gustavo trabalho calculo 3

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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JI-PARANÁ 
2011 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE 
RONDÔNIA 
CAMPUS DE JI-PARANÁ 
 
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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado a Fundação Universidade Federal 
de Rondônia ―UNIR, como requisito parcial 
para obtenção do título de Licenciatura Plena 
em Matemática, sob orientação do Prof. Ms. 
Reginaldo Tudeia dos Santos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JI-PARANÁ 
2011 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE 
RONDÔNIA 
CAMPUS DE JI-PARANÁ 
 
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SÉRGIO DOS SANTOS ALITOLEFF 
 
 
 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
 
 
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos 
requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática e teve o 
parecer final como aprovado, no dia 16 de junho de 2011, pelo Departamento 
de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Rondônia, Campus de 
Ji-Paraná. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ji-Paraná, 16 de junho de 2011. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE 
RONDÔNIA 
CAMPUS DE JI-PARANÁ 
 
3 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 
 
 
Agradeço primeiramente a Deus o nosso protetor que sempre foi 
minha luz neste caminho. 
 
Aos meus pais que nunca me desampararam e sempre me deram todo 
o apoio necessário de todas as formas possíveis para mais esta realização em nossas vidas. 
 
À minha noiva Jaqueline, minha maior companheira, que esteve ao 
meu lado neste último ano, dando-me todo o apoio, carinho e atenção que precisava. 
 
À minha irmã Cedilane que vivenciou diariamente cada passo desta 
jornada. 
 
Não posso esquecer também dos amigos que me acompanharam nesta 
trajetória, pessoas que viveram grande parte desta etapa comigo. 
 
Ao orientador Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos pelo incentivo e 
confiança, sendo que nunca mediu esforços. Sempre atencioso soube elogiar, criticar e 
sugerir quando necessário, tendo fundamental importância para a realização deste trabalho. 
 
Aos membros da banca examinadora que se dispuseram a avaliar e 
prestigiar nossa pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A teoria de equações diferenciais é a disciplina mais importante dentre todas 
as disciplinas matemáticas” 
 
Marius Sophus Lie (1842-1899) 
 
5 
 
 
 
RESUMO 
 
 
 
 
Este Trabalho apresenta algumas aplicações com equações diferenciais, faz uma abordagem 
histórica sobre seu desenvolvimento nos últimos séculos, enumera alguns dos matemáticos 
que contribuíram para tal evolução e para a construção de suas definições. A pesquisa 
apresenta algumas das aplicações das equações diferenciais além de apresentar um estudo 
sobre tendências de crescimento e decrescimento populacional em três cidades do Estado de 
Rondônia. 
 
Palavras-chaves: Equações Diferenciais. História das Equações Diferenciais. Aplicações das 
Equações Diferenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
SUMARIO 
 
INTRODUÇÃO......................................................................................................................................7 
 
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.....................................................................................................9 
1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................9 
1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...............................................................11 
1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial...................................................14 
1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)........................................................14 
1.2.3 Resolvendo uma EDO separável.......................................................................15 
1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP)..............................................................16 
 
2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...............................................17 
2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE 
TEMPERATURA DE NEWTON)............................................................................................17 
2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS......................................................................21 
2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE 
MALTHUS)...............................................................................................................................23 
2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em 
algumas Cidades de Rondônia...................................................................................26 
2.3.1.1 Validação do Modelo...........................................................................26 
2.3.1.2 Ji-Paraná...............................................................................................28 
2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste.............................................................................31 
2.3.2 Importância da Pesquisa com os municípios...................................................33 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS...............................................................................................................34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 INTRODUÇÃO 
 
 
No século XVII os matemáticos Izaac Newton (1642-1727)1 e Gettfried Wilhelm 
Leibniz (1646-1716)2 descobriram de forma independente, técnicas de derivação e integração, 
posteriormente utilizadas para resolver problemas que envolvem derivação, denominadas 
Equações Diferenciais, o que daria a resposta a vários enigmas envolvendo conhecimentos 
matemáticos e até então não solucionados, tais como a área de uma superfície plana com suas 
arestas irregulares. Essa nova proposta matemática foi apreciada por inúmeros estudiosos que 
desenvolveram teorias que produziram grandes avanços na matemática e inúmeras aplicações, 
principalmente nas ciências físicas. 
 
No grande processo de desenvolvimento social e tecnológico mundial, a matemática 
considerada por muitos, a mãe de todas as ciências, pois pode ser usada em diversas áreas e 
com suas inúmeras formas de aplicações, sempre foi uma peça chave, e sempre contribuiu no 
desenvolvimento de estudos em diversas áreas, ela também está presente em quase todos os 
momentos das nossas vidas e sem dúvida de vital importância, pois é utilizada em atividades 
que envolvem desde um simples troco na padaria ou no supermercado, a cálculos complexos 
como, por exemplo, na construção de um prédio ou de um moderno avião. 
 
As Equações Diferenciais é um exemplo de conteúdo matemático que pode ser 
aplicado em diversas áreas das ciências, como; na Mecânica, na Biologia, na Física, na 
Química, na Economia, nas diversas áreas das engenharias, entre outras. Nesse contexto, 
mesmo sendo pouco vista no cotidiano humano, isto em cálculos sumários, ainda assim, estãopresentes no dia a dia das pessoas, como por exemplo, a própria função velocidade que é uma 
simples derivada da função espaço, ou no cálculo de juros compostos. Com isso, essas 
equações se tornaram uma ferramenta poderosa pelas suas inúmeras formas de aplicação, 
 
1
 Nasceu em Woolsthorpe, na Inglaterra, foi educado no Trinity College, em Cambridge, e se tornou professor 
de Matemática, na cadeira Lucasian. É considerado um dos maiores gênios da humanidade, suas contribuições 
transcendem o campo da Matemática. Dedicou-se a Ciência da Mecânica e da Óptica. Estudou a lei da inércia 
de Galileu; teoria das colisões; conservação do momento e muitos outros aspectos que preenchem nosso 
currículo escolar até hoje (CONTADOR, 2006). 
 
