Tema 7 Medidas de posição separatrizes

Prévia do material em texto

Medidas de posição: separatrizes
Rafael Botelho Barbosa
Introdução 
As medidas de posição têm por finalidade representar um conjunto de dados por meio de um 
valor. Nesta aula, conheceremos as medidas de posição chamadas separatrizes, bem como suas 
principais classificações.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar as medidas separatrizes.
Bons estudos!
1 Medidas de posição
Por meio da análise das medidas de posição, conseguimos verificar como é a distribuição de 
um determinado conjunto de dados. Estas medidas são divididas em medidas de tendência e sepa-
ratrizes. Nesta aula, aprofundaremos nosso conhecimento sobre as separatrizes. Acompanhe!
2 Separatrizes 
As separatrizes são medidas de posição que separam um conjunto de dados em “n” partes. 
Cada uma destas partes deve conter a mesma quantidade de dados. Assim, caso façamos uma 
divisão de um conjunto de 40 dados em 4 partes, cada parte terá 10 dados. 
FIQUE ATENTO!
A mediana é uma das separatrizes, visto que separa um conjunto de dados em duas 
partes com exatamente a mesma quantidade de dados.
A classificação e nomenclatura das separatrizes dão-se com base no número de divisões fei-
tas. As separatrizes mais conhecidas são: quartil (divisão de um conjunto de dados em 4 partes), 
decil (divisão em 10 partes) e percentil (divisão em 100 partes).
SAIBA MAIS!
Na seção 4 (p. 109) do texto “Estatística aplicada à educação”, do Ministério da 
Educação, você pode aprofundar seus conhecimentos sobre o tema desta aula. 
Acesse: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf>. 
2.1 Quartil
No quartil, a série de dados será dividida em quatro partes iguais (cada parte contém a 
mesma quantidade de dados). Temos, então, 3 quartis denominados 1 2 3Q ,Q ,Q . Assim, podemos 
dizer que 25% dos dados estão presentes dentro de cada quartil; e que 50% dos dados situam-se 
até o valor do quartil 2Q (note que o quartil 2Q é a mediana); 75% dos dados situam-se até o valor 
do quartil 3Q . Stevenson (2001, p. 22) afirma que 
os quartis dividem conjuntos ordenados em 4 partes iguais: 25% dos valores serão inferio-
res ao primeiro quartil ( 1Q ), 50% serão inferiores ao segundo quartil ( 2Q mediana= ), 75% 
serão inferiores ao terceiro quartil ( 3Q ) e 25% serão superiores ao terceiro quartil.
De acordo com Crespo (2005), os quartis são valores (o valor de um quartil pode não coincidir 
com um valor observado) que dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais, conforme 
figura a seguir. 
Figura 1 – Representação das divisões dos quartis
Q1 Q2 Q3
0% 25% 50% 75% 100%
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Os quartis podem ser calculados como:
 • dados não agrupados: quando os dados não estão agrupados em classes (interva-
los de valores). Nestes casos, devemos utilizar a expressão i ii
k f
Q
4
= ∑ para calcular 
os quartis;
EXEMPLO
Considerando os dados (2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 9), temos que ( )1
1 10
Q = =2,5
4
; 2Q , que é a me-
diana, é dado pela média dos elementos centrais, logo vale 5,5; e ( )3
3 10
Q 7,5
4
= = ; assim, 
podemos dizer que: o quartil 1 ocupa a posição 2,5, ou seja, ele é o valor 2,5 (média de 2 
e 3); o quartil 2 é 5,5; o quartil 3 ocupa a posição 7,5, é o valor 6 (média de 6 e 6).
 • dados agrupados com intervalos de classes: quando os dados estão agrupados em 
classes, devemos utilizar a expressão 
( )i *
i i *
k f
F ant h
4
Q LI
f
 
− 
 = +
∑
 Em que:
iQ - quartil i;
iLI - limite inferior da classe que contém o quartil em análise;
k - número do quartil (quartil 1, 2, ou 3);
if
4
∑ - somatório das frequências dividido por 4;
( )F ant - frequência acumulada da classe anterior àquela que estamos analisando;
*h - intervalo ou amplitude da classe que estamos analisando;
*f
 - frequência da classe que estamos analisando.
EXEMPLO
Considere as classes apresentadas na tabela a seguir.
Tabela 1 – Classes
Classe Frequência simples Frequência acumulada
[150,154) 4 4
[154,158) 9 13
[158,162) 11 24
[162,166) 8 32
[166,170) 5 37
[170,174) 3 40
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Assim, calculamos os quartis.
Quartil 1: 
1x40 10
4
= . Então, 10 dados são inferiores ou iguais ao quartil 1. 
Logo, ele está na classe [154, 158). Assim, 1
1x40 4Q 154 4 156,66
4 9
  = + − =    
 ; 
EXEMPLO
 Quartil 2: 
2x40 20
4
= . Então, 20 dados são inferiores ou iguais ao quartil 2. 
Logo, ele está na classe [158, 162). Assim, 2
2x40 4Q 158 13 160,54
4 11
  = + − =    
 ;
Quartil 3 
3x40 30
4
= . Então, os dados são inferiores ou iguais ao quartil 3. 
Logo, ele está na classe [162, 166). Assim, 
3
3x40 4Q 162 24 165
4 8
  = + − =    
 ;
Assim encontramos todos os quartis para o caso em questão.
Atente para as expressões utilizadas para calcular os quartis para dados agrupados em clas-
ses e para dados não agrupados. Você irá notar que nos tópicos a seguir, faremos apenas algumas 
reformulações destas expressões.
2.2 Decil
 Os decis dividem um conjunto de dados em 10 partes iguais. Deste modo, podemos dizer 
que 10% dos dados são inferiores ou iguais ao primeiro decil 1D , 20% dos dados são inferiores ou 
iguais ao segundo decil 2D e assim por diante, até chegar ao último decil. 
Figura 2 – Representação das divisões dos decis
D1 D2 D9
0% 10% 20% 90% 100%. . .
. . .
Fonte: elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
O decil 5 equivale à mediana, visto que 50% dos dados são menores ou iguais a ele.
Agora, vejamos os cálculos para dados não agrupados ou agrupados em classes.
 • Dados não agrupados: quando os dados não estão agrupados em classes, usamos 
a expressão
i i
i
k f
D
10
= ∑
 • Dados agrupados com intervalos de classes: quando os dados estão agrupados em 
classes, devemos utilizar
( )i *
i i *
k f
F ant h
10
D LI
f
 
− 
 = +
∑
Em que:
iD - decil i;
iLI - limite inferior da classe que contém o decil em análise;
 k - número do decil (1, 2, 3, ...9);
if
10
∑ - somatório das frequências dividido por 10;
( )F ant - frequência acumulada da classe anterior àquela que estamos analisando;
*h - intervalo ou amplitude da classe que estamos analisando;
*f - frequência da classe que estamos analisando.
Para exemplificar o cálculo, considere o seguinte conjunto de dados: 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 
8, 9, 9, 9, 10, 11, 12,12, 13, 14, 15. Quais seriam, então, os três primeiros decis? Note que temos 
20 dados, logo, o primeiro decil é o valor que ocupa a posição 1 x 20 2ª posição
10
= , que é o 3. O 
segundo decil é o valor que ocupa a posição 
2x20 4ºposição
10
= , que é 5. O terceiro decil é o valor 
que ocupa a posição 3x20 6ºposição
10
= 
203x 6ºposição
2
= , que é 6. 
Os cálculos dos decis seguem a mesma linha de raciocínio dos quartis, sendo necessário 
apenas fazer as devidas adaptações.
2.3 Percentil 
O percentil divide um conjunto de dados em 100 partes iguais. Desta forma, o percen-
til 1P indica que 1% dos dados são inferiores ou iguais a ele. O percentil 2P ilustra que 2% dos 
dados são inferiores ou iguais a ele; o 3P indica que 3% dos dados são inferiores ou iguais a ele; e 
assim sucessivamente.
Figura 3 – Representação das divisões dos percentis
P1 P2 P98
0% 1% 2% 98% 100%. . .
. . .
99%
P99
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Os percentis também são calculados a partir de dados não agrupados e agrupados 
em classes. 
 • Dados não agrupados: quando os dados não estão agrupados em classes, usamos 
a expressão
i i
i
k f
P
100
= ∑
 • Dados agrupados com intervalos de classes: quando os dados estão agrupados em 
classes, usamos
( )i *
i i*
k f
F ant h
100
P LI
f
 
