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Aula 1
Definição e Conceito de Função
As vendas de uma grande empresa podem ser representadas por intermédio de uma função matemática, por meio da qual se pode representar a quantidade de unidades vendidas de determinado bem ao longo dos dias, meses ou anos. Deste modo, torna-se possível, pela empresa, a programação da produção, facilitando o controle e o planejamento produtivo. O custo da energia elétrica, em uma residência, também é calculado por meio de uma função que depende do consumo de energia. Observe que, para cada consumo, existe uma única tarifa a ser cobrada. Não é possível o mesmo consumo com duas tarifas diferentes. Muitos fenômenos econômicos também utilizam funções matemáticas, por exemplo, as definições de lucro, de custo e de receita tornam-se viáveis e aplicáveis com o uso de modelos matemáticos. 
Uma função pode ser definida como uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Ao conjunto A dá-se o nome de domínio e ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio. Em termos de gráfico, o eixo x contém os pontos que pertencem ao domínio da função, e o eixo y contém os pontos que pertencem ao contradomínio da função. Aos valores no eixo y que estão relacionados com a função dá-se o nome de imagem. A expressão que representa uma função é formada por uma variável dependente e outra independente. Por exemplo, na função y = 2x2 +5x+10, y é a variável dependente e x é variável independente. Assim, os valores obtidos por y são dependentes dos valores atribuídos a x. Lembre-se: pode-se escrever y = f(x). Exemplo 1.1: O custo C em reais da fabricação de determinado eletrodoméstico em função da quantidade x produzida pode ser dado por C= x2 +20x+800. Identifique a variável dependente e a independente. Solução: C: é a variável dependente, a qual depende da quantidade x produzida. x: é a variável independente na função, representa a quantidade produzida. Ainda com relação à função do exemplo anterior, observe que, se a empresa produzir 50 eletrodomésticos (x = 50), terá um custo de: C = 502 + 20 . 50 + 800 = 2500 + 1000 + 800 = 4300 reais. Pode-se também calcular o custo médio unitário de produção dos eletrodomésticos dividindo o quanto a empresa gastou para produzir os eletrodomésticos pela quantidade produzida. Nesse exemplo, divide-se C = 4300 por x = 50. Assim: C' unitário = 4300 ÷ 50 = 86 reais. Isso mostra que, se a empresa deseja comercializar 50 eletrodomésticos, ela precisa vendê-los por um valor superior a R$ 86,00 para pelo menos pagar o custo de produção. A interpretação de gráficos de funções torna-se importante para a análise de resultados e futuras tomadas de decisões. Neste contexto, a compreensão do significado do termo zero de uma função é importante, já que se refere ao(s) valor(es) de x que faz f(x) = 0. Algumas funções podem ser classificadas como crescentes ou decrescentes. Veja os exemplos nas Figura 1.1 e Figura 1.2, respectivamente. Função estritamente crescente: a função f(x) é estritamente crescente se, para quaisquer x1 e x2, pertencentes ao domínio com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Função estritamente decrescente: a função f(x) é estritamente decrescente se, para quaisquer x1 e x2, pertencentes ao domínio com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Na prática, a função que descreve o montante de uma aplicação financeira na poupança é uma função crescente. Já a função que descreve a depreciação de um automóvel é uma função decrescente. 
Observe que existem funções que podem ser crescentes para algum intervalo no eixo x e decrescentes em outro intervalo. Nestes casos, não se pode classificá-las como crescentes ou decrescentes. Pode-se construir o gráfico de uma função a partir de valores preestabelecidos. Muitas vezes, não é necessário tomar muitos pontos do domínio para construir o gráfico de uma função. Na verdade, basta tomar alguns pontos para ter a noção exata do comportamento da referida função. Exemplo 1.2: Considere a situação em que a receita de uma empresa é dada por R = 2q + 3, em que q representa o número de unidades vendidas. Para montar o gráfico, utilizam-se as seguintes quantidades q vendidas: 0, 5, 10 e 15. 
A Figura 1.3 mostra o gráfico resultante da escolha dos pontos 0, 5, 10 e 15. Para cada um destes valores, foram encontrados os respectivos valores em y, possibilitando a montagem do gráfico. No gráfico da Figura 1.3 não faz sentido considerar valores negativos para o número de quantidades vendidas, já que em termos práticos não existe quantidade negativa para as vendas. Muitas funções aplicáveis na gestão empresarial ou na contabilidade são funções polinomiais. Essas funções podem ser classificadas a partir do grau do polinômio que as descreve. Assim, uma função polinomial de grau n é descrita por um polinômio que tem grau n. Por exemplo: • f(x) = 3x4 +5x2 +3x+10 é uma função polinomial de grau quatro. O maior expoente que aparece na variável x do polinômio 3x4 + 5x2 +3x+10 é quatro. • f(x) = 10x-45 é uma função polinomial de primeiro grau, já que o maior expoente que aparece na variável x é 1. Observe que x1 = x. A forma do gráfico de uma função polinomial também está relacionada ao grau do polinômio. Assim, por exemplo, uma função polinomial de primeiro grau sempre será uma reta, enquanto a de segundo grau será uma parábola.
AULA 2
Função Polinomial do 1o Grau
Introdução 
As funções polinomiais do primeiro grau aparecem nas mais variadas situações do cotidiano. Por exemplo, a tarifa de uma viagem de táxi é cobrada em função da quilometragem dessa viagem. Esta, por sua vez, em uma mesma bandeirada, é uma função polinomial do primeiro grau. Deve-se notar que, para cada quilometragem percorrida, existe uma única tarifa a ser cobrada, que é proporcional à quilometragem rodada. Entretanto, o custo da tarifa final não é proporcional à quilometragem, pois existe um custo fixo, a bandeirada. Exemplo Prático: O custo industrial para a produção de um produto também pode ser representado por uma função do primeiro grau. Para ilustrar, considere a situação em que o custo total desse produto consiste em um custo fixo de R$ 300,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Pode-se expressar o custo total em função do número de unidades produzidas. Para isso, seja x o número de unidades produzidas e C o custo correspondente. Desta forma: Custo total = (custo unitário) (número de unidades) + custo fixo Neste problema, tem-se que custo unitário = 50, número de unidades = x, custo fixo = 300. Assim, C = 50x + 300, uma função polinomial do primeiro grau. O gráfico dessa função de custo aparece na Figura 2.1: 
Observe que, para se produzir duas unidades, o custo é C = 50 . 2 + 300 = 400 reais, que corresponde ao ponto de coordenada (2,400) que está no gráfico. O mesmo se pode dizer sobre o ponto (4,500), que corresponde ao custo de R$ 500,00 para produzir quatro unidades. O ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas representa o custo fixo, ou seja, a despesa que não está relacionada à quantidade produzida. Em termos práticos, o custo fixo pode representar, por exemplo, o gasto de uma empresa com aluguel. Ainda com relação ao mesmo produto, decide-se vender cada unidade a um preço de R$ 150,00. Com isso, seja x o número de unidades vendidas e R a receita correspondente: Receita = (preço unitário) (número de unidades vendidas) Neste caso, o preço unitário = 150 e o número de unidades vendidas = x. Assim, R = 150x representa a função receita para x unidades comercializadas. Essa função também é polinomial do primeiro grau. O gráfico dessa função aparece na Figura 2.2: 
Observe que, ao vender duas unidades, a receita é R = 150 . 2 = 300 reais, que corresponde ao ponto de coordenada (2,300) que está no gráfico. O mesmo se pode dizer sobre o ponto (4,600), que corresponde à receita de R$ 600,00 quando comercializadas quatro unidades. A partir das funções custo C = 50x+300, receita R = 150x e considerando que a quantidade vendida é a mesma que a produzida, pode-se obter a função
lucro a partir de L = R-C, ou seja: L = 150x – (50x+300) L = 150x – 50x -300 → L = 100x -300 Para construir o gráfico da função lucro, basta observar que: • Quando x = 0 → L = 100 . 0 – 300 = -300, que corresponde à coordenada (0,-300). • Quando L = 0 → 0 = 100x -300 → 100x = 300 → x = 3, que corresponde à coordenada (3,0). Pode-se escolher qualquer ponto para construir o gráfico. Foram utilizados os pontos obtidos por serem mais intuitivos. A Figura 2.3 mostra o gráfico da função lucro construída utilizando-se os pontos (0,-300) e (3,0). 