2
 Nasceu em Leipzig, na Alemanha, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau 
de bacharel. Conhecedor das diversas ciências é considerado o último sábio a conseguir conhecimento 
universal. Sua contribuição matemática mais significativa, além do cálculo, foi em lógica (BOYER, 2009). 
8 
 
 
 
podendo ser usadas em cálculos simples bem como em atividades mais complexas e 
elaboradas. 
 
O trabalho busca mostrar como as equações diferenciais foram desenvolvidas ao longo 
destes três últimos séculos, bem como suas maiores contribuições para o progresso 
tecnológico mundial. Desta forma, ele está assim dividido; 
 
No capítulo 1 é feito um estudo histórico das Equações Diferenciais desde a 
descoberta do cálculo, destacando alguns de seus principais matemáticos e também trás 
algumas definições deste conteúdo. 
 
No capítulo 2 é feita demonstrações de três aplicações com as Equações Diferenciais e 
apresentado um estudo feito em três cidades do Estado de Rondônia, usando o Modelo de 
Crescimento e Decrescimento Populacional de Malthus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
 
 
1.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 De acordo com o PCN “O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua 
prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no 
mundo” (BRASIL, 2001). Com base neste fundamento, a presente pesquisa traz parte do 
relato histórico das Equações Diferenciais. 
 
 Os primeiros conceitos de Equações Diferenciais tiveram seu início na Europa com a 
descoberta do cálculo diferencial e integral no século XVII, conceitos de fundamental 
importância para a solução de diversos problemas da matemática. 
Algumas idéias do Cálculo podem ser encontrada nos trabalhos de matemáticos 
gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A. C.) e em trabalhos do 
início do século dezesseis por René Descartes (1569-1650). Pierre de Fermat 
(1601-1665), Jhon Wallis (1616-1703) e Issac Barrow (1630-1677). Entretanto, a 
invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-171), (LEITHOLD, 1994, V. I e II). 
 
O desafio para a descoberta do cálculo era solucionar um problema que instigava os 
matemáticos entre os séculos XVI e XVII. O problema consistia em encontrar uma equação 
que descrevesse o movimento de um corpo animado de velocidade variável, acelerado ou 
desacelerado. “Em outras palavras, os contemporâneos de Newton e Leibniz eram incapazes 
de calcular a velocidade exata do corpo em aceleração num dado instante” (CAPRI, 2006, p. 
101). Assim, perceberam que podiam resolver o problema usando noções do Cálculo 
Diferencial. 
 
Newton desenvolveu suas teorias mais voltadas para mecânica. Segundo Boyce e 
Diprima (2006, p. 15), “Suas descobertas sobre o cálculo e as leis da mecânica datam de 
1665. Elas circulavam privadamente entre seus amigos, mas Newton era muito sensível a 
críticas e só começou a publicar seus resultados a partir de 1687”. Nesse ano surgiu sua obra 
mais famosa, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Seus estudos contribuíram 
muito para o aprimoramento das equações diferenciais, dentre eles, a construção das fórmulas 
das equações diferenciais de primeira ordem como dy/dx=f(x), dx/dy=f(y) e dy/dx=f(x,y) 
(BOYCE e DIPRIMA, 2006), ele usou esse cálculo para descrever todos os movimentos 
10 
 
 
 
possíveis de corpos sólidos em termos de um conjunto de equações diferenciais, que 
posteriormente, foram denominadas de “equações do movimento de Newton”. 
 
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), conhecendo os princípios básicos dessas 
equações, aprimorou e aperfeiçoou os cálculos de Newton em tal medida que foi capaz de 
explicar cuidadosamente todos os detalhes que caracterizam os movimentos dos planetas e 
dos cometas, bem como o fluxo das marés e outros fenômenos relacionados com a gravidade 
(CAPRA, 2006). 
 
Leibniz conseguiu resultados, nessa área, um pouco depois de Newton, mas foi o 
primeiro a fazer publicações sobre esses estudos, em 1684. Entre suas contribuições nessa 
área, destacam-se o método de separação de variáveis, redução de equações homogêneas a 
equações separáveis e procedimentos para resolver equações lineares de primeira ordem, a 
notação usada até hoje dy/dx e o sinal da integral (∫ ), são invenções desse brilhante 
matemático. 
Para a ciência, a invenção do cálculo diferencial foi um passo gigantesco. Pela 
primeira vez na história humana, a concepção de infinito, que tinha intrigado 
filósofos e poeta desde tempos imemoriais, tinha recebido uma definição 
matemática precisa, que abria inúmeras possibilidades novas para a análise dos 
fenômenos naturais (CAPRA, 2006, p. 104). 
 
A partir dessas descobertas, vários matemáticos começaram a usar tais fundamentos 
para desenvolverem seus estudos, o que cada vez mais ampliou as notações e os conceitos das 
Equações Diferenciais como forma de aplicação em várias ciências. Entre tais matemáticos, 
estão os irmãos Jakob Bernoulli (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748), que viviam em 
constantes desafios entre si. Jakob contribuiu com o estudo da “equação de Bernoulli” 
 
 
 
que ele, Leibniz e Johann resolveram. Tempos depois, na mesma família, apareceu Daniel 
Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, que também teve destaque com a equação de 
Bernoulli em mecânica dos fluidos. Também no século XVIII, são destacadas as figuras de 
Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), entre outros. 
 
