sistema de amortização progressiva sap

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160 Matemática para Negócios e Finanças
 Sistema de amortização 
progressiva (SAP)
Eduardo Araújo*
Sistema de amortização francês, sistema price ou sistema de 
amortização progressiva – SAP
O sistema de amortização francês consiste em um procedimento no qual a prestação se mantém 
fixa e os juros incidem sobre o saldo devedor; desta forma, esses juros decrescem à medida que as 
prestações são pagas. É o sistema mais utilizado pelos bancos e instituições financeiras em geral. 
Como a prestação é constante e igual a juros mais amortização, à medida que os juros diminuem, a 
amortização aumenta. 
Veja um exemplo de aplicação:
Um empréstimo de R$ 4.000,00 será pago utilizando o sistema de amortização francês, em 6 
prestações mensais postecipadas e com juros de 5% a.m.
Como você já estudou, pode-se escrever o valor presente para uma série postecipada como 
VP = PMT . fvp (i%, n), ou seja:
 PMT = 
VP
fvp(i%,n)
Utilizando-se a tabela 1 fator de cálculo para valor presente, obtemos 
fvp (5%,6) = 5,075692. 
Desta forma:
 PMT = 
4000
5,075692
 = R$ 788,07
Assim a prestação será de R$ 788,07.
Em geral, para representar estas movimentações financeiras, utiliza-se uma tabela composta de 
cinco colunas: mês, saldo devedor, valor amortizado, juros, valor da prestação. Sendo assim, antes de 
construir nossa tabela, vamos retomar alguns conceitos fundamentais:
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
1 Verificar anexo no final deste livro
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Sistemas de amortização progressiva (SAP) 161
::	 Juros (Jt): 
É um valor pago com relação ao que devemos, logo:
 J = i . SDt-1
 em que:
 i = taxa de juros
 SDt-1 = saldo devedor do período anterior
::	 Amortização (At) 
Conforme comentamos no início do capítulo, no sistema de amortização francês a prestação é 
a soma do valor amortizado com os juros do período, ou seja:
 PMT = At + J
Isolando o valor a ser amortizado, temos
 At = PMT - J
::	 Saldo devedor (SDt):
É o saldo devedor do período anterior menos o valor amortizado.
 SDt = SDt-1 - At
Importante
Siga a seqüência lógica apresentada na tabela. Ela é que lhe dará a noção de como os cálculos 
são feitos. 
Basta você verificar mês a mês e perceber a seqüência das operações. A prestação, conforme 
calculamos no exemplo anterior, é de R$ 788,07 e nela está incluído o valor a ser amortizado e os juros 
do mês, que variam, mas sua soma é sempre, nesta situação, R$ 788,07.
Mês (t) Saldo devedor
SDt = SDt- 1 - At
Amortização
At = PMTt - Jt
Juros
Jt = i x SDt- 1
Prestação
(PMT)
0 4 000 0 0 0
1
SDt = 4 000 - 588,07
SDt = 3 411,93
At = 788,07 - 200
At = 588,07
Jt = 0,05 . 4 000
Jt = 200
788,07
2
SDt = 3 411,93 - 617,47
SDt = 2 794,46
At = 788,07 - 170,6
At = 617,47
Jt =0,05 . 3 411,93
Jt = 170,6
788,07
3
SDt = 2 794,46 - 648,35
SDt = 2 146,11
At = 788,07 - 139,72
At = 648,35
Jt = 0,05 . 2 794,46
Jt = 139,72
788,07
4
SDt = 2 146,11 - 680,76
SDt = 1 465,34
At = 788,07 - 107,31
At = 680,76
Jt = 0,05 . 2 146,11
Jt = 107,31
788,07
5
SDt = 1 465,34 - 714,8
SDt = 750,54
At = 788,07 - 73,27
At = 714,8
Jt = 0,05 . 1 465,34
Jt = 73,27
788,07
6
SDt = 750,54 - 750,54
SDt = 0
At = 788,07 - 37,53
At = 750,54
Jt = 0,05 . 750,54
Jt = 37,53
788,07
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162 Matemática para Negócios e Finanças
Como você pode perceber, na sexta prestação o saldo devedor fi cou nulo.
Em uma planilha eletrônica (como o Excel) fi ca bastante fácil construir esta tabela. Veja:
::	 Digitamos na primeira coluna os meses (1 a 6).
::	 Na quinta coluna, digitamos a prestação fi xa para os seis meses.
::	 Na primeira linha (mês zero), digitamos o saldo devedor (que, quando inicia, é o valor todo, no 
nosso caso R$ 4.000,00) e zero para a amortização (nada foi amortizado ainda) e juros.
::	 Na segunda linha, digitamos as relações entre as colunas, conforme está descrito entre 
parênteses, na primeira linha da tabela abaixo. Veja:
::	 Em seguida, arrastamos as três colunas até o mês 6:
Como você pode ver, planilhas eletrônicas são de grande valia para a construção de movimentações 
fi nanceiras como essa. 
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Sistemas de amortização progressiva (SAP) 163
Cálculo das variáveis para um período qualquer no SAP
Existem expressões matemáticas simples que permitem o cálculo direto das variáveis envolvidas 
neste sistema quando não necessitamos da tabela por completo, mas em um só momento. Veja:
Saldo devedor 
Para um série de prestações postecipadas, o saldo devedor, em um determinado período, pode 
ser representado pela expressão:
SD = VP .
(1 + i) - (1 + i)
(1 + i) - 1
n t
n






 em que:
 SD = saldo devedor
 VP = valor total da dívida
 i = taxa de juros
 n = número de prestações
 t = número da prestação que queremos calcular o saldo devedor.
Veja este cálculo para o mês 4 da situação do primeiro exemplo desta aula (SD = 1 465,34).
 
