Aula 16 Fluxo de gases em meios porosos Parte 02

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Engenharia de reservatórios de petróleo I 
AULA 16: FLUXO DE GASES EM MEIOS POROSOS - 2ª PARTE 
ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO I 
Aula 16: Fluxo de gases em meios porosos 
- 2ª parte 
Engenharia de reservatórios de petróleo I 
AULA 16: FLUXO DE GASES EM MEIOS POROSOS - 2ª PARTE 
Apresentação do conteúdo da aula 
1. Fluxo de Gases no meio poroso; 
• Equações fundamentais; 
• Difusividade hidráulica - Gás Real; 
o Fluxo linear; 
o Fluxo Radial; 
• Fluxo Turbulento e efeito de película; 
• Poços horizontais. 
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Difusividade hidráulica 
Fluxo de gás real 
 
• Como os efeitos gravitacionais sobre o fluxo são desprezíveis, o potencial de gás real pode ser expresso não 
em termos da pressão e sim da relação p/𝛾 pressão/peso específico do fluido; 
• A viscosidade do gás é altamente influenciada pela pressão, daí sua forte dependência e a dificuldade de 
linearizar a expressão de difusividade; 
• Dois métodos foram apresentados em 1966: Russell e Goodrich; A-Hussainy et al. O segundo sendo mais 
aceito.; 
• Equações de fluxo são expressas nas condições de superfície; 
• No segundo método apontado (A- Hussainy), a equação básica de fluxo tem a seguinte expressão 
conhecida como pseudopressão do gás real: 
m(p₂)-m(p₁) = 2 
𝑝𝑑𝑝
𝜇𝑍
 
𝑝
𝑝𝑏
 
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Difusividade hidráulica 
Fluxo de gás real 
• As equações do escoamento em função da pseudopressão do gás conduzem a equação da difusividade 
hidráulica para o fluxo tridimensional e o fluxo radial horizontal, respetivamente: 
𝜕²𝑚 𝜌
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑚 𝜌
𝜕𝑦²
 + 
𝜕²𝑚 𝜌
𝜕z²
 = 
ϕ𝜇𝑐𝑔
𝑘
 
𝜕𝑚 𝜌
𝜕𝑡
 
1
r
𝜕 
𝜕r
 [r 
𝜕𝑚(𝑝)
𝜕𝑟
] = 
ϕ𝜇𝑐𝑔
𝑘
𝜕𝑚(𝑝)
𝜕𝑡
 
• Essas equações não são lineares, visto que a compressibilidade e a viscosidade do gás dependem da 
pressão; porém, a primeira é função descrente e a segunda crescente, que reduz a dependência do produto 
𝜇𝑐g em relação à pressão. Nas altas pressões, esse produto é praticamente constante; 
• A pressão sendo muito alta, o gás se comporta como se fosse líquido, daí se usarem as equações para fluxo 
líquidos estudadas na aula XI; 
• As equações obtidas para o fluxo de gás real são de utilidade nos testes de poço de gás. Vide Dake op. cit. 
em “saiba mais”. 
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Soluções da equação de difusividade 
Gás Real /Fluxo Linear/Regime Permanente 
A equação de difusividade para fluxo linear de um gás real: 
𝜕²m(𝑝)
𝜕𝑥²
= 
𝛷𝑢𝑐𝑔
𝑘
 
𝜕𝑚(𝑝)
𝜕𝑡
 
• No regime permanente: 
𝜕𝑚(𝑝)
𝜕𝑡
 = 0 
m(p) = m(pw) + [m(pₑ) - m(pw)] 𝑥 𝐿 
• A vazão na face x=0 é: 
qw= 
𝑘𝐴
𝜇𝑤
 (
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 ) e nas condições padrão qₒ= 
𝑘𝐴 
𝐿
 
𝑇ₒ
𝑝ₒ𝑇
𝑚 𝑝ₑ − 𝑚(𝑝𝑤)
2
 
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Gás Real/Fluxo Linear/Regime Pseudopermanente 
 
