APOSTILA MEC FLUIDOS UNIP - DP

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DP - MECANICA DOS FLUIDOS APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2017/2 
 
 1 
MÓDULO 1 – Equação da Quantidade de Movimento 
 
A equação da quantidade de movimento é a 2ª Lei de Newton da dinâmica 
modificada funcionalmente para o estudo da Mecânica dos Fluidos. Segundo essa Lei 
a aceleração de uma massa implica a existência de uma força resultante sobre ela 
que tem, em cada instante, a direção e o sentido da aceleração. Acelerar uma massa 
significa modificar sua velocidade em modulo e/ou direção, e por essa observação, 
que a velocidade de um fluido seja modificada em módulo ou direção, será necessário 
aplicar uma força provocada por algum agente externo, em geral uma superfície sólida 
em contato com o escoamento (Brunetti). 
Considerando a 2ª Lei de Netown da dinâmica: 
�⃗� = 𝑚�⃗� = 𝑚
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 
(1) 
A equação (1) é estabelecida para um sistema que tem, po definição, massa 
constante, logo: 
�⃗� =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚�⃗�) 
(2) 
 Como (𝑚�⃗�) é por definição a quantidade de movimento do sistema, então, 
pode-se dizer que a força resultante que age no sistema, é igual a variação com o 
tempo, da quantidade de movimento. 
 A Figura 1 mostra que a variação da quantidade de movimento deve ser 
entendida como a variação entre as seções (1) e (2) (Brunetti). 
 
 
Figura 1 – Apresentação da quantidade de movimento entre as seções (1) e (2) (Brunetti) 
 
 2 
 Considerando as informações acerca do teorema da quantidade de movimento, 
a força resultante que age no fluido entre as seções (1) e (2) será: 
�⃗� =
𝑑𝑚2�⃗�2
𝑑𝑡
−
𝑑𝑚1�⃗�1
𝑑𝑡
 
(3) 
 Tal que: 
�⃗� = 𝑄𝑚2�⃗�2 − 𝑄𝑚1�⃗�1 (4) 
 
Levando em consideração o regime de escoamento ser permanente, ou seja, 
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2=𝑄𝑚 então a eq (4) é modificada como segue. 
�⃗� = 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1) (5) 
 
A próxima etapa do estudo é a análise das forças componentes da força 
resultante �⃗� (Figura 2) (Brunetti). A superfície lateral o fluido está sujeito a ação das 
pressões e também das tensões de cisalhamento devido ao movimento do fluido em 
contato com um determinado 
meio. Tanto as pressões quanto 
as tensões de cisalhamento 
podem variar de um ponto para 
outro da superfície lateral. A 
resultante das pressões pode 
ser obtida adotando-se em cada 
ponto uma normal dirigida para 
fora, conforme a convenção 
adotada. 
Figura 2 – Análise das forças componentes da força 
resultante �⃗� (Brunetti). 
 
A resultante em cada elemento 𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 no entorno de um ponto da superfície 
lateral é apresentada pela eq (6). 
𝑑�⃗�𝑠 = −𝑃𝑙𝑎𝑡 �⃗⃗�𝑙𝑎𝑡𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 + 𝜏𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 (6) 
Dessa forma a força resultante das pressões e tensões de cisalhamento na 
superfície lateral é representada pela eq (7). 
�⃗�𝑠 = ∫ −𝑃𝑙𝑎𝑡 �⃗⃗�𝑙𝑎𝑡𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 + ∫ 𝜏𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 
(7) 
 
 3 
 A força resultante �⃗� que 
age no fluido entre (1) e (2) será a 
soma das componentes 
representada pela Figura 3 
(Brunetti). 
 
 
 
Figura 3 – Análise da força resultante �⃗� (Brunetti). 
 
Dessa forma, 
�⃗� = �⃗�𝑠
′ + (−𝑃1𝐴1�⃗⃗�1) + (−𝑃2𝐴2�⃗⃗�2) + �⃗� (8) 
 
Igualando-se as equações (5) e (8): 
�⃗�𝑠
′ − 𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 − 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + �⃗� = 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1) (9) 
 
Reorganizando: 
 
�⃗�𝑠
′ = 𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1) − �⃗� (10) 
 
O interesse pela equação corresponde aos casos em que o fluido está em 
contato com uma superfície sólida (�⃗�𝑠 ), na superfície lateral entre (1) e (2), nessas 
condições a força �⃗�𝑠
′ representa a resultante das forças de contato da superfície sólida 
contra o fluido. Na prática: �⃗�𝑠 = −�⃗�𝑠
′, logo: 
�⃗�𝑠 = −[𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1)] + �⃗� (11) 
 
Para a facilidade dos cálculos não será utilizado o peso do fluido G, entretanto 
é necessário ressaltar aqui que nem sempre esse termo pode ser considerado 
desprezível e, nas aplicações práticas, deverá, as vezes, ser calculado. 
Um caso típico de utilização da equação da quantidade de movimento que se 
pode apresentar é a determinação da força do jato d’água de um injetor de uma turbina 
Pelton sobre a pá da turbina. As Figuras 4 e 5 apresentam o esquema de uma turbina 
Pelton, do injetor e da pá da turbina. Esse tipo de turbina é utilizado em inúmeras 
 
 4 
usinas hidroelétricas brasileiras. Pode-se verificar, por essa figura, que o jato que sai 
do injetor atinge a pá e o seu movimento segue o caminho do perfil da peça. 
 
Figura 4 – Imagem das pás de uma turbina pelton (http://www.kelvin.it/img/galleriafoto/galleria-
equilibratura-turbina-pelton.htm ) 
 
 
Figura 5 – Imagem que simula o funcionamento das pás de uma turbina pelton ao receber 
água (http://www.ansys.com/ ) 
 
 
 
 
 
 
 5 
EXEMPLOs 
 
Exemplo 1 – Conduto com redução gradual de seção – Determinar a equação da força 
que o fluido exerce sobre o conduto nas direções x e y. 
 
Resolução 
A resolução será apresentada considerando-se o fluido incompressível, 
propriedades uniformes nas seções e regime permanente de escoamento. Para o 
trecho (1)-(2) podemos escrever a equação da força que o fluido exerce no conduto 
(eq. 11), como segue: 
�⃗�𝑠 = −[𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1)] 
 
A equação que representa a projeção da componente da força na direção x 
(Fsx) será: 
𝐹𝑠𝑥 = −[𝑃1𝐴1(−1) + 𝑃2𝐴2(+1) + 𝑄𝑚(𝑣2 − 𝑣1)] 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 + 𝑄𝑚(𝑣1 − 𝑣2) 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 + 𝜌𝑄(𝑣1 − 𝑣2) 
 
A projeção da componente da força na direção y (Fsy) será nula porque não 
temos componentes na direção y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Exemplo 2 – A grande maioria das aplicações da quantidade de movimento dos fluidos 
está associada a escoamentos permanentes do fluido de trabalho, isto é, que não 
variam com o tempo, com o compressor, o ventilador e a bomba e os respectivos 
sistemas funcionando em regime estável, sem oscilações temporais significativas das 
características operacionais. Considerando uma aplicação de um conduto com 
redução de seção e 
direção, determine o 
esforço vertical e horizontal 
do fluido e a força 
resultante que o fluido 
exerce sobre a superfície 
com redução de seção e 
mudança de direção. 
 
Resolução 
A resolução será apresentada considerando-se o fluido incompressível, propriedades 
uniformes nas seções e regime permanente de escoamento. Da mesma forma como 
resolvemos o trecho (1)-(2) no exemplo anterior, podemos escrever a equação da 
força que o fluido exerce no conduto (eq. 11), como segue: 
�⃗�𝑠 = −[𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1)] 
 
A equação que representa a projeção da componente da força na direção x 
(Fsx) será: 
𝐹𝑠𝑥 = −[𝑃1𝐴1(−1) + 𝑃2𝐴2(cos 𝜃) + 𝑄𝑚(𝑣2 cos 𝜃 − 𝑣1)] 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 cos 𝜃 + 𝑄𝑚(𝑣1 − 𝑣2 cos 𝜃) 
 
A equação que representa a projeção da componente da força na direção y 
(Fsy) será: 
𝐹𝑠𝑦 = −[0 + 𝑃2𝐴2(sen 𝜃) + 𝑄𝑚(𝑣2 sen 𝜃 − 0)] 
𝐹𝑠𝑦 = −𝑃2𝐴2 cos 𝜃 − 𝜌𝑄𝑣2 cos 𝜃 
A equação da força resultante que o fluido exerce sobre o conduto será: 
𝐹𝑠 = √𝐹𝑠𝑥2 + 𝐹𝑠𝑦2 
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Exercício 1:
O barco da Figura tem um sistema de propulsão que consiste de uma bomba que succiona água na proa e a recalca na popa. Todos os tubos têm 5 cm de diâmetro e a
vazão de saída é 50 L/s. Calcular a força de propulsão no instante da par�da, istoé, com o barco em repouso. Admite-se que a pressão nas entradas e saída seja
pra�camente atmosférica (densidade da água = 1000 Kg/m3)
 
