Caderno do Professor Matemática 2009 1ªSérie EM Volume 2

Prévia do material em texto

caderno do
PROFESSOR
m
at
Em
át
ic
a
ensino médio
volume 2 – 2009
1a- SÉRiE
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 1 4/8/09 4:57:24 PM
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 2 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José 
Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli.– 
São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-296-0
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. 
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. 
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério 
Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais 
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* 
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não 
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos 
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, 
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso 
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, 
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã 
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de 
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de 
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira 
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de 
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença 
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, 
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, 
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e 
Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana 
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, 
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz 
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério 
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e 
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de 
Felice Murrie 
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de 
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa 
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, 
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo 
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, 
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange 
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, 
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido 
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, nova-
mente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador 
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos 
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a 
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que 
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com 
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças 
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas 
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula 
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas 
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de 
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendiza-
gem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido 
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é 
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os 
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade 
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não 
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos,es-
tão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados 
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exata-
mente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. 
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou 
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. 
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado 
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor 
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem 
propostas para cada disciplina. 
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações 
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas 
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. 
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão 
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um 
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
MAT_CP_8a_vol2_AF.indd 3 4/17/09 10:18:05 AM
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – Funções como relações de interdependência: 
múltiplos exemplos 11
Situação de Aprendizagem 2 – Funções de 1o grau: significado, gráficos, 
crescimento, decrescimento, taxas 20
Situação de Aprendizagem 3 – Funções de 2o grau: significado, gráficos, 
intersecções com os eixos, vértices, sinais 28
Situação de Aprendizagem 4 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em 
múltiplos contextos problemas de máximos e mínimos 51
Orientações para Recuperação 58
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão 
do tema 59
Considerações finais 60
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 62
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 4 4/8/09 1:52:23 PM
5
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA 
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do 
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-
damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão 
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas 
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida 
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto 
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-
tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam 
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. 
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. 
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-
nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e 
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o 
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas 
para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que geren-
cia esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação 
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, 
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no 
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia 
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da 
aprendizagem e de seus resultados. 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 5 4/8/09 1:52:23 PM
6
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, 
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-
lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas 
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-
cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e 
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de 
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das 
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que 
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a 
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será 
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi 
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos 
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para 
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo 
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que 
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade 
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever 
esse sucesso, que também é de vocês. 
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 6 4/8/09 1:52:23 PM
7
FiCHA do CAdErno
Funções como relações de interdepêndencia: proporcionalidade, 
funções de 1o e 2o graus, aplicações
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 1a
 Período letivo: 2o bimestre de 2009
 temas e conteúdos: Funções de 1o grau: significado, gráficos, 
crescimento, decrescimento, taxas 
 Funções de 2o grau: significado, gráficos, 
interseções com eixos, vértices, sinais
 Problemas envolvendo funções de 2o grau em 
diferentes contextos; problemas de máximos 
e mínimos
 Funções como relações de interdepêndencia: 
múltiplos exemplos
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 7 4/8/09 1:52:23 PM
8
somente o professor, em sua circunstância parti-
cular, e levando em consideração seu interesse e 
o dos alunos pelos temas apresentados, pode de-
terminar adequadamente quanto tempo dedicar 
a cada uma das unidades. 
Além de uma visão panorâmica do con-
teúdo do bimestre, ao longo dos Cadernos 
são apresentadas quatro Situações de Apren-
dizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a 
forma de abordagem sugerida, instrumentali-
zando o professor para sua ação na sala de 
aula. As atividades são independentes e podem 
ser exploradas pelos professores com mais ou 
menos intensidade, segundo seu interesse e de 
sua classe. Naturalmente, em razão das limi-
tações no espaço dos Cadernos, nem todas as 
unidades foram contempladas com Situações 
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que 
a forma de abordagem dos temas seja explici-
tada nas atividades oferecidas.
Sempre que possível são apresentados em 
cada Caderno materiais (textos, softwares, 
sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a 
abordagem proposta, que podem ser utiliza-
dos pelo professor para o enriquecimento de 
suasaulas. 
O Caderno também apresenta algumas 
considerações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
esperadas no presente bimestre.
Os temas escolhidos para compor o conteúdo 
disciplinar de cada bimestre não se afastam, de 
maneira geral, do que é usualmente ensinado 
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros 
didáticos. As inovações pretendidas referem-se 
à forma de abordagem dos mesmos, sugerida 
ao longo dos Cadernos de cada um dos bimes-
tres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os 
princípios norteadores do presente currículo, 
destacando-se a contextualização dos conteú-
dos, as competências pessoais envolvidas, es-
pecialmente as relacionadas com a leitura e a 
escrita matemática, bem como os elementos 
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões 
aproximadamente iguais, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo. 
De acordo com o número de aulas disponíveis 
por semana, o professor explorará cada as-
sunto com mais ou menos aprofundamento, 
ou seja, escolherá uma escala adequada para 
o tratamento do mesmo. Em cada situação 
específica, o tema correspondente a uma das 
unidades pode ser estendido para mais de 
uma semana ou tratado de modo mais simpli-
ficado, conforme a decisão do professor. 
É desejável que o professor tente contemplar 
as oito unidades, pois, juntas, compõem um 
panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas 
vezes, uma das unidades contribui para a com-
preensão das outras. Insistimos, no entanto, que 
oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 8 4/8/09 1:52:23 PM
9
Matemática - 1a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
Neste bimestre, o conteúdo básico é uma 
retomada da noção de função, que traduz uma 
relação de interdependência entre duas gran-
dezas, explorando-se especialmente as funções 
de 1o grau e do 2o grau, bem como suas aplica-
ções em diferentes contextos. Tais assuntos já 
foram apresentados aos alunos em séries an-
teriores. Na 6a série do Ensino Fundamental 
foram exploradas situações envolvendo a pro-
porcionalidade direta e inversa entre grande-
zas, e que conduzem a relações do tipo y = kx, 
ou então, y = k
x
, sendo k uma constante não 
nula. Na 8a série, foram estudadas as funções 
y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tendo 
sido construídos seus gráficos. 
Agora, o estudo dessas funções será apre-
sentado de modo mais sistematizado. Tudo 
será feito, no entanto, de tal forma que, mesmo 
se o professor estiver tratando desse assunto 
pela primeira vez, o aluno não terá grandes 
dificuldades em acompanhar as atividades 
propostas. Como já foi dito anteriormente, 
as funções referidas são capazes de traduzir 
matematicamente todos os processos que en-
volvem relações de proporcionalidade direta 
(gráficos lineares), ou relações em que uma 
grandeza é proporcional ao quadrado de ou-
tra (gráficos com a forma de uma parábola). 
Muitos exercícios envolvendo situações con-
cretas em que a consideração das grandezas 
envolvidas conduz a uma função de 1o grau 
ou de 2o grau serão contemplados, com espe-
cial destaque para problemas de otimização, 
ou seja, problemas que envolvem a obtenção 
do máximo ou do mínimo de uma função, em 
determinado contexto. 
De modo geral, os conteúdos estudados 
neste bimestre são meios para o desenvolvi-
mento das competências básicas, na medida 
em que:
o recurso à linguagem das funções para f
representar interdependências conduz a 
um aumento na capacidade de expressão, 
favorecendo a construção de um discurso 
mais eficaz para enfrentar problemas em 
diferentes contextos;
a capacidade de compreensão de uma va- f
riada gama de fenômenos é ampliada, uma 
vez que muitas situações de interdependên-
cia estão naturalmente associadas a mo-
delagens que conduzem a explicações dos 
referidos fenômenos;
o reconhecimento das funções envolvidas f
em um fenômeno possibilita uma ação or-
ganizada sobre o mesmo, enfrentando-se 
situações problemáticas e fazendo-se pro-
postas de intervenção consciente sobre a 
realidade representada. 
Para a organização dos trabalhos do bi-
mestre, dividimos o conteúdo em oito uni-
dades, mais ou menos correspondentes às 
oito semanas de aulas. Sugerimos a seguinte 
estruturação:
Na Unidade 1, reapresentaremos a ideia 
de função por meio de múltiplos exemplos de 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 9 4/8/09 1:52:23 PM
10
situações de interdependência entre grande-
zas. As atividades propostas estão organiza-
das na Situação de Aprendizagem 1 – Funções 
como relações de interdependência: múltiplos 
exemplos.
Na Unidade 2, destacaremos as funções de 
1o grau, com suas qualidades características. 
As atividades propostas compõem a Situação 
de Aprendizagem 2 – Funções de 1o grau: sig-
nificado, gráficos, crescimento, decrescimento, 
taxas. Nas Unidades 3, 4 e 5, serão sistemati-
zados os fatos fundamentais relativos às fun-
ções de 2o grau (gráficos, simetria, interseção 
com os eixos, coordenadas do vértice, estudo 
dos sinais). As atividades sugeridas constituem 
a Situação de Aprendizagem 3 – Funções de 
2o grau: significado, gráficos, interseções com 
os eixos, vértices, sinais. 