O gráfico da Figura 2.3 mostra que, para valores de x menores que três, o lucro é negativo (prejuízo). Já para valores de x maiores que três, tem-se lucro. O ponto x = 3 representa uma situação muito importante. Trata-se da quantidade x em que a Receita é igual ao Custo. Este ponto pode ser obtido algebricamente pela resolução da equação formada a partir da igualdade R=C, que corresponde: 150x = 100x + 300 → 150x – 100x = 300 → 100x = 300 → x = 3. Nesta situação, para x = 3, R = 150.3 = C = 100.3+300 = 450, que fornece a coordenada (3,450). Graficamente, esse ponto é chamado de break-even point, ponto de equilíbrio entre a receita e o custo, ou seja, lucro zero. A Figura 2.4 mostra o break-even point, em que as funções custo e receita estão representadas em um mesmo sistema de eixos cartesianos. Observe que, neste ponto (3,450), o gráfico da receita e o gráfico do lucro se interceptam, pois representam situações iguais. 
Função Afim 
Uma função cujo valor varia a uma taxa constante em relação à variável independente é chamada de função afim, já que o gráfico de uma função deste tipo é uma reta. Em termos algébricos, função afim é qualquer função da forma: f(x) = mx+b com m≠0, em que m é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função. O valor m pode ser calculado a partir dos pontos (x1 ,y1 ) e (x2 ,y2 ): 
Graficamente, m fornece a inclinação da reta que representa a função. Observe a Figura 2.5. Além disso, quando m>0, a função será crescente; quando m<0, a função será decrescente. 
A constante b é chamada de coeficiente linear da reta e pode ser obtida tomando-se x = 0. y = f(0) = m 0 + b y = b. Graficamente, b fornece o ponto em que reta corta o eixo y. Exemplo 2.1: Determine a função cuja reta passa pelos pontos A(4,16) e B(7,10). Classifique a função em crescente ou decrescente e construa o gráfico. Solução: Primeiramente, deve-se calcular a inclinação da reta m. Para isso, são necessários dois pontos (x1 ,y1 ) e (x2 ,y2 ), que são os pontos A(4,16) e B(7,10) fornecidos pela questão. 
A função é decrescente, pois m = 2<0. A função está parcialmente pronta, já com a forma f(x) = -2x+b. Para descobrir o valor da constante b, substitui-se x e y da função por qualquer um dos pontos A e B. Por exemplo, utilizando o ponto A(4,16), tem-se: f(4) = -2 . 4+b → 16 = -8 + b → b=24. Portanto, a função em sua forma completa com os dois coeficientes é f(x) = -2x+24. Para montar o gráfico, você deve se lembrar que dois pontos determinam uma reta; logo, basta colocar os pontos A e B no plano cartesiano e traçar a reta. Veja a Figura 2.6: 
AULA 3
Função Polinomial do 2o Grau 
Introdução
Neste tema, você estudará as funções polinomiais do 2o grau, funções em que o gráfico é uma parábola. Este tipo de curva, quando estendida para a forma de superfícies, gera o paraboloide ou as conhecidas antenas parabólicas. A forma parabólica facilita a recepção de sinais provenientes dos satélites, pois converge o sinal que vem disperso para um único ponto, que é o foco da parábola, ou seja, a parte central da antena parabólica. 
Caracterização da Função Polinomial do 2o Grau
A função polinomial do 2o grau tem a forma f(x) = ax2 +bx+c, em que a, b e c são constantes reais, com a 0. Conforme já mencionado, o gráfico de uma função polinomial do 2o grau é uma parábola, e os coeficientes que aparecem no polinômio da função (a, b e c) são determinantes para auxiliar na montagem do gráfico. Os tópicos, a seguir, mostram as principais informações para a montagem do gráfico. • O coeficiente a determina a posição da concavidade da parábola. Observe a Figura 3.1: 
Assim, se o coeficiente a for positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima; contudo, se a for negativo, a parábola terá concavidade voltada para baixo. O coeficiente c determina o ponto em que a parábola intercepta o eixo y. Este valor é muito útil, pois auxilia na montagem do gráfico, haja vista que corresponde ao ponto de coordenada (0,c) (Figura 3.2). 
• Para determinar os pontos em que o gráfico da função polinomial do 2o grau intercepta o eixo x, basta descobrir quais são os valores de x que fazem f(x)=0, ou seja, ax2 + bx + c = 0. Isso significa resolver uma equação do 2o grau. A fórmula de Bhaskara determina a solução, se existir, da equação ax2 + bx + c = 0. 
Fórmula de Bhaskara: 
Observe que, na resolução da equação, quando se chega ao valor ∆ (delta) negativo, a equação não terá solução, e, consequentemente, não existirá x real que faça ax2 + bx + c = 0. Portanto, para ∆ negativo, a parábola não intercepta o eixo x. No caso de valor ∆ positivo, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos; se for igual a zero, intercepta em apenas um ponto. Na Figura 3.2, são apresentadas possíveis situações para o valor ∆, combinando possíveis situações para a concavidade.
O vértice da parábola representa ponto de máximo ou de mínimo da função polinomial do 2o grau e pode ser encontrado por: 
Observe que o vértice é localizado por uma coordenada (xv , yv ). A Figura 3.3 ilustra algumas possiblidades para o vértice da parábola. 
Quando a parábola possui concavidade voltada para cima, o vértice representará o mínimo da função; caso contrário, o vértice representará o máximo da função. Assim, em problemas práticos para a localização do máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2o grau, basta determinar o vértice da parábola. A partir das informações sobre concavidade, interceptos com os eixos y e x (se existirem) e vértice da parábola, é possível construir um esboço adequado do gráfico da função polinomial do 2o grau. 
Construção do Gráfico
A seguir, são apresentados exemplos que envolvem a construção do gráfico da parábola. Para cada exemplo, utiliza-se uma sequência de passos que determinam as informações mais importantes da parábola. 
