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2-capitulo2-funcaes4646

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Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 1 
 
Capítulo 2- Funções 
 
� ��������	
O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma 
quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra �,�,�,... 
 
Definição: 
 
Dado dois conjuntos não vazios � e � e uma lei � que associa a cada elemento � de 
� um único elemento � de �, dizemos que � é uma função	de � em �. 
�
• Indica-se que �	é uma função de � em � pela notação �: � → � 
• O conjunto � é denominado domínio da função � e é formado pelos 
elementos � que possuem correspondência em	� pela função �, ou seja, existe 
�	pertencente a � tal que � � ����. Denota-se �,�����) 
• O conjunto de � é chamado de contradomínio da função � . Denota-se 
��,�������) 
• O elemento	� de �, associado ao elemento � de � é chamado de imagem de � 
pela função	�. Indica-se que � é imagem de �	pela notação � � ����. 
• O conjunto de todos os elementos � de � que são imagens dos elementos � de 
� é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função � . 
Denota-se ��	, �����. Para toda função ����� ⊂ �. 
• Um elemento típico � do ������ é chamado variável independente e um 
elemento típico � da ����� é chamado variável dependente. 
• O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio 
e da imagem podem ser de qualquer natureza. 
• As variáveis � e �	podem representar quantidades numéricas. Porém � não 
representa uma quantidade, � estabelece uma lei de associação entre � e �. 
• Quando a função � é definida apenas pela lei de associação, sem especificação 
dos conjuntos � e �, convenciona-se que � e � são subconjuntos de ! e diz-se 
que a função �	é uma função real de variável real. 
� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 2 
 
Exemplos 
 
1) Seja � uma função que calcula a área de um círculo: 
a) Encontre a equação que representa a função � 
Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para 
cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área “é 
uma função do raio”. Se chamarmos o raio do círculo de "�" e a área de "�", a 
área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico � pela equação: 
� � ���� � 	#	�$ 
b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função	�. 
A área do círculo, variável �, depende do valor arbitrado para o raio, variável �. 
Então A é a variável dependente e � a variável independente. 
 
c) Calcule a área do círculo quando � � %		� � � &		'		� � (. 
Estamos querendo saber o valor da variável dependente � para valores 
específicos de �. Basta substituir � na equação pelo valor desejado. 
		� � ���� � #	�$ 	� )*
+,�		� � %	� � � ��%� � 	#�%�$ � (	#	*� 
� �*+�,
,'-	,'	.�'
� 
	� � ���� � #	�$ 	� )*
+,�		� � &�											� � ��&� � 	#�&�$ � /	#	*� 
� �*+�,
,'-	,'	.�'
� 
� � ���� � #	�$ 	� )*
+,�		� � (�										� � ��(� � 	#�(�$ � 01	#	*� 
� �*+�,
,'-	,'	.�'
� 
 
d) Encontre o domínio da função	�. 
O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem 
atribuidos para a variável independente (raio �) de tal forma que seja possível 
calcular através da função � a variável dependente (área do círculo �). 
Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores 
possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores 
do que zero, assim: 
���	��� � 2�	 3 	!|� 5 67	 
 
e) Encontre o conjunto imagem da função	�. 
O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável 
dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os 
elementos do domínio (raio �). 
Como � 5 6�	 então � � #	�$ sempre será um número real maior do que zero. 
��	��� � 2�	 3 	!|� 5 67	 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 3 
 
2) Dada a função ��	! � 	! , definida pela equação � � 	&�$ 8 ( . Identifique as 
variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo: 
 
Para obtermos o valor de � temos que arbitrar valores para �. Ou seja, � depende 
de �. Isto significa que � é uma função de � e o nome desta função é �. Assim, � 
é a variável dependente e � é a variável independente: 
� � ���� � &�$ 8 ( 
 
