Listas calculo II A 2013 1

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lista 02 calc 02A 2013.pdf
Lista 2 Ca´lculo II - A 2010-2 4
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 2 - 2010-2
Integral indefinida
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1 a 24.
1.
∫
sen 3x cos 3x dx
2.
∫
sen θ cos3 θ dθ
3.
∫
arctanx
1 + x2
dx
4.
∫
dx√
x (1 +
√
x)2
5.
∫
dx
4 + 3x2
6.
∫
x√
1− x4 dx
7.
∫
y
(3y − 4)3 dy
8.
∫
dt
t2 + 2t+ 2
9.
∫
x√
x− 1 dx
10.
∫
x(1 + x)
4
3 dx
11.
∫
cosx
4 + sen 2x
dx
12.
∫
tan2 x dx
13.
∫
sen 2x
3 + cos 2x
dx
14.
∫
dx
x ln
√
x
15.
∫
3xex dx
16.
∫
ex√
1− e2x dx
17.
∫
secx tanx dx
18.
∫
tanx dx
19.
∫
cotx dx
20.
∫
ex
cos2 (ex − 2) dx
21.
∫
sen
√
x√
x
√
cos3
√
x
dx
22.
∫
18 tan2 x sec2 x
(2 + tan3 x)2
dx
23.
∫
cos(lnx)
x
dx
24.
∫
dx√
1− 4x2
25. Encontre a expressa˜o que define a func¸a˜o f , cujo gra´fico conte´m o ponto
(
0, 83
)
e cuja derivada
e´ f ′(x) = x
√
1− x2.
Resolva os problemas de valor inicial dos exerc´ıcios 26 a 29.
26.

dy
dx
=
x√
2x2 + 1
y(0) = 1
27.
{
y′ =
x
2x2 + e2
y(0) = 1
28.
 dydx = e
1/x
x2
y(1) = 0
29.
{
f ′(x) =
(
1− sen 2x) sen 2x
f
(
pi
2
)
= 0
Resolva as integrais definidas dos exerc´ıcios 30 a 37.
30.
∫ 3
2
x√
x− 1 dx
31.
∫ 2
1
ex
ex + e
dx
32.
∫ √lnpi
0
2xex
2
cos
(
ex
2
)
dx
33.
∫ e
1
dx
x
(
1 + ln2 x
) dx
34.
∫ 1
2
0
x√
1− x4 dx
35.
∫ pi
2
0
e senx cosx dx
36.
∫ pi
4
0
(
1 + etanx
)
sec2 x dx
37.
∫ ln pi
2
ln pi
6
2ex cos (ex) dx
Lista 2 Ca´lculo II - A 2010-2 5
RESPOSTAS
1.
1
6
( sen 3x)2 + C
2. −cos
4 θ
4
+ C
3.
1
2
(arctanx)2 + C
4.
−2
1 +
√
x
+ C
5.
√
3
6
arctan
√
3 x
2
+ C
6.
1
2
arcsenx2 + C
7.
2− 3y
9(3y − 4)2 + C
8. arctan (t+ 1) + C
9.
2
3
√
(x− 1)3 + 2√x− 1 + C
10.
3(1 + x)
10
3
10
− 3(1 + x)
7
3
7
+ C
11.
1
2
arctan
(
1
2
senx
)
+ C
12. −x+ tanx+ C
13. −1
2
ln |3 + cos 2x|+ C
14. 2 ln |ln√x|+ C
15.
3xex
1 + ln 3
+ C
16. arcsen ex + C
17. secx+ C
18. ln | secx|+ C
19. − ln | cscx|+ C
20. tan (ex − 2) + C
21. 4 (cos
√
x)−
1
2 + C
22. − 6
2 + tan3 x
+ C
23. sen (lnx) + C
24.
1
2
arcsen (2x) + C
25. f(x) = −1
3
√
(1− x2)3 + 3
26. y =
1
2
√
2x2 + 1 +
1
2
27. y =
1
4
ln
(
2x2 + e2
)
+
1
2
28. y = −e 1x + e
29. f(x) = sen 2x− 1
2
sen 4x− 1
2
30.
10
√
2− 8
3
31. ln
(
e+ 1
2
)
32. − sen (1)
33.
pi
4
34.
1
2
arcsen
(
1
4
)
35. e−1
36. e
37. 1
lista 03 calc 02A 2013.pdf
Lista 3 Ca´lculo II - A 2010-2 6
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 3 - 2010-2
Integrac¸a˜o por partes
Integrais de poteˆncias de
func¸o˜es trigonome´tricas
Nos exerc´ıcios 1 a 18, calcule a integral indicada, utilizando a te´cnica de integrac¸a˜o por partes.
1.
∫
arcsenx dx
2.
∫
x senx dx
3.
∫
x2 lnx dx
4.
∫
x2 cosx dx
5.
∫
x arctanx dx
6.
∫
sec3 x dx
7.
∫
(lnx)3 dx
8.
∫ √
x lnx dx
9.
∫
x(lnx)2 dx
10.
∫
x 3x dx
11.
∫
x sec2 xdx
12.
∫
sen (lnx) dx
13.
∫
arcsec
√
x dx
14.
∫
ln(lnx)
x
dx
15.
∫
arctan
√
x√
x
dx
16.
∫
tan2 x sec3 x dx
17.
∫
csc5 x dx
18.
∫
sen 3x cos 2x dx
Nos exerc´ıcios 19 a 30 calcule a integral do produto ou quociente de poteˆncias de func¸o˜es
trigonome´tricas.
19.
∫
sen4x dx
20.
∫
sen4x cos2 x dx
21.
∫
sen3x cos2 x dx
22.
∫
cos5 x dx
23.
∫ pi
2
0
√
cosx sen3x dx
24.
∫
sen3x
cos4 x
dx
25.
∫ 1
2
0
cos(pix) cos
(pix
2
)
dx
26.
∫
tan2 x sec3 x dx
27.
∫
tan5 x sec3 x dx
28.
∫
tan3 x
√
secx dx
29.
∫
tan5 x
sec3 x
dx
30.
∫
cot4 x dx
Lista de algumas fo´rmulas exponenciais e trigonome´tricas que eventualmente sera˜o usadas nas
resoluc¸o˜es de algumas integrais:
(I) ax = ex ln a, a ∈ R, a > 0
(II) sen2x+ cos2 x = 1 (III) 1 + tan2 x = sec2 x (IV) 1 + cot2 x = csc2 x
(V) cos2 x =
1 + cos 2x
2
(VI) sen2x =
1− cos 2x
2
(VII) sen a cos b =
sen (a− b) + sen (a+ b)
2
(VIII) sen a sen b =
cos(a− b)− cos(a+ b)
2
(IX) cos a cos b =
cos(a− b) + cos(a+ b)
2
Lista 3 Ca´lculo II - A 2010-2 7
RESPOSTAS DA LISTA 3
1. x arcsenx+
√
1− x2 + C
2. senx− x cosx+ C
3.
1
3
x3 lnx− 1
9
x3 + C
4. x2 senx+ 2x cosx− 2 senx+ C
5.
1
2
(
x2 arctanx− x+ arctanx)+ C
6.
1
2
(secx tanx+ ln | secx+ tanx|) + C
7. x(lnx)3 − 3x(lnx)2 + 6x lnx− 6x+ C
8.
2
3
x
3
2 lnx− 4
9
x
3
2 + C
9.
1
2
x2(lnx)2 − 1
2
x2(lnx) +
1
4
x2 + C
10.
1
ln 3
x 3x − 1
(ln 3)2
3x + C
11. x tanx− ln | secx|+ C
12.
1
2
x ( sen (lnx)− cos(lnx)) + C
13. x arcsec
√
x− (x− 1) 12 + C
14. lnx ln(lnx)− lnx+ C
15. 2
√
x arctan(
√
x)− ln(1 + x) + C
16.
1
4
sec3 x tanx− 1
8
secx tanx −
1
8
ln | secx+ tanx|+ C
17. −1
4
csc3 x cotx− 3
8
cotx cscx −
3
8
ln | cscx− cotx|+ C
18. − 1
10
cos 5x− 1
2
cosx+ C
19.
3
8
x+
1
32
sen 4x− 1
4
sen 2x+ C
20.
1
16
x− 1
64
sen 4x− 1
48
sen3 2x+ C
21. −1
5
cos3 x sen2x− 2
15
cos3 x+ C
22.
1
5
sen5x− 2
3
sen3x+ senx+ C
23.
2
7
cos
7
2 x− 2
3
cos
3
2 x
]pi
2
0
=
8
21
24.
1
3
cos−3 x− cos−1 x+ C
25.
(
1
3pi
sen
3pix
2
+
1
pi
sen
pix
2
)] 1
2
0
=
2
√
2
3pi
26.
1
4
sec3 x tanx− 1
8
secx tanx −
1
8
ln | secx+ tanx|+ C
27.
1
7
sec7 x− 2
5
sec5 x+
1
3
sec3 x+ C
28.
2
5
sec
5
2 x− 2 sec 12 x+ C
29. secx+ 2 sec−1 x− 1
3
sec−3 x+ C
30. cotx− 1
3
cot3 x+ x+ C
lista 04 calc 02A 2013.pdf
Lista 4 Ca´lculo II - A 2010-2 8
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 4 - 2010-2
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Te´cnica de frac¸o˜es parciais
Integrac¸a˜o por substituic¸o˜es especiais
Nos exerc´ıcios 1 a 13, use substituic¸a˜o trigonome´trica para calcular a integral dada.
1.
∫
x2√
4 + x2
dx
2.
∫
2x3√
1− x2 dx
3.
∫ 2
0
3x2
(9− x2) 32
dx
4.
∫
dx
(x2 − 4) 32
5.
∫ −3
−4
dx
(x2 − 4) 32
6.
∫ √
4− x2
x
dx
7.
∫ 2
−2
dx√
4x2 + 9
8.
∫
3x− 1√
x2 − 16 dx
9.
∫
2
√
8− 2x− x2 dx
10.
∫
x√
x2 + 2x+ 5
dx
11.
∫
x
x2 + 6x+ 13
dx
12.
∫
dx
(x2 + 2)2
13.
∫
2x
(x2 − 4x+ 8)2 dx
Nos exerc´ıcios 14 a 19, calcule a integral dada, usando transformac¸a˜o de func¸o˜es racionais em
frac¸o˜es parciais.
14.
∫
x− 1
x(x+ 1)
dx
15.
∫
3x− 2
x2 − 4 dx
16.
∫
3x3 − 5x2 − 3x+ 1
(x+ 1)2(x− 1)2 dx
17.
∫
dx
x (x2 + 4)
18.
∫
3x3 + 1
x2 (x2 + 1)2
dx
19.
∫
x2 + 1
x4 + 1
dx
Nos exerc´ıcios 20 a 22, calcule a integral indicada, fazendo uma substituic¸a˜o do tipo x = yn,
para algum valor inteiro n.
20.
∫
dx
x
1
2 − x 34
21.
∫
dx
4
√
x+
√
x
22.
∫
2
√
x
1 + 3
√
x
dx
Nos exerc´ıcios 23 a 25, resolva as integrais multiplicando e dividindo o integrando pelo conjugado.
23.
∫
dx
1− senx 24.
∫
secx
1 + senx
dx 25.
