AulaTeorica 0 Conjuntos e desigualdades

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Conjuntos e 
Desigualdades 
Prof. Victor Simões Barbosa 
 
 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
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Noções Matemáticas: 
 AXIOMA 
Um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não 
é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como 
um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de 
uma teoria. 
 DEFINIÇÃO 
Uma definição é um enunciado que explica o significado de um 
termo (uma palavra, frase ou um conjunto de símbolos). 
 
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 PROPRIEDADE OU PROPOSIÇÃO 
Uma propriedade ou proposição é uma afirmação que segue dos 
axiomas e definições e estas devem provadas. Prova é o processo 
de mostrar que uma afirmação está correta. 
 TEOREMA 
Um teorema é uma afirmação que pode ser provada como 
verdadeira através de outras afirmações já demonstradas, como 
outros teoremas, juntamente com afirmações anteriormente 
aceitas, como axiomas. Os teoremas apresentam resultados mais 
importantes que as proposições. 
 
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 COROLÁRIO 
Um corolário é uma consequência imediata de menor 
importância a partir de um teorema. 
 
 
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Conjuntos Numéricos: 
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os 
chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto 
𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . 
 
Os números -1, -2, -3, ... são chamados inteiros negativos. A união 
dos números naturais com os inteiros negativos e o ZERO define o 
conjunto dos números inteiros que denotamos por 𝒁 = *𝟎,
±𝟏,±𝟐,… +. 
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Os números na forma 
𝑚
𝑛
, 𝑛 ≠ 0,𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍, são chamados de 
frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos 
𝑸 = 𝒙 𝒙 =
𝒎
𝒏
, 𝒏 ≠ 𝟎,𝒎, 𝒏 ∈ 𝒁+. 
Finalmente encontramos números que não podem ser representados 
na forma de fração, por exemplo 
2 = 1,414… , 𝜋 = 3,14159… , 𝑒 = 2,71…. Esses números formam 
o conjunto dos números irracionais que denotamos por 𝑸′. 
 
 
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Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos 
números irracionais resulta o conjunto dos números reais que 
denotamos por 𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑸′. 
 
 
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades 
referentes ao conjunto dos números reais. 
 
Neste conjunto introduzimos duas operações chamadas adição e 
multiplicação que satisfazem os axiomas a seguir: 
 
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(i) Fechamento – Se 𝑎 e 𝑏 ∈ IR existe um e somente um número 
real denotado por 𝑎 + 𝑏, chamado soma e somente um número real, 
denotado por 𝑎𝑏, chamado produto. 
 
(ii) Comutatividade – Se 𝑎 e 𝑏 ∈ IR, então 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 e 
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. 
 
(iii) Associatividade - Se 𝑎, 𝑏 e c ∈ IR, então 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 +
𝑏) + 𝑐 e a 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 𝑐. 
 
(iv) Distributividade – Se 𝑎, 𝑏 e c ∈ IR, então 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 +
𝑎𝑐. 
 
(v) Existência de Elementos Neutros – Existem 0 e 1∈ IR tais que 
𝑎 + 0 = 𝑎 e 1𝑎 = 𝑎, para qualquer 𝑎 ∈ IR. 
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(vi) Existência de Simétricos – Todo 𝑎 ∈ IR tem um simétrico, 
denotado por −𝑎, tal que 𝑎 + −𝑎 = 0. 
 
(vii) Existência de Inversos – Todo 𝑎 ∈ IR, 𝑎 ≠ 0, tem um 
inverso, denotado por 
1
𝑎
, tal que 𝑎 
1
𝑎
= 1. 
 
Usando os itens (vi) e (vii) podemos definir a subtração e a 
divisão de números reais. 
 
(viii) Subtração – Se 𝑎, 𝑏 ∈ IR, a diferença entre 𝑎 e 𝑏, denotada 
por 𝑎 − 𝑏, é definida por 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 . 
 
(ix) Divisão – Se 𝑎, 𝑏 ∈ IR e 𝑏 ≠ 0, o quociente de 𝑎 e 𝑏 é 
definido por 
𝑎
𝑏
= 𝑎
1
𝑏
. 
 
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Desigualdades: 
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que 
outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma 
relação de ordem: 
 
Axioma de Ordem – No conjunto de números reais existe um 
subconjunto denominado números positivos, tal que: 
 
(i) Se 𝑎 ∈ IR, exatamente uma das três afirmações ocorre: 
 𝑎 = 0, 𝑎 é positivo ou −𝑎 é positivo; 
 
(i) A soma de dois números positivos é positiva; 
 
(ii) O produto de dois números positivos é positivo. 
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Definição – Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são 
definidos por: 
(i) 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑏 − 𝑎 é positivo; 
(ii) 𝑎 > 𝑏 ↔ 𝑎 − 𝑏 é positivo. 
 
Definição – Os símbolos ≤ (menor ou igual que) e ≥ (maior ou 
igual que) são definidos por: 
(i) 𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏; 
(ii) 𝑎 ≥ 𝑏 ↔ 𝑎 > 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏. 
 
Expressões que envolvam os símbolos definidos acima são 
chamados de DESIGUALDADES. 
𝑎 < 𝑏 – Desigualdade estrita 
𝑎 ≤ 𝑏 – Desigualdade não estrita. 
 
 
(𝑎 é positivo ↔ 𝑎 > 0) 
Definição – O número real 𝑎 é negativo se e somente se −𝑎 é 
positivo. 
 
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Propriedades – Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ IR. 
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Valor Absoluto 
Definição – O valor absoluto de 𝑎 ∈ IR, denotado por 𝑎 , 
é definido como 
𝑎 = 
𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≥ 0 
−𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 < 0
 
Interpretação Geométrica: 
Geometricamente o valor absoluto de 𝑎, também chamado 
módulo de 𝑎, representa a distância entre 𝑎 e o 0. Escreve-se 
então que 𝒂 = 𝒂𝟐. 
 
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Propriedades 
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Intervalos são conjuntos infinitos de números reais, como segue: 
Intervalos 
Intervalo Aberto - 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏+, denota-se por (𝑎, 𝑏) ou 
-𝑎, 𝑏,. 
Intervalo Fechado - 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏+, denota-se por 𝑎, 𝑏 . 
Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda - 
𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏+, denota-se por a, b ou -a, b-. 
Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda - 
𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏+, denota-se por a, b ou ,a, b,. 
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Intervalos Infinitos: 
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Exemplos: 
 Exemplos: 
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1- Determinar todos os intervalos que satisfazem as 
desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. 
 
(i) 3 + 7𝑥 < 8𝑥 + 9 
 
Resolução: 
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Portanto, 𝑥 𝑥 > −6 = (−6,+∞) é a solução. 
 
Graficamente 
(ii) 
𝑥
𝑥+7
< 5, 𝑥 ≠ 7. 
 
2 casos a considerar: 
 
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Solução: 
 
𝑥
𝑥 + 7
< 5