Aula 11 Fluxo de líquidos nos meios porosos

Prévia do material em texto

Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO I 
Aula 11: Fluxo de líquidos nos meios porosos 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Apresentação do conteúdo da aula 
1. Fluxo de Líquidos em Meios Porosos 
• Conceito de potencial de fluxo; 
• Equação de difusividade; 
• Algumas soluções com a equação de difusividade; 
o Sistemas lineares com fluxo permanente, 
pseudopermanente e transiente; 
o Sistemas radiais com fluxos permanente, 
pseudopermanente. 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Importância do conhecimento do fluxo dos fluidos 
• Descoberta uma acumulação de petróleo, é preciso determinar a quantidade que se pode extrair e o 
tempo de produção; 
• O conhecimento das leis que regem o movimento dos fluidos nos reservatórios é fundamental; 
• Modelos matemáticos acerca dos reservatórios e do seu comportamento atual e futuro demandam 
equações do fluxo dos fluídos, sejam esses líquidos ou gasosos; 
• A equação de difusividade hidráulica permite soluções para várias questões que os reservatórios 
apresentam para sua exploração; 
• O escoamento dos fluídos incompressíveis demanda o conceito de potencial de fluxo que é 
apresentado nesta aula. 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Lei de Darcy 
Fluxo nos fluídos incompressíveis (líquidos) 
• A lei de Darcy é estendida a outros fluídos além da água e nela substituindo-se a carga hidráulica 
pela pressão atuante nos reservatórios; 
• O escoamento dos fluídos a partir do reservatório exige uma diferença de pressão (∆𝑝), assim uma é 
a pressão na entrada e outra na saída em termos de altura (ℎ₁ −ℎ₂) ou diferença de carga, dentro do 
meio poroso de cumprimento L: 
 ∆𝑝 = 𝛾( ℎ₁ − ℎ₂ − 𝐿 ) 
• O conceito de potencial de fluxo de um fluído elimina as referencias das pressões a cotas diferentes. 
 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Fluxo em fluídos incompressíveis 
Potencial de Fluxo 
 
• Potencial de um fluído ou potencial de fluxo é definido pela 
expressão seguinte: 
𝚽 = 
𝑑𝑝
γ
+ (𝑧 − 𝑧ₒ)
𝑝
𝑝ₒ
 
• Potencial é definido em relação a um nível zₒ e a uma pressão pₒ; 
• Nível de referência zₒ=0 e sendo o fluído incompressível 𝑑𝑝/γ= γ: 
𝚽 =
1
𝛾
(p-pₒ)+z 
Para um fluxo estático não existe diferença de potencial entre os 
pontos desse fluído e 𝚽 = 𝟎 
Figura 3.1 reproduzida de A. J. Rosa et al 
 op. Cit. em “saiba mais”. 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Potencial de fluxo para reservatórios inclinados e horizontais 
 
• Na diferença de potencial (∆𝜱) entre a entrada (𝚽1) e a saída (𝚽₂) do meio poroso e sendo maior 
potencial o da entrada que o de saída, o fluxo se processa no sentido de potenciais decrescentes; 
• O fluxo nos reservatórios inclinados independe da inclinação dos mesmos, pois a diferença de carga, na Lei 
de Darcy, é dada pelas alturas manométricas; 
• Nos reservatórios horizontais não existe diferença de cota; 
• Nos fluidos sendo incompressíveis, o peso específico é constante; nos locais de entrada e saída do fluido no 
meio poroso, o fluxo se processa no sentido das pressões decrescentes. 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Equação de Difusividade, premissas 
 
• É obtida a partir de três equações básicas: equação de continuidade que é uma equação de conservação 
de massa, da lei da Darcy representa uma equação de transporte de massa e uma equação de estado (lei 
dos gases ou equação de compressibilidade); 
• As seguintes hipóteses básicas são admitidas para formular a Equação de Difusividade: o meio poroso ser 
homogêneo e isotrópico; o fluxo estritamente horizontal e isotérmico; o poço penetrando integralmente na 
formação; a permeabilidade ser constante; os gradientes de pressão serem pequenos; fluído 
compressibilidade pequena e constante com viscosidade constante; rocha com compressibilidade pequena 
e constante; forças gravitacionais desprezíveis e rochas e fluídos não reagentes entre sim. 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Equação de Continuidade, de conservação de massa 
 