11 
 
 
 
Os maiores avanços vieram por parte de Leonhard Euler no século XVIII. Este foi 
aluno de Johann Bernoulli e considerado o maior matemático desta época, ele foi o 
matemático que mais conseguiu resultados concretos em todos os tempos com mais de 870 
trabalhos entre artigos e livros. Suas obras podem completar mais de 70 volumes, além de 
importantes trabalhos na área de mecânica. 
 
Segundo, (Boyer, 2009, p. 313) 
Euler foi, sem dúvida, o maior responsável pelos métodos de resolução usados hoje 
nos cursos introdutórios sobre equações diferenciais, e até muitos dos problemas 
específicos que aparecem em livros texto de hoje remontam aos grandes tratados 
que Euler escreveu sobre o Cálculo – Institutiones calculi differentialis 
(Petersburgo, 1755) e Institutiones calculi integralis (Petersburgo, 1768-1770), 3 
volumes). 
 Euler foi o primeiro a perceber que conhecida uma solução particular então 
a substituição transforma a equação de Riccati3 numa equação diferencial linear 
em , de modo que fica fácil encontrar uma solução geral. Observou-se que a resolução dessa 
equação por meio de quadraturas só é possível quando se conhece duas soluções particulares. 
Outras descobertas também atribuídasa ele são: a teoria dos fatores integrantes; os métodos 
sistemáticos para resolver equações lineares de ordem superior a coeficientes constantes; e a 
distinção entre equações homogêneas e não-homogêneas, e entre solução particular e geral 
(BOYCE e DIPRIMA, p. 15, 2006). 
 
 
1.2 DEFINIÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 Não é possível falar de equações diferenciais sem antes fazer uma breve definição de 
derivadas. Derivada representa a taxa de variação de uma função. Um exemplo é a função 
velocidade dsv
dt
= que representa uma taxa da função espaço. 
 
 
3
 Equação de Riccati é aquela do tipo onde , e designam funções de . A resolução 
de sua equação foi proposta aos geômetras da época e dela se ocuparam entre outros. Goldbach e os Bernoulli 
(Abunahman, 1982). 
12 
 
 
 
 
 Mas em geral, essa taxa pode ser melhor observada através dos gráficos da secante e 
da tangente de uma equação, onde, sabe-se que uma reta que passa por dois pontos dessa 
equação é chamada de reta secante (Figura 1), e uma reta que corta apenas um ponto dessa 
curva é denominada reta tangente (Figura 2). A reta tangente pode ser representada por uma 
equação denominada derivada. 
 
 
Figura 1: Inclinação da secante ao gráfico de f 
 
 
 Figura 2. Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x) 
13 
 
 
 
Segundo Leithold (1994, p. 140), a reta tangente pode ser definida da seguinte forma: 
 
Suponhamos que a função f seja contínua em 1x . A reta Tangente ao gráfico de f no ponto 
P( 1x , f( 1x )) é 
 
(i) a reta por P tendo inclinação m( 1x ), dada por 
 
1 1
1 0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f x
m x
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
, (1) 
se o limite de x existir; 
 
(ii) a reta x= 1x se 
1 1
0
( ) ( )lim
x
f x x f x
x+∆ →
+ ∆ −
∆
 for +∞ ou −∞ (2) 
 
1 1
0
( ) ( )lim
x
f x x f x
x−∆ →
+ ∆ −
∆
 for +∞ ou −∞ (3) 
 
Caso nenhuma das duas definições seja verdadeira, não existirá reta tangente ao 
gráfico no ponto em questão. 
 
Segundo Bronson (1977, p. 01) “uma equação diferencial é a que envolve uma função 
incógnita e suas derivadas”. Pode ser classificada como equação diferencial, a equação 
matemática onde se procura uma função desconhecida que relaciona uma ou várias variáveis 
independentes a essa função e suas derivadas de várias ordens. Veja os exemplos a seguir: 
 
 a) 222
2
+= y
dy
xdy
 b) ( )2 3 2'' ( ') 2y y y x+ + =
 (4) 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
1.2.1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial 
 
A ordem de uma equação diferencial equivale à derivada mais alta que nesta aparece, 
enquanto o grau é definido pela potência que está elevada à derivada que define a ordem da 
equação. 
 
Veja os exemplos abaixo de algumas equações diferenciais com suas respectivas 
ordem e grau. 
 
 , primeira ordem e primeiro grau (5) 
 
 , segunda ordem e primeiro grau (6) 
 
 , quarta ordem e terceiro grau (7) 
 
 
1.2.2 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) 
 
Equações Diferenciais Ordinárias é a função que depende de uma única variável 
independente, essa função pode ser expressa como )()( xyy k = , onde x é a variável 
independente, y é a variável dependente e o valor k representa a ordem da derivada da função. 
Segundo Zill (2003), “Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais 
variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, ela será denominada e 
Equação Ordinária”. 
 
Exemplos: 
 
422 += x
dx
dy
 (8)
 
 
 sin(x) 6y 2y' y" =++ (9) 
 
15 
 
 
 
As derivadas ordinárias são escritas de duas formas, a primeira criada por Leibniz, 
escrita assim dy
dx
, ou pela notação chamada linha, escrita assim ,y , desta forma a equação 
(14) pode ser representada como sendo; 
 
 
, 22 4y x= +
 
(10) 
 
 
 
1.2.3 Resolvendo uma EDO separável 
 
Baseado em alguns princípios, pode-se solucionar uma equação diferencial ordinária de 
primeira ordem e primeiro grau. 
 
