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2010 2 Ads Aps parte 1
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503_20101104-203852_ep14_metdet_ii_2010_2_todos.doc
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP 14
2010/2
Met. Det. II
Semana 16
Prezado aluno,
Estamos chegando ao fim do período. Esta semana está programada para o estudo da aula 15, que é uma aula de exercícios. Tente fazer todas as questões e não deixe de tirar suas dúvidas!
Além dos EP´s e do material didático não deixem de consultar a biblioteca do polo ou livros de cálculo que estejam disponíveis em casa, com amigos ou outras pessoas que já estudaram esta matéria, para fazerem outros exercícios.
A nossa segunda avaliação (AP2) acontecerá no dia 14/11 e, por conta disso, a próxima semana será destinada à revisão das aulas correspondentes (8 a 15). Não deixe de rever também os EP’s referentes a estas aulas em suas duas versões: aluno e tutor.
Um abraço e bom estudo!
Procurem seus tutores presenciais e a distância para ajudá-los. Estudem em grupo. Muitas vezes, o que é difícil para um é fácil para outro!
Bons Estudos!
Maria Helena Mello
_2010.02_gestao_de_marketing_ii_Gabarito_AP2.doc
- Gabarito AP2 :: Gestão de Marketing 2
(Resposta na Estratégias de Promoção – aula 4)
(Resposta na Estratégias de Distribuição – aula 3)
A distribuição seletiva consiste no fato de o fabricante vender produtos por meio de mais de um dos intermediários disponíveis numa área de comércio, mas não por todos eles. Apenas os melhores intermediários são escolhidos, avaliação que considera, por exemplo, localização, reputação e carteira de clientes.
(Resposta na Estratégias de Produto – aula 1)
Composto de produto é o conjunto de todos os produtos e itens que uma organização coloca à venda em seu mercado. Exemplo: No Mix de Marketing, são encontrados os 4P´s, Produto, preço, praça e Promoção.
Linha de produto: São os produtos que desempenham função similar e que são vendidos ao mesmo grupo de consumidores, geralmente pelos mesmos canais e dentro de faixas de preço específicas. Exemplo: Seguro de vida.
(Resposta na Estratégias de Preço – aula 2)
É uma prática comercial desleal, que consiste em uma ou mais empresas venderem seus produtos extraordinariamente baixos (muitas vezes com preços de venda inferiores ao preço de produção) no próprio país ou em outro, visando prejudicar e eliminar a concorrência local e conquistar fatias maiores de mercado, passando então a impor preços altos. É um termo usado em comércio internacional e a prática é reprimida pelos governos nacionais, quando comprovada.
(Resposta na Estratégia de Processos – aula 6 )
Confiabilidade – habilidade para executar o serviço prometido de modo seguro e preciso.
Responsabilidade – a vontade de ajudar os clientes e de prestar serviços sem demora.
Segurança – O conhecimento dos funcionários aliado à simpatia e á sua habilidade para inspirar credibilidade e confiança.
Empatia – Cuidado, atenção individualizada dedicada aos clientes.
Tangibilidade – Aparência das instalações físicas, equipamento, pessoal e materiais impressos.
119_20100809-143939_ad1_mest_ii_2010_2_prova.pdf
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO - CEDERJ
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
1a Avaliação à Distância (AD1) - 2o semestre de 2010 - Profa. Ana Maria Farias
1. Seja X a variável aleatória que representa, em milhões de reais, o resultado líquido de uma
operação comercial cuja função de densidade de probabilidade é a seguinte:
fX(x) =
½
1
20 se − 6 ≤ x ≤ 14
0 se x < −6 ou x > 14
(a) Calcule a probabilidade de a operação ser lucrativa.
(b) Em três operações comerciais com esta mesma função de densidade de probabilidade,
determine a probabilidade de pelo menos uma delas ser lucrativa.
(c) Sabendo que uma operação deu prejuizo, mas inferior a 4 milhões de reais, determine a
probabilidade de o resultado ter sido superior a −1, 5 milhões de reais.
2. Na figura 1 é dado o gráfico da função de densidade f de uma variável aleatória contínua X.
Figura 1: Função de densidade para a questão 2
(a) Determine o valor de k e a expressão matemática de f.
(b) Determine a função de distribuição acumulada FX de X.
(c) Determine os quartis da distribuição da variável aleatória X.
3. Seja X ∼ N(27; 72). Calcule:
(a) Pr(X ≥ 35, 4)
(b) Pr(X < 13)
(c) Pr(15, 8 < X < 29, 8)
(d) Pr(36, 8 < X < 45, 2)
(e) Pr[(X > 22, 8) ∪ (X < 32, 6)]
Obs.: faça um desenho ilustrando a probabilidade pedida. Você tem que explicitar todos
os eventos. Veja a solução dos Exercícios Programados.
1
4. Seja X ∼ N(μ;σ2).
(a) Calcule Pr(|X − μ| > kσ) para k = 1, 2, 3.
(b) Calcule o valor de k tal que Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95
(c) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ > kσ) = 0, 05
(d) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ < kσ) = 0, 10
(e) Interprete os resultados obtidos.
5. Num processo de fabricação, o diâmetro de determinada peça segue uma distribuição normal
com média de 200 milímetros e desvio padrão de 5 milímetros. Os limites de tolerância para o
diâmetro da peça são 187,5 mm e 215 mm. As peças com diâmetro pequeno são descartadas
como refugo. As peças com diâmetro grande vão para um processo de redimensionamento,
havendo 70% de chance de se colocar o diâmetro dentro dos limites de tolerância e 30% de
chance de se descartar a peça como refugo.
(a) Qual é a probabilidade de se produzir uma peça com diâmetro pequeno?
(b) Qual é a probabilidade de se produzir uma peça com diâmetro dentro dos limites de
tolerância?
(c) Qual é a probabilidade de se descartar uma peça como refugo?
(d) Sabendo que uma peça tem diâmetro dentro dos limites de tolerância, qual é a probabil-
idade de que ela tenha passado pelo processo de redimensionamento?
2
119_20100809-144027_ad1_metdet_ii_2010_2_prova.pdf
Fundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD AD AD AD 1111 2020202010101010/2/2/2/2 Met. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. II
1. (1,5) Seja f definida por 2)( xexf = . Determine três funções m, n e p tais que a sua composta seja igual a f ,
ou seja, ))(()( xponomxf = . Determine outra função g tal que ))(()( xmoponxg =
2. (1,5) O custo variável vC (medido em R$) para a produção de q unidades de um produto é dado por
310qCv = .
a. Construa uma tabela que forneça o custo variável para a produção de 0, 1, 2, 3, 4 e 5 unidades do produto e, a
partir dessa tabela esboce o gráfico de vC .
b. Determine a quantidade produzida quando o custo variável é de R$ 5120,00.
c. Obtenha a inversa ( )vCfq 1−= e explique seu significado.
