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Geometria 3
Gustavo Pereira
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APRENDIZAJES ESPERADOS
UNIDAD 1
La figura que se muestra a continuación es de una rueda de carro hallada cerca de Susa, que es una ciudad de la antigua Persia (actualmente es el sudoeste de Irán), datada en el II Milenio a.C., pero los historiadores nos mencionan que las ruedas más antiguas que se conocen fueron construidas en la antigua Mesopotamia, entre el año 3'500 y el 3'000 a.C.
La rueda es sin duda el invento más importante de todos los tiempos. La historia de la civilización ha girado
en torno a la rueda y hemos viajado tan lejos como lo hemos hecho, gracias a ella. La agricultura, las
guerras, los viajes, el comercio, todo ello sería imposible de lograr sin la rueda.
¿La circunferencia tiene que ver con la rueda?
¿El radio de la rueda es lo mismo que el radio de la circunferencia?
¿QUÉ HARÍAMOS SIN LA RUEDA?
UNIDAD 3
Comunicación matemática
• Definir correctamente la circunferencia.
• Identificar los elementos y ángulos asociados a la circunferencia.
• Interpretar las propiedades y teoremas relativos a la circunferencia.
Resolución de problemas
• Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos.
• Distinguir los diferentes teoremas de circunferencia y formular estrategias de resolución en los
diferentes tipos de problemas.
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56
TRILCE
Colegios
1
El número Pi
El número Pi es digno de admiración
tres coma uno cuatro uno,
todas sus cifras siguientes también son iniciales,
cinco nueve dos, porque nunca se termina.
No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco,
con un cálculo ocho nueve,
con la imaginación siete nueve.
O en broma tres dos tres, es decir, por comparación
ocho cuatro seis con cualquier otra cosa
dos seis cuatro tres en el mundo.
La más larga serpiente después de varios metros se interrumpe.
Igualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes
fabulosas.
El cortejo de cifras que forman el número Pi
no se detiene en el margen de un folio,
es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire,
a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,
de las nubes, directamente al cielo
a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.
¡Oh, qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!
¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio!
Pero aquí dos tres quince trescientos noventa
mi número de teléfono, la talla de tu camisa,
año mil novecientos setenta y tres, sexto piso
número de habitantes, sesenta y cinco céntimos
la medida de la cadera, dos dedos, la charada y el código
en el que mi ruiseñor vuela y canta
y pide un comportamiento tranquilo,
también transcurren la tierra y el cielo
pero no el número Pi, éste no,
él es todavía un buen cinco,
no es un ocho cualesquiera,
ni el último siete
metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad
para la permanencia.
Wislawa Szymborska - Premio Nobel de Literatura 1996
Circunferencia
En este capítulo aprenderemos:
• A conocer la definición y los elementos geométricos asociados a la circunferencia.
• A reconocer los teoremas relativos a la circunferencia y aplicarlos a la resolución de problemas
matemáticos.
http://ar.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/circunferencia-circulos/trazado-circunferencia-conocido-radio.html
1
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Conceptos básicos
Saberes previos
57Unidad III
Geometría
• Equidistar implica igual distancia.
Aquí "O" equidista de "A", "B" y "C"
A
C
O
B
Aquí "O" equidista de AB y PQ
A
P
O
Q
B
Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
• Una línea recta es tangente a una curva plana, cuando siendo coplanares, tienen solamente un
punto en común.
Recta L , tangente en "A"
A L
Recta L , tangente en "B"
B
L
Definición: Es un conjunto de puntos coplanares que equidistan de otro punto llamado centro. A la
región interior se le denomina círculo.
Elementos
• Centro : O
• Radio : OB=R
• Diámetro : AB=2R
• Cuerda : PC
• Arco : BC=a°
• Flecha o ságita : MN
• Secante : L2
• Tangente : L1
• Punto de tangencia : T
• Longitud de la circunferencia : 2pR
A
R R
P
N
M
III
III
C
B
L2
L1T
O
a°
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GeometríaCircunferencia
Propiedades
III.
A
III
III
B
CMO
q°
q°
Si: OC AB
⇒ AM=MB
AC=CB
IV.
A
E
B
F
a° a°
Si: EF // AB
⇒ AE=FB
I.
radio tangente
"T" y "P" son
puntos de
tangencia
R
P
T
R
O
II.
Si "B" y "C"
son puntos
de tangencia
AB=AC
m BAO=m CAO
a°
a°
B
A
C
O
V.
Si: AB = CD
⇒ AB=CD
A D
B C
a° a°
→ →
• Teorema de Poncelet
Solo triángulo rectángulo.
Demostración:
⇒ AB + BC = AC + 2r
a r + b r = c
a + b = c + 2r
⇒ AB + BC = AC + 2r
A
r
B
C
b r
A
r r
rr
a r
a
a
r
b
c
B
Cb r
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Geometría
Unidad III
1
Recordemos esta convención de nombres:
• Teorema de Pitot
Solo cuadrilátero circunscrito.