Como por exemplo; 
 3 1dy x
dx
= − (11) 
 
Da seguinte forma: 
 
i) Separar (isolar) as variáveis formando a equação vista em (12) 
 
 (3 1)dy x dx= − (12) 
 
ii) Aplicar integral nos dois membros tem-se; 
 
 (3 1)dy x dx= −∫ ∫ (13) 
 
iii) A solução desta é vista em (14), onde 1C e 2C são constantes arbitrária; 
 
 
2
2 13y C x x C+ = − + (14) 
 
 iv) Isolando a variável dependente y, tem-se; 
 
 
2
1 23y x x C C= − + − (15) 
16 
 
 
 
 Como 1C e 2C são duas constantes arbitrárias, pode-se concluir que 1 2C C C− = , 
assim a solução final desta equação pode ser vista em (16), onde C é uma constante arbitrária; 
 
 
23y x x C= − +
 (16) 
 
 
1.2.4 Equações Diferenciais Parciais (EDP) 
 
 Quando a função procurada depende de duas ou mais variáveis independes, ela é 
denominada Equações Diferenciais Parciais, relacionando essas a uma ou mais funções 
desconhecidas de ordens e graus variados. 
 
 Exemplo: 
 
 02
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
 (17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
2 ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
A maioria das descobertas matemáticas ocorreu na tentativa de resolver algum 
problema aplicado, problemas envolvendo cálculos de áreas, de probabilidade de ganhar ou 
perder nos “jogos de azar”, cobrança de juros em transações financeiras, entre outros, que 
sempre contribuíram para essas descobertas. A matemática em si teria pouco valor caso não 
fosse suas diversas formas de aplicações, com as equações diferenciais essa realidade não 
muda, elas são utilizadas para resolver vários tipos de problemas matemáticos que em sua 
maioria tem suas aplicações. 
 
Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. 
Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para 
analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum 
fenômeno que eles estão estudando. Embora seja freqüentemente impossível 
encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial [...] 
(STEWART, 2007, p. 583, II). 
 
Essas formas de aplicações estão espalhadas e sevem como base de estudos de muitas 
ciências, como na física, demonstradas na Lei de Variação de Temperatura de Newton, na 
quedade corpos com a resistência do ar ou na própria variação da velocidade. Na Química, 
cita-se a equação com problemas de diluição, na Economia os problemas envolvendo taxas de 
juros compostos, na Estatística e na Geografia com o modelo de crescimento e decrescimento 
Populacional (Modelo de Mauthus), na Biologia utilizando-se do Modelo de Mauthus para 
estudos do crescimento de outras formas de população, com bactérias, por exemplo, entre 
outras. 
 
 
 
2.1 APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE 
TEMPERATURA DE NEWTON) 
 
 Esta forma de aplicação é ligada diretamente a física, mas cálculos voltados para as 
leis de temperatura são de grande utilidade em várias outras ciências, alguns exemplos são os 
utilizados nas engenharias, na variação de temperatura de uma simples xícara de café durante 
o seu resfriamento ou no derretimento de uma bola de sorvete, ou ainda no processo de 
resfriamento de um bolo, entre outras aplicabilidades deste modelo. 
18 
 
 
 
 Segundo Bronson (1977, p. 49): 
 
A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de 
temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o 
meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio 
ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é dT/dt, e a lei de 
Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como dT/dt=-k(T-
Tm) ou como dT/dt + kT = KTm, onde k é uma constante positiva de 
proporcionalidade. 
 
 Com base nesta definição pode-se escrever este modelo da seguinte forma: 
 
 
dT kTm kt
dt
= − (18) 
 
 
 
Problema 1: 
De acordo com a lei de arrefecimento4 de Newton, a taxa de resfriamento de uma 
substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a 
do ar. Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 
minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC. 
 
Solução: 
 
Seja 
T a temperatura da substância. 
t o tempo. 
Tm a Temperatura ambiente temos: 
 
E sabendo que Tm = 30, a equação pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 ( )dT dTkTm kT k T Tm
dt dt
= − ⇒ = − − (19) 
 
 ( 30)
30
dT dTk T kdt
dt T
= − − ⇒ = −
−
 (20) 
 
4
 Arrefecimento: Tornar-se frio; esfriar, Perder ou moderar a energia, o fervor. (FERREIRA, 2001). 
19 
 
 
 
Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC, 
obtém-se: 
 
 
80 20 80 20
120 0120 0
ln( 30)
30
dT k dt T k t
T
= − ⇒ − = −
−
∫ ∫ (21) 
 
 
9ln 50 ln 90 20 20 ln 20 0,5878
5
k k k − = − ⇒ = ⇒ = 
 
 (22) 
 
Integrando entre os limites T variando de 120°C a 50ºC, t variando de 0 a t minutos, 
consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50°C. 
 
 
50
120 0
ln 20 ln 90
30
tdT k dt kt
T
= − ⇒ − = −
−
∫ ∫ (23) 
 
Multiplicando ambos os membros por 20, tem-se; 
 
 
920 20ln
2
kt  =  
 
 (24) 
 
Como 20k = 0,5878, isolando t tem-se; 
 
 
920ln
2
0,5878
t = (25) 
 
t =51,1765021 ou aproximadamente 51 min e 11 segundos. 
 
 
 
Problema 2: 
Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150°C, passado quatro minutos essa 
temperatura cai para 90°C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura de 
30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25°C? 
20 
 
 
 
Solução: 
Seja T a temperatura do bolo, Tm a temperatura ambiente e t o tempo, tem-se que: 
 
Quando t = 0, T = 150°C, usando a lei de variação de temperatura de Newton, tem-se: 
 
 ( )dT dTkTm kT k T Tm
dt dt
= − ⇒ = − − (26) 
 
Sabendo que a temperatura ambiente é 25ºC, pode-se reescrever esta equação como a 
equação vista em (23). Integrando de acordo com os limites de variação, tem-se. 
 