∫
cosx
senx cosx+ senx
dx
A substituic¸a˜o tangente do arco metade, a saber z = tan
x
2
, x ∈ (−pi, pi), reduz o problema de
integrar uma expressa˜o racional de senx ou cosx ao problema de integrar uma func¸a˜o racional
de z, que pode-se resolver, por exemplo, usando frac¸o˜es parciais. Para tal, precisamos das
identidades abaixo, que esta˜o demonstradas no livro do G.Thomas vol.1, sec¸a˜o 8.5:
a) tan
x
2
=
senx
1 + cosx b) senx =
2z
1 + z2 c) cosx =
1− z2
1 + z2
d) dx =
2dz
1 + z2
Use esta substituic¸a˜o para resolver as integrais dos exerc´ıcios 26 a 28:
Lista 4 Ca´lculo II - A 2010-2 9
26.
∫
dx
3 + cosx
27.
∫
5
3 senx+ 4 cosx
dx 28.
∫
dx
2− cosx+ 2 senx
RESPOSTAS DA LISTA 4
1.
1
2
x
√
4 + x2 − 2 ln ∣∣√4 + x2 + x∣∣+ C
2.
2
3
(
1− x2) 32 − 2√1− x2 + C
3.
3x√
9− x2 − 3 arcsen
x
3
⌋2
0
=
=
6
5
√
5 − 3 arcsen 2
3
+ C
4.
−x
4
√
x2 − 4 + C
5.
3
20
√
5− 1
6
√
3
6.
√
4− x2 + 2 ln
∣∣∣∣∣2−
√
4− x2
x
∣∣∣∣∣+ C
7.
1
2
ln
∣∣√4x2 + 9 + 2x∣∣ ⌋2
−2
= ln 3
8. 3
√
x2 − 16− ln ∣∣x+√x2 − 16∣∣+ C
9. 9 arcsen
(
x+ 1
3
)
+ (x+ 1)
√
8− 2x+ x2 + C
10.
√
x2 + 2x+ 5− ln ∣∣√x2 + 2x+ 5 + x+ 1∣∣+ C
11. ln
√
x2 + 6x+ 13− 3
2
arctan
x+ 3
2
+ C
12.
√
2
8
arctan
(
x√
2
)
+
x
4 (x2 + 2)
+ C
13.
x− 4
2 (x2 − 4x+ 8) +
1
4
arctan
(x
2
− 1
)
+ C
14. 2 ln |x+ 1| − ln |x|+ C
15. ln |x− 2|+ 2 ln |x+ 2|+ C
16.
1
x+ 1
+
1
x− 1 + 3 ln |x+ 1|+ C
17.
ln |x|
4
− ln
(
4 + x2
)
8
+ C
18. − 1
x
− x+ 3
2 (x2 + 1)
− 3
2
arctanx+ C
19.
√
2
2
arctan
(
1 +
√
2x
)
+
√
2
2
arctan
(−1 +√2x)+C
20. −4x 14 − 4 ln
∣∣∣1− x 14 ∣∣∣+ C
21. 2
√
x− 4 4√x+ 4 ln (1 + 4√x) + C
22.
12x
7
6
7
− 12x
5
6
5
+ 4
√
x− 12x 16 + 12 arctanx 16 + C
23. tanx+ secx+ C
24.
(
1 + tan
x
2
)−1
−
(
1 + tan
x
2
)−2
+
1
2
ln
∣∣∣1 + tan x
2
∣∣∣−
1
2
ln
∣∣∣−1 + tan x
2
∣∣∣+ C
25.
1
2
ln
∣∣∣tan x
2
∣∣∣− 1
4
tan2
x
2
+ C
26.
√
2
2
arctan
(√
2
2
tan
x
2
)
+ C
27. ln
∣∣∣1 + 2 tan x
2
∣∣∣− ln ∣∣∣−2 + tan x
2
∣∣∣+ C
28. ln
∣∣∣1 + 3 tan x
2
∣∣∣− ln ∣∣∣1 + tan x
2
∣∣∣+ C
lista 05 calc 02A 2013.pdf
Lista 5 Ca´lculo II - A 2010-2 10
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 5 - 2010-2
Integrac¸a˜o: miscelaˆnea
Nos exerc´ıcios 1 a 24, resolva a integral indicada. Em alguns casos sera´ preciso aplicar mais de
uma te´cnica de integrac¸a˜o.
1.
∫
arcsen
√
x√
x
dx
2.
∫
dx√
4x+ x2
3.
∫
sec2 x
(4− tan2 x) 32
dx
4.
∫
x arcsenx√
1− x2 dx
5.
∫
dx
x2 − 2x− 3
6.
∫ (
sec2 x
)
ln (tanx) dx
7.
∫
dx√
x− 1 +√x+ 1
8.
∫
ex + e2x + e3x
e4x
dx
9.
∫
dx
1 +
√
1 + x
10.
∫
dx
1 + ex
11.
∫
dx√
x+ 3
√
x
12.
∫
e
√
x dx
13.
∫
x arctanx
(x2 + 1)3
dx
14.
∫
x ln
√
1 + x2 dx
15.
∫
arcsen
√
x dx
16.
∫
ex 2e
x
3e
x
dx
17.
∫
x
1 + senx
dx
18.
∫ √
1 + ex dx
19.
∫
7
x2 − 6x+ 18 dx
20.
∫
3x+ 2
x2 + 8x+ 25
dx
21.
∫
tan3 x sec4 x dx
22.
∫
x
√
1 + x dx
23.
∫
dx
x (1− x2) 32
24.
∫
sen 3x sen 2x dx
Nos exerc´ıcios 25 a 30, calcule a integral definida dada.
25.
∫ pi
4
0
dx√
1 + 3 sec2 x
26.
∫ pi
4
0
e3x sen (4x) dx
27.
∫ 4
3
x3√
x2 + 3
dx
28.
∫ 1
0
x2√
4− x2
29.
∫ 4
0
x− 2
2x2 + 7x+ 3
dx
30.
∫ pi
2
0
cos3 x sen 2x dx
Lista 5 Ca´lculo II - A 2010-2 11
RESPOSTAS DA LISTA 5
1. 2
√
x arcsen
√
x+ 2
√
1− x+ C
2. ln
∣∣∣x+ 2 +√x2 + 4x∣∣∣+ C
3.
tanx
4
√
4− tan2 x + C
4. x−√1− x2 arcsenx+ C
5.
1
4
ln
∣∣∣∣x− 3x+ 1
∣∣∣∣+ C
6. (tanx)(ln(tanx))− tanx+ C
7.
1
3
(
(x+ 1)
3
2 − (x− 1) 32
)
+ C
8. −1
6
(
6e−x + 3e−2x + 2e−3x
)
+ C
9. 2
√
1 + x− 2 ln (1 +√1 + x)+ C
10. x− ln (ex + 1) + C
11. 2
√
x− 3 3√x+ 6 6√x− 6 ln (1 + 6√x) + C
12. 2
√
x e
√
x − 2 e
√
x + C
13. − arctanx
4 (x2 + 1)2
+
3arctanx
32
+
x
8 (x2 + 1)
+
x
(
1− x2)
32 (x2 + 1)2
+ C
14.
1
4
(
1 + x2
)
ln
(
1 + x2
)− 1
4
x2 + C
15. x arcsen (
√
x) +
1
2
√
x
√
1− x −
1
2
arcsen
√
x+ C
16.
2e
x
3e
x
ln 2 + ln 3
+ C
17. x tanx− x secx+ ln |1 + senx|+ C
18. 2
√
1 + ex + ln
∣∣√1 + ex − 1∣∣ −
ln
∣∣√1 + ex + 1∣∣+ C
19.
7
3
arctan
x− 3
3
+ C
20.
3
2
ln
∣∣x2 + 8x+ 25∣∣− 10
3
arctan
x+ 4
3
+ C
21.
1
6
tan6 x+
1
4
tan4 x+ C
ou
1
6
sec6 x− 1
4
sec4 x+ C
22.
2
5
(1 + x)
5
2 − 2
3
(1 + x)
3
2 + C
23.
1√
1− x2 +
1
2
ln
∣∣∣√1− x2 − 1∣∣∣ −
1
2
ln
∣∣∣√1− x2 + 1∣∣∣+ C
24.
1
2
senx− 1
10
sen (5x) + C
25. arctan
√
7
7
= arcsen
√
2
4
26.
4
25
(
1 + 4
√
e3pi
)
27.
10
3
√
19− 2√3
28.
pi
3
−
√
3
2
29. ln 7− 2 ln 3
30.
2
15
lista 06 calc 02A 2013.pdf
Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 12
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 6 - 2010-2
Volume: me´todo dos discos
Volume: me´todo das cascas
Comprimento de arco
Em cada um dos exerc´ıcios 1 a 6 considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas.
Aplicando o me´todo dos discos circulares, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o
R em torno do eixo E dado.
1. R : y = x3, y = 0, x = 2;
E : eixo x
2. R : y = lnx, y = 0, x = e2;
E : eixo y
3. R : y = x2, x+ y = 2;
E : eixo x
4. R : y = x2 − 2x, y = 4− x2;
E : reta y = 4
5. R : y = cosx, y = senx, 0 ≤ x ≤ pi
2
;
E : reta y = −1
6. R : x
2
3 + y
2
3 = 1;
E : eixo x
Em cada um dos exerc´ıcios 7 a 10 considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas.
Aplicando o me´todo das cascas cil´ındricas, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da
regia˜o R em torno do eixo E dado.
7. R : y =
1
4− x2 , x = 0, x = 1, y = 0;
E : eixo y
8. R : y = x2, x = y2;
E : reta x = −2
9. R : x = y2, x = 0, y = 1;
E : reta y = 2
10. R : y = lnx, y = 0, x = e2;
E : eixo x
Em cada um dos exerc´ıcios 11 a 14 considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas.
Calcule, por dois me´todos distintos, o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno
do eixo E dado.
11. R : y = x3, y = 0, x = 2;
E : eixo y
12. R : y =
x
2
, y =
√
x;
E : eixo x
13. R : xy = 4, x+ y = 5;
E : y = 1
14. R : y = lnx, y =
x− 1
e− 1 ;
E : eixo x
15. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo x, pelo me´todo
que achar conveniente.
R :

y =
x
4
+ 1, se −4 ≤ x < 0
y =
√
1− x2, se 0 ≤ x ≤ 1
y = 0, se −4 ≤ x ≤ 1
16. Calcule o comprimento de arco do gra´fico de y = x2, desde o ponto (0, 0) ate´ (1, 1).
17. Calcule o comprimento de arco do gra´fico da func¸a˜o g(y) =
y3
3
+
1
4y
, de (1, g(1)) ate´ (2, g(2)).
Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 13
18. Quando giramos o gra´fico de uma func¸a˜o de classe C1, y = f(x) ≥ 0 , a ≤ x ≤ b, em torno do
eixo 0x, obtemos uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o, cuja a´rea e´ definida pela integral
S =
∫ b
a 2pif(x)
√
1 + (f ′(x))2 dx.
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, sec¸a˜o 8.2)
Calcule a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o em torno de 0x do gra´fico de cada
func¸a˜o indicada. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie.
a)f(x) =
√
x, 0 ≤ x ≤ 1 b)f(x) = ex, 0 ≤ x ≤ 1 c)f(x) = √1− 4x2,−1/2 ≤ x ≤ 1/2
RESPOSTAS DA LISTA 6
1.
∫ 2
0
pi
(
x3
)2
dx =
128pi
7
2.
