Caderno do Professor Matemática 2009 2ªSérie EM Volume 4

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caderno do
PROFESSOR
2a SÉRIE m
at
Em
át
Ic
a
ensino médio
volume 4 - 2009
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: 
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
Coordenação do Desenvolvimento dos 
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos 
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar 
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo 
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares 
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam 
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís 
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho 
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, 
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia 
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, 
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, 
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa 
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, 
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino 
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches 
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore 
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da 
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e 
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira 
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de 
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria 
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo 
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, 
Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e 
Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, 
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais 
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi-
dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não 
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 4 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José 
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-441-4
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. 
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. 
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. 
Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
Caras professoras e caros professores,
Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de 
revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5a- a 8a- séries do Ensino 
Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.
Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente 
completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.
O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendi-
zagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.
A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elabo-
ração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as 
aprendizagens de todos os alunos.
Bom trabalho!
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
Orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – Prismas: uma forma de ocupar o espaço 11
Situação de Aprendizagem 2 – Cilindros: uma mudança de base 21
Situação de Aprendizagem 3 – O movimento de ascensão: pirâmides e cones 32
Situação de Aprendizagem 4 – Esfera: conhecendo a forma do mundo 42
Orientações para Recuperação 54
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a 
compreensão do tema 54
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 56
SUMáRiO
5
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA 
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Caros(as) professores(as),
Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documen-
tos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos 
professores em 2009.
Com esses documentos, a Secretaria espera apoiarseus professores para 
que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo 
reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em 
diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos pro-
fessores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento 
coletivo e a cooperação entre eles. 
A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favore-
cer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, 
significativa e motivadora de ensinar aos alunos.
 Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez 
ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhe-
cimentos dos alunos.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
7
FiChA dO CAdERnO
Geometria: linguagem, formas, medidas e representações do espaço
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 2a
 Volume: 4
 temas e conteúdos: Prismas
 Cilindros
 Pirâmides e cones
 Esfera
8
ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada bimestre não se 
afastam, de maneira geral, do que é usual- 
mente ensinado nas escolas, ou do que é 
apresentado pelos livros didáticos. As inova-
ções pretendidas referem-se à forma de abor-
dagem desses materiais, sugerida ao longo dos 
Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal 
abordagem, busca-se evidenciar os princípios 
norteadores do presente currículo, destacan-
do-se a contextualização dos conteúdos, as 
competências pessoais envolvidas, especial-
mente as relacionadas com a leitura e a escrita 
matemática, bem como os elementos culturais 
internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões apro-
ximadamente iguais, que podem corresponder a 
oito semanas de trabalho letivo. De acordo com 
o número de aulas disponíveis por semana, o 
professor explorará cada assunto com mais ou 
menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma 
escala adequada para o tratamento do conteúdo. 
A critério do professor, em cada situação especí-
fica, o tema correspondente a uma das unidades 
pode ser estendido para mais de uma semana, 
enquanto o de outra unidade pode ser tratado 
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as oito unidades, uma vez que, jun-
tas, compõem um panorama do conteúdo do 
bimestre e, muitas vezes, uma das unidades 
contribui para a compreensão das outras. In-
sistimos, no entanto, no fato de que somente 
o professor, em sua circunstância particular, e 
levando em consideração seu interesse e o dos 
alunos pelos temas apresentados, pode deter-
minar adequadamente quanto tempo dedicar 
a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem 
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de 
abordagem sugerida, instrumentando o profes-
sor para sua ação em sala de aula. As atividades 
são independentes e podem ser exploradas com 
mais ou menos intensidade, segundo seu interes-
se e de sua classe. Naturalmente, em razão das 
limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as 
unidades foram contempladas com Situações de 
Aprendizagem, mas a expectativa é de que a for-
ma de abordagem dos temas seja explicitada nas 
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) 
em sintonia com a forma de abordagem pro-
posta, que podem ser utilizados pelo professor 
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
esperadas no presente bimestre.
9
Matemática – 2a série – Volume 4
Conteúdos básicos do bimestre
Andamos, brincamos, pensamos e vivemos 
no espaço. Olhamos para todos os lados e ob-
servamos diferentes formatos espaciais. Emba-
lagens, monumentos, brinquedos e dados de 
jogos de tabuleiro são alguns exemplos disso. 
No 4o bimestre da 2a série, o foco da aprendi-
zagem é a geometria espacial métrica. Nela, 
algumas das formas mais comuns presentes na 
natureza e na produção humana são estudadas. 
Para isso, é necessário que sejam relembradas 
as propriedades fundamentais das figuras pla-
nas, afinal são elas que compõem as bases, as 
faces e as seções das figuras espaciais. Embora 
a linguagem geométrica perpasse por vários 
conteúdos do Ensino Médio, neste bimestre 
ela ganha evidência e tratamento especial. Sa-
bemos que uma das dificuldades que os alunos 
enfrentam no estudo da geometria espacial é a 
representação e a interpretação de figuras tri-
dimensionais desenhadas no plano. Neste sen-
tido, propomos, no início de cada Situação de 
Aprendizagem, atividades de manipulação e 
exploração dos sólidos geométricos. Algumas 
relações métricas são construídas em meio à 
solução de problemas que julgamos exempla-
res. O professor pode combinar esses exercícios 
com aqueles que já fazem parte de sua expe-
riência no ensino desse tema. 
Reconhecemos que o prisma e alguns de 
seus fatos fundamentais já são conhecidos 
pelos alunos, pois já foi tema de estudos no 
Ensino Fundamental. O que pretendemos é 
consolidar esse conhecimento e elaborar um 
raciocínio que seja aplicado e ampliado à me-
dida que avançamos no estudo dos outros só-
lidos, como o cilindro, a pirâmide e o cone.
Nas Situações de Aprendizagem, buscamos 
situações-problema que, de forma crescente, 
combinassem vários conceitos matemáticos, 
sendo, em alguns casos, apresentados projetos 
e propostas interdisciplinares.
Para a organização do trabalho neste bi-
mestre, propomos a seguinte estrutura:
Situação de Aprendizagem 1 f – “Prismas: 
uma forma de ocupar o espaço”. São apre-
sentados a conceituação de prisma, suas 
relações métricas e o cálculo de seu volume. 
Aqui iniciaremos a abordagem das figu-
ras espaciais. Serão desenvolvidas as duas 
primeiras unidades. Caso perceba que 
os alunos apresentam um conhecimento 
apropriado sobre o tema, o professor pode 
abreviar o tempo previsto.
Situação de Aprendizagem 2 – f “Cilindros: 
uma mudança de base”. Equivale à tercei-
