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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) Exerc´ıcio 1. (2,0 pontos). Os dados abaixo representam velocidades do vento (km/h) num determinado aeroporto para os primeiros 15 dias de dezembro de 2008. Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Velocidade 22,2 61,1 13,0 27,8 22,2 7,4 7,4 7,4 20,4 20,4 20,4 11,1 13,0 7,4 14,8 (a) (1,0 ponto). Calcule a me´dia, a moda, a mediana, o desvio padra˜o e os quartis. Resposta: Me´dia (x¯) x¯ = ∑n i=1 xi n = 22, 2 + 61, 1 + 13, 0 + ... + 13, 0 + 7, 4 + 14, 8 15 = 18, 4 Moda (Mo): O valor (ou atributo) que ocorre com maior frequeˆncia. Neste caso, Mo = 7, 4. Mediana (Md) Primeiro ordenamos os dados: 7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2 27,8 61,1 e calculamos a posic¸a˜o da mediana como n+1 2 = 15+1 2 = 8, portanto Md = 14, 8. Desvio padra˜o (s) O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia, s = √ s2 = √∑n i=1(xi − x¯)2 n− 1 = √ (x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2 n− 1 = √ (22, 2− 18, 4)2 + (61, 1− 18, 4)2 + (13, 0− 18, 4)2 + · · ·+ (14, 8− 18, 4)2 15− 1 = √ 2561, 1 14 = √ 182, 9357 = 13, 5254 Pa´gina 1 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) De outra forma, s = √ s2 = √∑n i=1 x 2 i − nx¯2 n− 1 = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x215 − nx¯2 n− 1 = √ 22, 22 + 61, 12 + 13, 02 + · · ·+ 14, 82 − (15)(18, 4)2 15− 1 = √ 7639, 5− (15)(18, 4)2 14 = 13, 5254 Quartis Quando um conjunto de dados ordenado e´ dividido em 4 partes iguais, temos 3 quartis, que correspondem aos percentis 25, 50 e 75, calculados como o valor da varia´vel que ocupa a posic¸a˜o p× (n + 1), com p=0,25, p=0,50 e p=0,75. Dados ordenados: 7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2 27,8 61,1 • Primeiro Quartil Q1 = Percentil 25 ⇒ posic¸a˜o 0, 25(15 + 1) = 4 ⇒ Q1 = 7, 4. Assim, 25% dos dias de dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 7,4 km/h nesse aeroporto. • Segundo Quartil Q2 = Percentil 50 = Mediana (ja´ calculada). Assim, 50% dos dias de dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 14,8 km/h nesse aeroporto. • Terceiro Quartil Q3 = Percentil 75 ⇒ posic¸a˜o 0, 75(15 + 1) = 12 ⇒ Q3 = 22, 2. Assim, 75% dos dias de dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 22,2 km/h nesse aeroporto. � (b) (1,0 ponto). Note que o dia 2 de dezembro apresenta um valor at´ıpico devido a uma tem- pestade forte com chuva e vento. Remova esse valor e refac¸a o item anterior. Comente as Pa´gina 2 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) diferenc¸as encontradas. Resposta: Me´dia (x¯) x¯ = ∑n i=1 xi n = 22, 2 + 13, 0 + ... + 13, 0 + 7, 4 + 14, 8 14 = 15, 35 Moda (Mo): O valor (ou atributo) que ocorre com maior frequeˆncia. Neste caso, Mo = 7, 4. Mediana (Md) Primeiro ordenamos os dados: 7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2 27,8 e calculamos a posic¸a˜o da mediana como n+1 2 = 14+1 2 = 7, 5. Neste caso, como n = 14 e´ par, a mediana e´ a me´dia dos das duas observac¸o˜es centrais, ou seja, posic¸o˜es 7 e 8, deste modo, temos: Md = 13,0+14,8 2 = 13, 9. Desvio padra˜o (s) O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia, s = √ s2 = √∑n i=1(xi − x¯)2 n− 1 = √ (x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2 n− 1 = √ (22, 2− 15, 35)2 + (13, 0− 15, 35)2 + · · ·+ (14, 8− 15, 35)2 14− 1 = √ 607, 575 14 = √ 46, 7365 = 6, 83641 Pa´gina 3 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) De outra forma, s = √ s2 = √∑n i=1 x 2 i − nx¯2 n− 1 = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x214 − nx¯2 n− 1 = √ 22, 22 + 13, 02 + · · ·+ 14, 82 − (14)(15, 35)2 14− 1 = √ 3906, 29− (14)(15, 35)2 13 = 6, 83641 Quartis Quando um conjunto de dados ordenado e´ dividido em 4 partes iguais, temos 3 quartis, que correspondem aos percentis 25, 50 e 75, calculados como o valor da varia´vel que ocupa a posic¸a˜o p× (n + 1), com p=0,25, p=0,50 e p=0,75. Dados ordenados: 7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2 27,8 • Primeiro Quartil Q1 = Percentil 25 ⇒ posic¸a˜o 0, 25(14 + 1) = 3, 75 ⇒ Q1 = 7,4+7,42 = 7, 4. Assim, 25% dos dias de dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 7,4 km/h nesse aeroporto. • Segundo Quartil Q2 = Percentil 50 = Mediana (ja´ calculada). Assim, 50% dos dias de dezembro de 2008 corresponde a velocidade do vento de 13,9km/h ou menos nesse aeroporto. • Terceiro Quartil Q3 = Percentil 75 ⇒ posic¸a˜o 0, 75(14 + 1) = 11, 25 ⇒ Q3 = 20,4+22,22 = 21, 3. Assim, 75% dos dias de dezembro de 2008 corresponde a velocidade do vento de 21,3 km/h ou menos nesse aeroporto. Comenta´rios: Podemos observar que a retirada da observac¸a˜o 2 influenciou, principal- mente, a me´dia e o desvio padra˜o. � Pa´gina 4 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) Exerc´ıcio 2. (2,0 pontos). Uma indu´stria, desejando melhorar o n´ıvel de seus funciona´rios em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 15 funciona´rios para a primeira turma. A tabela abaixo apresenta as notas obtidas pelos funciona´rios nos cursos. Fuciona´rios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Estat´ıstica 9,0 9,0 8,0 10,0 7,0 4,0 8,0 9,0 7,0 8,0 10,0 7,0 9,0 8,0 9,0 Pol´ıtica 9,0 6,5 9,0 6,5 6,5 6,0 9,0 9,0 6,0 6,0 10,0 6,5 6,5 9,0 10,0 Os crite´rios adotados por cada professor na˜o sa˜o compara´veis, por isso decidiu-se usar o desempenho relativo em cada exame. Essa medida sera´ obtida da seguinte forma: i. Para cada exame sera˜o calculados a me´dia x¯ e o desvio padra˜o dP(X). ii. A nota X de cada aluno sera´ padronizada do seguinte modo: Z = X − x¯ dP (X) . (a) (0,4 pontos). Calcule as notas padronizadas dos funciona´rios para o exame de estat´ıstica. Resposta: Exame em Estat´ıstica: Me´dia (x¯) x¯ = ∑n i=1 xi n = 9, 0 + 9, 0 + 8, 0 + ... + 8, 0 + 9, 0 15 = 8, 1 Desvio padra˜o (s) Pa´gina 5 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) s = √ s2 = √∑n i=1(xi − x¯)2 n− 1 = √ (x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2 n− 1 = √ (9, 0− 8, 1)2 + (9, 0− 8, 1)2 + (8, 0− 8, 1)2 + · · ·+ (9, 0− 8, 1)2 15− 1 = √ 31, 73 14 = √ 2, 26 = 1, 5 De outra forma, s = √ s2 = √∑n i=1 x 2 i − nx¯2 n− 1 = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x215 − nx¯2 n− 1 = √ 9, 02 + 9, 02 + 8, 02 + · · ·+ 9, 02 − (15)(8, 1)2 15− 1 = √ 