∫ 2
0
pi
((
e2
)2 − (ey)2) dy = pi (3e4 + 1)
2
3.
∫ 1
−2
pi
(
(−x+ 2)2 − (x2)2) dx = 72pi
5
4.
∫ 2
−1
pi
((
x2 − 2x− 4)2 − (4− x2 − 4)2) dx = 45pi
5. 2
∫ pi
4
0
pi
(
(1 + cosx)2 − (1 + senx)2
)
dx =
(
4
√
2− 3
)
pi
6. 2
∫ 1
0
pi
((
1− x 23
) 3
2
)2
dx =
32pi
105
7.
∫ 1
0
2pix
1
4− x2 dx = pi(ln 4− ln 3)
8.
∫ 1
0
2pi(x+ 2)
(√
x− x2) dx = 49pi
30
9.
∫ 1
0
2pi(2− y)y2 dy = 5pi
6
10.
∫ 2
0
2piy
(
e2 − ey) dy = 2pi (e2 − 1)
11.
∫ 8
0
pi
(
22 − ( 3√y)2
)
dy =
∫ 2
0
2pix x3 dx =
64pi
5
12.
∫ 4
0
pi
((√
x
)2 − (x
2
)2)
dx =
∫ 2
0
2piy
(
2y − y2) dy = 8pi
3
13.
∫ 4
1
pi
(
(5− x− 1)2 −
(
4
x
− 1
)2)
dx =
∫ 4
1
2pi(y − 1)
(
5− y − 4
y
)
dy = 2pi(8 ln 2− 3)
14.
∫ e
1
pi
(
(lnx)2 −
(
x− 1
e− 1
)2)
dx =
∫ 1
0
2piy (1 + (e− 1)y − ey) dy = pi(2e− 5)
3
Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 14
15.
∫ 0
−4
pi
(x
4
+ 1
)2
dx+
∫ 1
0
pi
(√
1− x2
)2
dx =
∫ 1
0
2piy
(
4− 4y +
√
1− y2
)
dy = 2pi
16.
∫ 1
0
√
1 + 4x2 dx =
2
√
5 + ln
(
2 +
√
5
)
4
17.
∫ 2
1
√
1 +
(
y2 − 1
4y2
)2
dy =
59
24
18. a)S =
pi
6
(5
√
5− 1) ; b)S = pi[e√1 + e2 + ln(e+√1 + e2)−√2− ln(√2 + 1)];
c)S = 4
√
3pi[2
√
3 + ln(2 +
√
3)]
lista 07 calc 02A 2013.pdf
Lista 7 Ca´lculo II - A 2010-2 15
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 7 - 2010-2
Integral impro´pria
Nos exerc´ıcios 1 a 12 use a definic¸a˜o para verificar se a integral impro´pria converge ou diverge.
Calcule o valor das integrais impro´prias que convergem.
1.
∫ pi
2
0
cosx√
1− senx dx
2.
∫ ∞
1
lnx
x
dx
3.
∫ 0
−∞
dx
x2 − 3x+ 2
4.
∫ ∞
−∞
xe−x
2
dx
5.
∫ 0
−∞
dx
(x− 8) 23
6.
∫ ∞
2
1
x2 − 1 dx
7.
∫ ∞
0
e−t sen t dt
8.
∫ ∞
−∞
e−|x| dx
9.
∫ 1
0
x√
1− x2 dx
10.
∫ 3
1
x2√
x3 − 1 dx
11.
∫ 1
−1
1
x4
dx
12.
∫ ∞
0
e−st senh t dt, s > 1
13. Calcule a a´rea da regia˜o R limitada pela curva de equac¸a˜o 4y2 − xy2 − x2 = 0 e por sua ass´ıntota, situada a`
direita do eixo y.
14. Calcule a a´rea da regia˜o R situada no primeiro quadrante e abaixo da curva de equac¸a˜o y = e−x.
Nos exerc´ıcios 15 a 23 discuta a convergeˆncia da integral
∫ ∞
1
f(x) para a func¸a˜o f dada.
15. f(x) =
ex
x2
16. f(x) = e−x lnx
17. f(x) =
1
x+ ex
(compare com
1
ex
)
18. f(x) =
| senx|
x2
19. f(x) =
x3 + 1
x3 + x2 + 1
20. f(x) =
2 + senx
x
(compare com
1
x
)
21. f(x) =
sen 2x
1 + x2
22. f(x) = ex lnx
23. f(x) =
1
3
√
x3 + 1
(compare com
1
3
√
2x3
)
24. Discuta a convergeˆncia de
∫ ∞
e
dx
xs lnx
(Sugesta˜o: Para s > 1, compare com
1
xs
; para s = 1, calcule a
integral; para s < 1, compare com
1
x lnx
)
Nos exerc´ıcios 25 a 31 discuta a convergeˆncia das integrais impro´prias.
25.
∫ ∞
1
x2√
x8 + x6 + 2
dx (compare com
x2√
x8
)
26.
∫ ∞
e
dx
x(lnx)s
(calcule a integral)
27.
∫ ∞
1
dx
1 + x lnx
(compare com
1
x+ x lnx
)
28.
∫ 1
0
e−x√
x
dx (compare com
1√
x
)
29.
∫ pi
2
0
dx
x senx
(compare com
1
x
)
30.
∫ 3
2
x2 + 1
x2 − 4 dx (calcule a integral)
31.
∫ ∞
1
cosx√
x3
dx (discuta
∫ ∞
1
∣∣∣∣cosx√x3
∣∣∣∣ dx e use um teo-
rema)
32.
∫ ∞
1
senx
x
dx (use integrac¸a˜o por partes na
∫ t
1
senx
x
dx
e depois passe o limite quando t→∞
Lista 7 Ca´lculo II - A 2010-2 16
RESPOSTAS DA LISTA 7
1. 2
2. diverge (∞)
3. ln 2
4. 0
5. diverge (∞)
6.
ln 3
2
7.
1
2
8. 2
9. 1
10.
2
√
26
3
11. diverge (∞)
12.
1
s2 − 1
13. 2
Z 4
0
x√
4− x dx =
64
3
14.
Z ∞
0
e−x dx = 1
15. divergente, pois lim
x→∞
ex
x2
=∞ 6= 0
16. convergente, pois x ≥ 1 =⇒ 0 ≤ e−x lnx ≤ e−xx =⇒ 0 ≤
Z ∞
1
e−x lnx dx ≤
Z ∞
1
e−xx dx =
2
e
17. convergente, pois x ≥ 1 > 0 =⇒ 0 < 1
ex + x
<
1
ex
=⇒ 0 <
Z ∞
1
1
ex + x
dx <
Z ∞
1
1
ex
dx =
1
e
18. convergente, pois ∀x 6= 0, 0 ≤ | senx|
x2
≤ 1
x2
=⇒ 0 ≤
Z ∞
1
| senx|
x2
dx ≤
Z ∞
1
1
x2
dx = 1
19. divergente, pois lim
x→∞
x3 + 1
x3 + x2 + 1
= 1 6= 0
20. divergente, pois x ≥ 1 > 0 =⇒ 2 + senx
x
≥ 1
x
≥ 0 =⇒
Z ∞
1
2 + senx
x
dx ≥
Z ∞
1
1
x
dx =∞
21. convergente, pois ∀x ∈ R, 0 ≤ sen
2x
1 + x2
≤ 1
1 + x2
=⇒ 0 ≤
Z ∞
1
sen2x
1 + x2
dx ≤
Z ∞
1
1
1 + x2
dx =
pi
4
22. divergente, pois lim
x→∞
ex lnx =∞ 6= 0
23. divergente, pois x ≥ 1 > 0 =⇒ 1
3
√
x3 + 1
≥ 13√
2x3
> 0 =⇒
Z ∞
1
1
3
√
x3 + 1
dx ≥
Z ∞
1
1
3
√
2x3
dx =∞
24. s > 1: convergente, pois x ≥ e =⇒ 0 < 1
xs lnx
≤ 1
xs
=⇒ 0 <
Z ∞
e
1
xs lnx
dx ≤
Z ∞
e
1
xs
dx =
e1−s
s− 1
s = 1: divergente, pois
Z ∞
e
1
x lnx
dx =∞
s < 1: divergente, pois x ≥ e > 1 =⇒ 1
xs lnx
≥ 1
x lnx
=⇒
Z ∞
e
1
xs lnx
dx ≥
Z ∞
e
1
x lnx
dx =∞
25. converge, pois ∀x 6= 0 =⇒ 0 < x
2
√
x8 + x6 + 2
<
x2√
x8
=
1
x2
=⇒ 0 <
Z ∞
1
x2√
x8 + x6 + 2
dx <
Z ∞
1
1
x2
dx = 1
26. s ≤ 1: divergente, pois
Z ∞
e
1
x(lnx)s
dx =∞
s > 1: convergente, pois
Z ∞
e
1
x(lnx)s
dx =
1
s− 1
27. diverge: x ≥ 1 > 0 =⇒ 1
1 + x lnx
≥ 1
x+ x lnx
> 0 =⇒
Z ∞
1
x
1 + x lnx
dx ≥
Z ∞
1
1
x+ x lnx
dx =∞
28. convergente, pois 0 < x ≤ 1 =⇒ 0 < e
−x
√
x
≤ 1√
x
=⇒
Z 1
0
e−x√
x
dx ≤
Z 1
0
1√
x
dx = 2
29. divergente, pois 0 < x <
pi
2
=⇒ 1
x senx
>
1
x
> 0 =⇒
Z pi
2
0
1
x senx
dx >
Z pi
2
0
1
x
dx =∞
30. divergente, pois
Z 3
2
x2 + 1
x2 − 4 dx =
Z 3
2
�
1 +
5
4(x− 2) −
5
4(x+ 2)
�
dx =∞
31. convergente. Justificativa: a func¸a˜o f(x) =
cosx√
x3
e´ cont´ınua, portanto integra´vel em [1, b], b > 0, o que torna poss´ıvel
aplicar o teorema,
Z ∞
1
|f(x)| dx e´ convergente =⇒
Z ∞
1
f(x)dx e´ convergente.
x ≥ 1 =⇒ 0 ≤
�
�
�
�
cosx√
x3
�
�
�
�
≤ 1√
x3
=⇒
Z ∞
1
�
�
�
�
cosx√
x3
�
�
�
�
dx ≤
Z ∞
1
1√
x3
dx = 2
√
2 =⇒
Z ∞
1
�
�
�
�
cosx√
x3
�
�
�
�
dx e´ convergente
(teorema acima)
=⇒
Z ∞
1
cosx√
x3
dx e´ convergente.
lista 01 calc 02A 2013.pdf
Lista 1 Ca´lculo II - A 2011-2 1
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 1 - 2011-2
Integral definida
Teorema Fundamental do Ca´lculo
A´rea de regio˜es planas
Nos exerc´ıcios 1 a 10, calcule a integral indicada.
1.
∫ 1
−1
(
( 3
√
t )2 − 2
)
dt
2.
∫ 1
0
x−√x
3
dx
3.
∫ 3
1
(
3
x2
− 1
)
dx
4.
∫ 2
1
√
2
x
dx
5.
∫ 2
0
(2− s)√s ds
6.
∫ 1
−1
|x| dx
7.
∫ 4
0
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ dx
8.
∫ pi
4
0
cos3 x dx
9.
∫ 3
2
x√
x− 1 dx
10.
