
 
 
2 2
1 1 1 5 12P R I= = × W7201 =P 
 
2 2
2 2 2 40 (1,5)P R I= = × W902 =P 
 
2 2
3 3 3 60 1P R I= = × W603 =P 
 
2 2
4 4 4 120 (0,5)P R I= = × W301 =P 
 3060907204321 +++=+++= PPPPPT W900=TP 
 
3.6 Associação Mista 
 
Em uma associação mista existem resistores ligados em série e em paralelo. Não existe uma 
fórmula que permita o cálculo da resistência equivalente, o que existe é um método de resolução. 
Neste método, inicialmente resolvem-se as associações série e paralelo que forem possíveis, 
Apostila de Eletricidade 35 
obtendo-se um circuito menor, o qual é equivalente eletricamente ao original. Repete-se a operação 
tantas vezes quanto necessário, até se chegar a um único valor de resistência. 
 
Exemplo 3.5: Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B nos circuitos abaixo. 
 a) 
R1 = 20 Ω
R2 = 40 Ω
R3 = 60 Ω
BA
 
 
• Associação dos resistores R2 e R3 que estão em paralelo. 
 
2 3
23
2 3
40 60
40 60
R RR
R R
×
= =
+ +
 Ω= 2423R 
• Associação de R1 e R23 que ficam em série. 
 2420231 +=+= RRReq Ω= 44eqR 
 
 b) 
A B
R1 = 40 Ω
R2 = 60 Ω
R3 = 24 Ω
R4 = 18 Ω
R5 = 20 Ω
R6 = 5 Ω
 
 
• Associação dos resistores R1, R2 e R3 que estão em paralelo. 
 
10
120
120
10
1
120
523
1
24
1
60
1
40
1
1
111
1
321
123 ==++
=
++
=
++
=
RRR
R
 Ω= 12123R 
• Associação dos resistores R5 e R6 que estão em paralelo. 
 
5 6
56
5 6
20 5
20 5
R RR
R R
×
= =
+ +
 Ω= 456R 
• Associação de R123, R4 e R56 que ficam em série. 
 41812564123 ++=++= RRRReq Ω= 34eqR 
36 Apostila de Eletricidade 
 
Exemplo 3.6: No circuito abaixo, sabendo que 45 VCBV = e 2 ATI = calcule: 
 a) a corrente I2; 
 b) o valor da resistência R3; 
 c) a potência total dissipada. 
 
 
93 V
IT
I2
I1 I3
I4
A C B
R1 = 60 Ω
R2 R4 = 60 Ω
R3
 
 
 93 VABV = 
 93 45AC AB CBV V V= − = − V 48=ACV 
 
60
48
1
1 == R
VI AC A 801 ,=I 
 80212 ,−=−= III T A 212 ,=I 
 
60
45
4
4 == R
VI CB 4 0,75 AI = 
 750243 ,−=−= III T 3 1, 25 AI = 
 
251
45
3
3
,
==
I
VR CB Ω= 363R 
 93 2T AB TP V I= = × W186=TP 
 
 
 
Apostila de Eletricidade 37 
3.6 Exercícios 
 
1. Dois resistores R1= 50Ω e R2= 70Ω são ligados em série. Uma tensão de 90V é aplicada à associ-
ação. Pede-se calcular: 
 
a) resistor equivalente; Rta.: Req =120Ω 
b) tensão e corrente nos resistores; Rta.: V1=37,5V; V2=52,5V e I=0,75A 
c) potência dissipada em R1 e R2 e no Req. Rta.: P1=28,125W; P2=39,375W e Peq=67,5W 
 
2. Quatro resistores R1=10Ω, R2=20Ω, R3=40Ω e R4=70Ω são ligados em série. Sabendo-se que a 
tensão em R3 é 16V,pede-se: 
 
a) resistor equivalente; Rta.:Req =140Ω 
b) tensão aplicada na associação; Rta.: V=56V 
c) potência dissipada na associação. Rta.: P=22,4W 
 