Exemplo 3.1: 
Construir o gráfico da função f(x)= 2x2 -12x+10. Considere os seguintes passos para a montagem do gráfico: 
1o) Coeficientes: a = 2; b=-12; c=10. 
2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a > 0 (a=2), a concavidade da parábola é voltada para cima. 
3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em 10, pois c = 10, e a coordenada correspondente é (0,10). 
4o) Intercepto com o eixo x: resolver a equação 2x2 -12x+10 = 0. 
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x = 1 e x = 5, ou seja, nas coordenadas (1,0) e (5,0). 
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv : 
A coordenada do vértice da parábola é (3;-8). 
6o) Gráfico: com as informações importantes obtidas nos passos anteriores sobre o gráfico da função f(x) = 2x2 -12x+10, deve-se colocar os pontos no plano cartesiano e traçar a curva que passa pelos pontos (Figura 3.4). 
O gráfico da função apresentado na Figura 3.4 deixa bem evidente que o vértice da parábola é um ponto que marca a mudança do comportamento da função, neste caso, de decrescente para crescente. Além disso, o vértice também fornece o menor valor que a função f(x) = 2x2 -12x+10 pode assumir. Para esse exemplo, para qualquer x, a função nunca terá valor menor que -8. 
Exemplo 3.2: Construir o gráfico da função f(x)= -x2 +6x-9. Considere os seguintes passos para a montagem do gráfico: 
1o) Coeficientes: a = -1; b=6; c=-9. 
2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a < 0 (a=-1), a concavidade da parábola é voltada para baixo. 
3o) Intercepto com o eixo y: a parábola
corta o eixo y em -9, pois c = -9, e a coordenada correspondente é (0,-9). 
4o) Intercepto com eixo x: resolver a equação -x2 +6x-9 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara: A parábola apenas tangencia o eixo das abscissas no ponto x=3, ou seja, na coordenada (3,0). 
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv :
A coordenada do vértice da parábola é (3,0), que coincide com o intercepto em x. Isso acontece porque a parábola pode apenas tangenciar o eixo x no vértice. 
6o) Gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano. 
No procedimento de montagem do gráfico da Figura 3.5, obteve-se apenas dois pontos como referência, (0,-9) e (3,0), devido ao fato de o vértice da parábola coincidir com o intercepto em x, gerando apenas uma coordenada. 
Exemplo 3.3: Construir o gráfico da função f(x) =x2 +6x+10. Considere os seguintes passos para a montagem do gráfico: 
1o) Coeficientes: a = 1; b=6; c=10. 
2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a > 0 (a=1), a concavidade da parábola é voltada para cima. 
3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em 10, pois c = 10, e a coordenada correspondente é (0,10). 
4o) Intercepto com o eixo x: resolver a equação x2 +6x+10 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara: 
Como o valor ∆ é negativo, não é possível continuar a resolução da equação, pois não é possível extrair uma raiz quadrada negativa considerando o conjunto dos números reais. Desta forma, a função não possui interceptos no eixo x. 
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv : 
A coordenada do vértice da parábola é (-3;1). 
6o) Construir o gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano. 
Para a montagem do gráfico apresentado na Figura 3.6, foram utilizadas apenas duas coordenadas, devido ao fato de não existirem interceptos no eixo das abscissas. 
AULA 4
Função Quadrática e Aplicações
Introdução
No Tema 3, você estudou a caracterização das funções polinomiais do 2o grau. Neste tema, você estudará a aplicação dessas funções em problemas que envolvem a área de gestão empresarial e contabilidade, por exemplo, o estudo das funções receita, custo e lucro. Para facilitar, a função polinomial do 2o grau pode ser chamada de função quadrática, termo que será utilizado muitas vezes. 
Exemplo Prático : Em uma loja, o preço de um calçado pode variar de acordo com a demanda. Em geral, a quantidade demandada de um bem aumenta à medida que o preço por unidade diminui. Assim, o preço do calçado pode ser relacionado por uma equação, de forma a permitir que o vendedor determine um preço para uma demanda. Por exemplo, o vendedor percebe que o preço do calçado p pode ser relacionado pela quantidade demandada x do seguinte modo: p = -3x + 300 Então, para vender, por exemplo, 20 calçados (x = 20), o preço por calçado será: p = -3⋅20+300 = -60+300 = 240 reais. Entretanto, se ele deseja aumentar suas vendas e comercializa 40 calçados (x = 40), o preço será: p = -3⋅40+300 = -120+300 = 180 reais Observe que, para vender 20 calçados, o preço deve ser de R$ 240,00; para vender 40, o preço deve ser de R$ 180,00. Obviamente, menor o preço, maior o número de calçados vendidos. Para calcular a receita relativa à venda dos calçados, o vendedor multiplica a quantidade vendida pelo preço de cada calçado. Deste modo, a fórmula que fornece a receita relativa à venda de calçados é o preço p vezes a quantidade x de calçados vendidos, ou seja, R = p⋅ x. 
Porém, como o preço já é calculado pela relação p = -3x+300, substituindo p por (-3x+300), tem-se: R = p⋅ x = (-3x+300)⋅x⇒ R= -3x2 +300x 
Perceba que, se o vendedor deseja vender 20 calçados, o preço, como verificado anteriormente, será de R$ 240,00, e a receita relativa desta venda será: R = p⋅ x = 240⋅20 = 4800 reais.
A receita também pode ser calculada: 
R = p⋅ x = -3⋅202 +300⋅20 = 3⋅400+6000 = -1200+6000 = 4800 reais. 
A função R= -3x2 +300x que determina a receita para x sapatos vendidos é uma função quadrática. O gráfico da parábola associada a essa função é representado seguindo as etapas a seguir: 
1o) Determinar coeficientes: a função é R= -3x2 +300x, então, a = -3, b = 300 e c = 0. 
2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a < 0 (a=-3), a concavidade da parábola é voltada para baixo. 
3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em 0, pois c = 0. 
4o) Intercepto com o eixo x: deve-se resolver a equação -3x2 +300x=0. 
Pela fórmula de Bhaskara:
Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x1 = 0 e x2 = 100. 
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv : A coordenada do vértice da parábola é (50;7500). 
6o ) Construir o gráfico: colocam-se os pontos no plano cartesiano a partir das informações obtidas nos passos anteriores. Em seguida, traça-se a curva que passa pelos pontos. 
É possível perceber pelo gráfico apresentado na Figura 4.1 que a receita máxima ocorre quando a venda de calçados é igual a 50 (x=50) e o valor da receita máxima correspondente é de R$ 7.500,00 (y = 7500). O vértice da parábola fornece a localização da máxima receita (xv ) e a receita máxima (yv ). Evidentemente, se a parábola estiver com concavidade voltada para cima, essa coordenada representará o mínimo da função. Em problemas práticos para a localização do máximo ou mínimo de uma função quadrática, basta determinar o vértice da parábola. 
Analisando agora por outro ponto de vista e ainda com relação ao mesmo calçado, o vendedor percebe que o custo de fabricação é dado por C=150x+1200. Assim, por exemplo, para a fabricação de 20 calçados, o custo será: C = 150⋅20+1200=3000+1200 = 4200 reais. 
