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Funções - Profª Rita CC

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Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 1 
 
Capítulo 2- Funções 
 
� ��������	
O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma 
quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra �,�,�,... 
 
Definição: 
 
Dado dois conjuntos não vazios � e � e uma lei � que associa a cada elemento � de 
� um único elemento � de �, dizemos que � é uma função	de � em �. 
�
• Indica-se que �	é uma função de � em � pela notação �: � → � 
• O conjunto � é denominado domínio da função � e é formado pelos 
elementos � que possuem correspondência em	� pela função �, ou seja, existe 
�	pertencente a � tal que � � ����. Denota-se �,�����) 
• O conjunto de � é chamado de contradomínio da função � . Denota-se 
��,�������) 
• O elemento	� de �, associado ao elemento � de � é chamado de imagem de � 
pela função	�. Indica-se que � é imagem de �	pela notação � � ����. 
• O conjunto de todos os elementos � de � que são imagens dos elementos � de 
� é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função � . 
Denota-se ��	, �����. Para toda função ����� ⊂ �. 
• Um elemento típico � do ������ é chamado variável independente e um 
elemento típico � da ����� é chamado variável dependente. 
• O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio 
e da imagem podem ser de qualquer natureza. 
• As variáveis � e �	podem representar quantidades numéricas. Porém � não 
representa uma quantidade, � estabelece uma lei de associação entre � e �. 
• Quando a função � é definida apenas pela lei de associação, sem especificação 
dos conjuntos � e �, convenciona-se que � e � são subconjuntos de ! e diz-se 
que a função �	é uma função real de variável real. 
� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 2 
 
Exemplos 
 
1) Seja � uma função que calcula a área de um círculo: 
a) Encontre a equação que representa a função � 
Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para 
cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área “é 
uma função do raio”. Se chamarmos o raio do círculo de "�" e a área de "�", a 
área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico � pela equação: 
� � ���� � 	#	�$ 
b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função	�. 
A área do círculo, variável �, depende do valor arbitrado para o raio, variável �. 
Então A é a variável dependente e � a variável independente. 
 
c) Calcule a área do círculo quando � � %		� � � &		'		� � (. 
Estamos querendo saber o valor da variável dependente � para valores 
específicos de �. Basta substituir � na equação pelo valor desejado. 
		� � ���� � #	�$ 	� )*
+,�		� � %	� � � ��%� � 	#�%�$ � (	#	*� 
� �*+�,
,'-	,'	.�'
� 
	� � ���� � #	�$ 	� )*
+,�		� � &�											� � ��&� � 	#�&�$ � /	#	*� 
� �*+�,
,'-	,'	.�'
� 
� � ���� � #	�$ 	� )*
+,�		� � (�										� � ��(� � 	#�(�$ � 01	#	*� 
� �*+�,
,'-	,'	.�'
� 
 
d) Encontre o domínio da função	�. 
O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem 
atribuidos para a variável independente (raio �) de tal forma que seja possível 
calcular através da função � a variável dependente (área do círculo �). 
Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores 
possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores 
do que zero, assim: 
���	��� � 2�	 3 	!|� 5 67	 
 
e) Encontre o conjunto imagem da função	�. 
O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável 
dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os 
elementos do domínio (raio �). 
Como � 5 6�	 então � � #	�$ sempre será um número real maior do que zero. 
��	��� � 2�	 3 	!|� 5 67	 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 3 
 
2) Dada a função ��	! � 	! , definida pela equação � � 	&�$ 8 ( . Identifique as 
variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo: 
 
Para obtermos o valor de � temos que arbitrar valores para �. Ou seja, � depende 
de �. Isto significa que � é uma função de � e o nome desta função é �. Assim, � 
é a variável dependente e � é a variável independente: 
� � ���� � &�$ 8 ( 
 