SD = 4 000
(1 + 0,05) - (1 + 0,05)
(1+0,05) -1
= 1 465, 34
6 4
6⋅






Correto! Valor igual ao encontrado na tabela.
Amortização
A expressão para a amortização é 
 
A = VP .
(1 + i) . i
(1 + i) - 1t
t-1
n






Veja o cálculo para a mesma situação (SD = 680,76).
At= 4 000 .
(1 + 0,05) . 0,05
(1 + 0,05) -1
= 680,76
4-1
6






Correto! Valor igual ao encontrado na tabela.
Juros
Os juros podem ser calculados diretamente pela expressão:
J = VP . i . 
(1+i) - (1+i)
(1+i) -1
n t-1
n




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164 Matemática para Negócios e Finanças
Veja este cálculo para o mês 4 da situação anterior (At = 107,31).
J = 4 000 . 0, 05 .
(1 + 0,05) - (1 + 0,05)
(1 + 0,05) -1
= 107, 31
6 4-1
6






Calcule outros valores diretamente pelas expressões dadas e você conseguirá todas as informações 
que precisar.
Como pode perceber, é bastante simples realizar cálculos no sistema SAP e organizar a conhecida 
tabela price. Todas essas expressões podem ser programadas na planilha Excel para que se possa calcular 
as variáveis no período de sua necessidade.
Atividades
1.	 Um imóvel de R$ 120.000,00 foi adquirido, por meio do sistema SAP, em 120 meses. A empresa 
que concedeu o financiamento cobra taxa de juros de 1,5% a.m./c.m. Foi dado de entrada 20% 
do valor do imóvel. A partir destas informações, responda às questões que seguem:
a) Qual o valor a ser financiado?
 
b) Calcule o fvp (1,5%,120).
 
c) Qual deverá ser o valor das prestações?
 
d) Construa a planilha de amortizações (tabela price) para os três primeiros meses.
e) Na primeira prestação, qual percentual representa juros e qual representa valor amortizado?
 
f ) Qual será o saldo devedor quando for paga a 50.ª parcela?
 
g) Quando for paga a 100.ª parcela, qual o percentual que é amortizado e qual percentual 
representa os juros?
 
 
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Sistemas de amortização progressiva (SAP) 165
Ampliando conhecimentos
Construa uma situaçãode seu interesse ou necessidade, utilizando os conceitos do sistema SAP que 
estudamos. Procure fazer pelo menos uma planilha manualmente e, a mesma, no Excel. Compare os 
valores obtidos e calcule algumas das variáveis para um período qualquer. Nessa situação você poderá, 
assim, construir algo de sua necessidade e corrigir os resultados encontrados. 
Auto-avaliação
1.	 Construa uma planilha eletrônica para a seguinte situação:
 Um empréstimo de R$ 20.000,00 será pago utilizando-se o sistema de amortização francês, em 12 
prestações mensais postecipadas e com juros de 1,5% a.m. Em seguida, utilize os procedimentos 
de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um período qualquer e confira com os 
resultados obtidos na tabela.
2.	 Construa, em uma outra planilha eletrônica, a situação que segue:
 Um empréstimo de R$ 30.000,00 será pago utilizando-se o sistema SAP, com 6 prestações mensais 
postecipadas com juros de 1% a.m.
 Em seguida, utilize os procedimentos de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um 
período qualquer e confira com os resultados obtidos na tabela.
3.		 Uma pessoa paga prestações mensais, no sistema SAP, de R$ 1.501,16, a uma taxa de juros de 
6,5% a.m./cm. Se o saldo devedor após uma determinada prestação é de R$ 9.991,88, calcule os 
saldos devedores referentes aos meses posterior e anterior.
 
 
4.	 Um empréstimo de R$ 22.800,00 foi amortizado via SAP em prestações mensais durante 4 anos, 
a uma taxa de juros de 36% a.a./c.m. Calcule:
a) a 15.ª quota de amortização; 
 
b) os juros pagos na 20.ª prestação; 
 
c) o total amortizado após o pagamento da 25.ª prestação; 
 
d) o saldo devedor após o pagamento da 22.ª prestação. 
 
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166 Matemática para Negócios e Finanças
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática	Financeira	aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
DI AGUSTINI, Carlos Alberto. Matemática	aplicada	à	gestão	de	negócios. Rio de Janeiro: Editora 
FGV, 2005.
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática	aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática	Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
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Sistemas de amortização progressiva (SAP) 167
Gabarito 
Atividades
1.	 a) R$ 96.000,00.
b) 55,498454.
c) R$ 1.729,78.
d) 
n SD Amortização Juros PMT
0 96 000 0 0 0
1 SD1=95 710,22 A1=289,78 J1 = 1 440,00 1 729,78
2 SD2 = 95 416,10 A2 = 294,12 J2 = 1 435,65 1 729,78
3 SD3 = 95 714,64 A3 = 298,54 J3 = 1 431,24 1 729,78
e) % Juros = 83,25%.
 % Amortizado = 16,75%.
f ) R$ 74.648,34.
g) A100 = 1265,33 = 73,15%.
 J100= 464,45 = 26,85%.
Auto-avaliação
1.	 Questão aberta.
2.	 Questão aberta.
3.	 An-1 = R$ 10.791,59; An+1 = R$ 9.140,19.
4.	 a) R$ 330,30.
a) R$ 519,46.
b) R$ 7.961,61.
c) R$ 16.131,53.
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