Nas Unidades 6, 7 e 8, serão apresentados di-
versos problemas envolvendo funções de 2o grau, 
incluindo situações de otimização (máximos e 
mínimos): Situação de Aprendizagem 4 – Proble-
mas envolvendo funções de 2o grau em diferentes 
contextos; problemas de máximos e mínimos.
Quadro geral de conteúdos do 
2o bimestre da 1a série do Ensino Médio
unidade 1 – Funções como relações de 
interdependência.
unidade 2 – Funções de 1o grau – Significado, 
gráficos, crescimento, decrescimento, taxas.
unidades 3, 4, 5 – Funções de 2o grau – 
Significado, gráficos, interseções com os 
eixos, vértice, sinais.
unidades 6, 7 e 8 – Problemas envolvendo 
funções de 2o grau – Problemas de máxi-
mos e mínimos.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 10 4/8/09 1:52:23 PM
11
Matemática - 1a série - Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA: 
MÚLTIPLOS EXEMPLOS
tempo previsto: 1 semana e meia.
Conteúdos e temas: interdependência entre grandezas; proporcionalidade direta e inversa; funções: variável 
dependente e variável independente; exemplos diversos.
Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade direta e inversa como relações 
de interdependência; expressar a interdependência entre grandezas por meio de funções; contextuali-
zar a ideia de função e enfrentar situações-problema relativas ao tema.
Estratégias: utilização de diversas linguagens para traduzir a ideia de função (gráficos, tabelas, expres-
sões algébricas, etc.); exercícios referentes a situações-problema em diferentes contextos, envolvendo a 
ideia de função.
SituAçõES dE APrEndizAGEM
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
O texto a seguir constitui apenas um ro-
teiro para a apresentação inicial da ideia de 
função, ou seja, uma organização dos fatos 
já conhecidos sobre o tema. Cabe ao profes-
sor apresentá-lo detalhadamente ou não, ou 
passar diretamente à exploração das ativida-
des propostas.
Grandezas e Funções 
Uma grandeza é tudo aquilo que pode 
variar, seja aumentando ou diminuindo. 
A altura de uma árvore ao longo do tempo, 
o peso de uma pessoa ao longo de sua vida, 
o preço do barril de petróleo a cada dia, a 
produção de automóveis de um país ano 
após ano, a temperatura de um refrigerante 
colocadoem uma geladeira, o preço a pagar 
por uma corrida de táxi são alguns exem-
plos de grandezas. 
Duas grandezas x e y podem variar de modo 
interdependente, de tal forma que seus valores 
assumem valores interrelacionados. Quando, 
deixando variar livremente os valores de uma 
grandeza x, notamos que os valores de outra 
grandeza y também variam, de tal forma que 
a cada valor de x corresponde um e somen-
te um valor de y, então dizemos que y é uma 
função de x; dizemos ainda que x é a variá-
vel independente e y é a variável dependente. 
Por exemplo, 
a) a área A de um quadrado é uma 
função de seu lado x; deixando os va-
lores de x variar livremente (natural-
mente, x não pode assumir valores 
negativos), então os valores de A variarão 
em função de x, e escrevemos A = f(x). 
No caso, temos: A = f(x) = x2. 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 11 4/8/09 1:52:23 PM
12
b) o comprimento C de uma circunferência 
é uma função de seu raio r; no caso, te-
mos C = f(r) = 2πr.
c) a altura H de uma pessoa é uma fun-
ção de sua idade t; podemos escrever 
H = f(t), sendo certo que a cada valor 
de t corresponde um único valor de H. 
No caso, não sabemos exprimir a rela-
ção de interdependência f(t) por meio 
de uma fórmula.
Um caso simples de relação de interdepen-
dência ocorre quando temos duas grandezas 
proporcionais, estudadas desde a 6a série 
do Ensino Fundamental. 
Quando x e y são duas grandezas dire-
tamente proporcionais, elas aumentam ou 
diminuem simultaneamente, e na mesma 
proporção, ou seja, a razão 
y
x
 é constante, 
e resulta que y = kx (k é uma constante). 
Quando x e y são duas grandezas inversa-
mente proporcionais, sempre que uma delas 
aumenta, a outra diminui na mesma propor-
ção, e vice-versa, de modo que o produto das 
duas permanece constante: x . y = k, ou seja, 
y = k
x
 onde k é uma constante não nula. 
Quando observamos os valores de duas 
grandezas interdependentes x e y, e notamos 
que um aumento no valor de x acarreta um 
aumento no valor de y, ou então, um aumento 
no valor de x provoca uma diminuição no va-
lor de y, então somos tentados a dizer que x e 
y variam de modo diretamente proporcional, 
no primeiro caso, ou inversamente proporcio-
nal, no segundo. Entretanto, tais afirmações 
nem sempre são corretas, uma vez que, como já 
foi visto anteriormente, a proporcionalidade 
direta exige mais do que um aumento si-
multâneo nos valores de x e y; além disso, é 
preciso que a razão 
y
x
 seja constante. Analo-
gamente, a proporcionalidade inversa é mais 
do que uma diminuição nos valores de uma 
das grandezas, quando aumentam os valores 
da outra grandeza; é necessário que o produ-
to dos valores de x e y permaneça constante. 
Atividade 1
Em cada um dos casos a seguir, verifique 
se há ou não proporcionalidade. Se existir, 
expresse tal fato algebricamente, indicando 
o valor da constante de proporcionalidade.
a) A altura a de uma pessoa é diretamente 
proporcional a sua idade t? 
b) A massa m de uma pessoa é diretamente 
proporcional a sua idade t?
c) O perímetro p de um quadrado é direta-
mente proporcional ao seu lado a? 
d) A diagonal d de um quadrado é direta-
mente proporcional ao seu lado a?
e) O comprimento C de uma circunferência 
é diretamente proporcional ao seu diâ-
metro d?
Trata-se de verificar se há proporcionalidade 
direta ou não entre vários pares de 
grandezas, expressando algebricamente tal 
fato e indicando o valor da constante de 
proporcionalidade, quando possível.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 12 4/8/09 1:52:24 PM
13
Matemática - 1a série - Volume 2
a) A altura a de uma pessoa é uma função 
de sua idade t, mas não é diretamente 
proporcional a t. De fato, não é verdade que 
sempre que a idade de uma pessoa duplica, 
então sua altura também duplica; não é 
verdade que se a idade triplica, então a altura 
aumenta proporcionalmente, triplicando. 
Se houvesse proporcionalidade entre a e t, 
imaginem a altura de uma pessoa aos 
10 anos, sabendo que aos 2 anos ela tinha 
90 cm de altura...
b) A massa m de uma pessoa é uma 
função de sua idade t, mas não é 
diretamente proporcional a t. Se houvesse 
proporcionalidade direta, uma criança 
com 1 ano e 10 kg teria quantos quilos aos 
15 anos?...
c) O perímetro p de um quadrado é uma 
função de seu lado a. No caso, p = f(a) = 4a. 
Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta 
proporcionalmente. O perímetro p é direta-
mente proporcional ao lado a, sendo a 
constante de proporcionalidade igual a 4.
d) A diagonal d de um quadrado é uma função 
do lado a; ela é diretamente proporcional 
ao lado a. Temos, neste caso, d = a 2. A 
constante de proporcionalidade é k = 2.
e) O comprimento C de uma circunferên-
cia é uma função do diâmetro d; no caso, 
C é diretamente proporcional a d, e temos 
C = f(d) = πd, ou seja, a constante de propor-
cionalidade é k = π. Também podemos escrever 
C = 2πr, onde r é o raio da circunferência.