ra unidade, em que exploramos o formato 
e as relações no cilindro. Aqui, embora ex-
ploremos uma analogia em relação ao pris-
ma, apresentamos o conceito de sólido de 
revolução, que, depois, é aplicado no cone e 
na esfera. Nas atividades, tratamos do con-
texto que permite explorar outros conhe-
cimentos matemáticos, como a construção 
de gráficos de função linear e trigonomé-
trica. Propomos algumas possibilidades de 
realização de um trabalho interdisciplinar.
Situação de Aprendizagem 3 f – “O movimen-
to de ascensão: pirâmides e cones”. São 
desenvolvidas a quarta e a quinta unidade. 
Primeiro, estudamos as pirâmides. Apare-
ce uma nova qualidade em um sólido: ele 
10
“afunila”. Dessa forma, agrupamos o estu-
do das pirâmides e dos cones. Com as pirâ-
mides, as relações métricas tornam-se mais 
complexas, exigindo uma boa visualização 
da situação-problema. Em seguida, o sóli-
do estudado é o cone. Aqui, ganha signi-
ficado o estudo de setores circulares que 
podem ser determinados com a aplicação 
da proporcionalidade. 
Situação de Aprendizagem 4 f – “Esfera: co-
nhecendo a forma do nosso mundo”. Para 
finalizar o bimestre, estudamos as esferas, 
com as três últimasunidades. Apresenta-
mos algumas situações motivadoras, como 
o trabalho com fusos horários e com as 
coordenadas geográficas, que pode ser uma 
oportunidade de trabalho interdisciplinar 
com a Geografia.
Unidade 1 – Noções e fatos fundamentais dos prismas – relações métricas, diagonais e 
planificação.
Unidade 2 – Superfície e volume de prismas – Princípio de Cavalieri.
Unidade 3 – Cilindro: identificação e conceituação. Sólidos de revolução. Volume do 
cilindro.
Unidade 4 – Pirâmides: o movimento de elevação – conceituação e relações métricas.
Unidade 5 – Cones: setores circulares preenchendo o espaço – superfície e volume.
Unidade 6 – Estudo da esfera. 
Unidade 7 – A Terra como objeto de estudo. Fusos horários, coordenadas geográficas: 
latitude e longitude.
Unidade 8 – Volume e superfície de uma esfera.
Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 2a série do Ensino Médio
11
Matemática – 2a série – Volume 4
SitUAçõES dE APREndizAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: prismas; identificação, noções e fatos essenciais; relações métricas, áreas 
e volume.
Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; relacionar elementos geométri-
cos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; síntezar e generalizar fatos obtidos de 
forma concreta.
Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; identificação dos seus elementos essenciais 
e suas relações métricas; leitura e interpretação de enunciados e dados; representação plana e 
planificação de prismas; resolução de situações-problema; trabalhos em grupo.
Recursos: uso de materiais concretos, como embalagens e sólidos construídos a partir de sua 
planificação.
Roteiro para a aplicação da 
Situação de Aprendizagem 1
O trabalho com a geometria métrica, neste 
Caderno, começa com o estudo sobre prismas. 
O conceito de prisma e alguns fatos a ele re-
lacionados já devem ser de conhecimento dos 
alunos. Caso isso não ocorra, esta Situação de 
Aprendizagem é oportuna e precisa ser desen-
volvida com um tempo maior. Assim, devem-se 
trabalhar a identificação da forma de um pris-
ma, a representação no plano, o reconhecimen-
to de seus elementos (vértices, faces e arestas) e 
a construção de sua planificação.
O objetivo desta Situação de Aprendizagem 
é consolidar esses conhecimentos, sistemati-
zá-los e torná-los referência para a construção 
dos outros sólidos que serão estudados, como 
o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera.
O prisma é um sólido geométrico muito 
presente no nosso dia a dia. A maioria das 
embalagens e dos objetos que utilizamos pos-
sui essa forma. Propomos que o professor 
apresente aos alunos uma série desses objetos 
(caixa de fósforos, embalagens de pizza, caixas 
de sapatos e de perfumes, entre outras) e que 
discuta alguns fatos como:
as bases dos prismas são polígonos de mes- f
ma forma e tamanho e suas faces laterais 
são paralelogramos; 
o nome do prisma é dado pela forma de f
sua base, podendo ser triangular, quadran-
gular, hexagonal, etc;
12
se a aresta lateral for perpendicular às bases, f
o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo;
o paralelepípedo é um prisma cujas bases f
são paralelogramos;
se todas as faces do paralelepípedo são re- f
tângulos, ele é chamado de paralelepípedo 
retângulo;
um prisma reto cuja base é um polígono f
regular chama-se prisma regular;
se o prisma tiver todas as faces quadra- f
das, ele é um cubo, também chamado de 
hexaedro regular (do grego hexa – seis e 
hedros – apoiar-se, faces).
A seguir, propomos algumas atividades que 
podem ser combinadas àquelas que o professor 
costuma utilizar ao abordar este tema. O obje-
tivo, na proposição destas situações-problema, 
é explorar o cálculo de áreas e relações métricas 
nos prismas em contextos que exijam análises 
e tomada de decisões. É importante que o pro-
fessor fique atento às dificuldades dos alunos 
quanto à visualização e à representação plana 
dos prismas. Sugere-se que, diante delas, o pro-
fessor proponha o uso de malhas quadricula-
das para as representações.
Atividade 1
Para o empacotamento de presentes, uma 
loja dispõe de dois tipos de embalagem de pa-
pelão: uma no formato de um paralelepípedo 
oblíquo (Figura A), outra no de um parale-
lepípedo reto-retângulo (Figura B). Conside-
rando os valores indicados nas figuras a seguir, 
calcule qual das duas formas geométricas exi-
girá menos papelão para ser confeccionada.
6 cm
6 cm
12 cm
120º
Figura A
Figura B6 cm
6 cm
12 cm
Ao observar os dados da atividade, uma pri-
meira impressão pode sugerir que a área 
total seja a mesma, pois o paralelepípedo 
oblíquo poderia ser obtido pela inclinação 
do paralelepípedo reto. Contudo, na prática, 
isso não se verifica, pois a face frontal e a de 
fundo da Figura B (quadrados), uma vez fe-
chada a caixa, não permitem tal movimento 
por fixarem o ângulo reto.
Após essa discussão, pode-se destacar que os 
dois prismas possuem bases iguais e duas fa-
ces laterais iguais, sendo suas diferenças da-
das pelas faces frontal e de fundo (losango 
13
Matemática – 2a série – Volume 4
e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o 
menor consumo de papelão pode recair somen-
te sobre o cálculo da área do quadrado e do 
losango. Caso os alunos saibam que entre os 
paralelogramos de mesmo perímetro, o qua-
drado é o que determina a maior área, a solu-
ção fica possível sem a realização de cálculos.
Agora apresentamos a resolução do proble-
ma efetuando todos os cálculos:
H
120º
60º
6 cm
Figura A
Para a área do losango, vamos interpretá-lo 
como um paralelogramo. A altura corres-
pondente à base será: sen 60° = H ___ 6 
H = 3 ® 
__
 3 ≅ 5,2 cm.
Como o prisma oblíquo é formado por dois 
losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e qua-
tro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm:
Atotal = 2 . 6 . 5,2 + 4 . 12 . 6 = 62,4 + 288, 
logo, Atotal ≅ 350,4 cm2.
Figura B
O prisma é formado por quatro retângulos de 
6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm.
Atotal = 2 . 6 . 6 + 4 . 12 . 6 = 72 + 288, logo 
Atotal = 360 cm
2.
Segundo os dados do problema, o formato do 
paralelepípedo oblíquo representa uma eco-
nomia de, aproximadamente, 3% em relação 
ao paralelepípedo reto.
Vale ainda observar que nessa atividade não 
apareceu a discussão sobre a capacidade de 
cada caixa. Esse tema será abordado mais à 
frente, quando tratarmos de volume de prismas.
Atividade 2
Uma caixa de lápis tem o formato de um 
paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de 
comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm 
de altura. Qual a medida do maior lápis que 
você pode guardar nessa caixa sem que a pon-
ta fique para fora da borda?
A figura a seguir ilustra a situação e as pos-
síveis triangulações. 
D
12
3
4
d
Observamos que o cálculo do tamanho do 
lápis está associado ao cálculo das diagonais 
da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos 
o teorema de Pitágoras.
Diagonal da base:
d 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5.
Diagonal do prisma:
D2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13, portanto, o 
maior lápis deve ter 13 cm de comprimento.
14
O professor também pode discutir com os 
alunos uma solução prática para este proble-
ma: sobre o tampo de uma mesa, posicione 
a caixa, registrando, com lápis, a superfície 
da base e a posição do vértice A. Faça uma 
translação da caixa, deslocando-a em uma me- 
dida igual à aresta da base, como mostra a 
figura abaixo, e, com o auxílio de uma régua, 
meça a distância AE.
E
C
BA
D
E
C
BA
Se julgar oportuno, generalizea situação-pro-
blema proposta e desenvolva, com a turma, as ex-
pressões gerais que relacionam a diagonal de um 
prisma reto-retangular com suas dimensões. Para 
isso, basta considerar uma caixa de dimensões 
da base a e b e altura h e proceder como propo-
mos a seguir: d2 = a2 + b2.
Diagonal do prisma:
D2 = d2 + h2
D2 = a2 + b2 + h2 ⇒ D = ® 
__________
 a2 + b2 + h2 
D
h
b
a
d
Diante dessa expressão, o professor pode ain-
da levar a turma a investigar o que aconteceria 
se o formato da caixa de lápis fosse um cubo.
Neste caso, teríamos:
a = b = h ⇒ d 2 = a 2 + a 2 = d = a ® 
__
 2 .
D = ® 
_______
 2a2 + a2 = ® 
____
 3a 2 ⇒ D = a ® 
__
 3 .
Atividade 3
Com base na atividade anterior, investigue 
a mesma situação para um porta-lápis nos se-