1024− (15)(8, 1)2 14 = 1, 5 Exame em Pol´ıtica: Me´dia (x¯) x¯ = ∑n i=1 xi n = 9, 0 + 6, 5 + 9, 0 + ... + 9, 0 + 10, 0 15 = 7, 7 Desvio padra˜o (s) Pa´gina 6 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) s = √ s2 = √∑n i=1(xi − x¯)2 n− 1 = √ (x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2 n− 1 = √ (9, 0− 7, 7)2 + (6, 5−7, 7)2 + (9, 0− 7, 7)2 + · · ·+ (10, 0− 7, 7)2 15− 1 = √ 34, 90 14 = √ 2, 49 = 1, 58 De outra forma, s = √ s2 = √∑n i=1 x 2 i − nx¯2 n− 1 = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x215 − nx¯2 n− 1 = √ 9, 02 + 6, 52 + 9, 02 + · · ·+ 10, 02 − (15)(7, 7)2 15− 1 = √ 924, 25− (15)(7, 7)2 14 = 1, 58 Usando a fo´rmula acima obtemos os seguintes valores: � Fuciona´rios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Z - Estat´ıstica 0,58 0,58 -0,09 1,24 -0,75 -2,75 -0,09 0,58 -0,75 -0,09 1,24 -0,75 0,58 -0,09 0,58 (b) (0,4 pontos). Com os resultados obtidos em (a), calcule z¯ e dP(Z). Resposta: Pa´gina 7 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) Me´dia (z¯) z¯ = ∑n i=1 zi n = 0, 58 + 0, 58− 0, 09 + ... + 0, 58− 0, 09 + 0, 58 15 = 0 Desvio padra˜o (dP (Z)) dP (Z) = √ z2 = √∑n i=1(zi − z¯)2 n− 1 = √ (z1 − z¯)2 + (z2 − z¯)2 + · · ·+ (zn − z¯)2 n− 1 = √ (0, 58− 0)2 + (0, 58− 0)2 + (−0, 09− 0)2 + · · ·+ (0, 58− 0)2 15− 1 = √ 14 14 = √ 1 = 1 � (c) (0,4 pontos). Utilize as propriedades apresentadas no exerc´ıcio 2 da lista de classe e compare com o obtido no item (b). Resposta: Propriedades: Y = a + bX ⇒ Y¯ = a + bX¯, var(Y ) = b2var(X) e dP (Y ) = bdP (X) Sabemos que, Z = X−x¯ dP (X) = X dP (X) − −x¯ dP (X) = −x¯ dP (X) + X dP (X) Logo, a = −x¯ dP (X) e b = 1 dP (X) . Utilizando as propriedades acima obtemos: z¯ = −8,1 1,5 + 1 1,5 × 8, 1 = 0, var(Y ) = ( 1 1,5 )2 × (1, 5)2 = 1 Pa´gina 8 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) e dP (Z) = ( 1 1,5 )× 1, 5 = 1 Comenta´rio: Notamos que encontramos os mesmos valores do iten (b). � (d) (0,4 pontos). Se alguma das notas padronizadas estiver acima de 2dP(Z) ou abaixo de - 2dP(z), esse funciona´rio deve ser considerado um caso at´ıpico. Existe algum nessa situac¸a˜o? Resposta: Sim. O funciona´rio 6 que obteve 4,0 em Estat´ıstica com Z = −2, 75. � (e) (0,4 pontos). O funciona´rio 1, obteve 9,0 em Estat´ıstica e em Pol´ıtica. Em que curso seu desempenho relativo foi melhor? Resposta: Em Pol´ıtica temos que x¯ = 7, 7 e dP (X) = 1, 58 e calculando o desempenho relativo em pol´ıtica para o funciona´rio 1 (Z1) obtemos: Z1 = 9, 0− 7, 7 1, 58 = 0, 82. Logo, observando a tabela do item (a) podemos concluir que o desempenho relativo do funciona´rio 1 foi melhor no curso de Pol´ıtica pois o valor de Z1 e´ maior do que no curso de Estat´ıstica. � Exerc´ıcio 3. (2,5 pontos). Um estudo foi realizado com o objetivo de comparar treˆs tratamentos para anorexia em relac¸a˜o ao ganho de peso. Para isso, 72 jovens anore´xicas foram submetidas, aleatoriamente, a uma de treˆs terapias (cognitivo-comportamental, terapia familiar ou terapia padra˜o). O peso (em libras) das jovens foi avaliado antes e depois de receberem o tratamento durante um per´ıodo fixado. Medidas descritivas obtidas para os dados desse estudo sa˜o apresentadas a seguir: Pa´gina 9 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) (a) (0,5 pontos). 