 ( 25)
25
dT dTk T kdt
dt T
= − − ⇒ = −
−
 (27) 
 
 
90 4 90 4
150 0150 0
ln( 25)
25
dT k dt T k t
T
= − ⇒ − = −
−
∫ ∫ (28) 
 
 Assim; 
 
25ln 65 ln125 4 4 ln
13
k k  − = − ⇒ =  
 
 (29) 
 
Logo; 
 
4k = 0,754454793, isolando a variável tem-se k = 0,163481617. 
 
 
 Como o problema pede o exato momento em que o bolo chegará a temperatura de 
30ºC, apenas deve se integrar a equação do PVI, agora com a temperatura variando de 150°C 
para 30°C e o tempo variando de 0 a t. 
 
 
30
150 0
ln 5 ln125 0,163481617
25
tdT k dt t
T
= − ⇒ − = −
−
∫ ∫ (30) 
 
 
21 
 
 
 
Usando a regra da diferença de logaritmos e isolando t, tem-se; 
 
 
ln 25
0,163481617
t = (31) 
 
Assim conclui-se que t = 19,68 minutos ou 19 min e 41 segundos. 
 
 
 
2.2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS 
 
 Juros estão presentes em quase todas as transações monetárias e comerciais, tanto no 
uso das taxas de juros simples bem como nas de juros compostos. Dentre as atividades 
matemáticas que envolvem aplicações, as que envolvem juros estão entre as formas mais 
utilizadas. Vale ressaltar que juros são cobrados em transações em todas as partes do planeta e 
com base nestes princípios este trabalho apresenta um modelo envolvendo juros e equações 
diferenciais. 
 
Certo valor S é depositado em um banco a uma taxa de juros continua r, 
permanecendo ali por um tempo t, assim é correto afirmar que a taxa de variação do valor 
depositado (dS) em relação á taxa de variação do tempo (dt) é igual ao produto da taxa de 
juros pelo valor do investimento, dado pela seguinte equação: 
 
 
dS
rS
dt
=
 (32) 
 
Separando as diferenciais tem-se: 
 
dS
rdt
S
= , (33) 
 
 Integrado ambos os membros da equação (33), obtêm-se a equação (34), com solução 
em (35); 
 
dS
rdt
S
=∫ ∫ (34) 
22 
 
 
 
 2 1ln ln lnS C rt C+ = + (35) 
 
Colocando os dois membros na base e, e considerando 1C e 2C constantes arbitrárias, e 
fazendo ln 1C -ln 2C = lnC , tem-se: 
 ( ) rtS t Ce= , (36) 
 
onde C é o valor da aplicação no instante inicial, logo C = 0S . 
 
 Logo, a equação para juros compostos calculado continuamente é: 
 
 0( ) rtS t S e= (37) 
 
Onde S(t) é o valor aplicado, t é otempo e r a taxa de rendimento. 
 
 
Problema 1: 
Uma pessoa deposita R$2.000,00 em uma conta poupança a uma taxa de juro 
composto de 10 % ao ano, considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum saque 
nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de três anos? Em 
quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado? 
 
 
Solução: 
Valor depositado inicialmente R$2.000,00 logo tem-se que 0S = 2000, a uma taxa de 
10% a.a., durante três anos, logo t = 3, colocando tais dados no modelo para calcular juros 
contínuos, conclui-se que; 
 
0,1.3(3) 2000S e=
 (38) 
 
Resolvendo esta equação tem-se que o saldo neste tempo será de R$ 2.699,72. 
 
23 
 
 
 
Para calcular o instante em que o saldo será o dobro do valor inicial, usa-se 
0( ) 2S t S= . 
 
Assim pode se conseguir o tempo em que o valor inicial será o dobro e também o 
intervalo de tempo em que os valores desta conta dobraram seu valor. 
 
Aplicando modelo tem-se: 
 
 0 02
rtS S e=
 (39) 
 
Dividindo os dois membros da equação por 0S , tem-se: 
 
2rte =
 (39) 
 
Sabendo que r=0,1 e aplicando logaritmos encontra-se (40); 
 
 
0,1ln ln 2te =
 (40) 
 
Assim tem-se que 0,1t = ln2, logo: 
 
 
ln 2
0,1
t = ou t = 6,93 anos. (41) 
 
 
 
 
2.3 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO POPULACIONAL (MODELO DE 
MALTHUS) 
 
O inglês Thomas Robert Malthus5 (1766-1834) em uma publicação chamada “An 
Essay on the Principle of Population, as It affects the Future Improvement of Society: with 
 
5
 Nasceu em Rookery, na Inglaterra, foi demógrafo e economista, famoso sobretudo pelas suas perspectivas 
pessimistas, mas muito influentes. (HENRIQUES, 2007). 
24 
 
 
 
Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet and Other Writers”, uma espécie 
de teoria demográfica publicada em 1978 onde enfatizava dois pontos: (HENRIQUES, 2007). 
 
a) A população, se não ocorrem guerras, epidemias, desastres naturais, etc., tenderia a 
duplicar a cada 25 anos. Ela cresceria, portanto, em progressão geométrica (2, 4, 8, 16, 
32...) e constituiria um fator variável, ou seja, que cresceria sem parar. 
 
b) O crescimento da produção de alimentos ocorreria apenas em progressão aritmética (2, 
4, 6, 8,10...) e possuiria um limite de produção, por depender de um fator fixo: o 
próprio limite territorial dos continentes. 
 