A função custo C=150x+1200 é polinomial do primeiro grau, e a montagem do gráfico desse tipo de função foi estudada no Tema 2. O gráfico da função custo está representado na Figura 4.2. 
Na Figura 4.2, é possível confirmar o exemplo anterior: para 20 calçados produzidos, o custo será de R$ 4.200,00. O vendedor pode determinar o lucro ao produzir e comercializar calçados. Por exemplo, como já se verificou anteriormente, para 20 calçados fabricados e vendidos, o custo e a receita são, respectivamente, R$ 4.200,00 e R$ 4.800,00. 
Assim, o lucro associado será: L = R$ 4800,00 – R$ 4200,00 = R$ 600,00. 
De forma genérica, a função lucro é escrita utilizando a relação L = R – C. 
Assim: L = -3x2 +300x – (150x + 1200) ⇒ L= - 3x2 +300x – 150x -1200 ⇒ L = -3x2 +150x-1200 Assim como a função receita, a função lucro L = -3x2 +150x-1200 também é uma função quadrática, e o gráfico da parábola associada a essa função é representado seguindo as etapas a seguir: 
1o) Determinar coeficientes: a função é L= -3x2 +150x-1200, então, a =-3, b=150 e c=-1200. 
2o) Concavidade da parábola: a concavidade da parábola é voltada para baixo, pois, neste caso, a < 0 (a=-3). 
3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em -1200, pois c = -1200. 
4o) Intercepto com o eixo x: deve-se resolver a equação -3x2 +150x-1200=0. 
Pela fórmula de Bhaskara: 
Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x1 = 10 e x2 = 40. 
5o ) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv :
A coordenada do vértice da parábola é (25;675).
 6o ) Construir o gráfico: colocam-se os pontos no plano cartesiano a partir das informações obtidas nos passos anteriores. Em seguida, deve-se traçar a curva que passa por esses pontos.
 
Na Figura 4.3, o lucro máximo ocorre quando x=25, ou seja, quando 25 calçados são produzidos e 25 são comercializados. O valor correspondente ao lucro máximo é de R$ 675,00. O vértice da parábola forneceu a informação sobre o máximo da função. Ainda com relação ao gráfico da Figura 4.3, os valores de x para os quais o lucro é nulo ocorrem quando x = 10 ou x = 40. Como já explicado no Tema 2, o lucro zero representa a situação em que a receita
é igual ao custo, ou seja, situação do break-even point. Construindo o gráfico da função receita e da função custo em um mesmo sistema de eixos, é possível observar esta situação:
Observe que, na Figura 4.4, a região sombreada está limitada pelos valores de x maiores que 10 e menores que 40. É nesta região que a receita é maior que o custo, ou seja, em que há lucro. Ainda na Figura 4.4, pode-se observar que a receita máxima é representada pelo ponto (50,7500). Entretanto, esse ponto está fora da região de lucro, ou seja, conseguir a receita máxima, neste caso, significou obter prejuízo. Em termos práticos, a receita máxima nem sempre representará o lucro máximo; às vezes, pode até representar uma situação de prejuízo, como mostra a Figura 4.4. Isso acontece porque o lucro depende não só da função receita, mas também da função custo.
AULA 5
Função Exponencial 
Introdução 
O modelo de função exponencial é muito utilizado em Economia e Finanças, já que qualquer cálculo que envolva juros compostos é um modelo exponencial. A utilidade desse tipo de função também aparece no cálculo da depreciação de máquinas e equipamentos, cálculo muito importante para a contabilidade de uma empresa. Antes de iniciar o estudo do conceito de função exponencial, será apresentado o cálculo do fator multiplicativo de uma porcentagem. Porcentagem e Fator Multiplicativo A representação de um número em porcentagem é equivalente a uma representação decimal, por exemplo, 5% = 5/100 = 0,05 ou 32% = 32/100 = 0,32. Deste modo, para calcular a porcentagem de um número basta multiplicá-lo pelo equivalente decimal, por exemplo, 5% de R$ 230,00 é:
230 . 5% = 230 . 5/100 = 230 . 0,05 = R$ 11,50
Para os cálculos que envolvem aumento porcentual de uma grandeza, no entanto, pode-se também descobrir um fator multiplicativo para aumento, por exemplo, se um produto que custa R$ 200,00 sofrer um aumento de 12% terá um valor final de:
Colocando o valor 200 em evidência (processo inverso da distributividade):
Observe que o fator 1,12 aumenta a grandeza em 12%. Isso acontece porque 1,12 pode ser escrito como: 
Portanto, para aumentar uma grandeza em 12%, basta multiplicá-la por 1,12. 
Analogamente, nos cálculos que envolvem redução porcentual, existe também um fator multiplicativo de redução. Por exemplo, se um produto que custa R$ 200,00 sofrer um desconto de 12%, terá um valor final de: 
Colocando o valor 200 em evidência (processo inverso da distributividade): 
Assim, o fator 0,88, quando multiplicado, diminui o valor do produto em 12%. Isso acontece porque 0,88 pode ser escrito como:
Portanto, para reduzir um valor em 12%, basta multiplicar por 0,88. De maneira geral, dada uma porcentagem, para descobrir o fator de aumento, basta encontrar a representação em decimal da porcentagem e somar o resultado ao número 1. Já, para descobrir o fator de redução, basta subtrair do número 1 a representação decimal da porcentagem. Exemplo 5.1: Encontre o fator de aumento para as porcentagens 37% e 5%.
 Resolução: Para 37%: o fator multiplicativo de aumento = 1 + 37% = 1+ 0,37 = 1,37 
 Para 5%: o fator multiplicativo de aumento = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05
Exemplo 5.2: Encontre o fator de redução para as porcentagens 48% e 3%.
Resolução: Para 48%: o fator multiplicativo de redução = 1 – 48% = 1 – 0,48 = 0,52 
 Para 3%: o fator multiplicativo de redução = 1 – 3% = 1 – 0,03 = 0,97
Exemplo Prático I: Considere a situação em que uma empresa toma emprestado de um banco R$ 50.000,00. Para este empréstimo, o banco cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. A empresa pretende pagar a dívida após três meses em uma única parcela. Para calcular a evolução da dívida desse empréstimo, primeiramente se calcula o fator multiplicativo de aumento, pois a dívida aumentará mês a mês.
 Então: Fator multiplicativo de aumento = 1 + 2% = 1 + 0,02 = 1,02 
Assim, a cada mês, a dívida evolui: 
• Após um mês e representando a dívida por D(1): D(1) = (valor do empréstimo) . (fator multiplicativo de aumento)
D(1) = 50000,00 . 1,02 
D(1) = 51,000,00 reais. 
• Após dois meses e representando a dívida por D(2): D(2) = (dívida do mês anterior) . (fator multiplicativo de aumento)
 D(2) = D(1) . 1,02 D(2) = 51000,00 . 1,02 
D(2) = 52,020,00 reais.
• Após três meses e representando a dívida por D(3): D(3) = (dívida do mês anterior) . (fator multiplicativo de aumento)
 D(3) = D(2) . 1,02 
D(3) = 52,020,00 1,02 D(3) = 53,060,40 reais.
 Portanto, a dívida a ser paga pela empresa após três meses é de R$ 53.060,40. 
