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caderno do PROFESSOR 2a SÉRIE m at Em át Ic a ensino médio volume 4 - 2009 Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi- dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-441-4 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51 S239c Caras professoras e caros professores, Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5a- a 8a- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendi- zagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elabo- ração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos. Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado 5 Ficha do Caderno 7 Orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 11 Situação de Aprendizagem 1 – Prismas: uma forma de ocupar o espaço 11 Situação de Aprendizagem 2 – Cilindros: uma mudança de base 21 Situação de Aprendizagem 3 – O movimento de ascensão: pirâmides e cones 32 Situação de Aprendizagem 4 – Esfera: conhecendo a forma do mundo 42 Orientações para Recuperação 54 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 54 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 56 SUMáRiO 5 SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA CURRiCUlAR PARA O EStAdO Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documen- tos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiarseus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos pro- fessores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favore- cer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhe- cimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola 6 7 FiChA dO CAdERnO Geometria: linguagem, formas, medidas e representações do espaço nome da disciplina: Matemática área: Matemática Etapa da educação básica: Ensino Médio Série: 2a Volume: 4 temas e conteúdos: Prismas Cilindros Pirâmides e cones Esfera 8 ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o con- teúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usual- mente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inova- ções pretendidas referem-se à forma de abor- dagem desses materiais, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacan- do-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especial- mente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões apro- ximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do conteúdo. A critério do professor, em cada situação especí- fica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contem- plar todas as oito unidades, uma vez que, jun- tas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. In- sistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode deter- minar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o profes- sor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interes- se e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a for- ma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Cader- no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro- posta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas con- siderações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispen- sável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre. 9 Matemática – 2a série – Volume 4 Conteúdos básicos do bimestre Andamos, brincamos, pensamos e vivemos no espaço. Olhamos para todos os lados e ob- servamos diferentes formatos espaciais. Emba- lagens, monumentos, brinquedos e dados de jogos de tabuleiro são alguns exemplos disso. No 4o bimestre da 2a série, o foco da aprendi- zagem é a geometria espacial métrica. Nela, algumas das formas mais comuns presentes na natureza e na produção humana são estudadas. Para isso, é necessário que sejam relembradas as propriedades fundamentais das figuras pla- nas, afinal são elas que compõem as bases, as faces e as seções das figuras espaciais. Embora a linguagem geométrica perpasse por vários conteúdos do Ensino Médio, neste bimestre ela ganha evidência e tratamento especial. Sa- bemos que uma das dificuldades que os alunos enfrentam no estudo da geometria espacial é a representação e a interpretação de figuras tri- dimensionais desenhadas no plano. Neste sen- tido, propomos, no início de cada Situação de Aprendizagem, atividades de manipulação e exploração dos sólidos geométricos. Algumas relações métricas são construídas em meio à solução de problemas que julgamos exempla- res. O professor pode combinar esses exercícios com aqueles que já fazem parte de sua expe- riência no ensino desse tema. Reconhecemos que o prisma e alguns de seus fatos fundamentais já são conhecidos pelos alunos, pois já foi tema de estudos no Ensino Fundamental. O que pretendemos é consolidar esse conhecimento e elaborar um raciocínio que seja aplicado e ampliado à me- dida que avançamos no estudo dos outros só- lidos, como o cilindro, a pirâmide e o cone. Nas Situações de Aprendizagem, buscamos situações-problema que, de forma crescente, combinassem vários conceitos matemáticos, sendo, em alguns casos, apresentados projetos e propostas interdisciplinares. Para a organização do trabalho neste bi- mestre, propomos a seguinte estrutura: Situação de Aprendizagem 1 f – “Prismas: uma forma de ocupar o espaço”. São apre- sentados a conceituação de prisma, suas relações métricas e o cálculo de seu volume. Aqui iniciaremos a abordagem das figu- ras espaciais. Serão desenvolvidas as duas primeiras unidades. Caso perceba que os alunos apresentam um conhecimento apropriado sobre o tema, o professor pode abreviar o tempo previsto. Situação de Aprendizagem 2 – f “Cilindros: uma mudança de base”. Equivale à tercei- ra unidade, em que exploramos o formato e as relações no cilindro. Aqui, embora ex- ploremos uma analogia em relação ao pris- ma, apresentamos o conceito de sólido de revolução, que, depois, é aplicado no cone e na esfera. Nas atividades, tratamos do con- texto que permite explorar outros conhe- cimentos matemáticos, como a construção de gráficos de função linear e trigonomé- trica. Propomos algumas possibilidades de realização de um trabalho interdisciplinar. Situação de Aprendizagem 3 f – “O movimen- to de ascensão: pirâmides e cones”. São desenvolvidas a quarta e a quinta unidade. Primeiro, estudamos as pirâmides. Apare- ce uma nova qualidade em um sólido: ele 10 “afunila”. Dessa forma, agrupamos o estu- do das pirâmides e dos cones. Com as pirâ- mides, as relações métricas tornam-se mais complexas, exigindo uma boa visualização da situação-problema. Em seguida, o sóli- do estudado é o cone. Aqui, ganha signi- ficado o estudo de setores circulares que podem ser determinados com a aplicação da proporcionalidade. Situação de Aprendizagem 4 f – “Esfera: co- nhecendo a forma do nosso mundo”. Para finalizar o bimestre, estudamos as esferas, com as três últimasunidades. Apresenta- mos algumas situações motivadoras, como o trabalho com fusos horários e com as coordenadas geográficas, que pode ser uma oportunidade de trabalho interdisciplinar com a Geografia. Unidade 1 – Noções e fatos fundamentais dos prismas – relações métricas, diagonais e planificação. Unidade 2 – Superfície e volume de prismas – Princípio de Cavalieri. Unidade 3 – Cilindro: identificação e conceituação. Sólidos de revolução. Volume do cilindro. Unidade 4 – Pirâmides: o movimento de elevação – conceituação e relações métricas. Unidade 5 – Cones: setores circulares preenchendo o espaço – superfície e volume. Unidade 6 – Estudo da esfera. Unidade 7 – A Terra como objeto de estudo. Fusos horários, coordenadas geográficas: latitude e longitude. Unidade 8 – Volume e superfície de uma esfera. Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 2a série do Ensino Médio 11 Matemática – 2a série – Volume 4 SitUAçõES dE APREndizAGEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: prismas; identificação, noções e fatos essenciais; relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; relacionar elementos geométri- cos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; síntezar e generalizar fatos obtidos de forma concreta. Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; identificação dos seus elementos essenciais e suas relações métricas; leitura e interpretação de enunciados e dados; representação plana e planificação de prismas; resolução de situações-problema; trabalhos em grupo. Recursos: uso de materiais concretos, como embalagens e sólidos construídos a partir de sua planificação. Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 1 O trabalho com a geometria métrica, neste Caderno, começa com o estudo sobre prismas. O conceito de prisma e alguns fatos a ele re- lacionados já devem ser de conhecimento dos alunos. Caso isso não ocorra, esta Situação de Aprendizagem é oportuna e precisa ser desen- volvida com um tempo maior. Assim, devem-se trabalhar a identificação da forma de um pris- ma, a representação no plano, o reconhecimen- to de seus elementos (vértices, faces e arestas) e a construção de sua planificação. O objetivo desta Situação de Aprendizagem é consolidar esses conhecimentos, sistemati- zá-los e torná-los referência para a construção dos outros sólidos que serão estudados, como o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera. O prisma é um sólido geométrico muito presente no nosso dia a dia. A maioria das embalagens e dos objetos que utilizamos pos- sui essa forma. Propomos que o professor apresente aos alunos uma série desses objetos (caixa de fósforos, embalagens de pizza, caixas de sapatos e de perfumes, entre outras) e que discuta alguns fatos como: as bases dos prismas são polígonos de mes- f ma forma e tamanho e suas faces laterais são paralelogramos; o nome do prisma é dado pela forma de f sua base, podendo ser triangular, quadran- gular, hexagonal, etc; 12 se a aresta lateral for perpendicular às bases, f o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo; o paralelepípedo é um prisma cujas bases f são paralelogramos; se todas as faces do paralelepípedo são re- f tângulos, ele é chamado de paralelepípedo retângulo; um prisma reto cuja base é um polígono f regular chama-se prisma regular; se o prisma tiver todas as faces quadra- f das, ele é um cubo, também chamado de hexaedro regular (do grego hexa – seis e hedros – apoiar-se, faces). A seguir, propomos algumas atividades que podem ser combinadas àquelas que o professor costuma utilizar ao abordar este tema. O obje- tivo, na proposição destas situações-problema, é explorar o cálculo de áreas e relações métricas nos prismas em contextos que exijam análises e tomada de decisões. É importante que o pro- fessor fique atento às dificuldades dos alunos quanto à visualização e à representação plana dos prismas. Sugere-se que, diante delas, o pro- fessor proponha o uso de malhas quadricula- das para as representações. Atividade 1 Para o empacotamento de presentes, uma loja dispõe de dois tipos de embalagem de pa- pelão: uma no formato de um paralelepípedo oblíquo (Figura A), outra no de um parale- lepípedo reto-retângulo (Figura B). Conside- rando os valores indicados nas figuras a seguir, calcule qual das duas formas geométricas exi- girá menos papelão para ser confeccionada. 6 cm 6 cm 12 cm 120º Figura A Figura B6 cm 6 cm 12 cm Ao observar os dados da atividade, uma pri- meira impressão pode sugerir que a área total seja a mesma, pois o paralelepípedo oblíquo poderia ser obtido pela inclinação do paralelepípedo reto. Contudo, na prática, isso não se verifica, pois a face frontal e a de fundo da Figura B (quadrados), uma vez fe- chada a caixa, não permitem tal movimento por fixarem o ângulo reto. Após essa discussão, pode-se destacar que os dois prismas possuem bases iguais e duas fa- ces laterais iguais, sendo suas diferenças da- das pelas faces frontal e de fundo (losango 13 Matemática – 2a série – Volume 4 e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o menor consumo de papelão pode recair somen- te sobre o cálculo da área do quadrado e do losango. Caso os alunos saibam que entre os paralelogramos de mesmo perímetro, o qua- drado é o que determina a maior área, a solu- ção fica possível sem a realização de cálculos. Agora apresentamos a resolução do proble- ma efetuando todos os cálculos: H 120º 60º 6 cm Figura A Para a área do losango, vamos interpretá-lo como um paralelogramo. A altura corres- pondente à base será: sen 60° = H ___ 6 H = 3 ® __ 3 ≅ 5,2 cm. Como o prisma oblíquo é formado por dois losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e qua- tro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm: Atotal = 2 . 6 . 5,2 + 4 . 12 . 6 = 62,4 + 288, logo, Atotal ≅ 350,4 cm2. Figura B O prisma é formado por quatro retângulos de 6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm. Atotal = 2 . 6 . 6 + 4 . 12 . 6 = 72 + 288, logo Atotal = 360 cm 2. Segundo os dados do problema, o formato do paralelepípedo oblíquo representa uma eco- nomia de, aproximadamente, 3% em relação ao paralelepípedo reto. Vale ainda observar que nessa atividade não apareceu a discussão sobre a capacidade de cada caixa. Esse tema será abordado mais à frente, quando tratarmos de volume de prismas. Atividade 2 Uma caixa de lápis tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura. Qual a medida do maior lápis que você pode guardar nessa caixa sem que a pon- ta fique para fora da borda? A figura a seguir ilustra a situação e as pos- síveis triangulações. D 12 3 4 d Observamos que o cálculo do tamanho do lápis está associado ao cálculo das diagonais da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Diagonal da base: d 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5. Diagonal do prisma: D2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13, portanto, o maior lápis deve ter 13 cm de comprimento. 14 O professor também pode discutir com os alunos uma solução prática para este proble- ma: sobre o tampo de uma mesa, posicione a caixa, registrando, com lápis, a superfície da base e a posição do vértice A. Faça uma translação da caixa, deslocando-a em uma me- dida igual à aresta da base, como mostra a figura abaixo, e, com o auxílio de uma régua, meça a distância AE. E C BA D E C BA Se julgar oportuno, generalizea situação-pro- blema proposta e desenvolva, com a turma, as ex- pressões gerais que relacionam a diagonal de um prisma reto-retangular com suas dimensões. Para isso, basta considerar uma caixa de dimensões da base a e b e altura h e proceder como propo- mos a seguir: d2 = a2 + b2. Diagonal do prisma: D2 = d2 + h2 D2 = a2 + b2 + h2 ⇒ D = ® __________ a2 + b2 + h2 D h b a d Diante dessa expressão, o professor pode ain- da levar a turma a investigar o que aconteceria se o formato da caixa de lápis fosse um cubo. Neste caso, teríamos: a = b = h ⇒ d 2 = a 2 + a 2 = d = a ® __ 2 . D = ® _______ 2a2 + a2 = ® ____ 3a 2 ⇒ D = a ® __ 3 . Atividade 3 Com base na atividade anterior, investigue a mesma situação para um porta-lápis nos se- guintes formatos: a) prisma regular triangular de aresta da base 12 cm e altura 16 cm. No caso do prisma regular triangular, o lápis terá o tamanho da diagonal da face lateral. É interessante observar que esse prisma não tem diagonal. L2 = 162 + 122, L2 = 400, logo L = 20. O maior lápis terá 20 cm. 15 Matemática – 2a série – Volume 4 b) prisma regular hexagonal, com aresta de base 6 cm e altura 8 cm. O prisma regular hexagonal é particular- mente interessante porque possui duas me- didas de diagonais, cada uma relativa às medidas das diagonais da base. L2 L1 Cálculo de L1 (diagonal menor): O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retân- gulo que tem como catetos a diagonal me- nor da base e a aresta lateral. A diagonal menor da base equivale a duas alturas de um triângulo equilátero de lado igual ao do hexá- gono regular. Portanto, d = 6 ® __ 3 cm, uma vez que a altura de um triângulo equilátero pode ser calculada por: d = l ® __ 3 ____ 2 . Portanto, L1 2 = (6 ® __ 3 )2 + 82 L1 2 = 172 → L1 ≈ 13,11 cm. Cálculo de L2 (diagonal maior): O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo re- tângulo que tem como catetos a diagonal maior da base e a aresta lateral. A diago nal maior da base equivale ao dobro da medida do lado do hexágono regular. Portanto, D = 12. Portanto, L2 2 =122 + 82, logo L2 ≈ 14,42 cm. O maior lápis terá, então, aproximadamente, 14,42 cm. Geralmente, a planificação de prismas está associada a problemas que envolvem cálculos de superfícies totais. A atividade proposta a seguir exige a planificação como meio de che- gar à solução do problema, visualizando o menor itinerário feito pela formiga. Atividade 4 A luminária de uma lanchonete tem a forma de um cubo. Contudo, ela só possui faces laterais. As bases foram subtraídas para ilumi- nar melhor o ambiente. Uma mosca e uma for- miga estão sobre um mesmo vértice do cubo, como indicado na figura pelas letras M (mosca) e F (formiga). No vértice oposto da outra base, está uma gota de mel, que interessa a ambos os insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e poder voar. A formiga só pode andar pela su- perfície e pelas arestas da luminária. Gota de mel FM Indique qual o menor percurso que cada inseto deve fazer para alcançar a gota de mel. Admitindo que a aresta da base da luminária meça 3 dm, qual é o tamanho do percurso fei- to por cada inseto? 16 A mosca, voando, percorre a diagonal do cubo. Assim, seu caminho medirá: Mosca M = ® ___________ 32 + 32 + 32 M = 3 ® __ 3 ≅ 5,19 dm No caso da formiga, temos de estudar algumas possibilidades. Uma delas é imaginar que ela percorre uma diagonal da face e depois uma aresta do cubo. Esquematicamente, temos: Nesse itinerário, a formiga percorre: F = 3 ® __ 2 + 3 F ≅ 7,24 dm Formiga Contudo, planificando-se a figura, encontra- mos outra situação, melhor que a primeira: d mel 3 cm F 6 cm Calculando-se o comprimento d teremos: Formiga d 2 = 9 + 36 d 2 = 45 d = 3 ® __ 5 ≅ 6,71 dm Portanto, a formiga chegou depois. O menor caminho para ela chegar ao pingo de mel é passando pelo ponto médio de uma aresta. O volume do prisma e o Princípio de Cavalieri O desenvolvimento das embalagens de pro- dutos tornou-se um tema relevante nos dias de hoje, particularmente quando o assunto é pre- servação do meio ambiente. Além do tipo de material com que são fabricadas, elas devem ser bem dimensionadas, isto é, devem ter a melhor relação entre o volume interno e a quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, o espaço vazio entre elas seja o menor possível. Na natureza, encon- tramos uma situação similar: a construção dos alvéolos das abelhas. Observando-se a forma prismática dos alvéolos, percebe-se que eles respeitam uma exigência: a de permitir que, com uma mes- ma quantidade de cera, se construa um reci- piente com maior volume para acondicionar o mel. O fato de as paredes dos alvéolos se- rem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e he- xágonos regulares. Como a nossa situação é espacial, podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base trian- gular, quadrangular e hexagonal. O mote para a entrada na discussão so- bre o volume dos prismas é saber qual deles 17 Matemática – 2a série – Volume 4 comporta o maior volume, supondo que te- nham a mesma área lateral. Essa investigação exige que se aborde o cál- culo do volume dos prismas. É isso que propo- mos agora. De maneira geral, a abordagem inicial sobre volume de prismas é aquela em que se toma um paralelepípedo reto e se determina quantos cubinhos de aresta de uma unidade de comprimento cabem no sólido. Cálculo do volume do prisma pela decomposição e contagem de cubinhos Com isso, conclui-se que a quantidade de cubinhos no paralelepípedo reto é igual ao produto da área da base (Abase), que cor- responde à quantidade de cubos apoiados na base, pela altura (H), que corresponde à quantidade de camadas de cubos que preen- chem completamente o sólido. Dessa forma, temos que o volume do pa- ralelepípedo é: V = Abase . H Embora a generalização para o cálculo do volume de qualquer prisma possa ser uma passagem simples para os alunos, ob- servamos a importância de, neste momen- to, apresentarmos e aplicarmos o Princípio de Cavalieri. O objetivo é a caracterização dos prismas como uma sobreposição de placas idênticas, o que será também explo- rado nos cilindros e na comparação entre o volume de diferentes sólidos. Para iniciar a discussão, o professor pode comentar com os alunos que na Geome- tria é mais simples calcular o comprimento de uma linha reta do que obter o compri- mento de uma curva. Da mesma forma, é mais fácil calcular a área de um polígono con- vexo do que obter a área de uma região não poligonal, ou calcular o volume de um para- lelepípedo do que de um sólido geométrico com outro formato. A busca de métodos gene ralizados para se calcular volumes levou matemáticos, como o geômetra italiano Fran- cesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a imaginarem os sólidos como se fossem for- mados por camadas infinitamente finas (os indivisíveis). 18 Para Cavalieri, seguindo uma linha de raciocínio análoga à de Arquimedes, Gali- leu e Kepler, a linha era formada por pontos sem comprimento, a superfície por infinitas linhas sem largura e os sólidos eram inter- pretados por uma reunião desuperfícies sem profundidade. No seu entendimento, era evidente concebermos as figuras planas como tecidos compostos de fios paralelos e os sólidos como livros, que são pilhas de fo- lhas paralelas. Para apresentar o Princípio de Cavalieri, o professor pode utilizar cartas de bara- lho. Dispondo as cartas, uma a uma, em um formato como na Figura 1, o professor discute que o sólido final foi construído pela sobreposição de figuras planas. Peça, então, aos alunos que levantem hipóteses sobre o modo de calcular o volume do sólido construído. Em meio à discussão, as cartas devem ser arranjadas, deslizando-se uma sobre a outra e formando um paralelepí- pedo oblíquo (Figura 2). A discussão, então, deve ter foco na alteração ou não do volume do sólido. Ocorre que a forma muda, mas não o seu volume, pois o volume do sólido corresponde ao total de cartas, e este não muda quando as cartas deslizam uma sobre as outras. Fica, contudo, ainda a dificul- dade de encontrar a forma de expressão do volume do sólido. Concluída essa etapa, deslizam-se as cartas novamente, criando a forma de um paralelepípedo reto (Figura 3), cuja expressão do volume é conhecida. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Por fim, o professor pode apresentar três montes de cartas com a mesma altura e com os três formatos diferentes e conduzir uma discussão em que se conclui que, de forma ge- ral, tomados dois sólidos com bases de mes- ma área e sobre um mesmo plano, se todas as seções paralelas à base dos dois sólidos têm a mesma área, então, os dois sólidos têm o mesmo volume (Figura 4). Figura 4 19 Matemática – 2a série – Volume 4 Retomando o problema das abelhas Para retomar o problema da relação en- tre volume interno e quantidade de material utilizado, propomos ao professor que siga na investigação sobre os alvéolos das abelhas a partir de uma atividade. A sugestão é que o professor divida a turma em grupos de três alunos. O professor distribui tarefas diferentes para cada grupo: alguns grupos construirão os alvéolos na forma de um prisma triangular regular, outros na forma quadrangular regular e o restante na forma hexagonal regular. Cada grupo trabalhará com duas folhas de papel sulfite. A primeira será utilizada para a cons- trução da lateral do alvéolo. Deve-se apoiar o maior lado dessa folha sobre a mesa. A segun- da folha será utilizada para formar a base do alvéolo; no momento não nos preocupamos como são fechados os alvéolos. Para alcançar a forma desejada, os alunos podem utilizar dobraduras. O aluno deverá considerar que os prismas regulares têm faces laterais retangula- res