guintes formatos:
a) prisma regular triangular de aresta da 
base 12 cm e altura 16 cm.
No caso do prisma regular triangular, o lápis 
terá o tamanho da diagonal da face lateral. 
É interessante observar que esse prisma não 
tem diagonal.
L2 = 162 + 122, L2 = 400, logo L = 20.
O maior lápis terá 20 cm.
15
Matemática – 2a série – Volume 4
b) prisma regular hexagonal, com aresta 
de base 6 cm e altura 8 cm.
O prisma regular hexagonal é particular-
mente interessante porque possui duas me-
didas de diagonais, cada uma relativa às 
medidas das diagonais da base. 
L2
L1
Cálculo de L1 (diagonal menor):
O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retân-
gulo que tem como catetos a diagonal me- 
nor da base e a aresta lateral. A diagonal 
menor da base equivale a duas alturas de um 
triângulo equilátero de lado igual ao do hexá-
gono regular. Portanto, d = 6 ® 
__
 3 cm, uma vez 
que a altura de um triângulo equilátero pode 
ser calculada por: d = l 
® 
__
 3 ____ 2 .
Portanto, L1
2 = (6 ® 
__
 3 )2 + 82
L1
2 = 172 → L1 ≈ 13,11 cm.
Cálculo de L2 (diagonal maior):
O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo re-
tângulo que tem como catetos a diagonal 
maior da base e a aresta lateral. A diago nal 
maior da base equivale ao dobro da medida do 
lado do hexágono regular. Portanto, D = 12.
Portanto, L2
2 =122 + 82, logo L2 ≈ 14,42 cm.
O maior lápis terá, então, aproximadamente, 
14,42 cm.
Geralmente, a planificação de prismas está 
associada a problemas que envolvem cálculos 
de superfícies totais. A atividade proposta a 
seguir exige a planificação como meio de che-
gar à solução do problema, visualizando o 
menor itinerário feito pela formiga.
Atividade 4
A luminária de uma lanchonete tem a 
forma de um cubo. Contudo, ela só possui faces 
laterais. As bases foram subtraídas para ilumi-
nar melhor o ambiente. Uma mosca e uma for-
miga estão sobre um mesmo vértice do cubo, 
como indicado na figura pelas letras M (mosca) 
e F (formiga). No vértice oposto da outra base, 
está uma gota de mel, que interessa a ambos os 
insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e 
poder voar. A formiga só pode andar pela su-
perfície e pelas arestas da luminária.
Gota de mel
FM
Indique qual o menor percurso que cada 
inseto deve fazer para alcançar a gota de mel. 
Admitindo que a aresta da base da luminária 
meça 3 dm, qual é o tamanho do percurso fei-
to por cada inseto?
16
A mosca, voando, percorre a diagonal do 
cubo. Assim, seu caminho medirá:
Mosca
M = ® 
___________
 32 + 32 + 32 
M = 3 ® 
__
 3 ≅ 5,19 dm
No caso da formiga, temos de estudar algumas 
possibilidades. Uma delas é imaginar que ela 
percorre uma diagonal da face e depois uma 
aresta do cubo. Esquematicamente, temos:
Nesse itinerário, a 
formiga percorre: 
F = 3 ® 
__
 2 + 3
F ≅ 7,24 dm
Formiga
Contudo, planificando-se a figura, encontra-
mos outra situação, melhor que a primeira:
d
mel
3 cm
F
6 cm
Calculando-se o comprimento d teremos:
Formiga
d 2 = 9 + 36
d 2 = 45
d = 3 ® 
__
 5 ≅ 6,71 dm
Portanto, a formiga chegou depois. O menor 
caminho para ela chegar ao pingo de mel é 
passando pelo ponto médio de uma aresta.
O volume do prisma e o Princípio de 
Cavalieri
O desenvolvimento das embalagens de pro-
dutos tornou-se um tema relevante nos dias de 
hoje, particularmente quando o assunto é pre-
servação do meio ambiente. Além do tipo de 
material com que são fabricadas, elas devem ser 
bem dimensionadas, isto é, devem ter a melhor 
relação entre o volume interno e a quantidade 
de material utilizado. Além disso, na escolha 
do seu formato, deve-se considerar que, quando 
embaladas coletivamente, o espaço vazio entre 
elas seja o menor possível. Na natureza, encon-
tramos uma situação similar: a construção dos 
alvéolos das abelhas.
Observando-se a forma prismática dos 
alvéolos, percebe-se que eles respeitam uma 
exigência: a de permitir que, com uma mes-
ma quantidade de cera, se construa um reci-
piente com maior volume para acondicionar 
o mel. O fato de as paredes dos alvéolos se-
rem comuns, permitindo que não haja espaços 
vazios entre elas, remete-nos ao problema da 
pavimentação do plano, solucionado quando 
usamos triângulos regulares, quadrados e he-
xágonos regulares. Como a nossa situação é 
espacial, podemos imaginar a “pavimentação 
do espaço” com poliedros, particularmente 
com os prismas regulares retos de base trian-
gular, quadrangular e hexagonal. 
O mote para a entrada na discussão so-
bre o volume dos prismas é saber qual deles 
17
Matemática – 2a série – Volume 4
comporta o maior volume, supondo que te-
nham a mesma área lateral.
Essa investigação exige que se aborde o cál-
culo do volume dos prismas. É isso que propo-
mos agora.
De maneira geral, a abordagem inicial 
sobre volume de prismas é aquela em que se 
toma um paralelepípedo reto e se determina 
quantos cubinhos de aresta de uma unidade 
de comprimento cabem no sólido.
Cálculo do volume do prisma pela 
decomposição e contagem de cubinhos
Com isso, conclui-se que a quantidade 
de cubinhos no paralelepípedo reto é igual 
ao produto da área da base (Abase), que cor-
responde à quantidade de cubos apoiados 
na base, pela altura (H), que corresponde à 
quantidade de camadas de cubos que preen-
chem completamente o sólido.
Dessa forma, temos que o volume do pa-
ralelepípedo é: V = Abase . H
Embora a generalização para o cálculo 
do volume de qualquer prisma possa ser 
uma passagem simples para os alunos, ob-
servamos a importância de, neste momen-
to, apresentarmos e aplicarmos o Princípio 
de Cavalieri. O objetivo é a caracterização 
dos prismas como uma sobreposição de 
placas idênticas, o que será também explo-
rado nos cilindros e na comparação entre o 
volume de diferentes sólidos.
Para iniciar a discussão, o professor pode 
comentar com os alunos que na Geome-
tria é mais simples calcular o comprimento 
de uma linha reta do que obter o compri-
mento de uma curva. Da mesma forma, é 
mais fácil calcular a área de um polígono con-
vexo do que obter a área de uma região não 
poligonal, ou calcular o volume de um para-
lelepípedo do que de um sólido geométrico 
com outro formato. A busca de métodos 
gene ralizados para se calcular volumes levou 
matemáticos, como o geômetra italiano Fran-
cesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a 
imaginarem os sólidos como se fossem for-
mados por camadas infinitamente finas (os 
indivisíveis).
18
Para Cavalieri, seguindo uma linha de 
raciocínio análoga à de Arquimedes, Gali-
leu e Kepler, a linha era formada por pontos 
sem comprimento, a superfície por infinitas 
linhas sem largura e os sólidos eram inter-
pretados por uma reunião desuperfícies 
sem profundidade. No seu entendimento, 
era evidente concebermos as figuras planas 
como tecidos compostos de fios paralelos e 
os sólidos como livros, que são pilhas de fo-
lhas paralelas. 
Para apresentar o Princípio de Cavalieri, 
o professor pode utilizar cartas de bara-
lho. Dispondo as cartas, uma a uma, em 
um formato como na Figura 1, o professor 
discute que o sólido final foi construído pela 
sobreposição de figuras planas. Peça, então, 
aos alunos que levantem hipóteses sobre 
o modo de calcular o volume do sólido 
construído. Em meio à discussão, as cartas 
devem ser arranjadas, deslizando-se uma 
sobre a outra e formando um paralelepí-
pedo oblíquo (Figura 2). A discussão, então, 
deve ter foco na alteração ou não do volume 
do sólido. Ocorre que a forma muda, mas 
não o seu volume, pois o volume do sólido 
corresponde ao total de cartas, e este não 
muda quando as cartas deslizam uma sobre 
as outras. Fica, contudo, ainda a dificul-
dade de encontrar a forma de expressão do 
volume do sólido. Concluída essa etapa, 
deslizam-se as cartas novamente, criando a 
forma de um paralelepípedo reto (Figura 3), 
cuja expressão do volume é conhecida.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Por fim, o professor pode apresentar três 
montes de cartas com a mesma altura e com 
os três formatos diferentes e conduzir uma 
discussão em que se conclui que, de forma ge-
ral, tomados dois sólidos com bases de mes-
ma área e sobre um mesmo plano, se todas as 
seções paralelas à base dos dois sólidos têm 
a mesma área, então, os dois sólidos têm o 
mesmo volume (Figura 4).
Figura 4
19
Matemática – 2a série – Volume 4
Retomando o problema das abelhas
Para retomar o problema da relação en-
tre volume interno e quantidade de material 
utilizado, propomos ao professor que siga na 
investigação sobre os alvéolos das abelhas a 
partir de uma atividade. 
A sugestão é que o professor divida a turma 
em grupos de três alunos.
O professor distribui tarefas diferentes para 
cada grupo: alguns grupos construirão os 
alvéolos na forma de um prisma triangular 
regular, outros na forma quadrangular regular e 
o restante na forma hexagonal regular. Cada 
grupo trabalhará com duas folhas de papel 
sulfite. A primeira será utilizada para a cons-
trução da lateral do alvéolo. Deve-se apoiar o 
maior lado dessa folha sobre a mesa. A segun-
da folha será utilizada para formar a base do 
alvéolo; no momento não nos preocupamos 
como são fechados os alvéolos. Para alcançar a 
forma desejada, os alunos podem utilizar 
dobraduras. O aluno deverá considerar que os 
prismas regulares têm faces laterais retangula-
res e, assim, a folha destinada à construção das 
faces laterais pode ser dobrada para formar 
retângulos em quantidade correspondente ao 
número de lados do polígono da base do alvéolo. 
Terminada essa etapa, os alunos calculam o 
