Solucionário - Demidovitch II

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ANALISIS MATEMATICO II
SO LUCIO NARIO DEM IDO VICH
TOMO II
O O
2
ú
♦ INTEGRAL INDEFINIDA
♦ IN TEGRAL DEFINIDA
♦ INTEGRAL IMPROPIA
♦ APLICACIONES
E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S
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INDICE
CAPÍTULO IV
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8
1.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57- .y*-—I---- —■*— • ■ ■■¡.yr'*' — —t
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116
1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma J R(x, Vax2 +bx + c )d x . 161
1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180
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CAPÍTULO V
LA INTEGRAL DEFINIDA
2 .1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218
2 .2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223
2.3. Integrales Impropias. 234
2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 248
2.5. Integración por Partes. 261
2 .6 . Teorema del Valor Medio. 268
CAPÍTULO VI
¿Hile í toq nóipmgwij
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.1. Areas de las Figuras Planas. 276
3.2. Longitud de Arco de una Curva. 310
3.3. Volumen de Revolución. 325
3.4. Area de una Superficie de Revolución. 347
3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357
3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física. 377
.Mso'txurt r niteib jo nib,
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Integral Indefinida 1
CAPÍTULO IV
r-W;- i
4. INTEG RAL INDEFINIDA.
4.1. REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEGRACION.
( ? ) F \ x ) = f ( x ) entonces ^ f ( x ) d x - F(x) + c , c constante.
© J k f (x)dx = k J*/ (x)dx, k
© j ( f ( x ) ± g ( x ) d x ~ j f ( x ) d x ± j g ( x ) d x .
i) \ = u'ft í ™
es una constante.
© Si J / ( ; t ) t¿ í = F (x )+ c y u = \|/(x), se tiene: í f (u )d u = F ( u ) +c
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
( ? ) \ x " d x ~ —— + c , n * -1 ( 5 ) f undu — ———- + c n - 1w J n +1 w J n + 1
( ? ) f — = ln |n |+ c ( 3 ) = - are. tg ( - ) + c
J u J u~ a a a
du 1 . . u — a . s~ \ f du 1 . u + a .
— ^ = — ln I---------l+c, a * 0 ( 6 ) — - = — ln | --------\+c
J u — a 2a u + a ^ J a ' - u 2a u - a
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2 Eduardo Espinoza Ramos
©
©
©
1031
■ = are. sen + c = -are. eos + c, ;a > 0
■ + c , a > 0 10) | eud u = eu +c
A j . X i i i
f 7 ^ U = ln(w + yju2+a) + c , a * 0 
f
» sja2 - u 2
f “w a“I a du= — —
J ln ( a )
Jsen(w)dw = -cos(m ) + c J eo su du =senu + c
JtgMz/M = -ln |cosw | + c = ln|sec«| + C! ( l4 ) J e tg w.du = In|senM| + c 
J s e c 2 u.du = tgu + c ( u ^ J c s c 2 udu = -c tg w + e
JcSCM.£ÍM = ln|secM + tgu\ + c ( l ^ Jcscm.í/m = Ln |cSCM-Ctgí/| + <
Jsenh(M)dw =cosh(w ) + c Jcosh(«)dK = senh(«)
J csc2 /i(w).dw = ctgh(w) + e J sec2 /¡(«)dw = tgh(m)
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración 
J 5a2x 2dx
+ c
+ c
Desarrollo
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Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(6x2 + 8jc + 3)dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8 J xdx + 3 J dx + c = 2x3 + 4x2 + 3x 
x(x + a)(x + b)dx
Desarrollo
+ c
í<jc(ac + «) (x + b)dx = | (jc3 +(a + b)x2 + abx)dx ~ + ° ^ *3 + ~^~A +c
(a + bx2)2 dx.
Desarrollo
b V 
2 7
(a + bx2)2dx = J ( fl2 + 2afet3 + b 2x6)dx = a2x + ^ -x* + ^ +c
y] 2 px dx.
Desarrollo
yj2px dx = y ¡ 2 p j x u ldx = | * 3/2 y f lp + c = j Xy¡2px + c
dx
T x
Desarrollo
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4 Eduardo Espinoza Ramos
1 -n
1037 I (nx) " dx.1-
Desarrollo
sea u = nx —> du = ndx —> dx = —
r t í r h l j /• t í i
j (nx) " dx = J u n — = —J u " du = (nx)n +c
1038 | (a213 —x 2/3)3dx.
Desarrollo
y a ™ - x ™ ? d x = \ ( a 2 -(a¿l> - x ¿,}Y d x= I (a¿ - 3 a 4/V /3 +3am x4n - x 2)dx
2 ^ 4 / 3 5 / 3 9 2/3 7/3 ^= a x — a x + — a x ------ + c
5 7
1039 j"(V* + l) ( x - \ f x + \)dx.
Desarrollo
J ( V í + l) ( x - \ f x + \)dx = J ( * 3/2 + 1)¿* = ^ j/5/2 + * + c =
J!1040 1) ^ - 2 ) A 3>/7
Desarrollo
J U 2 +1X^2 2)^ = = J (¿0/3 _ ¿ /3 _ ^ -2 /3 ^
ȣ0
+ JC + C
f.ÜJ
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Integral Indefinida 5
1041
1042
1043
= — XAy[x -----X2l[x ~ 6 y /x + C
13 7
f
(xm- x n)2 dx
Desarrollo
m n ,2 r J2m r, m+n , 2n r 4mH 2m+2n-\ 4n-l[ ( X m - X n )2 . r x 2" ' - 2 x " '+" + x 2" P , ^ 0j - — -j=-I—(Lr = J ---------- -J=--------- d x - J ( x 2 — 2jc 2 + x 2 )dx
2x2m^ c 4xm+nV I 2x2',V í—------------------------------- 1 + c
4 m +1 2/w + 2n + l 4n +1
I y]ax
Desarrollo
f (V a—V i)4 , f o 2 -4ayfax + 6ax-4xy[ax + x 2 ,
) — v S *
= f[a 2(ax)_1/2 -4 tf + 6>/ax-4jc + x2(ax)~1/2] dx
2^.3
= 2ayjax -4 a x + 4 x 4 a x - 2 x 2 H---- f = + c
5\fax
f ¿X 
I x2 +7
í ^ í
Desarrollo
dx 1 , x .— — —¡=arc.lg(—f=) + c
x2 + (7 7 )2 S i bKS
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6 Eduardo Espinoza Ramos
1044
1045
1044
1047
f —J x2 -1 0
Desarrollo
t ó r í :
f dx
dx 1
rln x + VÍO
x 2 -1 0 J x 2 - ( V Í 0)2 2> / Ío “ ‘ x -y f io
dx
7
Desarrollo
+ c
Por la fórmula 7 se tiene: i —- — ■ = ln I x + •Jx2 +4
J (x + 4)
í
+ c
dx
Desarrollo
t e ' / :
dx x
,-------- . .— ==------- = ore. sen (— r=) + c , resulta de la fórmula 8.
J V ( 2V2 )2 - x 2 2V2
í
V 2 + X2 - V 2 - X 2 
V 4 - x 4
dx
Desarrollo
■J2 + X2 - y ¡ 2 - x 2 f , V2 + x2 V 2 - x 2
V 4 - x 4 V 4 - x4
f \ 2 + x —V2 - x , f
dx
¿X X
,-------- , ---.-T = are-, sen (—= ) - Ln
J V 2 7 7 V2
■y¡2-x +V 2 + x' + c
por fórmulas 7 y 8.
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Integral Indefinida 1
1048 a)
b)
1049 a)
b)
tg2 xdx.
Desarrollo
tg2 xdx = I (sec2 x - \)dx = tgA-.v + c.
tgh" xdx.
Desarrollo
-Jo-tgh2 xdx = 1 ( 1 - sec2 hx)dx = x — tgh+ c.
c tg~ xdx.
Desarrollo
xdx = Jc \ .g"xdx- j (esc x - \ ) d x c i g x - x + c.
ctgh" xdx.
Desarrollo
i 2 xdx = fctgh xdx = I (1-cscfc x)dx = x-A tgh+c.
1050 3xexdx
Desarrollo
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8 Eduardo Espinoza Ramos
4.2. INTEGRACION MEDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO 
EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL.
1051
1054
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la intesral dada a la forma:* a
j f(y/(x)).yf'(x)dx = f f(u)du . donde u = y/{x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el signo de la 
diferencial. n
f adx 
j a — x
Desarrollo
sea u = a - x —> da = -dx —> dx = -du
f adx f dx f du ■ „ , r , , cI = a I = -<j I — = -aLn + aLn = aLn \-----
J a - x J a - x J u a - .
f -J 2x-
' ' r . - . J '1 ,VV
1052 | r £ ± I d x
lx + \
Desarrollo
J
+c
xdx 
a + bx
Desarrollo
f xdx _ f 1 a ^ 1
J a+bx J b b a+b:
)] d x - — - ^ L n \ a + bx\+c 
x b b~
i. 'ax + b , 1035 dx
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Integral Indefinida 9
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
f ax + b , f ra a b - a P , 1 . . . a a b - a f i . a .
 -<£c = [ - + *-(---- )]dx = - jc + ---- ^-í-ln |a x + /J |+c
J a J c + / 3 J a a a + ( i a a
f —J JC-l+ l-dx
Desarrollo
f * + - dx = f(;t + l + —— )¿r = — + jc + 21n |j
c - l |+ c 
J jc — 1 J J t - 1 Jt
í
jc“ + 5 jc + 7 ,-------------- dx
jc + 3
Desarrollo
^ 2
Cx + 5x + 7 ^ = f (^ + 2 h— í—)dx = — + 2 jc + ln | jc + 3 1 +c 
J jc + 3 J jc + 3 2
1
x4 + x 2 +1
X — 1
Desarrollo
j x4+ f i +1dx = j ( x 3 + x2 + 2 x + 2 + 3 -)dx
jc + 1
r 4 r 3
= — + — + x 1 + 2jc + 31n | .t-11 +c
í (a+ — )2dx x - a
Desarrollo
f b j f 7 2a¿> b1 2 - , - i iI (a + )~dx= I (<r + ------ + --------- -)dx - a x + 2ab\n \ x - a \--------- + c
J x - a J x - a ( j c - a y x - a
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10 Eduardo Espinoza Ramos
1060
1061
1062
f —J (x +X j d x (x + 1)2
Desarrollo
sea u = x + 1 => du = dx , x = u - 1
\ ~ ~ ~ 2 = [~~2~du = f ( i — j ) d u = l n |u |+ - + c = ln | x + 11 + —— + c 
J(x + 1)2 J u 2 J U u2 U x + l
i bdy■Ji-y
Desarrollo
Sea u = 1 - y => dy = -du
J* J | —— - fcJ*H - y) l/2dy = - b j u V2du = -2bu112 +c = -2byjl - y + c 
j y / a - l-bxdx.
Desarrollo
Sea u = a - b x => dx = ——
b
í \ la -b x d x = f u l/2(- — ) = - — \ u n du = — —u\fú+c = — -(a -bx )-Ja -bx 
J J b b J 3b 3b
+c
1063 f * dx
J y [ 7 7 l
Desarrollo
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Integral Indefinida 11
1064
1065
1066
1067
f X d.x = f ( * 2 + l) 1/2 adx= Íh~1/2 — = \ fu+ c = ']x2 + l+ c
J Jx2 +1 J J 2
I
y¡x¿ +\ 
\[x + \nx dx
Desarrollo
fVjc + ln.v, f 1 lnA\ , _ r- ln2 a: . j
- ---------- dx= ( - = + -----) d x -2 y jx + ------- + c
] X ) ^ X 2
r dx 
J 3 a-2 + 5
Desarrollo
í 1 x +8
Desarrollo
Jo t Í
J
dx , 1 1 , .y j7 x-2 y ¡2 .
:—f=-— I~T=------- 7=l+c
( y[ l x j 2 ~ ( 2 \ Í 2 ) 2 V 7 4 V 2 s ñ x + 2 ^ 2
dx ; 0 < b < a
(a + b ) - ( a - b ) x 2
Desarrollo
f dx f dx 1 f y ja -b d x
J (a + b ) - ( a - b ) x 2 J <Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2 'J a - b J( a + b ) - ( a - b ) x 2 J ( s j a + b)~ - ( y fa -b x ) ' Va b J (Ja + b ) 2 - ( y j a - b x ) 2
1 , , y l a + b + \ ¡ a - b x .
rln | -¡= ---- , -■ - | +c
2\la-b.\Ja + b \Ja + b - y /a -b x
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12 Eduardo Espinoza Ramos
1068
1069
1070
1071
1 , , \¡a + b + s /a -b x .In | . | +c
1
2sja2 - b 2 yja + b - J a - b x
x 2dx
x 2 + 2
Desarrollo
f v dX = f (1— r- — )dx = x-V2arctg(-^L) + c 
J X + 2 J X +2 y¡2
f x 2dx
J^T2
Desarrollo
Jl 2f x dx ( \ a x x « , , ? 2 u| —------ = - | ( j c + — -)dx = - ( — + — ln IJC - a |) + c
J a ~ - x z J x ' - a ' 2 2
K
k — 5x + 6
— dx
x 2 +4
Desarrollo
fx -5x + 6 f 5*-2 f 5x 2
I : dx= 1(1— )dx = (1— - + —----- )dx
J x-+ 4 J x +4 J x2 +4 x +4
i dxVt + Sx2
= x - —ln | x2 + 4 1 +arc.tg(-^) + c
Desarrollo
j* dx _ j’ dx _ 1 f 2y¡2d.
j \ll +8x2 J Jl +(2yflx)2 2V2 J
’x
V7 + 8X2 J yjl + (2y/2x)2 2V 2 J + (2y¡2x)2
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Integral Indefinida 13
1072
1073
1074
= * Ln | 2 2x+ 7+ 8 * 2 |+ c , por la fórmula 7
2 . 2
f dx 
J y j l - 5 x 2
Desarrollo
f dx f dx 1 f \¡5dx 1
í
2x — 5 , dx
3x - 2
Desarrollo
f 2at-5 C 2x , , C dx 1 , 2 ~ i 5 f \/3<¿x:
J 3*2 - 2 ~ J3 ;c2 - 2 J 3x2 - 2 3 * ^3 J (V3*)2 - ( y / I ) 2
1 , | _ 2 „ I 5 , , y¡3x-^j2 .