Malthus fez a proposição de que as pessoas deveriam ter filhos apenas quando estas 
tivessem terras cultiváveis para poder sustentá-los. Porém, no mundo de hoje suas teorias não 
se concretizaram, a população não dobra a cada 50 anos, e a produção de alimentos é mais 
que suficiente para alimentar essa população. O que leva as pessoas a passarem fome não é o 
número de pessoas no planeta, mas devido a outros fatores alheios a esta pesquisa. Porém, 
com base nessas teorias definiu-se o modelo de crescimento e decrescimento populacional ou 
Modelo de Malthus. 
 
Seja P uma população qualquer, t o tempo onde a razão entre a variação da população 
(P) e a variação do tempo (t) é proporcional à população atual. Pode-se expressar esta 
proposição pela seguinte equação: 
 
 
kP
dt
dP
=
 (42) 
 
onde k é uma constante. Dessa forma, pode ser observado que se k é positiva a 
população crescerá e se k for negativa a população diminuirá (ela pode diminuir por um 
tempo sem ir para zero). “Algumas vezes também é chamada de lei do crescimento natural (se 
) ou lei do decaimento natural se ( )” (STEWART, 2007). Assim, este modelo 
matemático pode ser utilizado em vários fenômenos diferentes. 
 
 
25 
 
 
 
Manipulando o modelo de Malthus apresentado na equação (42) tem-se: 
 
 dP kPdt= (43) 
 
Dividindo os dois lados da equação por P e integrando, tem-se: 
 
 
dP kdt
P
=∫ ∫ (44) 
 
 2 1ln ln lnP C kt C+ = + (45) 
 
Onde 1C e 2C são constantes arbitrárias; logo: 
 
 ln lnP kt C= + , onde 1 2ln ln lnC C C= − (46) 
 
Colocando os dois lados na base e, tem-se: 
 
 
ln P kte Ce=
 (47) 
 
 Finalmente: 
 
ktP Ce=
 (48) 
 
Como isso a equação pode ser da seguinte forma 
 
 
ktePtP 0)( = , (49) 
Onde 0P é a população inicial. 
 
 
 
 
26 
 
 
 
2.3.1 Aplicação do Modelo de Crescimento e Decrescimento Populacional em algumas 
Cidades de Rondônia. 
 
 Com base nesta aplicação com Equações Diferenciais, esta pesquisa buscou 
contextualizar este tipo de atividade. Para isso, foi feita uma análise com dados populacionais 
registrados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, nos anos de 2001 e 
2010, em três cidades do Estado de Rondônia: Porto Velho a capital do Estado de Rondônia, 
Ji-Paraná e Ouro Preto do Oeste. Vale salientar que os dados referentes ao ano de 2001 são 
apenas pesquisas amostrais, podendo não representar a realidade, enquanto os dados de 2010 
foram coletados pelo senso demográfico, que contou todas as pessoas que ali residiam na 
época e, portanto, bem mais próximo da população real. Também se utilizou dados de 2005 e 
2006 para a cidade de Porto Velho, sendo estes, também feitos por amostragem. 
 
É importante ser observado que acontecimentos extraordinários como a alocação de 
uma indústria ou alguns fenômenos naturais, podem fazer com que a população de um 
determinado local tenha um crescimento (ou decrescimento) maior ou menor que o 
apresentado pelo modelo. 
 
 
2.3.1.1 Validação do Modelo 
 
Antes de aplicar tal modelo foi feito um teste usando dados da cidade de Porto Velho, 
localizada às margens do Rio Madeira, também sendo a cidade com maior faixa territorial e a 
mais populosa do Estado. Foram usados para isso, dois anos subsequentes 2005 e 2006, os 
cálculos foram feitos inicialmente para verificar se o crescimento neste período seria 
condizente com a população no final desta década (2010). 
 
Em 2005, segundo o IBGE, “a população da Capital era de 373.917 habitantes e em 
2006 a população foi para 380.974”. (BRASIL, 2011). 
 
Considerando que em 2005 o tempo t = 0, e a população inicial de 373917 habitantes, 
pode-se escrever o modelo da seguinte forma: 
 
27 
 
 
 
 
.( ) 373917 k tS t e= (50) 
 
 
Considerando 2006, t = 1 e S(1) = 380.974, tem-se: 
 
 
.1380974 373917 ke= (51) 
 
Isolando o exponencial em (51) encontra-se (52), aplicando logaritmosem ambos os 
membros tem-se a equação vista em (53); 
 
 
380974
373917
k
e = (52) 
 
 
380974ln ln
373917
k
e = (53) 
 
 Onde a constante de proporcionalidade k = 0,018697284 
 
Conclui-se que a função que representa o crescimento populacional na cidade de Porto 
Velho é a seguinte: 
 
0,018697284373917 tP e=
 (54) 
 
Se o ano de 2005 foi considerado o ano 0 e 2006 o ano 1, então o ano de 2010, será 
considerado o ano 5 ou t = 5, 
 
 
0,018697284.5373917P e=
 (55) 
 
Ou P = 410559 
 
Com isso, concluímos que em 2010 a população de Porto Velho, de acordo com o 
modelo, deveria ser de 410559 habitantes. Segundo o senso demográfico de 2010, a 
população da Capital foi de 410520 habitantes, uma diferença de apenas 39 habitantes ou um 
28 
 
 
 
percentual de 0,0095% com relação ao cálculo apresentado pelo modelo, logo pode ser dito 
que o modelo é válido. 
 
 
Problema: 
 Com base no modelo apresentado anteriormente que representa o crescimento 
populacional na cidade de Porto Velho, qual será aproximadamente a população nesta cidade 
no ano de 2030? 
 
 Solução: 
 O modelo obtido anteriormente mostra que o crescimento populacional da cidade de 
Porto Velho é dado pela equação (54). 
 
Considerando 2005 como tempo inicial t = 0, então no ano 2030 teremos t = 25, assim: 
 
( ) 0,018697284.2525 373917P e= (56) 
 
 Sendo possível fazer projeções para a população de Porto Velho em 2030, que será, 
segundo o modelo, de aproximadamente 596.731 habitantes. 
 