volume de um alvéolo a partir das medidas 
aproximadas, obtidas com régua, das arestas 
da base e da altura.
Quando os grupos tiverem concluído a 
tarefa, o professor pode abrir o debate co-
letivo recolhendo os dados dos grupos e 
 comparando-os, de modo a concluir qual dos 
formatos estudados possui o maior volume.
O professor pode aproveitar e comentar 
com os alunos que a finalidade das abelhas, 
quando constroem seus alvéolos de cera, é 
apenas fazer o recipiente para o mel que elas 
fabricam, e que isso não é produto do pensa-
mento, mas de seu instinto. Nessa atividade, as 
abelhas utilizam-se de importantes fatos natu-
rais que o homem elabora de forma consciente 
na forma de conceitos geométricos. De qual-
quer maneira, é interessante perceber que, no 
instinto animal, podemos identificar soluções 
para problemas humanos. Essa é, sem dúvida, 
uma forma instigante de promover a investi-
gação científica. 
Caso o professor julgue interessante, pode 
explorar o mesmo problema de forma algébri-
ca, supondo para a base triangular a medida 
de aresta x, para a base quadrada y, e para a 
base hexagonal z.
Perímetro do triângulo 3x
Perímetro do quadrado 4y
Perímetro do hexágono 6z
20
Como o perímetro das bases é o mesmo (que 
corresponde ao lado maior da folha de papel sul-
fite), podemos escrever:
3x = 4y = 6z ⇒
4y = 3x ⇒ y =
6z = 3x ⇒ z =
3x
4
x
2
Portanto, as arestas da base dos três pris-
mas são, respectivamente, x, ,3x
4
x
2
 .
Os três prismas têm a mesma altura h (lado 
menor da folha de papel sulfite) e sabendo que 
o volume do prisma, já estudado anterior-
mente, é igual ao produto da área da base pela 
altura temos:
Prisma triangular regular
Área da base A = x
2 . ® 
__
 3 _______ 4 
Volume V = x
2 . ® 
__
 3 _______ 4 
. h
Prisma quadrangular regular
Área da base A = 9x
2
 ____ 16 
Volume V = 9x
2
 ____ 16 . h
Prisma hexagonal regular
Área da base A = 3x
2 . ® 
__
 3 ________ 8 
Volume V = 3x
2 . ® 
__
 3 ________ 8 . h
Desse modo, tomando o valor aproximado 
para ® 
__
 3 = 1,7320, obtemos uma comparação 
entre os seguintes valores de volumes:
Prisma triangular regular
0,4330 . x2 . h
Prisma quadrangular regular
0,5625 . x2 . h
Prisma hexagonal regular
0,6495 . x2 . h
Esses dados nos permitem concluir que, en-
tre os três prismas, o que maximiza o volume, 
com uma justaposição de lados, é o prisma 
hexagonal regular.
O professor pode encontrar outros proble-
mas de comparação entre área e volume nos 
livros didáticos e nos exercícios de vestibular. 
Vale ressaltar que, com os estudos dos cilin-
dros, essa comparação pode ser mais bem 
explorada, pois a maioria das embalagens 
apresenta essas duas formas.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 1, identifi-
camos o formato dos prismas, as noções as-
sociadas a eles, seus elementos, suas relações 
métricas, o cálculo de áreas e volumes. Como 
dissemos anteriormente, a estrutura com que 
abordamos o prisma será retomada na carac-
terização dos outros sólidos que serão discuti-
dos ao longo do bimestre.
A aprendizagem dos alunos pode ser ava-
liada, inicialmente, a partir de situações que 
envolvam aspectos qualitativos dos prismas, 
21
Matemática – 2a série – Volume 4
como identificação da base e da altura e no-
menclatura dos prismas, além de suas repre-
sentações planas. 
Em seguida, sugerimos que a avaliação ex-
plore a determinação das diagonais, das áreas 
laterais e totais dos prismas, além do cálculo 
de seu volume. Uma sugestão é combinar dois 
prismas de bases diferentes, comparando suas 
superfícies e volumes.
Como os sólidos a serem tratados nas pró-
ximas Situações de Aprendizagem resgatam 
algumas especificidades do trabalho com pris-
mas, o professor deve estar atento à capaci-
dade do aluno em perceber as semelhanças 
e as diferenças entre as estruturas estudadas. 
Desse modo, a avaliação sobre prismas per-
manece de forma contínua a cada novo sólido 
estudado.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASE
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: cilindros: conceituação, relações métricas, áreas e volume.
Competências e habilidades: estabelecer analogias entre prismas e cilindros; visualizar sólidos 
formados por rotação; generalizar fatos observados em situações concretas; analisar dados e 
tomada de decisões.
Estratégias: exploração de materiais concretos; exploração de situações que envolvem in-
terpretação e análise de dados; resolução de situações-problema contextualizadas; leitura e 
interpretação de dados.
Recursos: materiaisconcretos; situações-problema contextualizadas.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem, estuda-
remos outro tipo de sólido muito frequente 
no nosso cotidiano: os cilindros. Os cilindros 
podem ser imaginados como uma generali-
zação dos prismas. De fato, podemos ima-
ginar um cilindro como se fosse um prisma 
regular cuja base teve o número de lados su-
cessivamente aumentado, aproximando-se 
de um círculo. A apresentação dos cilindros 
pode ser feita como a sugerida na apresen-
tação dos prismas: recorre-se novamente à 
identificação desse formato em embalagens e 
estruturas do cotidiano.
Exploradas as analogias entre cilindros e 
prismas, o professor pode abordar o cilindro 
como um sólido de revolução, apresentando, 
assim, uma nova estrutura de formação de 
sólidos. 
22
Em diferentes contextos ao longo das séries 
do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, 
trabalhamos dois tipos de movi mentos espe-
ciais: a translação e a rotação. Agora, vamos 
imaginar um tipo especial de movimento: 
a revolução. O movimento de revolução carac-
teriza-se pela fixação de um eixo e pelo movi-
mento de rotacão completa da figura em torno 
deste eixo.
Para apresentar o cilindro de revolução, 
o professor pode recortar um retângulo em 
um papelão, fixar, com fita adesiva, um bar-
bante, passando-o de modo a dividir o re-
tângulo em duas regiões, conforme a figura. 
Fazendo a figura girar em torno do barbante, 
observa-se que o movimento de revolução do 
retângulo em torno de um eixo gerou o cilin-
dro. Desse modo, dizemos que o cilindro é 
um sólido de revolução. O mesmo acontece se, 
em vez de colocarmos o eixo passando pelo 
meio do retângulo, utilizarmos um de seus 
lados como eixo. O lado do retângulo recebe 
o nome de geratriz do cilindro.
geratriz do 
cilindro
eixo
eixo
A exploração dos sólidos gerados por re-
volução pode se tornar um pequeno projeto 
para os alunos. Com o uso de cartolina e pa-
litos de churrasco, os alunos podem produzir 
modelos desses sólidos, identificando a sua 
geratriz e o eixo de rotação. Como exemplo, 
apresentamos o seguinte modelo: 
eixo de rotação
sólido de revolução
geratriz
Das apresentações dos trabalhos, podem 
surgir discussões, como a da impossibilidade 
de construir prismas por rotações, ou da pos-
sibilidade de se estabelecerem outros eixos de 
rotação nas figuras.
As atividades a seguir têm por objetivo 
explorar a visualização plana dos sólidos 
formados por revolução. 
Atividade 1
Quais dos sólidos a seguir podem ser con-
siderados sólidos de revolução?
a)
d)
b)
e)
c)
f)
a), c), d) e f).
23
Matemática – 2a série – Volume 4
Atividade 2
(Enem, 1999) – Assim como na relação 
entre o perfil de um corte de um torno e a 
peça torneada, sólidos de revolução resul-
tam da rotação de figuras planas em torno 
de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em 
torno da haste indicada obtêm-se os sólidos 
de revolução que estão apresentados na co-
luna da direita.
1
3
5
2
4
A
C
E
B
D
A correspondência correta entre as figuras 
planas e os sólidos de revolução obtidos é:
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
O volume do cilindro
Uma estrutura atualmente muito comum 
e significativa para a exploração da ideia do 
volume do cilindro pode ser encontrada em 
um porta-CDs. De maneira intuitiva, pode-
mos considerar o cilindro como uma figura 
espacial formada pela sobreposição ou empi-
lhamento, em uma mesma direção, de círculos 
iguais uns sobre os outros.
Essa forma de ver pode ser explorada como 
análoga ao volume dos prismas, concluindo-se 
que o volume de um cilindro é produto da área 
da sua base pela altura: V = Ab . h.
Aqui também pode ser aplicado o Princí-
pio de Cavalieri. Considerando um prisma e 
©
 R
ob
 W
ilk
in
so
n/
A
la
m
y-
O
th
er
im
ag
es
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
24
um cilindro de mesmas áreas de base, apoia-
dos sobre um mesmo plano, qualquer plano 
que passar paralelo à base deve interceptar 
os dois sólidos, formando duas superfícies, S1 
e S2, paralelas às bases do prisma e do cilin-
dro, de mesma área. Dessa discussão, o aluno 
pode concluir que o volume de um cilindro, 
como no prisma, determina-se pelo produto 
da área de sua base pela altura. Nesse caso, 
a base é um círculo, cuja expressão da área 
será Ab = π . r
2 logo, o volume será dado por: 
V = π r2 h.
S1 S2
α
β
As atividades a seguir têm por objetivo 
explorar situações que envolvem áreas e vo-
lumes de cilindros, procurando ainda uma 
combinação entre conteúdos tratados em 
outros bimestres.
Atividade 3
Latas de molho de tomate têm, geralmente, 
forma cilíndrica. Um consumidor encontrou 
duas marcas de seu interesse e observou os se-
guintes fatos:
a embalagem da marca f A possuía o dobro 
da altura da embalagem da marca b;
a embalagem da marca f b possuía o dobro 
do diâmetro da embalagem da marca A.
Sabendo que a primeira custa R$ 2,30 e 
a segunda R$ 3,40, qual será a compra mais 
econômica? 
Marca A
2h
2dd
Marca b
h
 O cilindro A tem raio da base igual a f d
2
 