3. (2,0) Sejam q e p, respectivamente, a quantidade demandada (em kg) e o preço (em R$) de um determinado bem e que
estão relacionados por
2150000 −= pq .
a. Calcule q
p +→0
lim e interprete o resultado (qual o significado em termos práticos).
b. O que ocorre com o preço se a quantidade demandada cresce indefinidamente? Qual a sua interpretação
prática para esta situação?
4. (2,0) O montante de uma aplicação financeira no decorrer
dos anos é dado por
xxM )08,1.(50000)( = , sendo que
x representa o ano após a aplicação e x = 0 o momento em que foi realizada a aplicação.
a. Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial.
b. Determine o valor aplicado inicialmente e o percentual de aumento do montante em 1 ano.
c. Determine após quanto tempo o montante será de R$ 80.000,00.
5. (3,0) Calcule:
a.
22
13lim 23
23
1
−++
+−+
→ xxx
xxx
x
b.
4
42lim 22
−
−
−→ x
x
x
c.
9
3lim
23
−
−
+→ x
x
x
119_20100831-154649_ad1_mest_ii_2010_2_gab.pdf
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO - CEDERJ
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
1a Avaliação à Distância (AD1) - 2o semestre de 2010 - Profa. Ana Maria Farias
1. Seja X a variável aleatória que representa, em milhões de reais, o resultado líquido de uma
operação comercial cuja função de densidade de probabilidade é a seguinte:
fX(x) =
½
1
20 se − 6 ≤ x ≤ 14
0 se x < −6 ou x > 14
(a) Calcule a probabilidade de a operação ser lucrativa.
Solução
Veja a Figura 1; a probabilidade pedida corresponde à area sombreada.
Pr(X > 0) =
14
20
= 0, 7
Figura 1: Cálculo de Pr(X > 0) para a questão 1(a)
(b) Em três operações comerciais com esta mesma função de densidade de probabilidade,
determine a probabilidade de pelo menos uma delas ser lucrativa.
Solução
Seja Y = número de operações lucrativas num total de três. O problema pede
Pr(Y ≥ 1) = 1− Pr(Y = 0) = 1− 0, 3× 0, 3× 0, 3 = 0, 973
Chame a atenção para a hipótese de independência! Chame a atenção para o comple-
mentar de “pelo menos uma ser lucrativa”!
(c) Sabendo que uma operação deu prejuizo, mas inferior a 4 milhões de reais, determine a
probabilidade de o resultado ter sido superior a −1, 5 milhões de reais.
Solução
Note que prejuizos de 4 milhões de reais e 1,5 milhões de reais correspondem aos valores
−4 e −1, 5 da variável aleatória X. O problema pede
Pr(X > −1, 5 |− 4 < X < 0) = Pr(−1, 5 < X < 0)
Pr(−4 < X < 0) =
1,5
20
4
20
=
3
8
= 0, 375
1
Veja a Figura 2; a parte hachurada de cinza corresponde ao novo espaço amostral, definido
pelas condições dadas: operação com prejuizo inferior a 4 milhões de reais. A parte riscada
de preto corresponde ao evento de interesse (resultado superior a −1, 5 milhões de reais)
nesse novo espaço amostral.
Figura 2: Solução da questão 1(e) - Pr(X > −1, 5 | − 4 < X < 0)
Recorde a definição de probabilidade condicional!
2. Na figura 3 é dado o gráfico da função de densidade f de uma variável aleatória contínua X.
Figura 3: Função de densidade para a questão 2
(a) Determine o valor de k e a expressão matemática de f.
Solução
Temos que ter
k ≥ 0
É usual o aluno esquecer de verificar a condição de não negatividade! Chame atenção
apra esse fato.
A área tem que ser 1:
1
2
(3k − 3)
µ
k
3
¶
= 1⇒ 3
2
(k − 1)
µ
k
3
¶
= 1⇒ k2 − k = 2⇒
k =
1±√1 + 8
2
⇒
½
k = 2
k = −1
2
Logo,
k = 2
f é a reta ax+ b que passa pelos pontos (3; 0) e
¡
6; 23
¢
:
3a+ b = 0
6a+ b =
2
3
Subtraindo a primeira equação da segunda resulta que 3a = 23 e, portanto, a =
2
9 .
Substituindo o valor de a em um das equações resulta que b = −23 = −
6
9
fX(x) =
½
2x−6
9 se 3 ≤ x ≤ 6
0 se x < 3 ou x > 6
(b) Determine a função de distribuição acumulada FX de X.
Solução
Para x < 3, FX(x) = 0 e para x > 6, FX(x) = 1. Para 3 ≤ x ≤ 6, FX(x) é a área
do triângulo sombreada na Figura 4. Esse triângulo tem base x − 3 e altura igual a
fX(x) = 2x−69 . Logo,
FX(x) =
⎧
⎨
⎩
0 se x < 3
1
2
¡
2x−6
9
¢
(x− 3) = x29 −
2x
3 + 1 se 3 ≤ x ≤ 6
1 se x > 6
Figura 4: Questão 2(b) - Cálculo de FX(x)
(c) Determine os quartis da distribuição variável aleatória X.
Solução
Sejam Q1, Q2, Q3 os qaurtis. Então, temos que ter
F (Q1) =
1
4
=⇒ Q
2
1
9
− 2Q1
3
+ 1 =
1
4
=⇒ 4Q21 − 24Q1 + 27 = 0 =⇒
Q1 =
24±√576− 432
8
=
24±√144
8
=
24± 12
8
3
F (Q2) =
1
2
=⇒ Q
2
2
9
− 2Q2
3
+ 1 =
1
2
=⇒ 2Q22 − 12Q2 + 9 = 0 =⇒
Q2 =
12±√144− 72
4
=
12±√72
4
=
12± 6√2
4
= 3± 3
√
2
2
F (Q3) =
3
4
=⇒ Q
2
3
9
− 2Q3
3
+ 1 =
3
4
=⇒ 4Q23 − 24Q3 + 9 = 0 =⇒
Q1 =
24±√576− 144
8
=
24±√432
8
=
24± 12√3
8
= 3± 3
√
3
2
As soluções dentro do domínio de definição de f são
Q1 =
36
8
= 4, 5 Q2 = 3 +
3
√
2
2
= 5, 12132 Q3 = 3 +
3
√
3
2
= 5, 5981
3. Seja X ∼ N(27; 72). Calcule:
(a) Pr(X ≥ 35, 4)
Solução
Veja a Figura 5.