3. Uma lâmpada tem as características 6V/1,2W. Tendo-se disponível uma fonte de 10V, para ligar 
a lâmpada nesta fonte é necessário dividir-se a tensão e, para isto, liga-se um resistor em série com a 
lâmpada. Dimensione este resistor. Rta.: R=20Ω 
 
4. Dois resistores R1 e R2 devem ser tais que, ao serem ligados em série a uma tensão de 120V, se-
jam percorridos por uma corrente de 0,2A. Sabendo-se que a tensão em cada um deles é 60V, quais 
os valores de R1 e R2? 
Rta.: R1= R2= 300Ω 
 
5. Dois resistores R1 e R2 são conectados em série, sendo a associação ligada a um gerador de 40V. 
Os resistores devem dissipar 12W e 8W respectivamente. Quais os valores de R1 e R2? 
Rta.: R1=48Ω e R2=32Ω 
 
6. Dois resistores R1=40Ω, R2=60Ω são ligados em paralelo. A associação é submetida a uma 
tensão de 48V. Determinar: 
a) resistor equivalente; Rta.: R=24Ω 
b) corrente no circuito e nos resistores; Rta.: I=2A, I1=1,2A e I2=0,8A 
c) potência dissipada nos resistores e no equivalente. Rta.: P1=57,6W, P2=38,4W e Peq=96W 
38 Apostila de Eletricidade 
 
7. Quatro resistores estão ligados em paralelo R1=5Ω, R2=40Ω,R3=60Ω e R4=120Ω e a corrente no 
resistor R4 é 0,5A. Determinar: 
a) resistor equivalente; Rta.: R=4Ω 
b) tensão aplicada na associação e corrente em todos os resistores; 
 Rta.: V=60V, I1=12A, I2=1,5A e I3=1A 
c) potência dissipada nos resistores e no equivalente. 
 Rta.: P1=720W, P2=90W, P3=60W, P4=30W e Pt=900W 
 
8. No circuito abaixo, a lâmpada tem as especificações 110V/200W. Calcule o menor valor da 
resistência que pode ser colocado em paralelo com a lâmpada sem que o fusível queime. 
 
 Rta.: R=26,3Ω 
 
9. Dois resistores R1 e R2 são ligados em paralelo a uma fonte de 80V. Sabendo-se que a corrente 
fornecida pela fonte é 2A e que R1 é duas vezes maior que R2, quais os valores de R1 e R2? 
 Rta.: R1=120Ω e R2=60Ω 
 
 
10. Determine a resistência equivalente em cada caso: 
a) 
Rta.: Req=44Ω 
6A
IF IR
IL 110V/200W
R
220V
 20 Ω 
 40 Ω 60 Ω 
Apostila de Eletricidade 39 
b) 
 
 Rta.: Req=34Ω 
c) 
 
 Rta.: Req=60Ω 
11. Determinar a intensidade da corrente e tensão em todos os resistores. 
 
 Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 40 Ω 
 60 Ω 
 24 Ω 
 18 Ω 
 5 Ω 
 20 Ω 
119V
 30 Ω 
 30 Ω 
 70 Ω 
 50 Ω 
 19 Ω 
 14 Ω 
 80 Ω 40 Ω 
 40 Ω 
 40 Ω 390V
I24Ω=3A V24Ω=72V 
I20Ω=2,4A V20Ω=48V 
I40Ω=0,6A V40Ω=24V 
I30Ω=0,4A V30Ω=12V 
I60Ω=0,2A V60Ω=12V 
 20 Ω 
120V
 24 Ω 
 20 Ω 
 40 Ω 
 30 Ω 
 60 Ω 
40 Apostila de Eletricidade 
12. No exercício anterior, fazer o balanço energético. 
 (Somar as potências dos resistores e verificar igualdade com a potência da fonte de alimentação). 
 