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A)
Fsx=-954,7 N
B)
Fsx=-1038,2 N
C)
Fsx=-1511,4 N
D)
Fsx=+975,4 N
E)
Fsx=+1045,5 N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 2:
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O tubo (2)-(3) da Figura está ligado ao tanque por meio de uma junta elás�ca de borracha que impede a transferência de esforços entre o tanque e o tubo. Calcular a
altura h do nível de água do tanque para que a força horizontal sobre o suporte S seja nula. Dados: g= 10 m/s2; massa específica=1000 Kg/m3; perda de carga entre (1)
e (3) = 0; A3=20 cm
2; ângulo=60°, P2= 50 kPa; A2=80 cm2
A)
4,5m
B)
6,0m
C)
7,5m
D)
9,5m
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E)
12,0m
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 3:
A água que sai de um reservatório de grandes dimensões penetra num conduto de 15 cm de diâmetro e incide sobre uma pá deflectora fixa que desvia o jato de 90°,
conforme figura. Sabendo-se que o empuxo horizontal desenvolvido sobre a pá é de 1000N, determinar a potência da turbina. Dados: massa específica=1000 Kg/m3;
perda de carga desprezível; rendimento da turbina=70%
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A)
12,5m
B)
15,4m
C)
18,5m
D)
21,7m
E)
24,9m
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
E) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 4:
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No esquema que segue o registro (B) está fechado e registro (A) aberto e dessa forma a água é despejada por (1). A pressão indicada na Figura é a mesma, bem como
tem-se a mesma força F=1090N, necessária para o equilíbrio segundo a direção “x”. Determinar qual deve ser a força de equilíbrio, segundo a direção y para essa
situação.
Dados: gH2O=10.000N/m3; A0=100cm2; A1=50cm2; A2=75cm2; g=10m/s2
A)
250N
B)
180N
C)
135N
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D)
125N
E)
118N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 5:
Calcular o esforço horizontal sobre a estrutura do ventilador da Figura. Desprezar a perda de carga
entre as seções (1) e (2). Dados: D2=0,38 m; v2= 30 m/s; v1= 0 m/s; peso específico=12,7 N/m
3
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A)
Fsx=-133 N
B)
Fsx=-143 N
C)
Fsx=-153 N
D)
Fsx=+133 N
E)
Fsx=+153 N
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 6:
Sabendo-se que a perda de carga no trecho (1)-(2)_ é de 3m, determinar a componente vertical da força
aplicada pelo fluido nesse trecho de tubulação. Dados: Q= 6 L/s; peso específico=10000 N/m3
A)
Fsy=-96 N
B)
Fsy=-126 N
C)
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Fsy=-136 N
D)
Fsy=126 N
E)
Fsy=116 N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 7:
Jet-ski ou moto aquática é um meio de transporte em água utilizado tanto em competições desportivas quanto em atividades de lazer. O
termo jet-ski advém da marca registrada de equipamentos aquáticos pessoais jet-ski, desenvolvidos e fabricados pela Kawasaki Heavy
Industries. No jet-ski um impulsor rotacionado por um motor a combustão interna capta uma grande quantidade de água (massa especifica
de 1g/cm³) a baixa velocidade e a faz sair por um bocal localizado na parte traseira em velocidade bem maior. O jet-ski então se move
baseado no princípio descrito pela terceira lei do movimento de Isaac Newton. De acordo com essa lei, toda ação provoca uma reação de
mesma força, na direção e no sentido oposto. Nesse caso, a ação é a expulsão da água pelo bocal. A reação é o movimento do barco na
direção oposta. Ao mudar a direção do jet-ski, cabos conectados ao guidão giram o bocal na parte traseira. Caso o bocal direcione a água
para o lado direito, a traseira é empurrada para o esquerdo. Isso faz com que a frente do jet-ski gire para a direita. Suponha que o jet-ski
esteja à velocidade constante de 36 Km/h e navegue em água à temperatura (t) de 20ºC com massa especifica de 1000 kg/m³.
Considerando a entrada de água no jet-ski como sendo horizontal, a força de resistência em N ao movimento do jet-ski na unidade do
Sistema Internacional de Unidades é de
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A)
14300
B)
12500
C)
10600
D)
8534
E)
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6245
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 8:
No trecho (1)-(2) da tubulação. Que está num plano horizontal escoa água em regime permanente. A perda de carga de (1) a (2) é de 20m e a vazão, 10 L/s. Qual é a
força resultante aplicada pelo fluido na tubulação?
 
Dado: g=10000N/m3
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A)
340N
B)
360N
C)
380N
D)
420N
E)
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435N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
 
 1 
MÓDULO 2 – Forças em Superfícies Sólidas em Movimento 
 
Existem problemas da Engenharia que necessita ser determinada a ação de 
fluidos em superfícies sólidas em movimento. Nesse módulo serão considerados 
apenas movimentos retilíneos e uniformes das superfícies. Dessa forma a superfície 
sólida será observada em repouso e o fluido terá sua velocidade alterada em relação 
àquela vista do sistema de referência inercial. A variação da velocidade deverá ser 
estudada a partir de um sistema de referência fixo à superfície solida. 
Nesse momento será adotado um caso particular para maior facilidade de 
compreensão (Figura 1) (Brunetti). 
Sabe-se da Mecânica que 
𝑣𝑎𝑏𝑠⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� + 𝑣𝑠⃗⃗ ⃗ (1) 
 
𝑣𝑎𝑏𝑠⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝑣𝑠⃗⃗ ⃗ = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑢 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑥𝑜 𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎 (𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑡𝑜) 
�⃗� = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑜𝑢 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚ó𝑣𝑒𝑙 
(𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑗𝑎𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟) 
 
Figura 1 – Apresentação do desviador de jato em movimento (Brunetti) 
 
 
A força do desviador contra o jato de fluido lançado pelo bocal será função da 
velocidade relativa (�⃗� ). Nesse exemplo em específico, a vazão do jato lançada pelo 
bocal será: 
𝑄𝑚 = 𝜌(𝑣1𝐴1) (2) 
 
 2 
A superfície sólida devido ao seu movimento não é atingida por essa vazão. O 
que incidirá sobre a superfície sólida será uma vazão aparente, dada por: 
 
𝑄𝑚(𝑎𝑝) = 𝜌𝐴1(𝑣𝑎𝑏𝑠1 − 𝑣𝑠) = 𝜌𝐴1𝑢1 (3) 
 
Logo a equação da força que o fluido exerce sobre uma superfície sólida (vista 
no módulo 1) será modificada para: 
𝐹 𝑠 = 𝑄𝑚(𝑎𝑝)(�⃗� 1 − �⃗� 2) (4) 
 
De forma geral, a equação que representa a força que o fluido exerce sobre 
uma superfície sólida em movimento poderá ser escrita como segue: 
𝐹𝑠⃗⃗ ⃗ = −[𝑃1𝐴1�⃗� 1 + 𝑃2𝐴2�⃗� 2 + 𝑄𝑚(𝑎𝑝)(�⃗� 2 − �⃗� 1)] (5) 
 
 
 
EXEMPLO 
 
Exemplo 1 – Um desviador de jato move-se com uma velocidade de 9m/s. Um bocal 
de 5cm de diâmetro lança um jato de óleo com uma velocidade de 15m/s, tal que o 
jato incide sobre o desviador (Figura). O ângulo de saída é 60o e o peso específico do 
óleo 8000N/m3. Calcular a força que o jato exerce contra o desviador. 
 
Resolução 
A resolução será apresentada considerando-se o fluido incompressível, 
propriedades uniformes nas seções e regime permanente de escoamento. Para o 
trecho (1)-(2) considerando ser o mesmo aberto à atmosfera, podemos escrever a 
 
 3 
equação da força que o fluido exerce no conduto (eq. 5) para as componentes 
horizontais e verticais do problema apresentado: 
𝐹𝑠𝑥 = 𝜌𝑄(𝑎𝑝)(𝑢1 − 𝑢2𝑐𝑜𝑠𝜃) 
𝐹𝑠𝑦 = 𝜌𝑄(𝑎𝑝)(0 − 𝑢2𝑠𝑒𝑛𝜃) 
 
Suponha que em módulo 𝑢1 = 𝑢2 = 𝑢, observe que: 
𝑢 = 𝑣𝑗 − 𝑣𝑠 
𝑢 =
15𝑚
𝑠
−
9𝑚
𝑠
=
6𝑚
𝑠
 
 
Cálculo da área do jato (𝐴𝑗): 
𝐴𝑗 =
𝜋𝐷𝑗
2
4
=
𝜋(0,05𝑚)2
4
= 1,96 × 10−4𝑚2 
 
Cálculo densidade do óleo (𝜌): 
𝜌 =
𝛾
𝑔
=
8000𝑁/𝑚3
10𝑚/𝑠2
= 800𝑘𝑔/𝑚3 
 
Voltando às equações das componentes verticais e horizontais da força, 
temos: 
Componente horizontal: 
𝐹𝑠𝑥 = 𝜌𝐴𝑗𝑢(𝑢 − 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝜌𝐴𝑗𝑢
2(1 − 𝑐𝑜𝑠60𝑜) 
𝐹𝑠𝑥 = 800
𝑘𝑔
𝑚3
(1,96 × 10−4𝑚2) (6
𝑚
𝑠
)
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠60𝑜)  𝐹𝑠𝑥 = 28,2𝑁 
 
Componente vertical: 
𝐹𝑠𝑦 = 𝜌𝐴𝑗𝑢(0 − 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃) = −𝜌𝐴𝑗𝑢
2𝑠𝑒𝑛60𝑜 
𝐹𝑠𝑦 = −800
𝑘𝑔
𝑚3
(1,96 × 10−4𝑚2) (6
𝑚
𝑠
)
2
𝑠𝑒𝑛60𝑜  𝐹𝑠𝑥 = −49𝑁 
 
A força resultante que o óleo exerce sobre o desviador móvel será. 
𝐹𝑠 = √𝐹𝑠𝑥2 + 𝐹𝑠𝑦2 = √(28𝑁)2 + (−49𝑁)2  𝐹𝑠 = 56,5𝑁 
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Exercício 1:
Um bocal é instalado em um tanque como mostra a Figura. Determinar a força Fsx que deve ser aplicada para que ele permaneça parado. Esse novo bocal será
instalado a 1 m de profundidade e admite-se que a sua perda de carga seja igual à do bocal da Figura. Desprezar o atrito das rodas. Dados: Po=150kPa; D2=10cm;
r=1000Kg/m3; Hp(0,2)=6,5 m.
A)
1725N
B)
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1649N
C)
1520N
D)
1450N
E)
1300N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 2:
O sistema da Figura encontra-se em equilíbrio. Para resolver esse problema, despreze as perdas e determinar a altura ho.
Dados: gH2O=104 N/m3; g=2x104 N/m3; Ap=8x10-3m2; h1=78,5cm; g=10m/s2
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A)
1,5m
B)
2,3m
C)
2,8m
D)
3,2m
E)
3,7m
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
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Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 3:
O jato de água (r=1000Kg/m3) de área Aj=10-4m2 incide com velocidade vj na pá solidária do carro, que se move sem atrito num plano horizontal. O carro, ao se mover,
por ação do jato, reboca um peso G=20N sobre um plano inclinado. Se entre a base do bloco e a área 10-2m2 e o plano inclinado existe uma camada de lubrificante de
óleo (m=0,1N.s/m2) de espessura 10-4m, pergunta-se qual deve ser a velocidade do jato (vj) em m/s para que o bloco se movimente no plano inclinado com velocidade
constante v=1m/s?
A)
15,2 m/s
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B)
18,3 m/s
C)
21 m/s
D)
24 m/s
E)
27,5 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 4:
Segundo norma NBR 6445, a turbina Pelton (Figura 1) é uma turbina de ação na qual o fluxo de água incide sob a forma de jato sobre o rotor que possui
pás em forma de duas conchas. A direção dos jatos é paralela em relação ao plano do rotor e seu projeto construtivo possui um rotor com pás em
formato de conchas e por uma tubulação de adução que alimenta um ou mais injetores A posição do eixo pode ser vertical ou horizontal. Este tipo de
turbina é projetado para operar em altas quedas e baixas vazões, entre 200m até 1.100m.
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Fonte: HISA - Grupo WEG
Considere o problema proposto no qual você como estudante de Engenharia precisa determinar a potência transmitida (N) por um jato de água a uma
turbina de ação do tipo Pelton bem como determinar também o rendimento da transmissão de potência.
Considere: N=Fsxvs
 
 
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A)
B)
C)
D)
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E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
 
 1 
MÓDULO 3 – Análise Dimensional 
 
 
 Há muitos problemas de interesse no campo da mecânica dos fluidos, no 
mundo real dos projetos, que não podem ser resolvidos usando apenas equações 
diferenciais em integrais. Muitas vezes é necessário apelar aos métodos 
experimentais para estabelecer relações entre as variáveis de interesse. Como 
estudos experimentais são geralmente muito caros, é necessário manter as 
experimentações em um nível mínimo. Isso é feito usando uma técnica chamada 
análise dimensional, que é baseada na noção de homogeneidadedimensional – na 
qual todos os termos em uma equação devem ter as mesmas dimensões. Por 
exemplo, se podemos escrever a equação de Bernoulli na forma 
g
vP
z
g
vP
z
22
2
22
2
2
11
1  
 
(1) 
 
notamos que as dimensões de cada termo é comprimento. Além disto, se fatorarmos 
z1 do lado esquerdo e z2 do lado direito teríamos 
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 1
22
1
z
z
gz
v
z
P
gz
v
z
P










 
 
(2) 
 
Nessa forma da equação de Bernoulli os termos são todos dimensionais, e 
escrevemos a equação como uma combinação de parâmetros adimensionais, a idéia 
básica de análise dimensional. 
 Muitas vezes precisamos efetuar experimentos em objetos que são muito 
grandes, para serem manipulados em experiências a um custo razoável. Isso incluiria 
escoamentos sobre açudes e represas; interações de ondas com píers e quebra-
mares; escoamento ao redor de submarinos e navios; escoamentos subsônicos e 
supersônicos ao redor de aeronaves; escoamento ao redor de edifícios e estádios; 
escoamento através de grandes bombas e turbinas; escoamento ao redor de 
automóveis e caminhões. Estes escoamentos são geralmente estudados em 
laboratórios, com modelos que são menores que o protótipo, o aparelho real. Isso 
reduz substancialmente os custos quando comparados aos estudos em escala plena 
e permite a análise de várias configurações ou condições de escoamento. 
 
 2 
 Há também escoamentos de interesses que envolvem dimensões bastante 
pequenas, tais como escoamento ao redor de uma lâmina de turbina, escoamento 
dentro de um tubo capilar, escoamento ao redor de um microrganismo, escoamento 
através de pequena válvula de controle e escoamento em torno e dentro de uma 
gotícula em queda. Estes escoamentos demandariam que o modelo fosse maior que 
o protótipo, de modo que as observações pudessem ser efetuadas com um grau de 
acurácia aceitável. 
 Semelhança é o estudo da previsão das condições do protótipo a partir de 
observações de modelos. Ela será apresentada em seguida á análise dimensional. A 
semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise 
dimensional. 
 Há duas abordagens que podem ser usadas no estudo da análise dimensional 
e sua semelhança. Primeiro, usaremos o Teorema  de Buckingham, que organiza 
os passos para assegurar homogeneidade dimensional; o teorema requer algum 
conhecimento do fenômeno estudado, de maneira que as quantidades apropriadas de 
interesse sejam incluídas. Segundo, extraímos os parâmetros adimensionais que 
influenciam uma situação particular de escoamento das equações diferenciais e 
condições de contorno que são necessárias para descrever o fenômeno investigado. 
 No estudo dos fenômenos que envolvem o escoamento de fluidos, tanto 
analítico quanto experimentalmente, existem, invariavelmente, muitos escoamentos e 
parâmetros geométricos envolvidos. Com intuito de economizar tempo e dinheiro, 
deve ser usado um número mínimo de combinações de parâmetros. 
 Antes de apresentar a técnica de análise dimensional, revisaremos as 
dimensões de quantidades de interesse em um curso de Mecânica dos Fluidos. Todas 
as quantidades têm alguma combinação de dimensões de comprimento, tempo, 
massa e força, que são relacionadas pela segunda Lei de Newton. 
  maF
 (4) 
 
 Em termos de dimensões, ela é escrita como: 
2T
ML
F 
 
(5) 
em que F, M, L e T são as dimensões de força, massa, comprimento e tempo, 
respectivamente. Assim, vemos que é suficiente usar apenas três dimensões básicas. 
 
 3 
Escolheu-se o sistema MLT porque podemos eliminar a dimensão força com a 
equação (5). 
 Se considerarmos situações de escoamento mais complicadas, tais como 
aquelas que envolvem gradientes de temperatura, teríamos de incluir as dimensões 
adicinais apropriadas. Porém, tais fenômenos não serão apresentados, com exceção 
do escoamento compressível de um gás ideal; para este caso uma equação de estado 
relaciona efeitos térmicos às dimensões anteriores, ou seja, 
RTp 
 (6) 
 
em que T representa a temperatura. Isto nos permite escrever 
 
2
23
2
23
2
RT
T
L
M
L
L
T
ML
M
L
L
FP








 
(7) 
 
em que os colchetes representam “a dimensão de“. Note que a equação de estado 
não introduz dimensões adicionais. Uma equação física verdadeira deve ser 
dimensionalmente homogênea, isto é, dever ter em ambos os membros a mesma 
fórmula dimensional. 
 As quantidades de interesse em Mecânica dos Fluidos estão relacionadas às 
suas respectivas dimensões na Tabela 1. 
 