E → excentro
r → exradio
Demostración:
A
I
r
B
C
A D
B C
⇒ AB+CD=BC+AD ⇒ AB+CD=BC+AD
m1=m2
c (a n)=b (d n)
c a=b d
a + b = c + d
A D
B C
c
a b
d
n
m2
m1
n
d-n
a-n
a-n
d-n
Circunferencia
inscrita
Circunferencia
circunscrita
Circunferencia
ex-inscrita
r →inradio
I →incentro
A
O
R
B
C
R → circunradio
O → circuncentro
r
B
A
C
E
Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares
• Exteriores • Tangentes exteriores
"T": Punto de tangencia entre
las circunferencias
OP=R+r
O
OP>R+r
P
r
R
O P
r
R
T
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GeometríaCircunferencia
Síntesis teórica
• Tangentes interiores • Secantes
"T": Punto de tangencia
OP=R r
R r <OP<R+r
O
PT
r
R
O P
rR
• Ortogonales • Concéntricas
Corona o
anillo circular
OP=ceroOP2=R2+r2
O P
r
R
O P
r
rR
R
OP<R r
• Interiores
O
P
r
R
CIRCUNFERENCIA
Circunferencia
y polígono
• Teorema de Poncelet
• Teorema de Pitot
Propiedades
• De tangentes
• De perpendicularidad
Circunferencia
• Definición
• Elementos
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Geometría
Unidad III
1
Conceptos básicos Aprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
1. Grafique una circunferencia de 2 cm de radio y
calcule su longitud.
2. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia,
desde el cual se trazan las tangentes AB y
AC. Calcular el valor de "x", sabiendo que:
AB=2x 1 y AC=8 x.
3. En cada gráfico se muestra a una circunferencia
y una tangente. Calcule el valor de "b°" en cada
gráfico ("M" punto de tangencia).
a)
2b°
M
b)
3b°
M
4. Grafique a una circunferencia de centro "O"
y a un punto exterior "A". Desde "A" trace la
tangente AB y la línea AO, de modo que midan
12 y 13 cm respectivamente. Calcular el radio
de la circunferencia y la longitud de la misma.
5. En un triángulo rectángulo, grafique a la
circunferencia inscrita. Si los catetos del
triángulo miden 5y 12 cm, calcular el valor del
inradio.
6. En un cuadrilátero se encuentra inscrita una
circunferencia, donde dos lados opuestos
miden 6 y (12 x) cm. Si los otros dos lados
miden 13 y "y x" cm, calcular el valor de "y".
7. La figura muestra a la tangente AE y a los puntos de
tangencia "B", "F" y "Q". Si AB y EF miden 7 cm y
12 cm, calcular el valor de "AE".
B F
QA E
8. La figura muestra al triángulo ABC y a la
circunferencia inscrita. Si las tangentes AE; BF y
CH miden 6; 4 y 8 cm respectivamente, calcular
el perímetro de dicho triángulo.
B
F
H CA
E
Comunicación matemática
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego
justifique y/o ejemplifique su respuesta.
• La medida de una vuelta en grados de una
circunferencia es de 360°.
• Todo radio perpendicular a una cuerda,
biseca a dicha cuerda.
• Los arcos comprendidos entre cuerdas
paralelas, son siempre diferentes entre sí.
2. Completar:
En todo triángulo rectángulo, la suma de los
................................................. es igual a la
hipotenusa aumentada en dos veces el inradio.
3. Completar:
Si: AB // CD ⇒ mAC=
A B
C D
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GeometríaCircunferencia
A B
C
Si: OC AB ⇒AM=
M
O
Resolución de problemas
4. Los catetos de un triángulo rectángulo
miden 8 y 15 cm. Calcular el valor de su
inradio.
5. Dado un cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, dos de sus lados opuestos
miden (6. .a) y (10+a) cm. Si los otros dos
lados miden 7 y "x" cm, calcular el valor de
"x".
6. Grafique a una circunferencia y al segmento
AB tangente en el punto "Q", luego trace las
tangentes AE y BF a dicha circunferencia.
Calcule el valor de "AB", sabiendo que:
AE=13'cm y BF=15 cm.
7. En un triángulo ABC, grafique a la
circunferencia inscrita que determina el punto
de tangencia "F" en AC. Calcule la longitud
AF, sabiendo que: AB=9 cm; BC=11 cm y
AC=14 cm.
8. En una circunferencia de centro "O" trace la
cuerda AB y el radio OC perpendicular a dicha
cuerda en "M". Si: AM=2x 1 y BM=9, cal-
cular el valor de "x".
9. Se tiene un trapecio circunscrito a una circun-
ferencia. Si los lados no paralelos miden 4 y 6 m,
¿cuál será la longitud de su mediana?
10. En el gráfico, se muestra al triángulo ABC y
a la circunferencia exinscrita relativa al lado
BC. Calcular la longitud de la tangente AQ,
sabiendo que el perímetro del triángulo es de
18 cm.
A
C
B
Q
11. En el gráfico, se muestra al triángulo ABC y a
la circunferencia exinscrita relativa al lado BC.
Calcular la longitud de la tangente AR , sabiendo
que: AB=13 cm; BC=11 cm y AC=16 cm.
A
C
B
R
12. Grafique una circunferencia de 10 cm de radio y
trace una cuerda de 16 cm de longitud. Calcule
la longitud de la flecha correspondiente a dicha
cuerda.
13. Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito
a una circunferencia, sabiendo que la mediana
del trapecio mide 14 cm.
14. Se tiene una circunferencia de centro "O".
Desde un punto exterior "A" se traza la tangente
AT, tal que m TAO=37°. Si: TA=24 cm,
hallar la medida del radio de la circunferencia.
15. Se tiene una circunferencia de centro "O",
cuyo radio mide 9 cm. Desde un punto exterior
"A", se trazan las tangentes AT y AC. Si la
m TAC=74°, calcular la medida de AT.
16. Se tiene una circunferencia inscrita en un
triángulo ABC de manera que es tangente en
"T" al lado BC. Calcular el valor de "BT", si:
AB=5; BC=6 y AC=7 cm.
17. En una circunferencia de centro "O" y cuyo
radio mide 20 cm, se toma una cuerda AB de
32 cm de longitud. Calcular la medida de la
flecha correspondiente a AB.
18. Se tiene un trapecio rectángulo, circunscrito
a una circunferencia cuyo radio mide 12 cm.
Si uno de sus lados no paralelos mide 30 cm,
calcular la medida de la menor base.
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Geometría
Unidad III
1
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
19. La parte central de la plaza mayor de una ciudad es
de forma circular y tiene un radio de 20 m. Se desea
colocar una reja de modo que sus extremos encajen
perfectamente en la circunferencia de la plaza y que
diste 16 m de su centro. Calcular la longitud de esta reja.
www.mazdas247.com
20. La figura muestra una de las llantas de un carro. Si el
diámetro promedio de la llanta es de 14 pulgadas y se
desea colocar un cintillo alrededor de la circunferencia
de dicha llanta, ¿cuál es la longitud del cintillo a gastar,
si se desea trabajar con las cuatro llantas?
1. En un triángulo rectángulo ABC se grafican dos
circunferencias interiores al triángulo. La primera
es tangente a AB en "P" y a la hipotenusa AC
en "Q". La segunda circunferencia es tangente
a BC en "R" y a CA en "S". Calcular la longitud
del inradio del triángulo, sabiendo que: PB=SQ
y RB=14 cm.
2. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de modo
que: m ABC=m CDA=90°, CD=AB+BC
y AD=18 cm. Calcular la diferencia de los
inradios de los triángulos ABC y CAD.
3. Grafique a la circunferencia inscrita al triángulo
ABC, que determina el punto de tangencia "P"
en BC. La circunferencia exinscrita relativa a
BC determina el punto de tangencia "Q" en BC.
Calcular el valor de "PQ", sabiendo que AB y
AC se diferencian en 16 cm.
4. En el gráfico "B"; "M" y "D" son puntos
de tangencia. Calcular el valor de CO,
sabiendo que: m A=74°; AB=16 cm y que
"O" es centro.
A
B
M C
DO
5. La figura muestra a un rectángulo ABCO y
a dos circunferencias tangentes exteriores
entre sí, cuyos radios miden 16 y 10 cm. Si la
circunferencia menor es tangente a tres lados,
calcular el perímetro del rectángulo.
A B
Q
CO
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GeometríaCircunferencia
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo
miden 24 y 25 cm. Calcular el valor de su
inradio.
2. En un cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, dos de sus lados opuestos miden
(9 a) y (12+a) cm. Si los otros dos lados miden
10 y "b" cm, calcular el valor de "b".
3. Grafique a una circunferencia y al segmento AB
tangente en el punto "R". Luego trace las tan-
gentes AE y BF a dicha circunferencia. Calcule
el valor de "AB", sabiendo que: AE=15 cm y
BF=18 cm.
4. Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito
a una circunferencia, sabiendo que la mediana
del trapecio mide 18 cm.
5. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y el
inradio suman 14,5 cm. Calcular el valor del
perímetro de dicho triángulo.
6. Grafique a un trapecio circunscrito a una
circunferencia. Si los lados no paralelos miden
7 y 9 m, ¿cuál será la longitud de su mediana?
7. La figura muestra al triángulo ABC y a la
circunferencia exinscrita relativa al lado BC.
Calcular la longitud de la tangente AQ, sabiendo
que: AB=16 cm; BC=18 cm y AC=20 cm.
A
B
QC
8. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD de
modo que: m ABC=m ACD=90°, AB=6 cm,
BC=8 cm y CD=24 cm. Calcular la diferencia
de los inradios de los triángulos ABC y ACD.
9. Calcular la longitud de la flecha correspondiente
a la cuerda AB, sabiendo que dicha cuerda mide
30 cm y queel diámetro de la circunferencia es
de 34 cm.
A
B
O
10. La longitud de una circunferencia es de 26p cm y en
ella se traza una cuerda de 10 cm de longitud.
Calcular la longitud de la flecha correspondiente
a dicha cuerda.
11. Inscriba en una circunferencia al decágono
regular ABCDEFG... y calcule la medida del
arco BD.
12. Se tiene un trapecio rectángulo circunscrito a
una circunferencia de 6 cm de radio. Si uno
de sus lados no paralelos mide 13 cm, hallar la
medida de la base menor.