13. Determinar R sabendo-se que quando a chave S está aberta o amperímetro indica 2A e quando a 
chave S está fechada indica 2,2A. Rta.: R=40 Ω 
 
 
14. Sabendo que o resistor de 10 Ω dissipa uma potência de 14,4 W, pede-se: 
a) a tensão do circuito. Rta.: V=40V 
b) a corrente total. Rta.: I=5A 
 
15. Determinar o valor de R e da tensão da fonte quando o amperímetro indica 1mA e o voltímetro 
indica 3V. 
 
Rta.: R= 1500 Ω e V=7,5 V 
Apostila de Eletricidade 41 
16. Determinar o valor da tensão entre os pontos A e B e o valor da corrente I1. 
Rta.: VAB= 4V e I1=3mA 
 
 
17. Determinar, para o circuito da figura 3.6, o valor da tensão V e a potência dissipada por R1. 
 
18. Determinar, para o circuito da figura 3.7, o valor da tensão VAB, o valor de I1 e a potência dissi-
pada pela associação. 
 
Figura 3.6 Figura 3.7 
 Rta.: V= 120V e P1=57,6W Rta.: VAB= 97,8V; I1=1,63A e P=489W 
 
19. No circuito abaixo, é correto afirmar que o brilho da lâmpada quando o cursor é movimentado 
de B para A: 
A B a) aumenta, pois aumenta a resistência elétrica do circuito; 
b) aumenta, pois diminui a resistência elétrica do circuito; 
c) diminui, pois diminui a resistência elétrica do circuito; 
d) diminui, pois aumenta a resistência elétrica do circuito; 
e) não se altera. 
 
42 Apostila de Eletricidade 
20. No circuito abaixo, os voltímetros VX e VY indicam 5V e 3V respectivamente. Determine: 
a) a corrente nos resistores. c) o valor do resistor equivalente. 
b) o valor do resistor R1. d) a potência fornecida pela fonte. 
 
21. Sabendo-se que a potência dissipada no R1 é 13,5 W, calcule a tensão da fonte e a corrente elé-
trica fornecida pela mesma. Rta.: V=50,37V e I=5,85A 
 
 
VY
VX
R1 R2=2,5 Ω R3= 4Ω 
Ω 12
Ω 6
Ω 3
Ω 6
Ω 20
R1
Ω 4
Rtas.: 
a) 0,5A c) 10Ω 
b) 3,5Ω d) 2,5W 
 
Apostila de Eletricidade 43 
Unidade 4 
 
LEIS DE KIRCHHOFF 
 
4.1 Definição de Nó, Ramo e Malha 
 
Quando em um circuito elétrico existe mais do que uma fonte de tensão e mais do que um 
resistor, geralmente são necessárias outras leis, além da lei de Ohm, para sua resolução. Estas leis 
adicionais são as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma maneira geral e sistemática de análise de 
circuitos. Elas são duas, a saber: 
• Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes 
• Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tensões 
Para o uso destas leis são necessárias algumas definições: 
Nó: é um ponto do circuito onde se conectam no mínimo três elementos. 
Ramo: é um trecho de um circuito compreendido entre dois nós consecutivos. 
Malha: é um trecho de circuito que forma uma trajetória eletricamente fechada. 
Na figura 4.1, por exemplo, identifica-se: 
a) dois nós: B e F 
b) três ramos: BAEF, BDF e BCGF 
c) três malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA 
E1 R3
R1
R4
R2
E4
E3
E2
A B C
GFE
D
 
Figura 4.1 Circuito elétrico com dois nós. 
 
44 Apostila de Eletricidade 
4.2 Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 
 
Enunciado: 
 
"A soma algébrica das correntes em um nó é sempre igual a zero." 
 
 
1
0
n
i
i
I
=
=∑
 
(4.1) 
 
Por convenção, consideram-se as correntes que entram em um nó como positivas e as que 
saem como negativas. Desta forma, a lei das correntes de Kirchhoff pode ser interpretada da seguin-
te forma: 
 
"A soma das correntes que chegam em um nó é sempre igual à soma das correntes que sa-
em deste nó." 
 
1 1
chegam saem
n m
i j
i j
I I
= =
=∑ ∑
 
(4.2) 
 
Por exemplo, no circuito mostrado na figura 4.2, ao se aplicar a lei das correntes de Kirc-
hhoff aos nós B e F, obtém-se: 
 Nó B: 1 2 3I I I+ = 
 Nó F: 3 1 2I I I= + 
E1 R3
R1
R4
R2
E4
E3
E2
A B C
GFE
D
I1 I2
I3
 
Figura 4.2 Circuito para a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff. 
 