e altura igual a 2h.
Logo,
VA = π r 
2 . 2h = π ª d __ 2 º 
2
2h = π d 
2
 ___ 4 2h ⇒
⇒ VA = 
d 2hπ _____ 2 
 .
 O cilindro B tem raio da base igual a f d 
e altura igual a h.
Logo, VB = Ab . h = π d 
2h.
O volume da marca B tem o dobro do volu-
me da marca A. Como o preço da marca A 
é maior que a metade do preço da mar- 
ca B, é mais vantajoso comprar a marca B.
Atividade 4
Os reservatórios de gasolina dos postos ge-
ralmente são tanques no formato de um cilin-
dro reto. Para avaliar o volume de combustível 
que ainda resta no cilindro enterrado no 
solo, o funcionário do posto utiliza uma 
25
Matemática – 2a série – Volume 4
régua, que é colocada verticalmente na boca 
do tanque até atingir o nível do combustível. 
Ao retirar a régua do tanque, o funcionário 
lê a graduação e determina a altura do nível 
do combustível consumido. Admitindo que o 
tanque tenha sido enterrado no sentido ver-
tical, como ilustra a figura, e que tenha raio 
da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o 
volume de combustível do tanque quando a 
régua registra altura d = 40 cm?
1 m
d = 40 cm
2 m
Apoiados na figura, observamos que o volu-
me do combustível no tanque é igual à di-
ferença entre o volume total e o volume do 
cilindro de altura d (volume de combustível 
consumido) e que suas bases são iguais. Po-
demos chegar à seguinte expressão:
V = π . R2 . H – π . R2 . d. Substituindo os valo-
res de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos: 
V = π . 12 . 2 – π . 12 . 0,4, portanto, V = 2π – 0,4π.
V = 1,6π ≅ 5,024 m3, isto é, aproximadamente, 
5 024 litros.
Terminado o problema, o professor pode con-
tinuar explorando outros fatos interessantes 
do mesmo problema.
Atividade 5
Com base na atividade anterior:
a) Encontre a expressão que relaciona o 
volume V do combustível contido no 
tanque com a medida d da régua.
V = π . R2 . H – π . R2 . d 
V = π . R2 (H – d). 
Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2π – d π, 
logo, V = π . (2 – d).
b) Construa e analise o gráfico da função 
V(d).
–1 1 30 2
6 280
V (litros)
d (metros)
c) É possível graduar uma régua para 
que sua leitura converta a medida em 
centímetros para o volume de litros ar-
mazenados no tanque? Se afirmativo, 
explique como fazê-lo.
Sim, é possível.Observando o gráfico, a taxa 
de variação do volume em relação à me-
dida d é constante. Tomando-se π = 3,14, 
essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm. 
26
Portanto, a régua poderá ser graduada afe-
rindo a cada 10 cm da régua o volume de 
314 litros.
314 942628 1 256 ...
O próximo problema, embora contenha a 
mesma estrutura do anterior, difere na direção 
da instalação do cilindro, que agora é horizon-
tal. Nos postos de gasolina, geralmente é essa 
a posição adotada para ser enterrado o cilin-
dro. Essa nova situação vai exigir dos alunos 
alguns conhecimentos sobre fatos referentes 
ao círculo e sobre razões trigonométricas. Isso 
será uma boa situação para o professor rever 
o conteúdo do 1o bimestre (funções trigono-
métricas) e iniciar a exploração de áreas de 
setores circulares, necessários na planificação 
do cone.
Atividade 6
Vamos, agora, considerar um tanque de ar-
mazenamento de álcool com o mesmo formato 
indicado na atividade anterior. Contudo, agora 
ele está colocado na posição horizontal, como 
indica a figura. Do mesmo modo, para medir 
a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se 
uma régua e o procedimento é o mesmo da ati-
vidade anterior. Suponha que o tanque tenha 
o formato de um cilindro com 1 m de raio 
de base e 4 m de altura. Qual é o volume de 
 álcool consumido quando a régua registra a 
marca d = 30 cm?
Tanque de armazenamento
O professor pode, inicialmente, deixar os alu-
nos buscarem seus próprios meios para resol-
ver esta atividade. Algum tempo depois, pode 
auxiliá-los na interpretação do problema, dis-
cutindo semelhanças com relação à situação da 
atividade anterior. Uma primeira ideia que deve 
surgir é que, como lá, o volume do combustível 
será igual à diferença entre o volume total e o 
volume consumido. O cálculo do volume total é 
simples. O problema recairá sobre o cálculo do 
volume de álcool consumido. 
1 m
0,3 m
4 m
Como estamos acostumados a ver os só-
lidos com a base na horizontal, uma ideia é 
mudarmos a direção do tanque de horizontal 
para vertical (figura a seguir).
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
27
Matemática – 2a série – Volume 4
R
H
d
Crie um debate na sala, de modo que os 
alunos concluam sobre a necessidade de 
calcular o volume do sólido destacado, que 
representa o volume do álcool consumido. 
Explorando a ideia relativa ao Princípio de 
Cavalieri, os alunos devem chegar à conclu-
são de que o volume do sólido é igual ao 
produto da área de sua base pela altura. 
A altura é igual ao comprimento do cilin-
dro. O problema, portanto, reside em deter-
minar a área da base.
Essa região do círculo recebe o nome de 
segmento circular, que é uma região limitada 
por uma corda e um arco do círculo.
0 segmento circular
B
A
A área do segmento circular pode ser calcu-
lada pela diferença entre a área do setor circular 
e a área do triânguo isósceles AOB.
Vamos dividir a resolução em etapas:
a) Área do setor circular:
Setor circular é a porção do círculo limitada 
por dois raios e um arco do círculo. Para deter-
minar a área do setor circular, precisamos da 
medida do ângulo central a ele correspondente, 
que indicaremos por θ.
d = 0,3 m
régua
B
0
R =1R =1
A
θ
0,3 m
0,7 m
B
0
1 mθ1 m
A
O valor deste ângulo θ pode ser determinado 
se dividirmos o triângulo isósceles AOB, a 
partir da altura relativa ao vértice O. Assim, 
o ângulo θ também será dividido ao meio e o 
novo triângulo será retângulo.
28
A medida do ângulo 
θ
2
 pode ser encontrada a 
partir de seu cosseno: cos t __ 2 = 
0,7
 ____ 1 = 0,7.
Desse modo, devemos determinar qual o arco 
cujo cosseno seja igual a 0,7.
1 m
0,7 m
1 m
θ
2
Consultando uma tabela trigonométrica ou 
por estimativa, admitindo que 
® 
__
 2 ____ 2 ≅ 0,7, 
teremos que cos θ __ 2 ≅ 0,7 e, portanto, o valor 
de θ __ 2 ≅ 45°. O ângulo do setor circular pode 
ser considerado, então, próximo de 90º, e sua 
área equivalerá a 1
4
 da área total do círculo. 
Como a área do círculo é Acírculo = π . 1
2 = π, 
a área do setor será Asetor = 
π __ 4 m
2.
Adotando π = 3,14, temos que;
Asetor = 
3,14
 _____ 4 = 0,785 m
2.
b) Cálculo da área do triângulo:
Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o 
triângulo AOB é retângulo em O e, portanto, 
sua área será: Atriângulo = 
1 . 1 ____ 2 = 
1 __ 2 = 0,5 m
2.
c) Área do segmento circular (A):
A = Asetor – Atriângulo = 0,785 – 0,5
A = 0,285 m2.
Retomando o volume do combustível consu-
mido (V1):
V1 = A . H = 0,285 . 4 
V1 = 1,14 m
3, isto é, 
V1 = 1140 litros.
Então, a resposta do problema proposto é 
que foram consumidos 1 140 litros de álcool.
Terminada essa atividade, o professor pode 
pedir aos alunos que investiguem, em postos 
de gasolina, como é medido o estoque de com-
bustível nos tanques. Atualmente, há processos 
sofisticados de medições desses volumes. Dis-
positivos são instalados no interior dos tanques 
e fornecem em tempo real, em um painel, a 
conversão da altura ao volume do combustível 
disponível. Nos postos mais antigos, o estoque 
é calculado pela combinação da “régua de me-
dição” com uma tabela específica de conversão. 
O professor também pode, julgando o tem-
po suficiente, distribuir para diferentes grupos 
de alunos valores diferentes de d e, agrupan-
do-os em uma tabela, propor a construção do 
gráfico do volume armazenado no tanque 
em função de d − V(d), e de θ − V(θ). Neste 
último, dado θ em radianos, a interseção com 
os eixos coordenados será em (2π,0), quando 
o ângulo θ assume seu maior valor e o volume 
do tanque é zero, e em (0,4π), situação que re-
presenta o tanque totalmente cheio.
29
Matemática – 2a série – Volume 4
10
10
12
V (l)
4 π ≅ 12,56
2 π ≅ 6,28
θ (rad)
6
6
2
2
– 2 8
8
4
4
0
A situação que propomos a seguir pode tor-
nar-se um tema interdisciplinar entre as áreas 
de Matemática, Física e Química. O problema 
propõe um modelo bastante aproximado para 
o cálculo do volume de ar contido em um pneu, 
pela interpretação dos dados nele impressos. 
Uma situação como essa envolve muitas ou-
tras considerações, como as referentes à pressão 
e à temperatura, que não são consideradas no 
problema, mas que podem ganhar significado 
quando tratadas juntamente com professores de 
Física e Química. 
Atividade 7 – O volume de ar de um pneu
Todo pneu de automóvel possui um códi-
go alfanumérico que traz especificações so-
bre suas dimensões e características. Vamos 
explorá-lo:
P 245 / 45 R19
1 – P
2 – 245
3 – 45
4 – R
5 – 19
1. A letra P, que não aparece em todos os 
pneus, indica que se trata de um pneu 
para veículos de passeio.
2. A largura do pneu ou da sua banda de 
rodagem é dada em milímetros.
3. A altura lateral do pneu é indicada pelo 
porcentual da largura da banda de ro-
dagem. Também recebe o nome de série.
4. A letra R significa que o pneu é de cons-
trução radial. Sua estrutura é formada 
por camadas de lonas dispostas parale-
lamente e em sentido radial. A ausên-
cia dessa letra significa que o pneu é de 
construção diagonal, sendo as lonas 
cruzadas uma em relação às outras.
5. Refere-se à medida do diâmetro do 
aro da roda. Ele é dado em polegadas 
(1 pol ≅ 2,54 cm).
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
30
O pneu da figura, por exemplo, está identifi-
cado com o código P245/45 R19. Portanto, ele 
é um pneu de carro de passeio, possui uma lar-
gura de 245 mm; como a altura do pneu é 45% 
da largura,ela mede 245 . 0,45 = 110,25 mm ou 
11,025 cm; e o diâmetro da roda interna mede 
19 polegadas, ou 19 . 2,54 = 48,26 cm.
Considerando um pneu como um mode-
lo de um cilindro vazado, podemos propor o 
cálculo aproximado do volume de ar que ele 
comporta. 
Para o cálculo do volume aproximado do ar 
contido no pneu, com as especificações aci-
ma, temos que encontrar o diâmetro total da 
roda do carro, para então podermos calcular 
o seu volume. Esse diâmetro pode ser obtido 
somando-se o diâmetro da roda interna com 
o dobro da altura do pneu.
24,5 cm
35,16 cm
24,13 cm
11,025 cm
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 
= 48,26 cm + 2 . 11,025 cm = 70,31 cm. 
O raio do cilindro interior será de 24,13 cm e 
o do exterior 35,16 cm. O volume do cilindro 
vazado, que corresponde ao valor aproximado 
do volume do ar será:
V = π . (35,16)2 . 24,5 – π . (24,13)2 . 24,5
V = 50 309,81 cm3.
Portanto, o volume de ar contido neste pneu 
é de, aproximadamente, V ≅ 50,31 litros. 
Atividade 8
A recauchutagem de pneus é uma impor-
tante alternativa ambiental na reciclagem da 
borracha. De forma simples, recauchutar um 
pneu significa aproveitar sua estrutura resis-
tente (correspondente a 75% do pneu) e in-
corporar uma nova camada de borracha em 
“seu piso”.
O pneu da figura está identificado com o 
código 205/65 R15.
altura 
do pneu
diâmetro 
da roda
205/65R15 91V M
+
S R
A
D
IAL 
 