� � � ��8(� 
��8(� significa que queremos saber o valor da variável dependente � quando 
� é igual a -4. Temos que substituir � por -4. 
� � ���� � 	&�$8 ( 9 				��8(� � &�8(�$ 8 ( � (: 8 ( � (( 
;�	��0� 
��0� � &�0�$ 8 ( � & 8 ( � 80 
<�	� =0&> 
� =0&> � & =
0
&>
$
8 ( � 0& 8 ( � 8
00
& 
,�	��	?	� 
��?� � &�?�$ 8 ( � &?$ 8 ( 
'�	��	@	� 
��@� � &�@�$ 8 ( � &@$8 ( 
�� ��A$� 
��A$� � &	�A$�$ 8 ( � &	AB8 ( 
�� ��� 8 �� 
��� 8 �� � &�� 8 ��$ 8 ( � &��$ 8 %	�	� C �$� 8 ( � &�$8 1	�	� C &�$ 8 ( 
�� ��0� 8 ��6� 
��0� 8 ��6� � �&�0�$ 8 (� 8 �&�6�$ 8 (� � & 8 ( 8 6 C ( � & 
��	������
� 
����
��
� �
&�$8 (
&
$8 ( 
D�	� E�
F 
� E�
F � & E
�
F
$8 ( � &�
$
$ 8 ( �
&�$8 (
$
$ �
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 4 
 
3) Dado o conjunto � � 28%�80� 6� 0� %7 , determinar o conjunto-imagem da função 
�� � � 	!, definida pela equação � � �G 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Para cada valor 	� do domínio, ������	 � 	H8%� 80� 	6� 	0� 	%I�	foram determinados os 
valores correspondentes �	 pela função �� � � 	����� A imagem da função é o 
conjunto dos valores que � assume para todos os valores � do domínio, então 
����� 	� 	 28:�80� 	6� 	0� 	:7 
�
4) Seja � uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. 
Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, 
Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a 
Imagem da função. 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������ � 2	J�-K� L
;��'
�M.����M
�
'+'� N�	��7�
����� � 2	J�L� M� N7�
�
5) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula o quadrado de um 
número. 
Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função 
� como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de � 
e a variável dependente de	�, a função � pode ser representada pela equação: 
� � �$� 
Como para qualquer valor de �	 3 	!, (negativo, zero, positivo) é possível calcular 
o valor de �, tem-se: ������ � 2!7	 
�
Se � O 6 então � � �$ 5 6; se � � 6 então � � 6 e se � 5 6 então � 5 6	. Portanto, � 
poderá ser zero ou um número positivo, assim: 
����� � 2�	P	!|	� Q 67 � R6�CS��
� � 8%	
� 8 0 
� � 6	
� � 0	
� � %	
� � �	�8%� � 8:	
� � 	�	�80� � 80	
� � 	�	�6� � 6	
� � 	�	�0� � 0	
� � 	�	�%� � :	
x3 
x3 
x3 
x3 
x3 
� � J�-K 
� � L
;��'
 
� � M.��� 
� � M
�
'+' 
� � NT	�� 
� � ��J�-K� � J 
� � ��L
;��'
� � L 
� � ��M.���� � M 
� � ��M
�
'+'� � M 
� � ��NT	��� � N 
� 
� 
� 
� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 5 
 
6) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula a área de um quadrado. 
Chamando o comprimento do lado do quadrado de � e sua área de �, podemos 
calcular a área de uma seção quadrada como �� � � �$. Assim, a função � pode 
ser representada pela equação � � ���� � �$� 
 
Só é possível calcular a área � de um quadrado se o tamanho de seus lados for 
maior do que zero 
������ � 2�	P	!|	� 5 67 � �6�CS�	�
Como � é sempre maior do que zero, a área �	calculada pela equação � � �$ 
será sempre um número maior do que zero 
����� � 2�	P	!|	� 5 67 � �6�CS��
Observe que a função �, que calcula o quadrado de um número, e a função � , 
que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma 
equação � � �$ , porém não são funções iguais, pois seus domínios são 
diferentes. 
 
