Aula 1 Revisao Introd Vetores

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FACULDADE ESTÁCIO - SÃO LUIS
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Introdução ao estudo de vetores
PARTE 1 
Revisando geometria plana
Quando estudamos o conjunto dos números reais (R), verificamos que o número zero fica localizado entre os números reais positivos e os números reais negativos, como no exemplo da reta a seguir.
0
+1
+2
+3
-1
-2
-3
-10
+10
+2
-2
+2,5
-2,5
RETA REAL
O plano cartesiano é formado por uma região geométrica plana, cortada por duas retas perpendiculares entre si.
Retas perpendiculares
formam ângulos de 900 entre si.
Plano cartesiano.
PLANO CARTESIANO
As retas dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. 
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
1º QUADRANTE
4º QUADRANTE
3º QUADRANTE
2º QUADRANTE
 Quadrantes 
MATEMÁTICA, 9º Ano 
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
A reta horizontal é denominada de eixo das abscissas e representada por x, xR.
A reta vertical é denominada de eixo das ordenadas e representada por y, yR.
x
y
Eixo das abscissas.
Eixo das ordenadas.
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Denomina-se par ordenado ao par (x, y), no qual o primeiro elemento pertence ao eixo das abscissas e o segundo elemento pertence ao eixo das ordenadas.
x
y
O ponto de encontro das retas x e y é chamado de origem e é representado pelo par ordenado (0, 0), ou seja, x = 0 e y = 0.
+ + + +
- - - - -
+ + + +
- - - - -
(+, +)
(-, +)
(-, -)
(+, -)
Origem do sistema cartesiano (0, 0) .
0
Representação dos sinais da abscissa e da ordenada, em relação aos quadrantes.
EXEMPLOS 
1º) Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:
A(2, -3) 
B(-5, 1)
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Note que o ponto A(2, -3) está no 4º quadrante, e o ponto 
B(-5, 1) está no 2º quadrante.
2
-3
-5
1
0
x
y
A
B
SOLUÇÃO
2º) Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:
A(-5, 0) 
B(0, -4)
OUTRO EXEMPLO
Note que o ponto A(-5, 0) está no eixo x e o ponto 
B(0, -4) está no eixo y.
- 4
- 5
0
x
y
A
B
SOLUÇÃO
PARTE 2 
Entendendo vetores
Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r
Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A
 Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B
SEGMENTO DE RETA
AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B
BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A
 Chamamos BA , oposto de AB
 Se A = B então o segmento orientado AB = BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0 
SEGMENTO DE RETA
Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade 
A medida do segmento AB é denotada por med(AB) 
Os segmentos nulos têm medida igual a zero. 
med(AB) = med(BA) 
SEGMENTO DE RETA ORIENTADO
Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes 
Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção
Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção
SEGMENTO DE RETA ORIENTADO
Exemplos – Mesmo sentido
Exemplos – Sentidos Opostos
Exemplos – Sentidos e Direções
Sentido: de A para B
 Direção: vertical
Sentido: de A para B
 Direção: horizontal
Sentido: de B para A
 Direção: vertical
A
B
A
B
A
B
O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se:
ambos têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
se ambos são segmentos nulos
Denota-se: AB ~ CD
EQUIPOLÊNCIA
Exemplos
Exemplos
Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB
O vetor determinado por AB, indicamos por AB
VETORES
Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB ~ CD
 Um vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si.
Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0.
VETORES
Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v
VETORES
Dado um vetor u , todos os seus representantes têm a mesma medida, chamada módulo do vetor u, e indicamos por |u |
Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD têm mesma direção (mesmo sentido)
Um vetor u é unitário se |u| = 1. Chamamos versor de um vetor não nulo u, o vetor unitário que tem mesmo sentido de u.
VETORES
Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u  v
O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor no espaço
VETORES
UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
MÓDULO DO VETOR
No plano cartesiano o vetor u fica expresso através de um par ordenado. Neste caso, seu módulo fica sendo considerado a distância do ponto O a P: