Exercício 11 Resolvido

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R2 – 2015/2 Universidade Federal do Amazonas 1 
 
Prof. Winston Zumaeta Equação dos 3 momentos 28/10/2015 
 
11. Calcule as reações de apoio e trace os diagramas de esforços cortantes e 
momentos fletores da viga contínua abaixo, por meio da equação dos 
3 momentos. Considere seção transversal constante ao longo de toda a viga. 
 
 
 
 
 
Nos casos em que se tem um engaste, é necessário utilizar um artifício, que consiste em 
criar um vão fictício com comprimento igual a zero. As regras de numeração dos apoios e das 
barras permanecem as mesmas, ficando conforme é apresentado na figura 1. Não é necessário 
numerar o trecho em balanço, pois não faz parte do modelo adotado. 
 
 
 
 
 
Figura 1. Viga contínua com numeração dos apoios e das barras 
 
O objetivo da resolução da viga contínua pela equação dos 3 momentos, é encontrar os 
momentos em todos os apoios, onde normalmente os momentos dos apoios internos são as 
incógnitas do problema. Inicialmente, pode-se identificar facilmente os valores de �� e ��, 
conforme cálculo a seguir. 
�� = 0 e �� = −	�10 ∙ 2,0
 ∙ 1,0 − 10 ∙ 2,0 = −	40	��.� 
 
A análise pela equação dos 3 momentos deve ser feita sempre de duas em duas barras, 
ou seja, com um apoio central. Neste exemplo, teremos três análises independentes, uma para 
as barras 1 e 2 com o apoio central 1, depois para as barras 2 e 3 com o apoio central 2 e por 
último para as barras 3 e 4 com o apoio central 3. Segundo a expressão deduzida, o apoio central 
é simbolizado pela letra �, e a análise será feita para � = 1, � = 2	�	� = 3, onde � e � são 
expressões tabeladas. O cálculo é mostrado a seguir. 
4,0 m 2,0 m 2,0 m4,0 m
10 kN
80 kN
40 kN/m
80 kN/m
10 kN/m
2,0 m
L = 01 2
1 2 3 40
L = 4,0 m 2,0 m
10 kN
80 kN
40 kN/m
80 kN/m
10 kN/m
L = 4,0 m3 L = 4,0 m4
VÃO FICTÍCIO
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Para � = �: 
������ + 2��� + �� �
�� + �� ��� � = −�� − �� � 
���� + 2��� + �!
�� + �!�! = −�� − �! 
0 ∙ 0 + 2�0 + 4
�� + 4�! = −0 − "!�!
#
4 
8�� + 4�! = −40 ∙ 4
#
4 
8�� + 4�! = −	640 
 
Para � = &: 
������ + 2��� + �� �
�� + �� ��� � = −�� − �� � 
�!�� + 2��! + �#
�! + �#�# = −�! − �# 
4�� + 2�4 + 4
�! + 4�# = −"!�!
#
4 −
3'#�#!
8 
4�� + 16�! + 4�# = −40 ∙ 4
#
4 −
3 ∙ 80 ∙ 4!
8 
4�� + 16�! + 4�# = −640 − 480 
4�� + 16�! + 4�# = −	1120 
 
Para � = (: 
������ + 2��� + �� �
�� + �� ��� � = −�� − �� � 
�#�! + 2��# + ��
�# + ���� = −�# − �� 
4�! + 2�4 + 4
�# + 4 ∙ �−	40
 = −3'#�#
!
8 −
2)���#
15 
4�! + 16�# − 160 = −3 ∙ 80 ∙ 4
!
8 −
2 ∙ 80 ∙ 4#
15 
4�! + 16�# = 160 − 480 − 682,67 
4�! + 16�# = −	1002,67 
 
Com as equações encontradas, monta-se o sistema de equações abaixo: 
 8�� + 4�! = −	640 
 4�� + 16�! + 4�# = −	1120 
 4�! + 16�# = −	1002,67 
Cuja solução por meio da calculadora Casio fx-991MS, é: 
 
 ,� = −	-., ./	01.2										; 										,& = −	4&, &5	01.2										; 										,( = −	-&, �6	01.2 
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11.1 Cálculo das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7� = .4, �-	01 
8! = 8!9 + 8!99 = 75,85 + 37,54 
7& = ��(, (:	01 
8# = 8#9 + 8#99 = 42,46 + 109,69 
7( = �-&, �-	01 
8� = 8�9 + 8�99 = 50,31 + 30 
74 = .6, (�	01 
 