Teorema  de Buckingham 
 
 Em um determinado problema físico, a variável dependente x1 pode ser 
expressa em termos das variáveis independentes como 
),...,,,( 4321 nxxxxfx 
 (8) 
em que n representa o número total de vaiáveis. Em referência a Equação (1), P é a 
variável dependente e 
h d, , , , v
 são as variáveis independentes. O Teorema  de 
Buckingham, devido a Edgar Buckingham (1867-1940), afirma que (n-m) grupos 
adimensionais de variáveis, chamados parâmetros , em que m é o número de 
dimensões básicas incluídas nas variáveis podem ser relacionadas por 
),...,,,( 43211 nf  
 (9) 
 
 
 4 
em que 1 inclui a variável dependente e os parâmetros  remanescentes incluem 
apenas variáveis independentes, como mostra a equação (2). 
 Além disto notamos que a exigência para uma aplicação bem-sucedida da 
análise dimensional é de que uma dimensão deve ocorrer pelo menos duas vezes 
ou nenhuma. 
 Exemplificando, a equação 
),,( dlvfP 
 é malformada, pois a pressão envolve 
as dimensões de força e v, l e d não contém tal dimensão. 
 
 O procedimento a ser usado na aplicação do teorema  é resumido como 
segue: 
1. Escreva a forma funcional da variável dependente em função das (n-1) 
variáveis independentes. Este passo requer conhecimento do fenômeno a ser 
estudado. Todas as variáveis que afetam a variável dependente devem ser 
incluídas; estas incluem variáveis geométricas, propriedades do fluido e efeitos 
externos que influenciam a variável a ser estudada. Quantidades que não têm 
influência sobre a variável dependente não devem ser incluídas. Também não 
devem ser inclusas variáveis que dependam umas das outras; por exemplo, 
raio e área não devem ser ambos inclusos. As variáveis do lado direito da 
Equação (6.8) devem ser independente. 
2. Identificar as m variáveis repetitivas, isto é, variáveis que serão combinadas 
com cada variável restante para formar os parâmetros . As variáveis 
repetitivas selecionadas das variáveis independentes devem incluir todas as 
dimensões básicas, mas não devem formar um parâmetro  sozinhas. Um 
ângulo não pode ser uma variável repetitiva, já que não tem dimensão, e forma 
um parâmetro  sozinho. 
3. Formar os parâmetros  combinando as variáveis repetitivas com cada uma 
das variáveis remanescentes. 
4. Escrever a forma funcional dos (n-m) parâmetros  adimensionais. 
 
O passo 3 pode ser realizado por meio de um procedimento algébrico 
relativamente simples. 
 
 5 
Suponha que desejamos combinar as variáveis: tensão superficial (), 
velocidade (v), massa específica () e o comprimento l em um parâmetro , isto pode 
ser escrito como: 
dcba lv  
 (10) 
 
O objetivo é determinar a, b, c e d de forma que o agrupamento seja 
adimensional. A dimensão a equação (10) é 
d
cba
ooo L
L
M
T
L
T
M
TLM 


















32
 
(11) 
 
Equacionam-seos expoentes em cada uma das dimensões básicas: 
 
M: 
L: 
T: 
0=a+c 
0=a-3c+d 
0=-2a-b 
 
(12) 
As três equações algébricas são resolvidas simultaneamente, fornecendo 
 
 
 
a=-c 
b=2c 
d=c 
 
(13) 
 
tais que o parâmetro  se torna 
c
vl





 




2 
(14) 
 
Um parâmetro adimensional elevado a qualquer potência permanece 
adimensional; consequentemente podemos escolher c para que seja um número 
diferente de zero. Geralmente é escolhido como c=1 dependendo da proporção 
desejada. Selecionando c=1, o parâmetro : 



2vl 

 
(15) 
 
 
 6 
Na realidade poderíamos ter selecionado c=1 na Equação (10) e prosseguir 
com apenas 3 incógnitas. Ou, caso desejássemos  no numerador elevado à primeira 
potência, poderíamos estabelecer a=1 e fazer b, c e d serem as incógnitas. 
 
 
 
Tabela 1 – Símbolos e dimensões de quantidades usadas na Mecânica dos Fluidos 
Quantidade Símbolo Dimensões 
Comprimento l L 
Tempo t T 
Massa m M 
Força F ML/T2 
Velocidade v L/T 
Aceleração a L/T2 
Frequência 

 T-1 
Gravidade g L/T2 
Área A L2 
Vazão Q L3/T 
Fluxo de massa 
m

 M/T 
Pressão P M/LT2 
Tensão  M/LT2 
Massa específica  M/L3 
Peso específico  M/L2T2 
Viscosidade absoluta  M/LT 
Viscosidade cinemática  L2/T 
Trabalho W ML2/T2 
Potência, fluxo de calor 
QW ,

 ML2/T3 
Tensão superficial  M/T2 
 
 
 
 
 
 7 
EXEMPLO 
 
Exemplo 1 – A força de arrasto, F, sobre uma esfera lisa depende da velocidade 
relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da massa específica do fluido, , e da 
viscosidade do fluido, . Obtenha um conjunto de grupos adimensionais que podem 
ser usados para correlacionar dados experimentais. 
 
Resolução: 
A 1ª etapa do processo é listar todos os parâmetros envolvidos. Se todos os 
parâmetros pertinentes não forem incluídos, uma relação pode ser obtida, mas não 
fornecerá a história completa. Se houver inclusão de parâmetros que não têm efeito 
sobre o fenômeno físico em estudo, o processo de análise dimensional mostrará que 
eles não entram na relação buscada. 
 
F = g(V, D, , ) ou G(F, V, D, , )=0 
 
Tal que: n = 5 parâmetros envolvidos 
 
Em seguida selecione um conjunto de dimensões primárias: MLT ou FLT. Note 
que para problemas de transferência de calor pode-se precisar de  (para 
temperatura). 
Para resolvermos esse problema utilizaremos a base M, L,T. Definida a base o 
aluno deverá listar dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões 
primárias. 
F  [ML / T2 ] 
V  [L / T] 
D  [L] 
  [M /L3 ] 
  [M /LT] 
Portanto, k= 3 (número de dimensões primárias utilizadas) 
 
Em seguida, selecione da lista k parâmetros que se repetem (k é igual ao 
número de dimensões primárias) que contenham todas as dimensões primárias 
utilizadas. Dois parâmetros que se repetem não podem ter as mesmas dimensões 
finais, diferindo por apenas um expoente, p. ex.: não inclua simultaneamente um 
comprimento (L) e um momento de inércia de área (L4) como parâmetros que se 
repetem. Também não inclua o parâmetro dependente entre aqueles selecionados 
neste passo. 
Escolheremos nesse problema: V D (se repetirão nos cálculos). Agora é 
necessário estabelecer equações dimensionais combinando os parâmetros 
selecionados com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos 
adimensionais. Resolva as equações dimensionais para obter os grupos  
adimensionais. 
 
π1=ρ
av𝑏Dc𝐹 = (
𝑀
𝐿3
)
𝑎
(
𝐿
𝑇
)
𝑏
(𝐿)𝑐 (
𝑀𝐿
𝑇2
) = 𝑀𝑜𝐿𝑜𝑇𝑜 
 
Resolvendo a equação dimensional, avaliando as dimensões: 
 
 8 
M  a + 1 = 0 a = - 1 
L  - 3a + b + c + 1 = 0 c = - 2 
T  - b – 2 = 0 b = - 2 
π1=
F
ρv2D2
 
Resolva as equações dimensionais para obter os n-k grupos  adimensionais. 
π2=ρ
av𝑏Dc𝜇 = (
𝑀
𝐿3
)
𝑎
(
𝐿
𝑇
)
𝑏
(𝐿)𝑐 (
𝑀
𝐿𝑇
) = 𝑀𝑜𝐿𝑜𝑇𝑜 
M  a + 1 = 0 a = - 1 
L  - 3a + b + c - 1 = 0 c = - 1 
T  - b -1 = 0 b = - 1 
π2=
μ
ρvD
 
 
Verifique se os grupos obtidos são realmente adimensionais. Então, de acordo 
com o Teorema dos  de Buckingham, podemos afirmar que: 
G (
F
ρv2D
2 ,
μ
ρvD
 ) = 0 
 
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Exercício 1:
No painel de um carro, está indicado no velocímetro que ele já "rodou" 120000 km. A alternativa que melhor indica a ordem de grandeza do número de voltas efetuadas pela roda desse carro, sabendo que o diâmetro da mesma vale 50 cm, é:
 