~ 3 ' 1 - ^ 7 2 ' ^ + 72 l +C
o lí. , « iR?.aCI
1 , , „ 2 „ I 5 . y¡3x-y[2 .= - ln 3* - 2 ----- = ln -p=------==• +c
3 2>/6 \ Í 3 x + yf2
í
3 - 2 * dx
5x2 +7
Desarrollo
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14 Eduardo Espinoza Ramos
1075
1076
1077
1078
1
3x-f 1
dx
\l5x2 +l
Desarrollo
f 3 x + l ^ J [ x ffr+ 1
m|1-3 r io xdx i if V5íía
' \¡5x2 +1 J JW 5x2 + 1 10 Jsj5x2 + 1 V5 J1 Vk\Í5x)2 +1
= — 7 x 2 + 1 H—\= Ln | yf5x + sl5x2 + 1 1 +c 
5 v 5
1
jc + 3 rdx
4 7 - 4
Desarrollo
j - _A' + ?.. t-/_y + 3 \ - 4 7 ~ 7 + 3\n \ x + yjx2 - 4 | + c , por la fórmula 7
J Vjc2 - 4 J \Jx2 - 4
í
xdx
:2 —5
Desarrollo
C xdx 1 f 2a: 1 . , |
—r = - | - - - --rix = - l n jT —5 +c
J jc2 - 5 2 J x — 5 2
í * dx2x2 +3
Desarrollo
f xdx 1 f
J 2a:2 + 3 _ 4 J 4a*/a 1 , , „ 22a:2 +3 4= — ln | 2a: + 3 |+ c
1079 f , dx
J a 2x 2 + b2
Desarrollo
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Integral Indefinida 15
1080
1081
1082
1083
= Í ^ L _ * + f
J a x ' + b J a~x +b~ J
dbx
"> 2 7 2a x +b
1 , l 2 2 .21 1 »= — ln | a'x~+b + —are.tg(— ) + c 
2a a b
f xdx
J Va4 - x 4
Desarrollo
f xdx _ 1 i* 2xdx _ 1
» s/a4 - x4 ^ J \Ja4 - x 4 ^
i
= —arc. sen(-^r-) + c
2 a2 ‘
x 2dx 
l + x6
Desarrollo
f jc2dx f x 2dx 1 f 3jc2í¿c 1 3
J 1 7 7 = J l T Z ? 7 = j J 7 ^ 7 7 = r r c , í ( ' ) + c
1
x dx
Desarrollo
f = - (* 3.r dx _ _. j_ | je3 + Vjc6 — 1 [+ c , por la fórmula 7 .
J 7 7 T I 3 J n/ ^ t h 3 1
í ñ
í aresen x , —r—dx 
■x
Desarrollo
f I aresen x f , .« dx
I J r—dx= I (aresen x )1. -¡.......
JV i - x 2 J V Í T ?
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16 Eduardo Espinoza Ramos
donde u = arcsen x => du=-
1
y j l-x2
2 - 2 - u 2du = — u 2 +c = — (arcsen x)2 +c 
3 3
- arctg(-)
1084 -------- f -dx
J 4 + x
Desarrollo
» arctg(^) , f 2arctg(^) l f 2(¡x arctg2(
 T~dx = - f - d x = - I arctg(-) T = —
J 4 + x 2 J 4 + x~ 2J 2 4 + x 4
- -r c
1085 f 1 ' ^
J l + 4x
Desarrollo
f i r s j * i f
J 1 + 4* 8 J 1 + 4x 2 } l + 4x2
= - ln |l + 4x2 |- - (a rc tg 2 x )2 +c 
8 3
1086 1
dx
+ x 2)\n(x + sjl + x 2 )
Desarrollo
f , dX =■ = \ m x + ^ . -----,-----;
J \J(1 + x2)\n(x+\J\ + x2) J v \ + x
N) 
| >
5
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Integral Indefinida 17
1087
1088
1089
1090
donde u = ln(x + vl + x 2) => du - -
dx
yJl + X2
j u *du = 2yjü + c = 2^ \n (x + yll + x 2 ) + c 
ae~'"xdxI
Sea u = -mx => dx = -
m
Desarrollo
du
f ae-,nxdx = a fe “ f e"du = ~ - e u
J J m m J m
I
a
m
42~^dx
Desarrollo
.-ir . tlU4 d x , sea u = -3x ^ á = ------J 42_3 ¿^¿x = lój
= 16 f 4“(—— ) = —— f 4''íÍM = —— =J 3 3 J 3 ln(4) 3 li
24-3jt 42-3.t
31n4 31n4
- + e
)dt
Desarrollo
J l e ' —e ')dt = ^ e 'd t - j e 'dt = e' +e '
p í _4 
I (e“ +e “ )2dx
+ c
Desarrollo
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18 Eduardo Espinoza Ramos
m X X • -A ¿A
| ( e 0 +e a )2dx = \ ( e a +2 + e a 
,0 9 . W - T f t *
J axbx
2x 2x 2x
— v , a — ^ a —~ )dx = — e a +2x — e a +c 
2 2
Desarrollo
f r .x .x . -2x
\ ^ X- bXt d x = [?— ~ 2a*— ^ — dx = f ( ( V - 2 + (* mJ axbx J a 'b x J b a
(- )A' 1 « b
b + - e - — 2x+ c = — — ( ( - y + ( - ) x)-
C rP’x — 1 
1092 dx
« \ a x
i / a \ i ln a - ln ¿ b aln (-) ln (-)
b a
Desarrollo
3x X
-2x ' r -2x f - — 2 2 .a ^
f ^ J - d x = \ ( ^ - L — }= )dx= f («2 - a 2) d x = \ . 
J Va7 J va" \ a x J 3
1093 j e Hxl+l)xdx
Desarrollo
7 duSea u = - (x +1) => du = -2xdx =* x d x - ------
2
ln a ln a
1094 J dx
Desarrollo
2x + c
+ c
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Integral Indefinida 19
7 , dlíSea u = x => du = 2xdx => xdx = —
2
\ x . l x dx = \ r !.xdx= \ l u — = - \ l ud u = - — + c = — — 7J J J 2 2 J 2 ln(7) 21n(7)
l
1095 I K rdx
I r
Desarrollo
1 dx dxSea u = — => d u ~ — — => —5- = -du 
x x x
1096
j ^ j d x = j e “ (-du) = - j e udu - - e “
l 5^
+ c = — e x + c
Desarrollo
„ r- , dx dxSea u = \Jx => d u - — f= => 2aw = — 
2Vx Vx
Í5''.2d» = 2 f5 " d « = —
J i x J J ln(5;
2 «x/I + c = —— 5 +c
ln(5) ln(5)
1097 | --------dx
Desarrollo
Sea u - e x -1 => d u = e xdx
í c - f — = ln ¡ u | +c = ln | ex — 11 +c 
J ex - l J u
r +c
<N*t
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20 Eduardo Espinoza Ramos
1098
1099
1100
1101
j e * si a -b e * dx
Desarrollo
Sea u = a - b e x => du = -be*dx => exdx = — —
b
f(a - b e xy e xdx= f m^(———) = ——- f u^du = - — u* +c = - — J ( a -b e ' )3 +c 
J J b b ] 3b 3b
i X 1 X(ea +iy*eadx
Desarrollo
Sea u = e a + 1 => du= ea — => a d u = e adx
a
M X I X a 1 m * ^ 4 ^ 2
I (ea + 1 Y*eadx = I u^adu = a I h3í/m = — m3 + c =-^-(ea — l )3 + c
1
dx 
2* +3
Desarrollo
í - ^ — = - Í(1---- -— )dx = - ( x — — ln | 2X +3| ) + (
J 2X +3 3 J 2X +3 3 ln2 '
Ja xdx+ a2x
Desarrollo
Sea u = a x => du = a x ln a dx => a xdx = - ^ ~
ln a
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Integral Indefinida 21
1102
1103
1104
f axdx 1 f du 1 1 , — = -— I — = -— arctgM + c = -— arctg(« ) + c
J 1 + a Ín o j l+ M - lno lna
J 1-
e-bxdx 
\+e~2bx
Desarrollo
Sea u - e hx ==> d u= -be~ hxdx => e bxdx = - —
b
f e~bxdx 1 f du 1 . . 1I r— = — I ------ t = — arctg(n) + c = — arctg(e ) + c
J \ + e~2bx b j l + u2 b b
dt
Desarrollo
-e2'
Sea u = e ' => d u —e'dt
J 1 — e"' J 1 — u~ 2 1— u
1 - , 1 +e' .+c = — ln ------- +c
2 ' l - e '
í sen(a + bx)dx
Desarrollo
du
Sea u = a + bx => du = b dx => dx - —
b
j"sen(a + bx)dx - J s e n = ~ J sen(u)du
= —-cos(«) + c = ——cos(a + bx) + c 
b b
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22 Eduardo Espinoza Ramos
1105
1106
1107
1108
Jeos (~^)dx v5
Desarrollo
Sea u = —=■ => ^ í / í í = dx
S
J cos(-j=)dx = J*eos\(u)y¡5du = \¡5J*eos(u)du = 5 sen(w) + c = . 5 sen( * ) + c
i(cos( ax) + sen(íU'))“ dx
Desarrollo
j" (cos(íj.y) + sen(ax))2 dx = J((cos(fl.v) + sen(ax))"dx = I (eos2(ax) + 2 sen(ax).cos(«jr) + sen2 (é¡a))Jx
i= I (l + 2 sen(ax).cos(flx)Wx = x —— cos(2ax)+c2a
Jcos(V x).
sTx
Desarrollo
_ r~ , dx dx ,Sea u = V-v => d u = — t= => —¡= = 2d u
2y[x yfx
J"cos(\/x).-^r = J* cos(u).2du = 2J" eos (u)du = 2 sen (u) + c = 2sen(\[x) 
1
+ c
sen(log a ) .— 
x
Desarrollo
Sea u = logx => du = ——— => — = ln(10)¿/n 
ln(10)x x
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Integral Indefinida 23
1109
1110
1111
f sen(log x)— = J sen(«).ln(10).JM = ln(10) J sen (u)du
= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
I sen2 xdx
Desarrollo
, -j -j j 2 1 - eos 2xUsar la identidad: sen x = ------------
f 2 , f l —cos(2jc) , x sen(2;c)
I sen' xdx = I --------------dx = ---------------
J J 2 2 4
+ c
ieos2 xdx
Desarrollo
. . . . . . 2 1+cos(2jt)Usar la identidad eos x = --------------
J eos2 xdx = J -
F
+ cos(2x) x sen(2j:)= - + - + c
2 2 4
(ax + b)dx
Desarrollo
Sea u = ax + b => dx = —
¡sec2(ax + £>)<£r= |s e c 2n — = — fsec2 ííí/« = — tg« + c = — tg(ax + b) + c 
J J a a J a a
1112 I c lg 2(ax)dx
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24 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Usar la identidad: 1 + r tg2 x = esc2 x
clgA(ax).dx = I (csc2(ax)-l)<¿c = - c - x + cj c l g 2(ax).dx = í
1113 f _ * _
•' sen(-)
Desarrollo
x X X
Se conoce que sen — = 2sen(— ).cos(— ) 
a 2 a 2a
f dx f dx _ 1 j*
sen(-) * 2 sen(— ).cos(— )
sec(^) 
 ^ ~ d x
» , ____„ ,___ „ , sen(— )
a 2a 2a 2a
2/ X . 2, * .sec (— ) . -sec (— )9/i . 1 f 9/7■ i f . 4 , - i f :
sen(— ).sec(— ) ^
2fl d*
2a 2a ' Ig(2a >
2/ •* dxSea w = tg(— ) => du = sec (— ).— 
2a 2a 2a
9 A"De donde se tiene: sec (— )dx = 2a dx 
2a
2 / * s.sec (— )
f dx 1 f 2a ., 1 f 2a du . . . x . — = - — dx = - = a ln | u | +c = aln | tg(— ) | +c
J 2 J 2 J u 2asen(-) “ J t g ( - ) 
a 2a
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Integral Indefinida 25
1114
1115
1116
dx
3 co s(5 * -—) 
4
Desarrollo
dx 1 , , r5x n , .
= — ln | tg[— + - ] |+ c
3 cos(5jc- — ) 15 2 8
4
dx
sen(ax + b)
Desarrollo
, ax + b ax + b s
Se conoce sen(ax + P) = 2sen( ).cos( )
2 2
f áx , f
J sen(fl.v + /;) J
dx
,ax + b s ax + b s2sen(—-— ).cos(—-— ) 
2 2
,ax + b . 2 ,ax + b^. sec( —) . -sec (-------- )
i 2 j 1 f 2 . 1 , i += - ----- , dx = - ---------- iL¡— dx = - l n | tg( ) | +c2J 2 j t„z«x + 6. a 2sen(—— ) J tg(—— )
f xdx
J cos2(jc2(JT)
Desarrollo
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26 Eduardo Espinoza Ramos
1117
1118
1119
1120
í Asen(l - a2 )dx
Desarrollo
Sea n= 1 — jc2 => du = -2x dx => xdx--—
2
du
2*
J x s e n ( l - x 2 )dx = j*sen(l - x 2)xdx - J sen/<.(--
1 f J 1 ' 2, ^= — I senudu = — cosw + c = — cos(l —x ) + c
2 j 2 2
J sen(jt
— ¡--- -1 )2dx
sen(W2)
Desarrollo
f ( -==-\)2dx = F (csca \/2 -1 )2í/a = |(c s c 2(A >/2)-2csc(A \/2) + lk/A
J sen xy¡2 J J
= Í(1 + CSC2(W 2 ) —y- )dx =x—\=clg(xy¡2)—^Lln|tg(^^-)|+cJ sen(W2) V2 2
J tg xdx
Desarrollo
jtgxdx = j
í
sen x . .a.v = -ln |cosa|+cCOSA
| c tg a dx
Desarrollo
Jc tg A<¿* = J COSA . . dx = ln | sen a [ +csen a
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Integral Indefinida 21
1121
1122
1123
1124
Jc tg (—^ — )dx a - b
Desarrollo
x
Sea u = ------ => d x - ( a - b ) d u
a - b
í c tg( ^ )dx = J*c tg u.(a - b)du = ( a - b ) j c l g u du
i dx, jc.