e, assim, a folha destinada à construção das faces laterais pode ser dobrada para formar retângulos em quantidade correspondente ao número de lados do polígono da base do alvéolo. Terminada essa etapa, os alunos calculam o volume de um alvéolo a partir das medidas aproximadas, obtidas com régua, das arestas da base e da altura. Quando os grupos tiverem concluído a tarefa, o professor pode abrir o debate co- letivo recolhendo os dados dos grupos e comparando-os, de modo a concluir qual dos formatos estudados possui o maior volume. O professor pode aproveitar e comentar com os alunos que a finalidade das abelhas, quando constroem seus alvéolos de cera, é apenas fazer o recipiente para o mel que elas fabricam, e que isso não é produto do pensa- mento, mas de seu instinto. Nessa atividade, as abelhas utilizam-se de importantes fatos natu- rais que o homem elabora de forma consciente na forma de conceitos geométricos. De qual- quer maneira, é interessante perceber que, no instinto animal, podemos identificar soluções para problemas humanos. Essa é, sem dúvida, uma forma instigante de promover a investi- gação científica. Caso o professor julgue interessante, pode explorar o mesmo problema de forma algébri- ca, supondo para a base triangular a medida de aresta x, para a base quadrada y, e para a base hexagonal z. Perímetro do triângulo 3x Perímetro do quadrado 4y Perímetro do hexágono 6z 20 Como o perímetro das bases é o mesmo (que corresponde ao lado maior da folha de papel sul- fite), podemos escrever: 3x = 4y = 6z ⇒ 4y = 3x ⇒ y = 6z = 3x ⇒ z = 3x 4 x 2 Portanto, as arestas da base dos três pris- mas são, respectivamente, x, ,3x 4 x 2 . Os três prismas têm a mesma altura h (lado menor da folha de papel sulfite) e sabendo que o volume do prisma, já estudado anterior- mente, é igual ao produto da área da base pela altura temos: Prisma triangular regular Área da base A = x 2 . ® __ 3 _______ 4 Volume V = x 2 . ® __ 3 _______ 4 . h Prisma quadrangular regular Área da base A = 9x 2 ____ 16 Volume V = 9x 2 ____ 16 . h Prisma hexagonal regular Área da base A = 3x 2 . ® __ 3 ________ 8 Volume V = 3x 2 . ® __ 3 ________ 8 . h Desse modo, tomando o valor aproximado para ® __ 3 = 1,7320, obtemos uma comparação entre os seguintes valores de volumes: Prisma triangular regular 0,4330 . x2 . h Prisma quadrangular regular 0,5625 . x2 . h Prisma hexagonal regular 0,6495 . x2 . h Esses dados nos permitem concluir que, en- tre os três prismas, o que maximiza o volume, com uma justaposição de lados, é o prisma hexagonal regular. O professor pode encontrar outros proble- mas de comparação entre área e volume nos livros didáticos e nos exercícios de vestibular. Vale ressaltar que, com os estudos dos cilin- dros, essa comparação pode ser mais bem explorada, pois a maioria das embalagens apresenta essas duas formas. Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 1, identifi- camos o formato dos prismas, as noções as- sociadas a eles, seus elementos, suas relações métricas, o cálculo de áreas e volumes. Como dissemos anteriormente, a estrutura com que abordamos o prisma será retomada na carac- terização dos outros sólidos que serão discuti- dos ao longo do bimestre. A aprendizagem dos alunos pode ser ava- liada, inicialmente, a partir de situações que envolvam aspectos qualitativos dos prismas, 21 Matemática – 2a série – Volume 4 como identificação da base e da altura e no- menclatura dos prismas, além de suas repre- sentações planas. Em seguida, sugerimos que a avaliação ex- plore a determinação das diagonais, das áreas laterais e totais dos prismas, além do cálculo de seu volume. Uma sugestão é combinar dois prismas de bases diferentes, comparando suas superfícies e volumes. Como os sólidos a serem tratados nas pró- ximas Situações de Aprendizagem resgatam algumas especificidades do trabalho com pris- mas, o professor deve estar atento à capaci- dade do aluno em perceber as semelhanças e as diferenças entre as estruturas estudadas. Desse modo, a avaliação sobre prismas per- manece de forma contínua a cada novo sólido estudado. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASE tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: cilindros: conceituação, relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: estabelecer analogias entre prismas e cilindros; visualizar sólidos formados por rotação; generalizar fatos observados em situações concretas; analisar dados e tomada de decisões. Estratégias: exploração de materiais concretos; exploração de situações que envolvem in- terpretação e análise de dados; resolução de situações-problema contextualizadas; leitura e interpretação de dados. Recursos: materiaisconcretos; situações-problema contextualizadas. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nesta Situação de Aprendizagem, estuda- remos outro tipo de sólido muito frequente no nosso cotidiano: os cilindros. Os cilindros podem ser imaginados como uma generali- zação dos prismas. De fato, podemos ima- ginar um cilindro como se fosse um prisma regular cuja base teve o número de lados su- cessivamente aumentado, aproximando-se de um círculo. A apresentação dos cilindros pode ser feita como a sugerida na apresen- tação dos prismas: recorre-se novamente à identificação desse formato em embalagens e estruturas do cotidiano. Exploradas as analogias entre cilindros e prismas, o professor pode abordar o cilindro como um sólido de revolução, apresentando, assim, uma nova estrutura de formação de sólidos. 22 Em diferentes contextos ao longo das séries do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, trabalhamos dois tipos de movi mentos espe- ciais: a translação e a rotação. Agora, vamos imaginar um tipo especial de movimento: a revolução. O movimento de revolução carac- teriza-se pela fixação de um eixo e pelo movi- mento de rotacão completa da figura em torno deste eixo. Para apresentar o cilindro de revolução, o professor pode recortar um retângulo em um papelão, fixar, com fita adesiva, um bar- bante, passando-o de modo a dividir o re- tângulo em duas regiões, conforme a figura. Fazendo a figura girar em torno do barbante, observa-se que o movimento de revolução do retângulo em torno de um eixo gerou o cilin- dro. Desse modo, dizemos que o cilindro é um sólido de revolução. O mesmo acontece se, em vez de colocarmos o eixo passando pelo meio do retângulo, utilizarmos um de seus lados como eixo. O lado do retângulo recebe o nome de geratriz do cilindro. geratriz do cilindro eixo eixo A exploração dos sólidos gerados por re- volução pode se tornar um pequeno projeto para os alunos. Com o uso de cartolina e pa- litos de churrasco, os alunos podem produzir modelos desses sólidos, identificando a sua geratriz e o eixo de rotação. Como exemplo, apresentamos o seguinte modelo: eixo de rotação sólido de revolução geratriz Das apresentações dos trabalhos, podem surgir discussões, como a da impossibilidade de construir prismas por rotações, ou da pos- sibilidade de se estabelecerem outros eixos de rotação nas figuras. As atividades a seguir têm por objetivo explorar a visualização plana dos sólidos formados por revolução. Atividade 1 Quais dos sólidos a seguir podem ser con- siderados sólidos de revolução? a) d) b) e) c) f) a), c), d) e f). 23 Matemática – 2a série – Volume 4 Atividade 2 (Enem, 1999) – Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resul- tam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão apresentados na co- luna da direita. 