Aula1 Apresetacao e Propriedades Geometricas completa resmate

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Resistência dos Materiais II – CCE0330
Aula 01
Profº: Jair Gonçalves de Oliveira Borges
jair.borges.estacio@gmail.com
UNESA – UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
CURSO – ENGENHARIA CIVIL
� Carga horária semanal: 4 horas/aula
� Carga horária semestral: 88 horas/aula
Plano de Ensino
2Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Ementa:
� Propriedades de superfícies planas;
� Carregamento axial;
� Torção;
� Flexão pura e composta.
� Cisalhamento na flexão
� Colunas
Plano de Ensino
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� Objetivos Gerais:
� Estudar as tensões e deformações corpos sólidos deformáveis
submetidos à ação de forças externas, desenvolvendo as
equações que regem a distribuição dessas tensões e identificando
as condições críticas de solicitação.
Plano de Ensino
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� Objetivos Específicos:
Proporcionar ao aluno as ferramentas necessárias para a 
determinação de tensões críticas em elementos estruturais, e 
fornecer os fundamentos teóricos necessários para o 
dimensionamento de estruturas de aço, madeira e concreto.
Plano de Ensino
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� Conteúdos:
Plano de Ensino
6
1 - Propriedades geométricas de superfícies planas;
- momento estático (ou de 1ª ordem);
- translação de eixos para momentos estáticos;
- determinação do baricentro;
- significado do momento do momento estático;
- momentos de inércia;
- momento de inércia (ou de 2ª ordem); 
- momento polar de inércia;
- produto de inércia;
- translação de eixos para momentos de inércia;
- rotação dos eixos de inércia;
- eixos e momentos principais de inércia.
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2 - Carregamento Axial
- Carregamento axial e esforço normal;
- Princípio de Saint-Venant
- Princípio da superposição de efeitos
- Deformações axiais
- Tensões e deformações térmicas
- Deformação axial inelástica
� Conteúdos:
Plano de Ensino
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3 - Torção
- momento torçor
- hipóteses básicas
- Formula de torção para seções circulares ou tubulares
- Dimensionamento de barras sujeitas a torção
- ângulo de torção
- Tensões de cisalhamento em regime inelástico
- Barras de seção não circular maciças
- Barras de paredes esbeltas
� Conteúdos:
Plano de Ensino
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4 - Flexão 
- tipos de flexão;
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes;
- flexão pura reta;
- distribuição de tensões em função da curvatura;
- posição da linha neutra;
- distribuição de tensões em função do momento;
- determinação de tensões máximas e mínimas, módulo de resistência;
- material elasto-plástico perfeito;
- momento elástico máximo;
- momento último ;
- flexão pura obliqua ;
- distribuição de tensões;
- determinação da posição da linha neutra;
- determinação de tensões máximas e mínimas.
- flexão composta
- excentricidades;
- distribuição de tensões;
- determinação das tensões máximas e mínimas;
- determinação da posição da linha neutra;
- núcleo central (seção retangular);
� Conteúdos:
Plano de Ensino
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5 - Cisalhamento na flexão
- tensões de cisalhamento obtidas pela variação de momento;
- fluxo de cisalhamento; 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas com seções simples
- limitações para a formulação de cisalhamento 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas seções com seções compostas
- centro de cisalhamento
6 - Colunas
- estabilidade do equilíbrio
- formula de euler para diferentes condições de extremidade
- Determinação de carga crítica de colunas
� Avaliação:
� Avaliação 1 (AV1) – Conteúdo até o dia de sua realização
� Avaliação 2 (AV2) – Todo conteúdo da disciplina
� Avaliação 3 (AV3) – Todo conteúdo da disciplina
� Para aprovação:
� Média > 6.0, considerando as duas maiores notas;
� Nota mínima 4.0 em pelo duas das três avaliações;
� Presença > 75%
Plano de Ensino
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� Bibliografia Básica:
Plano de Ensino
11
1 - HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
2 -RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técncios e Científicos, 2003.
3 - BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1995. 
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� Bibliografia Complementar:
Plano de Ensino
12
1- TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 1. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1983. 
2- TIMOSHENKO, Stephen P.; GERE, James E.. Mecânica dos Sólidos: Volume 2. 1. ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1984.