Entretanto, D(3) = 53,060,40 poderia ser obtido diretamente pela conta:
Ou seja, D(3) = 50000,0 . 1,02 . 1,02 . 1,02 → D(3) = 50000,0 . 1,023 por propriedade de potenciação, pois 1,023 = 1,02 . 1,02 . 1,02. 
A formulação apresentada torna-se mais simples, pois permite calcular diretamente a dívida após qualquer período considerado. Por exemplo, se a empresa decidisse pagar a dívida após quatro meses, a dívida ficaria: 
D(4) = 50000,00 . 1,024 
D(4) = 50000,00 . 1,08243216 
D(4) = 54121,61 reais
De maneira geral, se o prazo de pagamento do empréstimo fosse n meses, a função dívida seria: D(n) = 50000,00 . 1,02n 
Chamamos esse tipo de função, em que a variável aparece no expoente, de função exponencial. O gráfico de uma função exponencial é apenas crescente ou apenas decrescente. A Figura 5.1 ilustra o gráfico da dívida da empresa:
O gráfico da Figura 5.1 é apenas de uma representação ilustrativa da evolução da dívida da empresa. Como a dívida é capitalizada apenas ao final do mês, o gráfico não poderia ser uma linha contínua.
Exemplo Prático II: Considere a situação em que uma máquina sofre uma depreciação de 4% ao ano. Se a máquina custa R$ 70.000,00, qual será o valor da máquina após três anos. Inicialmente, para resolver este problema, deve-se determinar o fator multiplicativo de redução que é: Fator multiplicativo de redução= 1 – 4% = 1 – 0,04 = 0,96.
Assim, a cada ano o valor da máquina será: 
• Após 1 ano e representando o valor da máquina por V(1):
 V(1) = (valor da máquina) . (fator multiplicativo de redução) 
V(1) = 70000,00 . 0,96 
V(1) = 67200,00 reais.
• Após 2 anos e representando o valor da máquina por V(2): 
V(2) = (valor no ano anterior) . (fator multiplicativo de redução) 
V(2) = V(1) . 0,96 V(2) = 67200,00 . 0,96 
V(2) = 64512,00 reais. 
• Após 3 anos e representando o valor da máquina por V(3):
 V(3) = (valor no ano anterior) . (fator multiplicativo de redução) 
V(3) = V(3) . 0,96 V(3) = 64512,00 . 0,96 
V(3) = 61931,52 reais.
Portanto, após 3 anos, a máquina terá um valor de mercado de R$ 61.931,52. Entretanto, V(3) poderia ser obtido diretamente pela conta:
Ou seja, V(3) = 70000,00 . 0,96 . 0,96 . 0,96 → V(3) = 70000,00 . 0,963 por propriedade de potenciação, pois 0,963 = 0,96 . 0,96 . 0,96. 
Essa formulação permite calcular diretamente a dívida após qualquer período considerado. Por exemplo, o valor da máquina após quatro anos será: 
V(4) = 70000,00 . 0,964 
V(4) = 70000,00 . 0,84934656 
V(4) = 59454,26 reais. 
De maneira geral, a função que mostra o valor da máquina após n anos será: 
V(n) = 70000,00. 0,96n 
Novamente, como a variável aparece no expoente, a função é chamada de exponencial. A função depreciação é decrescente, já que o valor da máquina diminui com o tempo. O gráfico da Figura 5.2 ilustra esta situação:
Novamente, como aconteceu com o gráfico da Figura 5.1, o gráfico da Figura 5.2 é uma representação ilustrativa da evolução da depreciação da máquina. Como a depreciação ocorre a cada ano e ao final de um período, o gráfico não poderia ser uma linha contínua. 
Caracterização da Função Exponencial 
Uma função exponencial é f(x) = b.ax , com a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0. O coeficiente b representa o valor da função quando x = 0, ou seja, fornece o ponto em que a curva corta o eixo y:
 y = f(0) = b.a0 y = b . 1 → y = b
Nos dois problemas práticos anteriores, o valor b representou a situação inicial. Por exemplo, no empréstimo feito pela
empresa, o valor b representou a quantia inicial emprestada. Já no exemplo da depreciação, o valor b representou o valor inicial da máquina. O coeficiente a determina se a função f(x) = b.ax é crescente ou decrescente. Quando a > 1, a função é crescente; se 0 < a < 1, a função é decrescente. Por exemplo:
D(n) = 50000,00. 1,02n, a = 1,02 função crescente. 
V(n) = 70000,00. 0,96n, a = 0,96 função decrescente.
Uso da Calculadora Científica 
Os cálculos das potenciações dos problemas anteriores podem ser feitos por meio do uso de calculadora científica. Por exemplo, no exemplo prático II, na conta V(4) = 70000,00 . 0,964 , deve-se primeiro determinar o resultado de 0,964 antes de realizar a multiplicação por 70000,00. A Figura 5.3 mostra este cálculo em duas versões comuns de calculadoras científicas:
Observe que a diferença entre o uso da potenciação em ambas calculadoras é apenas o símbolo da tecla potenciação ^ e yx . Após determinar o valor de 0,964 (que é 0,84934656), basta multiplicar por 70000,00 e você terá o resultado de V(4) = 70000,00 . 0,964 , que é de 59454,26 reais. O mesmo processo pode ser feito para o cálculo de outros valores. Por exemplo, de D(3) = 50000,00 . 1,023 . Veja a Figura 5.4:
Analogamente, após determinar o valor de 1,022 (que é 1,061208), basta multiplicar por 50000,00 e você terá o resultado de D(3) = 50000,00 . 1,023 , que é de 53060,40 reais.
AULA 6
Taxa de Variação Média e Instantânea. O Conceito de Derivada 
Introdução 
Pode-se representar a variação de uma quantidade em relação a outra por meio de uma razão denominada taxa de variação. A taxa de variação pode ser média ou instantânea. As taxas de variação ocorrem em muitas situações práticas em administração, contabilidade e economia. Por exemplo, a velocidade com que uma empresa produz um produto ou a razão entre a quantidade produzida e o capital investido correspondem a taxas de variação.
Taxa de Variação Média 
A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, em situações práticas, têm unidades de medidas. A taxa de variação pode ser calculada para qualquer função. Assim, por exemplo, a função P(x), em que P é a quantidade produzida e x é o tempo, terá:
Taxa de variação média = 
Se a produção de uma empresa em toneladas é dada por P(x) = x2 , em que x é o tempo em horas, após 2 horas a empresa produzirá P(2) = 22 =4 toneladas. Após 4 horas, a empresa produzirá P(4) = 42 = 16 toneladas. Desta forma, a taxa de variação média da produção dessa empresa será:
Taxa de variação média = 
Este resultado mostra que, no intervalo de 2 até 4 horas, a empresa produziu em média 6 toneladas por hora. 
O gráfico da Figura 6.1 mostra a função produção e a reta que representa a taxa de variação média. Observe que a taxa de variação média, no intervalo de 2 a 4 horas, aproximou o comportamento da curva produção de forma linear, ou seja, por uma reta. Portanto, neste caso, a taxa de variação média representa apenas um comportamento aproximado para a variação da produção por hora. Por uma simples análise do gráfico percebe-se que, em x=3, a reta está distante da curva produção, mostrando que a taxa de variação média é apenas uma aproximação para a variação da produção por hora.