1 3 5 2 4 A C E B D A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. O volume do cilindro Uma estrutura atualmente muito comum e significativa para a exploração da ideia do volume do cilindro pode ser encontrada em um porta-CDs. De maneira intuitiva, pode- mos considerar o cilindro como uma figura espacial formada pela sobreposição ou empi- lhamento, em uma mesma direção, de círculos iguais uns sobre os outros. Essa forma de ver pode ser explorada como análoga ao volume dos prismas, concluindo-se que o volume de um cilindro é produto da área da sua base pela altura: V = Ab . h. Aqui também pode ser aplicado o Princí- pio de Cavalieri. Considerando um prisma e © R ob W ilk in so n/ A la m y- O th er im ag es © C on ex ão E di to ri al 24 um cilindro de mesmas áreas de base, apoia- dos sobre um mesmo plano, qualquer plano que passar paralelo à base deve interceptar os dois sólidos, formando duas superfícies, S1 e S2, paralelas às bases do prisma e do cilin- dro, de mesma área. Dessa discussão, o aluno pode concluir que o volume de um cilindro, como no prisma, determina-se pelo produto da área de sua base pela altura. Nesse caso, a base é um círculo, cuja expressão da área será Ab = π . r 2 logo, o volume será dado por: V = π r2 h. S1 S2 α β As atividades a seguir têm por objetivo explorar situações que envolvem áreas e vo- lumes de cilindros, procurando ainda uma combinação entre conteúdos tratados em outros bimestres. Atividade 3 Latas de molho de tomate têm, geralmente, forma cilíndrica. Um consumidor encontrou duas marcas de seu interesse e observou os se- guintes fatos: a embalagem da marca f A possuía o dobro da altura da embalagem da marca b; a embalagem da marca f b possuía o dobro do diâmetro da embalagem da marca A. Sabendo que a primeira custa R$ 2,30 e a segunda R$ 3,40, qual será a compra mais econômica? Marca A 2h 2dd Marca b h O cilindro A tem raio da base igual a f d 2 e altura igual a 2h. Logo, VA = π r 2 . 2h = π ª d __ 2 º 2 2h = π d 2 ___ 4 2h ⇒ ⇒ VA = d 2hπ _____ 2 . O cilindro B tem raio da base igual a f d e altura igual a h. Logo, VB = Ab . h = π d 2h. O volume da marca B tem o dobro do volu- me da marca A. Como o preço da marca A é maior que a metade do preço da mar- ca B, é mais vantajoso comprar a marca B. Atividade 4 Os reservatórios de gasolina dos postos ge- ralmente são tanques no formato de um cilin- dro reto. Para avaliar o volume de combustível que ainda resta no cilindro enterrado no solo, o funcionário do posto utiliza uma 25 Matemática – 2a série – Volume 4 régua, que é colocada verticalmente na boca do tanque até atingir o nível do combustível. Ao retirar a régua do tanque, o funcionário lê a graduação e determina a altura do nível do combustível consumido. Admitindo que o tanque tenha sido enterrado no sentido ver- tical, como ilustra a figura, e que tenha raio da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o volume de combustível do tanque quando a régua registra altura d = 40 cm? 1 m d = 40 cm 2 m Apoiados na figura, observamos que o volu- me do combustível no tanque é igual à di- ferença entre o volume total e o volume do cilindro de altura d (volume de combustível consumido) e que suas bases são iguais. Po- demos chegar à seguinte expressão: V = π . R2 . H – π . R2 . d. Substituindo os valo- res de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos: V = π . 12 . 2 – π . 12 . 0,4, portanto, V = 2π – 0,4π. V = 1,6π ≅ 5,024 m3, isto é, aproximadamente, 5 024 litros. Terminado o problema, o professor pode con- tinuar explorando outros fatos interessantes do mesmo problema. Atividade 5 Com base na atividade anterior: a) Encontre a expressão que relaciona o volume V do combustível contido no tanque com a medida d da régua. V = π . R2 . H – π . R2 . d V = π . R2 (H – d). Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2π – d π, logo, V = π . (2 – d). b) Construa e analise o gráfico da função V(d). –1 1 30 2 6 280 V (litros) d (metros) c) É possível graduar uma régua para que sua leitura converta a medida em centímetros para o volume de litros ar- mazenados no tanque? Se afirmativo, explique como fazê-lo. Sim, é possível.Observando o gráfico, a taxa de variação do volume em relação à me- dida d é constante. Tomando-se π = 3,14, essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm. 26 Portanto, a régua poderá ser graduada afe- rindo a cada 10 cm da régua o volume de 314 litros. 314 942628 1 256 ... O próximo problema, embora contenha a mesma estrutura do anterior, difere na direção da instalação do cilindro, que agora é horizon- tal. Nos postos de gasolina, geralmente é essa a posição adotada para ser enterrado o cilin- dro. Essa nova situação vai exigir dos alunos alguns conhecimentos sobre fatos referentes ao círculo e sobre razões trigonométricas. Isso será uma boa situação para o professor rever o conteúdo do 1o bimestre (funções trigono- métricas) e iniciar a exploração de áreas de setores circulares, necessários na planificação do cone. Atividade 6 Vamos, agora, considerar um tanque de ar- mazenamento de álcool com o mesmo formato indicado na atividade anterior. Contudo, agora ele está colocado na posição horizontal, como indica a figura. Do mesmo modo, para medir a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se uma régua e o procedimento é o mesmo da ati- vidade anterior. Suponha que o tanque tenha o formato de um cilindro com 1 m de raio de base e 4 m de altura. Qual é o volume de álcool consumido quando a régua registra a marca d = 30 cm? Tanque de armazenamento O professor pode, inicialmente, deixar os alu- nos buscarem seus próprios meios para resol- ver esta atividade. Algum tempo depois, pode auxiliá-los na interpretação do problema, dis- cutindo semelhanças com relação à situação da atividade anterior. Uma primeira ideia que deve surgir é que, como lá, o volume do combustível será igual à diferença entre o volume total e o volume consumido. O cálculo do volume total é simples. O problema recairá sobre o cálculo do volume de álcool consumido. 1 m 0,3 m 4 m Como estamos acostumados a ver os só- lidos com a base na horizontal, uma ideia é mudarmos a direção do tanque de horizontal para vertical (figura a seguir). © C on ex ão E di to ri al 27 Matemática – 2a série – Volume 4 R H d Crie um debate na sala, de modo que os alunos concluam sobre a necessidade de calcular o volume do sólido destacado, que representa o volume do álcool consumido. Explorando a ideia relativa ao Princípio de Cavalieri, os alunos devem chegar à conclu- são de que o volume do sólido é igual ao produto da área de sua base pela altura. A altura é igual ao comprimento do cilin- dro. O problema, portanto, reside em deter- minar a área da base. Essa região do círculo recebe o nome de segmento circular, que é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. 0 segmento circular B A A área do segmento circular pode ser calcu- lada pela diferença entre a área do setor circular e a área do triânguo isósceles AOB. Vamos dividir a resolução em etapas: a) Área do setor circular: Setor circular é a porção do círculo limitada por dois raios e um arco do círculo. Para deter- minar a área do setor circular, precisamos da medida do ângulo central a ele correspondente, que indicaremos por θ. d = 0,3 m régua B 0 R =1R =1 A θ 0,3 m 0,7 m B 0 1 mθ1 m A O valor deste ângulo θ pode ser determinado se dividirmos o triângulo isósceles AOB, a partir da altura relativa ao vértice O. Assim, o ângulo θ também será dividido ao meio e o novo triângulo será retângulo. 28 A medida do ângulo θ 2 pode ser encontrada a partir de seu cosseno: cos t __ 2 = 0,7 ____ 1 = 0,7. Desse modo, devemos determinar qual o arco cujo cosseno seja igual a 0,7. 1 m 0,7 m 1 m θ 2 Consultando uma tabela trigonométrica ou por estimativa, admitindo que ® __ 2 ____ 2 ≅ 0,7, teremos que cos θ __ 2 ≅ 0,7 e, portanto, o valor de θ __ 2 ≅ 45°. O ângulo do setor circular pode ser considerado, então, próximo de 90º, e sua área equivalerá a 1 4 da área total do círculo. Como a área do círculo é Acírculo = π . 1 2 = π, a área do setor será Asetor = π __ 4 m 2. Adotando π = 3,14, temos que; Asetor = 3,14 _____ 4 = 0,785 m 2. b) Cálculo da área do triângulo: Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o triângulo AOB é retângulo em O e, portanto, sua área será: Atriângulo = 1 . 