Adote ™ = 3. Despreze possíveis derrapagens e frenagens
A)
108
B)
107
C)
106
D)
105
E)
104
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 2:
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A)
B)
C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 3:
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A)
B)
C)
D)
E)
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 4:
Segundo a lei da gravitação de Newton, o módulo F da força gravitacional exercida por uma partícula de massa m2 sobre outra de massa m‚, 
à distância d da primeira, é dada por F = G(m1m2‚)/d2, onde G é a constante da gravitação universal. 
Em termos exclusivos das unidades de base do Sistema Internacional de Unidades (SI), G é expressa em
A)
kg-1m3s-2
B)
kg2m-2s2
C)
kg2m-2s-1
D)
kg3m3 s-2
E)
kg-1m2 s-1
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
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A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 5:
Medições da altura de líquido a montante de uma obstrução colocada em um escoamento de canal aberto podem ser usadas para determinar a vazão em volume. Tais obstruções, projetadas e calibradas para medir a vazão em um canal aberto são chamadas de vertedores. Admita que a vazão em volume Q, sobre um vertedor é uma função da altura a montante, h, 
A)
B)
C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 6:
 Uma correia contínua, movendo-se verticalmente através de um banho de líquido viscoso, arrasta uma camada de líquido, de espessura h, ao longo dela. Admite-se que a vazão em volume do líquido, Q, depende de μ, ρ, g, h e v, onde v é a velocidade da correia. Aplique a análise dimensional para prever a forma de dependência de Q em relação às outras variáveis.
A)
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B)
C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 7:
Uma placa fina e retangular está imersa num escoamento uniforme com velocidade ao longe igual a v. 
A placa apresenta largura e altura respec�vamente iguais a w e h e está montada perpendicularmente ao escoamento principal. 
Admita que o arrasto na placa (Fa) é função de w, h, r, m e v. 
Determine o conjunto de termos pi adequado para cada estudo experimental deste problema. 
A)
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B)
C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
E) RESPOSTA CORRETA 
 
 1 
MÓDULO 4 – Estudo dos Modelos 
 
A análise dimensional e semelhança são muito utilizadas em problemas em 
Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) que dificilmente são 
resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica. Portanto, utilizam-se com 
frequência estudos experimentais. 
Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com 
réplicas exatas. Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia é realizada 
utilizando-se modelos em escala. 
Semelhança é o estudo da previsão das condições do protótipo a partir de 
observações de modelos. Ela será apresentada em seguida á análise dimensional. A 
semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise 
dimensional. 
 
4.1 Condição de semelhança Completa 
 Dois sistemas dizem-se fisicamente semelhantes relativamente a um conjunto 
de grandezas quando há uma relação constante entre valores homólogos dessas 
grandezas nos dois sistemas (sendo, muitas vezes, um deles o protótipo e o outro o 
respectivo modelo reduzido). 
Para que possamos obter as informações do protótipo (fenômeno não 
ensaiado), através das informações obtidas no ensaio do modelo, ambos devem ser 
caracterizados pela mesma função características, o que equivale a dizer, que tanto 
o protótipo, como o modelo, serão definidos pela mesma função equivalente [ (π1 , 
π2 , π3 ....)=0]. 
A condição de semelhança completa estabelece que: π1m = π1p, π2m = π2p, π3m = 
π3p . . . 
A semelhança geométrica é a semelhança de formas e traduz-se pela 
existência de uma relação constante entre comprimentos homólogos nos dois 
sistemas (Figura 1). 
 
 2 
 
Figura 1 – Semelhança geométrica (a) protótipo, (b) modelo (em escala reduzida) 
 
As relações podem ser escritas: 
 
oãraz
protótipo
elomod L
L
L

 ou 
r
p
m L
L
L

 
 
r
2
oãraz
2
protótipo
2
elomod
2
protótipo
elomod
r LL
L
L
A
A
A 
 
 
A semelhança cinemática é a semelhança do movimento e consiste em 
partículas homólogas descreverem percursos homólogos em tempos proporcionais 
(Figura 2). 
 
 
Figura 2 – Semelhança cinemática: protótipo e modelo (em escala reduzida) 
 
 
Algumas relações úteis são: 
 Velocidade: 
r
r
p
m
p
m
pp
mm
p
m
r
T
L
T
T
L
L
TL
TL
V
V
V 
 
 
 3 
 Aceleração: 
r
2
r
p
2
m
2
p
m
p
2
p
m
2
m
p
m
r
T
L
T
T
L
L
TL
TL
a
a
a 
 
 Vazão: 
r
r
3
p
m
p
3
m
3
pp
3
mm
3
p
m
r
T
L
T
T
L
L
TL
TL
Q
Q
Q 
 
 
A semelhança dinâmica é a semelhança de forças e significa que partículas 
homólogas são atuadas por forças cujas resultantes têm direção e sentido iguais e 
cujas grandezas ou módulos são proporcionais. Notar que a semelhança dinâmica 
determina a semelhança geométrica das linhas de corrente e a semelhança 
cinemática; requer, evidentemente, a semelhança geométrica das fronteiras do 
escoamento. 
 
Figura 3 – Semelhança dinâmica: (a) protótipo e (b) modelo (em escala reduzida) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
EXEMPLOs 
 
Exemplo 1 – Água escoa a 32º F através de um tubo liso horizontal de 3 polegadas 
de diâmetro com uma velocidade média de 10 pés/s. A queda de pressão em 30 pés 
deste tubo é 2,0 lbf/po2. A que velocidade deve escoar Benzina (68 º F) em um tubo 
(geometricamente similar) de 1 pol. de diâmetro para que o escoamento seja 
dinâmicamente similar e qual será a queda de pressão em 10 pés deste tubo de 1 pol. 
de diâmetro. 
Dados: H20 a 32 º F = 3,746×10-5 lgf.s/pé2; H20 a 32 º F = 1,939 slug / pé3 ; Benzina 
a 68 º F = 1,37×10-5 lbf.s/pé2 ; Densidade de Benzina a 68 º F = 0,88 
 
Solução: Sabemos que em um escoamento interno as forças de inércia, de pressão 
e de viscosidade são mais importantes. Portanto, para o modelo e o protótipo: 
 
 Rem = Rep 
 
ou 
pm
VDVD
















 
 
 
5
p
5 1037,1
88,0939,1
12
1
V
10746,3
939,1
12
3
10
 
 





 
 
 
ou seja 
 pés/s 468,12Vp
 
pés/s 12,468 V
benzina, da e velocidadA
Benzina 
 
 
 
Da igualdade do Número de EULER 






i
p
F
F
 teremos, 
p
2pm
m
2 V
P
EUEU
V
P
















 
 
ou 
   2
p
2
468,1288,0939,1
P
10939,1
2




2
p lbf/pol 74,2P 
 
 
 
Exemplo 2 – Um modelo 1:10 de um avião é testado num túnel aerodinâmico (túnel 
de vento) que tem a pressão de 20 atm. O avião vai voar a velocidade de 500 Km/h. 
A que velocidade o túnel de vento (modelo) deve ser operado para dar a amplitude 
dinâmica entre modelo e protótipo. Arrasto (força de arrasto) medido sobre o modelo 
é 337,5 N. Qual a potência será necessária a propulsar o avião à velocidade de 500 
Km/h ? 
Solução: Sabemos que 
 ReflVF 22A 
 
 
(dado) F º 68 a 
, pé 
12
1
 D , ?V V
(dado) F º 32 a 
(dado) F º 32 a , pé 3/12D
pés/s, 10VV
Benzinap
pBenzinap
H20m
H20mm
aguam





 
 5 
 Mas 
pm ReRe 
 (1) Semelhança dinâmica 
 
 
p
22
A
m
22
A
lV
F
lV
F
 














 
 
De (1) 
p
ppp
m
mmm
lVlV





 
 
 
p
m
p
p
m
m
p
m V
l
l
V 






 
A viscosidade diâmica 







dy
dV
 de um fluido é apenas uma função de 
temperatura. Além disso se considerarmos a condição isotérmica, então 
1mp 
 ou 
seja 
pm 
 
 
Da equação de estado, 
o)considerad cte. (T RTP 
 
 ou 
 CTE. RT pois CTE. . P 
 
 ou 
P
 a pressão diminui com a redução da massa específica. 
Dado, Pm = 20 atm. É claro que Pp = 1 atm. Pode-se escrever, então, Pm = 20 . Pp 
 
 Devido à compressibilidade do ar, 
pm . 20 
 
 
 Substituindo esses valores em (3), tem-se, 
 
10
1
l
l
 seja,ou 10,:1 modelo o V101
20
V
p
m
p
m
p
m 


 
 
 ou 
Km/s 250V Km/h 500
2
1
V mm 
 
 
Considerando: 
p
22
A
m
22
A
lV
F
lV
F













ou 
   
 
  p22p
pA
22
p l500
F
10lp25020
N 5,337



 
 
 
  N 6750F 
pA

 
 
 A potência, 






 WN .
s
m
 ForçaVelocidade
tempo
Energia
P
 
ou 
 W937500
s
Nm
 937500N 6750
s 3600
h
 . 
h
m
10500P 3 
 
 
KW 937,5P será, necessária potênciaA 
 
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Exercício 1:
Água escoa a 32º F através de um tubo liso horizontal de 3 polegadas de diâmetro com uma velocidade média de 10 pés/s. A queda de pressão em 30 pés deste tubo é 2,0 lbf/po 2. Determine a velocidade deve escoar Benzina (68 º F) em um tubo (geometricamente similar) de 1 pol. de diâmetro para que o escoamento seja dinâmicamente similar.
 