Apostila de Eletricidade 45 
Observa-se que as equações dos nós B e F são na realidade as mesmas, ou seja, a aplicação 
da lei das correntes de Kirchhoff ao nó F não aumenta a informação sobre o circuito. Assim, o nú-
mero de equações independentes que se pode obter com a aplicação da lei das correntes de Kirc-
hhoff em um circuito elétrico é igual ao número de nós menos um. 
 
 1NE n= − (4.3) 
onde, 
NE é o número de equações independentes obtidas com a aplicação da lei das correntes de 
Kirchhoff em um circuito elétrico; 
n é o número de nós do circuito. 
 
4.3 Segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 
 
A lei das tensões de Kirchhoff é aplicada nas malhas. Ela já foi aplicada no estudo dos cir-
cuitos de resistores em série, onde a soma das quedas de tensão nos resistores é igual à tensão (fem) 
da fonte. 
Enunciado: 
 "A soma algébrica das tensões (fem e quedas de tensão) ao longo de uma malha e-
létrica é igual a zero." 
 
 
1
0
n
i
i
V
=
=∑ 
(4.4) 
 
Observação: entende-se por queda de tensão a tensão sobre um resistor, uma fonte de tensão que 
absorve energia,... 
Para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff, faz-se necessário adotar algumas regras. 
São elas: 
1. Arbitrar (convencionar) sentidos para as correntes em todos os ramos; 
2. Polarizar as quedas de tensão nos resistores de acordo com a convenção de elemento passivo e 
sentido convencional de corrente elétrica. Isto equivale a colocar a polaridade positiva da queda de 
tensão no resistor no terminal por onde a corrente entra nele, isto é, 
R
I
+ −
V
 
46 Apostila de Eletricidade 
3. Para as fontes de fem, sabe-se que 
+ −
E
 
4. Para montar a equação, percorre-se a malha somando algebricamente as tensões. O sinal da ten-
são correspondeao sinal da polaridade pela qual se ingressa no componente, independentemente do 
sentido da corrente elétrica. 
De acordo com o circuito apresentado na figura 3.20, ao se aplicar a lei das tensões de 
Kirchhoff às malhas ABDFEA e BCGFDB, no sentido horário, obtém-se: 
 Malha ABDFEA: 1 1 2 2 2 4 1 1 0R I E R I R I E+ − + + = 
 Malha BCGFDB: 3 3 3 4 2 2 2 0E R I E R I E− + + + − = 
Figura 4.3 Circuito para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff. 
 
No circuito da figura 4.3, existe ainda mais uma malha (a malha externa ABCGFEA). Nes-
ta malha poderia ser aplicada também a lei das tensões de Kirchhoff. Entretanto, como no caso da 
lei das correntes, a equação resultante seria dependente das duas já obtidas. Portanto, esta equação 
seria inútil. 
Supondo-se que, no circuito da figura 4.3, fossem conhecidos os valores de todas as fem 
das fontes de tensão e todas as resistências, restariam como incógnitas as três correntes. Para resol-
ver um sistema de equações lineares com três incógnitas são necessárias três equações. Uma equa-
ção já foi obtida com a aplicação da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto, são necessárias mais 
duas, que podem ser obtidas pela aplicação da lei das tensões de Kirchhoff. 
Em síntese, pode-se concluir que, em um circuito elétrico com r ramos e n nós, tem-se r 
correntes, uma em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece (n − 1) equações e, portanto, 
a lei das tensões de Kirchhoff deve fornecer (r − n + 1) equações para que o problema possa ser re-
solvido. Por exemplo, no circuito da figura 4.3, tem-se r = 3, n = 2. Se r = 3, o número de correntes 
é 3. O número de equações fornecidas pela lei das correntes é (2 − 1) = 1 e o número de equações 
E1 R3
R1
R4
R2
E4
E3
E2
A B C
GFE
D
I1 I2
I3
+ −
− +
+
−
−
+
Apostila de Eletricidade 47 
fornecidas pela lei das tensões (3 − 2 + 1) = 2, conforme discutido anteriormente. 
A seguir, apresenta-se um resumo para aplicação da LCK e LTK. 
 