Pr(X ≥ 35, 4) = Pr
µ
Z ≥ 35, 4− 27
7
¶
= Pr(Z ≥ 1, 2) = 0, 5− Pr(0 ≤ Z ≤ 1, 2)
= 0, 5− tab(1, 2) = 0, 5− 0, 38493 = 0, 11507
Figura 5: Solução da questão 3(a)
(b) Pr(X < 13)
Solução
Veja a Figura 6.
Pr(X < 13) = Pr
µ
Z <
13− 27
7
¶
= Pr(Z < −2) = Pr(Z > 2) = 0, 5− Pr(0 ≤ Z ≤ 2) =
= 0, 5− tab(2) = 0, 5− 0, 47725 = 0, 02275
4
Figura 6: Solução da questão 3(b)
(c) Pr(15, 8 < X < 29, 8)
Solução
Veja a Figura 7.
Pr(15, 8 < X < 29, 8) = Pr
µ
15, 8− 27
7
< Z <
29, 8− 27
7
¶
= Pr(−1, 6 < Z < 0, 4) =
= Pr(−1, 6 < Z < 0) + Pr(0 ≤ Z ≤ 0, 4) =
= Pr(0 < Z < 1, 6) + Pr(0 ≤ Z ≤ 0, 4) = tab(1, 6) + tab(0, 4) =
= 0, 44520 + 0, 15542 = 0, 60062
Figura 7: Solução da questão 3(c)
(d) Pr(36, 8 < X < 45, 2)
Solução
Veja a Figura 8.
Pr(36, 8 < X < 45, 2) = Pr
µ
36, 8− 27
7
< Z <
45, 2− 27
7
¶
= Pr(1, 4 < Z < 2, 6) =
= tab(2, 6)− tab(1, 4) = 0, 49534− 0, 41924 = 0, 0761
5
Figura 8: Solução da questão 3(d)
(e) Pr[(X > 22, 8) ∪ (X < 32, 6)]
Solução
Note que temos a probabilidade da união de 2 eventos: A = (X > 22, 8) e B = (X <
32, 6). Sabemos que Pr(A∪B) = Pr(A)+Pr(B)−Pr(A∩B). Vamos calcular cada parcela.
Na parte esquerda da Figura 9 ilustra-se o cálculo de Pr(X > 22, 8) e na parte direita, o
cálculo de Pr(X < 32, 6).Em ambas as figuras, a parte listada refere-se à probabilidade
da interseção, contada 2 vezes.
Figura 9: Solução da questão 3(e)
Pr(X > 22, 8) = Pr
µ
Z >
22, 8− 27
7
¶
= Pr(Z > −0, 6) = 0, 5 + tab(0, 6) =
= 0, 5 + 0, 22575 = 0, 72575
Pr(X < 32, 6) = Pr
µ
Z <
32, 6− 27
7
¶
= Pr(Z < 0, 8) = 0, 5 + tab(0, 8)
= 0, 5 + 0, 28814 = 0, 78814
6
Pr(22, 8 < X < 32, 6) = Pr
µ
22, 8− 27
7
< Z <
32, 6− 27
7
¶
=
Pr(−0, 6 < Z < 0, 8) = tab(0, 8) + tab(0, 6)
= 0.28814 + 0.22575 = 0, 51389
Pr[(X > 22, 8) ∪ (X < 32, 6)] = 0.72575 + 0.78814− 0.51389 = 1
Comente porque esse resultado já era esperado! Observe que a união das áreas sombreadas
dá o espaço amostral completo!
4. Seja X ∼ N(μ;σ2).
(a) Calcule Pr(|X − μ| > kσ) para k = 1, 2, 3.
Solução
Pr(|X − μ| > 1σ) = Pr(X − μ < −σ) + Pr(X − μ > σ)
= Pr
µ
X − μ
σ
< −1
¶
+Pr
µ
X − μ
σ
> 1
¶
= Pr(Z < −1) + Pr(Z > 1)
= 2× Pr (Z > 1) = 2× [0, 5− Pr (0 ≤ Z ≤ 1)]
= 2× [0, 5− tab(1, 0] = 2× (0, 5− 0.34134) = 0, 31732 ≈ 0, 32
Pr(|X − μ| > 2σ) = Pr(X − μ < −2σ) + Pr(X − μ > 2σ)
= Pr
µ
X − μ
σ
< −2
¶
+Pr
µ
X − μ
σ
> 2
¶
= Pr(Z < −2) + Pr(Z > 2) = 2× Pr (Z > 2) = 2× [0, 5− Pr (0 ≤ Z ≤ 2)]
= 2× [0, 5− tab(2, 0] = 2× (0, 5− 0.47725) = 0, 0455 ≈ 0, 05
Pr(|X − μ| > 3σ) = Pr(X − μ < −3σ) + Pr(X − μ > 3σ)
= Pr
µ
X − μ
σ
< −3
¶
+Pr
µ
X − μ
σ
> 3
¶
= Pr(Z < −3) + Pr(Z > 3) = 2× Pr (Z > 3) = 2× [0, 5− Pr (0 ≤ Z ≤ 3)]
= 2× [0, 5− tab(3, 0] = 2× (0, 5− 0.49865) = 0, 0027 ≈ 0, 003
(b) Calcule
o valor de k tal que Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95
Solução
Pr(|X − μ| < kσ) = 0, 95⇐⇒ Pr(−kσ < X − μ < −kσ) = 0, 95⇐⇒
Pr
µ
−k < X − μ
σ
< k
¶
= 0, 95⇐⇒ Pr (−k < Z < k) = 0, 95⇐⇒
2× Pr (0 < Z < k) = 0, 95⇐⇒ Pr (0 < Z < k) = 0, 475⇐⇒
tab (k) = 0, 475⇐⇒ Φ(k) = 0, 975⇐⇒ k = 1, 96
7
(c) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ > kσ) = 0, 05
Solução
Pr(X − μ > kσ) = 0, 05⇐⇒ Pr (Z > k) = 0, 05
Note que k tem que ser positivo, pois à direita dele tem 5% de área e à esquerda, 95%.
Assim, k tem que estar do lado positivo do eixo!
Pr (Z > k) = 0, 05⇐⇒ 0, 5− Pr(0 ≤ Z ≤ k) = 0, 05⇐⇒
0, 5− tab(k) = 0, 05⇐⇒ tab(k) = 0, 45⇐⇒ k = 1, 64
(d) Calcule o valor de k tal que Pr(X − μ < kσ) = 0, 10
Solução
Pr(X − μ < kσ) = 0, 10⇐⇒ Pr(Z < k) = 0, 10
Note que k tem que ser negativo, pois à esquerda dele tem 10% de área e à direita, 90%.