• A equação de fluxo linear em regime pseudopermanente: 
mp) = m(pw) + 
𝐿
𝑘𝐴
 
2𝑇ₒpₒqₒ 
𝑇ₒ
 [( 
𝑥
𝐿
) - 
1
2
 
𝑥²
𝐿²
 ] 
• A equação de vazão : 
qₒ= 
𝑘𝐴
𝐿
𝑇ₒ
𝑇
 
𝑚 𝑝ₑ −𝑚(𝑝𝑤)
𝑝ₒ
 
Soluções da equação de difusividade 
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Gás Real/Fluxo Radial/regime permanente 
 
As equações de fluxo radial, segundo A J Rosa op. cit., “são as mais utilizadas na prática da engenharia de 
reservatórios.” 
• A equação de fluxo radial em regime permanente está expressa em: 
m(p) = m(p w) + 
1
2𝜋𝑘ℎ
 
2𝑞ₒ𝑝ₒ𝑇 
𝑇ₒ
 ln (r/rw) 
 
• A equação que explica o valor da vazão: 
qₒ = 2𝜋𝑘ℎ 
𝑇ₒ
𝑝ₒ𝑇
 
𝑚 𝑝 −𝑚(𝑝𝑤)
2 ,(ln 𝑟ₑ/𝑟𝑤)−1/2-
 
Soluções da equação de difusividade 
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Gás Real/Fluxo Radial/regime pseudopermanente 
 
• A equação para o cálculo da função m(p) no poço em regime pseudopermanente e para várias geometrias 
de reservatório, usando o conceito de forma de Dietz, 1965 (aula XIII slide 16), é: 
m(p) –m(pw) = 
1
2𝜋𝑘ℎ
2𝑞ₒpₒT
𝑇ₒ
 [½ln( 
4𝐴
𝛾𝐶𝐴𝑟²𝑤
)] 
• O valor da vazão de produção em condições padrão: 
qₒ= 2𝜋𝑘ℎ
𝑇ₒ
𝑝𝑇
 
𝑚 𝑝 −𝑚(𝑝𝑤)
,ln
4𝐴
𝛾𝐶𝐴𝑟²𝑤
-
 
Acompanhar o problema resolvido no exemplo 4.2, página 297 da op. cit. A J Rosa em “saiba mais”. 
 
Soluções da equação de difusividade 
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Fluxo turbulento e efeito de película 
Fluxo turbulento 
 
Nas imediações do poço, normalmente, as vazões são altas e a velocidade do fluxo é máxima. Além da força 
viscosa, existe outra componente devido aos efeitos inerciais e de turbulência. 
• A equação que expressa esses efeitos é denominada de equação de Forchheinnmer. Em coordenadas 
cartesianas, essa equação é a seguinte: 
-
𝜕𝑝
𝜕𝑠
 = 
𝜇
𝑘𝑠
 vs − 𝛽𝜌𝑣² 
 Onde s é trajetória do fluxo; vs é velocidade aparente de fluxo na direção s; 𝜌 é peso específico e 𝛽 é coeficiente de resistência inercial 
• A equação de Forchheimer para fluxo radial, isto é, em coordenadas cilíndricas, tem a expressão: 
- 
 𝜕𝑝
𝜕𝑟
 = 
𝜇
𝑘𝑠
 v - 𝛽𝜌𝑣² ; sendo v a velocidade do fluxo na direção radial. 
O terno 𝛽𝜌𝑣² é desprezível em velocidades baixas nos líquidos, porém, nos gases, pela baixa viscosidade, suas velocidades são superiores às dos líquidos. 
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Fluxo turbulento e efeito de película 
Fluxo Turbulento em Fluxo Linear Permanente 
 
Sendo v = - q/A; pela lei dos gases, q= 
𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ 
𝑇ₒ𝑝
; assim v = 
𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ 
𝐴𝑇ₒ𝑝
; também pela mesma lei, 𝜌 = 
𝑀𝑝
𝑍𝑅𝑇
. 
A equação de Forchheimer passa a ter a expressão seguinte: 
- 
𝜕𝑝
 𝜕𝑠
 = 
𝜇
𝑘
 
𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ 
𝐴𝑇ₒ𝑝
 − 𝛽
𝑀𝑝
𝑍𝑅𝑇
 [ 𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ 
𝐴𝑇ₒ𝑝
 ]². 
Quando integrada nos limites face de saída (x=0 e p=pw) e da face de entrada (x=L p=pₒ), obtém-se a equação de 
segundo grau em qₒ e permite o cálculo da vazão: 
𝛽𝑀𝑝𝑘
μ𝑅𝑇ₒ𝐴
 q² + qₒ - 
𝑘𝐴𝑇ₒ(𝑝²ₑ−𝑝²𝑤)
2𝑝ₒ𝜇𝑍𝑇𝐿
 = 0 
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Fluxo turbulento e efeito de película 
Fluxo Turbulento em Fluxo Linear Permanente 
 
Para fluxo radial, a equação de Forchheimer passa a ter outra expressão quando a velocidade é definida v = -
q/A = - 
𝑞
2𝜋𝑟ℎ
= −
𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ
2𝜋𝑟ℎ𝑇ₒ𝑝
 e 𝜌 = 
𝑀𝑝
𝑍𝑅𝑇
 . 
- 
𝜕𝑝
𝜕𝑟
 = - 
𝜇
𝑘
 
𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ
2𝜋𝑟ℎ𝑇ₒ𝑝
 - 𝛽
𝑀𝑝
𝑍𝑅𝑇
 [
𝑝ₒ𝑍𝑇𝑞ₒ
2𝜋𝑟ℎ𝑇ₒ𝑝
]² 
Chega-se a equação da vazão do poço que passa a ter a seguinte expressão reduzida com a definição das 
constantes C₁ C₂ e D: 
qₒ = 
C₁(𝑝²ₑ−𝑝²𝑤)
C₂ +D qₒ
 ; 
onde C₁ = 
𝜋𝑘ℎ𝑇ₒ
𝜇𝑍𝑝ₒ𝑇
 C₂= ln(
𝑟ₑ
𝑟𝑤
) e D = 
𝛽𝑀𝑝ₒ
2𝜋ℎμ𝑅𝑇𝑟𝑤
 (coeficiente de Turbulência). 
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Fluxo turbulento e efeito de película 
Efeito de Película 
 
• À equação de Forchheimer se adiciona um fator de película devido às condições mecânicas do poço, 
preferencialmente nas suas imediações, pois a turbulência estariarestrita a essa região em volta do poço. 
• Para um regime pseudopermanente, adicionando o coeficiente de turbulência D: 
m(pw)= m(p)- 
𝑝ₒ𝑇𝑞ₒ
𝜋𝑟ℎ𝑇ₒ
 [ln(
𝑟ₑ
𝑟𝑤
 )-
3
4
 +s + Dqₒ] 
S+Dqₒ é o fator de película total 
• O coeficiente de turbulência é determinado através de testes de poços. 
• Consulte o capítulo 8 L P Dake op.cit. em “saiba mais”. 
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Poços Horizontais em reservatórios de gás 
Equações de fluxo para poços horizontais 
 
• As equações de fluxo para esses casos podem ser obtidas a partir das equações válidas para poços verticais 
substituindo-se o raio do poço pelo raio de um poço vertical equivalente ao horizontal. 
• Para o caso em que o reservatório é anisotrópico, a expressão do raio equivalente é dada por Joshi 1991 
(em op. cit. A J Rosa): 
r’wvh = 
𝑟(
𝐿
2
)
𝑎*1+ 1−( 𝐿2𝑎)²+,βh/(2rw)-𝛽𝑘/𝐿 
 
• A vazão do poço horizontal pode ser calculada pela expressão: 
qₒ= 
2𝜋𝑘ℎ
𝜇
𝑇
2𝑍𝑝ₒ𝑇
(𝑝²ₑ −𝑝²𝑤)
ln(𝑟/𝑟′𝑤𝑣ℎ)
 
Acompanhe os exercícios do capítulo 4 de A J Rosa e do capítulo 8 L P Dake citados em “saiba mais”. 
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DAKE, L. P. Engenharia de reservatórios. 
Fundamentos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. cap. 6 
a 8. 
JAHN, F. et al. Introdução à exploração e produção 
de hidrocarbonetos. Rio de Janeiro: Elsevier 
Campus, 2012. 
ROSA, Adalberto Jose et ali. Engenharia de 
reservatórios de petróleo. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2006. cap. 4. 
Saiba mais 
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