CONTEÚDO - CURSO DE NIVELAMENTO - MATEMÁTICA - ETAPA 1

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CONTEÚDO - CURSO DE NIVELAMENTO - 
MATEMÁTICA - ETAPA 1 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
Vamos retomar o que aprendemos nas séries iniciais com os conjuntos dos 
números naturais. Você lembra quem são eles? Pois bem, eles são todos os 
números inteiros positivos que conhecemos, lembrando que eles surgiram 
pela necessidade que as pessoas sempre tiveram de contar. 
 
Com o passar do tempo estas pessoas sentiram a necessidade de ampliar 
esse conjunto. Além de expressar quantidades temos situações em que os 
números indicam, por exemplo, saldo positivo ou negativo, temperatura 
acima de zero e abaixo de zero. E para situações como estas, foram criados 
os números negativos. 
 
Assim, surgiu o conjunto dos números inteiros, a união dos positivos e 
dos negativos. Para compreender melhor a representação desses números e 
sua utilização nas operações fundamentais acompanhe os estudos a seguir. 
 
NOTA 
O símbolo dos números inteiros Z é a inicial da palavra Zahl, que 
significa número em alemão. 
 
 
Chamamos de números inteiros aos elementos do seguinte 
conjunto: 
 
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,...} 
 
 
NOTA 
As reticências (...) a direita significa infinitos positivos, (...) a esquerda 
significa infinitos negativos. 
 
 
Podemos dividir o conjunto dos números inteiros em dois subconjuntos 
disjuntos, isto é, sem elementos em comum: 
 
Conjunto dos números inteiros não negativos (Z+) 
Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5,...} 
 
Conjunto dos números inteiros não positivos (Z-) 
 Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -,1,0} 
 
 
Reunindo o conjunto dos inteiros não negativos com o conjunto dos 
números inteiros não positivos mais o número 0 (zero) obtemos o conjunto 
dos números inteiros: 
 
 
 
Quando nos referimos a um número positivo, não precisamos escrever o 
sinal de (+): as representações +2 ou 2 têm o mesmo significado. Portanto 
os números naturais correspondem aos números inteiros positivos, com o 
zero, ou seja, 
 
Z+ U {0} = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. 
 
E quando temos a exceção do zero representamos os conjuntos pelo Z* 
Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} e = {...-4, -3, -2, -1} e ={1, 2, 3, 4, 
5,...} 
____________________________________________________________
______ 
 
REPRESENTAÇÕES DOS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA 
 
Podemos representar os números inteiros na reta numérica da seguinte 
forma: 
 
 
Observe que existe o ponto de Origem correspondente ao número 0 (zero) e 
que para o sentido da direita temos os números positivos e para o sentido 
da esquerda os números negativos. 
 
Cada ponto destacado com um número inteiro na reta é chamado 
de abscissa do ponto. 
 
 
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
 
Observem na reta numérica a seguir três pontos: 
 
Podemos observar que os números -5 e 5 estão à mesma distância do zero (ponto de 
origem), mas em lados opostos da reta em relação ao 0 (zero). Com isso, podemos 
dizer que -5 e 5 são números opostos ou simétricos. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
NOTA 
Lembrando que os números opostos ou simétricos representam a mesma 
distância do ponto de origem, ou seja, eles também podem ser 
representados em módulo. 
P�gina 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NUMERO INTEIRO 
 
Módulo é a representação de unidades, ou seja, a quantidade e é 
representado entre barras | |. 
 
Exemplo: 
|– 4| e |+ 4| 
 
Os dois valores representam 4 unidades. Nesse caso – 4 representa quatro 
unidades no sentido negativo e o + 4 representa quatro unidades no sentido 
positivo. 
 
Exemplo: 
 
 
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada por |– 4| é de 
4 unidades. 
 
A distancia do ponto B até a origem 0 (zero) é representada por |+ 4| é de 
4 unidades. 
 
 
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
Comparar dois números significa dizer se o primeiro é maior (>), menor 
( ou igual (=) ao segundo. Para fazer essa comparação de números 
inteiros, podemos usar como recurso a reta numérica. 
 