 
OBS: Duas funções �	e U são iguais se elas têm o mesmo domínio e se 
��V� � U�V� paratodo V do domínio. 
�
�
7) Dada a função ��	! � 	!, definida pela equação ���� �	�$ 8 :� C 0W. Pede-se: 
�	Os valores da imagem da função quando � � 6� 
Queremos saber o valor que será encontrado pela função � (valor da variável 
dependente) quando for atribuído o valor zero para a variável independente �, ou 
seja, queremos saber o valor de ��6�� 
��6� � 6$ 8 :�6 C 0W � 0W 
;�	Os valores de � para os quais a imagem da função é nula 
Queremos saber qual o valor de � quando ���� � 6 
���� � �$8 :� C 0W � 6�
� � 8�8:�X	Y�8:�$8 (�0�0W% �
: X √1( 8 16
	% �
: X %
% �
� � W			�*		� � &�
�
<�	Os valores de � para os quais a imagem da função é igual a 3, ou seja, ���� � & 
� � ���� � �$ 8 :� C 0W � &	 � 			�$8 :� C 0% � 6	�
� � 8�8:� X	Y�8:�$ 8 (�0�0%% �
: X √1( 8 (:
	% �
: X √01
	% �
: X (
% �
� � 1		�*		� � %�
�
�
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 6 
 
8) Encontre o domínio das funções reais indicadas abaixo: 
 
�	���� � √&� 8 % C	√8� C (�
Devemos ter simultaneamente: 
&� 8 % Q 6	 9 	� Q 	%&					�[0��8� C ( Q 6	 9	�� \ (							�[%��
������ � [0 ] [%			 9������� � ^�	 3 !4 $G \ � \ (_�
�
;�	���� � √� C %
√8� C (
�
Devemos ter simultaneamente: 
� C % Q 6	 9 	� Q 	8%					�[0��
8� C ( 5 6	 9	�� O (							�[%��
������ � [0 ] [%	 9 		������ � 2�	 3 !4 8 % \ � O (7�
�
<�	� � %* C
*
* C %�
Devemos ter simultaneamente: 
* ` 6																																			�[0��
* C % ` 6	 9		�* ` 8%						�[%��
������ � [0 ] [%�	9 	������ � ! 8 267 8 28%7�
�
,�	��	� � √&	 C %G C √% 8 W	�
Como o argumento da raiz cúbica pode ser qualquer número real, temos apenas 
a restrição do argumento da raiz quadrada, ou seja: 
% 8 W	 Q 6	 9 			W	 \ %		 9 					 \ %W�
������� � ^	 3 !4		 \ $a_�
�
'�	��A� � √A 8 0C A C 0A 8 %�
Devemos ter simultaneamente: 
A 8 0 Q 6		 9 	A Q 0										�[0��
A 8 % ` 6		 9		�A ` %						�[%��
������ � [0 ] [%�9 	������ � 2A 3 !4A Q 0	'	A ` %7�
�
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 7 
 
9) Encontre o domínio e a imagem das funções reais indicadas abaixo. 
�	� � �$ C &��
Substituindo 	� por qualquer número real obteremos para � um valor real. 
Portanto� 
������ � !		'	����� � !	�
�
;�	���� � �� 8 %�
A expressão bbc$ somente terá sentido se � 8 % ` 6, ou seja, � ` % 
Logo������� � !8 2%7���������� � 2�	 3 !|� ` %7�
Para determinar a imagem a função, devemos investigar quais os valores que a 
imagem � pode ter. Isolando � tem-se: 
� � �� 8 % 			9 					�� 8 %� � �						 9 				�� 8 � � %�			 9 						� �
%�
� 8 0�
A expressão $ddce somente terá sentido se � 8 0 ` 6, ou, � ` 0. Portanto, não existe �	 3 ������|	� � 0� Logo, 
����� � !8 207 ou ����� � 2�	 3 !|� ` 07 
�
<�	� � 0��
A expressão eb somente terá sentido se � ` 6, logo 
������ � !f� �*������� � ! 8 267 
Como não existe � 3 ! tal que a expressão eb se anule, 
����� � !f� 
�
,�	���� � √&� 8 %�
A expressão √&� 8 % somente terá sentido se &� 8 % Q 6, ou seja, � Q	$G. Logo, 
������ � ^�	 3 !|	� Q $G_��
Como a raiz quadrada de um número é sempre maior ou igual a zero, 
����� � !g�
�
� �
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 8 
 
� �
�����
��
������	
O gráfico de uma função � é o conjunto de todos os pares ordenados ��� �� no plano 
�� tal que �	pertence ao ������ e	� pertence a ������ Assim, o gráfico de uma função 
é o conjunto dos pares ordenados ��� �����, pois � � ����� Costuma-se dizer que uma 
função real a uma variável real gera uma curva em ℜ2. 
 
Como não é possível a representação de todos os pontos ��� �����, podemos escolher 
alguns valores de � pertencentes ao ������ para calcular as correspondentes 
imagens ����. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o 
chamado gráfico de dispersão. 
 
Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é 
simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma 
curva, obtendo o gráfico da função. 
�
Análise de gráficos 
Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. 
O domínio de uma função é o conjunto das abscissas � dos pontos do gráfico. 
A imagem da função é o conjunto das ordenadas � dos pontos do gráfico. 
Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta 
verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do 
domínio encontra a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em 
mais de um ponto não é função. 
 
Os valores de � para os quais ���� � 6 chamam-se zeros da função f ou raízes da 
equação ���� � 6� Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas 
dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. 
 
Exemplos: 
 
1) Esboce o gráfico da função � dada pela equação � � �G 
Inicialmente, construímos uma tabela na qual arbitramos alguns valores para 
� 3 ������ e calculamos os valores correspondentes de � � ����. Como ������ � ! 
podemos escolher valores positivos, negativos e o valor nulo para �. 
 
A seguir, localizamos os pares ordenados ��� ����� no sistema cartesiano bi-
dimensional, obtendo o gráfico de dispersão. Quanto mais pontos forem calculados, 
melhor será a representação da função. 
 
Finalmente, unimos estes pontos, com retas ou curvas suaves, obtendo o esboço do 
gráfico da função. 
 
Devemos também observar o comportamento da função quando a variável 
independente é muito pequena ou muito grande. No exemplo � � �G� se � tender a 
um número muito pequeno, � � 8S� � � �G	 assume valores bem pequenos, � � 8S. 
Se � tender a um número muito grande, � � CS� � � �G assume valores muito 
grandes, � � CS. Essas informações permitem a representação do comportamento 
da função em pontos distantes dos pontos da tabela. 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 9 
 
����	�� 
��
����������������� 
��
��������������
�
� �
�
�
2) Esboce o gráfico das funções indicadas 
 
�		� � √� 
������ � R0,C∞�		, ����� � R0,C∞�,	������ → C∞	������� � √� → C∞��
�
����	�� 
��
����������������� 
��
��������������
�
� �
 
 ;�	��*� � 2*$		 ���� � �8∞,C∞�				����� � R0,C∞� 
�*� 2*$�
��� ��
��� ��
�� ��
�� ��
�� ��
 
 
�� � � �����
��� ���� !���
��� ���� !���
�� ��� !��
�� ��� !��
�� ��� !��
 
�� � � �����
�� ��� !��
�� ��� !��
"� ��� !��
#� ��# !$�
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 10 
 
<�	���� � �� 8 1�$ 
���� � �8∞,C∞�				����� � R0,C∞� 
��� �� 8 1�$	�
��� #�
��� "�
�� ��
�� ��
�� ��
$� "�
 
 ,�	h��� � √9 8 �			 9 8 � Q 0	 ∴ 		� \ 9 
��h� � �8∞, 9i				���h� � R0,C∞� 
��� √9 8 �	�
��%� &�
�'� "�
�� $�
&� ��
#� ��
 
 '�	��
� � Y4 8 
$		 4 8 
$ Q 0		 ∴ 			
$ \ 4		 ∴ 		Y
$ \ 	√4 		 ∴ 	 |
| \ 2			 ∴ 					82 \ 
 \ 2 
���� � R82	,2i				����� � R0,2i 
�
� √4 8 
$	�
��� �����
���'� ���&�
��� ��'$�
�� �����
�� ��'$�
��'� ���&�
�� �����
 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 11 
 