5
X
- (a - b) ln | sen u \ +c - (a - b) ln | sen( ) | +c
a - b
Desarrollo
f y f » co s(-)
I = I c tg(—)dx - i — dx - 5 ln | sen(—
tg(T) sen(^) 5
) |+ c
tg(5
J lg(\fx). ^
r x
Desarrollo
r dx dx „ .
Sea z — \ x dz = — => —¡= = 2dz 
2 yJX y / x
J ig(\[x).^j= = j t g z . 2 d z = 2 ^ i g z d z = - 21n | cos z |+c = - 21n |cos Vz | +c 
J x c tg(.v2 + 1 )dx
Desarrollo
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28 Eduardo Espinoza Ramos
1125
1126
1127
1128
o 2 i duSea u = x +1 => xdx = —
J xetg(x2 + l)dx = Jctg (x 2 + l)x dx = Jetgw. du
2
= ^-ln | sena | +c = ^ ln | sen(x2 + 1) | +e
í
dx
sen x. eos x
Desarrollo
f dx f secx , f s e c “ x , . .
I -------------- = dx - I dx = ln | tg x | +c
J sen x.cos x J senx J tgx
jcos(—).sen(—),
J a a
-)dx
Desarrollo
f cos(—). sen(—)dx = — sen2 (— 
J a a 2 a
\ sen3 (6x).cos(6x)dx
Desarrollo
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
f sen3(6x).cos(6x)dx = f u 3 — = — + c = 
J J 6 24
J
sen4(6x)
+ e
24
cos(ax) , 
dx
sen5(ax)
Desarrollo
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Integral Indefinida 29
1129
1130
1131
f cos(ax) f (sen(ax))~5.cos(ax)dx: = fu 5 — = — j— i-c = --------- -^----- + c
J sen (ax) J J a u a a sen (ax)
donde u = sen (ax) => eos(ax)dx = —
a
I sen(3x)dx3 + cos(3x)
Desarrollo
dzSea u = 3 + cos(3x ) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3 x)dx = ——
f sen(3x)dx 1 f dz 1, , , 1, , _ .. . ,I -------------- = — I — = — ln z +c = — ln 3 + cos(3x) +c
J 3 + cos(3x) 3 J z 3 3
f sen x. eos x
I ; ; i x* x/cns :V¡
Desarrollo
/eos ' x - s e n 2 x
sen(2x) 2 i .Se conoce que: senx.cosx = — -— y eos x -s e n x = cos(2x)
j- sen ■. cos., 1 f sen(2«) _ \_ f (C0S(M|4 sen(2l)*
» Veos2x.sen2 x - « -Jcos(2x) 2 J
J cos(2x)
 + c
1 + 3 eos2 x sen( 2x )<r/x
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx
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30 Eduardo Espinoza Ramos
1132
1133
1134
du = - 3 sen (2x)dx ; — — = sen(2j:)dx 
3
í (l + 3cos2 x )2.sen(2x)dr = —— [ u 2du = ——u 2 + c = ~ —J (l + 3cos2 x )3 +( 
J 3 J 9 9
í tg3(^).sec2(^)í/x
Desarrollo
Sea u = tg(—) => 3du = sec2(—)dx 
3 3
í tg3(—).sec2(—)dx = f u*3du = —u4 + c ~ — tg4(—) + c 
J 3 3 J 4 4 3
dxtgx.
eos2 x
Desarrollo
í - ^ </x = f (tg a )2. sec2 x dx = — tg 2 (x) + c 
J eos x J 3
1
2
c tg 3(x)
sen2(x)
dx
Desarrollo
3 5f £_tg_ dx = f c tg 3(x).csc2(x)dx = - —c tg 3(x) + c
J sen“(x) J 5
J cos“(3x)
1135
Desarrollo
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Integral Indefinida 31
1136
1137
1138
1139
f ( Sec’ (3 ,H >g(3 rt*c< 3 ,))* = « 2 Ü + 2S<3í >+ c 
J cos~(3x) J 3 3
J
‘(3jc)
(cos(oa) + sen(ax))2 ,-------------------------- dx
sen(ax)
Desarrollo
f(cos(ajc) + sen(nA)) f l + 2sen(r/A).cos(oA)^ 
J sen(fljc) J sen(ax)
J(csc(a.v) + 2 cos(ar))<ü- = — (ln | csc(aa) - c tg(ox) | +2 sen(ar) + c
t é
esc3(3a) ,dx
ac tg(3x)
Desarrollo
Sea u = b -a c tg (3 x ) => du = 3acsc2(3x)</x => — = csc2(3j)<¿y
3 a
j* esc (3a) dx = — f — = — ln \u |+ c = ^ - ln |¿?-actg(3A)| 
J b - a c tg(3A) 3a J u 3a 3a
1
+c
(2 senh(5x)
- 3cosh(5.r))í£r
Desarrollo
2 3(2sen(5x) -3cosh(5A»</A = —cosh(5x) — senh(5x) + c
senh2 xdx
Desarrollo
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32 Eduardo Espinoza Ramos
1140
1141
1142
1143
. , , , , 1 cosh(2x) , x senh(2x)senh' xdx= (— + ------ — -)dx = — + — - + c
2 2 2 4
J"senh2 x d x - J*(
I senh(x)
Desarrollo
= ln | tgh(—) | +o
senh(x) 2
dx
cosh(x)
Desarrollo
f dx f 2ex , A ex J ,
I ----------- = I ------ -—dx = 2 I ----- — dx = 2 arctg(<2 ) + c
Jcosh(x) J l + e2x J 1 + e
1senhíx).cosh(x)
Desarrollo
f í/x fsec/i(x)_, Csech2( x ) . , . , , . .I --------------------- = — dx = --------— ¿x = ln | tgh(x) | + c
J senh(x).cosh(x) J senh(x) J tgh(x)
J*tgh(x)dx
Desarrollo
f tgh(x)í/x = í —— —- dx = ln | cosh(x) | +c 
J J cosh(x)
1144 I c tgh(x)dx
Desarrollo
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Integral Indefinida 33
1145
1146
1147
1148
í r tgh(x)f/.v -- f °OS^ A- dx = ln | senh(x) | +c 
J J senh(.v)
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
j x f r - x 1 dx
Desarrollo
f x\l 5 - a'“ dx = J*(5-A-2)5jrí¿r = - i f ( 5 - x '2)5( -2x)dx = - ^ y j (5 - x 2
J
2)6 +c
x3 - l
x4 - 4a +1
dx
Desarrollo
Sea u = x 4 - 4 x + l => - = (x3 - l)dx
4
í — í — í— dx = — f — = — ln | u | +c = — ln | x4 -4.v + l | +c 
J x - 4 x + l 4J u 4 4
1
x dx 
jr8 +5
Desarrollo
f x2dx 1 , a:4
í
tg (-p ) + c
( / ) 2 +(V5)2 4\¡5 y¡5
xe x dx
Desarrollo
o 2 au jSea u = - x = > - x d x
2
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34 Eduardo Espinoza Ramos
1149
1150
1151
j x e x dx = j e x xdx =
í
1 „ 1
d u = — e +c = — e ' +c 
2 2
3 - V 2 + 3.V2
2 + 3x
Desarrollo
‘3 -s¡2 + 3x2 
2 + 3x2
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
d, r *
J 2 + 3* J 2 + 3 * 2 J ^2 + 3x 2
-f
J 2 + 3x J 2 + 3x2 J J 2 + 3 x 2
= a r c t g ^ ^ | ^ “ l n I ^ + ^ 2 + 3 x 2 I + c
^3 _ _
dx
J JC + 1
Desarrollo
f —— -<¿x = P ( j:2 - * +1----— )<¿r = —— — + * - 21n | jc + 1 | +c
J jc + l J x + 1 3 2
r dx
Desarrollo
Sea z 2 =e* => 2 zdz — e xdx => dx = — dz = —^ -dz => dx = —dz
ex z z
C dx Cl 2dz ^C dz 2 2
i ^ ~ ¡ z z ~ 2¡ z2 ~ ~ z +C = ~ ^ +C
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Integral Indefinida 35
1152
1153
1154
1155
1
1-sen jc ,----------- dx
X + eos X
Desarrollo
Sea z = x + eos x => dz = (1 - sen x)dx
f 1 - sen x f dz , , , , , ,I dx= I — = ln | z |+ e = ln |x + co sx |+ c
J x + cosjc J z
-c tg (3x) dxf tg (3x )-c 
J sen(3x)
Desarrollo
f tg(3x) - c tg(3x) dx = f (sec(3jc) _ c tg(3jc) csc(3 x))dx 
J sen(3x) J
f dx
J xln2 x
= —[ln | sec( 3x) + tg(3x) | h í ] + c
3 sen(3x)
Desarrollo
1f * , f ( l „ , = +
J x ln 'x J x J u ln(.v)
- + c
donde u = ln x => du = —
x
f sec2 xdx 
J y j l g 2 X — 2
Desarrollo
Sea u = tg x du = sec2 xdx
f sec2 xdx f du , , r í T, . , I 5 T, r= = ln |« + V« — 2 | +c = ln | tgx + ^/tg' x —2
J \jtg2 x - 2 « \ ju2 - 2
+c
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36 Eduardo Espinoza Ramos
1156
1157
1158
1159
J (2 h— ~— ) *2x-+ \ 2a-2+ 1
Desarrollo
f x dx _ T dx f xdx
J “ + 2 a 2 + 1 2 a 2 + 1 ~~ J 2 a 2 + 1 + J ( 2 a 2 + 1)2
= s¡2 arctg(A>/2 ) -------- —— + c
4(2a* +1)
i '
c eos a dx
Desarrollo
Sea u = a seo* => du = a sen x eos a. ln a dx => = asenx eos xdx
ln a
f sen* . f d u 1 a senjl a cosxdx= I = ------u + c = -----
J J lna lna lna
Í—
+ c
dx
Desarrollo
o 3 1 du 1Sea u= a +1 => — = x~dx 
3
Í ( a 2 + 1)”2 x 1 dx = . Í E S
J ! [ J 7 l 1 1 3 2 2
f aJ a
Desarrollo
2
+ C
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Integral Indefinida 37
1 1 6 0
1161
1162
1163
f x dx _ 1 f 2^
J V i-A -4 2 J V l - U 2 )
x í /x 1 f 2 x í /x 1 2 \■ = — arcsen(x ) + c
2 2
Jtg2(ax)dx
Desarrollo
tg '(ax)dx = I (sec2(ax) - 1 )dx = - x + cJ* tg 2(ax )dx= \ 
jse„= < í )dx
Desarrollo
« , . . . 2 l-c o s(2 x )Por la identidad sen' x = -------------- se tiene:
f ’ A j f l - c o s x x I sen (—) d x - I ----------- d x - —-
J 2 J 2 2
senx 
 + c
I
sec2 xdx
. 2tg x
sec~ xdx
^ 4 - tg2 x
dx
Desarrollo
tg
= arcsen( ) + c
2
cos(—)
(I
Desarrollo
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38 Eduardo Espinoza Ramos
1164
1165
1166
1167
I %/l + ln .v ----------- dx
Desarrollo
Sea u = 1 + ln x => du= —
x
1 , 4 „ 4
Jx /l + ln.r — = j u 3du ~ ^ u3 + c = -^(l + lnjc)3 + c
f .