 NOTA - LEMBRANDO 
 
Em relação aos números positivos, quanto mais próximo do zero (ponto de 
origem) o número estiver menor é a quantidade que ele representa. Já em 
relação aos números negativos, quanto mais próximo do zero (ponto de 
origem) o número estiver maior é a quantidade que ele representa. Por isso, 
tome cuidado, pois, quanto menor o número negativo for mais distante do 
zero (ponto de origem) ele estará. 
 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Observe alguns subconjuntos de Z: 
Z = {..., -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92,...} (infinitos negativos 
aos infinitos positivos) 
 
Z* = {..., -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} (infinitos negativos aos 
infinitos positivos menos o 0(zero), o asterisco (*) em cima do Z, significa 
todos os inteiros menos o zero. 
 
Z = {..., 10, 20, 30, 40, 50,...} (infinitos negativos aos infinitos positivos 
numa escala de 10) 
 
Z = {..., -40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40,...} (infinitos negativos aos 
infinitos positivos numa escala de 10) 
 
Dados alguns conjuntos acima, vamos fazer a comparação: 
 
Exemplo: 
- 4 < - 3 - 6 < - 4 0 > -1 - 2 < 0 -7 > - 9 -11 < - 
3 
 
 
 
NOTA 
O menor número inteiro positivo é o número 1 e o maior número inteiro negativo é o 
número – 1. 
ADIÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
NOTA - LEMBRANDO 
Cada termo da adição é chamado de parcela. E o resultado é chamado soma 
ou total. 
 
Exemplo: 
 
 
Somar dois inteiros positivos não tem mistério, pois o resultado será 
positivo, mas quando envolvemos os inteiros negativos em uma operação, 
precisamos tomar cuidado. Para facilitar esse entendimento iremos utilizar a 
reta numérica. 
 
 
 Vamos calcular (-2) + (+5): 
 
 
Partindo da origem (o ponto em que se encontra o número zero), o sinal (-) 
antes do número 2 indica que devemos nos deslocar duas unidades 
no sentido negativo (para a esquerda) da reta a partir do ponto de 
abscissa 0 (zero). 
 
O sinal (+), dentro dos parênteses, antes do número 5 indica que devemos nos 
deslocar cinco unidades no sentido positivo (para a direita) da reta a partir do ponto 
em que paramos. 
 
 
Note que a posição final na reta corresponde ao número 3. Assim: 
(-2) + (+5) = +3 
 
 
 
Agora vamos calcular (- 3) + (-5) 
 
Partimos da origem (o ponto em que se encontra o número zero). O sinal (-) antes do 
número 3 indica que devemos nos deslocar três unidades no sentido negativo (para a 
esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 (zero). 
 
 
O sinal (-) antes do número 5 indica que devemos nos deslocar mais cinco 
unidades nosentido negativo (para a esquerda) da reta a partir do ponto 
em que paramos, pois estamos adicionando um valor negativo. 
 
 
 
Note que a posição final na reta corresponde ao número (-8). Assim: 
(-3) + (-5) = - 8 
 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
 
Comutativa 
Em uma adição de números positivos e negativos podemos trocar a ordem 
das parcelas que a soma não se altera. 
Exemplo: 
(-4) + (+8) = +4 ou (+8) + (-4) = +4 
 
Associativa 
Em uma adição de números positivos e negativos, podemos associar as 
parcelas de maneiras diferentes que a soma não se altera. 
Exemplo: 
(-9) + (+3) + (-4) 
 
Podemos resolver de duas maneiras: 
1ª Maneira:Calculamos primeiramente (-9) + (+3) e em seguida adicionamos (-4) ao 
resultado: 
 
 
 
2ª Maneira: 
Calculamos primeiramente (-9) + (-4) e em seguida adicionamos (+3) ao resultado: 
 
 
 
ELEMENTO NEUTRO 
A adição de um número positivo ou negativo com zero é sempre igual ao próprio 
número, ou seja, o zero é o elemento neutro da adição de números inteiros. 
Exemplos: 
(a) (b) (c) 
(-12) + 0 = -12 (+7) + 0 = +7 0 + (+17) = 17 
 
PROPRIEDADE DO CANCELAMENTO (DE NÚMEROS OPOSTOS) 
Esta é uma propriedade importante, pois pode facilitar o cálculo de adições 
que apresentam muitas parcelas. 
Exemplo: 
– 8 – 4 – 5 +6 +2 – 6 + 4 +1 + 8 + 11 – 2 = 
 
Aplicando as propriedades já descritas, podemos alterar a ordem dos 
números anulando aqueles que são iguais em módulo, mas tem sinais 
diferentes, ou seja, os números opostos ou simétricos. 
 