Outro exemplo importante é mostrado na Figura 6.2, em que a curva representa a quantidade Q em toneladas de cereais armazenados em um silo e x representa o número de dias transcorridos do armazenamento. Neste exemplo, para calcular a taxa de variação média, considere a quantidade em x = 2 dias de Q(2) = 8,2 toneladas e em x = 7 dias de Q(7) = 27 toneladas. Desta forma:
Taxa de variação média = 
Este resultado mostra que, no intervalo de 2 até 7 dias, esse silo teve um aumento médio no armazenamento de cereais de 3,75 toneladas por dia. No gráfico da Figura 6.2, é possível perceber que a reta que representa a taxa de variação média aproximou o comportamento da curva Q(x). Pode-se ter a falsa impressão, a partir da taxa de variação média, que a quantidade de cereais no silo sempre aumentou ao ponto que, pelo gráfico da Figura 6.2, é possível perceber que houve decréscimo na quantidade de cereais, por exemplo, entre o quarto e o quinto dia. Daí a importância de compreender que a reta que representa a taxa de variação média dá apenas uma noção aproximada do comportamento função, às vezes com uma aproximação não muito boa, como neste exemplo.
A reta que representa a taxa de variação média chama-se reta secante. A inclinação da reta secante, ou o coeficiente angular da reta secante, é a própria taxa de variação média. Para compreender este resultado, lembre-se da fórmula do coeficiente angular m da reta estudada no Tema 2:
Essa fórmula fornece a inclinação da reta dados dois pontos (x1 ,y1 ) e (x2 ,y2 ). Mas a taxa de variação média também é dada por dois pontos: 
Taxa de variação média = 
Observe, então, que a inclinação m da reta secante tem o mesmo cálculo da taxa de variação média. Logo, m = taxa de variação média. Observe o gráfico da Figura 6.3:
Taxa de Variação Instantânea 
Ainda com relação ao exemplo da empresa em que a produção é dada por P(x) = x2 , pode-se calcular a taxa de variação da produção em um instante específico. Para isso, considere a mesma função produção P(x) = x2 e o instante x = 3 horas. Inicialmente, para esse cálculo, considere a taxa de variação média no intervalo 3 até 3 + h, em que h representa o tamanho desse intervalo. À medida que o valor h diminui, a distância de 3 até 3+h também diminui e a taxa de variação média se aproxima da taxa de variação no instante x = 3. Para estudar este comportamento, considere as seguintes reduções para o valor de h: 
• Para h = 0,1, o intervalo considerado será 3 até 3,1; portanto, a taxa de variação média será:
Taxa de variação média = 6,1 toneladas por hora.
• Para h = 0,01, o intervalo considerado será 3 até 3,01; portanto, a taxa de variação média será: 
Taxa de variação média = 6,01 toneladas por hora.
• Para h = 0,001, o intervalo considerado será 3 até 3,001; portanto, a taxa de variação média será: 
Taxa de variação média = 6,001 toneladas por hora.
Para os três valores de h considerados, 0,1, 0,01 e 0,001, percebe-se que, à medida que h diminui (ou seja, à medida que a distância entre 3 e 3 + h diminui), a taxa de variação média aproxima-se de 6 toneladas por hora. Para garantir que a taxa de variação no instante x = 3 seja de 6 toneladas por hora, deve-se considerar a observação da variação de h com valores negativos, ou seja, aproximar de 3 pelo intervalo 3 - h até 3, então:
• Para h = -0,1, o intervalo considerado será 2,9 até 3; portanto, a taxa de variação média será: 
Taxa de variação média = 5,9 toneladas por hora.
• Para h = -0,01, o intervalo considerado será 2,99 até 3; portanto, a taxa de variação média será: 
Taxa de variação média = 5,99 toneladas por hora.
• Para h = -0,001, o intervalo considerado será 2,999 até 3; portanto, a taxa de variação média será: 
Taxa de variação média = 5,999 toneladas por hora
Novamente, à medida que os valores de h aproximam-se de zero, o intervalo 3 + h até 3 diminui e a taxa de variação média aproxima-se de 6 toneladas por hora.
Portanto, pode-se dizer que no instante x = 3 a taxa de variação é de 6 toneladas por hora. O procedimento de tornar h (o tamanho do intervalo) próximo de zero corresponde ao cálculo de um limite:
O cálculo preciso do valor desse limite não será discutido neste tema, mas ele resume todos os cálculos realizados anteriormente para os vários valores de h. O cálculo preciso desse limite chama-se derivada, e seu cálculo será estudado no próximo tema. Para determinar a taxa de variação instantânea, devem-se gerar vários valores para h (cada vez menores) e determinar o valor no qual a taxa de variação média se aproxima. Exemplo 6.1: O custo C, para se beneficiar uma quantidade q de trigo, é dado por C(q) = 3q2 + 500, em que C é dado em reais (R$) e q é dado em toneladas (ton.). 
a) Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo de
1 até 6 toneladas. 
b) Qual a inclinação da reta secante associada à taxa de variação média obtida no item a?
c) Determine a taxa de variação instantânea do custo para q = 4. (Utilize, para as estimativas, h = ± 0,1; h = ± 0,01; h = ± 0,001). 
Resolução: a)
Taxa de variação média = 
Ou seja, a taxa de variação média do custo para beneficiar de 1 até 6 toneladas de trigo é de R$ 21,00 por tonelada. O que significa que, em média, R$ 21,00 são gastos por tonelada de trigo para fazer o beneficiamento. 
b) Como observado na teoria, a inclinação da reta secante no intervalo de 1 até 6 toneladas é o próprio valor da taxa de variação instantânea, ou seja, msecante=21.
c) Para determinar a taxa de variação instantânea em x = 4, analisa-se o comportamento para valores de h positivos e valores negativos. Para valores positivos de h (h = 0,1; h = 0,01; h = 0,001), os intervalos (4 até 4 +h) serão, respectivamente, 4 até 4,1; 4 até 4,01; e 4 até 4,001.
• h = 0,1, ou seja, intervalo de 4 até 4,1.
• h = 0,01, ou seja, intervalo de 4 até 4,01.
• h = 0,001, ou seja, intervalo de 4 até 4,001.
Observe que, com a redução do valor h, a taxa de variação média no intervalo de 4 até 4 + h aproxima-se cada vez mais do valor de 24 R$/ton. Agora, deve-se analisar o comportamento da taxa de variação para valores negativos de h (h = -0,1; h = -0,01; h = -0,001). Então, os intervalos (4-h até 4) serão, respectivamente, 3,9 até 4; 3,99 até 4; e 3,999 até 4.
• h = -0,1, ou seja, intervalo de 3,9 até 4.
• h = -0,01, ou seja, intervalo de 3,99 até 4.
• h = -0,001, ou seja, intervalo de 3,999 até 4.