Dados: mH20 a 32 º F = 3,746×10-5 lgf.s/pé2; rH20 a 32 º F = 1,939 slug / pé3; 
 
mBenzina a 68 º F = 1,37×10-5 lbf.s/pé2; rBenzina a 68 º F = 0,88
A)
2,5 ft/s
B)
12,5 ft/s
C)
22,5 ft/s
D)
32,5 ft/s
E)
42,5 ft/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
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Exercício 2:
Água escoa a 32º F através de um tubo liso horizontal de 3 polegadas de diâmetro com uma velocidade média de 10 pés/s. A queda de pressão em 30 pés deste tubo é 2,0 lbf/po 2. Determine qual será a queda de pressão em 10 pés deste tubo de 1 pol. de diâmetro no qual escoa Benzina (68 º F) em um tubo (geometricamente similar) de 1 pol. de diâmetro para que o escoamento seja dinâmicamente similar.
 
Dados: mH20 a 32 º F = 3,746×10-5 lgf.s/pé2; rH20 a 32 º F = 1,939 slug / pé3; 
 
mBenzina a 68 º F = 1,37×10-5 lbf.s/pé2; rBenzina a 68 º F = 0,88
 
Vbenzina=12,5 ft
A)
2,75lbf/in2
B)
12,75lbf/in2
C)
22,75lbf/in2
D)
32,75lbf/in2
E)
42,75lbf/in2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 3:
Água escoa a 32º F através de um tubo liso horizontal de 3 polegadas de diâmetro com uma velocidade média de 10 ft/s. A queda de pressão em 30 ft deste tubo é 2,0 lbf/ft 2. Determine qual será a queda de pressão em 10 pés deste tubo de 1 pol. de diâmetro no qual escoa Benzina (68 º F) em um tubo (geometricamente similar) de 1 pol. de diâmetro para que o escoamento seja dinamicamente similar.
 
Dados: mH20 a 32 º F = 3,746×10-5 lgf.s/ft2; rH20 a 32 º F = 1,939 slug / ft3; 
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mBenzina a 68 º F = 1,37×10-5 lbf.s/ft2; rBenzina a 68 º F = 0,88
 
Vbenzina=12,5 ft
A)
0,442
B)
0,342
C)
0,242
D)
0,142
E)
0,042
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
E) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 4:
Um navio cujo comprimento de casco é de 138 m deve navegar a 7,5 m/s. 
Para que haja semelhança dinâmica qual será a velocidade de um modelo 1:30, arrastado através d’água ?
 
Dado: g = 9,81 m/s2
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A)
1,32m/s
B)
2,32m/s
C)
3,32m/s
D)
4,32m/s
E)
5,32m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 5:
Ar a 20 º C (68 º F) escoa através de um tubo de 610 mm (24in) a uma velocidade média de 1,8 m/s (6 ft/s). Para que haja semelhança dinâmica, qual é o diâmetro de tubo que carrega água a 16º C (60 º F) e 1,1 m/s (3,65 ft/s) poderia ser usado?
 
Dados: uAR(20ºC) = 16×10-5 ft2/s , uAR(16ºC) = 1,217×10-5 ft2/s
A)
0,376 m 
B)
0,756 m 
C)
0,076 m 
D)
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0,976 m
E)
0,176 m 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 6:
Água a 16 º C escoa a 3,6 m/s (12 ft/s) em um tubo de 152 mm (6in). A que velocidade deverá escoar um óleo médio a 32 º C em um tubo de 76 mm (3in) 
para que os escoamentos sejam dinamicamente semelhantes?
 
Dados: uAR(16ºC) = 1,217×10-5 ft2/s, uóleo(32ºC) = 3,9×10-5 ft2/s 
A)
29,0 m/s
B)
23,0 m/s
C)
19,0 m/s
D)
14,0 m/s
E)
11,0 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
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A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 7:
Um modelo 1:80 de um avião é testado a 20 º C no ar, o qual tem a velocidade de 45 m/s. (a) A que velocidade seria o modelo impelido quando completamente submerso em água a 27 º C? (b) Qual seria a força resistente de um protótipo no ar, cujo modelo na água representa uma resistência de 0,57 Kgf?
 
Dados: uAR(20ºC) = 16×10-5 ft2/s, uH2O(27ºC) = 0,93×10-5 ft2/s
A)
3,62 m/s e 200 gf
B)
4,62 m/s e 200 gf
C)
1,62 m/s e 200 gf
D)
2,62 m/s e 200 gf
E)
6,62 m/s e 200 gf
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 8:
Um modelo de um torpedo é testado em um tanque de provas a uma velocidade de 24 m/s. Espera-se que o protótipo atinja a velocidade de 6m/s em água a 16 º C.
 
Qual a escala a ser utilizada para o modelo?
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A)
1:4
B)
1:8
C)
1:10
D)
1:14
E)
1:20
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 9:
Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para um bomba grande que deve fornecer 1,5m3/s de água através de um rotor de 40cm de diâmetro com uma elevação de pressão de 400kPa. 
Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada e que elevação de pressão é esperada? 
O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura a ser bombeada pelo protó�po.
A)
Qm=0,3m
3/s e DPm=10.000kPa
B)
Qm=0,5m
3/s e DPm=12.000kPa
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C)
Qm=0,8m
3/s e DPm=15.000kPa
D)
Qm=1,0m
3/s e DPm=18.000kPa
E)
Qm=1,2m
3/s e DPm=25.000kPa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 10:
Um modelo em escala 1:20 da super�cie de um barco é usado para testar a influência de um perfil proposto do barco sobre o arrasto das ondas.
 Um arrasto de onda de 6,2lb é medido no modelo a uma velocidade de 8,0�/s. A que velocidade isso corresponde no protó�po e que arrasto de onda é esperado para o protó�po? 
Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do mesmo fluido no modelo e no protó�po. 
A)
vp=22,5�/s e (Fa)p=40000lb
B)
vp=35,8�/s e (Fa)p=43600lb
C)
vp=25,4�/s e(Fa)p=45870lb
D)
vp=35,8�/s e (Fa)p=49700lb
E)
vp=45,2�/s e (Fa)p=52300lb
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 11:
Um modelo escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107m/s 
na atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do túnel de vento é igual a 107m/s. 
Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45N medida no modelo? 
Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão.
A)
910kPa (abs)
B)
1010kPa (abs)
C)
1030kPa (abs)
D)
1070kPa (abs)
E)
1090kPa (abs)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 12:
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Um modelo é utilizado para estudar o escoamento de água numa válvula que apresenta seção de alimentação com diâmetro igual a 610mm. 
A vazão na válvula é 0,85m3/s e o fluido no modelo também é água na mesma temperatura daquela que escoa no protótipo. 
A semelhança entre o modelo e o protótipo é completa e o diâmetro da seção de alimentação do modelo é igual a 76,2mm. 
Determine a vazão de água no modelo. 
A)
0,51m3/s
B)
0,41m3/s
C)
0,31m3/s
D)
0,21m3/s
E)
0,11m3/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
E) RESPOSTA CORRETA 
MÓDULO 5 – Força de Arrasto 
 
Quando um corpo está submerso em um fluido em escoamento, surgem forças de 
interação entre ambos. Muitas vezes, o fluido está em repouso, e o corpo é que se movimenta 
através da massa fluida, como no caso de um avião em voo ou um submarino em mergulho. Em 
outras, o corpo está imóvel, imerso no fluido em escoamento, como o vento soprando sobre uma 
ponte ou o rio escoando sobre os pilares dessa ponte. Contudo, em ambas as situações, pode-
se fixar a referência no corpo e tratar o assunto como se o fluido estivesse escoando. 
Por simplificação, considera-se que a velocidade do fluido antes de atingir um corpo, 
distante o bastante para não ser influenciada pelo mesmo, é constante. 
Corpos aerodinâmicos, como a asa de um avião, provocam efeitos menores no 
escoamento se comparados a corpos rombudos como uma antena parabólica. Assim, entende-
se que é muito mais fácil carregar, em um dia de ventos muito fortes, uma asa de um avião, no 
sentido do seu perfil aerodinâmico, no fluxo do vento do que carregar uma antena parabólica 
com sua concavidade apontada para o mesmo. 
As forças que atuam sobre o corpo submerso em um escoamento são oriundas da 
interação do fluido com a superfície do corpo, ou seja, da tensão de cisalhamento  produzida 
pela viscosidade do fluido e da tensão normal à superfície produzida pela pressão do 
escoamento sobre o corpo. As forças produzidas por essas tensões produzem forças resultantes 
chamadas de arrasto, no sentido do fluxo, e sustentação, perpendicular ao fluxo. A Figura 1 
representa a velocidade a montante e as forças de arrasto e de sustentação em um perfil 
aerodinâmico como a asa de um avião. 
 