Então 
 
 
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Vamos relembrar primeiramente os números naturais em que a subtração é 
impossível, ou seja, quando o primeiro termo (minuendo) é menor do que o 
segundo (subtraendo). No conjunto dos números inteiros isso é possível, 
pois temos os valores negativos. 
 
NOTA - LEMBRANDO 
 
 
 
 Exemplo: 
 (+13) minuendo 
– (–76) subtraendo 
 – 63 total (resultado) 
 
Exemplo: 
5 – 9 
 
Veja a situação: 
 
Na cesta de frutas da sua casa há 5 maçãs e sua mãe pede que você tire 9 
de lá. Impossível, não é? Ou seja, essa subtração é impossível para os 
números naturais. 
 
Agora, outra situação: 
A sua mãe foi ao mercado e descobriu que só tem 5 reais para pagar uma 
compra de 9 reais. Como ela conhece o gerente, trouxe as compras, mas 
ficou devendo 4 reais. 
 
 Então: 
5 – 9 é equivalente a (+5) – (+ 9) = +5 – 9 = – 4 
 
O sinal (+) antes do número 5 indica que devemos nos deslocar mais cinco 
unidades nosentido positivo (para a direita) da reta a partir do ponto de 
abscissa 0 (zero). 
 
 
O sinal (-) antes do número 9 indica que devemos nos deslocar mais nove 
unidades nosentido negativo (para a esquerda) da reta a partir do ponto em 
que paramos, pois estamos subtraindo. 
 
Note que a posição final na reta corresponde ao número (-4). Assim: 
(+5) - (+9) = 5 - 9 = - 4 
 
A subtração na verdade, nada mais é do que a adição por um inteiro 
negativo. 
 
Veja esse exemplo: 
Em um determinado dia, a temperatura da cidade de Paranaguá é de 6º C e 
na cidade de Palmas é 3º C. 
 
Observando as temperaturas, percebemos que a diferença entre elas é de 
3ºC. Isto é 6ºC - 3ºC = 3ºC 
 
Agora, se a temperatura de Paranaguá fosse –1ºC e a de Curitiba –4ºC, 
qual seria a diferença das temperaturas? 
 
NOTA - LEMBRANDO 
 
 
 
 Quando se pede para calcular a diferença, a operação realizada é a 
subtração. 
 
Subtrair – 4 é o mesmo que adicionar + 4. 
Podemos dizer que em Paranaguá a temperatura está + 3º C em relação a 
Curitiba. 
 
Assim, para calcular a diferença entre dois números inteiros, basta 
adicionar o primeiro ao oposto do segundo. 
 
Se a e b são números inteiros, a adição a + (– b) é equivalente à subtração 
a – b 
Sendo assim a subtração é sempre possível em números inteiros. 
MULTIPLICAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
NOTA - LEMBRANDO 
 
 
 
Ao indicar a multiplicação 6 x 3 (o número seis três vezes) por 6 + 6 + 6 significa que 
o termo multiplicando é indicado pelo número 6 e o termo multiplicador pelo 
número 3. 
 
Ao conjunto desses dois termos, multiplicando e multiplicador, denominamos 
de fatores. Por isso, é que dizemos que a ordem dos fatores não altera o produto. 
 
O termo produto é indicado para o resultado da multiplicação. 
Exemplo: 
 
 
NOTA 
 
 
 
Os sinais de multiplicação podem ser representados por meio da letra “x” (-
2) x (+5), ou por meio de um ponto ”.” (-2) . (+5). 
 
NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO POSITIVO 
 
FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO. 
Quando multiplicamos dois fatores positivos, o produto sempre será um 
número positivo. 
 
Exemplo: (+5). (+5) = 25 
Lembre-se que uma das propriedades da multiplicação é a soma de parcelas iguais, 
ou seja, a multiplicação pode ser representada também na forma de adição de 
parcelas iguais: 
 
 Representação na reta numérica 
(+4). (+2) = +8 ou (+4) + (+4) = +8 ou (+2) + (+2) + (+2) + (2) = +8 
 
 
 
NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO NEGATIVO 
 
FATORES COM SINAIS DIFERENTES, PRODUTO NEGATIVO 
Em uma multiplicação de dois fatores em que um dos fatores é um número 
positivo e o outro, um número negativo, o produto é um número negativo. 
 