1 ____ 2 = 1 __ 2 = 0,5 m 2. c) Área do segmento circular (A): A = Asetor – Atriângulo = 0,785 – 0,5 A = 0,285 m2. Retomando o volume do combustível consu- mido (V1): V1 = A . H = 0,285 . 4 V1 = 1,14 m 3, isto é, V1 = 1140 litros. Então, a resposta do problema proposto é que foram consumidos 1 140 litros de álcool. Terminada essa atividade, o professor pode pedir aos alunos que investiguem, em postos de gasolina, como é medido o estoque de com- bustível nos tanques. Atualmente, há processos sofisticados de medições desses volumes. Dis- positivos são instalados no interior dos tanques e fornecem em tempo real, em um painel, a conversão da altura ao volume do combustível disponível. Nos postos mais antigos, o estoque é calculado pela combinação da “régua de me- dição” com uma tabela específica de conversão. O professor também pode, julgando o tem- po suficiente, distribuir para diferentes grupos de alunos valores diferentes de d e, agrupan- do-os em uma tabela, propor a construção do gráfico do volume armazenado no tanque em função de d − V(d), e de θ − V(θ). Neste último, dado θ em radianos, a interseção com os eixos coordenados será em (2π,0), quando o ângulo θ assume seu maior valor e o volume do tanque é zero, e em (0,4π), situação que re- presenta o tanque totalmente cheio. 29 Matemática – 2a série – Volume 4 10 10 12 V (l) 4 π ≅ 12,56 2 π ≅ 6,28 θ (rad) 6 6 2 2 – 2 8 8 4 4 0 A situação que propomos a seguir pode tor- nar-se um tema interdisciplinar entre as áreas de Matemática, Física e Química. O problema propõe um modelo bastante aproximado para o cálculo do volume de ar contido em um pneu, pela interpretação dos dados nele impressos. Uma situação como essa envolve muitas ou- tras considerações, como as referentes à pressão e à temperatura, que não são consideradas no problema, mas que podem ganhar significado quando tratadas juntamente com professores de Física e Química. Atividade 7 – O volume de ar de um pneu Todo pneu de automóvel possui um códi- go alfanumérico que traz especificações so- bre suas dimensões e características. Vamos explorá-lo: P 245 / 45 R19 1 – P 2 – 245 3 – 45 4 – R 5 – 19 1. A letra P, que não aparece em todos os pneus, indica que se trata de um pneu para veículos de passeio. 2. A largura do pneu ou da sua banda de rodagem é dada em milímetros. 3. A altura lateral do pneu é indicada pelo porcentual da largura da banda de ro- dagem. Também recebe o nome de série. 4. A letra R significa que o pneu é de cons- trução radial. Sua estrutura é formada por camadas de lonas dispostas parale- lamente e em sentido radial. A ausên- cia dessa letra significa que o pneu é de construção diagonal, sendo as lonas cruzadas uma em relação às outras. 5. Refere-se à medida do diâmetro do aro da roda. Ele é dado em polegadas (1 pol ≅ 2,54 cm). © C on ex ão E di to ri al 30 O pneu da figura, por exemplo, está identifi- cado com o código P245/45 R19. Portanto, ele é um pneu de carro de passeio, possui uma lar- gura de 245 mm; como a altura do pneu é 45% da largura,ela mede 245 . 0,45 = 110,25 mm ou 11,025 cm; e o diâmetro da roda interna mede 19 polegadas, ou 19 . 2,54 = 48,26 cm. Considerando um pneu como um mode- lo de um cilindro vazado, podemos propor o cálculo aproximado do volume de ar que ele comporta. Para o cálculo do volume aproximado do ar contido no pneu, com as especificações aci- ma, temos que encontrar o diâmetro total da roda do carro, para então podermos calcular o seu volume. Esse diâmetro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda interna com o dobro da altura do pneu. 24,5 cm 35,16 cm 24,13 cm 11,025 cm Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = = 48,26 cm + 2 . 11,025 cm = 70,31 cm. O raio do cilindro interior será de 24,13 cm e o do exterior 35,16 cm. O volume do cilindro vazado, que corresponde ao valor aproximado do volume do ar será: V = π . (35,16)2 . 24,5 – π . (24,13)2 . 24,5 V = 50 309,81 cm3. Portanto, o volume de ar contido neste pneu é de, aproximadamente, V ≅ 50,31 litros. Atividade 8 A recauchutagem de pneus é uma impor- tante alternativa ambiental na reciclagem da borracha. De forma simples, recauchutar um pneu significa aproveitar sua estrutura resis- tente (correspondente a 75% do pneu) e in- corporar uma nova camada de borracha em “seu piso”. O pneu da figura está identificado com o código 205/65 R15. altura do pneu diâmetro da roda 205/65R15 91V M + S R A D IAL X X X Supondo que seu piso esteja liso e que se decida recauchutá-lo, qual área da superfície do pneu a nova camada vai sobrepor? © C on ex ão E di to ri al © C on ex ão E di to ri al © C on ex ão E di to ri al 31 Matemática – 2a série – Volume 4 V = π . (35,16)2 . 24,5 – π . (24,13)2 . 24,5 V = 50 309,81 cm3. Portanto, o volume de ar contido neste pneu é de, aproximadamente, V ≅ 50,31 litros. Atividade 8 A recauchutagem de pneus é uma impor- tante alternativa ambiental na reciclagem da borracha. De forma simples, recauchutar um pneu significa aproveitar sua estrutura resis- tente (correspondente a 75% do pneu) e in- corporar uma nova camada de borracha em “seu piso”. O pneu da figura está identificado com o código 205/65 R15. 205/65R15 91V M + S R A D IAL X X X Supondo que seu piso esteja liso e que se decida recauchutá-lo, qual área da superfície do pneu a nova camada vai sobrepor? Os dados do pneu permitem-nos concluir que sua largura é de 205 mm, sua altura é 65% da largura, o que corresponde ao seguinte cálcu- lo: 205 . 0,65 = 133,25 mm, isto é, 13,325 cm, e o diâmetro da roda interna mede 15 polega- das que, convertidas em centímetros, corres- pondem a 15 . 2,54 = 38,1 cm. Dessa forma, é possível determinar o diâme- tro da roda do carro acrescentando à medida do diâmetro interno da roda o dobro da al- tura do pneu: altura do pneu diâmetro interno da roda Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm Tomando novamente o cilindro como modelo do pneu, o problema resume-se em achar a área da sua superfície lateral, que é um re- tângulo, de altura 20,5 cm e medida da base igual ao comprimento da circunferência do pneu. Lembrando que a relação entre o com- primento da circunferência e seu diâmetro é dada pela fórmula C = π . D, o comprimento da circunferência do pneu é de, aproximada- mente, Cpneu = 3,14 . 64,75 = 203,32 cm. Assim, a área da superfície do pneu, na qual vai ser inserida a nova camada de borracha, será: A = 203,32 . 20,5 = 4 168,1 cm2, isto é, A = 0,417 m2. Considerações sobre a avaliação Após as primeiras Situações de Aprendi- zagem, a expectativa é que os alunos tenham adquirido um método de exploração de fi- guras no espaço com as características de prismas e cilindros. A seleção das atividades foi feita considerando-se um contexto e uma possibilidade de articulação com outros con- ceitos geométricos. O trabalho com o círculo e a circunferência, iniciado com os cilindros, aprofunda-se no estudo dos cones. Portanto, alguns aspectos tratados nesta Situação de Aprendizagem retornarão mais à frente, o que merecerá a atenção do professor. 