Figura 1 - Velocidade a montante, forças de arrasto e sustentação na asa de um avião (Fonte: 
CTISM) 
Força de arrasto é uma força aerodinâmica que opõe resistência ao movimento de um 
objeto para diante. A forma do objeto aumenta a forca de arrasto. Por exemplo, os projetistas da 
indústria aeronáutica desenham os aviões de modo a reduzir ao mínimo o arrasto. Os aviões 
construídos segundo esses princípios precisam de motores menos potentes para voar, e a 
redução do arrasto também melhora o desempenho do avião. Os automóveis, trens, caminhões 
e outros veículos estão sujeitos ao arrasto. 
Os efeitos das forças viscosas manifestam-se na forma da camada limite e seriam os 
únicos a contribuir na força de arrasto se não houvesse variações de pressões entre a borda de 
ataque e de saída do corpo no escoamento. Essa contribuição na força de arrasto é chamada 
de arrasto de atrito. Entretanto, quando a superfície for parte de um corpo que possui espessura 
considerável como uma esfera, um cilindro ou outra forma qualquer, outra contribuição na força 
de arrasto será percebida, o arrasto de pressão. A Figura 2 mostra o descolamento da camada 
limite sobre uma esfera devido aos efeitos da variação da pressão ao longo do curso da camada 
limite. Esse fenômeno ocorre porque toda partícula fluida que percorre a camada limite em torno 
do cilindro sofre, a partir da borda de ataque, uma diminuição da pressão ao longo da metade 
dianteira da esfera e um aumento da sua velocidade, ou seja, uma transformação de energia de 
pressão em energia cinética. 
 
Figura 2 - Descolamento da camada limite sobre uma esfera (Fonte: CTISM) 
 
 
O descolamento e a formação da região da esteira atrás do corpo dependem do número 
de Reynolds do escoamento (Figuras 3, 4 e 5). 
 
 
(a) (b) 
Figura 3 – Representação esquemática do ponto de separação escoamento em um cilindro em 
regime laminar (a) e turbulento (b). (Fox&McDonald, “Introdução à Mecânica dos Fluídos”, Edit. 
Guanabara, 2002) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Representação esquemática do ponto de separação escoamento em um cilindro em 
regime turbulento (Fox&McDonald, “Introdução à Mecânica dos Fluídos”, Edit. Guanabara 
Dois, 2002) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5– Representação esquemática do ponto de separação escoamento em um cilindro em 
regime turbulento (Fox&McDonald, “Introdução à Mecânica dos Fluídos”, Edit. Guanabara, 
2002) 
 
 
O arrasto total é a soma dos efeitos do arrasto de atrito e do arrasto de pressão. A 
formação da esteira indica maior influência do arrasto de pressão no arrasto total. Corpos com 
perfis aerodinâmicos buscam eliminar o efeito do descolamento da camada limite, de forma a 
diminuírem o arrasto total. Por exemplo, o perfil aerodinâmico de um veículo moderno diminui a 
formação da esteira e o arrasto, proporcionando maior economia de combustível, pois o veículo 
gasta menos energia para se deslocar em um meio fluido de ar. 
A determinação do arrasto total pode ser dado pela seguinte equação (1). O coeficiente 
de arrasto é determinado por numerosos experimentos em túneis de vento, túneis de água ou 
outros dispositivos, e seus resultados apresentados em tabelas ou gráficos (Figuras 6 e 7). 
Aρvc
2
1
D 2D
 (1) 
D [N] e a força de arrasto,  [kg/m3] e a massa especifica do fluido, v [m/s] é a velocidade a 
montante, A [m2] é a área frontal do corpo e CD é o coeficiente de arrasto. 
 
 
 
Figura 5 - Coeficientes de Arrasto para corpos bi-dimensionais em função do Reynolds (F.M. 
White, “Fluid Mechanics’, 4nd Ed. McGraw Hill, 2003) 
 
 
 
Figura 6 - Distribuições de pressão num cilindro, causadas por um escoamento: potencial 
(teórico), camada limite laminar e turbulenta (F.M. White, “Fluid Mechanics’, 4nd Ed. McGraw 
Hill, 2003) 
 
 
A potência necessária para vencer o arrasto aerodinâmico é calculada como mostra a 
equação (2). 
DvP 
 (2) 
 
P [W] é a potencia 
 
Substituindo a eq. (1) na eq (2):Aρvc
2
1
P 3D
 (3) 
 
EXEMPLO 
 
Exemplo 1 – Uma placa plana retangular de 1m de largura e 2m de comprimento, imersa em 
água (=1000Kg/m3; =1,5x10-6 m2/s) é arrastada horizontalmente com uma velocidade 
constante de 1,5m/s. Calcular a força necessária supondo-se: 
a) a camada limite mantém-se laminar desde a borda de ataque até a borda de fuga; 
b) a camada limite é turbulenta desde a borda de ataque; 
 
D
D
2
D
2
D C 4500 )2x2x1(5,11000C
2
1
 A vρC
2
1

 
 
a) 3
6
6
o
D 100,945
102
1,328
101,5
21,5
1,328
υ
Lv
1,328
Re
1,328
C 








 
 
4,25N100,9454500C 4500 D 3D 

 
 
 
 
b) 
3
5 65
L
D 104,07
102
0,074
Re
0,074
C 


 
 
18,3N)104500(4,07C 4500 D 3D 

 
 
 
 
 
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Exercício 1:
Uma placa plana retangular de 1m de largura e 2m de comprimento, imersa em água é arrastada horizontalmente com velocidade constante de 1,5 m/s. Calcular a força necessária supondo o número de Reynolds crítico é 5x105
A)
2,5N
B)
6,5N
C)
7,83N
D)
11,2N
E)
14,5N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
E) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 2:
Ar escoa sobre uma placa plana de 40 cm de comprimento. Sabendo-se que a velocidade ao longe (vo) é igual a 0,6 m/s, pede-se a força de arrasto sabendo que a placa é retangular e que tem uma largura de 1m.
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Dado: uar = 2x10-5 m²/s, Recritico=5x105
A)
0,38N
B)
1,75N
C)
2,34N
D)
3,8N
E)
4,2N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 3:
Quer-se impulsionar uma embarcação de 105 N de peso à velocidade de 72 km/h.A embarcação é sustentada por uma asa submarina cujos coeficientes de sustentação e arrasto são, respectivamente, 0,7 e 0,06. Determinar a área da asa.
A)
4,71
B)
3,71
C)
2,71
D)
1,71
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E)
0,71
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
E) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 4:
Uma barcaça de casco chato de 20 m de comprimento e 7 m de largura está imersa em profundidade de 1,5 m e deve ser empurrada com uma velocidade de 3.6 km/h. Estimar a potência necessária para efetuar o serviço se ν = l0
A)
4,5kW
B)
 6,5kW
C)
 8,5kW
D)
10,5kW
E)
 12,5kW
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 5:
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A asa de um avião tem 7,5 m de envergadura e 2,1 m de corda. Estimar a força de arrasto na asa utilizando os resultados para o escoamento sobre uma placa plana e admitindo a camada limite turbulenta desde o bordo de ataque, quando o avião voa a 
A)
120N
B)
220N
C)
320N
D)
420N
E)
520N
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
C) RESPOSTA CORRETA 
D) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 6:
Um anemômetro, utilizado para medir a velocidade do vento, consiste de duas semi-
esferas ocas montadas em sentidos opostos sobre dois braços iguais, que podem girar livremente quando montados sobre um eixo vertical. Qual é o momento necessário para manter o dispositivo estacionário, quando o vento tem uma velocidade de 36 m/h? 
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A)
0,97 N.m
B)
1,97 N.m
C)
2,97 N.m
D)
3,97 N.m
E)
4,97 N.m
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 7:
Um painel retangular de 6 m de comprimento por 0.7 m de largura faz parte da caixa de um camião que se desloca a 90 km/h, como mostra a figura.
 
Qual é o valor da tensão de corte na parede.
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Re=vL/u Tw=Cf(1/2)rv2A
A)
0,975 Pa
B)
9,75 Pa
C)
975 Pa,
D)
975 Pa
E)
9750 Pa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
MÓDULO 6 – FORÇA DE SUSTENTAÇÃO 
 
 
A ocorrência de uma força de sustentação tem sobretudo origem na distribuição de 
pressões em torno do objeto submerso no escoamento e é necessário que essa distribuição seja 
assimétrica pois se assim não for não haverá força de sustentação. Alguma da nomenclatura 
utilizada no estudo de escoamentos em torno de perfis alares está (Figura 1). 
 
 
Figura 1 - Nomenclatura utilizada em aerodinâmica relativa a perfis alares. 
 
Para se criar uma força de sustentação, ou seja, a distribuição assimétrica de pressão, é 
necessário que o objeto seja ele mesmo assimétrico ou se ele for simétrico que esteja colocado 
numa posição assimétrica relativamente ao escoamento. Estes dois casos estão ilustrados na 
Figura 2. 
 
Figura 1 - Escoamento sobre perfis alares simétricos e assimétricos. 
 
