AULA 2 -MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL

Prévia do material em texto

26/03/2014
1
UNIDADE 2
MEDIDAS DESCRITIVAS
Descrever um conjunto de dados de forma
organizada e compacta por meio de suas
estatísticas, o que não significa que estes
cálculos e conclusões possam ser levados para a
população.
As medidas descritivas básicas
mais importantes são as de
posição e as de variabilidade
(dispersão).
MÉDIDAS DE POSIÇÃO e TENDÊNCIA CENTRAL
Médias
Aritmética
Geométrica
Harmônica 
Separatrizes
Mediana
Quartis
Decis
Centis
Modas
Bruta
Czuber
King
Person
26/03/2014
2
1 1 1 1 ���� MMMMÉDIA ARITMDIA ARITMDIA ARITMDIA ARITMÉTICATICATICATICA
• definida como a soma dos valores dividida pelo
número de elementos.
• Sua aplicação é seguramente a mais usada
• podem ser:
�Média para dados simples
�Média para dados agrupados
�Média para dados agrupados em classes.
5
� É igual ao quociente (razão) entre a soma dos valores
do conjunto e o número total dos valores.
� Onde xi são os valores da variável e n o número de
valores.
n
xi
xou
n
i
∑
=
=1µ
1.1- MÉDIA ARITMÉTICA simples 
� Mais usual das medidas estatísticas.
� Relação entre soma e contagem.
� Centro geométrico de um conjunto de dados.
Exemplo: Dado as alturas de 5 árvores.
Xi (altura): 4m; 6m; 8m; 10m; 12m
sendo “ n “ o número de elementos
Assim
7
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA simples
amostra: população: µµµµ
• Quando o n é muito grande agrupa-se os
dados.
• Assim, a média desse grupo é calculado da
seguinte forma:
8
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA dados agrupados
(MÉDIA PONDERADA)
26/03/2014
3
Xi fi Xi . fi
1 3 3
2 3 6 
3 4 12 X = 78 = 3,9
5 6 30 20
6 3 18
9 1 9 
20 78
Fonte: dados fictícios
9
Exemplo
IDADE DE ALUNOS 
Xi PM fi PM.fi
0 2 1 3 1.3 = 03
2 4 3 7 3.7 = 21
4 6 5 6 5.6 = 30 
6 8 7 3 7.3 = 21
8 10 9 1 9.1 = 09
total 20 84
Fonte: Dados fictícios
PM=CC (centro da classe) 
10
1.3. MÉDIA ARITMÉTICA dados agrupados em 
classes
EXEMPLO
Nº parcela VOLUME (m³)
Floresta I
VOLUME (m³)
Floresta II
1 6,25 15,60
2 12,50 14,30
3 15,00 15,00
4 25,00 15,60
5 13,75 15,00
6 10,00 15,00
7 17,50 14,70
8 20,00 14,80
Qual a média da Floresta I e da Floresta II?
Maior problema da média …
Maldição dos 
extremos
Extremos distorcemExtremos distorcem
algumas medidasalgumas medidas
Nº 
parcela
VOLUME (m³)
Floresta I
VOLUME 
(m³)
Floresta 
II
1 6,25 15,60
2 12,50 14,30
3 15,00 15,00
4 25,00 15,60
5 13,75 15,00
6 10,00 15,00
7 17,50 14,70
8 20,00 14,80
ou outliers
26/03/2014
4
- dados simples
Há duas situações:
1) Quando o “n” é ímpar
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
2.1 MÉDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS (DNA) 
- Simples
posição central
Xi 
14
2) Quando o “n” é par
Xi (idade): 4; 6; 8; 10; 10; 12
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
X1 X2
P1 P2 (2 Posições centrais)
- Dados Agrupados
26/03/2014
5
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS - par
Xi fi fac
1 2 2
2 3 5 
3 4 9
5 6 15
6 3 18 
9 2 20
Σ 20
Xi 1 1 2 2 2 3 3
posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Xi 3 3 5 5 5 5 5
posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª
Xi 5 6 6 6 9 9
posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 20ª 
17
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 
distribuição por pontos 
1) Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac nº de elementos = Σ fi = 20 (par)
1 2 2
2 3 5 
3 4 9 duas posição medianas
5 6 15 P1 = Σ fi = 20/2 = 10ª posição
6 3 18 2 
9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição
- 20
18
1)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac P1 = 10ª posição
1 2 2 P2 = 11ª posição
2 3 5 
3 4 9
X1= X2= 5 6 15
6 3 18
9 2 20 
- 20
19
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS - impar
Xi fi fac
1 2 2
2 3 5 
3 4 9
5 6 15
6 3 18 
9 1 19
Σ 19
Xi 1 1 2 2 2 3 3
posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Xi 3 3 5 5 5 5 5
posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª
Xi 5 6 6 6 9
posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª
20
26/03/2014
6
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 
distribuição por pontos 
