AD1 CIV 2012 2 prova

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - AD1
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Quando por uma integral dupla se calculou o volume do so´lido sob a
superf´ıcie z = f(x, y), e acima da regia˜o D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais
repetidas:
V =
∫ 2
1
∫ x3
x
f(x, y)dy dx+
∫ 8
2
∫ 8
x
f(x, y)dy dx.
(a) Esboce a regia˜o D e exprima V por uma u´nica integral repetida na ordem de integrac¸a˜o invertida.
(b) Calcule V para f(x, y) = ey
(
x
y
)1/2
.
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Mostre que
∫∫
D
f(xy) dx dy = (ln 2)
∫ 2
1
f(u) du, onde D e´ a regia˜o do
primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy = 1, xy = 2, x = y e y = 4x.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Use uma integral dupla para calcular o volume do so´lido delimitado pelas
superf´ıcies y = 0, y = 1− x2, x2 + z = 1 e z = 0.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Escreva a integral
I =
∫ 1
0
∫ 1
y
∫ y
0
f(x, y, z) dz dx dy
na ordem dx dy dz.