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1- Equações de Maxwell (forma de diferencial)
      A seguir, derivaremos as equações de Maxwell na forma diferencial a partir da forma integral. Para este fim, faremos uso dos teoremas de Gauss e Stokes discutidos na seção anterior.
- Lei de Gauss (eletrostática)
       Podemos rescrever a lei de Gauss, para a eletrostática, em função de uma densidade de carga volumétrica, como a seguir:
  ,
onde  é a densidade de carga volumétrica e V é o volume no interior da superfície gaussiana. Usando o teorema de Gauss, o qual correlaciona uma integral de superfície com uma integralde volume, temos que,
  .
Comparando os lados direitos das duas equações acima encontramos,
,
como esta igualdade é verdadeira para qualquer volume, então o integrando da equação deve ser nulo, isto é
.
Esta equação corresponde à lei de Gauss na forma diferencial. Isto significa que, se o divergente do campo elétrico é não nulo, então, deve existir campos elétricos na região resultantes de carga total não nula.
b) Lei de Gauss (magnetostática)
    A lei de Gauss para a eletrostática é igual a
Usando o teorema de Gauss, como no caso anterior, encontramos a seguinte equação para a magnetostática,
Desta equação tiramos as seguintes conclusões; os campos magnéticos não divergentes e não existem monopolos magnéticos.
c) Lei de Faraday
Fazendo uso do teorema de Stokes derivaremos a lei de Faraday na forma diferencial.
Sabemos que o teorema de Stokes relaciona uma integral de caminho com a integral de superfície aberta delimitada por este caminho.
Comparando os lados direitos das duas últimas equações temos que,
.
Como a integração é válida para qualquer superfície, então a integral será sempre nula quando o integrando for igual a zero. Isto é,
    .
            Esta equação representa a lei de Faraday na forma diferencial. Desta equação, concluímos que campos magnéticos variáveis no tempo gera campos elétricos do tipo rotacionais. Estes campos elétricos diferem daqueles gerados por cargas elétricas estáticas, os quais, são sempre divergentes. Isto explica o fato da integral do campo elétrico, em um caminho fechado ser diferente se zero. Em resumo, podemos dizer que os campos rotacionais têm integral de circuitação não nula.
d) Lei de Ampère A lei de Ampère na forma integral tem a forma;
.
O teorema de Stokes fornece-nos uma relação entre uma integral de circuitação e uma integral de superfície aberta como a seguir,
Igualando os dois lados direitos das equações acima temos que,
Para que esta igualdade seja verdadeira para qualquer superfície é necessário que seu integrando seja nulo. Isto é,
  .
            Esta equação representa a lei de Ampère na forma diferencial. Dela, concluímos que campos elétricos variáveis no tempo, assim como correntes elétricas, produzem campos magnéticos. Estes campos magnéticos são, como esperado, do tipo rotacional.
As equações de Maxwell, na forma diferencial, podem ser resumidas como se seguem:
Destas equações podemos concluir que ;
- Os campos elétricos criados por cargas elétricas são divergentes ou convergentes. 
- Os campos magnéticos são rotacionais, isto é, não existem monopolos magnéticos. 
- Campos magnéticos variáveis no tempo geram campos elétricos rotacionais. 
- Campos elétricos variáveis no tempo geram campos magnéticos rotacionais. 
- Correntes elétricas ou cargas em movimento geram campos magnéticos. 
 