− 
 = +
∑
Em que:
iP - percentil i;
iLI - limite inferior da classe que contém o percentil em análise;
k - número do percentil (1, 2, 3, ...99);
if
100
∑ - somatório das frequências dividido por 100;
( )F ant - frequência acumulada da classe anterior àquela que estamos analisando;
*h - intervalo ou amplitude da classe que estamos analisando;
*f - frequência da classe que estamos analisando.
Para compreender o cálculo, imagine que, em uma prova, os estudantes tenham tirado as 
seguintes notas: 0 (10 estudantes); 1 (5 estudantes); 2 (5 estudantes); 3 (1 estudante); 4 (5 estu-
dantes); 5 (10 estudantes); 6 (30 estudantes); 7 (10 estudantes); 8 (15 estudantes); 9 (6 estudan-
tes); 10 (3 estudantes). A tabela abaixo ilustra as notas e frequências.
Tabela 2 – Notas e frequências 
Nota Frequência simples Frequência acumulada
0 10 10
1 5 15
2 5 20
3 1 21
4 5 26
5 10 36
6 30 66
7 10 76
8 15 91
9 6 97
10 3 100
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
Assim, quais seriam o 11º percentil, o 23º percentil e o 89º percentil? Primeiro, observamos se 
os dados estão organizados em ordem crescente. Como eles estão, podemos continuar o cálculo. 
Note que temos 100 dados, logo, o 11º percentil é o valor que ocupa a posição 10011 x 11º posição
100
= , 
que é 1. O 23º percentil é o valor que ocupa a posição 10023x = 23º posição
100
, que é 4. O 89º percentil 
é o valor que ocupa a posição 
10089x 89ºposição
100
= , que é 8.
O percentil é bastante conhecido e utilizado na Estatística. Uma aplicação prática destas 
separatrizes seria analisar a altura da população de uma determinada cidade. Colocando os dados 
em ordem crescente, o percentil 90% indicará que 90% das pessoas possuem altura igual ou infe-
rior àquele valor. 
Agora vamos imaginar que um determinado vendedor de sapatos queira saber qual tamanho 
máximo de sapato ele deveria vender. Ele pode obter a devida proporção entre altura e tamanho 
dos pés e chegar à conclusão de um valor que atenda a 90% da população.
3 Interpretando as separatrizes
Para efetuarmos a interpretação de outros tipos de separatrizes, basta recorrermos aos nos-
sos conhecimentos de quartis, decis e percentis. Todo o processo de cálculo das referidas divisões 
deve ser feito de maneira análoga àqueles que foram descritos em tópicos anteriores.
SAIBA MAIS!
Lembre-se sempre que a mediana é um valor que separa os 50% menores valores 
dos 50% maiores. Vamos supor que uma determinada divisão de um conjunto de 
dados seja em 50 partes iguais. Note que 25 partes são menores ou iguais a mediana 
e 25 são maiores. Assim, o valor que ocupa a 25º divisão é a respectiva mediana. 
As separatrizes são medidas que dividem um conjunto de dados em “n” partes iguais. O 
valor de “n” pode assumir qualquer valor inteiro, por isso, é impossível citarmos todos os tipos de 
separatrizes. 
Além disso, naquelas em que as divisões não são exatas, é mais difícil de se encontrar os 
valores que ocupam cada divisão. No entanto, nada nos impede de fazermos a divisão de um con-
junto de dados em quantas partes quisermos, com os devidos cálculos.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • entender o conceito de separatrizes;
 • aprender sobre os principais tipos de separatrizes;
 • saber os cálculos das classificações de separatrizes.
Referências 
CRESPO, Antônio. Estatística Fácil. 18. ed. São Paulo: Editora: Saraiva, 2005.
DUQUIA, Rodrigo Pereira; BASTOS, João Luiz Dornelles. Medidas de tendência central: onde a 
maior parte dos indivíduos se encontra? Scientia Medica, Porto Alegre, v.16, n. 4, out/dez. 2006.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harbra, 2001.