J V-V - 1
Desarrollo
Sea z = \ l x - l => dz = f* => 2dz = ^
2 y jx - l \ /x~ 1
J t g í V ^ T ) . - ^ = 2j*tgz¿j = -21n(cosz) + c = —2 ln | cosVx-T | +c
J xdx sen(x2)
f xdx _ 1
J sen(x2) 2
i
Desarrollo
X 1
ln | tg(— ) | +c = — ln(csc(.v2) - c tg( x~)) + c
2 2
e ^ - '+ jc ln d + ^ H l ---------------- dx
l + x ¿
Desarrollo
r ^ arctg JT + x ]n (l + JC2 ) + 1 f e arctg.v A¡n(1 + X2 } ,
I ---------------- ó-----------dx = (------ - + -------- -— + ------ -)dx
J 1 +X J l+x 1 + x \+x
arcot ln 2(l + .X2)- e g■ + + arctgx + c
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Integral Indefinida 39
1168
1169
1170
1171
Js e n x - c o S A ,---------------- dxsen x + eos x
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx -du = (sen x - eos x)dx
f sen x - eos x f du , . ,
 dx= I ------- = - In « + c = - l n ¡ s e n A + co s A | + c
J sen x + eos x J u
i
(1 - s e n (^ ) )2 
 £ — dx
Desarrollo
( l-se n (^ L ))2
 i —— = ( 2 + sen {-^=))dx
sen(-^L) sen(-^L)
V2 V2
í
2x dx 
x2 - 2
Ít W
r ( i+x )2 
J A(l + A2
= y¡2 ln J ¡ ~2x - cos(^j=) + c
Desarrollo
(1 + — — )dx = x + - 4 = l n ¡ X ^ | + c
A2 - 2 V 2 A + V 2
-dx 
a (1 + A ¿ )
Desarrollo
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40 Eduardo Espinoza Ramos
1172
1173
1174
1175
J escn * sen 2.x dx
Desarrollo
Sea í< = sen2 x du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx 
j e86" 'A sen 2xdx = j e udu = eu + c = ese": * + c 
f 5 - 3 a ,
Desarrollo
f 5 - 3 a f dx a dx 5 ,V 3 a ^ l~ T TI — dx = 5 I —f = - 3 I — = —=arcsen(----- ) + V4 - 3 a + c
J V 4 - 3 a 2 J \¡ 4 -3 x2 J V 4 - 3 a 2 ^ 3 2
f dx
J e * + l
Desarrollo
f ^ - f ^ <¿* = - ln |l + e A |+ c = -[ln (l + e jr) - ln e ' t ] + c
J e* + 1 J 1 + e *
J
^ - t l n l l + e * | -A] + c = A - l n | l + e ' v |+ c
dx
(a+b) + ( a - b ) x"
Desarrollo
f * f
J {a + b) + (a -b )x" a - b j
dx 1 1 t
= arctg ( . j + c
+ ^ . 2 a - b Ia + b ¡a+b
a b Va — b v a-¿>
1 , a - b x= ■ . arctg(A - ) + c
Vfl2 - ¿ 2 + ¿
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Integral Indefinida 41
1176
1177
1178
í yle2x- 2
Desarrollo
f e 'dx f exdx , , x r j x ^ i , - = = = — ln [e +V e - 2 |+ c
J J»2-' - ? J J(ex)2 - 2
í
Ve2" - 2 J \¡(e'x)2 —2 
dx
sen(flA).cos(flx)
Desarrollo
í * ______= f Sec(y U = [ sec2( ^ f , = l i n |tg(fl,v)|+c
J sen(«.v).cos(í7x) J sen(av) J tg(rt.v) <v
i 2?nsen( — + i//() K*
Desarrollo
2^/ , 2n . , „ du
Sea « = n//n => du = — dt => dt = I —
T 7" 2?r
f 2?r/ f du T [J sen( + 1//() )dt = I sen o T — = — I sen «
„ COSM r ,2717
= - T + c = cos(----- + wn) + c
2?r 2n T
1179 f -----
J x (4 -ln x)
Desarrollo
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42 Eduardo Espinoza Ramos
1180
1181
1182
1183
f — * . f * I m i i t í t
J ;c(4-ln x) J 4 - m“ 4 2 - u
1 . 2 + ln.v.+c = — ln --------- +c
4 2 - ln x
-arccos(-)
Desarrollo
dx
o , 2 dxSea u = arccos(—) => d u = — .. => d u = -
2 11 - ( - ) 2 V 4 -.v2
-arccos(—) - ^2 j
I — ■; 2 dx = - I udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c
J 4 - x 2 J ^ 2 2
f e - '8* sec2 xdx
Desarrollo
Sea u = - tg x => du = - sec2
J e~lg' .sec2 xdx - -J*eudu = -e" + c = -e ~ lgA + c
sen x. eos x , —7=-T-:-- -=rdx
V2 - s e n 4 xJ
x/2 - s e n 4 x ^
f ^ ____ '1 2 2J sen
x.cos x
Desarrollo
sen x e o s x , 1 sen2 x ,
~ dx — arcsen(— = —) + c
Desarrollo
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Integral Indefinida 43
1184
1185
1186
- i sen 2 asen a. eos x = --------
f ---- ———— = 4 í ---^ ------= 4 f esc2 (2x)dx = -2c tg(2.v)
J sen x. eos x J sen " (2 a ) J
I
+ c
arcsen x + x , dx
' J l - x 2
Desarrollo
f (arcsen x + _ * )dx = ( arcsenA )2 _ ^ 7 + f
J y í ^ x 2 y f í ^ x 2 2
f secA.tgA ,
I / 2 ,J vsec a +1
Desarrollo
f secA .tgA , f sec a . tg a , , , I i 7 ,I - rtr = I = dx = ln | sec a + Vsec" x + 1 1 +c
J V SCC“ A + 1 J y(seCA’)2 +1
í
cos(2.v) dx
4 + eos2 (2 a)
Desarrollo
cos(2a)í/a 1 . . V5+sen(2A).f cos(2x)dx f c o s (2 a ) ^ f cqs(2a)< /a _ 1 y5+ sen(2A ), ^ 
J 4 + c o s2(2 a ) J 4 + 1 —sen2(2 a) J 5 - s c n 2(2A-) 4^5 >/5-scn(2A)
1187 f—*
J 1 + cos
Desarrollo
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44 Eduardo Espinoza Ramos
1188
1189
1190
I ln(x + i j x 2 + 1) , 5 dx1 + X
Desarrollo
Sea u — ln(x+ Vx2 +1) => du = dx
sl\ + x 2
+ ' W J w + J T T w * = p , , " . 
- — I ni a + \ : . i ; + 7 > i ^ +c
í X2 cosh(x3 + 3)t/x
Desarrollo
O 3 2 iSea m = jc + 3 => — = x dx
f 2 u/ 3 o x i f i / .du senh(w) senh(*3 +3)I a coshU +3)dx = lcosh(w)— = + c = ---------------J J 3 3 3 c
í
-jtgh(.t)
-dx
cosh2(x)
Desarrollo
Sea u = tgh x => du = sech2 (x)dx
I —1— -----d x - I 3tghjI.sec/jx </x = I 3 " du = - —
J cosh (x) J J ln3
U> 
| N
i
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Integral Indefinida 45
4.3. M ETODO DE SUSTITUCION.-
PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA 
INTEGRACION INDEFINIDA.
Se hace poniendo x = v|/(t), donde t es una variable y \\i es una función 
continua diferenciable,
I
La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) 
tome una forma más adecuada para la integración.
SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
1 Si la integral contiene el radical \¡a2 - x 2
dx = a eos 0 d 9 => 9 = arcsen(—)
a
se toma: sen 9 =. ; x = a sen 1
a
2 Si la integral contiene el radical yjx2 - a 2 se toma: sccd = — , x= a sec 0
dx = a sec 0 . tg 0 d0 ; 9 —aresec(—)
a
í x2 - a2
a
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46 Eduardo Espinoza Ramos
1191
3 Si la integral contiene el radical sja2 + x se toma: tgd= —
x = a tg 6 ; dx = a s e c 6 dd ; 9 = arctg(—)
a
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas. 
1, f dx 
a) — i------------ , x
J x j ? ~ 2
Desarrollo
1 i dt , 1x = - => d x - — - ademas t - — 
i r x
dt
\ dx = [ — r = f - Z Í _
J xs¡x2 - 2 J í I t 2 J \ J l - 2 t 2 sÍ2
f 7
= —-¡= arccos( \¡2t) + <
b)
J ex +1
ln t
1 y¡2 r—= —7= arccos(— ) + c , x>y/2 
s i l X
Desarrollo
x = - ln t => dx = , t - e x
t
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Integral Indefinida 47
di
f - - - - = f — = - f = - l n | l + / | + c = - l n | l + e * | +c
J e ' + l J< r ln,+1 J l + í
l -
c) I _r(5.v2 - 3i*dx , 5.v2 - 3 = 1
Desarrollo
dt
5x - 3 = t => x¿/x = — 
10
f x(5x2 - 3)7 dx = f / 7 - = -J J 10 80
(5x2 - 3 )8
+ C ----------------hC
<1, f - í * . . , =
J Vx+i
80
Desarrollo
t = y ¡x + 1 => dt = - f.— = ; t = y / x + l => x = t~ — 1 
2Vx+l
j* xdx_ _ 2 f (f2 _ i = 2-— 2/+ c = 2 ¿ - ^ — 2 V 7 + l+ r 
J VJ+T J 3 3
J:
. cosxdx 
e) | ■ = , t = sen x
Vi + sen2 x
Desarrollo
t = sen x dt = eos x dx
í cos-v^ _ _ f ^ = ln |f + Vl+72"| +c = ln |senx + Vi + sen2 x \ +c
J v i + sen2 x •* v i + /”
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48 Eduardo Espinoza Ramos
1192
1193
1194
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas 
adecuadas.
Jx(2x + 5)w dx
Desarrollo
, T , c clt j t - 5t = 2x + 5 => — = dx , x = -----
2 2
fx(2x + 5)IOí£v = f ( ," _ 5 r 10)dr t n ] + cJ J 2 2 4 j 4 12 11
' r(2í + 5)12 — (2T+5)n ] + C
í
4 12 11
1 -h A‘
-dx
1 + \[x
Desarrollo
Sea t = sfx =* t 2 = x => dx = 2t dt
f ± t ± , dx , ( ' J j L . 2ld„ 2 f t t L d,
J 1 + \ X J 1 +1 J /+1
r 2 t3 t2
2 ( r - r + 2 ------- )dt = 2[ + 2/ - 2 ln I r + 11] + cJ r + 1 3 2 1
-■ 2[— — + 2-Jx -21n 11 + \[x |] + c
J:
dx
■ V 2 a* +1
Desarrollo
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Integral Indefinida 49
1195
1196
1 1
Sea t = V2-V+1 =» t 2 = 2x + l ; x = ------ => dx = tdt
f - r — = f ^ - = 2 Í - ^ - = ln | — | + c = l n | ^ Ü ± l 
J W 2a + 1 J / — 1 J r - 1 í -1 >/2x + l - l
f dx
J
2
Ve ' -1
Desarrollo
Sea / = Ve' - 1 => í " = e ' - l => e ' = / 2 +l 
l td t
e 'd x = 2tdt => r/x =
r + 1
l td t
f = l*f + - = 2 f ^ = 2 arctgí + c = 2 arctg(Vev - 1 ) + c
J J t J r + 1
f ln(2x) dx
J ln(4x) x
Desarrollo
ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2
f ln(2x) dx _ f ln x + ln 2 ^ dx _ ln2 ^dx
J ln(4x) x J lnx + 21n 2 x J lnx + 21n 2 x
= ln x - fin 2) ln |ln x + 2 ln 2 | + c
1197 f i H p a l * 
J vi
Desarrollo
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50 Eduardo Espinoza Ramos
1198
1199
1200
„ , dxSea t = arcsen x => dt = -777
f ( a r c s e n , ) ^ f t2dt = —
J 7 17 J 3
f e2-Vj
1 7 7
(arcsen*)3 
+ c ---------------- t-r
e ' +)
Desarrollo
Sea t 2 = e x + 1 e ' = / 2 - l => e xdx = 2tdt
f e~X(ÍX. = \^— 4 .2 td t = 2(— - f ) + c = - n r - 3 ) + c = - V 7 + í ( e ' , - 2 ) + c 
J ' 3 3 3
í
sen3 xdx 
Veos.v
Desarrollo
Sea t “ = eos a => 2t dt = - sen x dx ; como f " = eos x
4 2 t 2 ^ 1 . 4t = eos A' = l - sen a* ; sen “ x = l - /
r*> 2
)dt = -2 (r ) + <■ = —r(í4 - 5 ) + c
= — \fcosx(cos2 x - 5 ) + c 
5
i
í/a
x\ll + x 2
Desarrollo
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Integral Indefinida 51
Sea t = — => x = - => dx = --^- 
x t t2
dt
[ dx f V .... f dt
j x7 i 7 7 J r r ¿ 7 7 7 \¡t2 + 1 1-= - ln ? + v r +1 +c
, 1 V1 + .v" . . 1 4- V1 + a . . x= - ln | —+ 1 +c = - ln | —— ----- |+c = ln —7= = i+c
x 1 + Vl + .Y2
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
1201 r x2dxJ 777
Desarrollo
cose = Vi -A -2 ; sen 0 = x => dx = eos 9 d 0
f SdL = r s é n e c a s =
J V l_ x2 J cose J J 2
0 sen0 cos0 aresenx \ j l - x 2
-------------------------------- h e -= ---------------------- X ------------------ b C
2 2 2 2
1202 f x'dx¡777
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52 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
y¡2cos6 - s l l - . x 2 ; x = \Í2send => dx = y¡2cosd d6
yj2 - x2 J V2cos0
f x2dx _ f 2V2 sen3 d . J l co s d dd
2V3J sen' = 2 v '2 f ( l - cos2 0 )sen0 d$ = 2 \ 2 ( - c o s 0 --------- ) + c
/— \ ¡ 2 - x 2 2 - x 2 \ ¡ 2 - x 2 x1 r J 4 r -= 2V2 (--------7=— i---------.------= —) + c = — —\ 2 — x v 2 - . r
n/2 2 ' 3y¡2
1203 í
[~2 IVJf —o
rf.V
Desarrollo
\ /x 2 - a 2
+ c
a. tg0 = V-v2 - a 2 ; x = a s e c 0 => dx = a sec 0 . tg 0 d0
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Integral Indefinida 53
f Ü S * . f £ S Í 2 2 E £ j 8 M = J , g = e ¿ e
J í J asec0 J
= fl í (sec2 0 - 1 )d9 - a tg d - a 6 +c = \ lx2 - a 2 - a.are sec( —) + i
J w «
= v ? - a 2 - «.arccos(—) + c
1204
Desarrollo
c t g # = , *-t-¡= ; cos0 = — => 6 = árceos—
X X
x = sec 0 => dx = sec 0 . tg 6 d9
f — -- fco s0 .ctg0 .sec0.1¿SJ0 - [c/0 - 0 + t - aiccos(—) + c 
J x y f x 2 - \ J J
1205 J
Desarrollo
tg 0 = x => c¿v = sec" 0 dQ. ; se í0 = \ x ~ + 1
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54 Eduardo Espinoza Ramos
J a - J tgd J tg9
6)d9
J (se c 0 .r tg 0 + sec0 .tg0 )J0 - J (cscd + sec0.ig0)dG
= ln |csc0 - c t g 0 | + sec0 + c = ln | J— | + sec# +c
sen 9
. | sen9 | H~ ~ . 1 + va" + 1 ,= - ln | ----------- 1 + sec# + c = va" +1 - ln | -------------- 1 +c
1 + COS0 A
1206 j* dxJ A2J4-r2x 1\¡4-x~
Desarrollo
= 2 sen 0 => dx = 2 c o s9 d 0 ; ^ 4 - x 2 = 2 eos9
1207
f — r - = - f — — m M ,
J a2V 4 - a 2 J 4sen"0 -2cos0
4 j 
í y j \ - x 2dx
d9 =— I esc" 9 d9 =■ ctg0 V4-A2— 2— he = ------------+e
4 4 a
Desarrollo
x = sen 0 => dx = co s0 d0 ; cos0 = V1- a2
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Integral Indefinida 55
1208
1209
J Vi - a " dx = J cos0 .co.s0 dd = JCOS0.COS0 d d = | -1 + c?s ~ - ¿g
9 sen 0 .eos© aresenx x-Jl — x2= — + + e = ------------+ + c
2 2 2 2
Calcular la integra! í
dx
■Jx-Jl-x
Desarrollo
valiéndose de la sustitución x = sen ‘ /
Sea x = sen 2 t => dx = 2 sen t. eos t dt,
como x = sen2 / =✓ s e n /= 7 1 => / = arcsenV*
. eos tdtf dx _ f 2 sen/.cos/d/ _ ^I*sen/.eos/ 
J y[x\¡\ — .v J sen/Vi — sen2 / » sen/.eos
J V 7 T ?