Atividade 2
As tabelas a seguir relacionam pares de 
grandezas. Indique se existe ou não propor-
cionalidade (direta ou inversa).
a) Produção de automóveis e produção de 
tratores (anual, em milhares)
País Automóveis tratores
A 100 8
b 150 12
C 200 16
d 225 18
E 250 20
F 300 24
G 350 28
H 400 32
i 450 36
b) Área destinada à agricultura e área des-
tinada à pecuária (em 1 000 km2)
País Agricultura Pecuária
A 80 60
b 100 70
C 110 80
d 120 98
E 150 100
F 160 124
G 180 128
H 200 132
i 250 136
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 13 4/8/09 1:52:24 PM
14
c) Produto Interno Bruto (PIB, em milhões 
de dólares) e Índice de Desenvolvimento 
Humano (IDH)
País Pib idH
A 300 0,90
b 400 0,92
C 510 0,80
d 620 0,88
E 750 0,78
F 760 0,89
G 880 0,91
H 1 000 0,80
i 1 100 0,86
d) Expectativa de vida (em anos) e índice 
de analfabetismo (% da população)
País
Expectativa 
de vida
Índice de 
analfabetismo
A 67 11
b 68 10
C 69 9
d 70 8
E 71 7
F 72 6
G 73 5
H 74 4
i 75 3
O objetivo das tabelas é apenas o de consolidar 
o fato de que duas grandezas podem crescer 
ou decrescer conjuntamente, ou então podem 
variar em sentidos opostos (quando uma cresce, 
a outra decresce) sem que haja proporciona-
lidade direta ou inversa. Apenas no exemplo do 
item a a grandeza da 1a coluna é diretamente 
proporcional à grandeza da 2a coluna, sendo a 
constante de proporcionalidade igual a 12,5; nos 
outros casos, nem a razão entre as grandezas é 
constante, nem o produto delas o é, ou seja, em 
cada um dos pares, não há proporcionalidade 
direta, nem inversa. De acordo com as tabelas, 
podemos afirmar, então, que: 
a) a produção de automóveis cresce simultanea- 
mente com a produção de tratores; ela é dire-
tamente proporcional à produção de tratores;
b) a área destinada à agricultura cresce jun-
tamente com a área destinada à pecuária;
c) não é verdade que se o PIB aumenta, então 
o IDH aumenta; também não é verdade que 
se o PIB diminui, então o IDH diminui.
d) mesmo sem haver proporcionalidade, 
quando o índice de analfabetismo diminui, a 
expectativa de vida aumenta.
Atividade 3
Um prêmio P da loteria deve ser dividi-
do em partes iguais, cabendo um valor x a 
cada um dos n ganhadores. Considerando um 
prêmio P de R$ 400 000,00 preencha a tabela 
abaixo e expresse a relação de interdependência 
entre x e n.
n 1 2 4 5 8 10 20
x
A partir do fato de que os R$ 400 000,00 
serão divididos em partes iguais entre os 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 14 4/8/09 1:52:24 PM
15
Matemática - 1a série - Volume 2
n ganhadores, concluímos que a cada um 
deles corresponderá um valor x, sendo 
n . x = 400 000, ou seja, n e x sãoinversamente 
proporcionais: x = f(n) = 400 000
n
n x
1 400 000
2 200 000
4 100 000
5 80 000
8 50 000
10 40 000
20 20 000
Atividade 4
Para cortar a grama de um canteiro qua-
drado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou 
R$ 20,00. Mantida a proporção, para cortar 
a grama de um canteiro quadrado de 15 m de 
lado, quanto o jardineiro deverá cobrar? A quan-
tia a cobrar C é diretamente proporcional à 
medida x do lado do canteiro quadrado?
Afirma-se que para cortar a grama de um 
canteiro quadrado de 5 m de lado, ou seja, de 
área 25 m2, um jardineiro cobrou R$ 20,00, ou 
seja, ele cobrou R$ 0,80 por m2. Mantida esta 
proporção, para cortar a grama de um canteiro 
com 15 m de lado, ou seja, com área 225 m2, 
ele deverá cobrar 225 . 0,80, ou seja, R$ 180,00. 
Outra maneira de encaminhar a solução é a 
seguinte: a quantia a ser cobrada é diretamente 
proporcional à área do canteiro, e não ao 
seu lado; se o lado triplicou, a área tornou-se 
9 vezes maior, e a quantia a ser paga deverá 
ser 9 vezes maior. Faça uma figura de um 
quadrado com lado x (e área x2) e de outro 
com lado 3x, para mostrar que a área do 
maior é 9x2.
Atividade 5
Quando uma pedra é abandonada em que-
da livre (sem considerar a resistência do ar ao 
movimento), a distância vertical d que ela per-
corre em queda é diretamente proporcional 
ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, 
d = kt². Observando-se que após 1 segundo de 
queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:
a) qual é o valor da constante de propor-
cionalidade k?
b) qual é a distância vertical percorrida 
após 5 segundos?
c) quanto tempo a pedra levará para cair 
49 m?
Notamos que a distância vertical d que a pe-
dra percorre não é diretamente proporcional 
ao tempo t de queda, mas sim ao quadrado 
de t: d = kt². 
a) É dado que para t = 1, então d = 4,9 m, 
ou seja, substituindo os valores de t e de d, 
temos, k = 4,9. 
b) Para calcular a distância vertical percor-
rida após 5 s, basta substituir t por 5, obten-
do-se d = 4,9 . 52, ou seja, d = 122,5 m. 
c) Substituindo-se d por 49, obtemos o 
tempo que a pedra levará para cair 49 m: 
49 = 4,9t2, ou seja, t = 10 ≅ 3,16 s.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 15 4/8/09 1:52:25 PM
16
Gráficos de funções
Dada uma função y = f(x), o conjunto 
de pontos (x; y) do plano cartesiano tal que 
y = f(x) constitui o gráfico da função. No caso 
das grandezas diretamente proporcionais, 
sendo y
x
= constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, 
então o gráfico correspondente é uma reta pas-
sando pela origem do sistema de coordenadas:
y = f(x) = kx
y1
x10
y2
y
x2
y3
x3
x
Quando duas grandezas x e y variam de tal 
forma que y = kx + h, ou seja, f(x) = kx + h 
(k e h constantes), existe uma proporcionali-
dade direta entre os valores de y – h e os de 
x. A representação gráfica correspondente é 
uma reta com inclinação k; h é o valor inicial 
a partir do qual a variação em y é diretamente 
proporcional a x. (No caso particular de ter-
mos h = 0, então a reta passa pela origem.)
x1
0
y
h
x2 x3 x
y1 y2 y3
y h
x
y h
x
y h
x
const k1
1
2
2
3
3
– – –
.= = = =
y1
x1
 = 
y2
x2
 = 
y3
x3
 = const. = k
No caso da proporcionalidade inversa, 
temos a relação xy = k, ou seja, f(x) = k
x
, 
quanto mais aumenta o valor de x, menor é 
o valor correspondente de y, e vice-versa; o 
gráfico correspondente é uma curva chamada 
hipérbole (ver figura a seguir).
Atividade 6
O preço P a cobrar em uma corrida de táxi 
é composto por uma quantia a fixada, igual 
para todas as corridas, mais uma parcela va-
riável, que é diretamente proporcional ao nú-
mero x de quilômetros rodados: P = a + b . x 
(b é o custo de cada quilômetro rodado).
Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8 . x 
(P em reais e x em km)
a) Qual é o preço a cobrar por uma corrida 
de 12 km?
b) Calcule a diferença entre os preços de 
duas corridas, uma de 20 km, outra 
de 21 km.
c) Esboce o gráfico de P em função de x.
f(x) = k
x
y
x
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 16 4/8/09 1:52:25 PM
17
Matemática - 1a série - Volume 2
Este é mais um exemplo de uma situação 
em que a proporcionalidade direta existe 
apenas no cálculo da parcela variável da 
corrida de táxi, existindo outra parcela 
fixa, independentemente dos quilômetros 
rodados. Temos, no caso, P = 15 + 0,8 . x 
(P em reais e x em km; 0,8 reais é o custo de 
cada quilômetro rodado).
a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para 
x = 12, resulta P = 15 + 0,8 . 12 = 24,6 reais.
b) A diferença entre os custos de uma corrida 
de 20 km e outra de 21 km é o custo de 1 km 
rodado, ou seja, 0,8 reais.
c) O gráfico de P em função de x é uma reta 
com inclinação 0,8, cortando o eixo vertical 
(OP) no ponto de ordenada 15.
Atividade 7
Na casa de uma família que gasta sempre 
cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia, a mas-
sa de gás contido em um botijão doméstico de 
13 kg varia com o tempo de acordo com a fór-
mula, m = 13 – 0,5 t, onde t é o tempo em dias. 
P
x
15
1
0,8
0
P = 15 + 0,8x
a) Calcule o número de dias necessários 
para consumir-se 6 kg de gás.
b) Calcule a massa de gás que resta em um 
botijão após 10 dias de uso.
c) Esboce o gráfico de m em função de t. 
Neste caso, temos uma variação proporcio-
nal em uma grandeza decrescente: se o con-
sumo diário é sempre 0,5 kg por dia, então 
a massa do gás consumido é diretamente 
proporcional ao número de dias, e a massa 
restante no botijão é a diferença entre o valor 
inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou seja, 
m = 13 – 0,5 t (t em dias).
a) O número x de dias necessários para 
consumir-se 6 kg de gás é tal que 0,5.x = 6, 
ou seja, x = 12 dias.
b) A massa de gás que resta em um botijão após 
10 dias de uso é m = 13 – 0,5 . 10 = 8 kg.
c) O gráfico de m em função de t é uma 
reta cortando o eixo Om no ponto de 
ordenada 13 e decrescendo a uma taxa de 
–0,5 kg por dia:
m
t
13
260
1
– 0,5
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 17 4/8/09 1:52:25 PM
18
Atividade 8
O número n de dias necessários para es-
vaziar um reservatório de água de 20 000 ℓ 
depende do consumo diário de água. Se o 
consumo for de x litros por dia, então os va-
lores de n e x devem satisfazer à condição 
N.x = 20 000. 
a) Calcule os valores de n para x1 = 500 ℓ 
por dia e para x2 = 800 ℓ por dia. 
b) Esboce o gráfico de n em função de x.