∫ 1
2
0
x√
1− x4 dx
11. Se aplicarmos o Teorema Fundamental do Ca´lculo em
∫ 1
−1
1
x2
dx, obteremos a seguinte igualdade:
∫ 1
−1
1
x2
dx =
− 1
x
∣∣∣1
−1
= −2. Como a func¸a˜o f(x) = 1
x2
> 0, isto na˜o faz sentido. O que esta´ errado?
Nos exerc´ıcios 12 a 16, derive a func¸a˜o dada.
12. f(x) =
∫ 1
−x
t2 − 2t
t2 + 4
dt
13. f(x) =
∫ x4
− sen2x
cos t3 dt
14. f(x) = x2
∫ 2√x
1
√
t2 + 1 dt
15. F (x) =
∫ | sen x|
1
ln t dt
16. F (x) =
∫ √x
0
et
2+1 dt
Nos exerc´ıcios 17 e 18, calcule o limite indicado.
17. lim
x→pi
∫ x
2
pi
2
cos( sen t) dt
(x− pi)3
18. lim
x→−1
∫ 1
−x
et
2
dt
(x+ 1)3
Nos exerc´ıcios 19 a 25, calcule a a´rea da regia˜o R descrita.
19. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = x2 − 1 e y = x+ 5.
20. R e´ a regia˜o limitada pela curva de equac¸a˜o y = x2 − 2x, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 4.
21. R e´ a regia˜o entre a reta x = 2 e a curva de equac¸a˜o x = y2 + 1.
22. R e´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ √x.
23. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = |x| e y = x2, com −3 ≤ x ≤ 3.
24. R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas de equac¸o˜es y = x, xy2 = 1 e y = 2.
25. R e´ a regia˜o delimitada pelos gra´ficos de y = senx e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ pi.
26. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o compreendida entre o eixo x e a hipe´rbole de equac¸a˜o y =
4
x− 1 , para
2 ≤ x ≤ 3.
27. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico de y =
3
x− 1 , pela reta x = −4 e pelos eixos x e y.
28. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico de y = ex e pela reta que conte´m os pontos (0, 1) e
(1, e).
29. Determine m de modo que a a´rea da regia˜o limitada por y = mx e y = 2x− x2 seja 36.
Lista 1 Ca´lculo II - A 2011-2 2
30. A reta de equac¸a˜o y = 1 − x divide a regia˜o compreendida entre as para´bolas de equac¸o˜es y = 2x2 − 2x e
y = −2x2 + 2 em duas partes. Mostre que as a´reas das regio˜es obtidas sa˜o iguais e calcule o seu valor.
31. Seja f diferencia´vel. Calcule
∫ 1
0
xf ′(x) dx, sabendo que f(1) = 2 e que
∫ 1
0
f(t) dt e´ igual a a´rea da regia˜o R
entre o gra´fico de y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1.
(
sugesta˜o:
d
dx
(xf(x)) = f(x) + xf ′(x)
)
EXERCI´CIOS COMPLEMENTARES:
1. Determine f(4), se
∫ x2
0
f(t) dt = x cos pix8 .
2. Mostre que y(x) = 1a
∫ x
0
f(t) sena(x − t) dt e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial : y′′+ay = f(x), y′(0) =
y(0) = 0, onde a ∈ R∗ e´ constante.
Sugesta˜o: Use a identidade do seno da diferenc¸a e derive duas vezes.
3. Determine a curva que e´ gra´fico de y = y(x), passa por (1,-1) e tal que, y′(x) = 3x2 + 2.
4. Calcule lim
n→∞
15 + 25 + 35 + 45 + ...+ n5
n6
, mostrando que o limite e´
∫ 1
0
x5 dx e calculando a integral.
5. Determine x, onde ocorre o mı´nimo da func¸a˜o f(x) =
∫ x
x2
ln t dt, para x ∈ (0, 1).
6. Mostre que a func¸a˜o
∫ 1/x
a
1
t2 + 1
dt+
∫ x
a
1
t2 + 1
dt , para x > 0, e´ constante.
7. Mostre que se a func¸a˜o integra´vel f for perio´dica, de per´ıodo p, enta˜o a func¸a˜o g(x) =
∫ x+p
x
f(t) dt sera´
constante. Deˆ um exemplo.
RESPOSTAS
1. − 145
2. − 118
3. 0
4.
(
4− 2√2)
5. 1615
√
2
6. 1
7. 4
8. 512
√
2
9.
1
3
(
10
√
2− 8)
10.
1
2
arcsen
1
4
11. De acordo com as hipo´teses do Teorema Fundamental do Ca´lculo a func¸a˜o f(x) =
1
x2
teria que ser definida e
cont´ınua no intervalo [−1, 1]. Neste caso, a func¸a˜o na˜o esta´ definida em todos os pontos do intervalo [−1, 1],
pois na˜o esta´ definida em x = 0. Logo, na˜o e´ poss´ıvel aplicar o teorema para calcular a integral.
12. f ′(x) =
x2 + 2x
x2 + 4
13. f ′(x) = 4x3 cosx12 + sen 2x cos
(
sen 6x
)
14. f ′(x) =
√
(4x+ 1)x3 + 2x
∫ 2√x
1
√
t2 + 1 dt
15. F ′(x) =
senx
| senx| (cosx) ln | senx|
16. F ′(x) =
ex+1
2
√
x
17. ∞
18. ∞
19.
∫ 3
−2
(
(x+ 5)− (x2 − 1)) dx
20.
∫ 0
−2
(
x2 − 2x) dx+ ∫ 2
0
− (x2 − 2x) dx+
+
∫ 4
2
(
x2 − 2x) dx = 44
3
21.
∫ 1
−1
(
2− (y2 + 1)) dy = 4
3
22.
∫ 1
0
(√
x− x2) dx = 1
3
23. 2
∫ 1
0
(
x− x2) dx+
+2
∫ 3
1
(
x2 − x) dx = 29
3
24.
∫ 2
1
(
y − y−2) dy = 1
25.
∫ 2pi
3
0
( senx+ sen 2x) dx+
+2
∫ pi
2pi
3
−( senx+ sen 2x) dx = 5
2
Lista 1 Ca´lculo II - A 2011-2 3
26.
y
x0
2
4
1 2 3
a´rea = 4 ln 2
27.
y
x
–2
2
–4 –3 –2 –1
a´rea = 3 ln 5
28.
y
x
1
2
1
a´rea=
3− e
2
29. m = −4
30.
∫ 1
− 12
[(
2− 2x2)− (1− x)] dx =
=
∫ 1
− 12
[
(1− x)− (2x2 − 2x)] dx = 9
8
31.
2
3
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS COMPLEMENTARES:
1.
√
2
32 (4− pi)
3. y(x) = x3 + 2x− 4.
4. 1/6
5. x = 1/4
7. f(x) = cosx, p = 2pi.
lista 14_calc 02A 2011.pdf
Lista 14 Ca´lculo II - A 2010-2 30
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 14 - 2010-2
Miscelaˆnea
Nos exerc´ıcios 1 a 18 encontre todas as soluc¸o˜es da EDO.
1. y′ = 1 + x+ y2 + xy2
2. y′ + y2 + 3y + 2 = 0
3. xy′ − ey′ − y = 0
4. x2y′ + 3xy =
senx
x
, x < 0.
5. 2(1− x2)y′ − (1− x2)y = xy3e−x
6. (x2 + x+ 1)yy′ + (2x+ 1)y2 = 2x− 1
7. y′ = y(xy3 − 1)
8. y′′ − 8y = 0
9. y′′ + 8y′ + 16y = 0
10. 3y′′ + 2y′ + y = 0
11.
dy5
dx5
− 16dy
dx
= 0
12. y′′ + 3y = −48x2e3x
13. y′′ − y′ + y
4
− 3 = ex/2
14. y′′ + 2y′ + y = senx+ 3 cos 2x
15. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex
16. y′′ + y = 8 sen 2x
17. y′′ − 2y′ + y = e
−x
1 + x2
18. (1 + yexy)dx+ (2y + xexy)dy = 0
Nos exerc´ıcios 19 e 20 resolva o PVI.
19. y′ =
4y
4x+ y
, y(1) = 1 20. x
2y′′ + xy′ + y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 2
Nos exerc´ıcios 21 e 22 resolva a EDO fazendo a mudanc¸a de varia´vel indicada.
21. xy′ − y = x
3ey/x
y
(fac¸a u = y/x) 22. y
′′ = 2x(y′)2 (fac¸a u = y′)
23. Determine o valor de y0 para o qual a soluc¸a˜o do PVI abaixo tangencia o eixo 0x
y′ +
2y
3
= 1− x
2
, y(0) = y0
24. Sabendo que y1 = ex e´ uma soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea associada a
xy′′ − 2(x+ 1)y′ + (x+ 2)y = x3 ,
determine sua soluc¸a˜o geral, para x > 0.
Nos exerc´ıcios 25 e 26 encontre a trajeto´ria ortogonal da famı´lia de curvas dadas.
25. y2 = c1x3 26. y = c1e−x
27. Considere a EDO y′ − xy2 + (2x − 1)y = x − 1. Encontre uma soluc¸a˜o constante para ela e
determine sua soluc¸a˜o geral.
Lista 14 Ca´lculo II - A 2010-2 31
28. Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional a` quantidade presente em cada
instante. Supondo que a quantidade inicial de material seja Q0 e que 10 anos depois ja´ tenha
desintegrado 1/3 do material inicial, determine sua meia-vida.
29. Suponha que uma gota d’a´gua esfe´rica evapore a uma taxa proporcional a` a´rea de sua superf´ıcie.
Se o raio mede originalmente 3mm e 1h depois foi reduzido a 2mm, encontre a expressa˜o do raio
em func¸a˜o do tempo.
RESPOSTAS DA LISTA 14
1. arctan y − x− x2/2 = c
2. y =
cex − 2
1− cex e y = −1.
3. y = cx− ec, y = x lnx− x x > 0
4. y = − cosx/x3 + c/x3
5. y−2 =
ln |x2 − 1|+ c
2ex
6. y2 = 1− 4x
3 + 6x2 + 12x
3(x2 + x+ 1)2
+
c
(x2 + x+ 1)2
7. y−3 = x+ 1/3 + ce3x
8. y = c1e2
√
2t + c2e−2
√
2t
9. y = c1e−4x + c2xe−4x
10. y = e−x/3(c1 cos
√
2x
3
+ c2 sen
√
2x
3
)
11. y = c1 + c2e−2x + c3e2x + c4 cos 2x+
c5 sen 2x
12. y = c1 cos
√
3x+ c2 sen
√
3x+
(−4x2 + 4x− 4/3)e3x
13. y = c1ex/2 + c2xex/2 + 12 + x2/2ex/2
14. y = c1e−x + c2xe−x − cosx/2+
12 sen 2x/25− 9 cos 2x/25
15. y = c1ex + c2xex + c3x2ex − x− 3− 2x
3ex
3
16. y = 4 +
4 cos 2x
3
+ c1 cosx+ c2 senx
17. y = c1ex+ c2xex− e
x ln(1 + x2)
2
+ xex arctanx
18. x+ y2 + exy = c
19. ye−x/y = 1/e
20. y = cos(lnx) + 2 sen (lnx)
21. y + x = x(c1 − x)ey/x
22. y = c2 − arctan(x/c1)
c1
23. y0 =
21
9
− 9
8
e4/3
24. y0 = 3/2
25. 2x2 + 3y2 = c2
26. y2 = 2x+ c2
27. y = 1 +
1
1− x+ ce−x
28.
