Medidores de Vazão (2) (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO
JOYCE LIMA
PATRÍCIA DE CARLI
INTEGRAÇÃO E INTERPOLAÇÃO
São Mateus
2017
JOYCE LIMA
PATRICIA DE CARLI
INTEGRAÇÃO E INTERPOLAÇÃO
Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de Engenharia de Petróleo do Centro Universitário Norte do Espírito Santo, Universidade Federal do Espírito Santo como requisito da disciplina de Algoritmos.
Orientador: Professor André Renato Amaral
São Mateus
2017
INTRODUÇÃO
Neste trabalho iremos enfatizaremos dois assuntos bem importantes dentro do Cálculo Numérico, integração e interpolação. Nos basearemos no livro do Leônidas Conceição Barroso, nos capítulos 5 e 6, respectivamente.
Sobre interpolação, trataremos com mais detalhes três tipos principais de interpolações, a linear, polinomial e trigonométrica.
	
INTERPOLAÇÃO
INTRODUÇÃO:
Denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
Uma aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.
Existem três tipos de interpolação:
Interpolação Polinomial 
Interpolação linear
Interpolação trigonométrica
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
DEFINIÇÃO:
Interpolação polinomial é um caso particular do problema geral de interpolação, no qual a família de funções é constituída de polinômios. A escolha de polinômios como funções interpolantes é natural por diversos motivos, entre eles: se p é um polinômio de grau n, o valor p(x) para um x real é calculado através de n+1 operações de multiplicação e n+1 operações de adição. Para tanto, pode-se usar o algoritmo de Horner. Dado um polinômio p de grau n da forma
é possível reescrevê-lo como a sequência de operações dada por
Suponha que se tenha um conjunto de n+1 pontos,
E seus respectivos valores em uma função F(x), ou seja,
Interpolar os pontos: 
Consiste em obter uma função G(x) tal que:
Polinômios serão aqui adotados como interpolados.
São computados facilmente
Suas derivadas e integrais também são polinômios
FORMA DE LAGRANGE
Dados três pontos distintos:
 
Deseja-se encontrar o polinômio :
Tal que,
Uma fórmula para encontrar tal polinômio é a seguinte:
Onde,
As funções são chamadas de funções de base de Lagrange.
Além de serem polinômios de grau n, essas funções são definidas de modo que:
Onde 
Consequentemente, tem grau 
É fácil ver que que o polinômio interpola os dados, pois
Considerando n+1 pontos distintos
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por :
Onde,
POLINÔMIOS DE NEWTON
Sejam os pontos base:
O Polinômio de Newton de grau é dado por:
Onde são operadores de diferenças divididas de ordem k entre os pontos da base.
Detalharemos como obter cada componente da fórmula deste polinômio mais a frente, mas antes organizaremos os valores de x e f(X) que nos serão passado inicialmente. A tabela abaixo mostra um exemplo algébrico de valores que serão informados a fim de serem interpolados pelo polinômio de Newton:
Este método é mais facilmente enxergado se visualizado horizontalmente, colocando a tabela de x, f(x) e os demais coeficientes que precisamos para completar o polinômio, abaixo temos uma tabela exemplo com ordem 3:
Este é um método recursivo, é necessário ter bastante atenção para não se perder ou não pegar valores errados . Vamos agora detalhar como se obter os demais coeficientes do polinômio para colocarmos na nossa tabela lateral e assim facilitar nossa visualização e extração de números.
 A fórmula geral será:
Exemplo 1: Verificar o teorema para a seguinte função no intervalo [0,3]
POLINÔMIOS INTERPOLADOS DE GREGORY-NEWTON
Nesta formulação o é necessário que os pontos usados sejam igualmente espaçados e em ordem crescente, ou seja: 
A expressão da forma de Gregory-Newton é dada por:
 Onde h é o intervalo entre os pontos, e os termos São diferenças ordinárias de ordem k para o ponto 
Definição: Sejam os pontos igualmente espaçados 
com um passo h, isto é, 
O operador diferença ordinária é definido por: 
ERROS NA INTERPOLAÇÃO
Erro eminente do processo de aproximação de F(X) por P(X).
Fórmula geral de Erro:
Exemplo: Seja f(X) da na forma:
Obter f(0,47) usando um polinômio de grau 2.
 Dar uma estimativa para o erro.
Tabela de Diferenças Divididas
 
SPLINE CÚBICA
Por curiosidade, a origem do nome spline vem de uma régua elástica, usada em desenhos de engenharia, que pode ser curvada de forma a passar por um dado conjunto de pontos (xi , yi), que tem o nome de spline
Se determinada função f(x) está tabelada em (n + 1) pontos e a aproximarmos de grau N que a interpola sobre os pontos tabelados, o resultado dessa aproximação pode ser desastroso. Uma alternativa é interpolar f(x) em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômio de grau menor, e impor condições para que a função de aproximação seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem. 
Ou seja, será um trabalho que será realizado por partes e envolverá derivação para obtenção dos cocientes. Mas para este trabalho estudaremos o caso da Spine Cúbica em especial.
Definição 4.6.1: Considere a função f(x) tabelada nos pontos x0 < x1 < ... < xn. Uma função Sp(x) é denominada spline de grau p com nós nos pontos xi , i = 0, 1, ..., n, se satisfaz as seguintes condições: a) em cada subintervalo [xi , xi+1], i = 0, 1, ..., (n – 1), Sp(x) é um polinômio de grau p: sp(x). b) Sp(x) é contínua e tem derivada contínua até ordem (p – 1) em [a, b]. Se, além disto, Sp(x) também satisfaz a condição: c) Sp(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n, então será denominada spline interpolante.
Uma spline cúbica, S3(x), é uma função polinomial por partes, contínua, onde cada parte, sk(x), é um polinômio de grau 3 no intervalo [xk–1, xk], k = 1, 2, ..., n.
Supondo que f(x) esteja tabelada nos pontos xi , i = 0, 1, 2, ..., n a função S3(x) é chamada spline cúbica interpolante de f(x) nos nós xi , i = 0, ..., n se existem n polinômios de grau 3, sk(x), k = 1, ..., n tais que:
S3(x) = sk(x) para x Î [xk–1, xk], k = 1, ..., n 
S3(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n
sk(xk) = sk+1(xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)
s´k(xk) = s´k+1(xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)
v) s´´k(xk) = s´´k+1 (xk), k = 1, 2, ..., (n – 1) 
Para simplicidade de notação, escreveremos sk(x) = ak(x – xk) 3 + bk(x – xk) 2 + ck(x – xk) + dk, k = 1, 2, ..., n. Assim, o cálculo de S3(x) exige a determinação de 4 coeficientes para cada k, num total de 4n coeficientes: a1, b1, c1, d1, a2, b2, ..., an, bn, cn, dn.
Portanto, chegamos a formula geral de Spline baseado no número de incógnitas (4):Sk(x) = ak + bk (x-xk) + ck (x-xk) 2+ dk (x-xk) 3