��	���� � ^� C 1	-'		� Q 01										-'	� O 0			 
 ���� � �8∞,C∞�				����� � R1,C∞� 
 
�� O 0� ����� � 1�
�
�� Q 0� ����� � � C 1�
�$� ��
�
�� ��
��� ��
�
�� ��
��� ��
�
�� $�
 
 ��	���� � Y�$ 8 1		 
�$8 1 Q 0	 ∴ 		 �$ Q 1			 ∴ 		 |�| Q 1		 ∴ 	� Q 1		�*			� \ 81 ���� � �8∞	, 1i ∪ R1,C∞�			����� � R0,C∞� 
��� Y�$ 8 1	�
�$� ���$�
��� ��'$�
��� �����
�� ��
�� �����
�� ��'$�
$� ���$�
 
 ��	���� � ^2� 8 1	-'		� ` 20										-'	� � 2 						 
 ���� � !			����� � ! 8 237 
 
�� ` 2� ����� � 2� 81�
�
�� � 2� ���� � 0��
��� �&�
�
�� ��
��� �$�
� � ��� ���
� � ��� ��
� � ���##� ��#��
� � ������ $����
� � �$� &�
� � �
 
 ��	��A� � YA$ 8 9	 A$ 8 9 Q 0		 ∴ 		A$ Q 9		 ∴ 		YA$ Q √9 |A| Q 3∴ 			A Q 3		�*		A \ 83 
 ���� � �8∞,83i ∪ R3,C∞�			����� � R0,C∞� 
 
�&
�"
�$
��
��
�
�
�
$
"
&
�$ �� �� � � � $
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 12 
 
3 Operações com Funções 
 
Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e 
divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. 
 
Dadas as funções �	e � podemos ter as seguintes operações: 
 
a) Soma : ���� � �� C ����� � ���� C ����								������ � ������⋂ 	������ 
b) Subtração: ���� � �� 8 ����� � ���� 8 ����							������ � ������⋂ 	������ 
c) Multiplicação: ���� � ��.����� � ����. ����															������ � ������⋂ 	������ 
d) Divisão: ���� � ��/����� � m�b�n�b� 															������ � ������⋂ 	������ 8	 2� ∈ !|���� � 07 
e) Divisão: ���� � ��/����� � n�b�m�b� 															������ � ������⋂ 	������ 8	 2� ∈ !|���� � 07 
 
Graficamente, as ordenadas ���� são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou 
divisão das ordenadas	���� e ����. 
 
 
Exemplos 
 
Dadas duas funções � e �, encontre as funções: 
�	� C �	; 		;�	� 8 �	; <�	�. �	; 	,�		�/�	;	 '�	�/� e determine seus domínios. 
 
1) ���� � √5 8 �				'			���� � √� 8 3 
 
Domínio de �	: 5 8 � Q 0		 ∴ 		� \ 5		 ∴ 				������ � �8∞, 5i 
Domínio de � : � 8 3 Q 0		 ∴ 		� Q 3		 ∴ 			������ � R3,C∞� 
 
a) ���� � ���� C ���� � √5 8 �		 	C √� 8 3 
 ������ � ������ ∩ ������ � R3	,5i 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ���� � ���� 8 ���� � √5 8 �		 8 √� 8 3 
 ������ � ������ ∩ ������ � R3	,5i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 13 
 
c) ���� � ����. ���� � √5 8 �		.√� 8 3 � Y�5 8 ���� 8 3� 
 ������ � ������ ∩ ������ � R3	,5i 
 
 
 
 
 
 
 
d�	���� � ����/���� � √5 8 �		√� 8 3 		� q
�5 8 ��� 8 3 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	2� ∈ !|���� � 07 
 ���� � 0				 ∴ 			� 8 3 � 0		 ∴ 		� � 3 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	237 � �3	, 5i 
 
 
 
 
'�	���� � �������� � √� 8 3		√5 8 � � q
�� 8 3�5 8 � 		 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	2� ∈ !|���� � 07 
 ���� � 0				 ∴ 			5 8 � � 0		 ∴ 		� � 5 
 ������ � ������ ∩ ������ 8	257 � R3	, 5� 
 
 
 
 
2����� � √� 8 4												���� � 12 � C 4 � 8 4 Q 0					 ∴ 					� Q 4						 
 ������ � R4,C∞�						������ � !	 
 