Regras para Aplicação das Leis de Kirchhoff 
 
1o) Identificar os nós, ramos e malhas do circuito elétrico; 
2o) Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente elétrica; 
3o) Polarizar as quedas de tensão nos resistores de acordo com o sentido adotado para a corrente 
elétrica; 
4o) Polarizar as fontes de tensão; 
5o) Havendo nós, aplicar a 1a Lei de Kirchhoff, obtendo-se 1NE n= − ; 
6o) Se o número de equações ainda não for suficiente para resolver o circuito, aplicar a 2a Lei de 
Kirchhoff, onde o número de equações (NE) é dado por NE = (r − n + 1) ; 
7o) Escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha (s). 
 
Exemplo 4.1: Calcule o sentido e o módulo da corrente elétrica no circuito da figura 4.4. 
 
1 Ω 4,7 Ω 3,3 Ω
6 V 15 V
 
Figura 4.4 Circuito elétrico para o Exemplo 4.1. 
 
Resolução: 
 
a) Arbitra-se (escolhe-se) um sentido para a corrente elétrica no circuito. Por exemplo, no 
sentido indicado na figura 3.22. 
b) Polarizam-se as quedas de tensão nos resistores (polaridade positiva no terminal por on-
de a corrente entra) e as fem das fontes (o terminal maior é o positivo). 
c) Percorre-se a malha, somando algebricamente as tensões (o sinal da tensão corresponde 
ao sinal da polaridade da tensão encontrada no componente). 
Estas etapas estão mostradas na figura 4.5 e na equação abaixo. 
48 Apostila de Eletricidade 
I
1 Ω 4,7 Ω 3,3 Ω
6 V 15 V
+ − + − + −
+−+ −
 
Figura 4.5 Esquema de solução para o Exemplo 4.1. 
 
 1 4,7 3,3 15 6 0I I I+ + + − = 9 9I = − 1 AI = − 
 
O sinal negativo que aparece para o valor da corrente I significa que o sentido escolhido 
para ela está invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente elétrica I é para baixo na figura 
3.22 e não para cima como foi arbitrado no início da resolução. 
 
Exemplo 4.2: Calcule os valores da E2 e da resistência elétrica do resistor R2 no circuito da figura 
3.23. Sabe-se que as correntes que percorrem R1 e R2 valem, respectivamente, I1 = 8 A e I2 = 5 A. 
60 V
1 Ω
I1
4 Ω
I2
2 Ω
E2
R2
 
Figura 4.6 Circuito elétrico para o Exemplo 4.2. 
 
Resolução: 
 
a) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, têm-se duas equações obtidas pelas malhas, 
pois [NE = (r − n + 1) = 3-2+1 = 2] 
1ª) Malha ACDEA: 
2 2 1 14 1 60 0R I I I+ + − = , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 
 25 4 8 1 8 60 0R + × + × − = 
 25 20R = 
 2 4 R = Ω 
 
Apostila de Eletricidade 49 
b) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em re-
lação aos nós, pois (NE = n-1) 
Nó A: 
 1 2 3I I I= + , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 
 38 5 I= + 
 3 3 AI = 
 
2ª) Malha ABCA: 
 2 3 2 22 0E I R I+ − = 
 2 2 3 4 5 0E + × − × = 
 2 14 VE = 
60 V
1 Ω
I1
4 Ω
I2
2 Ω
E2
R2
A
B
CD
E I3
+
−
+
−
+
−
+−
+
−
−
+
 
Figura 4.7 Esquema de solução para o Exemplo 4.2. 
 
Exemplo 4.3: Calcule o valor e o sentido correto das correntes em cada ramo do circuito da figura 
4.8. 
12 Ω 51 V
3 Ω
20 V
2 Ω50 V
40 V 3 Ω
 
Fig. 4.8. Circuito elétrico do Exemplo 4.3. 
12 Ω 51 V
3 Ω
20 V
2 Ω50 V
40 V 3 Ω
I1
I2
I3
+
−
+
−
+−
+ −
A B F
GD
C
E
 
Fig. 4.9 Solução do Exemplo 4.3. 
 