 
2.3.1.2 Ji-Paraná: 
 
 Ji-Paraná é a segunda maior em número populacional, sendo também a segunda maior 
do estado de Rondônia, situada na região central do estado, esta cidade fica as margens do Rio 
Machado, localizada no eixo da BR 364, a 370 km da Capital. 
 
 
Problema 1: 
Sabendo que em 2001, a população de Ji-Paraná era de 107.869 habitantes e em 2010 
a população passou a ser de 115.593 habitantes. De acordo com o modelo de crescimento e 
decrescimento populacional de Malthus, qual será a população estimada para esta cidade em 
2020? 
29 
 
 
 
Solução: 
 Considerando que em 2001 o tempo t = 0 e S0 = 107869, e aplicando do Modelo de 
Malthus, tem-se; 
 
.( ) 107869 k tS t e= (57) 
 
 Em 2010, S = 115.593 e t = 1 o que indica uma década, colocando tais dados no 
modelo de Malthus, tem-se; 
 
 
115593115593 107869
107869
k k
e e= ⇒ = (58) 
 
 Aplicando logaritmos e isolando a constante k, encontra-se seu valor em (59); 
 
 
115593ln ln , logo 0,069157873
107869
k
e k= = (59) 
 
O crescimento populacional na cidade de Ji-Paraná pode ser expresso pela seguinte 
equação; 
 
0,069157873107869 tP e=
 (60) 
 
 Considerando 2020 a segunda década a partir de 2001, logo t = 2 décadas, então; 
 
 
0,069157873.2107869P e= (61) 
 
 Assim, em 2020 a população da cidade de Ji-Paraná será de aproximadamente 123.870 
habitantes. 
 
 
Problema 2: 
Seguindo o mesmo modelo, em quanto tempo a população no município de Ji-Paraná 
será o dobro da população que lá existia no final do ano de 2010? 
 
 
30 
 
 
 
Solução 1: 
Sabendo que a equação que expressa o crescimento populacional deste município é 
0,069157873( ) 107869 tP t e= e também que a população P(t) em 2010 era de 115.593 habitantes, 
pode-se fazer: 
 
0,0691578732x115593 107869 te= (62) 
 
Logo: 
 
0,069157873 231186
107869
t
e = , (63) 
 
Agora aplicando logaritmo nos dois lados da equação tem-se: 
 
 
0,069157873 231186ln ln
107869
t
e = (64) 
 
 0,069157873 0,7622305053t = (65) 
 
Isolando t, tem-se que a população desta cidade será o dobro em relação a 2010 em 
11,0227 décadas contadas a partir de 2001 já que foi considerado S(0) sendo a população 
desta cidade em 2001, no ano de 2010 será uma década a mais, logo deve-se tirar uma década 
desse tempo, assim; 
 
11,0227-1=10,0227 décadas ou aproximadamente 100 anos e três meses. 
 
 
Solução 2: 
 De acordo com o modelo de Malthus, uma população cresce de Progressão 
Geométrica, seguindo uma taxa, assim pode-se concluir que o tempo que essa população 
dobra pode ser aplicado a qualquer época, de forma que se a população inicial é S(0), ela 
dobrará quando S=2XS(0). 
 
 Colocando tais dados na equação que representa o crescimento populacional nesta 
cidade, tem-se; 
31 
 
 
 
 
0,069157873
0 02
tS S e=
 (66) 
 
Dividindo os membros de (67) por 0S , tem-se: 
 
 
0,069157873 2te = (67) 
 
Aplicando logaritmos na equação vista em (67) e isolando t, tem-se; 
 
 0,069157873t=ln(2), logo t=10,0227 décadas (68) 
 
 
2.3.1.3 Ouro Preto do Oeste 
 
 Uma das maiores cidades do estado, localizada no eixo da BR 364 à aproximadamente 
330 km da capital, e ao contrário da maior parte das cidades do estado de Rondônia, a 
população deste município diminuiu durante esta década, de 40.836 em 2001 para 37.561 
habitantes em 2010. 
 
 
Problema 1: 
 Usando estes dados apresentados aplicados ao modelo de crescimento e decrescimento 
de Malthus, qual será aproximadamente a população de Ouro Preto do Oeste no ano de 2020? 
 
 
 Solução: 
 S(o) = 40836, t = 0, tem-se: 
 
 ( ) 40836 ktS t e= (69) 
 
 Quando S=37561, t=1, substituindo estes dados no modelo e aplicando logaritmos 
tem-se; 
 
32 
 
 
 
 
.1 3756137561 40836
40836
k k
e e= ⇒ = (70) 
 
 
37561ln ln 0,083597767
40836
k
e k= ⇒ = − (71) 
 
Logo o decrescimento Populacional em Ouro Preto do Oeste, pode ser expresso pela 
seguinte equação: 
 
 
0,08359776740836 tP e−= (72) 
 
Substituindo t por dois, tem-se; 
 
 
0,083597767.240836P e−= (73) 
 
Conclui-se que se a população de Ouro Preto do Oeste continuar a decrescer de acordo 
com essa taxa, no ano de 2020 ela será de aproximadamente 34.549 habitantes. 
 
 
Problema 2: 
Caso a populaçãode Ouro Preto continue decrescendo de acordo com a equação 
anterior, de quanto em quantos anos a população desta cidade será a metade? 
 