 
 
�	���� � √� 8 4 C e$� C 4											 			������ � ������ ∩ ������ � 	 R4,C∞� 
 
 b�	���� � √� 8 4 8 e$� 8 4											 			������ � ������ ∩ ������ � 	 R4,C∞� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 14 
 
 c�	���� � r√� 8 (	s Ee$� 8 (F											 			������ � ������ ] ������ � 	 R(�CS� 
 
 
	,�	���� � �������� �
√� 8 (
0
% � C (
	 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6		 9 			6�W� C ( � 6			 9 			� � 8:		 
			������ � 	 R(�CS� 8 28:7 � R(�CS�� pois -8 não está no intervalo R(�CS� 
 
'�	���� � �������� �
6�W� C (
√� 8 ( 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6		 9 			√� 8 ( � 6				 9 		� � ( 
������ � ������ ] ������ 8 2(7 � R(� CS� 8 2(7 � �(�CS� 
 
 
&����� � � 8 W										���� � �$8 0			 
 
		������ � !					������ � !	 
 
�	���� � ���� C ���� � � 8 W C �$ 8 0 � �$C � 8 1 
						������ � ������ ] ������ � 	! 
 
;�	���� � ���� 8 ���� � � 8 W 8 �$C 0 � 8�$C � 8 ( 
						������ � ������ ] ������ � 	! 
 
<�	���� � ����� ���� � �� 8 W���$ 8 0� � �G8W�$8 � C W 
						������ � ������ ] ������ � 	! 
 
,�	���� � ����l���� � �� 8 W�l��$ 8 0� 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6			 9 		�$ 8 0 � 6		 9 				Y�$ � 0						 9 						 4�4 � 0			 9 			� � X0 
			������ � ������ ] ������ 8 2X07 � 	! 8 28078 207 
 
'�	���� � ����l���� � ��$ 8 0�l�� 8 W� 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 6			 9 		� 8 W � 6		 9 				� � W 
			������ � ������ ] ������ 8 2W7 � 	! 8 2W7 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 15 
 
(����� � � C 0� 8 0 															���� �
0
� 
 
�������					� 8 0 ` 6					 9 					� ` 0			 9 				������ � !8 207	 
�������					� ` 6									 9 								� ` 6				 9		 ������ � ! 8 267 
 
 
�	���� � ���� C ���� � � C 0� 8 0 C		
0
� �
�$ C %� 8 0
�$8 � 				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
;�	���� � ���� 8 ���� � � C 0� 8 0 8		
0
� �
�$C 0
�$8 �				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
<�	���� � ����� ���� � =� C 0� 8 0>	=
0
�> �
� C 0
�$8 � 				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
,�	���� � �������� �
E� C 0� 8 0F
E0�F
� =� C 0� 8 0> � E
�
0F �
�$ C �
� 8 0 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � 0� � 	6 � � � XS				 
			������ � ������ ] ������ � 	! 8 267 8 207 
 
 
'�	���� � �������� �
0
�� C 0
� 8 0
�	=0�> =
� 8 0
� C 0> 	�
� 8 0
�$ C � 
������ � ������ ] ������ 8	2� 3 !4���� � 67 
���� � � C 0� 8 0 � 6		 �				
� C 0
� 8 0 � 6		 � 	� C 0 � 6				� � 80 
			������ � ������ ] ������ 8 2807 � 	! 8 267 8 207 8 2807 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 16 
 
4 Função Composta 
�
Sejam três conjuntos distintos �, � e � que entre eles existam as seguintes funções: �� � � �								'								�� � � � 
Irá existir uma outra função � t � � � tal que ���� � ������� que é chamada de 
função composta de �	 e � denotada por �� u ������ 
 
Exemplo: 
Sejam três conjuntos � � 28&� 6	� 0� &7�� � 28W	� 0	� &	� v7		'		� � 2%W	�0	� /� (/7	e as funções 
�� � � � tal que ���� � %� C 0 e �� � � � tal que ���� � �$ , conforme indicado no 
esquema abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada elemento de � existe um elemento em � tal que ���� � %� C 0 e para cada 
elemento de � existe um elemento de � tal que ���� � �$� 
Podemos concluir que existe uma função �� � � � definina por ���� � �������� ou seja: 
���� � �r����s � r����s$ � �%� C 0�$ ou ���� � �r����s � ��%� C 0� � �%� C 0�$ 
 