2- A Equação de Onda Eletromagnética
            A seguir, mostraremos que campos magnéticos e elétricos variáveis no tempo, podem gerar ondas eletromagnéticas. Para demonstrar que as equações de Maxwell levam, inevitavelmente, a ondas eletromagnéticas, é necessário fazer uso das e equações de Maxwell na forma diferencial. Por simplicidade, estudaremos a propagação da onda eletromagnética no vácuo. Limitaremos a este caso particular devido as dificuldades matemáticas para resolver um sistema de equações de onda.
            Devido ao fato de não existirem cargas elétrica e correntes no vácuo, as equações de Maxwell assumem a seguinte forma;
Tomando o rotacional do lado esquerdo da equação de Faraday teremos,
pois, o divergente de E é nulo no caso do vácuo. Por outro lado, temos que;
            Podemos proceder de forma análoga ao caso anterior e aplicar o operador rotacional em ambos os lados da lei de Ampère. No caso do lado esquerdo obtemos,
e para o lado direito da equação teremos,
  .
Os resultados obtidos, tanto para a lei de Faraday quanto para a lei de Ampère, conduzem as equações que se seguem;
            Estas equações são conhecidas como as equações de propagação das ondaseletromagnéticas. No caso geral, suas soluções são complexas pois temos que resolver,simultaneamente, um sistema de seis equações diferenciais de segunda ordem, no espaço e tempo, como a seguir;
        Campo elétrico
        Campo magnético
            Para simplificar o estudo do sistema de equações acima, restringiremos a um caso particular, cuja solução seja relativamente simples. Isto não invalidará os resultados obtidos pois suas soluções valem para qualquer caso.
            Inicialmente, vamos supor que é possível estabelecer campos elétricos e magnéticos que satisfaçam as condições: campo elétrico uniforme que tenha apenas uma componente na direção y e campo magnético uniforme apontando na direção z. Ou seja, E(x,t) e B(x,t), dependentes do tempo e de uma coordenada. Queremos com isto estudaro comportamento da velocidade de uma onda eletromagnética.
Sejam os campos elétricos e magnéticos dados por,
  .
Substituindo estes campos nas equações de onda acima encontramos,
Soluções para este conjunto de equações são do tipo;
onde k = 2 / e  = 2  . k é referido como número de onda;  - comprimento da onda eletromagnética;  - freqüência e  é a freqüência angular. 
 
3- Velocidade de uma Onda Eletromagnética
            Um dos resultados mais importantes advindo da formulação de Maxwell para o eletromagnetismo é a existência de ondas eletromagnéticas. Mostraremos que as equações de Maxwell são suficientes para descrever este fenômeno.
            Inicialmente, substituiremos as expressões encontrados acima para os campos elétricos e magnéticos na expressão da lei de Faraday que se segue:
    .
Substituindo as equações para os campos elétricos e magnéticos, obtidos pela equação de onda temos que,
As equações acima permitem-nos concluir que,
Procedendo de forma equivalente, substituímos os campos E e B na lei de Ampère. Assim,
ou
de onde tiramos que,
   .
Comparando com o resultado equivalente, obtido via lei de Faraday, temos,
    .
Como, k = 2 / e  = 2  , temos também que,
    .
Então, a velocidade da onde eletromagnética é uma constante e independente doreferencial, cujo valor para o vácuo é,
    .
Esta velocidade é de aproximadamente 299729,5 km/seg., a qual é exatamente a velocidade da luz medida no vácuo.
     A simulação abaixo representa a propagação de uma onda eletromagnética 
na direção Z. Veja que os campos E e B são sempre ortogonais.
 Fig.1b - Propagação de uma onda eletromagnética
:             Destas análises, podemos concluir que os campos elétrico e magnético se propagam no espaço com velocidade constante e independente do referencial.
            Nos anos que precederam as unificação da teoria de Maxwell, os físicos consideravam que a teoria da luz não estava relacionada à teoria da eletricidade e magnetismo. Maxwell mostrou com sua teoria unificada, não só o comportamento ondulatório do eletromagnetismo como também que as ondas eletromagnéticas são geradas sempre que cargas elétrica forem aceleradas. Portanto, ele foi capaz de explicar o fato de que as ondas eletromagnéticas seriam radiadas por qualquer circuito no qual correntes alternadas fluem. Esses resultados foram confirmados através do primeiro transmissor-receptor de rádio, construído por Hertz em 1887, logo após a morte de Maxwell.
            As ondas eletromagnéticas geradas por campos, da formademonstrada nas equações acima, são denominadas ondas planas. Como os campos E e B são transversais à direção de propagação da onda, elas devem ser do tipo transversais. Neste aspecto, elas são análogas às ondas geradas em uma corda de instrumento musical. As ondas geradas por E e B, neste caso, são do tipo linearmente polarizadas e monocromáticas  ( = 2  fixa),  mas em geral as ondas eletromagnéticas são não planas, não polarizadas e policromáticas.

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