10 ln 2
ln 3− ln 2anos'17anos
29. r = 3− t, 0 < t < 3.
lista 08 calc 02A 2011.pdf
Lista 8 Ca´lculo II - A 2010-2 17
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 8 - 2010-2
Teste de soluc¸o˜es de EDO
EDO de varia´veis separa´veis
Algumas aplicac¸o˜es de EDO
Nos exerc´ıcios 1 a 6, verifique se a func¸a˜o y = f(x), x ∈ I e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO)
dada.
1. f(x) =
√
2 + x+ x2, I = (0,∞), dy
dx
=
1 + 2x
2y
2. f(x) =
√
2− x− x2, I = (0,∞), dy
dx
= −1 + 2x
2y
3. f(x) = ex
2
+ ex
2
∫ x
0
e−t
2
dt, I = R, y′ − 2xy = 1
4. f(x) = C1ex + C2e−x, I = R, y′′ = y
5. f(x) = e−x +
x
3
, I = R, y(iv) + 4y′′′ − 3y′ = x
6. f(x) = 4 + 2 lnx, I = (0,∞), x2y′′ − xy′ + y = 2 lnx
7. Determine os poss´ıveis valores da constante p para que a func¸a˜o f(x) = xp seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o
x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0, no intervalo I = (0,∞).
Nos exerc´ıcios 8 a 12 diga se e´ poss´ıvel garantir que o problema de valor inicial admite soluc¸a˜o u´nica.
Quando admitir soluc¸a˜o u´nica, deˆ o maior intervalo admiss´ıvel I, I aberto, que conte´m a abscissa da
condic¸a˜o inicial.
8. y′ + xy = 3, y(0) = 0
9. xy′ + y = 3, y(0) = 1
10. y′ = y2/3, y(0) = 0
11. y′ =
x− y
x+ y
, y(1) = −1
12. xy′ +
1
2x+ 3
y = ln |x− 2|,
com cada uma das condic¸o˜es iniciais:
(a) y(−3) = 0 (c) y(1) = 7
(b) y(−1) = 5 (d) y(3) = 0
Nos exerc´ıcios 13 a 16 verifique que a equac¸a˜o e´ de varia´veis separa´veis e resolva-a.
13. (x ln y)y′ = y
14. xydx− 3(y − 2)dy = 0
15. xy
dy
dx
= (1 + x2) csc y
16. xdx+ ye−x
2
dy = 0
Nos exerc´ıcios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).
17. y′ =
ex
y
, y(0) = 1
18.
(
1 + y2
)
dx+
(
1 + x2
)
dy = 0, y(1) = 1
19.
dy
dx
= y − y2 , com cada condic¸a˜o inicial:
(a) y(0) = 2 (b) y(2) = 0 (c) y(0) = 1
20. A seguinte equac¸a˜o diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulac¸a˜o de nebulosa no sistema
solar:
dx
dt
=
ax5/6
(b−Bt)3/2 , a, b, B ≥ 0 constantes reais e x = x(t)
(a) Determine a regia˜o do plano tx onde e´ poss´ıvel garantir que esta equac¸a˜o possui soluc¸o˜es u´nicas.
(b) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
Lista 8 Ca´lculo II - A 2010-2 18
21. Volterra fez um modelo matema´tico para descrever a competic¸a˜o en-
tre duas espe´cies x e y que habitam um meio ambiente dado, obtendo
equac¸o˜es da forma:
x˙ = x× (a1 + a2y)
y˙ = y × (b1 + b2x) onde a1, a2, b1, b2 ∈ R sa˜o constantes,
y(t) := y(x(t)) e t e´ a varia´vel tempo.
Usando a regra da cadeia
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
e as duas equac¸o˜es acima, se
obte´m
dy
dx
=
y × (b1 + b2x)
x× (a1 + a2y) . Determine a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o.
22. Determine a func¸a˜o y = f(x) cujo gra´fico conte´m o ponto (1, 1) tal que
para todo (x, y) do gra´fico de f a a´rea da regia˜o A2 seja o dobro da a´rea
da regia˜o A1, conforme figura ao lado.
2
1
y
x
(x,y)
y = f(x)
A
A
0
1
2
3
4
–1 1 2 3
Fig. do ex. 24
23. Uma coloˆnia de bacte´rias aumenta sua populac¸a˜o a uma taxa proporcional a` quantidade de bacte´rias
presentes em cada instante de tempo. Se em quatro horas a populac¸a˜o triplica, em quanto tempo ela sera´
27 vezes a quantidade inicial?
RESPOSTAS DA LISTA 8 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. Sim, e´ soluc¸a˜o. Primeiro verifica-se que f(x) =
√
2 + x+ x2 e´ bem definida ∀x ∈ R, logo esta´ definida
em I = (0,∞) e e´ diferencia´vel em I. Tambe´m y = √2 + x+ x2 ⇒ y2 = 2 + x+ x2 ⇒ 2y dy
dx
= 1 + 2x⇒
dy
dx
=
1 + 2x
2y
, a EDO foi satisfeita.
2. Na˜o e´ soluc¸a˜o pois f(x) =
√
2− x− x2 so´ e´ bem definida quando x ∈ [−2, 1], logo para x ∈ (1,∞) ⊂ (0,∞)
essa func¸a˜o na˜o esta´ definida. E´ fato que y =
√
2− x− x2 satisfaz a EDO, verifique.
3. Sim, e´ soluc¸a˜o. Primeiro sabemos que a func¸a˜o ex
2
esta´ definida para todo x ∈ R e a func¸a˜o e−t2 e´
cont´ınua para todo t ∈ [0, x], x ∈ R, logo a integral esta´ definida para todo x ∈ R e assim a func¸a˜o f
tambe´m esta´ definida para todo x ∈ R. Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, d
dx
∫ x
0
e−t
2
dt = e−x
2
.
Aplicando as regras de derivac¸a˜o, encontramos
y′ = 2xex
2
+ ex
2
e−x
2
+ 2xex
2
∫ x
0
e−t
2
dt = 2xex
2
+ 1 + 2xex
2
∫ x
0
e−t
2
dt. Substituindo y′ e y na EDO,
y′ − 2xy = 2xex2 + 1 + 2xex2
∫ x
0
e−t
2
dt− 2xex2 − 2xex2
∫ x
0
e−t
2
dt = 1, a EDO foi satisfeita.
4. Sim, e´ soluc¸a˜o. Primeiro sabemos que as func¸o˜es e−x e ex sa˜o bem definidas e teˆm derivadas de primeira
e segunda ordem para todo x ∈ R, logo a func¸a˜o f e´ bem definida e tem derivada de primeira e segunda
ordem para todo x ∈ R.
y = C1ex+C2e−x ⇒ y′ = C1ex−C2e−x ⇒ y′′ = C1ex+C2e−x. Vemos que y′′ = y, a EDO esta´ satisfeita.
5. Na˜o e´ soluc¸a˜o. Primeiro sabemos que as func¸o˜es e−x e x/3 sa˜o bem definidas e teˆm derivadas ate´ a
quarta ordem para todo x ∈ R, logo a func¸a˜o f(x) = e−x + x
3
e´ bem definida e tem derivada ate´ a quarta
ordem para todo x ∈ R.
y = e−x +
x
3
⇒ y′ = −e−x + 1
3
⇒ y′′ = e−x ⇒ y′′′ = −e−x ⇒ y(iv) = e−x. Substituindo y(iv), y′′′ e y′ na
EDO, y(iv) + 4y′′′ − 3y′ = e−x − 4e−x + 3e−x − 3 · 1
3
= −1 6= x1, a EDO na˜o esta´ satisfeita.
6. Sim, e´ soluc¸a˜o. Sabemos que a func¸a˜o constante 4 e a func¸a˜o lnx esta˜o bem definidas e sa˜o diferencia´veis
para todo x ∈ (0,∞), logo a func¸a˜o f(x) = 4 + 2 lnx e´ bem definida e diferencia´vel para todo x ∈ (0,∞).
y = 4 + 2 lnx ⇒ y′ = 2
x
⇒ y′′ = − 2
x2
. Substituindo y′′, y′ e y na EDO,
x2y′′ − xy′ + y = −x2 · 2
x2
− x · 2
x
+ 4 + 2 lnx = −2− 2 + 4 + 2 lnx = 2 lnx, a EDO esta´ satisfeita.
7. p = 1 ou p = 4
Lista 8 Ca´lculo II - A 2010-2 19
8. y′ = 3− xy = F (x, y). As func¸o˜es F e ∂F
∂y
= −x sa˜o cont´ınuas no conjunto aberto U = R2 e (0, 0) ∈ U ,
logo o Teorema da Existeˆncia e Unicidade garante que existe uma u´nica func¸a˜o y = y(x), x ∈ R, tal que
y(0) = 0.
9. y′ =
3− y
x
= F (x, y). A func¸a˜o F e´ definida no conjunto aberto U =
{
(x, y) ∈ R2;x 6= 0}. Neste caso
garantimos que na˜o existe nenhuma func¸a˜o pois se existisse, o ponto (0, 1) que da´ a condic¸a˜o inicial deveria
estar no domı´nio U de F (x, y), mas (0, 1) 6∈ U .
10. y′ = y2/3 = F (x, y). A func¸a˜o F e´ cont´ınua em U = R2 e
∂F
∂y
=
−2
3y1/3
e´ cont´ınua no conjunto aberto
A =
{
(x, y) ∈ R2; y 6= 0}. O ponto da condic¸a˜o inicial e´ (0, 0) ∈ U , mas (0, 0) 6∈ A, logo na˜o e´ poss´ıvel
aplicar o Teorema da Existeˆncia e Unicidade para garantir que existe uma u´nica func¸a˜o y = y(x), x ∈ I,
I intervalo aberto contendo x = 0 e tal que y(0) = 0. Observe que na˜o foi dito que na˜o existe tal func¸a˜o,
so´ foi dito que na˜o conseguimos garantir que existe.
11. Na˜o existe, ana´logo ao exerc´ıcio 9.
12. y′ = − y
x(2x+ 3)
+
ln |x− 2|
x
= F (x, y). As func¸o˜es F e
∂F
∂y
= − 1
x(2x+ 3)
sa˜o cont´ınuas no conjunto
aberto U =
{
(x, y) ∈ R2;x 6= 0, x 6= −3/2, x 6= 2}. O Teorema da Existeˆncia e Unicidade garante a exis-
teˆncia de uma u´nica func¸a˜o nos quatro casos, a saber:
(a) o ponto (−3, 0) ∈ U , existe uma u´nica y = f(x), tal que x ∈ I = (−∞,−3/2).
(b) o ponto (−1, 5) ∈ U , existe uma u´nica y = g(x), tal que x ∈ I = (−3/2, 0).
(c) o ponto (1, 7) ∈ U , existe uma u´nica y = h(x), tal que x ∈ I = (0, 2).
(d) o ponto (3, 0) ∈ U , existe uma u´nica y = y(x), tal que x ∈ I = (2,∞).