Assim, k tem que estar do lado negativo do eixo e seu simétrico −k tem que estar do
lado positivo!
Pr(Z < k) = 0, 10⇐⇒ Pr(Z > −k) = 0, 10⇐⇒ 0, 5− Pr(0 ≤ Z ≤ −k) = 0, 10⇐⇒
0, 5− tab(−k) = 0, 10⇐⇒ tab(−k) = 0, 40⇐⇒ −k = 1, 28⇐⇒ k = −1, 28
(e) Interprete os resultados obtidos.
Solução
O importante a notar neste exercício é que os resultados valem para qualquer distribuição
normal. Por exemplo, do item (a), resulta que, para qualquer distribuição normal,
o intervalo [μ− σ;μ+ σ] tem 68% de probabilidade
o intervalo [μ− 2σ;μ+ 2σ] tem 95% de probabilidade
o intervalo [μ− 3σ;μ+ 3σ] tem 99,7% de probabilidade
Veja a Figura 10 Assim, o desvio padrão funciona como uma medida de escala, ou
seja, podemos falar em termos de número de desvios padrões. Por exemplo, do item (c),
conclui-se que acima de 1,64 desvios padrões da média temos sempre 5% de probabilidade
8
Figura 10: Solução da questão 4(e)
9
5. Num processo de fabricação, o diâmetro de determinada peça segue uma distribuição normal
com média de 200 milímetros e desvio padrão de 5 milímetros. Os limites de tolerância para o
diâmetro da peça são 187,5 mm e 215 mm. As peças com diâmetro pequeno são descartadas
como refugo. As peças com diâmetro grande vão para um processo de redimensionamento,
havendo 70% de chance de se colocar o diâmetro dentro dos limites de tolerância e 30% de
chance de se descartar a peça como refugo.
Solução
Seja X a variável aleatória que representa o diâmetro da peça. Então, X ∼ N(200; 25). Vamos
definir os seguintes eventos:
P = diâmetro pequeno
D = diâmetro dentro das especificações
G = diâmetro grande
R = peça descartada como refugo
e, quando necessário, usaremos os subscritos 1 e 2 para indicar a etapa do processo. Na Figura
11 ilustra-se o espaço amostral desse experimento.
Figura 11: Espaço amostral para a questão 5
(a) Qual é a probabilidade de se produzir uma peça com diâmetro pequeno na primeira
etapa?
Solução
Pr(P1) = Pr(X < 187, 5) = Pr
µ
Z <
187, 5− 200
5
¶
= Pr(Z < −2, 5) =
= Pr(Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0.5− 0.49379 = 0, 00621
(b) Qual é a probabilidade de se produzir uma peça com diâmetro dentro dos limites de
tolerância?
Solução
10
O problema pede a probabilidade Pr(D). Note que D = D1 ∪ (G1 ∩D2). Logo
Pr(D) = Pr(D1) + Pr(D2 ∩G1) = Pr(D1) + Pr(G1)× Pr(D2|G1)
= Pr(187, 5 ≤ X ≤ 215) + Pr(X > 215)× 0, 7
= Pr
µ
187, 5− 200
5
≤ Z ≤ 215− 200
5
¶
+Pr
µ
Z >
215− 200
5
¶
× 0, 7
= Pr(−2, 5 ≤ Z ≤ 3) + Pr(Z > 3)× 0, 7
= tab(2, 5) + tab(3, 0) + [0, 5− tab(3, 0)]× 0, 7
= 0.49379 + 0.49865 + (0.5− 0.49865)× 0.7 = 0, 99339
(c) Qual é a probabilidade de se descartar uma peça como refugo?
Solução
Pr(R) = Pr(P1) + Pr(G1 ∩R2) = Pr(P1) + Pr(G1)× Pr(R2|G1)
= 0.00621 + [0, 5− tab(3, 0)]× 0, 3 = 0.00621 + (0.5− 0.49865)× 0.3
= 0, 006615
Note que Pr(R) = 1− Pr(D)
(d) Sabendo que uma peça tem diâmetro dentro dos limites de tolerância, qual é a probabil-
idade de que ela tenha passado pelo processo de redimensionamento?
Solução
Para que a peça passe pelo processo de redimensionamento, é necessário que o diâmetro
tenha sido grande na primeira etapa. Logo, o problema pede Pr(G1|D).
Pr(G1|D) = Pr(G1 ∩D)
Pr(D)
=
Pr(G1 ∩D2)
Pr(D)
=
Pr(G1)× Pr(D2|G1)
Pr(D)
=
Pr(X > 215)× 0, 7
Pr(D)
=
[0, 5− tab(3, 0)]× 0, 7
Pr(D)
=
(0.5− 0.49865)× 0.7
0.99339
= 0, 00095
11
119_20100831-154726_ad1_metdet_ii_2010_2_gab.pdf
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Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD 1 2010/2
Met.
Det.
II
Gabarito
1. (1,5) Seja f definida por 2)( xexf = . Determine três funções m, n e p tais que a
sua composta seja igual a f , ou seja, ))(()( xponomxf = . Determine outra
função g tal que ))(()( xmoponxg = .
Solução:
Existe mais de uma maneira de se verificar como se “decompor” esta função
composta. Pode-se escrevê-la como ( )( )2)( xexf = , portanto, podemos definir as
funções p,n e m como 2)( xxp = , xexn =)( e xxm =)( . Logo,
22 )())(()))((())(()( 2 xx eemxnmxpnmxponomxf ===== .
A função g definida por ))(()( xmoponxg = será
x
exnxnxpnxmpnxg ===== )())(())(()))((()( 2 .
2. (1,5) O custo variável vC (medido em R$) para a produção de q unidades de um
produto é dado por 310qCv = .
a. Construa uma tabela que forneça o custo variável para a produção de 0, 1, 2,
3, 4 e 5 unidades do produto e, a partir dessa tabela esboce o gráfico de vC .
b. Determine a quantidade produzida quando o custo variável é de R$ 5120,00.
c. Obtenha a inversa ( )vCfq 1−= e explique seu significado.
Solução:
a)
310qCv = q
0 0
10 1
80 2
270 3
640 4
1250 5
Para fazer o gráfico é simples. Basta localizar estes pontos em um sistema de eixos
retangulares, com cuidado para a escala escolhida. Se no eixo vertical a variação é de 0
a 1250, observar que não se pode usar 1 cm para cada marcação. As escalas deverão ser
diferentes no eixo horizontal e no eixo vertical. O aspecto do gráfico é semelhante ao
da figura:
b) quando o custo variável for de 5120, a quantidade produzida será dada por
8512512105120 333 ==⇒=⇒= ppp unidades.
c) a inversa será obtida explicitando o valor de p na expressão 310 pCv = . Portanto,
33
1010
vv CpCp =⇒= . Esta expressão dá a quantidade a ser produzida considerando o
custo variável que se tem.