32 Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Talvez a manifestação mais contundente do interesse humano pela ascensão possa ser encon- trada no Egito. A pirâmide de Quéops represen- ta esse sonho do ser humano de alcançar o céu e as estrelas. Vendo de perto, observa-se que as pirâmides são construídas como uma enorme escadaria, que tem no conhecimento da for- ma prismática sua estrutura. Foi apoiado nesse conhecimento que o ser humano realizou sua fantasia e representou o movimento de ascen- são na Geometria, criando, assim, a pirâmide. Não é sem motivo que, em muitas defini- ções etimológicas da palavra pirâmide, desta- ca-se o prefixo pira, cujo significado é “fogo”, igualmente alusivo à ascensão. De forma geral, com os conhecimentos e métodos discutidos nas outras Situações de Aprendizagem, os alunos estão preparados para intuir muitas noções envolvidas no es- tudo de pirâmides. tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: pirâmides e cones: significados, relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: visualizar e representar pirâmides e cones; enfrentar situa- ções-problema que envolvem a identificação e os cálculos de áreas e volumes de figuras na forma de pirâmide ou cone; fazer generalizações a partir de experiências. Estratégias: trabalhos em grupos; atividades sobre pirâmides e cones; proposição de situa- ções-problema contextualizadas; atividades de demonstração. © A bl es to ck SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 O MOVIMENTO DE ASCENSÃO: PIRÂMIDES E CONES 33 Matemática – 2a série – Volume 4 A apresentação e a manipulação da pirâ- mide, a partir de embalagens, pode ser inte- ressante. Aqui, surge uma boa oportunidade para o professor trabalhar a confecção de pi- râmides com diversos recursos: utilizando a sua planificação, o que pode f ser encontrado em vários livros didáticos que tratam sobre o tema; utilizando linhas e canudos. Um tetraedro f regular, por exemplo, pode ser confec- cionado com seis canudos e um pedaço suficiente de linha de costura. Detalhes e outras construções são encontrados na RPM, nº- 28, 1995, p. 29; usando modelos formados por bolinhas de f isopor e palitos de churrasco. As bolinhas são os vértices e os palitos as arestas. Aqui, como nas outras Situações de Apren- dizagem, o aluno deve estar consciente de que, embora esteja visualizando a “carcaça” das pirâmides, devemos considerá-las como sóli- dos maciços. Com a visualização e a manipulação das pirâmides, podemos discutir alguns fatos se- melhantes aos prismas: suas faces também são polígonos, seus nomes dependem do polígono que forma sua base e elas podem ser retas ou oblíquas, dependendo da posição entre a altu- ra e a base. Discutidas as semelhanças, podemos des- tacar a diferença: a pirâmide é um sólido que se “afunila”. Essa característica será retoma- da no estudo dos cones. A seguir, propomos algumas atividades com o objetivo de explorar os fatos funda- mentais das pirâmides relativos às suas rela-ções métricas. Atividade 1 Dado um cubo, quando unimos, por seg- mentos de reta, os centros de suas faces, obte- mos um novo poliedro: o octaedro regular (do grego octo – oito – e edro – face). Ao proceder do mesmo modo com um octaedro, obtemos, no seu interior, um cubo. O octaedro regular e o cubo são chamados, em razão disso, de po- liedros duais. A figura representa o dual cubo-octaedro. O octaedro representado é uma figura espa- cial que pode ser obtida reunindo-se, pela base, duas pirâmides idênticas de base quadrada. © F er na nd o F av or et to 34 Todas as arestas desse octaedro têm o mesmo comprimento, logo, suas faces são triângulos equiláteros. Considerando o octaedro regular de aresta 20 cm, determine: a) a altura das faces laterais do octaedro; b) a área da superfície do octaedro; c) a altura do octaedro; d) a área da superfície do cubo. Antes de resolver a atividade, pode-se propor aos alunos a confecção do octaedro com bo- linhas de isopor e palitos. a) As faces laterais do octaedro são triân- gulos equiláteros de lado 20 cm. Para cal- cular a altura h (apótema da pirâmide regular) de uma das faces, podemos ob- servar que ela é o cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa 20 cm e com o outro cateto de 10 cm. 20 h 10 h2 + 102 = 202 h2 = 300, logo, h = 10 ® __ 3 cm b) Cada face do octaedro é um triângulo de medida de base 20 cm e altura h = 10 ® __ 3 cm; sua área será: Aface = 1 __ 2 . 20 . 10 ® __ 3 ⇒ Aface = 100 ® __ 3 ≅ 173 cm2. Logo, a área da superfície do octaedro será A = 8 . 173 = 1 384 cm2. c) Observando somente uma das pirâmides que compõem o octaedro, percebemos que a sua altura h’ é um cateto de um triân- gulo retângulo cuja hipotenusa é a altura da face lateral e o outro cateto tem medi- da igual à metade do lado do quadrado da base. h’ 2 + 102 = h2 h’ 2 = 300 – 100 = 200 h’ = 10 ® __ 2 Logo, a altura do octaedro é H = 2h’, ou seja, H = 20 ® __ 2 , H 7 28,2 cm. C 10 cm A D B H 10 cm d) Observamos que a aresta do cubo é igual à altura do octaedro, ou seja, 20 ® __ 2 cm. Logo, a área de uma face do cubo é Af = (20 ® __ 2 )2 = 800 cm2 e a área da superfície total do cubo é A = 4 800 cm2. 35 Matemática – 2a série – Volume 4 Volume da pirâmide A discussão sobre o volume da pirâmi- de é um momento interessante do curso. A analogia aplicada entre o volume do pris- ma e do cilindro não faz sentido, no caso da pirâmide. Para iniciar a discussão, o professor pode propor um levantamento de hipóteses sobre como calcular o volume da pirâmide. Em uma comparação com um prisma de mesma base e altura, pode-se concluir que seu volu- me será menor. Mas a questão é: quanto? No debate, o professor pode registrar na lousa as hipóteses dos alunos para, depois, compará-las com o fato de o volume desta pirâmide ser um terço do volume do pris- ma. A partir desse momento, o importante é encontrarmos um meio de significar o fa- tor 1 3 que caracteriza o cálculo do volume dos sólidos com afunilamento, como as pi- râmides e os cones. A seguir, propomos uma experiência que tem por objetivo facilitar a compreensão do cálculo do volume da pirâmide. Nessa expe- riência, os alunos, em duplas, trabalharão com cortes em um pedaço de sabão. Para isso, necessitamos de pedras de sabão em for- mato de um paralelepípedo reto-retângulo e de uma faca ou estilete. É importante que o professor, antes de aplicar esta atividade, te- nha construído o seu modelo. Ele será útil para acompanhar o trabalho dos alunos, po- dendo ser apresentado em caso de dúvidas. Para esta experiência, é importante que o professor tenha discutido com os alunos o fato de duas pirâmides de mesma base e mes- ma altura terem o mesmo volume. H H bases com áreas iguais 36 Encontrando o volume da pirâmide em uma barra de sabão Gravura/instrução Gravura/instrução 1. Tomamos por base uma barra de sabão no formato de um paralelepípedo reto- retângulo. Fazemos um corte na diagonal das bases, obtendo, assim, dois prismas de bases triangulares. Cada aluno deve ficar com um desses prismas. 2. Seccionamos o prisma de base triangular com uma faca, segundo o plano que passa por um vértice da base e pela diagonal das faces laterais. 3. Separando as partes, o pedaço menor será uma pirâmide de base triangular (P1) e o peda- ço maior uma pirâmide de base quadrangular (P2). Indicamos pela letra x as faces obtidas na seção. Isso nos ajudará a compor o prisma novamente. 4. Apoiando a pirâmide (P2) sobre sua base (que é um retângulo), fazemos um corte que parte do seu vértice e encontra a dia- gonal da base. 5. As duas pirâmides obtidas por esse corte terão o mesmo volume, pois elas têm a mes- ma altura (vértice comum) e área da base igual (metade da área do retângulo). Indi- camos as faces obtidas pela seção pela letra y. Observe que uma delas terá as indicações x e y e a outra somente a y. 6. Comparando a pirâmide de base trian- gular obtida no primeiro corte (P1) com a pirâmide que só possui a etiqueta y, verificamos que elas têm a mesma altura e área da base igual. Seus volumes, portan- to, também são iguais. F ot os : © F er na nd o F av or et to 37 Matemática – 2a série – Volume 4 Por meio dessa atividade, observamos que o prisma de base triangular, cujo volume é o produto da área da base pela altura, foi decom- posto em três pirâmides de base triangular de mesmo volume. Assim, cada uma das pirâmi- des terá, por volume, um terço do volume do prisma. Dessa forma, chegamos à expressão: Vpirâmide = 1 ___ 3 3 Abase . h Para generalizar essa situação para o cálcu- lo do volume de uma pirâmide cuja base não seja triangular, podemos mostrar que toda pi- râmide pode ser decomposta em pirâmides de bases triangulares justapostas: h A1 A2 A3 Vpirâmide = 1 __ 3 A1 . H + 1 __ 3 A2 . H + 1 __ 3 A3 . H Vpirâmide = 1 __ 3 H (A1 + A2 + A3) Vpirâmide = 1 __ 3 Abase . H Aqui, temos generalizada a expressão. Tratando-se de uma experiência, é opor- tuno que o professor peça a redação de um