 
 
 
 
 
 
 X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que seu piso esteja liso e que se 
decida recauchutá-lo, qual área da superfície 
do pneu a nova camada vai sobrepor?
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
31
Matemática – 2a série – Volume 4
V = π . (35,16)2 . 24,5 – π . (24,13)2 . 24,5
V = 50 309,81 cm3.
Portanto, o volume de ar contido neste pneu 
é de, aproximadamente, V ≅ 50,31 litros. 
Atividade 8
A recauchutagem de pneus é uma impor-
tante alternativa ambiental na reciclagem da 
borracha. De forma simples, recauchutar um 
pneu significa aproveitar sua estrutura resis-
tente (correspondente a 75% do pneu) e in-
corporar uma nova camada de borracha em 
“seu piso”.
O pneu da figura está identificado com o 
código 205/65 R15.
205/65R15 91V M
+
S R
A
D
IAL 
 
 
 
 
 
 
 
 X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que seu piso esteja liso e que se 
decida recauchutá-lo, qual área da superfície 
do pneu a nova camada vai sobrepor?
Os dados do pneu permitem-nos concluir que 
sua largura é de 205 mm, sua altura é 65% da 
largura, o que corresponde ao seguinte cálcu-
lo: 205 . 0,65 = 133,25 mm, isto é, 13,325 cm, 
e o diâmetro da roda interna mede 15 polega-
das que, convertidas em centímetros, corres-
pondem a 15 . 2,54 = 38,1 cm. 
Dessa forma, é possível determinar o diâme-
tro da roda do carro acrescentando à medida 
do diâmetro interno da roda o dobro da al-
tura do pneu:
altura 
do pneu
diâmetro 
interno da 
roda
Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 
= 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm
Tomando novamente o cilindro como modelo 
do pneu, o problema resume-se em achar a 
área da sua superfície lateral, que é um re-
tângulo, de altura 20,5 cm e medida da base 
igual ao comprimento da circunferência do 
pneu. Lembrando que a relação entre o com-
primento da circunferência e seu diâmetro é 
dada pela fórmula C = π . D, o comprimento 
da circunferência do pneu é de, aproximada-
mente, Cpneu = 3,14 . 64,75 = 203,32 cm.
Assim, a área da superfície do pneu, na qual 
vai ser inserida a nova camada de borracha, 
será: A = 203,32 . 20,5 = 4 168,1 cm2, isto é, 
A = 0,417 m2.
Considerações sobre a avaliação
Após as primeiras Situações de Aprendi-
zagem, a expectativa é que os alunos tenham 
adquirido um método de exploração de fi-
guras no espaço com as características de 
prismas e cilindros. A seleção das atividades 
foi feita considerando-se um contexto e uma 
possibilidade de articulação com outros con-
ceitos geométricos. O trabalho com o círculo 
e a circunferência, iniciado com os cilindros, 
aprofunda-se no estudo dos cones. Portanto, 
alguns aspectos tratados nesta Situação de 
Aprendizagem retornarão mais à frente, o 
que merecerá a atenção do professor.
32
Roteiro para a aplicação da 
Situação de Aprendizagem 3
Talvez a manifestação mais contundente do 
interesse humano pela ascensão possa ser encon-
trada no Egito. A pirâmide de Quéops represen-
ta esse sonho do ser humano de alcançar o céu 
e as estrelas. Vendo de perto, observa-se que as 
pirâmides são construídas como uma enorme 
escadaria, que tem no conhecimento da for-
ma prismática sua estrutura. Foi apoiado nesse 
conhecimento que o ser humano realizou sua 
fantasia e representou o movimento de ascen-
são na Geometria, criando, assim, a pirâmide.
Não é sem motivo que, em muitas defini-
ções etimológicas da palavra pirâmide, desta-
ca-se o prefixo pira, cujo significado é “fogo”, 
igualmente alusivo à ascensão.
De forma geral, com os conhecimentos e 
métodos discutidos nas outras Situações de 
Aprendizagem, os alunos estão preparados 
para intuir muitas noções envolvidas no es-
tudo de pirâmides.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: pirâmides e cones: significados, relações métricas, áreas e volume.
Competências e habilidades: visualizar e representar pirâmides e cones; enfrentar situa- 
ções-problema que envolvem a identificação e os cálculos de áreas e volumes de figuras na 
forma de pirâmide ou cone; fazer generalizações a partir de experiências.
Estratégias: trabalhos em grupos; atividades sobre pirâmides e cones; proposição de situa-
ções-problema contextualizadas; atividades de demonstração.
©
 A
bl
es
to
ck
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
O MOVIMENTO DE ASCENSÃO: PIRÂMIDES E CONES
33
Matemática – 2a série – Volume 4
A apresentação e a manipulação da pirâ-
mide, a partir de embalagens, pode ser inte-
ressante. Aqui, surge uma boa oportunidade 
para o professor trabalhar a confecção de pi-
râmides com diversos recursos:
utilizando a sua planificação, o que pode f
ser encontrado em vários livros didáticos 
que tratam sobre o tema; 
utilizando linhas e canudos. Um tetraedro f
regular, por exemplo, pode ser confec-
cionado com seis canudos e um pedaço 
suficiente de linha de costura. Detalhes e 
outras construções são encontrados na 
RPM, nº- 28, 1995, p. 29;
usando modelos formados por bolinhas de f
isopor e palitos de churrasco. As bolinhas 
são os vértices e os palitos as arestas. 
Aqui, como nas outras Situações de Apren-
dizagem, o aluno deve estar consciente de que, 
embora esteja visualizando a “carcaça” das 
pirâmides, devemos considerá-las como sóli-
dos maciços.
Com a visualização e a manipulação das 
pirâmides, podemos discutir alguns fatos se-
melhantes aos prismas: suas faces também são 
polígonos, seus nomes dependem do polígono 
que forma sua base e elas podem ser retas ou 
oblíquas, dependendo da posição entre a altu-
ra e a base. 
Discutidas as semelhanças, podemos des-
tacar a diferença: a pirâmide é um sólido que 
se “afunila”. Essa característica será retoma-
da no estudo dos cones. 
A seguir, propomos algumas atividades 
com o objetivo de explorar os fatos funda-
mentais das pirâmides relativos às suas rela-ções métricas. 
Atividade 1
Dado um cubo, quando unimos, por seg-
mentos de reta, os centros de suas faces, obte-
mos um novo poliedro: o octaedro regular (do 
grego octo – oito – e edro – face). Ao proceder 
do mesmo modo com um octaedro, obtemos, 
no seu interior, um cubo. O octaedro regular e 
o cubo são chamados, em razão disso, de po-
liedros duais.
A figura representa o dual cubo-octaedro. 
O octaedro representado é uma figura espa-
cial que pode ser obtida reunindo-se, pela base, 
duas pirâmides idênticas de base quadrada. 
©
 F
er
na
nd
o 
F
av
or
et
to
34
Todas as arestas desse octaedro têm o mesmo 
comprimento, logo, suas faces são triângulos 
equiláteros. Considerando o octaedro regular 
de aresta 20 cm, determine:
a) a altura das faces laterais do octaedro;
b) a área da superfície do octaedro;
c) a altura do octaedro;
d) a área da superfície do cubo.
Antes de resolver a atividade, pode-se propor 
aos alunos a confecção do octaedro com bo-
linhas de isopor e palitos. 
a) As faces laterais do octaedro são triân-
gulos equiláteros de lado 20 cm. Para cal-