3. (2,0) Sejam q e p, respectivamente, a quantidade demandada (em kg) e o preço (em
R$) de um determinado bem e que estão relacionados por 2150000 −= pq .
a. Calcule q
p +→0
lim e interprete o resultado (qual o significado em termos
práticos).
b. O que ocorre com o preço se a quantidade demandada for igual a 1 unidade?
E se for igual a 10 unidades? E se for igual a 100 unidades? E se for igual a
1000 unidades? E se cresce indefinidamente? Qual a sua interpretação
prática para esta situação?
Solução:
a) +∞===
+++ →
−
→→
20
2
00
150000lim150000limlim
p
pq
ppp
. A medida que a quantidade
demandada diminui o preço aumenta. No limite, se a quantidade demandada for zero, o
preço deve ser infinito.
b)
q=150000p-2 p
150000 1
1500 10
15 100
0,15 1000
0,0015 10000
A medida que o preço cresce, a quantidade demandada reduz. Quando crescer
indefinidamente, a quantidade demandada será zero.
4. (2,0) O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por
xxM )08,1.(50000)( = , sendo que x representa o ano após a aplicação e x = 0 o
momento em que foi realizada a aplicação.
a. Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial.
b. Determine o valor aplicado inicialmente e
o percentual de aumento do
montante em 1 ano.
c. Determine após quanto tempo o montante será de R$ 80.000,00.
Solução:
a)
b) o valor aplicado inicialmente é M(0) = 50000. Após o ano o total é de 54000.
Portanto, o percentual é de 4000/50000 = 0,08 = 8% de aumento.
c) para que o montante seja de 80000, é preciso substituir na expressão que dá o valor
do montante e calcular o valor de x correspondente, ou seja,
1,6
08,1log
6,1log)6,1log()08,1log(6,1
5
8)08,1()08,1.(5000080000 ==⇒=⇒==⇒= xxxx
anos, aproximadamente.
5. (3,0) Calcule:
a.
22
13lim 23
23
1
−++
+−+
→ xxx
xxx
x
b.
4
42lim 22
−
−
−→ x
x
x
c.
9
3lim
23
−
−
+→ x
x
x
Solução:
a) como x = 1 é raiz dos dois polinômios, podemos fatorá-los e ficamos com
(x – 1)(x2 +2x – 1) no numerador e (x – 1) (x2 + 3x + 2) no denominador.
5
2
23
12lim)23)(1(
)12)(1(lim 2
2
12
2
1
=
++
−+
=
++−
−+−
→→ xx
xx
xxx
xxx
xx
.
x 1 5 10
xxM )08,1.(50000)( = 54000 73466,40384 107946,249863
b)
2
1
2
2lim)2)(2(
)2(2lim
4
42lim
2222
=
+
=
+−
−
=
−
−
−−− →→→ xxx
x
x
x
xxx
.
c) 0
3
3lim)3)(3(
3lim
9
3lim
9
3lim
332323
=
+
−
=
+−
−
=
−
−
=
−
−
++++ →→→→ x
x
xx
x
x
x
x
x
xxxx
119_20100914-151736_ap1_metdet_i_2010_2_gab.pdf
CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP1 - 2010.2
Questa˜o 1 (2,5 pontos). Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, ∅, {1, 2, 3}}. Em
cada item abaixo assinale todos os s´ımbolos que podem ser usados para preencher correta-
mente a lacuna (para receber a pontuac¸a˜o relativa a cada item e´ necessa´rio que voceˆ tenha
assinalado no item todos os s´ımbolos que resultam em uma relac¸a˜o va´lida e apenas eles).
Essa questa˜o deve ser resolvida aqui mesmo na folha de prova.
a) ∅ . . . B (×) ∈ ( ) /∈ (×) ⊂ ( ) 6⊂ ( ) ⊃ (×) 6⊃
b) A . . . B (×) ∈ ( ) /∈ ( ) ⊂ (×) 6⊂ ( ) ⊃ (×) 6⊃
c) {1, 2} . . . B ( ) ∈ (×) /∈ (×) ⊂ ( ) 6⊂ ( ) ⊃ (×) 6⊃
d) 2 . . . B (×) ∈ ( ) /∈ ( ) ⊂ ( ) 6⊂ ( ) ⊃ ( ) 6⊃
e) ∅ . . . A ( ) ∈ (×) /∈ (×) ⊂ ( ) 6⊂ ( ) ⊃ (×) 6⊃
Questa˜o 2 (3 pontos). Seja A = {1, 1/2, 1/3, 1/4} e B = {1, 2, 3, 4, 1/5}. Escreva por
extenso as proposic¸o˜es abaixo e decida se sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua resposta.
a) y ∈ B ⇒ 1/y ∈ A
Se y pertence a B, enta˜o 1/y pertence a A. A proposic¸a˜o e´ falsa, o que se verifica
tomando y = 1/5.
b) ∀x ∈ A, 1/x ∈ B.
Para todo x pertencente a A, 1/x pertence a B. A proposic¸a˜o e´ verdadeira. Verificamos
tomando cada elemento de A e observando que seu inverso multiplicativo pertence a
1
B: para x = 1, 1/x = 1 ∈ B; para x = 1/2, 1/x = 2 ∈ B; para x = 1/3, 1/x = 3 ∈ B;
para x = 1/4, 1/x = 4 ∈ B.
c) ∀x ∈ A, (x ∈ N⇔ x ∈ B).
Para todo x pertencente a A, temos que x pertence a N se e somente se x pertence a
B. A proposic¸a˜o e´ verdadeira. O u´nico natural em A e´ o 1, que tambe´m e´ elemento de
B (logo todo natural em A pertence tambe´m a B). Ale´m disso, o u´nico elemento de A
que e´ elemento de B e´ o 1 (logo todo elemento de A que e´ elemento de B e´ natural).
d) ∃x ∈ A; 1/x ∈ A.
Existe x pertencente a A, tal que 1/x pertence a A. A proposic¸a˜o e´ verdadeira, o que
se verifica tomando x = 1.
e) ∀x ∈ B, (x ∈ N ∨ x < 1)
Para todo x pertencente a B, x e´ natural ou e´ menor que 1. A proposic¸a˜o e´ verdadeira.