Arbitrando-se os sentidos das correntes nos ramos como mostrado na figura 4.9, aplicando-
se a lei das correntes de Kirchhoff ao nó B e a lei das tensões de Kirchhoff às malhas ABCDEA e 
BFGDCB, obtém-se: 
 
50 Apostila de Eletricidade 
 
1 2 3
2 1
3 3 2
0 Lei das correntes de Kirchhoff no nó 
40 3 20 50 12 0 Lei das tensões de Kirchhoff na malha 
3 51 2 20 3 0 Lei das tensões de Kirchhoff na malha 
I I I B
I I ABCDEA
I I I BFGDCB
+ + = →

− − − + = →

− − − + + = →
 
 
Substituindo-se os valores numéricos dos resistores e das fontes de tensão e rearranjando-
se as correntes (incógnitas), obtém-se o seguinte sistema de equações lineares: 
 
1 2 3
1 2
2 3
0
12 3 30
 3 5 31
I I I
I I
I I
+ + =

− =

− =
 
Este sistema pode ser resolvido pelo método de Cramer, como mostrado a seguir. 
 
• Cálculo do determinante principal: 
1 1 1 1 1
12 3 0 12 3
0 3 5 0 3
∆ = − −
−
 
[1 ( 3) ( 5) 1 0 0 1 12 3] [1 ( 3) 0 1 0 3 1 12 ( 5)]∆ = × − × − + × × + × × − × − × + × × + × × − 
15 0 36 [0 0 60] 111∆ = + + − + − = 
 
• Cálculo do determinante para a corrente I1: 
1
0 1 1 0 1
30 3 0 30 3
31 3 5 31 3
I∆ = − −
−
 
1 [0 ( 3) ( 5) 1 0 31 1 30 3] [1 ( 3) 31 0 0 3 1 30 ( 5)]I∆ = × − × − + × × + × × − × − × + × × + × × − 
1 0 0 90 [ 93 0 150] 333I∆ = + + − − + − = 
 
• Cálculo do determinante para a corrente I2: 
2
1 0 1 1 0
12 30 0 12 30
0 31 5 0 31
I∆ =
−
 
2 [1 30 ( 5) 0 0 0 1 12 31] [1 30 0 1 0 31 0 12 ( 5)]I∆ = × × − + × × + × × − × × + × × + × × − 
2 150 0 372 [0 0 0] 222I∆ = − + + − + − = 
 
Apostila de Eletricidade 51 
• Cálculo da corrente I1: 
1
1
333
111
II ∆= =
∆
 1 3 AI = 
 
• Cálculo da corrente I2: 
2
2
222
111
II ∆= =
∆
 2 2 AI = 
 
• Cálculo da corrente I3: 
1 2 3 0I I I+ + = 
3 1 2 3 2I I I= − − = − − 3 5 AI = − 
 
12 Ω 51 V
3 Ω
20 V
2 Ω50 V
40 V 3 Ω
3 A
2 A
5 A
 
Figura 4.10. Sentidos corretos para as correntes nos ramos no circuito do Exemplo 4.3. 
52 Apostila de Eletricidade 
4.4 Exercícios de Leis de Kirchhoff 
 
1. Determine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura 4.11.Rta.: I1=1A; I2=18A; I3=9A 
X1
X2 X3
X4 X5 X6
10 A
8 A
9 A
I1
I2
I3
 
Figura 4.11 
X2 X3
X4
X5 X6
X1
+
−
− + + −
− +
−+ − +
10 V V2
8 V
9 VV3
V1
 
Figura 4.12 
 
2. Determine os valores das tensões desconhecidas no circuito da figura 4.12. 
 Rta.: V1=11V; V2=2V; V3= 1V 
 
3. Calcule o valor da corrente I no circuito da figura 4.13. Rta.: I=0,3A 
10 Ω 15 Ω
8 Ω8 V
12 V
11 Ω
5 V
6 Ω
I
 
Figura 4.13 
30 V 0,5 Ω
40 VR3
1 Ω4 A
 
Figura 4.14 
 
4. Calcule o valor da resistência do resistor R3 no circuito da figura 4.14. Rta.: R3=1Ω 
 
Apostila de Eletricidade 53 
5. Sabendo que a corrente através do resistor R3 no circuito da figura 4.15 vale 4A, calcule os va-
lores e os sentidos corretos das outras correntes e o valor do resistor R3. Rta.: I1=4A; I2=0; R3= 1,5Ω 
Figura 4.15 Figura 4.16 
 