3- POPOV, E. P. Resistência dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1984. 
4- TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Teoria da Elasticidade. 3. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 
1980.
5- DI BLASI, C. G. Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Interamericana, 1982.
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Introdução
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CURSO – ENGENHARIA CIVIL
� Resistência dos Materiais tem por objetivo fornecer
conhecimentos básicos das propriedades mecânicas de
sólidos reais, visando utilizá-los no projeto, modelagem e
cálculo de estruturas.
Introdução
14Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� O que é estrutura, do ponto de vista da engenharia?
Introdução
15Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� É a parte resistente de uma construção e que é composta
por diversos elementos.
� Como os elementos estruturais podem ser classificados?
� Lineares – são elementos estruturais para os quais duas das dimensões (largura
e altura) são bastante inferiores à terceira (comprimento). Podem ser retas
(vigas, pilares, tirantes e escoras) ou curvas (arcos).
Introdução
16Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Como os elementos estruturais podem ser classificados?
� Bidimensionais – São aqueles onde a espessura é pequena comparada às outras
duas dimensões. Se a superfície for plana tem-se a placa ou a chapa e se for é
curva o elemento é chamado casca.
Introdução
17Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Ex: Placa
Ex: Casca
� Como os elementos estruturais podem ser classificados?
� Tridimensionais – quando as três dimensões tem a mesma ordem de
grandeza. Ex: blocos, sapatas de fundação, os consolos, etc.
Introdução
18Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Edifícios altos
Introdução
19Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Fases do projeto estrutural:
Introdução
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Anteprojeto
Análise Estrutural
Dimensionamento
� Estimar a dimensão das peças, fazendoo pré-
dimensionamento através de critérios técnicos ou
empíricos:
� Cargas (permanente, acidental, etc);
� Esforços internos (Normal, Cortante, Fletor, torçor);
� Tensões e deformações
� Dimensionar a estrutura de acordo com as
características de diversos materiais (aço, madeira,
concreto, etc).
� Resistência dos materiais:
Introdução
21Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças
internas que atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo das
deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a
solicitações externas (HIBBELER).
� Resistência dos materiais (Hipóteses admitidas) :
Introdução
22Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Continuidade física - A matéria apresenta uma estrutura contínua, ou seja, são
desconsiderados todos os vazios e porosidades.
� Homogeneidade - O material apresenta as mesmas características mecânicas,
elasticidade e de resistência em todos os pontos.
� Isotropia - O material apresenta as mesmas características mecânicas
elásticas em todas as direções.
� Equilíbrio - Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes
também está em equilíbrio.
� Pequenas deformações - As deformações são muito pequenas quando
comparadas com as dimensões da estrutura.
� Resistência dos materiais (Hipóteses admitidas) :
Introdução
23Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Saint-Venant - Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos
idênticos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação das
cargas.
� Seções planas - A seção transversal, após a deformação, permanece plana e
normal à linha média (eixo deslocado).
� Conservação das áreas - A seção transversal, após a deformação, conserva as
suas dimensões primitivas.
� Lei de Hooke - A força aplicada é proporcional ao deslocamento. F = kd
onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o deslocamento;
� Princípio da superposição de efeitos - Os efeitos causados por um sistema de
forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cada força considerada
agindo isoladamente e independente das outras
Propriedades geométricas de superfícies 
planas
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CURSO – ENGENHARIA CIVIL
� O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de qualquer
elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade
de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras
geométricas que formam essas seções transversais.
Propriedades geométricas de superfícies planas
25Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� As principais propriedades geométricas de figuras planas são:
� Área (A)
� Momento estático (M)
� Centro de gravidade (CG)
� Momento de Inércia (I)
� Módulo de resistência (W)
� Raio de giração (i)
Propriedades geométricas de superfícies planas
26Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Área (A) de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno.
Para contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a
forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida
(retângulos, triângulos, etc).
� A unidade de área é [L]² (unidade de comprimento ao quadrado).
Exemplo: m², cm², mm²
� A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e
compressão) e das tensões de transversais ou de corte.
Área
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Área
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� Momento Estático (M) de um elemento de superfície é o produto da
área do elemento pela distância que o separa de um eixo de referência.