O u´nico elemento de B que na˜o e´ natural e´ o 1/5, que e´ menor que 1.
Questa˜o 3 (3 pontos). O conjunto A tem como elementos letras e nu´meros naturais.
Sabendo que:
• 20% dos elementos de A sa˜o letras;
• 10% dos dos elementos que na˜o sa˜o letras, sa˜o nu´meros pares;
• ha´ 18 nu´meros ı´mpares em A.
• 25% dos elementos de A que sa˜o nu´meros, sa˜o menores que 100.
• Dos elementos de A que sa˜o nu´meros menores que 100, apenas 1 e´ par.
2
Responda aos itens a seguir. E´ necessa´rio que a resposta seja acompanhada pelo desenvolvi-
mento correto da questa˜o.
a) Quantos elementos ha´ em A?
A tem 25 elementos. Usando a segunda e a terceira premissas dadas, vemos que os 18
ı´mpares em A correspondem a 90% de seus elementos nume´ricos. Logo, a quantidade
de elementos de A que sa˜o nu´meros e´ 18
90
× 100 = 20. Como, pela primeira premissa, os
nu´meros correspondem a 80% dos elementos de A, conclu´ımos que o total de elementos
em A e´ 20
80
× 100 = 25
b) Quantos deles sa˜o letras?
5 sa˜o letras. Como vimos no item a), o conjunto tem 25 elementos, dos quais 20 sa˜o
nu´meros. Logo 5 sa˜o letras.
c) Quantos sa˜o os nu´meros pares?
2 sa˜o nu´meros pares. Vimos que dos elementos de A, 20 sa˜o nu´meros e, destes, 18 sa˜o
ı´mpares. Logo 2 sa˜o pares.
d) Quantos nu´meros maiores ou iguais a 100 ha´ entre os elementos de A?
15 nu´meros. Pela quarta premissa, 25% dos elementos nume´ricos de A sa˜o menores
que 100. Isso significa que em A ha´ 5 elementos que sa˜o nu´meros menores que 100 e
15 elementos que sa˜o nu´meros maiores ou iguais a 100.
e) Quantos porcento dos elementos de ı´mpares de A sa˜o menores que 100?
22, 222 . . .%. Pela quinta premissa ha´ apenas um par menor que 100 em A. Pelo item
anterior, deduzimos que ha´ em A 5 elementos menores que 100, o que significa que 4
elementos de A sa˜o nu´meros ı´mpares menores que 100. Como ao todo sa˜o 18 ı´mpares,
a porcentagem dos ı´mpares que e´ menor que 100 corresponde a 4
18
×100 = 22, 222 . . .%.
3
Questa˜o 4 (2,5 pontos). Considere as premissas abaixo.
Premissas:
1) A ⊂ N;
2) ∀x ∈ A, 1 < x < 10 ;
3) se 8 ∈ A enta˜o 1 ∈ A;
4) 4 ∈ A⇔ 12 ∈ A.
5) ∀x ∈ N, x > 3 ou x /∈ A
A partir das premissas propostas decida se sa˜o verdadeiras ou falsas as proposic¸o˜es abaixo
e justifique suas respostas:
a) 8 ∈ A; Falsa. Pela premissa 3, se 8 pertence a A, enta˜o 1 tambe´m pertence, o que na˜o
se verifica devido a` premissa 2. Logo 8 /∈ A.
b) 4 ∈ A; Falsa. Pela premissa 4, 4 pertence a A, se e somente se 12 tambe´m pertence, o
que na˜o se verifica devido a` premissa 2. Logo 4 /∈ A.
c) 2 ∈ A; Falsa. Pela premissa 5, se x ≤ 3 enta˜o x /∈ A. Logo 2 /∈ A.
d) A partir das premissas acima e´ va´lido concluir que A = {5, 6, 7, 9}. Falso. E´ va´lido
concluir que A ⊂ {5, 6, 7, 9}, pore´m nenhuma premissa garante que os elementos 5, 6,
7 e 9 realmente pertencem a A. De fato, o conjunto A = ∅ satisfaz todas as premissas
apresentadas (bem como qualquer outro subconjunto de {5, 6, 7, 9}).
4
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AP 1 2010/2 Met. Det. II 12/09/2010
1ª questão (2,0 pontos)
Seja a função bijetora
−→
−−
2
3
2
1
: IRIRf tal que
52
73)2(
+
+
=+
x
x
xf .
Determine:
a) a expressão de )(xf ;
b) a expressão de )(1 xf − ;
c) a composta de f com g tal que g (x) = x2 + 1.
Solução:
a) substitua x + 2 por outra variável auxiliar, por exemplo, t. Portanto, se x + 2 = t,
temos que
12
13
5)2(2
7)2(3)(2
+
+
=
+−
+−
=⇒−=
t
t
t
t
tftx . Para apresentar o resultado
na variável x, é só mudar o “nome” da variável, fazendo t = x. Portanto,
12
13)(
+
+
=
x
x
xf .
b) Para calcular )(1 xf − , utiliza-se o artifício de, na expressão de f, substituir o
“nome” x por y e f(x) por x. Assim,
32
11)32(13)12(
12
13
−
−
=⇒−=−⇒+=+⇒
+
+
=
x
xyxxyyyx
y
y
x que é a
expressão de )(1 xf − .
c) A composta de f com g será dada por
32
43
1)1(2
1)1(3)1())(( 2
2
2
2
2
+
+
=
++
++
=+=
x
x
x
x
xfxgf
2ª questão (3,0 pontos)
Os gráficos de f e g estão representados abaixo. Use-os para determinar cada
limite. Caso não exista, explique o por quê
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
)(xfy = )(xgy =
a. f(2);
b. )(lim
2
xf
x→
;
c. [ ])()(lim
2
xgxf
x
+
→
;
d. )1(g ;
e. )(lim
1
xg
x →
;
f. [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
g. )(
)(lim
1 xg
xf
x −→
h. )(3lim
1
xf
x
+
→
Solução:
a) observando o gráfico, f(2) = 1
b) da mesma forma, 2)(lim
2
=
→
xf
x
c) como, observando o gráfico de g 0)(lim
2
=
→
xg
x
e o limite da soma é a soma dos
limites, temos que [ ] 202)()(lim
2
=+=+
→
xgxf
x
d) observando o gráfico, 1)1( =g .
e) Idem, )(lim
1
xg
x →
não existe pois os limites laterais são diferentes.
f) [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
não existe pois não existe )(lim
1
xg
x →
.
g) Não existe )(
)(lim
1 xg
xf
x −→
pois o limite do quociente é o quociente dos limites se o
limite do denominador não for zero.
h) Usando as propriedades,
( ) 2413)(3)(3)(3 limlimlim
111
==+=+=+=+
→→→
xfxfxf
xxx
3ª questão
Sejam 325)( += xxf e ( )xxxg x 9log)( 22 += + .
a. (1,0 ) Determine o domínio da função g .
b. (1,0) Calcule os valores de )
2
1(−f e )1(g .
c. (1,0) Calcule o valor de
−
2
3)3(gf .