6. Calcule os valores das correntes I2 e I3 e do resistor R2, no circuito da figura 4.16, sabendo que a 
intensidade da corrente I1 vale 0,2 A. Rta.: I2=0,8A; I3=0,6A; R2= 2,5Ω 
 
7. Calcule o valor e o sentido correto das correntes nos ramos no circuito da figura 4.17. 
Rta.: I1=3A; I2=2A; I3= 5A. 
Figura 4.17 Figura 4.18 
8. Calcule os valores das correntes I1 e I2 no circuito da figura 4.18. Rta.: I1=9A; I2=1,5A 
 
9. No circuito da figura 4.19, calcule o valor da corrente I. Rta.: I=3A para cim a
 Figura 4.19 Figura 4.20 
R3 1 Ω
0,3 Ω
0,5 Ω 12 V
10 V
4 A
3 V 5 V
5 Ω
5 Ω
I1 R2
I2
I3
12 Ω 51 V
2 Ω
3 Ω
3 Ω
20 V
40 V
50 V
30 V90 V
25 Ω
10 Ω
15 Ω
I1
I2
100 V 200 V
20 Ω 25 Ω
I
60 V V
s
4
2
5A
1 Ω
Ω
Ω
8A
R
54 Apostila de Eletricidade 
 
10. No circuito da figura 4.20, calcule os valores da tensão Vs e da resistência R. 
 Rta.: Vs=14V; R=4Ω 
 
11. Determine a potência dissipada em R1 e R2 do circuito da figura 4.21. 
Rta.: P1=20mW; P2=22,5mW 
 Figura 4.21 Figura 4.22 
 
12. Qual deve ser o valor do resistor R para que a corrente no ramo AB da figura 4.22 seja nula? 
 Rta.: R=26kΩ 
20 kΩ
10 kΩ
R1
R2
25 V
20 V
5 V
3V
12V
3V
A
B 3 kΩ1 k Ω
 6 kΩ
5 k Ω
R
Apostila de Eletricidade 55 
Unidade 5 
 
MAGNETISMO 
 
5.1 Introdução 
 
As primeiras manifestações do magnetismo foram observadas na Grécia Antiga, na região 
chamada Magnésia, antes do nascimento de Cristo. Foram encontradas pedras especiais que atrai-
am pedaços de ferro e se atraiam e repeliam mutuamente. Tal pedra foi chamada de magnetita e ho-
je se sabe que é uma espécie de óxido de ferro (Fe2O3). Este é o ímã natural que deu origem a este 
importante ramo da Física: o Magnetismo. 
 
 
Figura 5.1 - Ímã atraindo pedaços de ferro (pregos) 
 
O único ímã natural é a magnetita. Sua utilidade é, no entanto, apenas histórica, pois é rara, 
fraca e de difícil industrialização. Os ímãs usados para qualquer utilidade prática são artificiais. 
Os ímãs permanentes, também denominados magnetos, retêm sua magnetização por tempo 
praticamente ilimitado, após cessar o campo magnetizante que os imantou. A tabela 5.1 abaixo 
mostra os materiais usados para fabricação de ímãs permanentes. 
 