relatório. Nele, podem constar os detalhes da execução da tarefa, as interpretações de cada passo, as representações planas dos sólidos criados e uma análise sobre as hipóteses le- vantadas e o resultado alcançado. A seguir, apresentamos algumas atividades que pretendem explorar o cálculo do volume das pirâmides articulados a outros conceitos geométricos. Atividade 2 Uma pirâmide de base triangular é um sólido de 4 faces, chamado de tetraedro. Um tetraedro regular (faces são triângulos equilá- teros) tem área total igual a 8 ® __ 3 cm2. a) Desenhe o tetraedro e o seu dual, ou seja, o poliedro cujos vértices são os centros das faces do poliedro dado. b) Encontre o volume do tetraedro maior. Como são quatro faces de mesma área (triân- gulos equiláteros), temos que a área de um triângulo equilátero é AT ___ 4 = 8 ® __ 3 _____ 4 = 2 ® __ 3 cm. A área de um triângulo equilátero pode ser cal- culada por: A = l 2 ® __ 3 ____ 4 ⇒ 2 ® __ 3 = l 2 ® __ 3 _____ 4 ⇒ l 2= 8 ⇒ l = 2 ® __ 2 cm Para o cálculo do volume, precisamos da me- dida da altura da pirâmide. A partir do de- senho a seguir, observamos que ela é um dos catetos de um triângulo retângulo em que a hipotenusa é a altura de uma das faces, e o outro catetomede 1 3 da medida da altura da face, pois corresponde ao apótema do triân- gulo equilátero. 38 h cm= 6 6 3 cm h A altura da face é encontrada aplicando-se a expressão: h = l ® __ 3 ____ 2 ⇒ h = 2 ® __ 2 . ® __ 3 ________ 2 ⇒ h = ® __ 6 Por Pitágoras, escrevemos que: ª ® __ 6 º 2 = ª ® __ 6 ____ 3 º 2 + H2 H2 = 6 – 6 __ 9 = 48 ___ 9 H = ® ___ 48 ___ 9 = 4 ® __ 3 _____ 3 cm Portanto: V = 1 __ 3 Ab . h = 1 __ 3 . 2 ® __ 3 . 4 ® __ 3 _____ 3 = 8 __ 3 ≅ 2,67 cm 3 Observação: Podemos calcular o apótema da pirâmide usando semelhança de triângu- los (ver figura a seguir): a ® __ 2 ® __ 2 2 ® __ 2 ® __ 6 ® __ 2 ____ ® __ 6 = a ____ ® __ 2 Logo: a = ® __ 2 . ® __ 2 ________ ® __ 6 a = ® __ 6 ____ 3 cm. O cone A noção de cone é sugerida, na prática, por diversos objetos do nosso cotidiano: chapéu de aniversário, cone de sorvete e cones de si- nalização são alguns exemplos. A discussão inicial sobre os cones pode ser feita como foi proposta para as pirâmides e os prismas. Aqui, podemos destacar as suas semelhanças e diferenças com relação aos ci- lindros e também às pirâmides. A apresentação do cone também pode ser feita como um sólido de revolução, toman- do-se um triângulo retângulo e fazendo-o girar em torno de um de seus catetos. A hipotenusa torna-se a geratriz do cone. V BA h r g O trabalho com setores circulares que apa- receu na Situação de Aprendizagem 2 agora é aprofundado, pois se trata das superfícies late- rais dos cones circulares retos. Esse momento é oportuno para explorarmos fatos básicos da circunferência e do círculo, dando preferência para noções que envolvem proporcionalidade. O tratamento do volume do cone pode ser feito aplicando-se o Princípio de Cavalieri, em uma comparação entre o volume da pirâmide e do cone, de forma análoga ao que fizemos com o cilindro e o prisma. Outra abordagem é ima- ginar pirâmides de mesma altura, inscritas no cone, com número de lados cada vez maiores, aproximando a área da base à área do círculo. 39 Matemática – 2a série – Volume 4 As atividades que propomos a seguir têm a finalidade de destacar fatos funda- mentais do cone e aplicá-los em atividades contextualizadas. Atividade 3 – A construção dos cones Vamos construir setores circulares a partir de círculos de 10 cm de raio desenhados em uma folha de papel sulfite. Observe que, para cada setor, construímos também o setor do seu replementar, isto é, cuja soma é igual a 360º. a) 60º b) 120º c) 90º d) 270º Terminada a construção, recorte os setores. a) b) c) d) 60º 90º 120º 270º Atividade 4 Tomando os setores da atividade anterior, use fita adesiva para unir os raios, de modo a formar figuras parecidas com chapéus de festa de aniversário. Cada uma dessas figuras cor- responde à superfície lateral de um cone, e os raios desses setores constituem a sua geratriz. Observando cada um dos modelos criados, procure completar os dados da tabela a seguir: Ângulo central α área do setor circular A Raio da base r Altura do cone h 60º 90º 120º 270º Aqui, professor, o aluno é levado a investigar as relações entre a geratriz, o raio da base e o comprimento do setor circular. Todos os cálculos são obtidos com o uso de proporcio- nalidade. Vamos detalhar os cálculos para o setor de 120º: A área do círculo original é: A = 100 π e seu comprimento é C = 20 π logo, a área do setor será 1 __ 3 deste valor, portanto Asetor = 1 __ 3 . 100π cm 2 e seu comprimento será Csetor = 1 __ 3 . 20π cm. Como o comprimento do arco representará o comprimento da base, podemos concluir que Cbase = Csetor = 1 __ 3 . 20π logo, se r é o raio da base, 2πr = 1 __ 3 . 20π e, portanto, r = 10 ___ 3 cm. Observando a figura, observamos que a al- tura, o raio da base e a geratriz são lados de um triângulo retângulo em que a gera- triz é a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras, teremos 10 2 = h 2 + ª 10 ___ 3 º 2 , do que se conclui que: h = 20 ® __ 2 ______ 3 cm 2. 40 Ângulo central α (graus) Área do setor circular A (cm2) Raio da base r (cm) Altura do cone h (cm) 60º 50π 3 5 3 ® ________ 100 – 25 ___ 9 = ® ____ 875 ____ 9 = 5 ® ___ 35 ______ 3 90º 25π 5 2 ® ________ 100 – 25 ___ 4 = ® ____ 375 ____ 4 = 5 ® ___ 15 ______ 2 120º 100π 3 10 3 ® _________ 100 – 100 ____ 9 = ® ____ 800 ____ 9 = 20 ® __ 2 ______ 3 270º 75π 15 2 ® _________ 100 – 225 ____ 4 = ® ____ 175 ____ 4 = 5 ® __ 7 _____ 2 Professor, ao final da atividade, pode- se sugerir aos alunos que generalizem essa situa ção, como apresentada a seguir. Deve- mos destacar, contudo, que não há neces- sidade de memorização das fórmulas. Todo o cuidado com a atividade é que o aluno construa as relações de forma visual e que as determine pelo uso da proporcionalidade. h g r g g 2πr g2 = h2 + r2 ⇒ { r2 = g2 – h2 ⇒ r = ® ______ g2 – h2 h2 = g2 – r2 ⇒ h = ® ______ g2 – r2 Sendo a o ângulo central do setor circular, os alunos podem identificar a expressão: 2πr = a _____ 360° 2πg ⇒ r = ag _____ 360° ⇒ a = 360° . r _______ g Atividade 5 Os para-raios foram inventados pelo po- lítico e cientista norte-americano Benjamin Franklin (1706 - 1790). Eles são constituídos por uma haste condutora fixada verticalmente na parte mais alta de uma estrutura, seja ela um edifício, um poste ou uma antena. Segundo estudos experimentais da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), o campo de proteção oferecido por um para-raios é aquele abrangido por um cone, tendo por vértice o ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz forma um ângulo de 60º com essa haste. Geral- mente, a medida das hastes é de, aproximada- mente, 1 m. Com base nessas informações, faça a representação e determine a área aproximada da base do “campo de proteção” oferecido por um para-raios disposto sobre uma antena de 79 m de altura. A base do campo de proteção é um círculo de raio R, que pode ser determinado por tg 60º = R 80 , logo, R = 80 . ® __ 3 ≅ 138,56 m. 41 Matemática – 2a série – Volume 4 Dessa forma, a área de proteção será deter- minada pela seguinte expressão: A = π . R2 ≅ 3,14 . 19198,87 A = 60 284,46 m2. 1 m 79 m 60º base do campo de proteção A atividade a seguir foi selecionada do vesti- bular da Unesp por propor uma situação-pro- blema de contexto social e por abordar o tronco de cone, o que remete à semelhança de triângu- los e proporcionalidade. Atividade 6 (Unesp, 2007) – Em uma região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para to- mar banho um chuveiro manual, cujo reservató- rio de água tem o formato de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto, cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura. 12 cm 10 cm 30 cm 6 cm Por outro lado, em uma praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício
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