50% dos jovens apo´s receberem o tratamento familiar apresentam peso inferior a qual valor? E se considerarmos 75% das jovens? Resposta: 50% das jovens apo´s receberem o tratamento familiar apresentaram peso menor ou igual a 92,5 libras. Se considerarmos 75% das jovens apo´s receberem o tratamento familiar, temos que elas apresentaram peso menor ou igual a 95,4 libras. � (b) (0,5 pontos). Escolhendo casualmente uma jovem que recebeu o tratamento cognitivo- comportamental, o que seria mais prova´vel: peso maior ou menor que 92,2 libras? Resposta: Observando a tabela de medidas descritivas temos que 92,2 libras corresponde ao terceiro quartil (Q3), enta˜o seria mais prova´vel que uma jovem que recebeu o tratamento cognitivo- comportamental apresentasse um peso menor ou igual a 92,2 libras. � (c) (0,5) Qual e´ o tratamento mais homogeˆneo em relac¸a˜o ao peso? Justifique. Resposta: O tratamento mais homogeˆneo e´ o tratamento padra˜o, pois possui um coeficiente de va- riac¸a˜o (CV = 5,85) menor que os outros tratamentos, ou seja, menor variabilidade. � (d) (0,5) Compare os treˆs grupos antes de iniciarem os tratamentos. Resposta: Antes de iniciarem os tratamentos, os treˆs grupos parecem ser semelhantes pois as medidas descritivas esta˜o pro´ximas. � Pa´gina 10 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) (e) (0,5) Voceˆ diria que os tratamentos diferem? Qual deles parece ser melhor? Resposta: Sim. Como inicialmente os grupos sa˜o similares, observando as medidas obtidas depois de receberem o tratamento, notamos que o tratamento familiar parece ser o melhor dentre os treˆs, pois as jovens desse grupo parecem ter tido um ganho de peso me´dio e mediano maior do que as jovens dos outros grupos. O tratamento padra˜o, apesar de possuir uma menor variabilidade, parece ter sido o pior deles. � Exerc´ıcio 4. (3,5 pontos). Na tabela abaixo esta˜o os dados referentes a uma amostra de 21 alunos do primeiro ano de um curso universita´rio. As varia´veis sa˜o: Y: nota obtida na primeira prova do curso; X: escola que cursou particular (P) ou oficial (O); Z: o per´ıodo em que esta´ matriculado: manha˜ (M), tarde (T), noite (N). (a) (0,5 pontos). Classifique cada uma das varia´veis. Resposta: As varia´veis sa˜o as seguintes: Y: Quantitativa cont´ınua. X: Qualitativa nominal. Z: Qualitativa ordinal. � (b) (1,5 pontos). Divida os alunos em dois grupos a partir da varia´vel X. Calcule, para a varia´vel Y, a me´dia, a mediana e o coeficiente de variac¸a˜o para os dois grupos. Compare essas medidas e responda, voceˆ diria que o fato do aluno ter cursado a escola particular ou oficial influi no resultado da primeira prova? Pa´gina 11 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) Resposta: Particular (P) Oficial (O) Y Z Y Z 56 N 68 M 69 M 70 T 70 M 72 N 77 M 75 M 83 T 84 N 84 N 85 T 90 T 92 M 95 M 95 N 95 T 100 T 100 M 100 M 100 T Grupo Particular (P): Me´dia (y¯) y¯ = ∑n i=1 yi n = 56 + 69 + 70 + · · ·+ 100 + 100 14 = 86, 71 Mediana (Md) Primeiro ordenamos os dados: 56 69 70 77 83 84 