O valor da taxa de variação média no intervalo 4-h até 4 também se aproxima de 24 R$/ton. quando varia o valor de h. Assim, à medida que os dois intervalos (4-h até 4 e 4 até 4+h) tornam-se pequenos, o valor da taxa de variação média tende a R$ 24,00 por tonelada. A partir dos cálculos anteriores, pode-se afirmar que a taxa de variação instantânea quando q = 4 é de R$ 24,00 por tonelada.
AULA 7
Técnicas de Derivação 
Introdução 
No tema anterior, você estudou o significado e o cálculo da taxa de variação instantânea a partir de um processo repetitivo e intuitivo. Neste tema, o valor da taxa de variação instantânea, já definido como derivada, será determinado de forma direta por meio de fórmulas. O uso dessas fórmulas permite o cálculo imediato e preciso das derivadas.
 Derivada e Inclinação da Reta Tangente 
Como já estudado, os pontos utilizados para calcular a taxa de variação média descrevem uma reta secante, em que a inclinação dessa reta é o próprio valor da taxa de variação média.
O gráfico da Figura 7.1 mostra a reta secante passando pelos pontos (x1 ,y1 ) e (x2 ,y2 ). Observe que essa reta possui inclinação m, que é igual à taxa de variação média.
No tema anterior, você estudou a taxa de variação instantânea em um ponto x0. Essa taxa de variação não tem relação com uma reta secante, pois se trata apenas de um ponto específico (x0 , y0 ), e não de dois pontos, como acontece na reta secante. Por outro lado, a taxa de variação instantânea tem relação com a inclinação de uma reta tangente, ou seja, esta fornece o coeficiente angular mt de uma reta tangente à função f(x) no ponto x0 . Veja a Figura 7.2:
Portanto, a taxa de variação média fornece a inclinação da reta secante e a taxa de variação instantânea fornece a inclinação da reta tangente. Exemplo 7.1: A taxa de variação instantânea da função produção P(x) no ponto x0 = 5 horas é de 28 reais/hora. Qual a inclinação da reta tangente a essa função P(x) no ponto x0 = 5? 
Resolução: Como explicado, a inclinação mt da reta tangente em um ponto especificado, como o ponto x0 = 5, é a própria taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto, ou seja, mt = 28.
Cálculo da Derivada de uma Função 
No tema anterior, definiu-se que a taxa de variação instantânea de uma função f(x), em um ponto x0 , é chamada de derivada de f(x) em x0 . Para simplificar esta notação, a derivada de f(x) em x0 será escrita como f ’ (x), ou seja, colocou-se o apóstrofo na letra que representa a função. Outra notação para o cálculo da derivada muito utilizada é:
Essa notação é muito sugestiva para a idéia de taxa de variação, lembrando, por exemplo, a taxa de variação média ∆Y/ ∆X . Até agora, você estudou que, para determinar o valor numérico da derivada de uma função em um ponto estabelecido, utiliza-se um processo repetitivo e aproximado que envolve o cálculo de várias taxas de variação média. Entretanto, será apresentado um processo exato que utiliza fórmulas para determinar a derivada de uma função. Antes de verificar essas fórmulas, considere o problema em determinar a taxa de variação instantânea em x = 3 horas para a função produção P(x) = x2 , dada em toneladas. A resposta desse problema foi obtida, no tema anterior, por meio de uma estimativa após o cálculo repetitivo de várias taxas de variação média. O valor encontrado, já utilizando a notação de derivada, foi:
f ‘ (3) = 6 toneladas/hora. 
Entretanto, esse resultado pode ser obtido diretamente pelo cálculo do limite:
O cálculo da derivada (taxa de variação instantânea) por meio do limite chama-se cálculo pela definição. O cálculo da derivada pela definição não será desenvolvido aqui, mas pode ser encontrado em Tan (2001). O que será desenvolvida neste tema é a fórmula resultante desse cálculo:
Assim, quando a função é P(x) = x2 , a taxa de variação instantânea (ou a derivada) possui a fórmula P ‘ (x) = 2x. Portanto, para calcular a taxa de variação instantânea em x=3 (derivada em x=3), basta calcular P ‘ (3): 
P ‘ (3) = 2 . 3 = 6 toneladas/hora 
Observe que o uso da fórmula simplificou o processo do cálculo da derivada em um ponto, não sendo mais necessário o cálculo repetitivo de várias taxas de variação média. Entretanto, essa fórmula não é única, pois a cada nova função fornecida o cálculo da derivada gera uma nova fórmula. A seguir, são apresentadas algumas regras que permitem a obtenção dessas fórmulas quando a derivada é de funções polinomiais. 
• Regra da Potência: para qualquer número real n, se f(x) = xn , então:
O que significa que, para calcular a derivada da função f(x) = xn , subtrai-se 1 do expoente e multiplica-se o resultado pelo expoente original. Exemplo 7.2: Calcule a derivada de f(x) = x5 . Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 2. 
Resolução:
• Regra da Multiplicação por uma Constante: se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, c . f(x) também é uma função derivável e
Exemplo 7.3: Calcule a derivada de f(x) = 10x3 . Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 4. 
Resolução:
• Regra da Soma ou Diferença: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma ou a diferença, f(x) ± g(x), também é uma função derivável e
Isso significa que a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas das parcelas. Exemplo 7.4: Calcule a derivada de f(x) = 6x4 - 4x3 + 5x2 . Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 1. Resolução:
Observação: Quando a função é constante, f(x) = c, a derivada da função é igual a zero, pois não há taxa de variação em uma função constante, já que o valor da função nunca cresce e nunca decresce. Exemplo 7.5: Calcule a derivada de f(x) = x2+78. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 8.
Exemplo 7.5: Calcule a derivada de f(x) = x2+78. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 8.
Exemplo 7.6: O custo C para se beneficiar uma quantidade x de trigo é dado por C(x) = 3x2 + 500, em que C é dado em reais (R$) e x é dado em toneladas (ton.). 
a) Determine a taxa de variação instantânea do custo quando x=7 toneladas. 
b) Qual a inclinação m da reta tangente à curva C(x) quando x=7? 
c) A função f(x) que descreve a reta tangente à curva representada por C(x) = 3x2 + 500 no ponto x=7. 
Resolução:
a) Para encontrar a taxa de variação instantânea,
deve-se calcular a derivada de C(x) no ponto x=7. Observe que, nesse exemplo, a função depende da variável x; portanto, a derivada deve ser feita com relação a essa variável. Assim, a derivada de C(x):
A taxa de variação instantânea do custo, quando x = 7 toneladas, é de R$ 42,00 por tonelada. 
b) A inclinação m da reta tangente no ponto x=7 é a própria taxa de variação instantânea dessa função neste ponto, ou seja, m =42.
c) Como estudado no Tema 2, a função que representa uma reta é dada por f(x) = mx + b. O valor m, conforme o item anterior, é igual a 42. A função f(x) parcialmente pronta é: f(x) = 42x + b
Para descobrir o valor de b, basta observar que, quando duas funções são tangentes entre si, estas possuem um ponto em comum. Observe a Figura 7.3:
Observe pela Figura 7.3 que f(0x ) = C(0x ) = 0y , ou seja, possuem o mesmo valor em 0x . Desta forma, como a reta tangencia a curva no ponto x=7 (enunciado), então, neste ponto, as duas funções (reta e curva) têm o mesmo valor, ou seja, f(7)=C(7). A partir dessa informação, é possível determinar b:
f(7)=C(7) 
42 . 7+b = = 3 . 7² + 500 
294+b=147+500 
b= -294+647 
b=353.