É frequente em Mecânica dos Fluidos a apresentação de resultados sob forma 
adimensional, como visto nos módulos 3 e 4. As forças de arrasto (D) e sustentação (L) são 
adimensionalizadas nos respectivos coeficientes de arrasto (CD) e sustentação (CL) da seguinte 
forma: 
Avρ
2
1
C
2
D


D 
Avρ
2
1
C
2
L


L 
Nestas expressões a área A tem diferentes significados consoante o tipo de objeto 
submerso. Assim, destacamos os seguintes três casos: 
I. corpos fuselados tais como asas, perfis alares, placas planas: A representa a área 
planificada do objeto. No caso de uma asa esta área será o produto da envergadura pela 
corda do perfil (Figura2) 
II. superfícies de navios e barcos: A representa a área molhada do - objeto submerso, como 
por exemplo a área molhada do casco; 
III. corpos não fuselados: para os restantes objetos A representa a área frontal, a área vista 
pelo escoamento, ou seja, a área projetada num plano normal ao escoamento. 
 
Para a outra componente da força a sua adimensionalização é idêntica e para normalizar 
um qualquer momento M usa-se a equação (10.5) onde L representa uma escala de 
comprimento. 
ALvρ
2
1
C
2
M


M 
 
 
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Exercício 1:
Um avião Piper tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à velocidade de 190 km/h. Sabendo que a área da superfície alar é de 16.5 m2, determine o valor do coeficiente de sustentação nestas condições
 
FL=mg FL= CL (1/2)rv2A
A)
0,1834
B)
0,249
C)
0,287
D)
0,324
E)
0,354
O aluno respondeu e acertou.Alternativa(B)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
B) RESPOSTA CORRETA 
Exercício 2:
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Um Boeing 747, que pesa 290 t quando carregado com fuel, leva 100 passageiros e descola a uma velocidade de 225 km/h. O peso médio de cada passageiro e a respectiva
bagagem é igual a 100 kg. Calcule a velocidade que o Boeing terá de ter para descolar quando carregado com 372 passageiros, 
assumindo que o faria na mesma configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps, etc).
A)
233,3 Km/h
B)
213,7 Km/h
C)
200,5 Km/h
D)
197 Km/h
E)
183 Km/h
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) RESPOSTA CORRETA 
MÓDULO 7 – ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL 
 
 
Hipóteses 
• Escoamento Unidimensional ou uniforme nas seções 
– Gases em velocidade alta: Re 
• Regime permanente 
• Fluido que escoa: gás perfeito 
 
Na prática nenhum gás obedece perfeitamente ao modelo de gás perfeito. Existem faixas 
de pressões e temperaturas: hipótese aproxima suficientemente os resultados 
 
Gás perfeito 
Equação de Estado 
RT
P

 
 
P: pressão na escala absoluta 
: massa específica 
T: temperatura absoluta 
R: constante do gás 
 
R
 : constante universal dos gases= 8314,5 J/mol 
 
M
R
R
mol

 
 
 Em termos dimensionais: 
  1-22
24
2
θTL
θTFL
FL
R 
T
P
R 


  
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Gerais e Equações Básicas 
 
1. Equação da Continuidade 
 
 
Seção (1): área A 
Seção (2): área A + dA 
 
222111
m2m1
AvρAvρ
QQ


 
 
2. Equação de Energia 
 
 
 
 
 
h1=entalpia no ponto 1 e h2=entalpia no ponto 2 
22
2
2
m11
2
1 gzh
2
v
qgHgzh
2
v

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma diferencial 
dhh
2
dv)(v
dqh
2
v 22


 
 
Simplificando e desprezando o termo de 2a ordem: 
 
dA > 0: Conduto divergente 
dA < 0: Conduto convergente 
dA = 0: Seção constante 
2h
22
2
2
2
2
m11
1
1
2
1 gzu
P
2
v
qgHgzu
P
2
v

ρρ
1h
Se não houver máquina: 
Escoamento for adiabático: 
2
2
2
1
2
1 h
2
v
qh
2
v

2
2
2
1
2
1 h
2
v
h
2
v

dhvdvdq 
3. Equação da Quantidade de Movimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade do Som 
 
É a velocidade de propagação de uma perturbação de pressão, causada por um fluido 
Função: estado do fluido. Portanto: propriedade que pode ser relacionada com outras (grande 
utilidade no escoamento de fluidos compressíveis). 
Modelo matemático constituído de um fluido perfeitamente incompressível: 
 
A partir do equilíbrio aplica-se uma força dF, provocando no fluido um aumento de pressão 
dP. 
A
dF
dP  














12m222111s vvQnAPnAPF
  21m2211 vvQAPAP sxF
  dv)(vvvA)dP(PPAdFsx  
 vdvdP
A
dFsx 
Escoamento sem atrito: dF
sx
=0 
Fluido perfeitamente incompressível: aumento de pressão (dP) se transmitirá 
imediatamente para a seção seguinte, desta para a próxima e assim sucessivamente: fluido será 
derramado. 
Fluido compressível: ao se deslocar o pistão, cria-se compressão na camada adjacente 
à sua face, que fica a pressão maior que a seguinte, expandindo-se contra a mesma. Esta ficará 
então mais comprimida que a próxima, expandindo-se contra a mesma comprimindo-a, e assim 
por diante. 
 
c: velocidade de propagação 
 
 kRTc  
Observador: 
• fluido passará sempre pela seção (1) com velocidade c e com as propriedades iniciais 
• sairá pela seção (2) com velocidade c-dv e com novas propriedades 
 
Número de Mach - M 
É a relação entre a velocidade do fluido numa seção e a velocidade do som na mesma 
seção: 
c
v
 Μ  
• M < 0,2 escoamento incompressível 
• 0,2 <M < 1 escoamento subsônico 
• M = 1 escoamento sônico 
• M > 1 escoamento supersônico 
 
 
Estado de Estagnação - Relação entre as propriedades do fluido e as propriedades do 
estado de estagnação 
 
Energia total específica de um gás em movimento: 
 
m1v
1
1
2
1
2v
2
2
2
2
2v
2
2
2
2
m1v
1
1
2
1
2
v
22
gHqTc
ρ
P
2
v
Tc
ρ
P
2
v
Tc
ρ
P
2
v
gHqTc
ρ
P
2
v
h
2
v
Tc
ρ
P
2
v
u
ρ
P
2
v
m
 totalEnergia



















 
 
 
12
m
12
m
 totalEnergia
m
 totalEnergia
 : térmica trocae máquinahouver não se
gHq
m
 totalEnergia
m
 totalEnergia
























 
 
2
2
2
1
2
1
2v
2
2
2
2
1v
1
1
2
1
h
2
v
h
2
v
Tc
ρ
P
2
v
Tc
ρ
P
2
v


 
 
Estado de estagnação terá o índice zero (0) e as propriedades do estado de estagnação: 
ho, Po, To, o 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo a eq. (III) em séries de potência: 






 ...
24
k-2
4
1
2
v
PP
2
o
2
2
M
M
 
 
Se M for pequeno: 
2
v
PP
2
o


 
k
ρρρ
1
oo
kk
o
o
P
P
ou 
PP








1o
1o
 
k
1-k
1
teAnalogamen
 
2
1-k
1
P
P
















k
k
2
k
k
2
M
M


I 
II 
III 
Eq. (I), (II) e (III): obter valores de oo T
T
 , ,
P
P
o

 para cada valor de M uma vez escolhido o 
gás ou o k. 
 
 
Algumas Aplicações da Teoria 
 
1. Tubo de Pitot: medida da velocidade de um gás em escoamento subsônico 
2. Tubo de Venturi: medida da velocidade de um gás em escoamento subsônico – 
coeficiente de compressibilidade 
3. Descarga de um gás para a atmosfera por um orifício de um reservatório de 
grande dimensões 
 
 
 
EXEMPLOS 
Exemplo 1 – Uma massa de ar de 8Kh de oxigênio sofre transformação de um estado (1) (P1=1,3 
bar(abs) e T1=10C) para o estado (2) (P2=5 bar(abs) e T2=95C). Sabendo que para o oxigênio 
k=1,393 e cp=921,6 J, determinar: (a)Constante R da equação de estado; (b) Calor específico a 
volume constante, (c) Variação de energia interna, (d) Variação de entalpia e (e) densidade final. 
 
Resolução 
kgK
J
a 260
1,393
1-1,393
921,6 
1k
k
cR 
1k
kR
c ) pp 




 
kgK
J
b 6,661
1,393
921,6
 
k
c
c )
p
v 
 
  kJmc 9,44910956,6618 TcU ) v 
 
  kJmd 7,62610956,9218 TcH ) p 
 
  3
5
2
2
2 226,5
27395260
105
 
RT
P
 )
m
kg
e 


 
 
 
Exemplo 2 – Um projétil desloca-se à velocidade de 360 Km/h. Qual é o tipo de escoamento se 
no local a temperatura é 20 C? Dados: K=1,4 e R=286 J/Kg.K. 
100m/s 
3,6
360
v 
 
m/s423 2932861,4 kRTc 
 
29,0
342
100
 
v
M 
c
 
 
Bibliografia Básica 
Bunetti, F., Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2ª ed. 2009. 
White, F.M., Mecânica Dos Fluidos, McGraw-Hill, 4ª ed. 2010. 
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