Solução:
a) a condição de existência do logaritmo é que o “logaritmando” seja positivo e a
base seja maior que zero e diferente de 1. Assim, temos que
1202092 ≠+>+>+ xexexx . Resolvendo,
090)9(092 >−<⇒>+⇒>+ xouxxxxx . A segunda desigualdade,
202 −<⇒>+ xx e a terceira restrição, 112 −≠⇒≠+ xx . Fazendo a
interseção entre os intervalos, temos que ( ) ( )U +∞−−∈ ,02,9x . Portanto, o
domínio da função g será o conjunto }029|{ >∨−<<−∈ xxRx
b) 25555)
2
1( 231
3
2
12
====−
+−
+
−
f . ( ) 10log1.91log)1( 3212 =+= +g
c) ( ) 3655
2
336log
2
33.93log
2
3)3( 36log32 336log25232 55
===
−
=
−+
=
− +
−
+ ffgf
4ª questão
Seja ( ) ( )21)( 2 +−= xx
x
xf . Determine:
a. (0,5) o domínio de f
b. (1,0) a(s) assíntota(s) vertical(is) ao gráfico de f .
c. (1,0) a(s) assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico de f .
Solução:
a) a condição de existência da função é que o denominador não seja nulo, que
ocorre quando x = 1 e quando x = -2. Portanto, o domínio é o conjunto
}12|{ ≠∧−≠∈ xxRx .
b) As assíntotas verticais podem ocorrer nos pontos que não pertencem ao domínio.
Portanto, precisamos testar os limites à esquerda e à direita de 1 e à esquerda e à
direita de -2. Assim temos que ( ) ( ) +∞=+−−→ 21lim 21 xx
x
x
pois a medida que x se
aproxima de 1, por valores menores que 1, o denominador se aproxima de zero,
mas por valores positivos. Da mesma forma, ( ) ( ) +∞=+−+→ 21lim 21 xx
x
x
.
Analisando a outra possibilidade, temos ( ) ( ) +∞=+−−−→ 21lim 22 xx
x
x
, pois o
numerador é um valor negativo e o denominador também é um valor negativo.
Da mesma forma, temos que ( ) ( ) −∞=+−+−→ 21lim 22 xx
x
x
pois o numerador é um
valor negativo e o denominador é um valor positivo. Assim, as assíntotas
verticais do gráfico de f são as retas x = 1 e x = -2.
c) As assíntotas horizontais ocorrem quando x tende a infinito (positivo ou
negativo). Assim, precisamos calcular ( ) ( )21lim 2 +−−∞→ xx
x
x
e ( ) ( )21lim 2 +−+∞→ xx
x
x
.
Calculando, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) 0211 1lim21lim 22 =+−=+− −∞→−∞→
x
xxx
x
xx
e da
mesma forma, ( ) ( ) 021lim 2 =+−+∞→ xx
x
x
. Logo, a reta y = 0 é a assíntota horizontal
ao gráfico de f.
119_20100917-150202_http___www.lante.uff.pdf
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
1a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 1
2o Semestre de 2010
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (AD1 - Questa˜o 1)- (2,5 pontos)* O diagrama de ramo-e-folhas a seguir refere-se ao sala´rio
( × sala´rio mı´nimo) de 40 funciona´rios de uma empresa, onde o menor sala´rio e´ 4,00 sala´rios mı´nimos
e o maior e´ 23,30 sala´rios mı´nimos nesta amostra.
4 00 56
5 25 73
6 26 66 86
7 39 44 59
8 12 46 74 95
9 13 35 77 80
10 53 76
11 06 59
12 00 79
13 23 60 85
14 69 71
15 99
16 22 61
17 26
18 75
19 40
20 20 35
21 90
22 90
23 30
Construa uma tabela de dstribuic¸a˜o de frequeˆncias (frequeˆncias simples absolutas, frequeˆncias simples
relativas % , frequeˆncias acumuladas absolutas, frequeˆncias acumuladas relativas % ) usando 5 clases
para esta varia´vel.
1
Soluc¸a˜o:
1. Os valores ma´ximo e mı´nimo sa˜o respectivamente 23,30 e 4,00, o que nos fornece um amplitude
exata ∆ = 23, 30 − 4, 00 = 19, 3 . Tomando o pro´ximo mu´ltiplo de 5 (pois desejamos 5 classes), a
amplitude efetiva passa a ser 20. Assim, a amplitude de classe sera´: 20
5
= 4. Com isso, podemos
formar a nossa tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias:
Classes de Frequeˆncias Simples Frequeˆncias Acumuladas
sala´rio Absoluta Relativa % Absoluta Relativa %
4,00` 8,00 10 10
40
= 0, 250× 100 = 25, 00 10 10
40
= 0, 250× 100 = 25, 00
8,00`12,00 12 12
40
= 0, 300× 100 = 30, 00 22 22
40
= 0, 550× 100 = 55, 00
12,00`16,00 8 8
40
= 0, 200× 100 = 20, 00 30 30
40
= 0, 750× 100 = 75, 00
16,00`20,00 5 5
40
= 0, 125× 100 = 12, 50 35 35
40
= 0, 875× 100 = 87, 50
20,00`24,00 5 5
40
= 0, 125× 100 = 12, 50 40 40
40
= 1× 100 = 100
Total 40 100
Logo:
Classes de Frequeˆncias Simples Frequeˆncias Acumuladas
sala´rio Absoluta Relativa % Absoluta Relativa %
4,00` 8,00 10 25,00 10 25,00
8,00`12,00 12 30,00 22 55,00
12,00`16,00 8 20,00 30 75,00
16,00`20,00 5 12,50 35 87,50
20,00`24,00 5 12,50 40 100
Total 40 100
2
119_20100917-150233_http___www.lante.uff2.pdf
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
1a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 2
2o Semestre de 2010
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (AD1 - Questa˜o 2) - (2,5 pontos)* As companhias de seguro pesquisam continuamente as
idades na morte e as respectivas causas. Os dados abaixo se baseiam em um estudo da revista Time
sobre as mortes causadas por armas de fogo nos EUA durante uma semana.