Momento Estático
29Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� É definido como a somatória de todos os momentos estáticos dos 
elementos de superfície que formam a superfície total.
� Dimensão: [L]× [L]2 = [L]3 Exemplo: m³, cm³, mm³
� É utilizado para a determinação das tensões transversais em uma peça 
submetida à flexão
Momento Estático
30Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras 
conhecidas é a somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Momento Estático
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� Centro de Gravidade:
� Seja um corpo sujeitas à ação da gravidade, no qual é aplicada uma força
vertical atuando de cima para baixo.
A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do
corpo.
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá
sempre sujeito à ação da gravidade.
Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram
sempre paralelas e verticais.
Centro de Gravidade (CG): ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças
paralelas, qualquer que seja a posição do corpo.
Centro de Gravidade
32Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Centro de Gravidade:
� A atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser
representada por uma única força P.
� Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu
baricentro, ou cento de gravidade (CG).
� O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da
superfície
33Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade
� Centro de Gravidade:
34Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura.
Centro de Gravidade
� Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras:
� O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é
expresso por:
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Centro de Gravidade
36Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade
� Determinar o centro de gravidade CG do retângulo em relação ao eixo x
que passa pela sua base:
� Área do retângulo
� O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo
x é somatória do produto de cada elemento de área dA
pela sua distância em relação ao eixo x.
Momento Estático
37Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade – Exemplo 1
� Determinar o CG da Figura (medidas em centímetros).
38Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade – Exemplo 2
� Determinar o CG da Figura (medidas em centímetros).
39Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade – Exemplo 3
� Determinar o CG da Figura(medidas em centímetros).
40Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade – Exemplo 4
� Determinar o CG da Figura (medidas em centímetros).
41Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Centro de Gravidade – Exemplo 4
� É definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área
que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de
referência, elevadas ao quadrado.
� Dimensão: [L]2×[L]2=[L]4 . Exemplo: m4, cm4, mm4
Momento de Inércia
42Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� É uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento
dos elementos estruturais.
� Representa a resistência mecânica da peça ou estrutura.
� Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma
peça, maior a sua resistência.
Momento de Inércia
43Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos 
momentos de inércia das figuras que a compõe.
Momento de Inércia
44Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
� Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação
ao eixo x que passa pelo CG. (medidas em centímetros).
45Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento de Inércia – Exemplo
� O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer
é igual ao momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu
centro de gravidade, acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da
distância que separa os dois eixos.
46Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento de Inércia – Translação de Eixos
Onde:
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
IxCG = momento de inércia da figura em relação ao eixo CG x que passa pelo CG da figura. 
IyCG = momento de inércia da figura em relação ao eixo yCG que passa pelo CG da figura. 
xCG = distância do eixo y até o eixo yCG . 
yCG = distância do eixo x até o eixo xCG .
� O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões
normais a que estão sujeitas as peças submetidas à flexão.
� As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático:
47Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento de Inércia – Translação de Eixos
� Exemplo:
� Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes
eixos:
a) x, passando pela base inferior.
b) CG x , passando pelo CG.
48Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento de Inércia – Translação de Eixos
� Exemplo:
� Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes
eixos:
a) x, passando pela base inferior.
b) CG x , passando pelo CG.
49Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento de Inércia – Translação de Eixos
� Exemplo:
� Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes
eixos:
a) x, passando pela base inferior.
b) CG x , passando pelo CG.
50Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento de Inércia – Translação de Eixos
� Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos
eixos que contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia
relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o
eixo e a extremidade da seção estudada.
� onde:
� ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura
� x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça.
� A unidade do módulo resistente é Exemplo: m³, cm³,mm³
� O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à
flexão.
51Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Módulo Resistente
� Para o retângulo, tem-se:
52Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Módulo Resistente - Exemplo
� Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o
momento de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração
é o comprimento. Exemplo: m. cm, mm.
� O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem.
53Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Raio de Giração
Profº Jair Borges 
Resistência dos Materiais II – CCE0330 54
� A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura,
determinar:
a) o centro de gravidade;
b) o momento de inércia em relação ao eixo x;
c) os módulos Resistentes superior e inferior;
d) o raio de giração.