 
 
 
 
 
 
 
��&� � �r��8&�s � ��8W� � %W 
��6� � �r��6�s � ��0� � 0 
��0� � �r��0�s � ��&� � / 
��&� � �r��&�s � ��v� � (/ 
 
-3 
0 
1 
3 
-5 
1 
3 
7 
� 
-5 
1 
3 
7 
25 
1 
9 
49 
� 
� � � � 
-3 
0 
1 
3 
-5 
1 
3 
7 
25 
1 
9 
49 
� � 
� � � 
� 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 17 
 
Na função composta � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou 
seja, à imagem de � aplicamos a função � . Assim, o domínio de �� u ����� é o 
conjunto de todos os elementos � no domínio da função � tal que ���� esteja no 
domínio da função �. ����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
Na função � u �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à 
imagem de � aplicamos a função �. Assim, o domínio de �� u ����� é o conjunto de 
todos os elementos � no domínio de � tal que ���� esteja no domínio de �. 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
É importante lembrar que as função � u � e � u � são geralmente diferentes. 
�
Exemplos: 
1) Dadas as funções ���� � �$ e ���� � √�, encontre a função indicada e seu 
domínio. 
������ � !		o 			������ � !g � R6�CS�				 
��� u ����� 
�� u ����� � �r����s � Y���� � Y�$ 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|	�% 3 R6�CS�7		�
Como para todo	� 3 !	, �$ 3 R6�CS�	 
����� u �� � 		 2� 3 !7 � 	!	 
;�	�� u ����� 
�� u ����� � �r����s � ������$ � r√�s$ 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R6�CS�	|	√� 3 !	7		�
Como para todo � Q 6	, √� 3 ! 
����� u �� � 2� 3 R6�CS�7� 		!C�
<�	�� u ����� � �r����s � r����s$ � ��$�$ � �B 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7	 
����� u �� � 2� 3 !	|	�$ 3 !7	 
Como para todo � 3 !	, �$ 3 ! 
����� u �� � 2� 3 !7 � 	!	 
,�	�� u ����� � �r����s � Y���� � w√� 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R6�CS�					|	√�	 3 R6�CS�				7�
Como para todo	� Q 6, √�	 Q 6	 
����� u �� � 2� 3 R6�CS�7 � 	!g	�
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 18 
 
2) Dadas as funções ���� � √� e			���� � �$ 8 0, encontre a função indicada e seu 
domínio. 
������ � 	!g � R6�CS�				o 				������ � !						 
 
�	� u � � �r����s � Y���� � Y�$8 0	 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|	�	�$8 0� 3 R6�CS�7	�
O domínio é todo � 3 ! com a restrição de (�$ 8 0� Q 6 
											�$8 0 Q 6 9		 �$ Q 0 9 		Y�$ Q 0 9 			 |�| Q 0 9 	� Q 0	�*	� \ 80 
����� u �� � 	 2� 3 !	|	� Q 0	�*	� \ 807 � 	 �8S� 80ij R0�CS� 
 
;�	� u � � �r����s � ������$ 8 0 � r√�s$ 8 0	 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R6�CS�	|	√� 3 	!7		�
Como para todo	� Q 6, √�	 Q 6	 
����� u �� � 2� 3 R6�CS�7 � 		!g�
 
<�	� u � � �r����s � Y���� � w√� 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R6�CS�	|	√� 3 R6�CS�7		�
Como para todo	� Q 6, √�	 Q 6	 
����� u �� � 2� 3 R6�CS�7 � 		!g 
 
,�	� u � � �r����s � ������$ 8 0 � ��$8 0�$ 8 0 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|	��$8 0� 3 !7		�
Como para todo	� 3 !, ��$ 8 0� 3 ! 
����� u �� � 2� 3 !7 � 	!�
�
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 19 
 
3) Dadas as funções ���� � √� 8 % e			���� � �$8 %, encontre a função indicada e 
seu domínio. 
������ � R%�CS�o 			������ � !						 
 