13. y = e
√
ln(Cx2) ou y = e−
√
ln(Cx2)
14. x =
√
6y − 12 ln |y|+ C ou x = −√6y − 12 ln |y|+ C
15. y = y(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o sen y − y cos y = ln |x|+ x
2
2
+ C
16. y =
√
C − ex2 y =
√
C − ex2 ou y = −
√
C − ex2
17. y =
√
2ex − 1, x > − ln 2
18. y = tan
(pi
2
− arctanx
)
= tan( arccotx) = tan
(
arctan
1
x
)
=
1
x
, x > 0
19. (a) y(x) =
1
1− 12e−x
, x > − ln 2 (b) y(x) = 0, x ∈ R (obs. essa soluc¸a˜o e´ singular) (c) y(x) = 1, x ∈ R
20. Precisa-se dividir em 2 casos: B = 0 e B > 0.
(a) Quando B = 0. A regia˜o e´
{
(t, x) ∈ R2; x > 0}.
Quando B > 0. A regia˜o e´
{
(t, x) ∈ R2; t > b
B
, x > 0
}
.
(b) Quando B = 0. Famı´lia de soluc¸o˜es: x(t) =
(at+ C)6
66b6
.
Quando B > 0. Famı´lia de soluc¸o˜es: x(t) =
(
a
3B(b−Bt)1/2 + C
)6
.
21. Quando a1 6= 0, a2 = 0, a regia˜o de soluc¸o˜es u´nicas e´ R2−{eixo y}. Soluc¸a˜o geral: y = Cx
b1
a1 e
b2
a1
x, C ∈ R.
Quando a1 = 0, a2 6= 0, a regia˜o de soluc¸o˜es u´nicas e´ R2 − {eixos x e y}.
Soluc¸a˜o geral: y = b1a2 ln |x|+ b2a2x+ C, C ∈ R.
Quando a1 6= 0, a2 6= 0, a regia˜o de soluc¸o˜es u´nicas e´ R2 − {eixo y} − {reta y = a1a2 }.
Soluc¸a˜o geral: y = y(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o a1 ln |y|+ a2y = b1 ln |x|+ b2x+C, C ∈ R.
22. y = x2
23. 12 horas
lista 09 calc 02A 2011.pdf
Lista 9 Ca´lculo II - A 2010-2 20
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 9 - 2010-2
EDO’s de primeira ordem:
linear e homogeˆnea
Trajeto´rias ortogonais
Algumas aplicac¸o˜es de EDO
Nos exerc´ıcios 1 a 8 algumas das equac¸o˜es sa˜o lineares de primeira ordem. Identifique-as e ache sua soluc¸a˜o
geral.
1. (1 + x)ydx+ xdy = 0
2.
(
x2 + y2
)
dx− 2xydy = 0
3.
dy
dx
− y tan(x) = sen (x)
4.
(
2y − x4) dx+ xdy = 0
5. y2dx− (2xy + 3)dy = 0
6. y′ +
y
sen (x)
− y2 = 0
7. x3y′ + 4x2y + ex = 0
8.
dr
dθ
+ 2r cos(2θ) = sen (4θ)
Nos exerc´ıcios 9 e 10 resolva o problema de valor inicial.
9. y′ − xy = (1− x2) e 12x2 , y(0) = 0
10. (y − 1)x′ − 3x = (y − 1)5, x(−1) = 16
11. Mostre que a equac¸a˜o cos(y)y′+2x sen (y) = −2x pode ser transformada numa equac¸a˜o linear e resolva
o PVI com y(0) = 0. (sugesta˜o: z = sen (y))
Nos exerc´ıcios 12 a 17 verifique quais equac¸o˜es sa˜o homogeˆneas e resolva-as.
12. (5x− y)dx+ 3xdy = 0
13.
(
x2 + y2
)
dx− 2xydy = 0
14. (xy + 1)dx+ y2dy = 0
15. xy′ + y = 3
16. e
y
x + y′ − y
x
= 0
17. y′ =
x
y
+
y
x
18. Considere a equac¸a˜o da forma
dy
dx
= F
(
ax+ by + c
Ax+By + C
)
, onde a, b, c, A,B,C sa˜o constantes reais.
Verifique que:
(a) quando aB −Ab 6= 0, pode-se reduzir essa equac¸a˜o em uma equac¸a˜o homogeˆnea nas varia´veis z e w
se z = x− h e w = y − k, onde h e k sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear
{
ax+ by + c = 0
Ax+By + C = 0
(b) quando aB − Ab = 0 e a e b na˜o simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equac¸a˜o em uma
equac¸a˜o de varia´veis separa´veis nas varia´veis x e z, se fizermos a substituic¸a˜o z = ax+ by.
(c) quando aB − Ab = 0 e A e B na˜o simultaneamente nulos, pode-se reduzir essa equac¸a˜o em uma
equac¸a˜o de varia´veis separa´veis nas varia´veis x e z, se fizermos a substituic¸a˜o z = Ax+By.
Nos exerc´ıcios 19 a 21 use o me´todo desenvolvido acima, para determinar a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es.
19. y′ =
x+ y + 4
x− y − 6 20. y
′ =
x+ y + 4
x+ y − 6
21. y′ =
y
x− y − 1
22. Resolva o PVI y′ =
2x+ y − 4
x− y + 1 , y(2) = 2.
23. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de para´bolas y = cx2.
24. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de elipses x2 + 4y2 = c, x > 0, y > 0.
Lista 9 Ca´lculo II - A 2010-2 21
25. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de hipe´rboles xy = c, c 6= 0.
26. Encontre a famı´lia de curvas ortogonais a` famı´lia de c´ırculos que conte´m os pontos (1, 0) e (−1, 0).
27. Suponha que a taxa de desintegrac¸a˜o de uma substaˆncia radioativa e´ proporcional a` quantidade de
substaˆncia existente em cada instante de tempo.
Numa amostra de uma certa substaˆncia quando decorridos 1200 anos ha´ uma perda de 36% dessa
substaˆncia.
(a) Escreva a equac¸a˜o diferencial que descreve o processo de desintegrac¸a˜o.
(b) Determine a constante de desintegrac¸a˜o dessa substaˆncia.
(c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 600 anos.
(d) Em quantos anos havera´ apenas 1/50 da quantidade original da amostra?
(e) Lembre que a meia vida de uma substaˆncia radioativa e´ o tempo em que uma amostra da substaˆncia
se desintegra a` metade da quantidade original. Determine a meia vida dessa substaˆncia.
28. Resolva a equac¸a˜o L
dI
dt
+RI = E sen (wt) onde L,R,E e w sa˜o constantes e I e´ uma func¸a˜o de t. (Esta
func¸a˜o da´ a corrente em um circuito de resisteˆncia R e indutaˆncia L impulsionada por um gerador de
corrente alternada de frequ¨eˆncia
w
2pi
e voltagem ma´xima E).
RESPOSTAS DA LISTA 9 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. y(x) =
C
x
e−x
2. Na˜o e´ linear
3. y(x) =
1
2
secx
(
sen2(x) + C
)
4. y(x) =
x4
6
+
C
x2
5. x(y) = −1
y
+ Cy2
6. Na˜o e´ linear
7. y(x) =
1
x4
(ex − xex + C)
8. r(θ) = −1 + sen (2θ) + Ce− sen (2θ)
9. y(x) = e
x2
2
(
x− 1
3
x3
)
, x ∈ R
10. x(y) =
(
y2
2
− y − 7
2
)
(y − 1)3, y < 1
11. y(x) = arcsen
(
e−x
2 − 1
)
, x ∈ R
12. − 5
2
x+ Cx
1
3
13. y = y(x) impl´ıcita em y2 = x2 + Cx
14. Na˜o e´ homogeˆnea
15. Na˜o e´ homogeˆnea
16. y(x) = −x ln(ln(C|x|))
17. y = y(x) impl´ıcita em y2 = 2x2 ln(C|x|)
18. (a) Temos que w = w(y) = y − k e y = y(x), logo w = w(y)⇒ w = w(y(x)).
Mas z = x− h ou x = x(z) = z + h. Logo w = w(y(x(z))).
Aplicando a regra da cadeia duas vezes obtemos:
dw
dz
=
dw
dy
dy
dx
dx
dz
Observando que
dw
dy
= 1 e
dx
dz
= 1, conclu´ımos que
dw
dz
=
dy
dx
.
Agora, substituindo x, y e
dy
dx
na equac¸a˜o original, obtemos
dw
dz
= F
(
a(z + h) + b(w + k) + c
A(z + h) +B(w + k) + C
)
= F
(
az + bw + (ah+ bw + c)
Az +Bw + (Ah+Bk + C)
)
Supondo que aB − Ab 6= 0, o sistema
{
ax+ by + c = 0
Ax+By + C = 0 tem soluc¸a˜o. Se x = h e y = k e´ a
soluc¸a˜o desse sistema, encontramos
dw
dz
= F
(
az + bwk + 0
Az +Bwk + 0
)
que e´ uma equac¸a˜o homogeˆnea nas varia´veis z e w.
Lista 9 Ca´lculo II - A 2010-2 22
(b) Supondo que aB = Ab, a e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos, faz-se a substituic¸a˜o z = ax+ by.
Podemos escrever
dy
dx
= F
(
ax+ by + c
Ax+By + C
)
=
F
(
b(ax+ by + c)
bAx+ bBy + bC
)
= F
(
b(ax+ by + c)
aBx+ bBy + bC
)
= F
(
b(ax+ by + c)
B(ax+ by) + bC
)
= F
(
b(z + c)
Bz + bC
)
Temos ainda que
dz
dx
= a+ b
dy
dx
. Substituindo
dy
dx
encontrado acima nesta u´ltima equac¸a˜o, obtemos
dz
dx
= a+ bF
(
b(z + c)
Bz + bC
)
que e´ uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis nas varia´veis z e x.
(c) Ana´logo ao item anterior.
19. arctan
y + 5
x− 1 =
1
2 lnC
(
(x− 1)2 + (y + 5)2)
20. y − x− 5 ln |x+ y − 1| = C
21. y impl´ıcita em y ln(Cy) = 1− x
22.
√
2 arctan
(
1 +
(y − 2)2
2(x− 1)2
)
= ln
(
e
pi
√
2
4
2
[
(x− 1)2 + (y − 2)2]), x > 1
23. x2 + 2y2 = C
24. y = Cx4
25. x2 − y2 = C
26. (x− C)2 + y2 = C2 − 1
27. Suponha que q(t) e´ a quantidade de substaˆncia quando decorridos t anos e q0 a quantidade da substaˆncia
no in´ıcio de um per´ıodo de t anos, isto e´, q0 = q(0).
(a)
dq(t)
dt
= kq(t), onde k e´ uma constante de proporcionalidade.
(b) Resolvendo o PVI, encontra-se Q(t) = q0ekt.
Calculando, q(1200) = q0ek.1200. Por outro lado, e´ dado que q(1200) =
64
100
q0.
Resolvendo a equac¸a˜o q0ek.1200 =
64
100
q0, encontra-se k =
1
600
ln
(
4
5
)
.
(c) Substituindo o valor de k, encontra-se q(t) = q0e
1
600 (ln( 45 ))t.
Calculando, a perda em 600 anos e´ igual a q(0) − q(600) = q0 − q0e 600600 (ln( 45 )) = q0 − 45 q0 =
1
5
q0.
Logo em 600 anos a perda e´ de 20%.
(d) q(t) = q0e
1
600 (ln( 45 ))t =
1
50
q0.
Resolvendo a equac¸a˜o, encontramos t = 600
(
ln 2− ln 25
ln 4− ln 5
)
∼= 6.791, 31 anos.
(e) q(t) = q0e
1
600 (ln( 45 ))t =
1
2
q0.
