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Cálculo I - ����� �� � �� �� 1 Capítulo 2- Funções � �������� O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra �,�,�,... Definição: Dado dois conjuntos não vazios � e � e uma lei � que associa a cada elemento � de � um único elemento � de �, dizemos que � é uma função de � em �. � • Indica-se que � é uma função de � em � pela notação �: � → � • O conjunto � é denominado domínio da função � e é formado pelos elementos � que possuem correspondência em � pela função �, ou seja, existe � pertencente a � tal que � � ����. Denota-se �,�����) • O conjunto de � é chamado de contradomínio da função � . Denota-se ��,�������) • O elemento � de �, associado ao elemento � de � é chamado de imagem de � pela função �. Indica-se que � é imagem de � pela notação � � ����. • O conjunto de todos os elementos � de � que são imagens dos elementos � de � é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função � . Denota-se �� , �����. Para toda função ����� ⊂ �. • Um elemento típico � do ������ é chamado variável independente e um elemento típico � da ����� é chamado variável dependente. • O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio e da imagem podem ser de qualquer natureza. • As variáveis � e � podem representar quantidades numéricas. Porém � não representa uma quantidade, � estabelece uma lei de associação entre � e �. • Quando a função � é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos � e �, convenciona-se que � e � são subconjuntos de ! e diz-se que a função � é uma função real de variável real. � Cálculo I - ����� �� � �� �� 2 Exemplos 1) Seja � uma função que calcula a área de um círculo: a) Encontre a equação que representa a função � Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área “é uma função do raio”. Se chamarmos o raio do círculo de "�" e a área de "�", a área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico � pela equação: � � ���� � # �$ b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função �. A área do círculo, variável �, depende do valor arbitrado para o raio, variável �. Então A é a variável dependente e � a variável independente. c) Calcule a área do círculo quando � � % � � � & ' � � (. Estamos querendo saber o valor da variável dependente � para valores específicos de �. Basta substituir � na equação pelo valor desejado. � � ���� � # �$ � )* +,� � � % � � � ��%� � #�%�$ � ( # *� � �*+�, ,'- ,' .�' � � � ���� � # �$ � )* +,� � � &� � � ��&� � #�&�$ � / # *� � �*+�, ,'- ,' .�' � � � ���� � # �$ � )* +,� � � (� � � ��(� � #�(�$ � 01 # *� � �*+�, ,'- ,' .�' � d) Encontre o domínio da função �. O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem atribuidos para a variável independente (raio �) de tal forma que seja possível calcular através da função � a variável dependente (área do círculo �). Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores do que zero, assim: ��� ��� � 2� 3 !|� 5 67 e) Encontre o conjunto imagem da função �. O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os elementos do domínio (raio �). Como � 5 6� então � � # �$ sempre será um número real maior do que zero. �� ��� � 2� 3 !|� 5 67 Cálculo I - ����� �� � �� �� 3 2) Dada a função �� ! � ! , definida pela equação � � &�$ 8 ( . Identifique as variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo: Para obtermos o valor de � temos que arbitrar valores para �. Ou seja, � depende de �. Isto significa que � é uma função de � e o nome desta função é �. Assim, � é a variável dependente e � é a variável independente: � � ���� � &�$ 8 ( � � � ��8(� ��8(� significa que queremos saber o valor da variável dependente � quando � é igual a -4. Temos que substituir � por -4. � � ���� � &�$8 ( 9 ��8(� � &�8(�$ 8 ( � (: 8 ( � (( ;� ��0� ��0� � &�0�$ 8 ( � & 8 ( � 80 <� � =0&> � =0&> � & = 0 &> $ 8 ( � 0& 8 ( � 8 00 & ,� �� ? � ��?� � &�?�$ 8 ( � &?$ 8 ( '� �� @ � ��@� � &�@�$ 8 ( � &@$8 ( �� ��A$� ��A$� � & �A$�$ 8 ( � & AB8 ( �� ��� 8 �� ��� 8 �� � &�� 8 ��$ 8 ( � &��$ 8 % � � C �$� 8 ( � &�$8 1 � � C &�$ 8 ( �� ��0� 8 ��6� ��0� 8 ��6� � �&�0�$ 8 (� 8 �&�6�$ 8 (� � & 8 ( 8 6 C ( � & �� ������ � ���� �� � � &�$8 ( & $8 ( D� � E� F � E� F � & E � F $8 ( � &� $ $ 8 ( � &�$8 ( $ $ � Cálculo I - ����� �� � �� �� 4 3) Dado o conjunto � � 28%�80� 6� 0� %7 , determinar o conjunto-imagem da função �� � � !, definida pela equação � � �G � � � � � � � � � Para cada valor � do domínio, ������ � H8%� 80� 6� 0� %I� foram determinados os valores correspondentes � pela função �� � � ����� A imagem da função é o conjunto dos valores que � assume para todos os valores � do domínio, então ����� � 28:�80� 6� 0� :7 � 4) Seja � uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a Imagem da função. � � � � � � � � � ������ � 2 J�-K� L ;��' �M.����M � '+'� N� ��7� ����� � 2 J�L� M� N7� � 5) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula o quadrado de um número. Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função � como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de � e a variável dependente de �, a função � pode ser representada pela equação: � � �$� Como para qualquer valor de � 3 !, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de �, tem-se: ������ � 2!7 � Se � O 6 então � � �$ 5 6; se � � 6 então � � 6 e se � 5 6 então � 5 6 . Portanto, � poderá ser zero ou um número positivo, assim: ����� � 2� P !| � Q 67 � R6�CS�� � � 8% � 8 0 � � 6 � � 0 � � % � � � �8%� � 8: � � � �80� � 80 � � � �6� � 6 � � � �0� � 0 � � � �%� � : x3 x3 x3 x3 x3 � � J�-K � � L ;��' � � M.��� � � M � '+' � � NT �� � � ��J�-K� � J � � ��L ;��' � � L � � ��M.���� � M � � ��M � '+'� � M � � ��NT ��� � N � � � � Cálculo I - ����� �� � �� �� 5 6) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula a área de um quadrado. Chamando o comprimento do lado do quadrado de � e sua área de �, podemos calcular a área de uma seção quadrada como �� � � �$. Assim, a função � pode ser representada pela equação � � ���� � �$� Só é possível calcular a área � de um quadrado se o tamanho de seus lados for maior do que zero ������ � 2� P !| � 5 67 � �6�CS� � Como � é sempre maior do que zero, a área � calculada pela equação � � �$ será sempre um número maior do que zero ����� � 2� P !| � 5 67 � �6�CS�� Observe que a função �, que calcula o quadrado de um número, e a função � , que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação � � �$ , porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes. OBS: Duas funções � e U são iguais se elas têm o mesmo domínio e se ��V� � U�V� para