11.2 Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) 
Posição onde o cortante é nulo na barra 2: 
<!�=!
 = <�,! −	>?@@�AB�CD 
<!�=!
 = 84,15 − 40=! 
0 = 84,15 − 40=�,! 
40=�,! = 84,15 
=�,! = 84,1540 
E6,& = &, �6	2 
 
Posição onde o cortante é nulo na barra 4: 
<��=�
 = <�,� −	>?@@�AB�CD,FGDHIJKLHF + >?@@�AB�CD,DF�HIJKLHF 
<��=�
 = 109,69 − 80=� + 80 =�
!
2 ∙ 4 
4,0 m 2,0 m
2 4
4,0 m
80 kN
2,0 m
40
160 kN160 kN
 RESULTANTE
(carregamento retângular)
42,26
1
3
2
3
160
2
160
2
80
2
4
58,87
4
58,87
4
42,26
52,10
80
2
160 x 2
4
42,26
4
52,10
52,10
4
52,10
4
40
4
42,26
4
42,26
4 4
160 x
4
40
3 4
4
x 4,0 x 4,0
 x 13 4
4
 x
 V1 =
84,15 kN
 RESULTANTE
(carregamento triângular)
40 x 4,0 =
80 x 4,0
2,0 =
2
 V'2 =
75,85 kN
 V''2 =
37,54 kN
42,26 52,10
3
 V'3 =
42,46 kN
 V''3 =
109,69 kN
3
52,10
 V'4 =
50,31 kN
1
58,87
2,0 m
10 kN
40
20
 V''4 =
30 kN
10
20 kN
 RESULTANTE
(carregamento retângular)
10 x 2,0 =
4
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0 = 109,69 − 80=�,� + 80=�,�
!
2 ∙ 4 
10=�,�! − 80=�,� + 109,69 = 0 
=�,�9 = 6,24	� ��?�M@	"N�	M	>M�)@���OPM	��
 
E6,499 = �, /5	2 
 
Traçado do DEC em kN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.3 Diagrama de Momentos Fletores (DMF) 
Cálculo do momento máximo na barra 2: 
�QáS,! = −	�� + 8� ∙ 2,10 − �"! ∙ 2,10
 ∙ 2,102 
�QáS,! = −	58,87 + 84,15 ∙ 2,10 − �40 ∙ 2,10
 ∙ 2,102 
,2áE,& = &:, 5-	01.2 
 
Cálculo do momento máximo na barra 3: 
�QáS,# = −	�! + 8!99 ∙ 2,0 
�QáS,# = −	42,26 + 37,54 ∙ 2,0 
,2áE,( = (&, .&	01.2 
 
 
 
1 2 3 4
84,15
75,85
37,54
42,46
109,69
50,31
30
10
40q.l8 =
4
Horiz.
Parábola
do 2º grau
2,10 m 1,76 m
4,0 m 2,0 m 2,0 m4,0 m2,0 m
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Cálculo do momento máximo na barra 4: 
"DF�
1,76 =
80
4 
 "DF� = 35,20	��/� 
 "FGD = 80 − "DF� = 80 − 35,20 = 44,80	��/� 
 
 O momento máximo será obtido com o somatório de momentos 
 em relação ao ponto M, conforme abaixo. 
 
�QáS,� = −	�# + 8#99 ∙ 1,76 − �"FGD ∙ 1,76
 ∙ 1,762 − U"DF� ∙
1,76
2 V ∙
2
3 ∙ 1,76 
�QáS,� = −	52,10 + 109,69 ∙ 1,76 − �44,80 ∙ 1,76
 ∙ 1,762 − U35,20 ∙
1,76
2 V ∙
2
3 ∙ 1,76 
,2áE,4 = (-, &&	01.2 
 
Traçado do DMF em KN.m: 
 
 
 
 
 
4,0 m 2,0 m 2,0 m4,0 m2,0 m
52,10
40
58,87
42,26
29,65M =máx
80q.l8 =
2
2
35,22M =máx
80P.l4 =
3 80q.l16 =
4
2
5q.l8 =
bal
2
Parábola
do 2º grau
Parábola
do 3º grau
Parábola
do 2º grau
32,82M =máx2,10 m 1,76 m
1 2 3 4
80 kN/m
44,80 kN/m
M
1,76 m
52,10
kN.m
109,69 kN