= 2 / + c = 2 arcsen V a + c
a' dx
Desarrollo
Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
Va2 + a 2 = Va2 + 0 2 sen2 ht = a c o s h / ; dx = a cosh t. dt
f n 7 , 2 f . 2 , -> f 1 + cosh 2 / , a 2 / senh 2 /
I \¡a +x dx = a l cosh" tdt = I -^----- & ~ ~ ^ l + — ^— ) + r
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56 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 1 0
= — (í + senhf.coshí) + c = — \n(x+>Ja2 + x 2 ) + —sja2 + x 2 +o 
2 2 2
, , , X , v « “ + A*“donde, senh t = —, cosh t = ------------
¿7 a
e ' = coshí + senhí- x+yfa'- + x 2
f X 2 d x
J /~2 "T ’V - í - a
Hallar | = ; haciendo x = a cosh t
Desarrollo
x = a cosh t => dx = a senh t. dt
f xrdx f a2 cosh2 1. senh t d t , T ,r = I - a - I cosh"rdt
J / r - a2 J senh 1 J
1 + cosh2? , a2 . senh2r. a2dt = — [í + --------- ] + c = — [í + senhr.cosh/J + c
2 2 2 2
como x = a cosh t =* cosh t = — , además
, f x ■> Va2 + x2senhf= l + (—)~ = -----------
V a a
, , , x + \la2 + x 2 , . x + 4 x 2 +a2e = senh/ + cosh; = ---------------- => r = ln |-
a a
f x 2dx a1 r, i x + xlx2 +a2 . xVa2 + a 2 ,, , ^ = — [ln ----------------- + ------ ------ ] + c
J \lx —a 2 « « 2
= — ln | a + \Jx + a 2 | +~ x¡a " + x 2 + k
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Integral Indefinida 57
4.4. INTEGRACION POR PARTES.-
Fórmula para la integración por partes: si u = \|/(x) y v = <p(x); son funciones 
diferenciables, tendremos que:
t »
u dv = uv — vdu
• •
Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por 
partes.
1211 I ln x dxJ ln .
Haciendo
Desarrollo
u = ln .v => du - — 
x
dv = dx => v = x
x ln .v -jc + c
1212
J ln.v dx = x \ n x - j x — - 
J arctg xdx
Desarrollo
Haciendo
u = arctgx => d u —-
dx
(1 + J T )
dv = dx => v = x
f j r xd* 1I arctg x dx = x. arctg x - I — = x arctg x —J - Jl+jc2 2ln 11 + x~ I +c
I1213 aresen xdx
D esarrollo
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58 Eduardo Espinoza Ramos
1214
1216
1217
Haciendo
u = arcsen x => du = dx
dv = dx => v = x
arcsen xdx = x .arcsen a - í
xdx
V T 7
= x arcsen x + s j \ - x 2 +c
xsen xdx
Desarrollo
Haciendo
u —x =s du = dx
dv = cos3xdx => v = sen 3 a
í a eos 3xdx -
a sen 3x f sen 3 a , a sen 3a eos 3a
- - Í
-dx - + C
I; - dx
Desarrollo
Haciendo
u = x => du = dx
dv = dx v = ■
f xdx _ a f
j
} , 2 - ' í ,
dx x 1 A + l
- + c
Desarrollo
Haciendo
u = x =$ du = dx
dv = 2 x dx => v = — -
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Integral Indefinida 59
1218
1219
f , T x f 2~x 2~x 2~xI x.2 dx = - x . I dx = —x.---------- r-J ln 2 J ln2 ln2 ln2 :
j x 2e3*dx
.rln2 + l■ + c = — + c
2X ln 2
Desarrollo
Haciendo
ti = x~ => du — 2xdx
3x
dv = e3 '¿y => v = —
\ x 2eixdx = ^ x — ¡ xe ^ d x
Haciendo
u - x => du - dx
dv - eixdx => v = - —
3-r
3
3a í* ,3af 2 3a i x 3a 2 A fe?x eixdx = — eix — [-------- ----J 3 3 3 J
„3x, x 3x 2x ix 2edx] = - e sx eix + ------ + c
3 3 9 27
e^x
- — ( 9 x 2 — 6 jy + 2 ) + c 
27
- 2.Y T 5 )<? x¿/x
Desarrollo
Haciendo
Íh = x 2 - 2 x + 5 =» du = 2{x- \ )dx
\dv = e 1 dx
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60 Eduardo Espinoza Ramos
1220
Haciendo
J*
u = * - 1 du = dx 
dv = e~xdx v - - é ~ x
- x , 2(x¿ - 2 x + 5)e~xdx = -e~x(x¿ - 2* + 5) + 2( jc - l)(-e~x ) - 2 e x + c
3dxJ A *
Haciendo
= - e X( x 2 +5) + c
Desarrollo
u = x3 => d u - 3x 2dx
X X
dv = e 3 tic => v = -3e 3
i A ■ * - - 3 A - ! - J ( 3 ,> X - 3 / ; v e - - 3 A - I + 9 f A - f 4 ,J'
Haciendo
u — x => du = 2 xdx
X X
d v - e 3 tic =} v = -3c 3
f - - — - I f — — í* —
I x3e 3dx = — 3x3e 3 +9[-3x2e 3 + 6 |jce 3d x] = - 3 x 2e 3(;c + 3) + 54 I xe 3dx
Haciendo
í u = x => d u - d x
X X
\dv = e 3 dx => v = -3c 3
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Integral Indefinida 61
1221
1222
í * sen x eos xdx
Desarrollo
Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x
1
1 r
x sen x. eos x d x - — I x sen 2x dx2 J
Haciendo
u = x => du = dx 
dv - sen ¿xdx => v =
eos 2x
r 1 r i x sen 2jc
I xsenx.cosx¿/x = —J xsen(2x)dx = — ( - — cos2x + — -— ) + c
2 2
x . sen2x
= — c o s ( 2 x ) h ----------------v e
4 8
í (.x2 + 5x + 6)cos2xdx
Desarrollo
Haciendo
u = x 2 + 5x + 6 => du=(2x+5)dx
_ , sen 2x
dv = cos2xdx => v = — -—
J(x2 + 5x + 6) eos 2 xdx = x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx2 2 .
Haciendo
u = 2x + 5 => du = 2dx 
dv = sen2xdx => v = —
eos 2x
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62 Eduardo Espinoza Ramos
1223
1224
J
i 2 , e , - i j x + 5 a + 6 1 2 a + 5 „ s e n 2 A x(a + 5a + 6) eos 2a<ía = sen 2 a — (-----------eos 2 a + ) + c
2 2 2 2
Ja ln xdx
2 a + 1 0 a + 1 1 „ 2 a + 5
--------------sen 2a H---------------cos2a + c
4 4
Desarrollo
Haciendo
n = ln a => du= —
dv = x'dx => v> = -
f J i • X5 f a3 </a a 3 a 3> ln u /i ln v — I m — Io a-----
J 3 J 3 A 3 9
f i n 1
+ c
\dx
I luciendo
Desarrollo
dxw = ln‘ A => du = 2 ln a.—
A
dv = dx = > v = a
Jln* x.dx = Aln2 a - J * A.21n a .— = Aln2 ln a í /a
Haciendo
n = ln a => du = —
x
dv - dx => v = a
J l n 2 x.dx = Aln2 A - 2Aln a + 2 a + c
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Integral Indefinida 63
1225
1226
1227
f in .
J x3 dx
Haciendo
u = ln a => du = — 
x
Desarrollo
dx
dv = dx
flnjt . Injt f 1
J ? 1 7 T ?
Haciendo
u - ln x => í/m = 
dx
2x¿
dx _ ln x 1 f dx _ ln x 1
Desarrollo
dx
dv -
f x
x
v = 2 >/x
J ^ ¿ í ü = 2 > /x ln x - j2 > /x — = 2 V x ln x -2 j> /x — = 2> /xlnx-4V x
í
+ c
xarctgxrfx
Haciendo
« = arctg x => Ju =
Desarrollo
dx
1 + x*
í/v — xdx => v = — 
2
f , *2 1 f x:2 , jc2 1 f „ 1 wI xarctg xdx = — arctg x— I rdx = — arctg x- — 1(1 j )dx
J 2 2 j l + x2 2 ° 2 J 1- x 2
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64 Eduardo Espinoza Ramos
X 1 JC X + 1 JC= — arctg jc+ —arctg jc—— + c = * —- - arctg .v - — + c
11228 x arcsen xdx
Desarrollo
Haciendo
u = arcsen x => du = 
x 2dv = xdx => v = — 
2
dx
1x arcsen xdx = — arcsen x 2 _ I f *2dx 2 J Vi - x2
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
i - ^ = d x = t 2 9 d e m n
J Vi - x 2 « Vi — sen2 9 J J
-e o s 29
V i-se n 2 9
dG
9 sen 20 Q sen 9 eos 6 aresenx x V l-x 
2 4 ~ 2 2 " 2
Luego: I xaresenxdx = — aresen x -—(J 2 2 2
1 , aresenx x V1 — x2 ) + c
= — arcsen x -
2 4 4
arcsen x x r 2+ -V 1 -X +c
1229 J ln(x +Vi + X )dx
Desarrollo
Haciendo
u = ln(x + Vl + x¿ =» du =
dv= dx => v = x
dx
V T V 7
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Integral Indefinida 65
1230
fln(jc + \/l + x2 )dx = xln(x + 'J\ + x2 ) - f y-^*— =x\m(x+yjl+x2)—j \
J Jy í l + 7
i xdx en2 x
Desarrollo
f— = íJ sen2 x J xcos ec2xdx
Haciendo
u — x => du = dx
d v - c o s e c 2xdx => v = -c tg x
1231
í- X = -c tg x + jctg xdx - xctg x + ln | sen x \ +c 
J sen x J
J
xcos xdx
Desarrollo
sen2 x
f XCO S* ^ _ f c o s e c x c t g x
J sen" x J
Haciendo
u — x => du = dx
dv -cosecx .c tgxdx => v = - c o s ecx
f X COS X _ _ c o s e c x _ \ ^ c o s e c x ¿ x
J sen
x J
X X
= -x co s ecx+ ln |c o se c x -c tg x |+ c = --------- + ln | tg— |
senx 2
J*1232 | e* sen xdx
Desarrollo
+ X 2 +c
+c
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66 Eduardo Espinazo Ramos
1233
Haciendo
u = sen x du = eos xdx
dv = exdx => v = ex
í ex sen xdx - ex sen x — I ex eos xdx¡ ‘
Haciendo
u = eos x => du = - sen xdx 
d v - e xdx => v - e x
IeAsenxí/x = eAs e n x -(e Ac o s x - I ex(— senx)dx)
= eAs e n x -e Ac o s x - \ ex senxdx = — (senx-cosx ) + c
J 3a eos xdx
Desarrollo
Haciendo
u - c o s a : => du = - s e n x d x
3Xdv = 3xdx => v = -
I3A eos x dx =
3r eos x 
ln3 i'
ln3
3A . 3A eos x 1 . x— s e n x d x = ----------+ ------ |3 senxtíx
ln 3 ln 3 ln 3.
Haciendo
u = sen x =$ du = eos xdx 
3Xd v = 3 'dx => v — -
ln3
í
„ r 3X eos x 3a sen x3 eos xdx = ----------- 1-----------
ln3 ln3 4 ¡ S 3X eos x dx
J3' c“ 3a (sen x + ln 3 eos x) eos x dx = h cln2 3 + 1
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Integral Indefinida 67
J1234 I eax sen(bx)dx
Desarrollo
Haciendo
u = scn(¿>x) => du-bcos(bx)dx 
eMdv = e‘ dx => v = -
a
f - , , w . f . , em senbx b fI e sen(bx)dx = — senbx - I b— coshxdx = ------------------ i <
J a J a a a j
Haciendo
u = eos bx => du = - b sen bxdx
e'“dv = ewcdx => v
a
I
<w i. j «‘“ senftx b e™ eos bx b ¡* axe sen bxdx = — -—— ------(-------------- ¡-— le sen bx dx)
a a a a J
eax senbx b „ b2 . m— e eos bx— — I e sen bxdx 
a a
a J
(1 + — ) I eax sen bx dx =
ae!lx sen bx - bear eos bx
i ax . . ax.ascnbx-bcosbx.e sen bxdx = e ( ) + c
J a +b
1235 J sen(ln x)dx
Desarrollo
,ax eos bx dx
Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz
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68 Eduardo Espinoza Ramos
f C pz sen ^— í?” eos 7
I sen(ln jcV/jt = I ez sen z d z = + c , por el ejercicio 1234.
f elnx sen(ln ,v) - e lnc cos(ln x) .v sen(ln ,v) - x cos(ln x)I sen(ln;c)íÍA = + c = ------- + c
J 2 2
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:
¡x 3e1236 | jcV* dx
y
Haciendo
Desarrollo
u = x 2 => du = 2xdx
e-*'dv = xe~ dx v = -
xe ' d x = - — e~x ——— + c = - —— ( r 2 +l) + c 
2 2 - 2
1237 I e ^ d x
Desarrollo
Sea z 2 = x => dx = 2z dz 
J e^*dx = 2 f ze'dz.