Para esvaziar um reservatório de 20 000 ℓ, se 
o consumo diário for x litros por dia, serão 
necessários N dias, sendo N.x = 20 000, ou 
seja, N e x são inversamente proporcionais. 
a) Para x1 = 500, o número de dias N1 é tal 
que N1 . 500 = 20 000, ou seja, N1 = 40 dias; 
analogamente, para x2 = 800, o número de 
dias N2 é tal que N2 . 800 = 20 000, ou seja, 
N2 = 25 dias.
b) O gráfico de N em função de x é uma curva 
que representa o fato de que, quanto maior 
o valor de N, menor o de x, mantendo-se 
a proporção inversa (N . x = 20 000); é o 
ramo de hipérbole mostrado a seguir:
x
40
25
500 800
N.x = 20 000
N = f(x) = 
20 000
x
N
Atividade 9
Fixada a temperatura t, a pressão P e o 
volume V de um gás variam segundo a expres-
são P.V = k (k é uma constante). Esboce o 
gráfico de P em função de V.
Fixada a temperatura T, a pressão P e o 
volume V de um gás variam segundo a 
expressão P.V = k (k é uma constante). O 
gráfico de P em função de V é um ramo de 
hipérbole, e é muito fácil de se encontrar em 
livros de Química:
V
P1
P2
V1 V2
P.V = k (T constante)
P
Atividade 10
O gráfico a seguir mostra o nível da água 
armazenada em uma barragem, ao longode um ano. Analise atentamente o gráfico 
e responda:
tempo
nível (m)
100
90
80
10
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 18 4/8/09 1:52:26 PM
19
Matemática - 1a série - Volume 2
a) Qual foi o menor nível de água armaze-
nada na barragem? E o maior?
Da observação direta do gráfico concluímos 
que o nível mínimo da água armazenada foi 
de 10 m; o máximo foi de 100 m.
b) Quantas vezes no ano a barragem atin-
giu o nível de 40 m? E o nível de 95 m?
Analogamente, observamos que o nível de 
40 m foi atingido duas vezes no ano; já 
o nível de 95 m foi atingido seis vezes ao 
longo do ano.
Considerações sobre a avaliação
Somente o professor, em sua circunstân-
cia específica, poderá avaliar em que medida 
a apresentação da ideia de função aqui rea-
lizada constitui uma revisão de conteúdos 
que já foram tratados anteriormente ou uma 
abordagem inicial do tema. Tanto no caso de 
uma abordagem inicial, quanto no caso de o 
professor notar que os alunos já conhecem 
os temas que estão sendo apresentados, se-
ria interessante o recurso a tabelas e gráficos 
extraídos de jornais ou revistas; tal recurso 
tanto pode servir como uma porta de entra da 
suave para o tema, quanto para um aprofun-
damento no mesmo. A escolha dos materiais 
em sintonia com a real condição de sua 
turma é um desafio interessante para o dis-
cernimento do professor.
Ao final desta primeira Situação de 
Aprendizagem, é fundamental que a ideia 
de função como interdependência entre 
duas grandezas tenha se consolidado, com 
a assimilação da nomenclatura “variável 
independente” (aquela à qual atribuímos va-
lores livremente) e “variável dependente”, 
ou a variável que é considerada, no contexto, 
como uma função da outra. 
Um aprofundamento da ideia de pro-
porcionalidade deverá ser deixado para 
as Situações de Aprendizagem seguintes, 
em que serão explorados dois tipos parti- 
culares de interdependência especialmente 
considerados: as funções de 1o grau, as-
sociadas à proporcionalidade direta, e as 
funções de 2o grau, associadas à propor-
cionalidade direta entre uma grandeza e o 
quadrado de outra.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 19 4/8/09 1:52:26 PM
20
Situação de aprendizagem 2 
FunçÕeS de 1o- grau: SigniFiCado, grÁFiCoS, 
CreSCimento, deCreSCimento, taXaS
Tempo previsto: 1 semana e meia.
Conteúdos e temas: funções de 1o grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas 
de variação, gráficos, inequações.
Competências e habilidades: compreender a função de 1o grau como expressão de uma proporcionali-
dade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos.
Estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente sobre pro-
porcionalidade e funções de 1o grau; exploração desses fatos em situações problema em dife-
rentes contextos.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
o texto a seguir constitui um roteiro para 
a apresentação da ideia de função de 1o grau, 
que pode já ser conhecida dos alunos, bem 
como para uma organização de alguns fatos 
já conhecidos sobre o tema. Cabe ao profes-
sor apresentar o assunto com mais ou menos 
pormenores ou passar diretamente à explo-
ração das atividades, de acordo com o nível 
de conhecimentos dos alunos.
Funções de 1o- grau: significado
Sempre que expressamos por meio de 
variáveis uma situação de interdependên-
cia envolvendo duas grandezas diretamente 
proporcionais, chegamos a uma função 
de 1o grau. de modo geral, uma função de 
1o grau é expressa por uma fórmula do tipo 
f(x) = ax + b, em que a e b são constantes, 
sendo a ≠ 0. Quando a = 0, a função se reduz a 
f(x) = b, ou seja, a uma função constante.
a proporcionalidade expressa por uma 
função desse tipo é explicitada quando no-
tamos que a diferença f(x) – b = ax, ou seja, 
que a razão entre f(x) – b e x é constante e 
igual a a: f(x) – b
x
 = const. = a.
em consequência, o gráfico de f(x) = ax + b 
é uma reta, quaisquer que sejam os valores de 
a e b, pois a constância da razão acima garante o 
ângulo de inclinação constante para o segmento 
formado por dois pontos quaisquer do gráfico:
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 20 4/8/09 3:54:40 PM
21
Matemática - 1a série - Volume 2
f(x) = ax + b
f(x)
f(x) – b
0
b
y
xx
x
Podemos observar que o coeficiente b re-
presenta o valor de f(x) para x = 0; quando 
a = 0, a função assume valores constantes, 
qualquer que seja o valor da variável inde-
pendente x: f(x) = constante = b.
Também notamos que o coeficiente a re-
presenta a inclinação da reta que é o gráfico, 
uma vez que para x = 1, temos f(1) = a + b, e 
então f(1) – b
1
 = a = 
f(x) – b
x
 para todo x.
De modo equivalente, podemos notar que 
f(x + 1) – f(x) = a(x + 1) + b – ax – b = a, ou 
seja, a variação de f(x) para cada unidade a 
mais de x é igual a a:
se f(x) = ax + b, então f(x + 1) – f(x) = a. f
Por exemplo, sendo f(x) = ( 3 )x + 27, 
então temos:
f(13) – f(12) = 3;
f(29) – f(28) = 3;
f(1 347) – f(1 346) = 3;
f(k + 1) – f(k) = 3.
Graficamente, isso significa que a inclina-
ção do gráfico de f(x) é sempre a mesma, no 
caso, igual a 3 (veja o gráfico da função):
f(x) – b
x
 = const. = a
1
1
1
√3
–
√3
–
√3
–
x
y
f(x) = (√3
–
)x + 27
Resumindo os fatos apresentados sobre a 
função f(x) = ax + b em um gráfico, temos:
f(x)
f(x) = ax + b
0 1
1
a + b
b a
y
x
x
x
f(x) – b
x
 = const. = a
f(x) – b
Podemos afirmar, então, que:
quando f a > 0, a função é crescente;
quando f a < 0, a função é decrescente;
nos dois casos, o valor de f a representa a 
variação de f(x) por unidade a mais de x, 
o que representa um aumento quando 
a > 0, ou uma diminuição, quando a < 0.
f(x)
f(x) = ax + b
0
1
1
a + b
a (a>0)
a = 0
a (a<0)b
y
x
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 21 4/8/09 1:52:26 PM
22
Naturalmente, quando b = 0, a função 
reduz-se a f(x) = ax e seu gráfico passa pela 
origem do sistema de coordenadas.
Notamos ainda que se duas funções de 
1o grau f(x) e g(x) são tais que o coeficiente 
de x é o mesmo em ambas, então seus gráfi-
cos são retas paralelas, uma vez que a incli-
nação das retas é a mesma nos dois casos.
f(x) = ax + b
g(x) = ax + c
m(x) = dx + b
h(x) = dx
0
b
c
y
gráficos de f(x) e de g(x) são paralelos: mesma inclinação a
gráficos de m(x) e de h(x) são paralelos: mesma inclinação d
Atividade 1 
As retas A, b, C, d e E são os gráficos de 
funções do tipo f(x) = ax + b. Determine os va-
lores de a e b em cada um dos cinco casos. 