(medidas em centímetros)
55Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exemplo
56Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exemplo
a) o centro de gravidade;
b) o momento de inércia em relação ao eixo x;
c) os módulos Resistentes superior e inferior;
d) o raio de giração.
� Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo:
a) área; b) centro de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em
relação ao eixo x; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de
giração.
1- 2-
57Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
� Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo:
a) área; b) centro de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em
relação ao eixo x; c) momento de inércia em relação ao eixo x; d) módulo
resistente superior e inferior; e) raio de giração.
3- 4-
58Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
� Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo:
a) área; b) centro de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inércia em
relação ao eixo x; c) momento de inércia em relação ao eixo x; d) módulo
resistente superior e inferior; e) raio de giração.
5- 6-
59Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
1- 2-
60Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Respostas
5- 6-
3- 4-
� O momento polar de inércia é aquele em torno do eixo que passa pela
origem do sistema de eixos, que é um eixo normal ao plano da figura.
� Será denominado IP ou I0
� Defini-se momento polar de inércia como ∫r²dA.
61Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento Polar de Inércia
Ip =∫r²dA
Sendo:r²=x²+y²
Ip=∫x²dA+∫y²dA
Ip=Ix+Iy
62Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momento Polar de Inércia - Círculo
�� = � �² �� �� = 2�. �. ��
�� = 
 ��. 2�� �.u.du
�� = 2� � ��
�
�
. �� ⇒ �� = ��
�
2
Como:
��=��+��
���
� =��+��=2. �� pois(��=��)
Portanto para o círculo temos:
�� = ���� ; �� = ��
�
� ; �� = ��
�
�
Reescrevendo em função do diâmetro:
�� = �5�6� ; �� = �5
�
6� ; �� = �5��
� É definido como a integral ∫x.y.dA obtida multiplicando-se cada elemento
de área dA de uma área A por suas coordenadas x ey em relação aos
eixos coordenados.
� Ao contrário do momento de inércia o produto de inércia pode ser
positivo, negativo ou nulo e não tem significado físico.
� Será indicado pela notação Ixy= ∫x.y.dA
63Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Produto de Inércia
Ixy>0 Ixy<0 Ixy=0
� De forma semelhante ao que fizemos em Momentos de Inércia, teremos,
considerando integral em relação a área:
� x=x’ + d2
� y=y’ + d1
� Ixy= ∫x.y.dA
� Ixy= ∫(x’ + d2).(y’ + d1).dA
� Ixy= ∫x’.y’.dA+d1∫x’.dA+∫d1.d2.dA+d2∫y’.dA
� Ixy= Ixy CG +d1.d2.A
64Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Produto de Inércia – Teorema de Eixos Paralelo
x=b/2;y=y;dA=bdy
Ixy= ∫x.y.dA = ∫0h(b/2).y.b.dy
Ixy=b
2.h2/4
� Utilizando o teorema de eixos paralelos:
Ixy= Ixy CG +d1.d2.A
b2.h2/4= Ixy CG +h/2.b/2.b.h
Ixy CG =0
� Logo podemos concluir que toda figura
Com ao menos um eixo de simetria terá Ixy CG =0
65Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Produto de Inércia – Retângulo
x=z/2;y=y;dA=zdy
Ixy= ∫x.y.dA
Ixy=b
2.h2/24
� Utilizando o teorema de eixos paralelos:
Ixy= Ixy CG +d1.d2.A
b2.h2/24= Ixy CG +(h/3).(b/3).(b.h/2)
Ixy CG =-b
2.h2/72
� O sentido negativo encontrado para o produto de inércia do triângulo
em relação aos eixos xcg e ycg indica que há uma maior quantidade de área nos
quadrantes negativos.
66Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Produto de Inércia – Triângulo
67Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momentos e produto de inércia em relação a eixos
inclinados e momentos principais de inércia
78 = 79:; < + =9:;(<)
=8 = =9:; < − 7;?@(<
�� = � =² ��
�� = � 7² ��
��� = � 7= ��
��8 = � =′² ��
��8 = � 7′² ��
���8 = � 7′=′ ��
��8 = �� + ��2 +
�� − ��
2 cos 2< − ���;?@(2<)
��8 = �� + ��2 −
�� − ��
2 cos 2< + ���;?@ 2<
��B�8 = �� − ��2 sen 2< + ���9:;(2<)
68Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momentos e produto de inércia em relação a eixos
inclinados e momentos principais de inércia
��8 = �� + ��2 +
�� − ��
2 cos 2< − ���;?@(2<)
��8 = �� + ��2 −
�� − ��
2 cos 2< + ���;?@ 2<
��B�8 = �� − ��2 sen 2< + ���9:;(2<)
� Se a primeira e a segunda equações forem somadas, pode-se mostrar que o
momento polar de inércia em relação a origem do sistema de eixos é independente
da orientação dos eixos x′e y′ ou seja:
��=��8+��8 = ��+��
69Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momentos e produto de inércia em relação a eixos
inclinados e momentos principais de inércia
��8 = �� + ��2 +
�� − ��
2 cos 2< − ���;?@ 2<↓
Derivada = 0���8
�< = −2
�� + ��
2 ;?@ 2< − 2��� cos 2< = 0
Assim para < = <E
FG@2<E = −2 HIJ(HIKHJ) ⇒ ?;;G ?L�Gçã: E:;;�M ��G; �GMN?; <E1 e <E2 defasadas de 90º
e estabelecem a inclinação dos eixos principais. 
� O par de eixos em particular onde os momentos são extremos (máximos e mínimos)
são chamados de eixos principais de inércia e os correspondentes momentos de
inércia em relação a eles são chamados momentos principais de inércia.
� O ângulo θ = θp, que define a orientação dos eixos principais, é obtido por
derivação da equação a baixo em relação θ, impondo-se resultado nulo.
70Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momentos e produto de inércia em relação a eixos
inclinados e momentos principais de inércia
;?@2<E1 =
−���
�� − ��
2
�
+ ���
�
� De forma a substituí-las nas equação de Ix’ devemos obter seno e cosseno de 2θp1
e 2θp2, o que pode ser feito utilizando a identidade trigonométrica:
sen²2θp +cos²2θp=1, obtendo-se desta forma:
Para θp1 Para θp2
;?@2<E2 =
���
�� − ��
2
�
+ ���
�
9:;2<E1 =
�� − ��
2
�� − ��
2
�
+ ���
�
9:;2<E2 =
−
�� − ��
2
�� − ��
2
�
+ ���
�
71Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Momentos e produto de inércia em relação a eixos
inclinados e momentos principais de inércia
� Substituindo na equação de Ix’ obtemos, os momentos principais de inércia:
�PQ� = �R =
�� + ��
2 +
�� − ��
2 
�
+ ���
�R� = 0
FG@2<E = −2 ���(��−��)
�PQ� = �R = �� + ��2 −
�� − ��
2 
�
+ ���
� Para as figuras abaixo determine os momentos principais de inércia e a
orientação dos eixos principais em relação aos CGs.
Resposta: I1 = 3983, 88cm4; I2 = 589, 75cm4; θp1 = 0° e θp2 = 90°
72Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
� Para as figuras abaixo determine os momentos principais de inércia e a
orientação dos eixos principais em relação aos CGs.
Resposta: I1 = 25392, 72cm4 , I2 = 7453, 34cm4, θp1 = −4, 26° e θp2 =83,
73°
73Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
� Para as figuras abaixo determine os momentos principais de inércia e a
orientação dos eixos principais em relação aos CGs.
Resposta: I1 = 135, 1cm4 , I2 = 21, 73cm4 , θp1 = −9, 2° e θp2 =80, 82°
74Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
� Para as figuras abaixo determine os momentos principais de inércia e a
orientação dos eixos principais em relação aos CGs.
Resposta:I1= 2438, 13cm4 , I2 = 1393, 89cm4, θp1 = −71, 95°e θp2 =18, 05°
75Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios
� Para as figuras abaixo determine os momentos principais de inércia e a
orientação dos eixos principais em relação aos CGs.
Resposta: I1 = 11780, 45cm4, I2 = 5651, 04cm4, θp1 = 0° e θp2 = 90°
76Profº Jair Borges Resistência dos Materiais II – CCE0330
Exercícios