Exemplo: 
(+7). (–6) = – 42 
 
Representação na reta numérica 
(+3). (–2) = –6 ou (–2) + (–2) + (–2) = –6 
 
 
NÚMERO NEGATIVO MULTIPLICANDO NÚMERO NEGATIVO 
 
FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO 
Para entender esse cálculo, podemos partir da ideia de algumas 
multiplicações já conhecidas. Observe a sequência das multiplicações: 
 
4 . (–4) = –16 
3 . (–4) = –12 
2 . (–4) = –8 
1 . (–4) = –4 
0 . (–4) = 0 
 
Essa sequência tem um padrão, onde o primeiro fator vem decrescendo 1 
unidade, o segundo fator é constante (- 4) e o produto vem crescendo 4 
unidades. Se seguirmos essa ideia e mantivermos o padrão, saberemos qual 
o resultado das próximas multiplicações. 
 
-1 . (–4) = +4 
-2 . (–4) = +8 
-3 . (–4) = +12 
-4 . (–4) = +16 
-5 . (–4) = +20 
 
De acordo com o que acabamos de ver podemos concluir que a 
multiplicação de dois números negativos será sempre um número positivo. 
 
MULTIPLICAÇÃO COM ZERO EM UM DOS FATORES 
 
NOTA 
 
 
Na multiplicação de dois fatores, em que um deles for zero, o resultado 
sempre será zero. 
 
Exemplos: 
(+5) . (0) = 0 
(0) . (7) = 0 
(– 9) . (0) = 0 
(0) . (– 6) = 0 
 
MULTIPLICAÇÃO COM O NÚMERO 1 (UM) E – 1 EM UM DOS FATORES 
 
A multiplicação de um número positivo ou negativo com (+1) um positivo 
sempre será igual ao próprio número. 
 
Exemplo: 87 . 1 = (+87) . (+1) = +87 
 
Já quando um dos fatores for (-1) um negativo, precisamos verificar o sinal 
do outro fator, pois vamos lembrar das regras anteriormente citadas. 
 
NOTA IMPORTANTE 
Fatores com sinais diferentes, produto com sinal negativo. 
(+9) . (-1) = -9 
ou 
(-1) . ( +9) = -9 
 
Fatores com sinais iguais, produto positivo. 
(-8) . (-1) = +8 
ou 
(+1) . (+8) = +8 
DIVISÃO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
NOTA - LEMBRANDO 
A multiplicação e a divisão são operações inversas. Dessa forma, em relação 
aos sinais, divisão e multiplicação se comportam da mesma maneira. 
 
Exemplo: 
 
 
Portanto, se (– 136) ÷ 4 = –34, 
Então: 
(– 136) = –34 . 4 
 
Essas operações podem ser interpretadas assim: dividindo uma compra de 
136 em 4 parcelas iguais, cada parcela corresponderá a uma dívida de 34. 
 
Assim a divisão de um número negativo por um número positivo resultará 
num quociente negativo. 
 
NOTA - IMPORTANTE 
Divisão com sinais diferentes quociente com sinalnegativo. 
1000 ÷ (– 20) = –50 
(– 136) ÷ 4 = –34 
 
Divisão com sinais iguais quociente com sinal positivo. 
164 ÷ 4 = 41 
(– 81) ÷ (–3) = 27 
O ZERO NA DIVISÃO 
Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, dá sempre 
zero. 
Exemplo: 
0 ÷ (– 13) = 0 
0 ÷ 87 = 0 
 
 
NOTA - ATENÇÃO 
 
É impossível dividir qualquer número por zero, pois não existe nenhum 
número que multiplicado por zero dê algum valor, vejamos: 
 
Exemplo: 
(– 76) ÷ 0 = ? 
É impossível, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê 
–76. 
 
654 ÷ 0 = ? 
É impossível, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê 
654. 
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
NOTA - LEMBRANDO 
Uma multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência 
 
Exemplo: 
 
 
Base: fator que se repete. (fator que se multiplica); 
Expoente: indica quantas vezes o fator se repete. (quantas vezes o fator se 
multiplica); 
Potência: resultado da potenciação. (resultado da multiplicação). 
 