0 2
2
4
3–1–2
y
x
A
D
B
CE
Reta A
Como a reta A passa pela origem, o 
coeficiente b é igual a zero. Todos os seus 
pontos (x; y) são tais que y
x
 é igual a 2 
(há proporcionalidade direta entre y e x). 
Segue, portanto, que f(x) = 2x (a = 2 e 
b = 0).
Reta B
Observando as retas A e B percebemos que 
elas são paralelas, ou seja, o coeficiente a é 
comum a ambas. Como B corta o eixo y no 
ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou seja, 
f(x) = 2x + 2, no caso da reta B.
Reta C
Observando as retas A e C percebemos que 
elas são paralelas, ou seja, a inclinação é a 
mesma, igual a 2 em ambas. Como a reta 
C corta o eixo y no ponto de ordenada 4, o 
valor de b é 4 e temos f(x) = 2x + 4 para a 
reta C.
Reta D
Trata-se do caso em que o coeficiente a é 
igual a zero; como o valor de b é 4, então 
temos a função constante e igual a 4: 
f(x) = 4.
Reta E
A reta E corta o eixo y no ponto de ordena da 
4; logo, b = 4. Temos, então, f(x) = ax + 4. 
Como a reta passapelo ponto (3; 0), temos 
f(3) = 0, ou seja, 0 = a . 3 + 4. Daí obtemos 
a = 
– 4
3
 . Logo, f(x) = 
– 4
3
 x + 4.
Atividade 2 
O gráfico a seguir mostra a relação entre a 
quantidade x litros de xampu produzida e o 
custo C(x), em R$, da produção caseira.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 22 4/8/09 1:52:27 PM
23
Matemática - 1a série - Volume 2
0
x
C(x)
520
500
a) Qual é o possível motivo de um gasto 
de R$ 500,00 quando não se está produ-
zindo xampu?
O custo quando a empresa não está 
produzindo é chamado pelos economistas de 
custo fixo. Mesmo sem produzir e vender, 
uma empresa tem custos fixos de aluguel e 
impostos. No caso da empresa analisada no 
problema, seu custo fixo é de R$ 500,00.
b) Qual é a função C(x) = ax + b repre-
sentada no gráfico? Essa expressão da 
interdependência entre o custo C e a 
quantidade produzida x é válida para 
qualquer valor de x?
O gráfico intersecta o eixo y no ponto de 
ordenada 500, o que significa dizer que 
b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500. 
Usando o fato de que para x = 10 o valor de 
C é 520, temos: 520 = a . 10 + 500
Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500.
Como x é o total de litros de xampu produzido 
pela empresa, essa função só faz sentido para 
x ≥ 0. Matematicamente, o valor de x pode ser 
tão grande quanto quisermos. Naturalmente, 
as condições reais de produção podem impor 
outros limites ao valor de x.
c) Qual é o gasto para se produzir 1 500 litros 
de xampu?
C(1500) = 2 . 1 500 + 500; logo, 
C(1 500)= 3 500 reais
d) Quantos litros de xampu podem ser pro-
duzidos com R$ 10 000,00?
Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500, 
de onde segue que x = 4 750 litros.
e) Qual é a variação no gasto para a produ-
ção de cada litro adicional de xampu?
Pelo gráfico vemos que a cada 10 ℓ gasta-se 
R$ 20,00 a mais; portanto, a cada 1 ℓ 
gasta-se R$ 2,00 a mais (esse valor é a 
inclinação da reta que é o gráfico).
Atividade 3
As retas A, B e C são representações gráficas 
da função f(x) = mx, que é um caso particular da 
função f(x) = mx + n, quando n = 0. Determine 
o valor de m em cada um dos três casos.
A
B
C
y
x
4
2 5–3
 
10
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 23 4/8/09 1:52:27 PM
24
Como as funções são do tipo f(x) = mx, 
basta substituir um par de valores de x e de 
y = f(x) nessa equação para determinar o 
valor de m: 
Em A, temos:
 4 = m .(−3), ou seja, m = – 4
3
 
Em B, temos:
 4 = m . 2, ou seja, m = 2
Em C, temos:
4 = m . 5, ou seja, m = 4
5
 
Atividade 4
Analisando as funções obtidas na atividade 
anterior, responda:
a) As funções f(x) = mx que têm como 
gráficos as retas b e C possuem 
m > 0. Em casos assim, quanto maior o 
valor de m, a reta estará mais “em pé” 
ou mais “deitada”?
Quando m > 0, quanto maior o seu valor 
mais “em pé” estará a reta.
b) Como podemos saber se uma reta está 
inclinada para a direita ou para a es-
querda apenas observando o valor de m 
na sua equação?
Se m > 0 a reta está inclinada para a direita 
(função crescente), se m < 0 a reta está incli-
nada para a esquerda (função decrescente).
Atividade 5
A conta de certo restaurante é compos-
ta pelo valor total das despesas com comi-
da e bebida, mais 10% sobre esse valor, que 
correspondem aos gastos com serviços, e mais 
uma taxa fixa de R$ 10,00 de couvert artístico 
para os músicos.
a) Chamando de x os gastos com comida 
e bebida (em R$), e y o valor total da 
conta (em R$), determine uma expres-
são do tipo y = mx + n que represente a 
relação entre x e y.
Sendo x o valor gasto com comida e bebida, 
e observando-se que acrescentar 10% a um 
valor equivale a multiplicá-lo por 1,1, o valor 
y a ser pago será: y = 1,1x + 10.
b) Faça um gráfico no plano cartesiano 
para representar a função encontrada 
no item anterior.
O gráfico será uma reta que corta o eixo y no 
ponto de ordenada 10 e que tem inclinação 
igual a 1,1; para x = 10, o valor de y 
correspondente será 21:
x
y
20
21
10
0 10
Atividade 6
Celsius, Fahrenheit e Kelvin são as três 
escalas de temperatura mais utilizadas. Sendo 
C o valor da temperatura em graus Celsius, 
F a mesma temperatura medida em graus 
Fahrenheit e K a medida da mesma em 
graus Kelvin, para converter uma temperatura 
de uma para outra escala, temos os seguintes 
fatos fundamentais:
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 24 4/8/09 1:52:27 PM
25
Matemática - 1a série - Volume 2
nas escalas Celsius e Kelvin o tamanho do f
grau é o mesmo, havendo apenas um deslo-
camento da origem, que na escala Celsius é 
no 0, e na escala Kelvin é no 273;
na escala Celsius, a temperatura de fusão do f
gelo é 0o e a de ebulição da água é 100º; na 
escala Fahrenheit, a temperatura de fusão do 
gelo é 32º e a de ebulição da água é de 212º.
Com base nessas informações, 
a) mostre que, para transformar uma 
temperatura dada em graus Celsius para 
graus Kelvin, a regra é K = C + 273;
b) mostre que, para transformar uma 
temperatura dada em graus Celsius 
para graus Fahrenheit, a regra é 
F = 1,8C + 32;
c) calcule a quantos graus Celsius 
corresponde uma temperatura de 95º F;
d) calcule a quantos graus correspondem 
300º K na escala Fahrenheit.
a) e b) Temos o seguinte esquema:
373
K C F
273
100
0
212
32
Kelvin Celsius Fahrenheit
ebulição 
da água
fusão 
do gelo
Os segmentos que determinam as tempera-
turas nas diferentes escalas representam a 
mesma parte do intervalo entre a tempera-
tura de fusão do gelo e a de ebulição da água, 
ou seja, temos a proporção:
K – 273
373 – 273
 = 
C – 0
100 – 0
 = 
F – 32
212 – 32
De tal proporção, concluímos que:
K – 273
100
 = 
C
100
 = 
F – 32
180
 
Ou seja,
K = C + 273 
F = 1,8C + 32
c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e 
então, C = 35
d) Uma temperatura de K = 300, correspon-
de a C = 27. Calculando em Fahrenheit, 
obtemos: F = 1,8 . 27 + 32, ou seja, F = 80,6.
Atividade 7
O gráfico a seguir indica a produção bra-
sileira de petróleo, em milhões de barris, nos 
anos de 2004 e 2005.
Produção 
(milhões de barris)
Ano
596
535 
04 05
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 25 4/8/09 1:52:28 PM
26
Admitindo que a taxa de crescimento do 
período 2004-2005 se manteve no período 
2005-2006, calcule o valor aproximado da 
produção média diária, em milhões de barris, 
no ano 2006.
A taxa de crescimento é a razão entre a 
variação na produção e a variação no tempo, 
o que representa o aumento da produção por 
ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi 
igual a m = 
596 535
5 4
61
–
–
      = milhões de barris.
Se essa taxa permanecer constante, ou 
seja, se o gráfico continuar sendo a mesma 
reta desenhada anteriormente, no período 
2005-2006 o aumento da produção seria de 
61 milhões de barris, e a produção estimada 
seria de 596 + 61 = 657 milhões de barris.
Atividade 8
O gráfico a seguir indica o valor de um 
determinado tributo territorial em função da 
área de uma propriedade.