13. La figura nos muestra a una circunferencia
exinscrita relativa al cateto BC. Si: AB=8 dm y
AC=10 dm, calcular el valor de "R", si además
"T" es punto de tangencia.
A
B R
T
C
14. La figura muestra a un sector circular de
centro "O" y cuyo ángulo central mide 60°. Si:
OA=OB=6, calcular la longitud del radio de la
circunferencia inscrita en dicho sector.
("T" es punto de tangencia).
B
T
A
O
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Geometría
Unidad III
1
15. Dado el triángulo ABC, la circunferencia
inscrita determina los puntos de tangencia "E"
y "F" en los lados AB y BC respectivamente. Si
las longitudes AE y FC miden 7 5 y 5 5 cm,
calcular el valor de "AC".
16. La figura nos muestra a una semicircunferencia
de diámetro AB y centro "O". Si la medida
del ángulo TAB es cuatro veces la medida del
ángulo TCA, calcular la m ATC.
CA B
T
O
17. En un triángulo rectángulo ABC, los catetos
miden: AB=9 m y BC=12 m. La circunferencia
exinscrita relativa al lado AB, es tangente a la
prolongación de CB en el punto "P". Calcular
el valor de "CP".
18. Si el perímetro de un trapecio circunscrito a una
circunferencia es de 72 cm, calcular la longitud
de su mediana.
19. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita
determina el punto de tangencia "E" en AC. Si:
AB=10 3 dm, BC=12 3 dm y AC=24 3 dm,
calcular el valor de "AE".
20. Calcular el perímetro del triángulo ABC,
sabiendo que los radios de las circunferencias
tangentes de centros "A", "B" y "C" miden 10; 4
y 1 cm respectivamente.
A
C
B
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TRILCE
Colegios
2
En este capítulo estudiaremos las relaciones de las líneas asociadas a la circunferencia con los respectivos arcos que ellas determinan, debiendo tener presente que la
equivalencia en grados de una circunferencia es de 360º.
Desde que se inventó la rueda hasta la actualidad, el estudio
de las relaciones angulares y los arcos es de utilidad, ya que
gracias a ello se pueden mejorar algunos diseños. Debido a
estas relaciones es que podemos saber si un polígono puede
o no estar inscrito en una circunferencia. Por ejemplo, para
saber si un cuadrilátero convexo puede ser inscrito en una
circunferencia, bastará con medir dos de sus ángulos opuestos,
si ellos sumaran 180º, afirmaremos categóricamente que aceptará
una circunferencia circunscrita.
Para inscribir un polígono regular también usamos este criterio como base, aunque lógicamente
no es el único. El cuadrado por sí
solo es de amplia aplicación y al
estar acompañado por la respectiva
circunferencia circunscrita, ha servido
como herramienta de estudio y
como medio para poder expresarse.
Un excelente ejemplo de lo que les
menciono es la circunferencia de
Vitrubio, que es un famoso dibujo
acompañado de notas anatómicas de
Leonardo da Vinci, realizado alrededor
del año 1492 y que actualmente es un
dibujo que aparece en el reverso de la
moneda de euro de Italia.
Ángulos en la circunferencia
En este capítulo aprenderemos:
• A identificar los ángulos asociados a la circunferencia y a reconocer sus propiedades.
• A distinguir las condiciones de inscriptibilidad y aplicarlos en la resolución de problemas.
q°
a°
x°
y°
2
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6766
TRILCE
Colegios
Unidad III
Geometría
Saberes previos
• Los siguientes elementos asociados a la circunferencia:
a) Cuerda
B
A
b) Tangente
L
c) Secante
L
• Dos circunferencias
a) Secantes
b) Tangentes
• Cuando se trazan varias líneas:
c) Cuerdas secantes
a) Cuerdas paralelas
P Q
A B
Q
P
A
B
d) Líneas trazadas a una circunferencia
desde un punto exterior
E
G
QF
P
A
A
B
b) Cuerdas perpendiculares
E
F
A
B
AB // PQ
Antes de entrar a la teoría, recordemos que:
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TRILCE
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GeometríaÁngulos en la circunferencia
Conceptos básicos
• Ángulo central
• Ángulo interior
¡Muy importante!
• Ángulo exterior
• Ángulo semi-inscrito • Ángulo inscrito
mAB=a°
a°=q°+w°
2 g°= a° q°
2
a°=a° b°
2
mAB=2q° mAC=2a°
O
A
a° a°
B
2q°
A Bq°
2a°
C
A
a°
B
C
D
A
w°q° a°
B C
D
A
g°a° q°
B
a°+ b°=180°
A
q° a°b°
B
C
a°
b° P
A
a°
B
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Geometría
Unidad III
2
a°+ b°=180° a°= q°
Cuadrilátero inscrito
Se dice que un cuadrilátero es inscrito, cuando por sus vértices se puede describir una circunferencia. Para
que esto suceda, es necesario y suficiente que cumpla con una de las dos condiciones siguientes:
Cuadriláteros inscriptibles
Un cuadrilátero será inscriptible cuando cumple cualquiera de los tres casos siguientes:
Caso 1: Dos ángulos opuestos suman 180°.
a°
b°
a°
b°
a°+ b°=180°Si: ⇒
Caso 2: Un ángulo interior es igual al opuesto exterior.
a°= q°
a°a°
q°q°
Si: ⇒
Caso 3: Un lado y una diagonal forman un ángulo igual al que forma el lado opuesto con la otra
diagonal.
a°
q°
a°= q°Si: ⇒
a°
q°
a°
b°
a° q°
Tener presente que: En la práctica se suele confundir al cuadrilátero inscrito e inscriptible como si
fuera la misma definición.