Lembrando da leitura das potenciações: 
20 = dois elevado ao expoente zero 91 = nove elevado à primeira 
potência 
3² = três elevado ao quadrado 4³ = quatro elevado ao cubo 
67 = seis elevado à sétima potência 0² = zero elevado ao 
quadrado 
 
De acordo com o que estudamos anteriormente devemos observar os sinais 
e os parênteses que acompanham os números inteiros. 
BASE POSITIVA 
 
Observe as potências a seguir: 
(+8) = +8 (+7)² = (+7). (+7) = +49 
(+2)³ = (+2) . (+2) . (+2) = +8 (+1)4 = (+1) . (+1) . (+1) . 
(+1) = +1 
 
Sempre que a base for positiva o resultado será positivo. 
 
BASE NEGATIVA 
 
Observe as potencias a seguir: 
– 6² = - 6 . 6 = – 36 
(– 6)² = (– 6) . (– 6) = +36 
(– 6)³ =(– 6) . (– 6) . (– 6) = – 216 
 
Por que essa diferença nas multiplicações? 
 
Veja: 
No primeiro exemplo, quem está elevado ao quadrado é somente o número 
6, então 6 multiplicado por 6 é igual a 36, mas não se esqueça do sinal que 
está na frente, ele acompanha o resultado. 
 
No segundo exemplo, quem está elevado ao quadrado é o – 6 e 
multiplicações de dois números inteiros negativos resultam números 
positivos, assim – 6 multiplicado por – 6 é igual a + 36. 
 
No terceiro exemplo, observe que é o – 6 que está sendo multiplicado e, 
como vimos anteriormente, o sinal multiplica com o valor numérico. Assim, 
– 6 multiplicado por – 6 é igual a +36, e este multiplicado por – 6 é a 
multiplicação de um número positivo por um negativo e, lembrando que a 
multiplicação de um número positivo por um negativo é igual ao resultado 
negativo, assim +36 multiplicado por – 6 é igual a – 216. 
 
NOTA 
Para resolvermos multiplicação e divisões de potência, utilizamos alguns recursos que 
as propriedades de potência nos oferecem. 
 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS 
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Um produto de potências de mesma base pode ser reduzido a uma única 
potência, conservando a base e somando o expoente. 
Exemplo: 
Escrever o produto de usando uma única potência. 
 
, 5 fatores iguais multiplicando mais quatro 
fatores iguais 
ou 
, multiplicação de 9 fatores iguais 
 
 
 
NOTA 
Como você pode observar as propriedades da potência nos facilitam em 
determinados cálculos. 
 
 
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
 
Uma divisão composta por duas potências de mesma base, não nula, pode 
ser reduzida a uma única potência, conservando a base e diminuindo os 
expoentes, na ordem em que aparecem. 
Exemplo: 
 
 
Difícil não? Ter que calcular, depois e ainda fazer uma divisão com os 
resultados! Calma... 
 
Existe uma maneira mais simples de se resolver essa questão: é aplicando a 
propriedade anteriormente citada. 
 
Agora, simplificamos essa fração dividindo numerador e denominador por 21. Fazemos 
isso seis vezes. 
 
Podemos observar que é muito mais fácil usarmos a propriedade, certo? 
Portanto, 
 
POTÊNCIA DE POTÊNCIA 
Uma potência de potência pode ser reduzida a uma única potência, 
conservando a base da primeira e multiplicando os expoentes. 
Exemplo: 
 
ou 
 
Como podemos escrever a expressão , ou seja, 
o número 5³ se repete cinco vezes. Assim como vimos na propriedade de produto de 
mesma base, somamos os expoentes. E para tornarmos mais fácil, aplicamos a 
potência de potência onde multiplicamos os expoentes. 
P�gina 
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE 
Um produto de mesmo expoente pode ser reduzido a uma única potência, 
multiplicando as bases e conservando o expoente comum. 
Exemplo: 
 
 
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE 
Um quociente de mesmo expoente pode ser reduzido a uma única potência, 
dividindo a primeira pela segunda e conservando o expoente. 
 Exemplo: 
(a) 
 
 
(b) 
, lembrando que toda fração é uma divisão. 
 