�	� u � � �r����s � Y���� 8 % � Y�$8 %8 % � Y�$8 ( 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|	��$8 %� 	3 R%�CS�7		�
O domínio é todo � 3 ! com a restrição de (�$ 8 %� Q % 
�$8 % Q %		 9 	�$8 % 8 % Q 6 9 		 �$ Q ( 9 |�| Q %		 9 		� Q %	�*	� \ 	8% 
����� u �� � 2� 3 !	|	� Q %	�*	� \ 	8%7	� 	 �8S�8%i j R%�CS�		 
 
;�	� u � � �r����s � r����s$ 8 % � r√� 8 %s$ 8 % 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R%�CS�	|	√� 8 % 3 !7		�
O domínio é todo � Q % com a restrição de √� 8 % 3 ! 
Para √� 8 % ser número real, devemos ter:				� 8 % Q 6		 9 	� Q % 
����� u �� � 2� 3 R%�CS�	|	� 3 R%�CS�		7	�
����� u �� � 2� 3 R%�CS�7	�
�
<�	� u � � �r����s � Y���� 8 % � w√� 8 % 8 %	 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 R%�CS�	|	√� 8 % 3 R%�CS�7		�
O domínio é todo � Q % com a restrição de √� 8 % Q % 
√� 8 % Q %	 9 				� 8 % Q ( 9 		� Q 1		 
����� u �� � 2� 3 R%�CS�	|		� 3 R1�CS�7		�
����� u �� � R%�CS�	k	R1�CS� 
����� u �� � R1�CS� 
 
,�	� u � � �r����s � r����s$8 % � ��$8 %�$ 8 % 
����� u �� � 2� 3 ������	|���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|��$8 %� 3 !7		�
Como para todo	� 3 !, ��$ 8 %� 3 ! 
����� u �� � 2� 3 !7 � 	!�
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 20 
 
4) Dadas as funções ���� � 0 8 �G e			���� � eb encontre a função indicada e seu 
domínio. 
������ � !o 			������ � !8 267 � 	!f		 
�	� u � � �r����s � 0���� �
0
0 8 �G 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !	|	�08 �G� 3 !f7		�
O domínio é todo � 3 ! com a restrição de �08 �&� 3 !f		 
r0 8 �&s 3 !f 	9 	0 8 �& ` 6				 9 		 �G ` 0		 9 		� ` 0 
����� u �� � 2� 3 !	|	� ` 07 	� 	! 8 207	�
 
;�	� u � � �r����s � 0���� �
0
0
�
� � 
����� u �� � 2� 3 ������	|	���� 3 ������7		�
����� u �� � 2� 3 !f	| 0� 3 !f7		�
Como para todo � ` 6		, 0l� ` 6 
����� u �� � 2� 3 !f7 � 	! 8 267	�
�
5) Considere uma placa metálica de seção quadrada que, devido à variação térmica, 
os comprimentos de seus lados aumentam com a temperatura de acordo com a 
equação x � 6�0		 C 06, onde x é o comprimento do lado do quadrado (em <�) e 	 
é a temperatura (em �y ). Qual a área da placa quando a temperatura for de 
0 �y , 10 �y , 20 �y e 30 �y ? 
 
O comprimento x dos lados da placa depende da temperatura 	 de acordo com a 
equação: 
x � 6�0		 C 06			 9 			x � ��	�� o comprimento do lado é função da temperatura 
A área da placa � depende do comprimento de seus lados de acordo com a 
equação: 
� � x$ 				 9 				� � ��x�	�	 a área é função do comprimento. 
� � ��x� � �r��	�s � �� u ���	� 
� � x	$ � ���	��$ � �6�0		 C 06�$ 
Quando 	 � 6	 �y � 		� �	 �6�0� 6		 C 06�$ � �06�$ � 066	<�$ 
Quando 	 � 06	 �y � � �	�6�0	�06 C 06�$ � �00�$ � 0%0	<�$ 
Quando				 � %6	 �y � � �	�6�0	�%6 C 06�$ � �0%�$ � 0((	<�$ 
Quando 	 � &6	 �y � � �	�6�0	�&6 C 06�$ � �0&�$ � 01/	<�$ 
�

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