cular a altura h (apótema da pirâmide 
regular) de uma das faces, podemos ob-
servar que ela é o cateto de um triângulo 
retângulo de hipotenusa 20 cm e com o 
outro cateto de 10 cm.
20
h
10
h2 + 102 = 202
h2 = 300, logo, h = 10 ® 
__
 3 cm
b) Cada face do octaedro é um triângulo de 
medida de base 20 cm e altura h = 10 ® 
__
 3 cm; 
sua área será:
Aface = 
1 __ 2 . 20 . 10 
® 
__
 3 ⇒ Aface = 100 ® 
__
 3 ≅ 173 cm2.
Logo, a área da superfície do octaedro será 
A = 8 . 173 = 1 384 cm2.
c) Observando somente uma das pirâmides 
que compõem o octaedro, percebemos que 
a sua altura h’ é um cateto de um triân-
gulo retângulo cuja hipotenusa é a altura 
da face lateral e o outro cateto tem medi-
da igual à metade do lado do quadrado da 
base.
h’ 2 + 102 = h2
h’ 2 = 300 – 100 = 200
h’ = 10 ® 
__
 2 
Logo, a altura do octaedro é H = 2h’, ou seja, 
H = 20 ® 
__
 2 , H 7 28,2 cm.
C
10 cm
A
D B
H
10 cm
d) Observamos que a aresta do cubo 
é igual à altura do octaedro, ou seja, 
20 ® 
__
 2 cm. Logo, a área de uma face do 
cubo é Af = (20 ® 
__
 2 )2 = 800 cm2 e a área da 
superfície total do cubo é A = 4 800 cm2.
35
Matemática – 2a série – Volume 4
Volume da pirâmide
A discussão sobre o volume da pirâmi-
de é um momento interessante do curso. 
A analogia aplicada entre o volume do pris-
ma e do cilindro não faz sentido, no caso da 
pirâmide. 
Para iniciar a discussão, o professor pode 
propor um levantamento de hipóteses sobre 
como calcular o volume da pirâmide. Em 
uma comparação com um prisma de mesma 
base e altura, pode-se concluir que seu volu-
me será menor. Mas a questão é: quanto?
No debate, o professor pode registrar na 
lousa as hipóteses dos alunos para, depois, 
compará-las com o fato de o volume desta 
pirâmide ser um terço do volume do pris-
ma. A partir desse momento, o importante 
é encontrarmos um meio de significar o fa-
tor 1
3
 que caracteriza o cálculo do volume 
dos sólidos com afunilamento, como as pi-
râmides e os cones.
A seguir, propomos uma experiência que 
tem por objetivo facilitar a compreensão do 
cálculo do volume da pirâmide. Nessa expe-
riência, os alunos, em duplas, trabalharão 
com cortes em um pedaço de sabão. Para 
isso, necessitamos de pedras de sabão em for-
mato de um paralelepípedo reto-retângulo e 
de uma faca ou estilete. É importante que o 
professor, antes de aplicar esta atividade, te-
nha construído o seu modelo. Ele será útil 
para acompanhar o trabalho dos alunos, po-
dendo ser apresentado em caso de dúvidas.
Para esta experiência, é importante que 
o professor tenha discutido com os alunos o 
fato de duas pirâmides de mesma base e mes-
ma altura terem o mesmo volume.
H
H
bases com áreas iguais
36
Encontrando o volume da pirâmide em uma barra de sabão
Gravura/instrução Gravura/instrução
1. Tomamos por base uma barra de sabão 
no formato de um paralelepípedo reto-
retângulo. Fazemos um corte na diagonal 
das bases, obtendo, assim, dois prismas de 
bases triangulares. Cada aluno deve ficar 
com um desses prismas. 
2. Seccionamos o prisma de base triangular 
com uma faca, segundo o plano que passa 
por um vértice da base e pela diagonal das 
faces laterais.
3. Separando as partes, o pedaço menor será 
uma pirâmide de base triangular (P1) e o peda-
ço maior uma pirâmide de base quadrangular 
(P2). Indicamos pela letra x as faces obtidas 
na seção. Isso nos ajudará a compor o prisma 
novamente.
4. Apoiando a pirâmide (P2) sobre sua base 
(que é um retângulo), fazemos um corte 
que parte do seu vértice e encontra a dia-
gonal da base.
5. As duas pirâmides obtidas por esse corte 
terão o mesmo volume, pois elas têm a mes-
ma altura (vértice comum) e área da base 
igual (metade da área do retângulo). Indi-
camos as faces obtidas pela seção pela letra 
y. Observe que uma delas terá as indicações 
x e y e a outra somente a y.
6. Comparando a pirâmide de base trian-
gular obtida no primeiro corte (P1) com 
a pirâmide que só possui a etiqueta y, 
verificamos que elas têm a mesma altura e 
área da base igual. Seus volumes, portan-
to, também são iguais.
F
ot
os
: ©
 F
er
na
nd
o 
F
av
or
et
to
37
Matemática – 2a série – Volume 4
Por meio dessa atividade, observamos que 
o prisma de base triangular, cujo volume é o 
produto da área da base pela altura, foi decom-
posto em três pirâmides de base triangular de 
mesmo volume. Assim, cada uma das pirâmi-
des terá, por volume, um terço do volume do 
prisma. Dessa forma, chegamos à expressão: 
Vpirâmide = 
1 ___ 3 3 Abase . h
Para generalizar essa situação para o cálcu-
lo do volume de uma pirâmide cuja base não 
seja triangular, podemos mostrar que toda pi-
râmide pode ser decomposta em pirâmides de 
bases triangulares justapostas:
h
A1
A2
A3
Vpirâmide = 
1 __ 3 A1 . H + 
1 __ 3 A2 . H + 
1 __ 3 A3 . H
Vpirâmide = 
1 __ 3 H (A1 + A2 + A3)
Vpirâmide = 
1 __ 3 Abase . H
Aqui, temos generalizada a expressão.
Tratando-se de uma experiência, é opor-
tuno que o professor peça a redação de um 
relatório. Nele, podem constar os detalhes da 
execução da tarefa, as interpretações de cada 
passo, as representações planas dos sólidos 
criados e uma análise sobre as hipóteses le-
vantadas e o resultado alcançado.
A seguir, apresentamos algumas atividades 
que pretendem explorar o cálculo do volume 
das pirâmides articulados a outros conceitos 
geométricos.
Atividade 2
Uma pirâmide de base triangular é um 
sólido de 4 faces, chamado de tetraedro. Um 
tetraedro regular (faces são triângulos equilá-
teros) tem área total igual a 8 ® 
__
 3 cm2.
a) Desenhe o tetraedro e o seu dual, ou 
seja, o poliedro cujos vértices são os 
centros das faces do poliedro dado.
b) Encontre o volume do tetraedro maior.
Como são quatro faces de mesma área (triân-
gulos equiláteros), temos que a área de um 
triângulo equilátero é 
AT ___ 4 = 
8 ® 
__
 3 _____ 4 = 2 
® 
__
 3 cm. 
A área de um triângulo equilátero pode ser cal-
culada por:
A = l 2 
® 
__
 3 ____ 4 ⇒ 2 ® 
__
 3 = l 
2 ® 
__
 3 _____ 4 ⇒ l 
2= 8 ⇒ 
l = 2 ® 
__
 2 cm
Para o cálculo do volume, precisamos da me-
dida da altura da pirâmide. A partir do de-
senho a seguir, observamos que ela é um dos 
catetos de um triângulo retângulo em que a 
hipotenusa é a altura de uma das faces, e o 
outro catetomede 1
3
 da medida da altura da 
face, pois corresponde ao apótema do triân-
gulo equilátero.
38
h cm= 6
6
3
cm
h
A altura da face é encontrada aplicando-se 
a expressão:
h = l 
® 
__
 3 ____ 2 ⇒ h = 
2 ® 
__
 2 . ® 
__
 3 ________ 2 ⇒ h = ® 
__
 6 
Por Pitágoras, escrevemos que:
 ª ® 
__
 6 º 
2
 = ª ® 
__
 6 ____ 3 º 
2
 + H2
H2 = 6 – 6 __ 9 = 
48 ___ 9 
H = ® 
___
 48 ___ 9 = 
4 ® 
__
 3 _____ 3 cm
Portanto:
V = 1 __ 3 Ab . h = 
1 __ 3 . 2 
® 
__
 3 . 4 
® 
__
 3 _____ 3 = 
8 __ 3 ≅ 2,67 cm
3
Observação: Podemos calcular o apótema 
da pirâmide usando semelhança de triângu-
los (ver figura a seguir):
a
 ® 
__
 2 
 ® 
__
 2 
2 ® 
__
 2 
 ® 
__
 6 
 