• Descreve a variação de massa dentro do meio proso tridimensional (x, y, e z) devido ao fluxo; 
• Essa variação de massa dentro do meio poroso pode ser obtida de um balanço de materiais: a massa 
acumulada no ∆𝒕 é a diferença de massa entre a massa existente no final do tempo e a massa no início do 
intervalo: 
𝜕 𝑣𝑥𝜌
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑣𝑦𝜌
𝜕𝑦
 + 
𝜕 𝑣z𝜌
𝜕𝑦z
 = - 
𝜕 ∅𝜌
𝜕𝑡
 
 Ela expressa com palavras: A diferença de massa que entra e a massa que sai nas três direções de fluxo é igual 
à variação da massa dentro do meio poroso. 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Lei de Darcy, rege o transporte de massa do fluído no meio poroso 
 
Essa lei relaciona a velocidade aparente do fluído como gradiente de pressão ou com os gradientes de potencial: 
𝑉𝑠 =
𝑘𝑠𝛾 𝛿Φ
𝜇 𝛿𝑠
 
O potencial 𝜱 é agente responsável e o propulsor do deslocamento do fluído. Os fluídos se deslocam sempre 
do maior potencial para pontos de menor potencial. 
Usando-se na lei de Darcy, as velocidades aparentes nas três direções de fluxo e com essas expressões na 
equação de continuidade definida anteriormente, se obtém a equação diferencial para escoamento do fluido: 
𝝏
𝝏ₓ
[
𝝆𝒌𝜹𝝆
𝝁𝜹𝒙
]+
𝝏
𝝏𝒚
 [
𝝆𝒌𝜹𝝆
𝝁𝜹𝒚
]+
𝝏
𝝏𝒛
[
𝝆𝒌𝜹𝝆
𝝁𝜹𝒛
] =
𝜹
𝜹𝒕
 (𝜱𝝆) 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Equação de Estado 
 
A equação de compressibilidade representa equação de estado para os líquidos assim definida: 
𝒄 =
1 𝛿𝜌
𝜌 𝛿𝑝 
 
Incorporada na equação de escoamento anteriormente deduzida, e c previamente desdobrada para função 
tridimensional(x, y e z) na condição de compressibilidade efetiva, desprezando-se valores considerados 
muito pequenos e desprezíveis, acaba-se obtendo a expressão da difusividade hidráulica seguinte e sendo 𝜼 
a constante de difusividade hidráulica: 
𝛿²𝑝
𝛿𝑥²
+
𝜕²𝑝
𝜕𝑦²
+
𝛿²𝑝
𝛿𝑧²
=
ϕμc
𝑘
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
1 
𝜼 
 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Soluções com a equação de difusividade hidráulica 
 
Sistemas lineares, isto é, com apenas uma direção de fluxo x e 
sendo o tipo de fluxo permanente onde o meio poroso está 
limitado no cumprimento L e na área A; com alimentação 
externa, sendo a vazão qw e a pressão constantes. 
A expressão da equação de difusividade em termos de vazão é a 
seguinte: 
 𝑝 𝑥 = 𝑝𝑤 + 
𝑞𝑤𝜇𝐿
𝑘𝐴
(
𝑥
𝐿
) 
Na figura ao lado: a direção de fluxo, a vazão qw e as pressões 
pe e pw . 
Figura 3.7 reproduzida de AJ Rosa 
 op.cit. Em “saiba mais” 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Soluções com a equação de difusividade hidráulica 
 