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevar o numerador e 
denominador a esse expoente. 
Exemplo: 
 
 
EXPOENTE ZERO 
Por que qualquer número inteiro, diferente de zero, elevado ao expoente 
zero é igual a um? 
Veja: 
 
 
Podemos usar uma das propriedades da potenciação para justificar essa 
propriedade. Se a é um número inteiro diferente de zero e n é um número 
natural, temos: 
 
 
Então: 
Todo número diferente de zero dividido por ele mesmo dá 1, podemos 
escrever: 
 
 
 
Comparando essa igualdade podemos dizer que: 
 
 
POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS 
No estudo das potências com expoente inteiro, iremos ampliar o estudo em 
relação aos números racionais, cujos expoentes são números inteiros 
negativos. 
A partir do estudo das potenciações, podemos observar as regularidades 
que existem e os resultados das potências com expoentes inteiros 
negativos. 
Exemplo: 
 
 
Seguindo esse raciocínio, podemos inferir que: 
 
 
Realmente, a potência de uma base não nula e expoente negativo é igual ao 
seu inverso, conservando a base e trocando o sinal do expoente 
 um terço é o inverso de 3 elevado a – 1. 
 
um nono é igual a um terço elevado ao quadrado e é o inverso 
de três elevado a – 2. 
 
POTÊNCIAS DE BASE 10 
Quando obtemos uma potência de base 10 e no expoente um número 
natural, podemos resolver pelo seguinte processo prático. 
Exemplo: 
10² = 10 . 10 = 100 (1 seguido de dois zeros) 
10³ = 10 . 10 . 10 = 1000 (1 seguido de três zeros) 
107 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 10000000 (1 seguido de sete zeros) 
100 = 1 (1 seguido de nenhum zero) 
 
Para as potências com base 10 e expoente negativo temos o seu inverso. 
Exemplo: 
 
 
Observe que dez elevado a – 1 é o mesmo que seu inverso, na forma de 
fração (um décimo), assim seu número decimal. 
 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
A notação científica é utilizada para expressar números muito grandes ou 
muito pequenos de uma maneira mais sucinta. Consiste em expressar o 
número através de uma multiplicação por potências de base 10. 
Exemplo: 
A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente 150 000 000 Km 
ou, em notação científica 1,5 . 108 Km (a vírgula desloca-se 8 casas para a 
direita). 
 
 
RAIZ QUADRADA DE NÚMERO INTEIRO 
 
Raiz quadrada de um número positivo é o número positivo cujo quadrado é 
igual ao número dado. 
Exemplo: 
Araiz quadrada de um número inteiro positivo pertence ao conjunto dos 
números naturais. 
a) 
, pois 3² é igual a 3 . 3 = 9, ainda podemos escrever 
 
b) 
, é impossível nos números inteiros, pois não existe número inteiro que, 
elevado ao quadrado, dê +10. (é uma raiz não exata). 
 
c) 
, pois 0 . 0 = 0 que é igual a 0² = 0 
 
A raiz quadrada de qualquer número inteiro negativo é impossível. 
Exemplo: 
, é impossível para os números inteiros, ou seja, não existe um número inteiro 
que elevado ao quadrado dê – 81 , pois – 9² = +81 
 
QUANDO A RAIZ NÃO FOR EXATA 
A raiz quadrada de um número positivo não exata corresponde ao um 
número irracional. 
Nesse caso, podemos trabalhar por tentativa ou pela simplificação da raiz. 
 a) , por tentativa sabemos que é um valor entre 3 e 4 pois, está 
compreendido entre a raiz de e raiz de . 
 
b) , nesse caso podemos simplificar a raiz, pois a raiz pode ser escrita 
na forma ou porque a raiz de 4 pode ser extraída, sendo 2 
e a raiz de 2 permanece, pois ela corresponde a um número irracional. 
 
RESUMO DO TÓPICO 
Conjunto dos números inteiros Z 
Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,...} 
 
Números opostos ou simétricos são números que representam a mesma 
distância do ponto de origem, ou seja, são representadas através do módulo 
|-2| e |+2|. 
 
O menor número inteiro é aquele que se encontra mais à esquerda na reta 
numérica. 
 
O maior número inteiro é aquele que se encontra mais à direita na reta 
numérica. 
 
Números que se encontram no mesmo ponto da reta numérica são iguais. 
 