Tributo
(em R$)
Área da propriedade
(em m2)
1 000
800
800
3 800
4 000
500
200
a) Qual é o valor do imposto a pagar de 
uma propriedade de 800 m² ?
A leitura imediata no gráfico fornece o valor 
do tributo y = 200 reais.
b) Existe algum tamanho de propriedade 
(em m²) cujo imposto cobrado seja exa-
tamente R$ 500,00?
Não, porque para 3 800 m² o imposto é de 
R$ 800,00.
c) Determine uma função do tipo 
y = mx + n, com y sendo o tributo em 
R$, e x a área em m², válida para o in-
tervalo 800 ≤ x ≤ 3 800.
Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500), 
temos:
y = mx + nPara x = 800, temos y = 200, ou seja, 
200 = m . 800 + n
Para x = 3 800, calculemos como se 
tivéssemos y = 500 (mesmo sabendo que 
o intervalo é aberto), apenas para ter a 
equação da reta: 500 = 3 800 . m + n 
Resolvendo o sistema, temos: m = 0,1 
e n = 120.
A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para 
800 ≤ x < 3 800).
Havendo tempo disponível, o professor 
poderá pedir aos alunos que determinem a 
função do tipo y = mx + n para o intervalo 
x ≥ 3 800. Comparando o valor de m dessa 
função com a determinada no item ante-
rior, percebe-se que a intenção subjacente 
é a de cobrar mais imposto por m2 para 
propriedades maiores do que 3 800 m2.
Atividade 9
A figura indica uma folha de latão que será 
usada na montagem de uma peça:
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 26 4/8/09 1:52:28 PM
27
Matemática - 1a série - Volume 2
x + 10
2x
 +
 4
2x +
 4
x x
xx
a) Determine todos os valores possíveis de 
x (em metros) para que o perímetro da 
folha seja maior ou igual a 64 m.
Sendo o perímetro igual à soma dos compri-
mentos de todos os lados da folha, temos; 
2(2x + 4) + 2x + 2x + 2(x +10) + 2x ≥ 64
Daí segue que: 
4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x ≥ 64,
ou seja, 12x ≥ 64 − 28, o que acarreta que 
x ≥ 3.
Portanto, x deve ser maior ou igual a 
3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis 
de x (em metros) para que a soma dos 
comprimentos representados em ver-
melho seja menor que a soma dos de-
mais comprimentos que completam o 
perímetro da folha.
Analogamente, temos:
2(x + 2x + 4 + x )< 2x + 2(x +10)
2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x +20
4x < 12, ou seja, x < 3.
Portanto, x deve ser maior que 0 e menor 
que 3 metros.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, 
o reconhecimento de relações de proporcio-
nalidade direta em diferentes contextos e a 
representação das mesmas por meio de uma 
função de 1o grau é o objetivo primordial que 
deverá ter sido atingido.
É fundamental que os alunos tenham feito 
a associação direta entre a ideia de variação 
diretamente proporcional e a de função de 
1o grau, tendo aprendido que:
quando f y é diretamente proporcional a x e 
ambos os valores, de x e y, começam a ser 
medidos a partir do valor inicial zero, então 
y = ax, sendo a uma constante não nula;
quando há a proporcionalidade direta en- f
tre a variação de y medida a partir de cer-
to valor inicial b e os valores de x, então 
y – b = ax, ou seja, y = ax + b;
de modo geral, em qualquer situação em que f
as variações de duas grandezas interdepen-
dentes são diretamente proporcionais, chega-
mos a uma expressão do tipo f(x) = ax + b, 
ou seja, a uma função do primeiro grau;
sendo f f(x) = ax + b, então o coeficiente a sem-
pre representa a variação no valor da função 
por unidade a mais de x, ou, em outras pala-
vras, a taxa de variação de f(x) em relação a x. 
Na Situação de Aprendizagem seguinte, as 
funções do segundo grau serão apresentadas 
também a partir da ideia de proporcionalidade 
direta, agora de y em relação ao quadrado de x.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 27 4/8/09 1:52:28 PM
28
Situação de aprendizagem 3 
FunçÕeS de 2o- grau: SigniFiCado, grÁFiCoS, 
interSeCçÕeS Com oS eiXoS, VÉrtiCeS, SinaiS
Tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; função de 
2o grau; gráficos de funções de 2o grau – Vértice, raízes, sinais.
Competências e habilidades: compreender a função de 2º- grau como expressão de uma propor-
cionalidade direta com o quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos 
tal proporcionalidade.
Estratégias: apresentação construtiva do significado e das propriedades da função de 2o grau; 
exploração de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo funções de 2o grau para 
serem explorados pelo professor.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
o texto a seguir constitui um roteiro para 
a apresentação da ideia de função de 2º- grau. 
desde o primeiro momento, tal função é apre- 
sentada como a representação de uma pro-
porcionalidade direta entre uma grandeza e 
o quadrado de outra. na 8ª- série do ensino 
Fundamental é possível que os alunos já te-
nham tido um contato inicial com tal função, 
ao estudarem as equações de 2º- grau. abor-
daremos o tema, no entanto, sem pressupor 
que ele já tenha sido estudado anteriormente. 
Cabe ao professor, em sua realidade especí-
fica, acelerar mais ou menos a apresentação 
feita aqui. a abordagem adotada é construti-
va: todos os resultados são justificados, sem-
pre com base na ideia de proporcionalidade 
anteriormente referida. assim, mesmo que os 
alunos já tenham visto tais assuntos, é quase 
certo que não o viram da forma como são 
aqui apresentados. 
apostamos na forma de tratamento esco-
lhida, que consideramos a menos técnica pos-
sível, ou a que mais permanece aderente ao 
significado da relação de proporcionalidade 
envolvida e esperamos que o professor avalie 
com carinho o percurso sugerido na Situação 
de aprendizagem, mesmo não constituindo o 
caminho mais usual. torcemos para que, no 
final, o professor venha a concordar conosco.
Grandeza proporcional ao quadrado de 
outra: a função do 2º- grau f(x) = ax2
Quando a relação de interdependência en-
tre duas grandezas x e y é tal que y é direta-
mente proporcional ao quadrado de x, então 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 28 4/8/09 4:00:07 PM
29
Matemática - 1a série - Volume 2
escrevemos que 
y
x2
 = constante = k, ou seja, 
y = kx2. Um exemplo de tal situação ocorre 
quando uma pedra é abandonada em queda 
livre: a distância vertical d que ela percorre 
é diretamente proporcional ao quadrado do 
tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; neste 
caso, o valor de k é 4,9 (metade da aceleração 
da gravidade do local).
De modo geral, assim como uma relação 
do tipo y = kx encontra-se na origem de cada 
função de 1º- grau f(x) = ax + b, a relação 
y = kx2 serve de base para a caracterização 
das funções de 2º- grau, cuja forma geral é 
f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0). 
Para explicitar tal fato, inicialmente, vamos 
examinar o gráfico da função y = x2, ou seja, 
f(x) = x2.
Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta 
com inclinação igual a 1. Para construir o grá-
fico de y = x2, basta notarmos que:
o quadrado de um número situado entre f
0 e 1 é menor do que o próprio número, ou 
seja, x2 < x para 0 < x < 1;
o quadrado de um número maior do que 1 f
é maior do que o próprio número, ou seja, 
x2 > x para x > 1; 
o gráfico de y = x f 2 é simétrico em relação 
ao eixo y, uma vez que f(x) = f(–x) para 
todo x; 
é possível mostrar que o gráfico de y = x f 2 
encosta “suavemente” no eixo x, sem for-
mar um “bico” (isso será feito na Ativi-
dade 2).
Reunindo tais informações, temos o gráfi-
co esboçado a seguir. A curva correspondente 
é uma parábola. 
y
x
x
x 1
1
0
y = x2
y =
 x
x2
Partindo do gráfico de f(x) = x2, é fácil 
cons truir o gráfico de f(x) = ax2, com a ≠ 0:
Para tanto, a cada valor de x, devemos fa-
zer corresponder o produto ax2, que é maior 
de que x2, quando a > 1, e é menor do que x2, 
quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam 
tanto mais “fechadas” quanto maior o valor 
de a; tanto mais “abertas” quanto menor (mais 
próximo de zero) encontra-se o valor de a. 