 
Solução: 
Sabe-se que a equação que define o decrescimento populacional da cidade é; 
0,083597767
0
tP Pe−= , e que o problema consiste em saber o instante (tempo) t em que a 
população P será a metade da população inicial 0P , isto 02
PP = : 
 
Aplicando o Modelo tem-se; 
 
 
0,0835977670
02
tP P e−= (75) 
33 
 
 
 
Dividindo os dois membros da equação (75) por 0P , tem-se; 
 
 
0,0835977671
2
te−=
 (76) 
Aplicando logaritmos obtém-se; 
 
 
0,0835977671ln ln
2
t
e
−
= (77) 
 
Isolado t, conclui-se que: 
 
 
1ln
2
0,083597767
t = − (78) 
 
Ou t = 8,29 décadas ou aproximadamente 80 anos. 
 
 
 
2.3.2 Importância da Pesquisa com os Municípios do Estado de Rondônia: 
 
 
Parte da pesquisa foi muito importante para demonstrar ao menos uma praticidade 
deste conteúdo. Por meio dela conseguiu-se relatar fatos de nossa realidade, que com certeza 
dará aos leitores deste trabalho, um motivo a mais para se interessarem pelo cálculo 
diferencial e integral. 
 
Com base em um simples modelo, conseguiu-se definir o crescimento ou 
decrescimento populacional destes municípios em períodos distintos e de forma lógica, um 
estudo que com certeza tem um valor imprescindível para a sociedade, de maneira que essa 
possa planejar suas políticas públicas, tendo em mãos dados concretos do comportamento 
populacional de tais localidades. 
 
 
34 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
O presente trabalho teve como objetivo, não apenas mostrar o que são as Equações 
Diferenciais, apresentando uma parte de sua história, desde a descoberta do cálculo 
diferencial no século XVII, mas apresenta parte dos acontecimentos nos séculos subseqüentes. 
Nele é definido de forma simples e objetiva o que são estas equações e seus valores, além de 
apresentar algumas das possíveis aplicações e onde podem ser usadas em nossa realidade. 
 
Os resultados alcançados mostraram que como toda a matemática, as Equações 
Diferenciais nunca perderão seu valor perante a sociedade, visto que sua descoberta foi um 
dos maiores avanços, tanto para a matemática quanto para o mundo. Seus estudos continuam 
em pleno desenvolvimento e suas aplicações, sem dúvida, sempre será de grande valor. 
 
Uma das formas mais simples das aplicações com Equações Diferenciais é o modelo 
de Crescimento e Decrescimento Populacional de Malthus. Graças a ele, pode-se prever a 
população das cidades dentro de certo período, o que possibilita aos membros do poder 
público, traçar metas e políticas que beneficiam toda a população. 
 
A pesquisa em questão poderá servir de base para pesquisas em vários campos das 
ciências. As aplicações das Equações Diferencias poderão ser estudadas e desenvolvidas em 
qualquer área do conhecimento. 
 
O mundo é o que vemos hoje, graças aos grandes matemáticos que dedicaram suas 
vidas a estudos e pesquisas, tal determinação sempre gerou grandes descobertas e devem ser 
reconhecidas e apreciadas, pois desde a antiguidade o homem fez e continua fazendo várias 
descobertas de aplicações de conteúdos matemáticos nas mais variadas áreas, as Equações 
Diferenciais alavancaram o desenvolvimento humano com suas importantes aplicações. 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABUNAHMAN, Sérgio A. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: LTC, 1982. 
 
 
BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei n. 9394 de 20 de dezembro de 
1996. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: matemática / Secretaria de 
Educação Fundamental. – Brasília : MEC/SEF, 1997. 
 
BRONSON, Richard. Moderna Introdução as Equações Diferenciais. 3 ed. São Paulo: 
Makron Books, 1977. 
 
BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1996. 
 
BOYCE, Willian E; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e 
Problemas de Valores de Contorno. Tradução: Váleria de Magalhães Iorio. 8 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2006. 
 
CAPRI, Fritjof. A teia da vida: uma nova compreensão científica dos sistemas vivos. São 
Paulo: Cultrix, 2006. 
 
CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve historia. Vol. II. 2 ed. São 
Paulo: Livraria da Física, 2006. 
 
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Mini Aurélio Século XXI, Escolar: o 
minidicionário da língua portuguesa. 4ª ed. rev. e ampliada. Rio de Janeiro: Editora Nova 
Fronteira, 2001. 
 
HENRIQUES, Abel. Thomas Robert Malthus: A Teoria Malthusiana. Coimbra, Portugal. 
Instituto Politécnico de Coimbra, 2007. Disponível em <http://www.miniweb.com.br/ 
ciencias/artigos/Thomas_Robert_Malthus.pdf>, aceeso em 20 de abril 2010. 
 
IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Rio de Janeiro, 2011. Disponível em 
<www.ibge.br>. Acesso em 05 de março de 2011. 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Tradução: Cyro de Carvalho 
Patarra. Vol. I. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. Tradução: Cyro de Carvalho 
Patarra. Vol. II. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
 
STEWART, James. Cálculo. Tradução: Antonio Carlos Moretti; Antonio Carlos Gilli 
Martins. Vol. II, 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2007. 
 
ZILL, Dennis G. Equacões Diferenciais com Aplicações em Modelagem. São Paulo: 
Thomson Learning, 2003. 
 
36 
 
 
 
REFERÊNCIAS CONSULTADAS 
 
 
 
ANTON, H.; BIVENS, I.C.; DAVIS, S. Cálculo. Vol II. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2005. 
 
AYRES, Frank. Equações Deferências: Resumo da teoria, 560 problemas resolvidos, 509 
problemas propostos. Tradução: José Rodrigues de Carvalho. 2 ed. São Paulo: Makron 
Books, 1994. 
 
CAJORI, Florian. Uma História da Matemática. Tradução: Lázaro Coutinho. 2 ed. Rio de 
Janeiro: Ciências Moderna, 2007.