Resolvendo a equac¸a˜o, encontramos t = 600
( − ln 2
ln 4− ln 5
)
∼= 1.863, 77 anos.
28. I =
E(R senωt− ωL cosωt)
R2 + ω2L2
+ Ce−
R
L t
lista 10 calc 02A 2011.pdf
Lista 10 Ca´lculo II - A 2010-2 23
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 10 - 2010-2
Equac¸a˜o diferencial exata
EDO’s especiais:
Bernoulli, Ricatti e Clairaut
Nos exerc´ıcios 1 a 6 identifique as equac¸o˜es diferenciais exatas e resolva-as.
1. (x− y)dx+ (−x+ y + 2)dy = 0
2. y′ =
y − x+ 1
−x+ y + 3
3.
(
x2 + y2
)
dx+ (xexy + 1) dy = 0
4.
(
3x2y + ey − ex) dx+ (x3 + xey) dy = 0
5. (y + cosx)dx+ (x+ sen y)dy = 0
6.
(
1 + lnx+
y
x
)
dx = (1− lnx)dy
Nos exerc´ıcios 7 e 8 resolva o PVI.
7. (ex + y) dx+ (2 + x+ yey) dy = 0, y(0) = 1
8.
(
1
1 + y2
+ cosx− 2xy
)
dy
dx
= y(y + senx), y(0) = 1
Nos exerc´ıcios 9 e 10 verifique que λ = λ(x, y) e´ um fator de integrac¸a˜o que transforma a EDO
dada em uma EDO exata e resolva a EDO.
9. x2y3 + x
(
1 + y2
)
y′ = 0; λ(x, y) =
1
xy3
10.
(
sen y
y
− 2e−x senx
)
dx+
(
cos y + 2e−x cosx
y
)
dy = 0; λ(x, y) = yex
Nos exerc´ıcios 11 a 18 verifique se e´ poss´ıvel encontrar um fator de integrac¸a˜o do tipo λ = λ(x)
ou λ = λ(y) que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine
o fator de integrac¸a˜o e resolva a EDO.
11. yx3dx− (x4 + y4) dy = 0
12. y′ = e2x + y − 1
13.
(
3x2y + 2xy + y3
)
dx+ (x2 + y2)dy = 0
14.
(
x
y + x2
dx
)
+
(
y
x+ y2
)
dy = 0
15.
(
x2 + y2 + 2x
)
dx+
(
x2 + y2 + 2y
)
dy = 0
16. dx+
(
x
y
− sen y
)
dy = 0
17. ydx+
(
2xy − e−2y) dy = 0
18. exdx+ (ex cot y + 2y csc y) dy = 0
Nos exerc´ıcios 19 a 22 identifique as equac¸o˜es do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli: y′ + p(x)y = q(x)yn , n constante real]
19. y′ − 2xy = 4xy1/2
20. xy′ − y
2 lnx
= y2
21. y′ − xy = x3 + y3
22. xdy − (y + xy3(1 + lnx)) dx = 0
Lista 10 Ca´lculo II - A 2010-2 24
Nos exerc´ıcios 23 a 26 identifique as equac¸o˜es do tipo Ricatti e se e´ conhecida uma soluc¸a˜o
particular y1, resolva-a. [lembrando, tipo Ricatti: y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x)]
23. y′ = (x+ y)2, y1 = −x+ tanx
24.
dy
dx
= 1− xy2 + y3, y1 = x
25.
dy
dx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex
26. y′ = 9 + 6y + y2
Nos exerc´ıcios 27 e 27 verifique que as equac¸o˜es sa˜o do tipo Clairaut e encontre uma famı´lia de
soluc¸o˜es e as soluc¸o˜es singulares na forma parame´trica. [lembrando, tipo Clairaut: y=xy’+F(y’)]
27. y = xy′ + ln(y′) 28. y = (x+ 4)y′ + (y′)2
Nos exerc´ıcios 29 e 30 resolva o PVI.
29. y′ = sec2(x)− (tanx)y + y2, se y1 = tanx e´ uma soluc¸a˜o da EDO e y(0) = 1/2.
30. y = xy′ + (y′)−2, y(−2) = 3. Este PVI tera´ mais de uma soluc¸a˜o. Isso contradiz o Teorema da
Existeˆncia e Unicidade?
RESPOSTAS DA LISTA 10 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. x2 + y2 + (4− 2x)y = C
2. x2 + y2 − 2xy − 2x+ 6y = C
3. Na˜o e´ exata
4. x3y + xey + ex = C
5. xy + senx− cos y = C
6. −y + y lnx+ x lnx = C
7. ex + xy + 2y + yey − ey = 3
8. −xy2 + y cosx+ arctan y = 1 + pi/4
9. x2 + 2 ln |y| − y−2 = C
10. ex sen y + 2y cosx = C
11. λ(x) =
1
y5
; x4 − 4y4 ln |y| = Cy4
12. λ(x) = e−x; y = Cex + 1 + e2x
13. λ(x) = e3x;
(
3x2y + y3
)
e3x = C
14. Na˜o e´ poss´ıvel
15. Na˜o e´ poss´ıvel
16. λ(y) = y; xy + y cos y − sen y = C
17. λ(y) =
e2y
y
; xe2y − ln |y| = C
18. λ(y) = sen y; ex sen y + y2 = C
19. y(x) =
(
−2 + Cex2/2
)2
20. y(x) =
3
√
lnx
C − 2√(lnx)3
21. Na˜o e´ tipo Bernoulli
22. y2 =
3
x(1 + 2 lnx) + cx−2
23. y = −x+ tanx+ sec
2 x
C − tanx
24. Na˜o e´ tipo Ricatti
25. y = −ex + 1
Ce−x − 1
26. y = −3 + 1
C − x
27. Famı´lia de soluc¸o˜es: y = Cx+ lnC
Soluc¸a˜o singular: x = −1
t
; y = −1 + ln t
28. Famı´lia de soluc¸o˜es: y = Cx+ 4C + C2
Soluc¸a˜o singular: x = −4− 2t; y = −t2
29. y = tanx+
secx
2− ln(secx+ tanx)
30. y = −x+ 1; y = x
2
+ 4 e 4y3 = 27x2
Na˜o, so´ seria contradic¸a˜o se as hipo´teses estivessem satisfeitas e a tese na˜o valesse, mas na˜o e´ este o caso,
o que na˜o esta´ satisfeita e´ a tese. Para testar as hipo´teses ter´ıamos que explicitar y′ em termos de x e y,
que neste caso e´ dif´ıcil. Mas com certeza uma das hipo´teses falha, pois se na˜o falhasse, a tese (soluc¸a˜o
u´nica) seria va´lida.
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Lista 11 Ca´lculo II - A 2010-2 25
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 11 - 2010-2
EDO linear de ordem n:
PVI, existeˆncia e unicidade
Func¸o˜es L. I. e Wronskiano
Conjunto fundamental de soluc¸o˜es
EDO linear de 2a ordem: reduc¸a˜o de ordem
Nos exerc´ıcios 1 a 4 determine o maior intervalo na vizinhanc¸a de x0 onde se tem certeza que
o PVI (problema de valor inicial) dado tem soluc¸a˜o u´nica.
1. 2yiv − 3x2y′′ + 4xy = 3 senx; y(pi) = 2 ; y′(pi) = −1; y′′(pi) = 0; y′′′(pi) = 1
2. 2yiv − 3x2y′′ + 4xy = 3 lnx; y(2) = −1 ; y′(2) = 0; y′′(2) = 0; y′′′(2) = 2
3. (x2 − 4)y′′′ + (x− 1)y′ + 4xy = e2x; y(−1) = −1 ; y′(−1) = 1; y′′(−1) = 0
4. (x2 − 4)y′′′ + (x− 1)y′ + 4xy = 1
x
; y(−1) = −1 ; y′(−1) = 1; y′′(−1) = 0
Nos exerc´ıcios 5 e 6 verificar que qualquer membro da famı´lia dada e´ uma soluc¸a˜o da EDO linear no intervalo
I. Encontrar, se poss´ıvel, a u´nica soluc¸a˜o que satisfaz as condic¸o˜es iniciais dadas.
5. x2y′′ − 20y = 0; famı´lia: y = C1x5 + C2
x4
em I = (0,∞)
condic¸o˜es iniciais: y(1) = 4; y′(1) = 2
6. y′′′ − 2y′′ + 2y′ = cosx+ 2 senx; famı´lia: y = C1 + ex(C2 cosx+ C3 senx) + senx em I = R
condic¸o˜es iniciais: y(0) = 3, y′(0) = 6, y′′(0) = 6
7. Sabe-se que y = C1 + C2x2, x ∈ R e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es de x2y′′ − y′ = 0.
(a) Mostre que na˜o existem constantes C1 e C2 para que um membro da famı´lia satisfac¸a as condic¸o˜es
y(0) = 0, y′(0) = 1. Explique porque isso na˜o constitui uma violac¸a˜o do Teorema da Existeˆncia e
Unicidade para um PVI linear.
(b) Encontre dois membros da famı´lia que satisfazem y(0) = 0, y′(0) = 0.
Nos exerc´ıcios 8 a 13 verifique se o conjunto de func¸o˜es dadas sa˜o linearmente independentes. Se forem
linearmente dependentes determine a relac¸a˜o de dependeˆncia entre elas.
8. 2x− 3, x2 + 1, 2x2 − x
9. 2x− 3, 2x2 + 1, 3x2 + x
10. 2x− 3, x2 + 1, 2x2 − x, x2 + x+ 1
11. 2x− 3, x3 + 1, 2x2 − x, x2 + x+ 1
12. ex, e−x, senhx
13. x, x lnx, x2 lnx, x > 0
14. Mostre que as func¸o˜es y = x , y = x−2 , y = x−2 lnx , x > 0 formam um conjunto fundamental
(base) de soluc¸o˜es da EDO x3y′′′ + 6x2y′′ + 4xy′ − 4y = 0. Forme a soluc¸a˜o geral.
Nos exerc´ıcios 15 a 18 encontre uma segunda soluc¸a˜o da EDO linear de 2a ordem, a partir da soluc¸a˜o dada,
isto e´, use o me´todo da reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o.
15. y′′ − y = 0, y1 = coshx
16. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, y1 = x4
17. (1 + 2x)y′′ + 4xy′ − 4y = 0, y1 = e−2x
18. x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0, y1 = x3 lnx
Nos exerc´ıcios 19 e 20 resolva o PVI, se uma soluc¸a˜o y1(x) da EDO e´ dada.
19. y′′ − 3(tanx)y′ = 0; y1(x) = 1; y(0) = 2, y′(0) = 6
20. x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0, y1(x) = x2 + x3, y(1) = 0, y′(1) = 3
Lista 11 Ca´lculo II - A 2010-2 26
RESPOSTAS DA LISTA 11 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. (−∞,∞) 2. (0,∞) 3. (−2, 2) 4. (−2, 0)
5. x2y′′ − 20y = x2 (20C1x3 + 20C2x−6)− 20 (C1x5 + C2x−4) = 20C1x5 + 20C2x−4 − 20C1x5 − 20C2x−4 = 0
x0 = 1 ∈ I = (0,∞); u´nica soluc¸a˜o: y = x5 + 1/x4
6. Determinando as derivadas ate´ a ordem 3 e simplificando, encontra-se
y′ = ex[(−C2+C3) senx+(C3+C2) cosx]+cosx =⇒ 2y′ = ex[(−2C2+2C3) senx+(2C3+2C2) cosx]+2 cosx
y′′ = ex[2C3 cosx− 2C2 senx]− senx =⇒ −2y′′ = ex[−4C3 cosx+ 4C2 senx] + 2 senx
y′′′ = ex[(2C3 − 2C2) cosx− (2C2 + 2C3) senx]− cosx
Substituindo na EDO dada, y′′′ − 2y′′ + 2y′ = ex [(2C3 − 2C2 − 4C3 + 2C3 + 2C2) cosx] +
+ ex [(−2C2 − 2C3 + 4C2 − 2C2 + 2C3) senx]− cosx+ 2 senx+ 2 cosx = cosx+ 2 senx c.q.d.