Assim, a função que descreve a reta tangente à curva C(x) = 3x2 + 500 no ponto x=7 é f(x) = 42x+353.
AULA 8
Aplicação da Derivada no Estudo das Funções das Áreas Econômicas e Administrativas 
Introdução 
Em algumas situações, um empresário pode ter de tomar a decisão de aumentar ou não o nível de produção. Para tanto, uma análise do lucro marginal (também custo marginal e receita marginal) pode mostrar a esse empresário se produzir mais e vender mais significa lucrar mais. Nas áreas de administração, contabilidade e economia, utiliza-se o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em uma função (que pode ser custo, receita ou lucro) por uma pequena variação na quantidade vendida ou produzida. Uma ferramenta prática para esse cálculo é a derivada. 
Exemplo Prático – O Custo Marginal
Em uma indústria de calçados de luxo, na produção de x unidades de certo tipo de sapato, o custo C em reais foi estudado e estabelecido como C(x) = 0,2x3 – 15x2 +500x+3. 
A partir dessas informações é possível determinar o custo, por exemplo, para a produção de 34 sapatos: C(34)=0,2⋅34³ –15⋅34²+500⋅34+3⇒C(34)=7860,80-17340+17000+3 ⇒C(34)=7523,80 reais
Também é possível determinar o custo de fabricação de 35 sapatos: C(35)=0,2⋅35³ –15⋅35² +500⇒35+3⇒C(35)=8575-18375+17500+3 ⇒C(35)=7703 reais
Entretanto, se a empresa deseja saber apenas o custo para produzir o trigésimo quinto sapato (35o ), deve-se subtrair do custo de produção de 35 sapatos o custo de produção de 34 sapatos, ou seja: C(35) – C(34) = 7703-7523,80 = 179,20 reais
Pode-se também interpretar este resultado como: no nível de produção de 34 unidades de sapatos, o custo adicional para a produção de mais uma unidade é de R$ 179,20. A esse tipo de custo dá-se o nome de custo marginal. O custo marginal, quando a produção é de 34 unidades de sapatos, é de R$ 179,20 por unidade. Para o cálculo do custo marginal, alguns economistas, pela praticidade e rapidez, preferem utilizar a derivada, apesar de a derivada ser apenas uma aproximação para esse caso. Isso acontece porque o cálculo da derivada pressupõe o número de sapatos como uma variável contínua. Assim, a derivada da função C(x) no ponto x = 34 é:
Portanto, por meio do cálculo da derivada, o custo marginal, quando a produção é de 34 unidades, é C '(34) = R$ 173,60 por unidade. O valor do custo marginal por meio da derivada é uma boa aproximação para o custo marginal real, que, conforme obtido anteriormente, é de R$ 179,20. O que significa que o uso da derivada em algumas situações pode simplificar o cálculo deste custo. Nos próximos cálculos da função marginal será utilizada apenas a derivada.
Exemplo Prático – A Receita Marginal 
A empresa de calçados de luxo, após estudos, avalia que a função receita, para até certo nível de vendas, é dada pela função R(x)= 0,2x³ – 16x² +600x. Essa função foi obtida, pois a empresa avaliou que o preço em relação à demanda x é p =0,2x² – 16x +600. Além disso, vale a relação R = p⋅ x, em que a receita é igual a preço p multiplicado pela quantidade vendida x. Essa empresa pode estimar a variação da receita quando o nível de vendas é de 34 sapatos, ou seja, a empresa pode determinar a receita para a venda do 35o sapato, o que significa encontrar a receita marginal quando o nível de vendas é de 34 sapatos. Para isso, é necessário obter a função receita marginal. Derivando a função:
O valor da receita marginal quando x = 34 unidades: R '(34)=0,6⋅34² -32⋅34+600⇒R '(1)=693,6 - 1020 +600 ⇒ 
R '(34)=205,6 reais por unidade
Portanto, a receita marginal, quando o nível de vendas é de 34 sapatos, é de R$ 205,6. Isto significa que, na venda do 35o sapato, a empresa terá um aumento de R$ 205,6 na receita.
Exemplo Prático – O Lucro Marginal 
Considerando quantidade vendida igual à quantidade produzida, a função lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função custo:
Essa empresa pode estimar a variação do lucro quando o nível de vendas é igual a 34 sapatos, ou seja, a empresa pode determinar o lucro para a venda do 35o sapato, o que significa encontrar o lucro marginal quando o nível de vendas é igual a 34 sapatos. Para isso, incialmente, é necessário obter a função lucro marginal. Derivando a função lucro:
O valor do lucro marginal quando x = 34 unidades: L '(34)= -2⋅34+100 = 32 reais por unidade.
Portanto, o lucro marginal, quando o nível de vendas é de 34 sapatos, é de R$ 32,00 por unidade. Isso significa que, na venda do 35o sapato, a empresa terá um aumento no lucro de R$ 32,00. 
Considere a situação em que a empresa deseja determinar o lucro marginal quando o nível de vendas é igual a 52 unidades. Assim, para x = 52 unidades:
L '(52)= -2⋅52+100 = -4 reais por unidade
Esse valor negativo indica que, na venda do 53o sapato, haverá uma redução de R$ 4,00 no lucro da empresa. Observe que, neste caso, a redução do lucro não significa que a empresa terá prejuízo ao vender 52 unidades de sapatos, mas sim um lucro menor em R$ 4,00.
Exemplo Prático – O Lucro Máximo 
O ponto de máximo de uma função quadrática pode ser determinado pelo cálculo da derivada. Parte-se do princípio de que, no vértice da parábola (onde ocorre o máximo ou mínimo da função), a reta tangente tem inclinação igual a zero, ou seja, está na horizontal. Assim, como a derivada fornece a inclinação da reta tangente, basta derivar a função quadrática e igualar o resultado a zero para encontrar o ponto em que a reta tangente está na horizontal, ou seja, para encontrar o ponto de mínimo ou de máximo. Observe a Figura 8.1:
Como o cálculo da derivada da função lucro já foi determinado anteriormente, tem-se que: L '(x)=-2x+100.
Vale lembrar que o resultado da derivada de uma função também representa a inclinação m da reta tangente à função em um ponto x qualquer, ou seja:
Agora, para obter o ponto de máximo da função, iguala-se a inclinação a zero, ou seja, determina-se o valor de x em que a reta está na horizontal.
O lucro máximo ocorre quando x = 50 unidades com um valor correspondente a: L(50) = -50² +100⋅50-3⇒ L(50) = -50² +100⋅50-3 = 2497,00 reais.
Portanto, a partir da função lucro L = -x²+100x-3, para a empresa maximizar o lucro, ela deve produzir e vender 50 sapatos gerando um lucro de R$ 2.497,00. Este processo é equivalente a encontrar o vértice da parábola, como aprendido no Tema 2. Para outros tipos de funções polinomiais de grau maior que dois, a derivada torna-se uma excelente ferramenta na busca dos mínimos e máximos locais.