� � � ��8(� 
��8(� significa que queremos saber o valor da variável dependente � quando 
� é igual a -4. Temos que substituir � por -4. 
� � ���� � 	&�$8 ( 9 				��8(� � &�8(�$ 8 ( � (: 8 ( � (( 
;�	��0� 
��0� � &�0�$ 8 ( � & 8 ( � 80 
<�	� =0&> 
� =0&> � & =
0
&>
$
8 ( � 0& 8 ( � 8
00
& 
,�	��	?	� 
��?� � &�?�$ 8 ( � &?$ 8 ( 
'�	��	@	� 
��@� � &�@�$ 8 ( � &@$8 ( 
�� ��A$� 
��A$� � &	�A$�$ 8 ( � &	AB8 ( 
�� ��� 8 �� 
��� 8 �� � &�� 8 ��$ 8 ( � &��$ 8 %	�	� C �$� 8 ( � &�$8 1	�	� C &�$ 8 ( 
�� ��0� 8 ��6� 
��0� 8 ��6� � �&�0�$ 8 (� 8 �&�6�$ 8 (� � & 8 ( 8 6 C ( � & 
��	������
� 
����
��
� �
&�$8 (
&
$8 ( 
D�	� E�
F 
� E�
F � & E
�
F
$8 ( � &�
$
$ 8 ( �
&�$8 (
$
$ �
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 4 
 
3) Dado o conjunto � � 28%�80� 6� 0� %7 , determinar o conjunto-imagem da função 
�� � � 	!, definida pela equação � � �G 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Para cada valor 	� do domínio, ������	 � 	H8%� 80� 	6� 	0� 	%I�	foram determinados os 
valores correspondentes �	 pela função �� � � 	����� A imagem da função é o 
conjunto dos valores que � assume para todos os valores � do domínio, então 
����� 	� 	 28:�80� 	6� 	0� 	:7 
�
4) Seja � uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. 
Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, 
Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a 
Imagem da função. 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������ � 2	J�-K� L
;��'
�M.����M
�
'+'� N�	��7�
����� � 2	J�L� M� N7�
�
5) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula o quadrado de um 
número. 
Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função 
� como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de � 
e a variável dependente de	�, a função � pode ser representada pela equação: 
� � �$� 
Como para qualquer valor de �	 3 	!, (negativo, zero, positivo) é possível calcular 
o valor de �, tem-se: ������ � 2!7	 
�
Se � O 6 então � � �$ 5 6; se � � 6 então � � 6 e se � 5 6 então � 5 6	. Portanto, � 
poderá ser zero ou um número positivo, assim: 
����� � 2�	P	!|	� Q 67 � R6�CS��
� � 8%	
� 8 0 
� � 6	
� � 0	
� � %	
� � �	�8%� � 8:	
� � 	�	�80� � 80	
� � 	�	�6� � 6	
� � 	�	�0� � 0	
� � 	�	�%� � :	
x3 
x3 
x3 
x3 
x3 
� � J�-K 
� � L
;��'
 
� � M.��� 
� � M
�
'+' 
� � NT	�� 
� � ��J�-K� � J 
� � ��L
;��'
� � L 
� � ��M.���� � M 
� � ��M
�
'+'� � M 
� � ��NT	��� � N 
� 
� 
� 
� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 5 
 
6) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula a área de um quadrado. 
Chamando o comprimento do lado do quadrado de � e sua área de �, podemos 
calcular a área de uma seção quadrada como �� � � �$. Assim, a função � pode 
ser representada pela equação � � ���� � �$� 
 
Só é possível calcular a área � de um quadrado se o tamanho de seus lados for 
maior do que zero 
������ � 2�	P	!|	� 5 67 � �6�CS�	�
Como � é sempre maior do que zero, a área �	calculada pela equação � � �$ 
será sempre um número maior do que zero 
����� � 2�	P	!|	� 5 67 � �6�CS��
Observe que a função �, que calcula o quadrado de um número, e a função � , 
que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma 
equação � � �$ , porém não são funções iguais, pois seus domínios são 
diferentes. 
 
 
OBS: Duas funções �	e U são iguais se elas têm o mesmo domínio e se 
��V� � U�V� para