Equação de Bernoulli e de Energia

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Cap 5. Equação de Bernoulli e de Energia
página 133
5.1 Introdução
Conservação de Massa ou BM
Sistema Fechado: msist = cte
dmsist
dt = 0
Volume de Controle:
dmVC
dt = !me − !ms
taxa mássica que sai do VC (kg/s)
taxa mássica que entra do VC (kg/s)
variação de massa por tempo no VC (kg/s)
!m
OBS: vazão mássica
Conservação de Energia ou BE
Sistema Fechado: energia pode ser transferida 
por Q e/ou W
Volume de Controle: energia pode ser transferida 
por escoamento de massa, Q e/ou W
dEVC
dt =
!Ee − !Es taxa de Energia que sai no 
VC (J/s => W)
taxa de Energia que entra no VC (W)
variação de Energia no VC ao longo do tempo (W)
Abro a torneira e com o cronômetro marco o tempo gasto 
para encher o tanque de 20L.
Vazão em volume é dado pelo volume de fluido que atravessa 
uma seção de escoamento em uma unidade de tempo.
5.2 Conservação de Massa
Vazão Volumétrica
!V = Vt
volume (m3)
vazão volumétrica (m3/s)
tempo (s)
!V = Vt =
s.A
t = v.A área da seção transversal (m2)
velocidade (m/s)
OBS: para situações em que a velocidade varia na 
seção transversal de Área A
vm =
1
A v.dAA∫
!V = v.dA
A
∫ = vm .A área da seção transversal (m2)
velocidade média (m/s)
vazão volumétrica (m3/s)
Vazão Mássica
!m = mt
massa (kg)
vazão mássica (kg/s)
tempo (s)
!m = ρ.s.At = ρ.v.A
área da seção 
transversal (m2)
velocidade (m/s)
massa específica (kg/m3)
!m = ρ.Vt
Relação entre vazões (mássica e volumétrica)
!m = ρ. !V = ρ.vm .A
BM
ΔmVC = me −ms ΔmVC = mf −mi
dmVC
dt = !me − !ms 1 E e 1 S
dmVC
dt = !mee∑ −
!ms
s
∑
variação total de 
massa no VC 
durante 
 o intervalo de 
tempo
=
massa total 
entrando 
no VC durante 
 o intervalo de 
tempo
-
massa total 
saindo 
do VC durante 
 o intervalo de 
tempo
OBS.1: regime permanente ou escoamento 
estacionário
dmVC
dt = !mee∑ −
!ms
s
∑
0
!me
e
∑ = !ms
s
∑
OBS.2: regime permanente ou escoamento 
estacionário com 1E e 1S
dmVC
dt = !me − !ms
0
!me = !ms
ρe.ve.Ae = ρs .vs .As
OBS.3: regime permanente ou escoamento 
estacionário - fluido incompreensível
dmVC
dt = !mee∑ −
!ms
s
∑
0
!me
e
∑ = !ms
s
∑
ρe = ρs !Ve
e
∑ = !Vs
s
∑ve.Ae
e
∑ = vs .As
s
∑
OBS.4: regime permanente ou escoamento 
estacionário - fluido incompreensível, com 1E e 
1S
dmVC
dt = !me − !ms 1 E e 1 S
0
ρe = ρs ve.Ae = vs .As !Ve = !Vs
Exemplo
Exemplo
Exercícios - pág 230
5.6 5.9 5.12 5.14
5.15 5.16 5.17
5.3 Energia Mecânica e Eficiência
Energia Mecânica: é a forma de energia que pode 
ser convertida direta e completamente em 
trabalho mecânico por um dispositivo mecânico 
ideal, como por exemplo a turbina ideal.
Energia cinética
Energia potencial
Ec = 12mv
2
Ep = mgz
PRESSÃO é forma de energia?
Força de pressão agindo sobre um fluido ao longo de 
uma distância produz trabalho de escoamento.
Trabalho de escoamento => energia de escoamento
Energia mecânica é a forma de energia que pode 
ser convertida direta e completamente em 
trabalho mecânico por um dispositivo mecânico 
ideal, tal como turbina ideal, etc.
OBS: energia térmica não pode ser convertida 
direta e completamente em trabalho mecânico. 
Energia térmica não é energia mecânica (2 lei da 
TD)
Energia mecânica de um fluido em escoamento
altura (m)
velocidade (m/s)
densidade/massa específica (kg/m3)
pressão (Pa)
gravidade (m/s2)
em = p
ρ
+ v
2
2 + gz
Energia mecânica
 específica (J/kg)
Variação da energia mecânica de um fluido em 
escoamento incompreensíveis
Δem = p2 − p1
ρ
+ v2
2 − v12
2 + g z2 − z1( )
Δem > 0
Δem < 0
ρe = ρs
W mecânico é fornecido ao sistema
W mecânico é retirado do sistema
Eficiência Mecânica
ηmec =
Ems
Eme
= 1− EmperdidaEmentrada
entrada de energia mecânica
saída de energia mecânica Bomba, ventilador, compressor: o interesse é em 
aumentar a pressão, velocidade e/ou posição no 
campo gravitacional através de fornecimento de 
energia.
Turbina: o interesse é em extrair energia mecânica 
do fluido.
ηb =
Δ !Emfluido
!Weixo,e
= Δ
!Ems − Δ !Eme
!Weixo,e
=
!Wbomba,útil
!Wbomba
acréscimo de energia mecânica
potência de 
bomba útil
potência mecânica de entrada
ηM =
!Weixo,s
!Welétrico,e
ηBM =ηB .ηM =
!Wbomba,útil
!Welétrico,e
=
Δ !Emec, fluido
!Welétrico,e
ηT =
!Weixo,s
Δ !Emec, fluido
=
!Weixo,s
Δ !Ee − Δ !Es
=
!WT
!WT ,e
decréscimo de energia mecânica potência de extraída
potência mecânica de saída
ηG =
!Welétrico,s
!Weixo,e
ηTG =ηT .ηG =
!Welétrico,s
!WT ,e
=
!Welétrico,s
Δ !Emec, fluido
OBS: para processos que envolvem apenas formas 
mecânicas de energia e sua transformação como 
trabalho de eixo
BE
BE - Regime permanente
Emec,e − Emec,s = ΔEmec,sistema + Emec,perda
Emec,e = Emec,s + Emec,perda
Exemplo
Exercícios - pág 230
5.22 5.25 5.26 5.27
5.4 Equação de Bernoulli
1. Efeitos viscosos desprezados
2. escoamento estacionário e incompreensível
3. nenhum trabalho de eixo
4. transferência de calor desprezível
5. escoamento ao longo de uma linha de corrente
A soma das Ec + Ep + Esc de uma partícula de 
fluido é constante ao longo de uma linha de 
corrente durante um escoamento estacionário 
incompreensível e com atrito desprezível.
p
ρ
+ v
2
2 + gz = c
te
altura (m)
velocidade (m/s)
densidade/massa específica (kg/m3)
pressão (Pa)
gravidade (m/s2)
p1
ρ
+ v1
2
2 + gz1 =
p2
ρ
+ v2
2
2 + gz2