® 
__
 2 ____ 
 ® 
__
 6 
 = a ____ 
 ® 
__
 2 
 
Logo: a = 
® 
__
 2 . ® 
__
 2 ________ 
 ® 
__
 6 
 
a = 
® 
__
 6 ____ 3 cm.
O cone
A noção de cone é sugerida, na prática, por 
diversos objetos do nosso cotidiano: chapéu 
de aniversário, cone de sorvete e cones de si-
nalização são alguns exemplos.
A discussão inicial sobre os cones pode ser 
feita como foi proposta para as pirâmides e 
os prismas. Aqui, podemos destacar as suas 
semelhanças e diferenças com relação aos ci-
lindros e também às pirâmides. 
A apresentação do cone também pode ser 
feita como um sólido de revolução, toman- 
do-se um triângulo retângulo e fazendo-o girar 
em torno de um de seus catetos. A hipotenusa 
torna-se a geratriz do cone.
V
BA
h
r
g
O trabalho com setores circulares que apa-
receu na Situação de Aprendizagem 2 agora é 
aprofundado, pois se trata das superfícies late-
rais dos cones circulares retos. Esse momento 
é oportuno para explorarmos fatos básicos da 
circunferência e do círculo, dando preferência 
para noções que envolvem proporcionalidade.
O tratamento do volume do cone pode ser 
feito aplicando-se o Princípio de Cavalieri, em 
uma comparação entre o volume da pirâmide e 
do cone, de forma análoga ao que fizemos com 
o cilindro e o prisma. Outra abordagem é ima-
ginar pirâmides de mesma altura, inscritas no 
cone, com número de lados cada vez maiores, 
aproximando a área da base à área do círculo.
39
Matemática – 2a série – Volume 4
As atividades que propomos a seguir 
têm a finalidade de destacar fatos funda-
mentais do cone e aplicá-los em atividades 
contextualizadas.
Atividade 3 – A construção dos cones
Vamos construir setores circulares a partir 
de círculos de 10 cm de raio desenhados em 
uma folha de papel sulfite. Observe que, para 
cada setor, construímos também o setor do seu 
replementar, isto é, cuja soma é igual a 360º.
a) 60º b) 120º c) 90º d) 270º
Terminada a construção, recorte os setores.
a) b) 
c) d) 
60º
90º
120º
270º
Atividade 4
Tomando os setores da atividade anterior, 
use fita adesiva para unir os raios, de modo a 
formar figuras parecidas com chapéus de festa 
de aniversário. Cada uma dessas figuras cor-
responde à superfície lateral de um cone, e os 
raios desses setores constituem a sua geratriz.
Observando cada um dos modelos criados, 
procure completar os dados da tabela a seguir:
Ângulo 
central α
área 
do setor 
circular A
Raio da 
base r
Altura do 
cone h
60º
90º
120º
270º
Aqui, professor, o aluno é levado a investigar 
as relações entre a geratriz, o raio da base 
e o comprimento do setor circular. Todos os 
cálculos são obtidos com o uso de proporcio-
nalidade.
Vamos detalhar os cálculos para o setor 
de 120º: 
A área do círculo original é: A = 100 π e 
seu comprimento é C = 20 π logo, a área 
do setor será 1 __ 3 deste valor, portanto 
Asetor = 
1 __ 3 . 100π cm
2 e seu comprimento será 
Csetor = 
1 __ 3 . 20π cm.
Como o comprimento do arco representará o 
comprimento da base, podemos concluir que 
Cbase = Csetor = 
1 __ 3 . 20π logo, se r é o raio da 
base, 2πr = 1 __ 3 . 20π e, portanto, r = 
10 ___ 3 cm.
Observando a figura, observamos que a al-
tura, o raio da base e a geratriz são lados 
de um triângulo retângulo em que a gera-
triz é a hipotenusa. Aplicando o teorema de 
Pitágoras, teremos 10 2 = h 2 + ª 10 ___ 3 º 
2
, do que 
se conclui que: h = 20 
® 
__
 2 ______ 3 cm
2.
40
Ângulo central α 
(graus)
Área do setor 
circular A (cm2)
Raio da base r 
(cm)
Altura do cone h (cm)
60º
50π
3
5
3
 ® 
________
 100 – 25 ___ 9 = ® 
____
 875 ____ 9 = 
5 ® 
___
 35 ______ 3 
90º 25π
5
2
 ® 
________
 100 – 25 ___ 4 = ® 
____
 375 ____ 4 = 
5 ® 
___
 15 ______ 2 
120º
100π
3
10
3
 ® 
_________
 100 – 100 ____ 9 = ® 
____
 800 ____ 9 = 
20 ® 
__
 2 ______ 3 
270º 75π
15
2
 ® 
_________
 100 – 225 ____ 4 = ® 
____
 175 ____ 4 = 
5 ® 
__
 7 _____ 2 
Professor, ao final da atividade, pode-
se sugerir aos alunos que generalizem essa 
situa ção, como apresentada a seguir. Deve-
mos destacar, contudo, que não há neces-
sidade de memorização das fórmulas. Todo 
o cuidado com a atividade é que o aluno 
construa as relações de forma visual e que as 
determine pelo uso da proporcionalidade.
h
g
r
g
g
2πr
g2 = h2 + r2 ⇒ { r2 = g2 – h2 ⇒ r = ® 
______
 g2 – h2 
 
h2 = g2 – r2 ⇒ h = ® 
______
 g2 – r2 
 
Sendo a o ângulo central do setor circular, 
os alunos podem identificar a expressão:
2πr = a _____ 
360°
 2πg ⇒ r = 
ag
 _____ 360° ⇒ a = 
360° . r _______ g 
Atividade 5
Os para-raios foram inventados pelo po-
lítico e cientista norte-americano Benjamin 
Franklin (1706 - 1790). Eles são constituídos 
por uma haste condutora fixada verticalmente 
na parte mais alta de uma estrutura, seja ela 
um edifício, um poste ou uma antena. Segundo 
estudos experimentais da ABNT (Associação 
Brasileira de Normas Técnicas), o campo de 
proteção oferecido por um para-raios é aquele 
abrangido por um cone, tendo por vértice o 
ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz 
forma um ângulo de 60º com essa haste. Geral-
mente, a medida das hastes é de, aproximada-
mente, 1 m. Com base nessas informações, faça 
a representação e determine a área aproximada 
da base do “campo de proteção” oferecido por 
um para-raios disposto sobre uma antena de 
79 m de altura.
A base do campo de proteção é um círculo 
de raio R, que pode ser determinado por 
tg 60º = 
R
80
, logo, R = 80 . ® 
__
 3 ≅ 138,56 m.
41
Matemática – 2a série – Volume 4
Dessa forma, a área de proteção será deter-
minada pela seguinte expressão:
A = π . R2 ≅ 3,14 . 19198,87
A = 60 284,46 m2.
1 m
79 m
60º
base do campo de proteção
A atividade a seguir foi selecionada do vesti-
bular da Unesp por propor uma situação-pro-
blema de contexto social e por abordar o tronco 
de cone, o que remete à semelhança de triângu-
los e proporcionalidade.
Atividade 6
(Unesp, 2007) – Em uma região muito pobre 
e com escassez de água, uma família usa para to-
mar banho um chuveiro manual, cujo reservató-
rio de água tem o formato de um cilindro circular 
reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, 
seguido de um tronco de cone reto, cujas bases 
são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm 
e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como 
mostrado na figura.
12 cm
10 cm
30 cm
6 cm
Por outro lado, em uma praça de uma certa 
cidade há uma torneira com um gotejamento 
que provoca um desperdício