Alguns gráficos desse tipo são representados 
a seguir:
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 29 4/8/09 3:54:48 PM
30
De maneira análoga, para os valores ne-
gativos de a, os gráficos mantêm a mesma 
Resumindo, então, vemos que quanto 
maior o valor absoluto do coeficiente a, mais 
“fechada” éa parábola; quanto menor o va-
lor absoluto de a, mais “aberta” ela é. O sinal 
de a indica se a concavidade (a abertura) da 
parábola está voltada para cima (a > 0), ou 
para baixo (a < 0).
forma, mas os valores de y tornam-se nega-
tivos. Observe a figura a seguir:
y
x
y = 0,3x2 y = 0,7x2 y = x2 y = 5x2 y = 3x2
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
– 2
– 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 3 4 5 6 7 8 91
y
x
6
4
2
0
– 2
– 4
– 6
– 8
– 10
– 11
– 12
– 14
– 16
– 18
– 20
– 22
– 24
– 9 – 8
 y = – 0,5x2 y = – x2 
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 3 4 5 6 7 8 91
y = – 5x2 
y = – 3x2
y = – 0,1x2 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 30 4/8/09 1:52:29 PM
31
Matemática - 1a série - Volume 2
Algumas atividades, para a exploração do 
que até aqui foi estudado, serão apresentadas 
a seguir.
Atividade 1
Construa em um mesmo plano cartesiano 
os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = x2 b) f(x) = 2x2 
c) f(x) = 10x2 d) f(x) = 
1
10 
x2
e) f(x) = –x2 f) f(x) = –2x2
g) f(x) = –10x2 h) f(x) = – 
1
10 
x2
Procure esboçar os gráficos comparando-os 
com os outros, sem necessariamente recorrer a 
tabelas com valores de x e de y; em vez disso, 
leve em consideração os valores relativos dos 
coeficientes de x2.
a), b), c), d)
e), f), g), h)
-4
-4
1
1-2
-2
3
3-3
-3
2
2-1
-1
4
y
x
4
y = x2
y = 2x2
y = 10x2
y = 1
10
 x2
-4
-4
1
1-2
-2
3
3-3
-3
2
2-1
-1
4
y
y = – x2
y = – 2x2
y = – 10x2
y = – 1
10
 x2
x
4
– 9
y
a > 0
a < 0
x
– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 3 4 5 6 7 8 91
16
14
12
10
8
6
4
2
0
– 2
– 4
– 6
– 8
– 10
– 12
– 14
– 16
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 31 4/8/09 1:52:29 PM
32
y
x
O
f(x) = x2
Se o professor se interessar pela explicação 
desse fato, basta acompanhar a solução da 
Atividade 2, apresentada a seguir. 
Atividade 2
Mostre que a curva que é o gráfico de 
f(x) = x2 não tem um “bico” na origem do 
sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia 
o eixo x.
Afirmar que o gráfico apresentaria um “bico” 
na origem significaria dizer que existe uma 
reta inclinada em relação ao eixo dos x tal 
que o gráfico de f(x) = x2 estaria situado 
acima de tal reta para todos os valores de x, 
mesmo os mais próximos de 0, conforme 
podemos verificar na figura a seguir.
y
xO
f(x) = x2
y = mx
Tal reta tangente seria o gráfico de uma 
função do tipo y = mx, m > 0.
observação: uma sutileza sobre o gráfico 
de f(x) = x2
Para construir o gráfico de f(x) = x2, nota-
mos que:
1º-) x2 ≥ 0 para todo número real x, ou seja, 
o gráfico situa-se acima do eixo x ;
2º-) f(x) = f(–x) para todo real x, ou seja, 
o gráfico é simétrico em relação ao 
eixo y;
3º-) como x2 ≤ x para valores de x no inter-
valo de 0 a 1, então o gráfico de f(x) = x2 
situa-se abaixo do gráfico de y = x no 
intervalo entre 0 e 1;
4º-) como x2 > x para x > 1, o gráfico de 
f(x) = x2 situa-se acima do gráfico 
de y = x para x > 1.
Seguindo todas as conclusões anteriores, o 
gráfico poderia ser como o indicado a seguir, 
tendo um “bico” na origem:
y
x
O
f(x) = x2
Ocorre, no entanto, que o gráfico de f(x) = x2 
não tem “bico” na origem, encostando suave-
mente no eixo x. 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 32 4/8/09 1:52:29 PM
33
Matemática - 1a série - Volume 2
Teríamos, então: x2 ≥ mx para todo x ≥ 0.
Ocorre, no entanto, que, se x2 ≥ mx, então 
x2 – mx ≥ 0, ou seja, x .(x – m) ≥ 0 para 
todo x.
Mas notamos que para valores de x entre 0 
e m, os valores do produto x .(x – m) são 
negativos, ou seja, x2 < mx, o que significa 
dizer que o gráfico de f(x) = x2 situa-se 
abaixo do gráfico de y = mx. 
Em outras palavras, para cada valor de 
m > 0, por menor que seja, o gráfico 
de f(x) = x2 situa-se abaixo do gráfico de 
y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por 
exemplo, mesmo que consideremos a reta 
y = 0,001x, para valores de x entre 0 e 0,001 
o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo dessa 
reta. Concluímos, então, que não existe reta 
y = mx tal que, para todo x, o gráfico de 
f(x) = x2 situe-se acima da reta; e é exata-
mente isso que significa dizer que o gráfico 
não tem um “bico” na origem.
x2 < mx, ou seja, x2 – mx < 0 para x entre 
0 e m
deslocamentos verticais: a função 
f(x) = ax2 + v
Quando a proporcionalidade entre y e x2 
ocorre a partir de um valor inicial v, então 
y – v = kx2, ou seja, y = kx2 + v. 
Em casos como esse, o gráfico de f(x) = kx2 + v 
continua a ser uma parábola, mas seus pon-
tos são deslocados, em relação ao conhecido 
gráfico de y = k.x2, na direção do eixo y de um 
valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo, se 
v < 0.
y
x
m
O
f(x) = x2
y = mx
f(x) = kx2 + v
y = kx2
x
y
v
v
0
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 33 4/8/09 1:52:30 PM
34
Uma situação como essa ocorre, por 
exemplo, quando calculamos a distância d 
de uma pedra abandonada a certa altura h 
até o solo:
Neste caso temos, então, d = h – 4,9t2, 
ou seja, h – d = 4,9t2. Podemos obser-
var, a seguir, alguns gráficos de funções 
desse tipo.
Atividade 3
Construa os gráficos das seguintes fun-
ções e indique as coordenadas do vértice em 
cada caso. 
a) f(x) = x2 + 1 b) f(x) = x2 + 3
c) f(x) = x2 – 1 d) f(x) = x2 – 3
e) f(x) = –2x2 + 1 f) f(x) = –3x2 – 5
g) f(x) = – 0,5x2 + 7
4,9t2
d = h – 4,9t2
h
y
x
y = 3x2 + 7
y = 3x2 – 5
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
0–1 1 2 3 4–2–3–4
y = 3x2
y = –3x2 + 5
y = –3x2 – 4
35
Matemática - 1a série - Volume 2
a) vértice: (0; 1) b) vértice: (0; 3) c) vértice: (0; –1) d) vértice: (0; –3)
e) vértice: (0; 1) f) vértice: (0; –5) g) vértice: (0; 7)
deslocamentos horizontais: a função 
f(x) = a(x – h)2
Outra proporcionalidade direta entre 
uma grandeza e o quadrado de outra ocorre 
quando temos y diretamente proporcional 
não a x2, mas a (x – h)2: nesse caso, temos 
y = k(x – h)2, e o gráfico correspondente é 
análogo ao de y = kx2, deslocado horizon-
talmente de h unidades, para a direita, se 
h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.
y
x
– 4 – 3 – 2 – 1 2 3 41
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
y = x2 + 1
y = x2 + 3
y = x2 – 1
y = x2 – 3
y
x
– 1 1 2 3 4 5 6 7 8– 2– 3– 4– 5
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 35 4/8/09 1:52:30 PM
36
Um exemplo de uma situação análoga à 
sugerida acima ocorre quando a grandeza y 
é diretamente proporcional ao quadrado da 
variação no valor de x a partir de certo va-
lor inicial h. Por exemplo, sendo E a energia 
elástica armazenada em uma mola disten dida 
de x unidades a partir de seu comprimento 
normal, então E = k.x2. Naturalmente, se 
x = 0, então E = 0. Entretanto, se a escala para 
medir o quanto a mola está distendida é tal 
que temos E = 0 para x = h, então quando a 
mola estiver distendida de (x – h), sua energia 
E será tal que E = k(x – h)2.
y
x
– 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
0
y = (x + 3)2
E
E
0
0
h
x
x
E = 0 E = k(x – h)2
E = 0 E = kx2
0 h
0
x
x
y = x2 y = (x – 3)2
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 36 4/8/09 1:52:30 PM
37
Matemática - 1a série - Volume 2
Atividade 4
Construa em um mesmo plano cartesiano 
os gráficos das seguintes funções e indique as 
coordenadas do vértice de cada uma delas.a) f(x) = (x + 1)2 b) f(x) = (x + 3)2
c) f(x) = (x – 1)2 d) f(x) = (x – 3)2
e) f(x) = – (x – 5)2 f) f(x) = –2(x + 3)2
g) f(x) = –3(x – 1)2
-4
-4
1-2
-2
3-3
-3
2-1
-1
y
4
1
3
2
4
x
y = (x+1)2
y = (x+3)2
y = (x–1)2
y = (x–3)2
a) vértice: (–1; 0) c) vértice: (1; 0)
b) vértice: (–3; 0) d) vértice: (3; 0)
deslocamentos verticais e/ou horizontais: 
a função f(x) = a(x – h)2 + v
No caso mais geral possível, podemos 
ter a variação nos valores de uma grande-
za y, a partir de certo valor v, diretamen-
te proporcional ao quadrado da variação 
nos valores de x, a partir de certo 
valor h: em outras palavras, y – v = k(x – h)2. 