90 95 95 95 100 100 100 100 e calculamos a posic¸a˜o da mediana como n+1 2 = 14+1 2 = 7, 5. Neste caso a mediana e´ a me´dia dos dados nas duas posic¸o˜es centrais, os seja, nas posic¸o˜es 7 e 8, enta˜o temos: Md = 90+95 2 = 92, 5 Desvio padra˜o (s) Pa´gina 12 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) s = √ s2 = √∑n i=1(yi − y¯)2 n− 1 = √ (y1 − y¯)2 + (y2 − y¯)2 + · · ·+ (yn − y¯)2 n− 1 = √ (56− 86, 71)2 + (69− 86, 71)2 + (70− 86, 71)2 + · · ·+ (100− 86, 71)2 14− 1 = √ 2574, 86 13 = 14, 07 De outra forma, s = √ s2 = √∑n i=1 y 2 i − ny¯2 n− 1 = √ y21 + y 2 2 + · · ·+ y214 − ny¯2 n− 1 = √ 562 + 692 + 702 + · · ·+ 1002 − (14)(86, 61)2 14− 1 = √ 107846−(14)(86, 61)2 13 = 14, 07 Coeficiente de variac¸a˜o (CV = (s/y¯)× 100%) CV = 14,07 86,61 × 100% = 16, 23% Grupo Oficial (O): Me´dia (y¯) y¯ = ∑n i=1 yi n = 68 + 70 + 72 + 75 + 84 + 85 + 92 7 = 78 Mediana (Md) Primeiro ordenamos os dados: 68 70 72 75 84 85 92 e calculamos a posic¸a˜o da mediana Pa´gina 13 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) como n+1 2 = 7+1 2 = 4. Neste caso a mediana e´ o dado na posic¸a˜o 4, ou seja, Md = 75 Desvio padra˜o (s) s = √ s2 = √∑n i=1(yi − y¯)2 n− 1 = √ (y1 − y¯)2 + (y2 − y¯)2 + · · ·+ (yn − y¯)2 n− 1 = √ (68− 78)2 + (70− 78)2 + (72− 78)2 + · · ·+ (92− 78)2 7− 1 = √ 490 6 = 9, 04 De outra forma, s = √ s2 = √∑n i=1 y 2 i − ny¯2 n− 1 = √ y21 + y 2 2 + · · ·+ y27 − ny¯2 n− 1 = √ 682 + 702 + 722 + · · ·+ 922 − (7)(78)2 7− 1 = √ 43078− (7)(78)2 6 = 9, 04 Coeficiente de variac¸a˜o (CV = (s/y¯)× 100%) CV = 9,04 78 × 100% = 11, 59% Particular (P) Oficial (O) y¯ = 86, 61 y¯ = 78 Md = 92, 5 Md = 75 CV = 16, 23% CV = 11, 59 � Pa´gina 14 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - II semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito) Comenta´rio: Sim, pois as notas me´dia e mediana sa˜o maiores para os alunos da escola particular. Ale´m disso, s alunos da escola particular sa˜o, aproximadamente, uma vez e meia mais dispersos do que os alunos da escola oficial quanto as notas obtidas na primeira prova. (c) (1,5 pontos). Divida agora os alunos em 3 grupos, de acordo com o per´ıodo em que esta´ matriculado. Repita os ca´lculos feitos em (b) para estes grupos e responda, voceˆ diria que o per´ıodo em que o aluno esta´ matriculado afeta o desempenho? Resposta: Manha˜ (M) Tarde (T) Noite (N) Y X Y X Y X 68 O 70 O 56 P 69 P 83 P 72 O 70 P 85 O 84 P 75 O 90 P 84 O 77 P 95 P 95 P 92 O 100 P 95 P 100 P 100 P 100 P Repetindo os mesmos procedimentos utilizados no item (b) obtemos as seguintes medidas para os grupos: Manha˜, Tarde e Noite. Manha˜ (M) Tarde (T) Noite (N) y¯ = 82, 89 y¯ = 89 y¯ = 78, 20 Md = 77 Md = 90 Md = 84 CV = 16, 48% CV = 12, 07 CV = 18, 98 Comenta´rio: Sim, pois observando a tabela acima notamos que os alunos que estudam a tarde parecem possuir um melhor resultado do que os demais turnos, ja´ que a me´dia e a mediana sa˜o maiores. Os alunos do noturno parecem ter o pior desempenho. Ale´m disso, a variabilidade das notas e´ menor no per´ıodo da tarde (CV = 12, 07). � Pa´gina 15 de 15 http://www.ime.usp.br/~mae116
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