U´nica soluc¸a˜o: y = 1 + ex(2 cosx+ 3 senx) + senx
7. (a) y = C1 + C2x2 =⇒ y′ = 2C2x =⇒ y′(0) = 0 6= 1. Neste caso a hipo´tese a2(x) = x2 6= 0 do teorema da
existeˆncia e unicidade na˜o esta´ satisfeita, logo na˜o e´ poss´ıvel garantir que existe soluc¸a˜o que satisfaz o
PVI.
(b) y = x2 e y = −x2. Na verdade qualquer para´bola y = C2x2 satisfaz o PVI.
8. Sa˜o L. I. porque W (2x− 3, x2 + 1, 2x2 − x) = −14 6= 0
9. Sa˜o L. D. Relac¸a˜o de dependeˆncia: (2x− 3) + 3(2x2 + 1)− 2(3x2 + x) = 0
10. Sa˜o L. D. Relac¸a˜o de dependeˆncia: 2(2x− 3) + 13(x3 + 1)− 3(2x2 − x)− 7(x2 + x+ 1)
11. Sa˜o L. I. porque W (2x− 3, x3 + 1, 2x2 − x, x2 + x+ 1) = 156 6= 0
12. Sa˜o L. D. Relac¸a˜o de dependeˆncia: ex − e−x − 2 senhx = 0
13. Sa˜o L. I. porque W (x, x lnx, x2 lnx) = 2x+ x lnx 6= 0,∀x 6= e−2. Atenc¸a˜o: para ser L. I. basta o wronskiano
ser na˜o nulo em um dos pontos do intervalo.
14. Para ver que sa˜o soluc¸o˜es e´ preciso derivar cada func¸a˜o, substituir no lado esquerdo da EDO e verificar que
se anula.
Sa˜o L. I. porque W (x, x−2, x−2 lnx) = 9/x6 6= 0, ∀x > 0.
15. y2 = senhx
16. y2 = x4 ln |x|
17. y2 = x
18. y2 = x3
19. Soluc¸a˜o geral: y = C1 + C2(tanx secx+ ln | secx+ tanx|)
Soluc¸a˜o do PVI: y = 2 + 6(tanx secx+ ln | secx+ tanx|)
20. Soluc¸a˜o geral: y = C1x2 + C2x3 Soluc¸a˜o do PVI: y = −3x2 + 3x3
lista 12_calc 02A 2011.pdf
Lista 12 Ca´lculo II - A 2010-2 27
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 12 - 2010-2
EDO linear de ordem n
com coeficientes constantes:
Me´todo dos coeficientes indeterminados
Me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros
Nos exerc´ıcios 1 a 12 encontre a soluc¸a˜o geral da EDO linear homogeˆnea.
1. y′′ − 36y = 0
2. y′′ + 9y = 0
3. y′′ − y′ − 6y = 0
4.
d2y
dx2
+ 8
dy
dx
+ 16y = 0
5. y′′ + 3y′ − 5y = 0
6. y′′ − 4y′ + 5y = 0
7. 3y′′ + 2y′ + y = 0
8. y′′′ − y = 0
9. y′′′ − 5y′′ + 3y′ + 9y = 0
10. y′′ + y′′ − 2y = 0
11. 16yiv + 24y′′ + 9y = 0
12. y(5) − 16y′ = 0
Nos exerc´ıcios 13 e 14 resolva o PVI.
13. y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0; y(0) = 0; y′(0) = 1; y′′(0) = −7
14. y(4) − 3y(3) + 3y′′ − y′ = 0; y(0) = y′(0) = 0; y′′(0) = y′′′(0) = 1
Nos exerc´ıcios 15 a 21 resolva as equac¸o˜es, usando o me´todo dos coeficentes indeterminados.
15. y′′ − y′ + 1
4
y = 3 + ex/2
16. y′′ + y = 2x senx
17. y′′ + 4y = (x2 − 3) sen 2x
18. y′′ + 2y′ + y = senx+ 3 cos 2x
19. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex
20. y′′′ − y′′ + y′ − y = xex − e−x + 7
21. 16y(4) − y = ex/2
Nos exerc´ıcios 22 a 24 resolva as equac¸o˜es.
22. y′′ − y = 1/x, x > 0
23. 4y′′ + 36y = csc 3x , x ∈ (0, pi/6)
24. y′′′ − y′′ + y′ − y = e−x senx
Nos exerc´ıcios 25 e 26 resolva o PVI.
25. yiv + 2y′′ + y = senx, y(0) = 2; y′(0) = 0; y′′(0) = −1; y′′′(0) = 1
26. y′′′ − y′′ + y′ − y = secx; y(0) = 2; y′(0) = −1; y′′(0) = 1
Lista 12 Ca´lculo II - A 2010-2 28
RESPOSTAS DA LISTA 12 (Com indicac¸a˜o ou resumo de algumas resoluc¸o˜es)
1. y(x) = C1e6x + C2e−6x
2. y(x) = C1 cos 3x+ C2 sen 3x
3. y(x) = C1e3x + C2e−2x
4. y(x) = C1e−4x + C2 xe−4x
5. y(x) = C1e
−3−√29
2
x + C2e
−3+√29
2
x
6. y(x) = C1e2x cosx+ C2e2x senx
7. y(x) = C1e
−x
3 cos
√
2x
3 + C2e
−x
3 sen
√
2x
3
8. y(x) = C1ex + C2e
−x
2 cos
√
3x
2 + C3e
−x
2 sen
√
3x
2
9. y(x) = C1e−x + C2e3x + C3 xe3x
10. y(x) = C1ex + e−x (C2 cosx+ C3 senx)
11. y(x) = C1 cos
(√
3x
2
)
+ C2 sen
(√
3x
2
)
+ C3 x cos
(√
3x
2
)
+ C4 x sen
(√
3x
2
)
12. y(x) = C1 + C2e2x + C3e−2x + C4 cos 2x+ C5 sen 2x
13. y(x) = 536 − 536e−6x + x6e−6x
14. y(x) = 23 − 23ex + 23 xex − 16 x2ex
15. y(x) = C1ex/2 + C2 xex/2 + 12 +
x2ex/2
2
16. y(x) = C1 cosx+ C2 senx− x
2 cosx
2
+
x senx
2
17. y(x) = C1 cos 2x+ C2 sen 2x+ 2532x cos 2x+
1
16x
2 sen 2x− 112x3 cos 2x
18. y(x) = C1e−x + C2 xe−x − cosx2 +
12 sen 2x
25
− 9 cos 2x
25
19. y(x) = C1ex + C2 xex + C3 x2ex − x−
3− 23x3ex
20. y(x) = C1 + C2 cosx+ C3 senx− 7 + 14 e−x − 12 xex + 14x2ex
21. y(x) = C1ex/2 + C2e−x/2 + C3 cos (x/2) + C4 ( senx/2) + 18 e
x/2
22. y = C1ex + C2e−x + 12e
x
∫ x
x0
e−t
t
dt− 1
2
e−x
∫ x
x0
et
t
dt
23. y = C1 cos 3x+ C2 sen 3x− x cos 3x12 +
sen 3x
36
ln | sen 3x|, x ∈ (0, pi/6)
24. y = C1ex + C2 cosx+ C3 senx− 12x2 senx
25. y = 2 cosx+ 78 senx− 78 x cosx+ 12 x senx− 18x2 senx
26. y = 32 +
1
2 cosx− 52 senx− 12(cosx) ln(cosx) +−12( senx) ln(cosx)− 12x cosx−
−12 senx+ 12ex
∫ x
0
e−x
cosx
dx
lista 13_calc 02A 2011.pdf
Lista 13 Ca´lculo II - A 2010-2 29
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 13 - 2010-2
EDO linear de ordem n:
EDO de Euler-Cauchy,
homogeˆnea e na˜o-homogeˆnea.
Nos exerc´ıcios 1 a 12 encontre a soluc¸a˜o geral da EDO linear homogeˆnea, tipo Cauchy-Euler.
1. x2y′′ + 4xy′ − 10y = 0, x 6= 0
2. x3y′′′ + 6x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0, x 6= 0
3. 2x2y′′ + 5xy′ − 2y = 0, x > 0
4. 2x2y′′ + 5xy′ − 2y = 0, x < 0
5. 2x2y′′ + 5xy′ − 2y = 0, x 6= 0
6. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, x > 0
7. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, x 6= 0
8. (x− 1)2y′′ + 7(x− 1)y′ + 9y = 0, x 6= 1
9. x2y′′ + xy′ + 4y = 0, x 6= 0
10. x2y′′ − 3xy′ + y = 0, x 6= 0
11. x2y′′ − 3xy′ + 7y = 0, x 6= 0
12. x4yiv + 6x3y′′′ + 8x2y′′ + 2xy′ = 0, x 6= 0
Nos exerc´ıcios 13 e 14 resolva o PVI.
13. 4x2y′′ + 8xy′ + 17y = 0, y(1) = 2, y′(1) = −3
14. 4x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 3
Nos exerc´ıcios 15 e 16 resolva usando o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros.
15. xy′′ − 4y′ = x4, x > 0 16. x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3 ln(x), x > 0
Nos exerc´ıcios 17 e 18 resolva usando a substituic¸a˜o x = et.
17. x2y′′ − 4xy′ + 6y = ln (x2), x 6= 0 18. x3y′′′ − 3x2y′′ + 6xy′ − 6y = 3, x 6= 0
RESPOSTAS DA LISTA 13
1. y = C1 x2 +
C2
x5
2. y = C1 x+
C2
x
+
C3
x3
3. y =
C1
x2
+ C2
√
x
4. y =
C1
x2
+ C2
√−x
5. y =
C1
x2
+ C2
√|x|
6. y = C1 x4 + C2 x4 ln(x)
7. y = C1 x4 + C2 x4 ln |x|
8. y =
C1
(x− 1)3 +
C2 ln |x− 1|
(x− 1)3
9. y = C1 cos(2 ln |x|) + C2 sen (2 ln |x|)
10. y = C1 |x|2+
√
3 + C2 |x|2−
√
3
11. y = C1 x2 cos
(√
3 ln |x|)+C2 x2 sen (√3 ln |x|)
12. y = C1+C2 ln |x|+C3 cos(ln |x|)+C4 sen (ln |x|)
13. y = 2x−
1
2 cos (2 ln(x))− x− 12 sen (2 ln(x))
14. y = 2x2 − 7x2 ln |x|
15. y = C1 + C2 x5 − x
5
25
+
x5
5
ln(x)
16. y = C1 x+ C2 x2 +
x3
4
(2 ln(x)− 3)
17. y = C1 x2 + C2 x3 +
5
18
+
1
6
ln
(
x2
)
18. y = C1 x+ C2 x2 + C3 x3 − 12