Tabela 5.1 - Tipos de ímãs permanentes 
 Ano Material 
 1930 
Ímãs de Cromo + Tungstênio 
 Ímãs de Cromo + Cobalto 
 1940 
Ímãs de ALNICO 
(Ferro+Alumínio+Níquel+Cobalto) 
 1947 
Ímãs de cerâmica ferrite 
 (SrFe12O19) / (BaFe12O19) 
 
 
1974 
Ímãs de Terras Raras 
Sámario-Cobalto (SmCo5) 
Neodímio-Ferro-Boro (Nd12Fe14B) 
56 Apostila de Eletricidade 
 
5.2 Representação do Campo Magnético 
 
O campo magnético é a região do espaço onde se observam os efeitos magnéticos, isto é, a 
atração e repulsão de ímãs e pedaços de ferro. O campo magnético é invisível assim como também 
são o campo gravitacional e o campo elétrico. 
Quando um ímã é aproximado de pedacinhos de ferro nota-se que estes são atraídos para de-
terminadas regiões do ímã como se ali estivessem concentradas todas as propriedades dos mesmos. 
Por estes motivos, estas regiões são chamadas de pólos do ímã. Um ímã sempre possui dois pólos, 
um NORTE (N) e um SUL (S). 
Cada região destas possui propriedades diferentes (inversas) da outra. Verifica-se que, ao se-
rem aproximadas regiões diferentes, há atração entre as mesmas e se as regiões forem de mesma na-
tureza, há repulsão. Daí surge uma das primeiras leis do magnetismo: 
 
Pólos magnéticos iguais se repelem e pólos contrários se atraem. 
 
Para facilidade de estudo adotou-se o conceito de linhas de indução ou linhas de força mag-
néticas. Tais linhas são coincidentes com as linhas formadas pela orientação das limalhas de ferro 
quando espargidas sobre uma folha de papel dentro de um campo magnético. 
 
Conforme a distribuição do campo magnético no espaço obtém-se um espectro magnético 
característico. De qualquer modo convencionou-se que o sentido das linhas de indução é tal que e-
las saem do pólo Norte e dirigem-se para o pólo Sul fora do ímã. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.2 – Distribuição das linhas de força de força para ímãs em forma de barra e em forma de 
ferradura. 
 
S N
N 
S 
Apostila de Eletricidade 57 
5.3 Magnetismo Terrestre 
 
Na antigüidade os chineses observaram que quando pedaços de magnetita eram suspensas 
livremente ou flutuavam em substância leve em um receptáculo com água, elas tendiam a assumir a 
posição aproximada norte-sul. Provavelmente, os navegadores chineses usaram pedacinhos de mag-
netita, presos em madeira e flutuando dentro de um vaso com líquido, funcionando como bússolas 
rudimentares. Naquela época, não era conhecido que a Terra age como um ímã e, então, aquelas pe-
dras eram encaradas com considerável temor supersticioso e chamadas pedras guias. 
Como já foi dito, a Terra é um grande ímã. As polaridades magnéticas da Terra são as indi-
cadas na figura. Os pólos geográficos também são mostrados em cada extremidade do eixo de rota-
ção da Terra. O eixo magnético não coincide com o eixo geográfico e, desta forma, os pólos magné-
ticos e geográficos não estão no mesmo lugar sobre a superfície da Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 - Pólos magnéticos e geográficos da Terra. 
 
Os antigos usuários da bússola encaravam a extremidade da agulha da bússola que aponta na 
direção aproximadamente norte como sendo um pólo norte. A outra extremidade foi encarada como 
sendo um pólo sul. Em alguns mapas, o pólo magnético da Terra, para o qual o pólo norte da agulha 
apontava, foi designado como pólo magnético. Esse pólo magnético foi obviamente chamado de pó-
lo norte, em virtude de sua proximidade com o pólo norte geográfico. 
No entanto, quando se soube que a Terra era um ímã e que pólos opostos se atraíam, foi ne-
cessário denominar o pólo magnético localizado no hemisfério norte como PÓLO SUL 
MAGNÉTICO e o pólo magnético localizado no hemisfério sul como PÓLO NORTE 
MAGNÉTICO. A razão das denominações foi arbitrária. Obviamente a polaridade da agulha da 
bússola que aponta para o norte deve ser oposta à polaridade do pólo magnético terrestre ali situado. 
Em virtude de os pólos magnéticos e geográficos não coincidirem, uma bússola (exceto em 
algumas posições da Terra) não apontará para uma direção (geográfica) verdadeira. Quer dizer, ela 
não se alinhará segundo uma linha de direção que passe pelos pólos geográficos norte e sul, mas