Geometría 4to - I Bim.indd 69 31/10/2014 11:13:41 a.m.
7170
TRILCE
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GeometríaÁngulos en la circunferencia
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
Síntesis teórica
ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Cuadrilátero
inscriptible
• Definición
• Gráficos
Cuadrilátero
inscrito
• Definición
• Gráficos
Ángulos en la
circunferencia
• Central, inscrito, semi-
inscrito e interior.
• Exterior y formado por
tangentes
1. Calcular el valor de "x°", en cada gráfico:
a)
x°40°
b)
x°
64°
c)
36°
40°
x°
2. Grafique a una circunferencia de centro "O" y
trace los radios OA y OB , de modo que el arco
AB mida 58°. En el arco mayor AB marque "F"
y calcule la m AFB.
3. Grafique a una circunferencia de diámetro
AB y en uno de los arcos marque "F". Calcule
la m AFB.
4. Grafique a una circunferencia de diámetro AB
y en uno de los arcos marque "F" de modo que
la medida del arco FB sea de 130°. Calcule la
m ABF.
5. Grafique a una circunferencia y un punto
exterior "A", desde el cual se trazan las secantes
ABC y APQ. Calcular la m CAQ, sabiendo
que los arcos QC y BP miden 58° y 22°
respectivamente.
6. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia
desde el cual se trazan la tangente AB y la
secante AEF a dicha circunferencia. Sila medida
de los arcos FB y BE miden 120° y 44°, calcular
la medida del ángulo BAE.
"O" es centro
O
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Geometría
Unidad III
2
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego
justifique y/o ejemplifique su respuesta.
• La medida en grados de una circunferencia
es igual a la medida de cuatro ángulos
rectos.
• En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, la suma de dos ángulos
interiores opuestos es de 180°.
• La medida del ángulo central es igual a la
medida del arco que subtiende expresada
en grados.
2. Completar:
a°+q°=
q°
a°
x°=________
x°
q°
a°
3. Completar convenientemente la siguiente
expresión:
Al unir un punto cualquiera de una
circunferencia con los ............................... de
un diámetro, siempre se determina un ángulo ..
...............................................
Resolución de problemas
4. En una circunferencia, trace dos cuerdas
secantes AB y EF, secantes en "H" de modo que
"E" pertenezca al arco AB. Si los arcos EB y AF
miden (60°+b°) y (80° b°) respectivamente,
calcular la medida del ángulo AHF.
5. En una circunferencia, trace dos cuerdas
secantes AB y EF secantes en "H", de modo que
"E" pertenezca al arco AB y "Q" pertenezca al
arco FB . Si los ángulos FQA y EQB miden 40°
y 70° respectivamente, calcular la m EHB.
6. Desde un punto exterior "P" a una circunferencia
se trazan las tangentes PA y PB. En el arco
mayor AB se marca "F", de modo que los
ángulos BPA y BFA se encuentren en la relación
de 2 a 3 respectivamente. Calcular la m BPA.
7. Grafique a una semicircunferencia de diámetro
AB , en la prolongación de AB marque "E" y
en la semicircunferencia marque "F", de modo
que la m FAB sea 24°. Calcule la m AFE, si
la m AEF es 40°.
7. Calcular el valor de "x°", en cada gráfico:
a)
40°
110°
x°
b)
130°
x°
c)
70°
x°
8. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia,
uno de sus ángulos interiores mide (120° x°)
y el ángulo opuesto mide "4x°". Calcular la
medida del mayor de estos dos ángulos.
Geometría 4to - I Bim.indd 71 31/10/2014 11:13:42 a.m.
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GeometríaÁngulos en la circunferencia
8. Grafique una circunferencia de diámetro AB y
en la prolongación de AB marque "P", desde
el cual se traza la secante PQR, de modo que
la medida del arco QR sea 80°. Calcular la
medida del ángulo que forman las cuerdas AQ
y BR.
9. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia,
las medidas de dos ángulos opuestos se en-
cuentran en la relación de 2 a 3. Calcular la
diferencia de las medidas de dichos ángulos.
10. La figura muestra a dos circunferencias secantes
en "A" y "B", siendo "O" el centro de la mayor.
Calcular la m AFB, sabiendo que la medida
del arco AQB es 114°.
A
B
O Q F
11. Grafique a un cuadrante AOB, donde "O" es su
centro y "F" es un punto de su arco. Calcular la
m AFB.
12. La figura muestra a un cuadrante. Calcular el
valor de "x°".
4x°
5x°
13. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una
circunferencia. Las medidas de los ángulos DBC
y CAD miden 46° y "30°+x°" respectivamente.
Calcular el valor de "xº".