P�gina 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
Adição 
Propriedades da Adição 
Comutativa: em uma adição de números positivos e negativos podemos trocar a ordem 
das parcelas que a soma não se altera. 
Associativa: em uma adição de números positivos e negativos, podemos associar as 
parcelas de maneiras diferentes que a soma não se altera. 
 
Subtração 
Se a e b são números inteiros, a adição a + (– b) é equivalente à subtração a – b. 
 
 
Multiplicação 
Fatores com sinais diferentes, produto com sinal negativo. 
(+9) . (-1) = -9 
ou 
(-1) . (+9) = -9 
 
Fatores com sinais iguais, produto positivo. 
(-8) . (-1) = +8 
ou 
(+1) . (+8) = +8 
 
Divisão 
Divisão com sinais diferentes, quociente com sinal negativo. 
1000 ÷ (– 20) = –50 
(– 136) ÷ 4 = –34 
 
Divisão com sinais iguais, quociente com sinal positivo. 
164 ÷ 4 = 41 
(– 81) ÷ (–3) = 27 
 
Potenciação 
Propriedades da Potenciação 
 
Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e soma-se o 
expoente; 
 
Produto de potência de mesmo expoente: conserva-se o expoente e 
multiplica-se a base; 
 
Quociente de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se o expoente; 
 
Quociente de mesmo expoente: conserva-se o expoente e divide-se a 
base; 
 
Potência de Potência: conserva-se a base e multiplica-se o expoente; 
 
Potência de expoente inteiro: A potência de uma base não nula e 
expoente negativo é igual ao inverso da potência, conservando a base e 
trocando o sinal do expoente 
 
 
Radiciação 
A raiz quadrada de um número inteiro positivo e do zero equivale à raiz 
quadrada exata. 
Raiz quadrada de um número inteiro negativo é impossível nos números 
inteiros. 
 
Autoatividades: 
1. Os números na reta podem representar temperaturas de um termômetro: 
 
Nessa representação, os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos 
números: 
a) - 2,18 e 1,3 
b) 2,18 e - 1,3 
c) - 3,78 e 1,3 
d) 3,78 e - 1,3 
 
2. Qual a sentença verdadeira? 
a) - 21 > - 17 
b) - 21 < - 17 
c) 3 < -5 
d) 0 < -6 
 
3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. Mesmo 
assim, fez uma retirada de trezentos e quarenta e sete reais. Para sabermos 
o novo saldo, assinale a alternativa, correta: 
a) - 300 + 347 = 47 
b) - 300 - 347 = 647 
c) - 300 - 347 = - 647 
d) 300 + (- 347) = - 47 
 
4. Assinale a sentença verdadeira: 
a) (-15) ÷ (-3) = 5 
b) (-15) ÷ (-3) = - 5 
c) (15) ÷ (-3) = 5 
d) (-15) ÷ (-5) = - 3 
 
5. Considere o segmento na reta numérica: 
 
 
Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um número maior que 1e 
é reduzido se for multiplicado por números entre 0 e 1. 
Com base na situação que descrevemos, é correto afirmar que, 
multiplicando o segmento por: 
 
a) - 2 e, a seguir, por - 3 seu sentido não muda. 
b) 2 e, novamente, por - 2 seu sentido, no final, é igual ao do inicio. 
c) - 2 e, depois, por - 3 seu sentido, no final, é o oposto ao do inicio. 
d) 2 e, depois, por 3 inverte-se o sentido do segmento. 
 
 
6. Efetuando a expressão , o resultado será: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
7. Assinale a sentença correta: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
8. Observe as sentenças abaixo. 
I) 
 
II) 
 
III) = impossível em Z 
 
IV) 
 
De acordo com as sentenças é correto afirmar que: 
 
a) Todas as sentenças são verdadeiras. 
b) Somente as sentenças II, III, IV são verdadeiras. 
c) Somente a sentença IV é verdadeira. 
d) Somente as sentenças III, IV são verdadeiras. 
 
9. Assinale a alternativa correta: 
a) (– 2)³ = +8 
b) (– 2)³ = – 8 
c) – 2³ = + 6 
d) – 2³ = – 6 
 
10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo (B) é o mesmo 
que: 
a) B – A 
b) – A – B 
c) + B – (– A) 
d) + A + B 
 
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__________ 
 
Gabararito da atividades: Gabarito: 1- A / 2- B / 3- C / 4- A / 5- A / 6- A / 7- D / 8- 
D / 9- B / 10- C