2)Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi fi fac nº de elementos =
1 2 2 Σ fi = 19 (ímpar)
2 3 5 
3 4 9 uma posição central
5 6 15 P = Σ fi +1 = 19+1
6 3 18 2 2
9 1 19 P = 10ª posição
- 19
21
1) Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi fi fac P = 10ª posição
1 2 2
2 3 5 
3 4 9
Xi = 5 6 15
6 3 18
9 1 19
- 19
X = 5
2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 
distribuição por pontos 
~
22
- Dados Agrupados
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES
Xi PM fi fac = FI
0 2.......... 1 3 3 
2 4.......... 3 10 13
4 6.......... 5 6 19 
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P = Σ Fi P = 23 P = 11,5º posição
2 2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac
E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA
24
26/03/2014
7
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES
Xi PM fi fac
0 2 1 3 3 faa
2 4 3 10 13
4 6 5 6 19 
6 8 7 3 22
8 10 9 1 23
total 23 
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “PMd”
PMd = Σ Fi PMd = 23 PMd = 11,5º posição
2 2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE 
A CLASSE MEDIANA”
li
ls
25
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES
Xi PM fi fac
0 2 1 3 3 faa
2 4 3 10 13
4 6 5 6 19 
6 8 7 3 22
8 10 9 1 23
total 23 
Posição central PMd = 11,5º posição
Limite inferior da classe � li = 2 
Limite superior da classe � ls = 4
Amplitude da classe � h = ls - li = 4 – 2 = 2
Frequência da classe � fi = 10
Frequência acumulada anterior � faa = 3
li
ls
PMd - faa . h
fi
+li=X
~
11,5 - 3 . 2
10
+=
~
X 2
26
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13
4 6.......... 5 619 
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 
li
ls
8,5 . 2 
10
+2=X~
= Md = 2 + 0,85 . 2
= Md = 2 + 1,70
= Md = 3,70
27
X~
X~
X~
Exemplos:
�1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
moda = Ф (não existe moda)
� 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10
moda=8
� 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9
moda = 4 e 8
26/03/2014
8
3.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES 
• Exemplo: Notas de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
O valor que apareceu maior número de vezes é o 5
• portanto:
29
3.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS
Maior valor de fiXi =
^Xi = 5
30
Xi fi
1 2
2 3 
3 4
5 6
6 3
9 1 
- 19
Xi PM fi 
0 2 1 3 
2 4 3 10 
4 6 5 6 
6 8 7 3 
8 10 9 1 
total 23 
1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax
3.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES – MODA DE Czuber - Xcz
fmax
^
31
3.3. MODA DE Czuber - XCZ
Xi PM fi 
0 2.......... 1 3 
2 4.......... 3 10 
4 6.......... 5 6 
6 8.......... 7 3 
8 10.......... 9 1 
total ......... 23 
Limite inferior li = 2 frequência máxima - fmax = 10
Limite superior ls = 4 frequência anterior - fant = 3 
frequência posterior - fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
∆1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
∆2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
li
ls
^
fant
fpos
fmax
32
26/03/2014
9
3.3. MODA DE Czuber - XCZ
^
Limite inferior li = 2 frequência máxima - fmax = 10
Limite superior ls = 4 frequência anterior - fant = 3 
frequência posterior - fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
∆1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
∆2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
Cálculo da moda de Czuber
33
3.4. MODA DE King
Xi PM fi 
0 2.......... 1 3 
2 4.......... 3 10 
4 6.......... 5 6 
6 8.......... 7 3 
8 10.......... 9 1 
total ......... 23 
Limite inferior li = 2 frequência máxima => fmax = 10
Limite superior ls = 4 frequência anterior => fant = 3 
frequência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
li
ls
fant
fpos
fmax
34
2.4. MODA DE King 
Limite inferior li = 2 frequência máxima => fmax = 10
Limite superior ls = 4 frequência anterior => fant = 3 
frequência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
Cálculo da moda de KING
35
Cálculo da moda de PEARSON
Xpe = 3. X - 2. X
Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4
e a Moda = X = 4,2
A moda de Pearson será:
Xpe = 3.4 - 2 . 4,2 = 12 – 8,4
Xpe = 3,6
2.3. MODA DE Pearson - Xpe
^
^
^
~
~
_
^
^
36