Uma função deste tipo é tal que 
f(x) = k(x – h)2 + v, e tem como gráfico também 
uma parábola, deslocada horizontalmente 
de um valor h em relação à parábola 
y = kx2 e deslocada verticalmente de um 
e) vértice: (5; 0) f) vértice: (–3; 0) g) vértice: (1; 0)
y
x
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 37 4/8/09 1:52:30 PM
38
valor v em relação à parábola y = k(x – h)2. 
O vértice da parábola é o ponto de 
Alguns exemplos de gráficos de funções desse tipo são apresentados a seguir.
Atividade 5
Construa os gráficos das seguintes funções 
e indique as coordenadas do vértice de cada 
uma delas:
a) f(x) = (x + 1)2 + 1 b) f(x) = – (x + 3)2 – 1
c) f(x) = –(x – 1)2 – 1 d) f(x) = (x – 3)2 + 2 
x
y
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
0
y = 3x2 – 7
y = –3 (x + 1)2 + 9
y = –3 x2 + 7
y = –5 (x – 6)2 + 3
y = –5 (x – 3)2 – 8
y = 5(x – 3)2 + 8
coordenadas (h; v). O gráfico a seguir tra-
duz o que anteriormente se afirmou.
x
y
f(x) = k(x – h)2 + v
f(x) = kx2 f(x) = k(x – h)2
h0
v
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 38 4/8/09 1:52:31 PM
39
Matemática - 1a série - Volume 2
a) vértice: (–1; 1) b) vértice: (–3; –1) 
c) vértice: (1; –1) d) vértice; (3; 2)
Atividade 6
Determine as coordenadas do vértice dos 
gráficos das seguintes funções e verifique se 
a função assume um valor máximo ou um 
valor mínimo.
a) f(x) = (x + 3)2 – 
1
2
coordenadas do vértice: ∙–3; – 12 ∙
ponto de mínimo : x = –3 
mínimo valor da função: (–3) = – 
1
2
b) f(x) = –(x – 2)2 – 
5
2
coordenadas do vértice: ∙2; – 52 ∙
ponto de máximo: x = 2 
máximo valor da função: – 
5
2
-4 1-2 3-3 2-1
y
x
4
1
3
2
4
-4
-2
-3
-1
y = (x+1)2+1
y = – (x+3)2 –1
y = – (x–1)2 –1
y = (x–3)2+2
c) f(x) = (x – 1)2 + 2
coordenadas do vértice: (1; 2)
ponto de mínimo: 1
mínimo valor da função: 2
d) f(x) = ∙x – 12 ∙
2
 – 
3
4
coordenadas do vértice: ∙ 12 ; – 
3
4 ∙ 
ponto de mínimo: 
1
2
mínimo valor da função: – 
3
4
e) f(x) = (x – 4)2 
coordenadas do vértice: (4; 0)
ponto de mínimo: 4 
mínimo valor da função: 0
f) f(x) = –x2 + 2
coordenadas do vértice: (0; 2) 
ponto de máximo: 0
máximo valor da função: 2
Forma geral de uma função de 2º- grau: 
f(x) = ax2 + bx + c
De modo geral, uma função tal que 
f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c constantes, 
sendo a ≠ 0, sempre expressa uma situação 
de interdependência em que uma grandeza 
é diretamente proporcional ao quadrado de 
outra, ou seja, sempre podemos escrever o 
trinômio de 2º- grau ax² + bx + c na forma 
a(x – h)² + v.
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 39 4/8/09 1:52:31 PM
40
De fato, se o trinômio ax² + bx + c for um 
quadrado perfeito, então podemos escrever 
ax² + bx + c = a(x – h)², e facilmente encon-
tramos o valor de h, explicitando o quadrado 
do primeiro membro.
Alguns exemplos são apresentados a seguir:
x f 2 – 6x + 9 = (x – 3)2
x f 2 + 8x + 16 = (x + 4)2
x f 2 + 7x + 49
4
 = ∙x + 72 ∙
2
5x f 2 + 30x + 45 = 5(x2 + 6x + 9) = 5(x + 3)2
Se o trinômio ax² + bx + c não for um 
quadrado perfeito, então ele será maior do 
que um quadrado perfeito, ou menor do que 
um quadrado perfeito; significa dizer que 
ax² + bx + c = a(x – h)² + v, sendo v um nú-
mero positivo ou negativo, dependendo de o 
trinômio ser maior ou menor do que um qua-
drado perfeito. 
Assim, sempre será possível escrever 
f(x) = ax² + bx + c na forma a(x – h)² + v, 
o que é equivalente a afirmar que todo trinô-
mio de 2º- grau pode ser interpretado como a 
expressão da proporcionalidade direta entre 
y – v e o quadrado de (x – h), para determi-
nados valores de h e v. Encontrar os valores de 
h e v é encontrar as coordenadas do vértice da 
parábola que é o gráfico de f(x).
Simetria do gráfico de f(x) = ax2 + bx + c
A parábola que é o gráfico da função 
de 2º- grau é uma curva que possui um 
eixo de simetria vertical. Isso significa que 
pon tos de mesma ordenada possuem abscissas 
equidistantes a esse eixo. Se o eixo de simetria for 
o próprio eixo y, então para cada valor de y cor-
respondem dois valores de x com sinais opostos: 
(a, y) e (–a, y). Se o eixo de simetria estiver 
deslocado horizontalmente de h unidades, en-
tão os pontos equidistantes terão coordenadas 
(a + h; y) e (–a + h; y). As figuras a seguir ilus-
tram o que se afirmou:
Eixo de simetria
x = 0
– a a x
y
0
Eixo de simetria
x = h
– a + h a + hh x
y
0
O vértice da parábola situa-se no eixo de 
simetria. Se as raízes de f(x) = 0 forem conhe-
cidas, a abscissa do vértice será o ponto mé-
dio do segmento determinado pelas raízes; se 
a equação f(x) = 0 tiver apenas uma raiz real, 
a abscissa do vértice será a própria raiz. 
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 40 4/8/09 1:52:31 PM
41
Matemática - 1a série - Volume 2
f(x) = ax2 + bx + c
0
yv
c
xv x
y
–b
a
Mesmo no caso de a equação de 2º- grau 
f(x) = 0 não ter raízes, podemos determinar o 
vértice da parábola da seguinte maneira:
sabemos que f(0) = c; f
sabemos que existe outro valor de f x para 
o qual a função também assume o valor c; 
f(x) = c para ax2 + bx + c = c;
logo, f(x) = c para ax f 2 + bx = 0, ou seja, 
para x = 0 ou x = 
–b
a
a abscissa do f xv do vértice é, pois, igual à 
média entre os valores 0 e 
–b
a
, ou seja, 
xv = 
0 + ∙–ba ∙
2
 = –b
2a 
;
para obtermos o valor da ordena- f
da yv do vértice, calculamos o valor de 
f(xv): yv = f(xv).
Nas atividades seguintes, os fatos anterior-
mente referidos serão explorados. 
Atividade 7
Sabemos que o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c, 
a ≠ 0, é uma parábola. A reta vertical que 
passa pelo vértice da parábola é seu eixo de 
simetria. Observe, por exemplo, os gráficos 
seguintes das funções: 
(i) f(x) = x2 – 4 
Eixo de simetria 
em x = 0
0
1
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
5
2 3–1–2–3 x
y
(ii) f(x) = x2 + 2x = (x+1)2 – 1
Eixo de simetria 
em x = –1
0
1
1
–1
–2
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4–1–2–3– 4 x
y
MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 41 4/8/09 1:52:31 PM
42
a) Na função (I), quando x = 1 qual é o valor 
correspondente de y?
No gráfico (I), para x = 1, temos 
y = f(1) = – 3
b) Na função (II), quando x = 3, qual é o va-
lor correspondente de y?
No gráfico (II), para x = 3, 
temos y = f(3) = 15
c) Complete a tabela com o valor correspondente de x ou de y.
Função 
I
x 2 –2 4 –5
y 12 21
Função 
II
x –3 1 6 –5
y 16 27
Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os seguintes valores:
Função 1
y = x2 – 4
x 2 –2 4 –4 ou 4 –5 5 ou –5
y 0 0 12 12 21 21
Função 2
y = x2 + 2x
x –3 1 6 – 1 ± ∙∙∙17 –5 – 1 ± 2∙∙∙7
y 3 3 48 16 15 27
Vale a pena comentar com os alunos os resultados