EP02 Números Complexos 2014 1 TUTOR

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Curso de Licenciatura em F´ısica − UFRJ/CEDERJ
Exerc´ıcios Programados de Nu´meros Complexos(Gabarito)
Aula 2 mo´dulo 2
Exerc´ıcios recomendados em cada aula: Todos
Exerc´ıcios extras:
1. Ache a determinac¸a˜o principal dos arcos α =
55pi
3
e β = −185pi
7
Soluc¸a˜o: Temos que α =
55pi
3
=
(18× 3 + 1)pi
3
= 18pi +
pi
3
. Assim, a determinac¸a˜o principal
de α e´
pi
3
Agora, temos que β = −185pi
7
= −(26× 7 + 3)pi
7
= −26pi − 3pi
7
= −28pi + 2pi − 3pi
7
= −28pi + 11pi
7
.
A determinac¸a˜o principal de β e´ portanto,
11pi
7
.
2. Simplifique a expressa˜o:
sec(x− pi) · cotg(x+ 3pi
2
) · tg(pi
2
− x)
cossec(x+ pi) · cos(3pi
2
− x)
Soluc¸a˜o: Como sec x = 1
cosx
e cos(x − pi) = − cosx, enta˜o sec(x − pi) = − sec x. Como
cotg x = cosx
senx
, cos(x+ 3pi
2
) = sen x e sen(x+ 3pi
2
) = − cosx, enta˜o cotg(x+ 3pi
2
) = − tg x. Como
sen(pi
2
−x) = cosx e cos(pi
2
−x) = senx, enta˜o tg(pi
2
−x) = cotg x. Como sen(x+pi) = − sen x,
enta˜o cossec(x+ pi) = − cossecx. Finalmente, cos(3pi
2
− x) = sen(−x) = − sen x. Assim,
sec(x− pi) · cotg(x+ 3pi
2
) · tg(pi
2
− x)
cossec(x+ pi) · cos(3pi
2
− x) =
(− secx) · (− tg x) · cotg x
(− cossecx) · (− senx) =
(− sec x) · (−1)
1
= sec x.
3. Encontre o arco x ∈ [2pi, 4pi] que seja congruente ao arco y = 29pi
5
.
Soluc¸a˜o:
Convertendo y =
29pi
5
para medida em graus temos
y =
29pi
5
=
29 · 180◦
5
= 1044◦.
Um arco congruente a y compreendido entre 0◦ e 360◦ e´ o resto da divisa˜o de 1044◦ por 360◦,
que e´ o arco de z = 324◦. Convertendo este arco para radianos obtemos z =
324pi
180
=
9pi
5
. Mas,
z /∈ [2pi, 4pi]. Pore´m, os arcos do intervalo [2pi, 4pi] sa˜o obtidos pelos arcos do intervalo [pi, 2pi]
somados com 2pi, mantendo a congrueˆncia. Por isso, o arco procurado e´ x =
9pi
5
+ 2pi =
19pi
5
.