14. Sea ABCD un trapezoide tal que: m CAD=3b°;
m BAD=m BCD=90° y m BDC=2b°. Cal-
cular la medida del ángulo CBD.
15. En la figura mostrada, "P" y "Q" son puntos de
tangencia. La medida del ángulo ABC es de 12°
y la medida del arco RP es de 40°. Calcular la
medida del arco SQ.
B
P
R
S
Q A C
16. En una misma circunferencia se inscriben los
triángulos ABC y ECF ("E" pertenece al arco AB
y "F" pertenece al arco BC). Si los ángulos ACE
y BCF miden 17° y 23° en ese orden, calcular
la medida del mayor ángulo que forman las
cuerdas AB y EF.
17. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia
desde el cual se traza la secante diametral ABC
y la secante AEF, de modo que los arcos FC y
EF midan 100° y 60° en ese orden. Calcular la
medida del ángulo FAC.
18. Desde un punto exterior "P" a una circunferencia
se trazan la tangente PT y la secante PAB. Si
el arco ATB mide 200° y la m TPB es 40°,
calcular la m TBP.
Aplicación cotidiana
19. Si colocáramos tres palitos de fósforo de modo que sean los lados de un
triángulo y graficáramos una circunferencia de modo que uno de los palitos
sea una cuerda y los otros dos palitos sean tangentes, ¿cuánto mediría en
grados el arco menor que se determinaría en la circunferencia?
A
D
O
BC
20. Una piscina tiene forma circular de centro "O" y diámetro AB. Rodrigo y Alonso
nadan en línea recta desde "C" hacia "A" y "D" respectivamente. Andrea y
Antonella se encuentran en "O", ambas nadan en línea recta hacia "D" y "B"
respectivamente. Sabiendo que la medida del arco AD es de 74° y la medida del
arco BC es de 100°, calcular:
• El ángulo que forman los recorridos de Rodrigo y Alonso.
• El ángulo que forman los recorridos de Andrea y Antonella.
• El valor del ángulo CBD.
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Geometría
Unidad III
2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Grafique dos circunferencias congruentes y
secantes en "A" y en "B". "Q" es un punto de una
de las circunferencias tal que las prolongaciones
de QA y QB interceptan a la segunda
circunferencia en "E" y "F" respectivamente.
Calcular la relación de las medidas de los arcos
AB y EF.
2. Del gráfico, "A" y "B" son puntos de tangencia
y m APB=50°. Calcular el valor de "x°".
P
B
O
A
x°
q°
q°
3. Se trazan dos circunferencias secantes en "A"
y "B", la tangente común más lejana a "A" es
CD ("C" y "D" son los puntos de tangencia). En
el arco AC se ubica un punto "M", tal que la
prolongación de MA intercepta a AD en "N".
Calcular la medida del arco AN, si la medida
del arco AM es 120° y MN es tangente a la
circunferencia que contiene a "C"; "A" y "D".
4. Por el vértice "B" de un triángulo ABC se traza
la recta tangente a la circunferencia circunscrita.
Si la distancia del incentro a dicha recta es igual
a 12 cm y el inradio mide 2 cm, calcular la
longitud de la altura relativa al lado AC.
5. En el gráfico: mMN=mNP; mAM=mNB=40º.
Calcular "xº" ("P" punto de tangencia).
P
B
R
R
M N
A
x°
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego
justifique y/o ejemplifique su respuesta.
• En la circunferencia, la medida de su ángulo
central es igual a la semidiferencia de los
arcos que subtienden.
• En todo cuadrilátero inscrito en una circun-
ferencia, la suma de dos ángulos interiores
opuestos es de 180°.
• La medida del ángulo central es igual a la
mitad de la medida del arco que subtiende
expresada en grados.
2. Sea ABCD un trapezoide tal que: m BDC=2b°;
m BAD=m BCD=90° y m CAD=50°.Cal-
cular el suplemento de "b°".
3. En una circunferencia, trace dos cuerdas se-
cantes AB y EF secantes en "H", de modo que
"E" pertenezca al arco AB y "Q" pertenezca al
arco FB. Si los ángulos FQA y EQB miden 44° y
72° respectivamente, calcular la m EHB.
4. Grafique a una semicircunferencia de diámetro
AB. En la prolongación de AB, marque "E" y en
la semicircunferenciamarque "F", de modo que
la m FAB sea 32°. Calcular la m AFE, si la
m FEA sea 28°.
5. Grafique una circunferencia de diámetro AB y en
la prolongación de AB marque "P", desde el cual
se traza la secante PQR, de modo que la medi-
da del arco QR sea 72°. Calcular la medida del
mayor ángulo que forman las cuerdas AQ y BR.
Geometría 4to - I Bim.indd 73 31/10/2014 11:13:43 a.m.
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GeometríaÁngulos en la circunferencia
6. La figura muestra a dos circunferencias secantes
en "A" y "B", siendo "O" el centro de la mayor.
Calcular la medida del arco AQB, sabiendo que
la medida del ángulo AFB es 44°.
A
B
O Q F
7. En una circunferencia, inscriba al triángulo equi-
látero ABC y al cuadrado APQR. Después de
graficar, calcule la m PAB.
8. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia,
desde el cual se le trazan las secantes ABC y
AEF. Luego se marca "S" en el arco EF. Calcule
la m BAE, sabiendo que los ángulos BSE y CSF
miden 16° y 28° respectivamente.
9. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia
desde el cual se traza la secante diametral ABC
y la secante AEF de modo que los arcos FC y
EF midan 110° y 50° en ese orden. Calcular la
medida del ángulo FAC.
10. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia
desde el cual se traza la secante diametral ABC y
la secante AEF de modo que AE sea congruente
al radio y el arco FC mida 120°. Calcular la
medida del ángulo FAC.
11. Grafique a dos circunferencias diferentes y se-
cantes en "A" y en "B". La secante que pasa
por "A" corta a las circunferencias en "E" y "F"
respectivamente. Si los arcos AE y AF mi-
den 82° y 66° respectivamente, calcular la
m EBF.
12. En el gráfico, el ángulo "A" mide 47°. Calcular
la m EFH.
H
E
A
B
F
13. Se traza una recta L tangente a una semicir-
cunferencia de diámetro AB, en el punto "T"
y luego se traza la cuerda AP paralela a L. Si
la m PAB=52°, calcular la medida del menor
ángulo que forman la recta L y la cuerda TB.
14. Sea AB el diámetro de una circunferencia de
centro "O". Trace el radio OF perpendicular a BA
y luego la cuerda BQ ("Q" pertenece al arco AF).
Si: m QFO=3m QBA, calcular la m QBA.
15. Dado el cuadrilátero ABCD, calcular la medida
del ángulo que forman sus diagonales.
D
B
A C
6°
27°
6°
57° x°
16. Se tiene dos circunferencias secantes en los pun-
tos "E" y "F". Por "E" y "F", se traza las rectas L1
y L2 secantes a las circunferencias. L1 intercepta
a la primera en el punto "P" y a la segunda en
el punto "Q". L2 intercepta a la primera en el
punto "R" y a la segunda en el punto "T". Si :
m RPQ=100°, hal lar la m PQT.
17. En el gráfico, MC es el doble de BA. Calcular la
m ACB.
C
B
M
2w°
w° A
18. En el gráfico, BP es altura. Calcular el valor de "q°".
A C
B
P
Q
2q°
q°
q°
2q°
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Razonamiento Matemático
75
3
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Geometría
Conceptos básicos Aprende más...
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), justifique
y/o ejemplifique su respuesta.
• En un polígono regular, el ángulo central y
el ángulo exterior son iguales.
• En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, los lados opuestos son
iguales entre sí.
• La bisectriz de un triángulo es perpendicular
al lado opuesto.
2. En un polígono convexo, la suma de su número
de diagonales y el número de vértices es 45.
Calcular la suma de las medidas de sus ángulos
interiores.
3. Los lados mayores de un triángulo rectángulo
miden 30 y 34 cm. Calcular la longitud de su
inradio.
4. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia,
desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF.
Si las cuerdas EC y BF se cortan en "H", calcular
la suma de los ángulos BAE y CHF, sabiendo
que el arco FC mide 88°.
5. Dos circunferencias diferentes son secantes
en "A" y en "B". Una secante que pasa por "A",
corta a la primera circunferencia en "P" y a
la segunda en "Q". Otra secante que pasa por
"B", corta a la primera en "E" y a la segunda
en "F". Si la m EPQ es de 78°, calcular la
m AQF.
6. En un polígono convexo, la suma de sus
ángulos interiores con la suma de sus ángulos
exteriores es igual a veinte veces el valor de
un ángulo recto. Calcular su número de dia-
gonales.
7. Grafique al triángulo ABC y a una circunferencia
interior que es tangente a BA en su punto medio
y que es tangente a AC en "F". Si las longitudes
de AB y AC miden 8 y 11 cm respectivamente,
calcular el valor de FC.
8. Grafique el pentágono regular ABCDE e inte-
riormente al triángulo equilátero BQC. Luego
de realizado el gráfico, indique:
• El tipo de triángulo que es QCD.
• La medida del ángulo CDQ.
9. Dado un triángulo ABC, grafique a la circun-
ferencia exinscrita relativa a BC que determina
los puntos de tangencia "Q" y "S" en las pro-
longaciones de AB y AC respectivamente. Si
las longitudes de CS y BQ miden 7 y 5 cm
respectivamente, calcular la diferencia de las
longitudes de AB y AC.
10. Grafique al triángulo ABC, de modo que el
ángulo "B" mida 80° y ubique "M", punto
medio de BC. Trace la mediatriz de BC que
corta a AC en "P" y la bisectriz del ángulo "B"
que corta a dicho lado en "I", de forma tal que
"I" pertenece al segmento AP. Calcule la suma
de las medidas de los ángulos BIP y MPI.
11. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH.
Calcule el perímetro del triángulo que se deter-
mina al unir "H" con los puntos medios de AB
y BC, sabiendo que: AB=18 cm, BC=20 cm y
AC=26 cm.
12. En un trapecio, el segmento que une los puntos
medios de las diagonales y la mediana, se en-
cuentran en la relación de 9 a 13. Calcular la
relación de sus bases.
13. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace
la bisectriz interior AF. La mediatriz de la hipo-
tenusa AC, corta a BC en "E" y a la prolongación
de AF en "Q". Calcular: EF / QE.
14. Grafique al triángulo acutángulo ABC en el que
se trazan las alturas AH y CJ. Se unen "H" y "J"
con "M", punto medio de AC. Si el menor án-
gulo que forman las bisectrices del ángulo ABC
y del ángulo HMJ mide "x°" y el ángulo JCA
mide "yº", calcular la medida del ángulo HAC.
Repaso
Unidad III
Geometría 4to - I Bim.indd 75 31/10/2014 11:13:45 a.m.
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GeometríaRepaso
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
15. En un triángulo ABC, las bisectrices AF y BE se in-
terceptan en "P". Se sabe que: m FAC=m ACB,
BC=14 dm y AP=4 dm. Calcular el valor de AB.
16. Grafique al triángulo ABC y marque los puntos
medios "E" y "F" de AB y BC en ese orden.
Grafique al cuadrado EFGH ("G" y "H" sobre
AC) y calcule: HF / AC.
17. Grafique al triángulo rectángulo EFG de modo
que: m E=58°, m G=32° y EG=10 dm.
Trace la ceviana FH de modo que: m EFH=6°.
Calcular "HF".
18. Sea ABC un triángulo en el cual se traza la
mediana BF, cumpliéndose que: m ABF=aº,
m FBC=2q° y BC=2FB. Calcular: a°+q°.
19. La figura muestra a un trapecio y a un triángulo
rectángulo de hipotenusa CD. Calcular la
longitud AD, si: CD=10 y BC=3.
B
A
C
D
=
=
20. En un trapecio ABCD, se trazan las bisectrices
interiores de los ángulos BCD y ADC, las cuales
se interceptan en "P". Si: AB=10 y la distancia
del punto "P" a CD es 3, calcular la medida del
ángulo BAD.
1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo
miden 24 y 25 cm. Calcular la longitudde su
inradio.
2. En un polígono convexo, la suma de su número
de diagonales y el número de vértices es 190.
Calcular el número de vértices.
3. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH.
Calcule el perímetro del triángulo que se
determina al unir "H" con los puntos medios
de AB y BC, sabiendo que: AB=22 cm,
BC=26 cm y AC=30 cm.
4. En un trapecio, el segmento que une los puntos
medios de las diagonales y la mediana, se
encuentran en la relación de 7 a 12. Calcular la
relación de sus bases.
5. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia
desde el cual se trazan las secantes ABC y AEF.
Si las cuerdas EC y BF se cortan en "H", calcular
la suma de los ángulos BAE y CHF, sabiendo
que el arco FC mide 100°.
6. Grafique a dos circunferencias diferentes y
secantes en "A" y en "B". Una secante que pasa
por "A", corta a la primera circunferencia en "P"
y a la segunda en "Q". Otra secante que pasa
por "B", corta a la primera en "E" y a la segunda
en "F". Si la m EPQ es de 76°, calcular la
m AQF.
7. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace
la altura BH, luego, la bisectriz BF del ángulo
HBC. Si: AB=BF, calcular la m BAC.
8. Sea ABC un triángulo donde: AB<BC y
m A=30°. Trace la ceviana BD, de modo
que: BD=DC y AD=BC. Calcular la m DBC.
9. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°)
y t r ace l a cev i ana AF de modo que :
m' 'FAC'='2m' 'BAF. En AC se marca "Q" de
modo que: m AFQ=m ACB. Si: FB=8 dm,
calcular "QF".
10. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se
traza la ceviana BF. Si se sabe que: AB=FC,
m A=2a° y m FBC=3a°, calcular "aº".
11. En el gráfico mostrado, calcular el valor de AP,
si: BQ=8m.
O
Q
53°
BA
P
r
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Geometría 3
Unidad III
12. En un triángulo PQR, PQ=8m; QR=9m y
PR=11m. La circunferencia inscrita determina
sobre PR el punto de tangencia "T". Calcular el
valor de RT.
13. En la figura, las cuerdas son perpendiculares.
Calcular el valor de "x°".
156°
x°
14. En una semicircunferencia, se trazan las cuerdas
AB y CD que se interceptan en "P", de tal manera
que la medida del arco AD es igual al triple de la
medida del arco BC y m BPD=130°. Calcular
la medida del arco BC.
15. La figura muestra a un radio perpendicular a una
cuerda y una tangente trazada por un extremo
de dicha cuerda. Calcular el valor de "a°".
a°
48°
16. En el gráfico, calcular "x°".
x°
O
17. Hallar: m BEA, si ABCD es un cuadrado y
BF=3AF.
E B C
DA
F
18. Hallar "AN".
A PH
N
M
b a
19. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH,
en el cual: AB=2 m; BC= 2m y CD=3 m. Cal-
cular la longitud de la diagonal AD.
20. En un polígono equiángulo ABCDEF..., las bi-
sectrices de los ángulos ABC y DEF son per-
pendiculares. Calcular el número de diagonales
de dicho polígono.
Geometría 4to - I Bim.indd 77 31/10/2014 11:13:46 a.m.
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