Haciendo
u = z => d u - d z
dv = ezdz => v = ez
J e ^ d x = 2J*zezdz = 2(zez —ez ) + c = 2(yfxe^* -e ^ * ) + c = 2e^*(\[x - l ) + <
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Integral Indefinida 69
1238
1239
l « -
2x+3)lnxdx
Haciendo
u = ln x => du =
Desarrollo
dx
dv = (x¿ - 2x + 3)dx => v = —— x 2 +3x
I(x2 - 2 x + 3)\nxdx = (— - x 2 + 3 x )ln x - | ( ^ - - x + 3)dx- J 4 - ;
j í+ .t
)dx
x3 x3 x 2
= ( x2 + 3.v) ln x 1 3x + c
3 9 2
Desarrollo
J x ln(|—- )dx = J x in( 1 - x)dx - J xln(l + x)dx 
integrando j* x ln(l - x)dx
Haciendo
u - ln(l - x) => du = -
dv - xd x => v = — 
2
dx
1- x
... (1)
í x ln(l - x)dx = — ln(l 2 — x)+— f-i— dx = 4 r l n( l - * ) + [ ^ f(-*-l + T—2 j l - x 2 2 J 1 - j )dx)
X~ x x 1= 4 - l n ( l - x ) - i — in ( i-x ) 
2 4 2 2
... (2)
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70 Eduardo Espinoza Ramos
1integrando I jc ln(l + x)dx
Haciendo
u = ln(l + jc) du =
dv = xdx => v = — 
2
dx
Y T x
f jcln(l + ;c)í£r = — ln(l + jc)- — f —— dx = — ln(l + jc)- — Í*(jc — 
J 2 2J1 + jc 2 2 J
X ^ X ^ JC 1= i - ln ( l + jc )-— + - - - l n ( l + A) 
2 4 2 2
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:
f-cln(-—-)d r = — ln (l-jc )-—— — ln (l-jc )-— ln(l+;c)+—— :
J 1 + x 2 4 2 2 2 4
*2 ,= — ln
2 1 + jc
- jc — ln(
2 l + .c
) + c ln |
1 + JC
1240 dx
Desarrollo
Haciendo
u = ln jc du = 2 ln x. dx
dx 1dv = — =?> v = ----
1 + —— )dx
1 + JC
... (3)
- + —ln(l+jc) 
2 2
—jc + c
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Integral Indefinida 71
1241
1242
Haciendo
u = ln x => du = — 
x
dx 1d v - — => v = — 
x^ x
ñ 
í
x , ln2 * „ ln* -<2x = — — + 2(------- +
*
ln(ln*)
J x~ *
21n* 2
------------ + c
X X
dx
Desarrollo
Haciendo
u - ln(ln *) => du = 
, dxdv — — => v = ln * 
*
dx 
* ln *
1
ln(in *) dx - ln*.ln(ln*) - í l n * . - ^ - 
J xlnx*ln*
= (ln(ln x) - 1) ln x + c
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
h arctg(3x)<£c
Desarrollo
Haciendo
u = arctg(3*) => du =
dv = x 2 dx => v = -
3dx 
1 + 9*2
r , . . x3 . r x2dx *3 . r.* i i8*I* arctg(3x)dx = — arctg(3*) - = — arctg(3*)- y)dx
J 3 J 1+ 9* 3 J 9 162 1 + 9*
r x 1
= — arctg(3x)-------1 ln 11+9* 2 1 +c
3 18 162
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72 Eduardo Espinoza Ramos
1243
1244
Ix( arctg x)~dx
Desarrollo
Sea z = arctg x => x = tg z => dx = sec1 zdz
f , 2 .Jx(arctg x)2dx = J z ¿ tgz.sec"1 zrfz 
u = z2 => du =2zdz
Haciendo 2 t g2 Zdv = tgz.sec zdz => v = ——
J* a rc tg j;)2r/.v = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zdz = ^ _t§2 f(zsec2 z - z ) d z
= — tg2 z + — - I zsec~ zdz 
2 2 '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + ln | eos z | es por partes 
J*x(arctg x)2d x - ^ - (tg2 z + l ) - z tg z - ln | cosz | +c
Z2 2= — (tg~ z + 1) - z tg z + ln | sec z | +c
= a^rCt° (x2 + 1) — jc arctg x + ^ ln (l +jc2) + c
1(aresen x)~dx
Desarrollo
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Integral Indefinida 73
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = eos z dz 
f (arcsen x)2 dx = J z2 eos z dz
Haciendo u = z2 => du = 2zdz 
dv = eos zdz => v = sen z
J (arcsen x )2 dx= z2 sen z - 2 J z sen z dz
Haciendo
u = z => du = dz
dv = senzdz => v = - c o s z
f (arcsen x)2dx = z2 sen z - 2( - z c o s z - J -c o s z d z )
= z 2 senz + 2 z eosz - 2 sen z + c = x(arcsen.v)2 + 2v i - x2 arcsenx-2x + i
í !
arcsen x , 
—r— dx 
x 2
Desarrollo
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = eos z dz
f arcsen x f z2 , f ,I ----- — dx= I -----r—eoszdz — I zclgz .cosec zdz
J x J sen z J
Haciendo
u = z => du = dz
dv = c tg z.eoseczdz => v = - c o s ecz
f arcsen x , f , z , fI ----- — dx = - z c o s e c z - I - e o s eczdz + I-
dz
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74 Eduardo Espinoza Ramos
1246
1247
f arcsen x , z , , , arcsen a: , , x . dx = + In ¡cosecz-ctgz | = + ln | --------------| +c
J x sen z x 1 + V l - * 2
J
Sea
l + y¡l-
arcsenVi ,
— / dxyj 1 - JC
Desarrollo
í z = arcsen V i =$ J~x = sen z 
x = sen2 z =* dx = 2 senzcoszdz
f arcsen V i , f z.2senz.cosz „ f I — p-r da: = I — = = = ^ - í/z = 2 I zsen zaz
J J V i-sen2 e J
Haciendo
u ~ z => du=dz
dv = sznzdz => v = -cosz
f arcsen vx , f , „
I — , dx = 2(-zcos z - I -eo s zaz) = - 2 zcosz + 2 senz + c
J \¡\-x J
- -2 arcsen V i Vi — a + 2 \ ¡x+c
J * j c t g 2 2 a í Ía
Desarrollo
J a t g 2 2 a í/a = J (xsec2 2x-x)dx
Haciendo
n = x du = dx
dv = sec2 2xdx => v = íi-?£
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Integral Indefinida 75
1248
1249
I
sen2 x , dx
Desarrollo
f sen2 x f l - c o s 2 A 1 f 1 f ,I dx= | —----------dx = — \ e dx ---- f e cos2 xdx
) ex J 2ex 2 J 2 j
e
~2
e 't cos2xdx ... (1)
integrando j e x cos2xdx, por partes se tiene: 
í it = eos 2 a => du = - 2 sen 2xdx
Haciendo
dv = e Xdx =* v = —e
J e -* ^os2xdx = el* eos 2jc+ 2 J e -* sen 2xdx
f 2c”'1 sen 2x - e x eos 2*
integrando por partes se tiene: J e eos 2x dx = ---------------------- ... (¿)
fsen 2 J t , e~x eos 2x - 2 sen 2.x-1
reemplazando (2) en (1) se tiene: I —- — dx - —— ( ) + c
J e x 2 5
r
Jeos2 (ln x)dx
Desarrollo
. , , 2 1 + cos 2xUsar la identidad cos x ------------
Jeos2 (ln x)dx = J1 + C° S^ 2 ln - dx = ~ + ^ Jcos(2 ln x)dx ... (1)
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76 Eduardo Espinoza Ramos
Sea z = ln x => x = e z => dx = e zdz 
J cos(2 ln x)dx = eos 2z dz
Haciendo
u - e~ => du = e 'dz
dv = eos 2jcdx => v = —
sen2z
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z 2 4 J - sen 2zdz
Haciendo
u = ez => du= ezdz. 
dv = sen2zdz => v = -
cos2z
f 1 f 1 f ,
I cos(21nA)<£t = — sen2z - — I ( - — cos2z + —J e 'c o s 2zdz)
A* JC= —sen2(ln j:) + —cos(21n x )—- I eos 2(ln x)dx 
2 4 4 J
Íc
1cos(21n A)dA =
2Asen(2 ln x) + Acos(ln x)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
... (2)
, i 'l + cos(21na) , a A'cos(21nA) + 2Asen(21nA)
eos (ln x)dx = I -------------------dx - — + h c
1 1 2 2 10
1250
j*cos2(ln x ) d x - j"- 
T x^ dx
J (1 + A2 )2
Desarrollo
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Integral Indefinida 77
1251
Haciendo
u = x => du = dx 
xdxdv = -------—— => v = -
(1 + JC2)2 2(.v2 +1)
f x dx x f dx x 1
| r - r = Z + I ~------= ------- r----- + -a rc tg x + c
J ( l + x - )2 2(x2 + l) J 2(jc“ + 1) 2(x + 1) 2
f dx
J (r2 +a2
Desarrollo
Sea x = atg0 => dx = a sec 0¿/0
f ¿v _ f asee2
J (x2+a2)2 ~J (a2 tg2 6
- 0</0 _ f asec¿ 6 d 6
tg~0+a2)2 J a* sec4 6
9 sen 9 eos 6— —r Ic o s" 9 dB — —-T- f(l+cos20W 0 - ~ ^ — + 
a 3 J 2a 3 J 2a 32aJ 2a3
arct§(“ ) nv 1 arc'g ( - )a , , 1 / a x
■ + c
_ 3 ' + ~—2----- 27T + c + ~ — ^ + c2a' 2(a" + x )a' 2a~ a a~+x~
J\k2-;1252 | Va2 —x2dx
Desarrollo
Sea x = a sen 0 dx = a eos 0 d0
X Xsen 9 = — =s> 9 = arcsen(—) 
a a
^a2 - x 2dx= \yja2 - a' sen2 9.aeos0dd = a2Jcos20¿0
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78 Eduardo Espinoza Ramos
1253
=“2J - eos 20 a2 . a 2¿/0 = — 0 + — sen0 cos0 + c2 2 2
a , X . X ¡ i T= — aresení—) + — Va — jc +< 
2 a 2
IVÁ77dx
Desarrollo
Sea x = \ ÍA\gd => dx = V a sec2 0 d6 
tg 0 = ~ => 0 = arctgí—= )
v a V a
J* VA + x 2dx = f yj A + A tg2 6 ,\¡A sec2 dd - [ A sec3 0 ¿0 
se integra por partes:
J Asee3 Odd - A J (1 + tg2 9)sec0dd = A j(sec0 + tg2 9sec9)d0 
= Aln | sec0 + tg0 | + A tg0sec0 - Aj*sec’ 0 J 0
= — |ln |se c 0 + tg0 | + tg0 sec0 ] + c
f V Á 7 7 & = A l n l ^ 5 ^ i V a
J 2 Va a
+ —VA + jc2 1 + c
= — ln | x + \lA + x 2 I + —-v/a + j t2 + ¿ 
2 2
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Integral Indefinida 79
1254 f x 1 dx 
» J q — x~yÍ9-
Desarroilo
x = 3 sen 0 => dx = 3 cos 0 d0
sen 6 = — => 0 - arcsen(—)
3 3
= f22£ü!».3cos<Mf>=9f*n! í>de i J 3cose ¡
-!Ja- 96 92 cos 0 )d6 = --------sen0 cos6 +c2 2
9 x 9 ,x . ^ 9 - x 2 9 , x x r ~= —arcsen(—) — (—) + c = — arcsen(—) — \ 9 - x ~ +c
2 3 2 3 3 2 3 2
Í4Í5Í INTEGRALES ELEMENTALES QUE CONTIENEN UN
TRINOM IO CUADRADO.-
( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
1
mx + n , .. . . . _ax , el procedimiento es el siguiente: El trmomio de
ax2 + bx + c
segundo grado ax +b x+c, se reduce a la forma 
ax2 + bx + c - a ( x + k ) 2 + L , donde k, L; son constantes y esto se 
consigue completando cuadrados.
( 2 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
í ^ 4 n d x , los cálculos son análogos del 1) y después sonyjax2 +bx + c 
integrales inmediatos
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80 Eduardo Espinoza Ramos
( 3 ) INTEGRALES DEL TIPO.
J;
dx . . . . 1, se usa la sustitución inversa = t
1255
1256
1257
1258
(mx + n)\[ax2 + bx + c mx + n
( 4 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
h
ax2 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una 
de las integrales principales. 
dx
2 •+- 2x + 5
f - . f r = \ -J x 2 + 2 x + 5 J (
h
Desarrollo
dx 1 ,* + L= — arctg( ) + c
+ 2x + 5 J (a' + l)2 + 4 2 2
dx
Ix
Desarrollo
2 +2x
f dx f dx f dx 1 . X +1 — 1. 1,—------ = —--------------- = — = — ln | ---------- 1 +c = - ln
J x +2x J x +2x + l — 1 J (jc-t-1) —1 2 x+1 + 1
I
x 1— \+c
dx
+ 1
Desarrollo
J
3x2 — X +1
dx
3jc2 — x + l
xdx
dx 1 f dx 3 .6jc-1.
■ = 3 j - T 7 ^ ^ “ c,g<’v r r ,+ f
x 2 - i x + n
x 2 - - +- ~, ', ( x - - ) ¿ + —
3 3 6 36
Desarrollo
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Integral Indefinida 81
1260
1261
f x d x 1 f , 2 x - l 7 -------------= _ I ( --------- + ----------------)dx
J x - 7 j c + 1 3 2 J x 2 - 1 x + 1 3 jc2 - 7 j c + 1 3
= r l n lx2 - 7 x + 1 3 | + ^ f --------p-— — = ^ l n | j : 2 - 7 j c + 1 3 |+ ^ a rc tg (2*r 7 )+c
2 2 J f r _ Z ^ + f 2 v3 V3(jc— r + - 
2 4
1259 I - - 3- d x
4 jc + 5
Desarrollo
J jc - 4 jc + 5 J jc‘ - 4 jc + 5 2 J a “ - 4.v + 5 J jr -4 jc + 5
 ^ P sj - 'X
= M n | x 2 - 4 j c + 5 ¡+4j ---- —-— - = —ln | jc2 - 4 j c + 5 |44arctg(jc-2) + c
J:( j c - l ) 2 t¿ t x 2 + 3 x + 4
Desarrollo
9
f ( j c - 1 ) dx f 5jc + 3 w r5 f 2 jc + 3 2 W 1-5 = (1— r--------- )dx = * - [ - (— ---------------5— ^----- )dx]
J jc + 3 jc + 4 J jc + 3 jc + 4 2 J jc2 + 3 jc + 4 jc + 3 jc + 4
5 f 2jc + 3 ' 9 f dx- x — I — ---------- ajc + —-I ------—
2 J j ; + 3jc + 4 2 j ( j r + 3 )2 + 7
5 , | 7 ai 9 / 2* + 3.= jr — — ln I jc + 3 x + 4\+-j=arclg(—j= —) + c
x 2 d x
6 jc + 10
Desarrollo
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82 Eduardo Espinoza Ramos
1262
1263
f * f( l+ , 6* - ' 0 )¿» = f * + f . , ^
J x - 6 x + 10 J x -6 x + 10 J J x - 6 x + 10
f 2 x -6 f dx= x + 31 —-dx + 8 I —
Jx -6x + 10 J (x-3)“
í
( x - 3 r + i 
= x + 31n | x2 -6 x + 1 0 | +8arctg(x-3) + c
dx
^ 2 + 3 x - 2 x 2
Desarrollo
f dx f dx I f
J s¡2 + 3 x - 2 x 2 J L , . 3 .. T 72 J
dx
^ 2 + 3* - 2jf2 J Í2(l + | x - x 2) Jl + ^ x - x 2
" T i l
í
1 4 x -3arcsen( ) + c
í/jc
■Jx-x2
f - * i fJ J
Desarrollo
dx
\ l ( í ) 2- (*-b2
= arcsen(2x -1 ) + c
2 2
1264 1
dx
Desarrollo
f - 7 = = = = f ■ — = ln 1 x + — + y/x2 + px + q | +c
J y/x2 +0X + O J I 7 : 2 V ' n+ P*+« ' \{ x + í
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Integral Indefinida 83
í:1265 | 3x 6 dx\ jx2 - 4 x + 5
Desarrollo
f 3.x- 6 = 3 r x — 2
•» \ lx2 - 4 x + 5 J 4 x 2 -4 jc + 5
dx
Sea u = \¡x2 - 4x + 5 => du= —^ = = = = dx
\ x 2 -4.v + 5
I* 3* 6---- ^ = 3 f X-.~ - = dx = 3 f í/m = 3u + c = 3 \¡x2 - 4x + 5 + c
J y [ x 2 —4x + 5 Jy ¡x 2 —4x + 5 J
1266 f , 2 x ~~— dx
J y j l - x - x 2
Desarrollo
J y j l - x - x J \¡l — x — x2 J \ l \ - x - x 2 J „V5( ( -y )2 - U + Í ) 2)2
- -2-\/l- x - x 2 - 9 arcsen^ * * 1) + c
V5
í1267 I - r - ......V 5 * 2 — 2 je + 1
Desarrollo
J v5 jc2 - 2 jc + 1 5 J \15x 2 - 2 x + \
=l f ,
5 J a/5 a-2 - 2 x + 1 ^ J V 5;t2 - 2 x +1
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84 Eduardo Espinoza Ramos
= - \ l 5 x 2 - 2 x + l + - l = f 
5 5n/5 J
dx
= — \¡5x2 - 2 x + \ h— ~ l n ¡ X - — + . X 2 ~ —x + — | +c 
5 5y¡5 5 V 5 5
1 2 6 8 J
dx
x \ J l - x 2
Desarrollo
Q 1 ^ dtSea x = - => dx = — — 
t t2
í V r
1 2 6 9
J;
= - ln | — + “ A | +c - ln | -----.C | +c
x x 1 + vl-JC 2
dx
c + 1
Desarrollo
•Jx2 + x + l
¡
B X A d tSea x = - dx = — -
/ /2
dt
dt[ dx f /2 _ f dt f
j x s l x 2 + X - 1 J 1J — + - -1 Vl + Í - Í 2 J ^
z - < " 4 > 24 2
, 2f- k /2 -ac= - arcsen(— + c = - arcsen( ) + c
V5 V5jc
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Integral Indefinida 85
1 2 7 0
1 2 7 1
1 2 7 2
f dx
J ( r -(x- \ )y¡x2 - 2
Desarrollo
1 1 , , dtSea t = —— => — = jc— 1 => dx = — -
x - \ t t2
í * -1
dt
r " r2 - f *
' (x - D'Jx2 - 2 - ’ \¡\ + 2 t - t 2
r dx
' (x + l)*Jx2 +2x
= - arcsen(—¿ = ¿ = ) + c
V 2 U -D
Desarrollo
, 1 dtSea jt +1 = — => dx = — —
f t 2
*
í — =========== = - { —jÉL= = -a re
J 1 Ll i\2, -,i n J V i-7- J ( — i r + 2 ( — i) 
í /
= - arcsen f+ c = - arcsen( ■) + c
JC+1
+ 2 jc+ 5 í/ x
Desarrollo
’ f yjx2 + 2x +5dx- J yj(x+l)2 + 4<£c
JC+1 J ( x + l)2 + 4 + —ln I x + 1 + a/(jc + 1)2 + 4 | +c
2 2
= V*2 + 2jc + 5 + 2 ln I at +1 + V*2 +2.r + 5 j +c
2
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86 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 7 3
1274
1 2 7 5
1276
x" dx
Desarrollo 
1
j s j x - x 2dx = J* J^-(x-~)2dx = —^ - t J x - x 2 + i.-^-arcsen(2A-l) + c
——- yjx-x2 +—arcsen(2A -1) + c 
4 8
¡ J T - x — x 2 dx
Desarrollo
1
f £ 2 j f Í 9 ~ X + 2 £ ---------2 1 9 ,2a + 1V 2 - a - a dx= I J — ( a + —) d x - V 2
- a - a arcsen(-------- ) + c
J J \ 4 2 2 2 4 3
2 -v + 1 A 2 9 2 a + 1 V 2 - a - a + —aresení ) + c
4 8 3
f xd x 
J a 4 - 4 a 24 a 2 + 3
Desarrollo
f x d x f x d x 1 1, ,a2-2-1 . 1, ,a2-3.
J 7 3 V 7 3 = J ÍT T tfT I' 5 ' i 1 1+c = i 17 T Í 1+c
í
a - 4 a + 3 J ( a ¿ - 2 y 
eos xd x
: +12
Desarrollo
sen2 A -6 sen a + 12
f eos x d x f eos x d x 1 sen A -3
I — 5------------------ - = ------------- 5-----= -= arc tg (------■=— ) + r
J sen A -6 se n A + 1 2 J (se n A -3 ) +3 V3 v3
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Integral Indefinida 87
1277
1278
1279
r exdx
J . -2x+ e +e~
Desarrollo
f. eXÚ * f e’‘dx. . . = \n \ex + — + yjl+e* + e2x |+c
> 7 7 7 7 ^ J ^ + i ) 2 + 3 2
f sen xdx
» Veos2 a + 4 c o s a + 1
sen xdx
:x + ]
Desarrollo
i* sen a dx f sen xdx
» Veos2 a + 4cos a + 1 ^ ^J(cosx + 2)2 - 3
= —ln |cosa + 2 + Veos2 x + 4cosa + 1 |+ c
|* ln a dx_____
J jrVl - 41n A -ln 2 x
Desarrollo
f \nxdx _ f ln xdx 
J xVl —4!n A - l n 2 a •» xy¡5-(\nx + 2)2
Sea u = ln x + 2 => </w = — , ln x = u - 2
x
f ln xdx _ f Inxdx _ C(u-2)du f udu ^ f du
J rV l-41n.«r-ln2 a J x ^ 5 - ( \ nx+ 2)2 J V s -k 2 V 5 -n 2 J J s - u '
= -V s-M : - 2 arcsen(-^r) + c = —Vi — 4 ln A - l n 2 a - 2 arcscn(*n + c
V5 V5
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88 Eduardo Espinoza Ramos
4.6. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES
0 METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P(x) = bnx n +bn_]x"~i +...+blx+b0 y Q(x)'=amxm +a¡n_lxm~i +...+a]x+a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es 
P(x)decir
Q(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función 
racional se denomina función racional propia, en caso contrario se 
denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el 
denominador se puede representar la función dada como la suma de un 
polinomio y de una función racional.
P(x) R(x)
Es decir: ------ = C(x) + , donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x) Q(x)
grado de Q(x).
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:
P(x)
J d x , para esto consideremos los siguientes casos: Q(x) H s
PRIM ER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
distintos.
Es decir: Q(x) = ( x - a , ) ( x - a 2)—( x - a n) , para este caso escribiremos:
donde A¡,A2,—,A„, son constantes
/>(*)_ a t A2 | ^ 4
Q(x) x - a , x - a 2 x ~ an
que se van a determinar.
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Integral Indefinida 89
SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que (x - a¡) es el factor que se repite P 
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A Aj A,,
 H * K..H -----
x - a ¡ ( x - a , ) 2 ( x - a ¡ ) p
donde Ax, A2, A3 Ap , son constantes que se van a determinar.
TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos 
irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor 
cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax + B 
x2 +bx + c
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y 
cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +bx + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las 
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A,X+ff, ( A2X + B2 | | Anx+ B m
ax2 +bx + c (ax2 +bx + c)2_____ (ax2 +bx + c)m
( 2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
\ P M d x = X M + \ Y^ d x ... (a)
• Q(x) (2,(x) J Q2(x )
donde Q¡ (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).
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90 Eduardo Espinoza Ramos
1280
1281
0 > W =a- ? 7 T + G i W - X(x> e YW£?i(*)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son 
menores en una unidad que los Q¡(x) y Q2(x), respectivamente, los 
coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la 
identidad (a).
Hallar las integrales: 
dx
í (x + a)(x + b)
Desarrollo
A , efectuando y agrupando:
(x + a)(x + b) x + a x + b
A + B = 0 1 l i
1 => A = --------- , B -
Ab+Ba — lj a —b a —b
f - * = r j í l + _ í_ r j
J (x + a)(x + b) J x+ a x + b a - b j x + a a - b j a
dx 
+ b
- l n | x + a | + —í— ln| ; t + 6 | + c = —-— ln | X + ^ | + c , a * b
a —b a - b a - b x + a
J
x 2 - 5x + 9 ,
—z dx
x -5jc + 6
Desarrollo
f 'T, 5x + 9 dx= Í 0 + - J - 4 )dx= fdr + 3 f
J x - 5jc + 6 J x2- 5 x + 6 J J
dx . x - 3 .= x+31n ----- +c
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Integral Indefinida 91
12 8 2
1283
i dx(x - l) ( ;t + 2)(jc + 3)
Desarrollo
1 A B c- + ■ + , efectuando y agrupando:
(jc — 1)(jc -t- 2)(.x: + 3) jc —1 x + 2 x + 3
1 = (A + B + C)x2 + (54 + 2B + C)x + (64 - 3B - 2C)
A + B + C = 0 
5A + 2B + C = 0 
6 4 - 3 B - 2 C = 0
=> 4 = — ; = ~ ; C - -
12 3 4
f dx fr A ^ , C w| I (------- 1---------1------- )dx
J (x - l) (x + 2)(x + 3) J x - l x+ 2 x + 3
_ 1 f dx. 1 f dx 1 f i 
12J x - l 3 J x + 2 4 J x
dx
x+3
= ~ l n I x —11 - ^ ln Ix + 2 1 + ^ ln I ■*+31 +c
= ^ [ l n |x - l l - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3 |] + c 1 ^ I +c
1
2x“ + 41x-91 . dx
(x - l) (x + 3 )(x -4 )
Desarrollo
2x2 +41x—91 A B Ch +.------- , efectuando y agrupando se obtiene:
(x —l)(x + 3)(x—4) x - l x + 3 x —4 
2x2 +41x —91 = (A + B + C)x2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l 2 ( A - 4 B + 3C)
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92 Eduardo Espinoza Ramos
A + B + C = 2 
de donde se obtiene: - A - 5B + 2C = 41
- ( 1 2 A -4 B + 2C) = —91
resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5
f 2jc2 +41jc- 91 , f 4 7 5 , . .----------------- dx = (------------------ — + ------ )dx - ln
J (*-!)(* +3)(* + 4) J x - l jc + 3 x - 4
1284
Desarrollo
5x +2 c 25x1 - 20.r + 2 , 25x2 - 20a t 2 = 5 + —: =5 + --------- • ••■
x - 5 x +4x x - 5x + 4x jt(jt — 4)( .v I)
25a - 20.r + 2 A B C
, de donde
a (a -1 ) (a -4 ) x x - l c - 4
25x 2 -2 0 a + 2 = (A + 5 + C )a2 + ( 5 A - 4 B - C ) x t 4A
A + B + C = 25 
- 5 A - 3 B - C = -20
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Integral Indefinida 93
1 2 8 5 í
dx 
jc( jc + 1 )2
Desarrollo
1 A B C■ = — H H , efectuando la operación
jc(cc + 1) * x + \ (jC + 1)"
= A(jc + 1)2 +Bx(x + \) + Cx 1 = (A + B)x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:
A + B = 0 
2 A + 5 + C = 0 
A = 1
J jc(jc + 1)2 J x
resolviendo el sistema: A = L B = -l, C =-1
B c w+ + --------- )dx
x+1 (jt + l)"
1 1 1
x = (--------------------- j )dx
J x x - l ( jc + 1 ) '
i X 1= ln.v-ln | jc + l | + ------ + c = ln-| ------ 1 + -------+ c
JC + 1 jc + 1 x +1
1 2 8 6 J
JE3 - 1
4jc3 - jc
dx
Desarrollo
jc3 - 1 1 4 1• = —+-
4.v3 - jc 4 4 x 3 - jc
j c - 4 A B C------- — rr ------------- — H-------—
jc(jc + — ) ( j c — ) X JC + - X —
2 2 2 2
de donde x - 4 = (A + B + C)x2 + (—— + —)*----
2 2 4
A + B +• C — 0
- - + - = i 
2 2
resolviendo el sistema: A = 16, B = -9, C = -7
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94 Eduardo Espinoza Ramos
1287
f a 3 - 1 f 1 A B C . . x 1 f jc —4 ,
— dx= ( - + —+ ---- r + — - r )dx = - + — I ; 7~dxJ 4 a - x J 4 a 1 1 4 16J , , J_Vv_1nA + - X X(X + --)(A - - )
2 2 2 2
= —+ — f(— H ------- —^ )dx = —+ — 116in.v-91n(.r + —)-7 1 n (v -—)]
4 1 6 J a 1 1 4 1 6 2 2
A'H— A -----
2 2
A 1 . A16 , A l . A 16 ,= — + — ln ---------- ——— +c = —+ — ln --------- r 1 +c
4 1 6 ( v + l ) 9 ( JC_ l ) 7 4 1 6 ( 2 a + 1) ( 2 a — 1)
2 2
JA4 - 6 a 3 + 1 2 a 2 + 6 dxa 3 - 6 a 2 + 1 2 a - 8
Desarrollo
a 4 — 6 a 3 + 1 2 a 2 + 6 8 a + 6 8 a + 6
• = a + — --------------------= a + -
a 3 - 6 a 2 + 1 2 a - 8 ' a 3 - 6 a 2 + 1 2 a - 8 " ( a - 2 ) 3
‘ a 4 - 6 a 3 + 1 2 a 2 + 6 . f 8 a +
6f A 4 - 6 A 3 + 1 2 A 2 + 6 J f
—;----- ó d x = U +J x - 6 x + 1 2 a -8 J U - 2 ) 3 )dx
2 ( a - 2 ) ' ( a - 2 )
-)dx
8 a + 6 + — B + — ^ ——=$%x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) x + 2 A - 2 B + C
( a - 2 ) 3 a - 2 ( a - 2 ) 2 ( a - 2 ) 3
A = 0 
B - 4 A = ñ 
2A — 2B + C = 6
, resolviendo el sistema se tiene: A = 0. B = 8, C = 22
a 4 — 6 a 3 + 1 2 a 2 + 6 a 2 8 2 2 w— dx = — + (-------- - +------— )dx
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Integral Indefinida 95
1288
1289
a2 8 11
=*----------------------- T- + C
2 x — 2 (x - 2 ) 2
f (5a2 + 6x + 9 )dx
J (a - 3 ) 2 (a + 1)2
Desarrollo
5jc2 + 6 a + 9 _ A 8 C D
( a - 3 ) 2 ( a + 1)2 ~ a - 3 ( a - 3 ) 2 a + 1 (a + 1)2
5 a 2 + 6 a + 9 = (A + C)a3 + (- A + B - 5 C + D)x2 +
+(-5A + 28 + 3 C - 6D)x + (-3A + B+9C + 9D)
A + C = 0
- A + 8 - 5 C + D = 5 
-5A + 28 + 3C - 6D = 6 
-3A+ B+9C + 9D - 9
9 1resolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, 8 = — , D - —
2 2
f 5a2 + 6 a + 9 9 f dx 1 f dx 9 1 1 , 1 , - d x = - -------- - + - -------- - = — (----- ) (—— ) + cJ ( a - 3 ) ( a + 1) 2 J ( a - 3 ) 2 J (a + 1) 2 a - 3 2 a + 1
f a2 - 8 a + 7 j
J (a2 - 3 a -1 0 ) 2 ^
Desarrollo
f a2 - 8 a + 7 , f a2 —8a +7
I —, ......... - ■ dx = I dx
J (a2 - 3 A - 1 0 r J ( a - 5 ) (a + 2 )
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96 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 9 0
1 2 9 1
f A ts e u 
= j ( — + — v + — + — - ) 4 x
_B D_
-5 ( x - 5 ) 2 x + 2 (x + 2 f
x 2 - 8a- + 7 = A(x + 5)U + 2)2 + B (x+ 2)2 + C(x + 2)(x- 5 ) 2 + ¡Xx - 5 ) 2
30 8 30 27
agrupando y resolviendo se tiene: A = ----- , B = ------ , C = -------- , D = —
F 343 49 343 49
x 2 -8 x + 7 . 30 . , , , 8 . 1 3 0 , , , 27f x2 -%x + l , 30 , . . . 8 . 1 30 , .I — - d x = ln Le- 5 + — (------------- ln a + 2 -
J (x2-3JC-10)2 343 44 *-5 343 49(.r+2)
8 27 30 , , x - 5 .+ —— ln | -------|+c
I
49(jc- 5) 49(x + 2) 343 jc + 2
2 x - 3 — dx 
2)
Desarrollo
—dx 
(x~-3x+2)~
Sea u = x - 3 x + 2 => du = ( 2 x - 3 ) d x Como
f 2.v - 3 f du 1
J (x2 -3 x + 2 )3 ~ J 7 ~ _ 2Ü2
1
■ + C —------- - — c
(x¿ - 3 x + 2Y J u' 2i r 2 (x ~-3x + 2)2
i
X2 + A + 1 
x(x2 + 1)
dx
Desarrollo
f x. + x + l f 1 f dx , dx= I (1 H r )dx = x+ I ---- ------
J jc(jc“ +1) J X + x J x(x~ + 1)
1 A Bx + C (A + B)x~+Cx+A 2- — + — = -------^ ------------ => 1 — jc- (A + C) + Cx+A
jc(.v~ -t-1) * x2 +l x(x2 +1)
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Integral Indefinida 97
A + B = O 
de donde: C = 0
A = 1
resolviendo el sistema: A = 1, B = - l, C = 0
íV + jc+ 1 f 1 *
 5 dx = x + ( — )
J a (a + 1 ) J X X2 + 1
1 ,
~)í/x = A + lnA— ln(jr + l) + r
1292
= x + ln|
Va:2 +1
| +c
f x*dx
Desarrollo
\ - T - d x = ) ¿ r = A +Jjc4-1 J X -1 J A -1
1 A B Cx+D• + +-
(jC-1Xa + 1)(a +1) A 1 A' 1 JC + 1
\ = (A + B + C)x3 + ( A - B + D ) x 2 +(A + B + C ) x + A - B - D
A + B + C = 0 
A - B + D = 0 
A + B - C = 0 
A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A = — , B = — . C = 0, D
4 4
f a4 , C, A B C x + D . . 1 C dx 1 C dx 1 f dx—— dx = x+ (--+ ---------+ — )dx = x + - ------------- ----------- I - —
J x - 1 J A 1 x+1 X + 1 4J A - l 4J x + l 2J.V-+1
1 , , A - 1 . 1
= A + - I 111 1- - a r c t g x + c
4 x + 1 2
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98 Eduardo Espinoza Ramos
1293 í (x2 - 4x + 3)( x 2 + 4x + 5)
dx
Desarrollo
A B Cx+ D+ +
(jc2 - 4 x + 3)(x2 + 4 x + 5) JC-3 x - l x2 +4x + 5 
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
A(x3 + 4 x + 5 x ) ~ A ( x 2 + 4 x + 5) + fl(x3 + 4 + 5x) -3f í (x2 + 4x + 5) +
+ C(x3 - 4x2 + 3jc) + D(x 2 - 4x + 3) = 1 
(A+B + C)x3 +(3A + fl + 4C + D)x2 + ( A - 7 f l + 3 C - 4 D ) x - 5 A - 1 5 f l + 3£> = l
A + B + C = 0 
3A + B - 4 C + D = 0 
A - 7 B + 3C - 4 D = 0 ’
-5 A -1 5 fl + 3 D = l
1 1 2 3
resolviendo el sistema se tiene: A = — , B = , C = — , D = —
52 20 65 36
f dx f A B Cx+D wI = | ( ------+ -------+ —-----------)dx
J (x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x —3 x - l x +4x + 5
2x 3
52 x 2 + 4 x + 5 1 3 0 J jc2 + 4 x + 5
2x + 4 7 f dx----------- dx + ----- I —-------í
1 l o 7ln(x - 3)-------ln(x - 1) + — ln(x2 + 4x + 5) h----- arctg (x + 2)
52 20 65 130
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Integral Indefinida 99
1 2 9 4
1 2 9 5
r dx
J jc3+i
i i
Desarrollo
A Bx + C
JC3 +1 (JC-+- l)(jr2 — AT-t- 1) * + 1 a-2 - A + 1
1 — {A + B )x~ + (~ A + Z? + C)a + A + C
A + fl = 0 
—A + B + C = 0 
A + C = 1
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C =
3 3
x 2— + —
f - ^ L - \ ( - - r - ^ - ) d x = I f - * + M - J - *J a + 1 J a + 1 a — a + 1 3 j a + 1 J x -r + l
= — ln(A + l )—— ln(.r2 - a +1) + -\= arctg( ~ -= ^) + c
3 6 ^3 V3
— — ln | (^ + l r - | + ^
6 JC — JC + 1 y ¡3
+ -¡=arctg(-2 * - l .-) + c
I
dx
A4 +1
Desarrollo
Ax + B Cx + D
a 4 + 1 ( a 2 + > / 2 a + 1 ) ( a 2 - > / 2 a + 1) a 2 + V 2 a + 1 a 2 - > / 2 a + 1
\ = (A + C)x3 +(B +D + j 2 C - y f 2 A ) x 2 + (A + C + yj2A-y¡2B)x + B + D 
A + C = 0
B + D + \¡2C - >/2 A = 0 
A + C + yÍ2D->¡2B = 0
3 + D = 1
UJ 
I K
*
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100 Eduardo Espinoza Ramos
1 2%
resolviendo el sistema se tiene: A = —\ = , B - D = — , C
2 7 2 ’ 2 ’ 272
1 1 1 1
X + — T= X + —
f * = f( * + " + )a!v = 2 >¿»
J JC + 1 J JC” + v 2 j c 4 - 1 - \ ¡ 2 x + \ J X + y / 2 x + \ X — V 2jC + 1
1 f X + V 2 , 1 f X - V 2f X + V 2 J 1 f
rJ x2 +V2x +1 2V2 J2V2 J X2 +yÍ2x + \ ' 2V2 J X2 -y¡2 x + \
2 . X" + y¡2x + 1 | y¡2 X\¡2ln I — -= I + — arctg (----- - ) + c
dx
\
4>/2 x 2 - V 2 x + 1 4 1 -x 2
dx
2 +1
Desarrollo
x4 + x2 +1
X 4 + x 2 +1 = x4 + 2 x 2 + l - x 2 = (x2 +1)2 - x 2
x 4 + x 2 + l = (x2 + x + l)(x2 — x + 1)
Ax+ B Cx+D 
— + —:--------
x4 + x 2 +l x2 + x + l xz - x + l
1 — (Ax + fí)(x2 — x + 1) -t- (Cx + D)(x~ + x 4-1)
l — (A + C)x2 + (B — A + C + D)x + (A — B + C + D)x + B + D
A + C = 0 
f í - A + C + D = 0 
A - B + C + D = 0 
B + D = \
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Integral Indefinida 101
1 2 9 7
1 2 9 8
resolviendo el sistema se tiene: A - —, B = — , C = —— , D = *
2 2 2 2
f dx f , Ax+B Cx + D w 1 f a + 1 , 1 f jc-1 ,
—— 2 r ~ (~ --------: + ~ ------- - ) d x= t 1 , , d-x~ ñ \ ~ 2 ------- : dx
J x + x + 1 J a +A + 1 x - x + l 2J r + r + 1 2J j t - . r + 1
f dx
J (1 + a 2 ) 2
1 . a + x + 1 . 1 x~ -1= - l n | —--------- 1+— prarctgí— ^ ) + c
X x - x + l 2 V 3 Xy/3
Desarrollo
Sea x = tg 0 =* dx = sec" G dd
r _ * = r = f cos=e,/o
J (1 + a~) J( l + tg'<3)" J sec“0 j
f 1 + eos 20 6 sen 0 eos6 arctg x x
: d d = ~ +---------------+ C = - — + ---------—
J 2 2 2 2 2(1 + a )
f 3 a + 5
J (a2 + 2a + 2)2
Desarrollo
( a 2 + 2 j c + 2 ) 2 = ( v + 1 ) 2 + 1 2 = > z = x + l =í> d z - d x
f / J t 5 , - 3 Í , * + ' , * + f , ^ ,
J (a + 2a + 2)2 J (A2 + 2a + 2)- J (a 2 + 2A + 2)-
= _________ + 2 f - ■*—
2 (a " + 2 a + 2) J (a “ + 2 a + 2 ) 2
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102 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 9 9
3 - + 2
f dx _ ______ 3______ | 2 f dx
2(x2 +2x+2) J ((.v+l)2 +l)2 2(x2 + 2x + 2) J ( z 2 +1)2
J (Z-H
+ 1)
2(x- + 2 a + 2) J ( z '+ l ) (z‘ + i r
2(x~ -í- 2x + 2) J (z~+ l)2
, r _ A f e 
J (Z-+1)
+ 2 arctg z - 2 I ~ ... (1)
integrando por partes: f —Z = j
J ( z 2 +1)2 2(z +1) 2
Luego reemplazando en (1) se tiene:
í
3x+5 , 3 2x+2dx = - - —-—- — —+2 arctgU+1)+— --------------arctgU +1)+c
(x-+2x+2 Y 2(x +2x+2) 2(x¿+2x+2)
2x + 1
r dx
J Lc + l)2( jr
2(.r +2jc+2) 
dx
+ arctg(.v + l) + c
( x + \ r ( x ¿ + x + i y
D esarrollo
A Bx + C Dx + B
( j : + 1 ) ( x 2 + JT + 1 ) 2 x + l x 2 + x + l (x2 + a + l ) 2 
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 
1 = A(x2 + x