Sistemas lineares, isto é, com apenas uma direção de fluxo x e 
sendo o tipo de fluxo semipermanente, pseduopermanente ou 
depletivo onde o meio poroso está limitado no cumprimento L 
e na área A e tema fase externa selada; sem alimentação 
externa qw e a pressão cai continuamente devido à retirada de 
massa do reservatório. 
A expressão da equação de difusividade em termos de vazão é a 
seguinte: 
 𝑝 𝐿 = 𝑝𝑒 = 𝑝𝑤 + 
𝑞𝑤𝜇𝐿
2𝑘𝐴
 
Na figura ao lado: a direção de fluxo, a vazão qw e as pressões 
pe e pw e a fase selada. 
Figura 3.8 reproduzida de AJ Rosa 
 op.cit. Em “saiba mais” 
Limite Externo 
Selado 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Soluções com a equação de difusividade hidráulica 
 
Sistemas lineares 
Isto é, com apenas uma direção de fluxo x e sendo o tipo de fluxo 
transiente onde o meio poroso com área A constante, porém 
ilimitado no cumprimento; com qw constante, e dependente do 
tempo t: 
 
𝑝𝑤 𝑡 = 𝑝𝑡 +
𝑞𝑤𝜇𝐿
𝑘𝐴
4η𝑡/𝜋𝐿² 
Figura 3.9 reproduzida de AJ Rosa op. cit. 
Em “saiba mais” 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Soluções a equação de difusividade hidráulica 
 
Sistemas radiais que ocorre no plano xy, isto é, sem fluxo vertical; 
são usadas coordenadas cilíndricas. Com regime de fluxo 
permanente, o movimento dá-se em um meio poroso cilíndrico, 
graficamente apresentado na figura ao lado. 
Alimentação externa contínua e constante no espaço e no tempo, 
reposto simultaneamente através da fronteira externa; a pressão 
não varia com o tempo. 
𝑝 𝑟 = 𝑝𝑤 +
𝑞𝑤𝜇
2𝜋𝑘ℎ
(ln
𝑟
𝑟𝑤
) 
Figura 3.11 reproduzida de AJ Rosa 
 op. cit. em “saiba mais” 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Difusividade Hidráulica 
Soluções a equação de difusividade hidráulica 
 
Sistemas radiais sistemas radiais que ocorre no plano xy, isto é, 
sem fluxo vertical; são usadas coordenadas cilíndricas. 
Com o regime de fluxo pseudopermanente, o movimento dá-se 
em um meio poroso cilíndrico com a lateral externa selada, 
graficamente apresentado na figura ao lado. 
Alimentação externa não existe e a produção acontece da 
expansão do fluido e da redução do volume poroso: 
𝑝(e)=𝑝𝑤+
𝑞𝑤𝜇
2𝜋𝑘ℎ
 [ ln(𝑟𝑒
𝑟𝑤
) - 
1
2
 ] Figura 3.12 reproduzida de AJ Rosa op.cit. 
em “saiba mais” 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
Exercícios resolvidos: 
Fluxo semipermanente linear: exemplo 3.2, p. 199; 
Fluxo transiente: exemplo 3.4, p. 213. 
Problemas com resposta: de 3.1 até 3.6, p. 266 a 
268. 
ROSA, Adalberto Jose et ali. Engenharia de 
reservatórios de petróleo. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2006. 
Saiba mais 
Exercícios relativos à Equação de Difusividade 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
DAKE, L. P. Engenharia de reservatórios. 
Fundamentos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. 
JAHN, F. et al. Introdução à exploração e 
produção de hidrocarbonetos. Rio de Janeiro: 
Elsevier Campus, 2012. 
ROSA, Adalberto Jose et ali. Engenharia de 
reservatórios de petróleo. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2006. 
Saiba mais 
Fluxo de Fluídos Líquidos em Meios Porosos 
Engenharia de Reservatórios de Petróleo I 
AULA 11: FLUXO DE LÍQUIDOS NOS MEIOS POROSOS 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
Reservatórios NaturalmeFluxo 
de Líquidos em Meios Porosos; 
Princípio de Superposição de 
Efeitos; 
Descontinuidades lineares; 
Efeito de Película; 
Reservatórios 
Naturalmente 
Fraturados. 
AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.