Idade na Frequeˆncia
morte Absoluta
16`26 20
26`36 10
36`46 8
46`56 2
56`66 5
66`76 4
76`86 1
Total 50
Determine:
a) A me´dia de idade das pessoas que morrem por arma de fogo nos EUA;
b) A idade mais frequente das pessoas que morrem por arma de fogo nos EUA;
c) A idade mediana das pessoas que morrem por arma de fogo nos EUA.
1
Soluc¸a˜o:
1. Completando a tabela com a frequeˆncia acumulada simples, o valor xi (ponto me´dio das classes)
e o produto ( nixi ), onde
ni e´ a frequeˆncia absoluta, teremos:
Idade na Morte Frequeˆncia Absoluta (ni) Ponto Me´dio (xi) nixi Frequeˆncia acumulada
16`26 20 21 420 20
26`36 10 31 310 30
36`46 8 41 328 38
46`56 2 51 102 40
56`66 5 61 305 45
66`76 4 71 284 49
76`86 1 81 81 50
Total 50 1830
A me´dia sera´:
x =
∑
nixi
n
=
1830
50
= 36, 6.
Logo:
x = 36, 6
A moda e´ o ponto me´dio da classe de maior frequeˆncia. Assim, como a classe de maior frequeˆncia e´
16 ` 26 , cuja frequeˆncia e´ 20, a moda sera´:
x∗ = 21
Para o ca´lculo da mediana, seguimos o seguinte esquema:
A classe que conte´m acumulada n/2 = 25 e´ 26 ` 36 . Nas classes anteriores a esta temos acumulados
20/50× 100 = 40% dos dados, faltando 10% para chegar a 50%.
A frequeˆncia relativa percentual da classe e´ 10/50× 100 = 20% . Assim, segundo o esquema abaixo:
2
teremos:
Q2 − 26
10
=
36− 26
20
⇒ 20(Q2 − 26) = 10(36− 26)⇒ 20Q2 − 520 = 10× 10
20Q2 = 100 + 520⇒ 20Q2 = 620⇒ Q2 = 620
20
= 31.
Logo:
Q2 = 31
3
119_20100917-150315_http___www.lante.uff3.pdf
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
1a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 3
2o Semestre de 2010
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (AD1 - Questa˜o 3) - (2,5 pontos)* Continuac¸a˜o da Questa˜o 2. As companhias de seguro
pesquisam continuamente as idades na morte e as respectivas causas. Os dados abaixo se baseiam
em um estudo da revista Time sobre as mortes causadas por armas de fogo nos EUA durante uma
semana.
Idade na Frequeˆncia
morte Absoluta
16`26 20
26`36 10
36`46 8
46`56 2
56`66 5
66`76 4
76`86 1
Total 50
Determine:
a) A amplitude total dos dados;
b) A variaˆncia e o desvio padra˜o.
1
Soluc¸a˜o:
a)
A ampltude total e´ dada por:
∆ = Vmax − Vmin = 86− 16 = 70.
b)
Para calcularmos a variaˆncia e o desvio padra˜o precisamos da me´dia e de
∑
(nix
2
i ) .
Completando a tabela com o produto ( nixi ), onde ni e´ a frequeˆncia absoluta, (nix
2
i ) e, sabendo
que nix
2
i = nixi × xi , teremos:
Idade na Morte Frequeˆncia Absoluta (ni) Ponto Me´dio (xi) nixi nix
2
i
16`26 20 21 420 8.820
26`36 10 31 310 9.610
36`46 8 41 328 13.448
46`56 2 51 102 5.202
56`66 5 61 305 18.605
66`76 4 71 284 20.164
76`86 1 81 81 6.561
Total 50 1830 82.410
A me´dia sera´:
x =
∑
nixi
n
=
1830
50
= 36, 6.
E a variaˆncia
σ2 =
1
n
[∑
nix
2
i − nx2
]
=
1
50
[
82.410− 50× (36, 6)2] = 1
50
[82.410− 50× 1.339, 56]
=
1
50
[82.410− 66.978] = 1
50
× 15.432 = 15.432
50
= 308, 64.
O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia, logo:
σ =
√
308, 64 = 17, 57.
2
119_20100917-150345_http___www.lante.uff4.pdf
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
1a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 4
2o Semestre de 2010
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (AD1 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* O Departamento de Pessoal de uma empresa fez um levan-
tamento de sala´rios de 120 funciona´rios e obteve os seguintes resultados (sala´rio mı´nimo =R$510,00):
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8
8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 14 14 14 14 15
15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17
18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
a) Determine, em reais, o sala´rio me´dio dos funciona´rios;
b) Determine o desvio padra˜o e o coeficiente de variac¸a˜o;
c) Refac¸a esta tabela com os escores padronizados;
d) Calcule a moda e determine o coeficiente de assimetria desta amostra;
e) Calcule os quartis e determine o intervalo interquartil;
f) Fac¸a o Boxplot.
1
Soluc¸a˜o:
Para calcularmos a me´dia, a moda, a variaˆncia, desvio padra˜o e o coeficiente de variac¸a˜o vamos fazer
uma tabela de frequeˆncias.
xi ni nixi nix
2
i
5 21 105 525
6 9 54 324
7 6 42 294
8 9 72 576
9 4 36 324
10 9 90 900
11 2 22 242
12 13 156 1.872
14 6 84 1.176
15 6 90 1.350
16 7 112 1.792
17 8 136 2.312
18 3 54 972
19 7 133 2.527
20 10 200 4.000
Total 120 1.386 19.186
a)
O sala´rio me´dio sera´:
x =
∑
xini
n
=
1.386
120
= 11, 55 (salarios minimos).
Como queremos a resposta em reais, devemos multiplicar o resultado por 510.
Assim, teremos: 11, 55 × 510 = 5.890, 50
Ou seja,
x = R$5.890, 50
b)
O desvio padra˜o sera´:
σ =
√
1
n
[∑
nix2i − nx2
]
=
√
1
120
[29.186 − 120 × (11, 55)2]
=
√
1
120
[19.186 − 120 × 133, 4] =
√
1
120
[19.186 − 16.008′]
=
√
1
120
× 3.178 =
√
3.178
120
=
√
26, 48 = 5, 14.
Assim:
σ = 5, 14
O coeficiente de variac¸a˜o:
2
CV =
σ
x
=
5, 14
11, 55
= 0, 445.
c)
Para os escores padronizados, usaremos a seguinte fo´rmula de transformac¸a˜o:
zi =
xi − x
σ
,
onde x = 11, 55 , σ = 5, 14 e xi representa cada um dos valores iniciais.
Assim, obtemos a tabela a seguir:
-1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27
-1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,27 -1,08 -1,08 -1,08 -1,08 -1,08 -1,08 -1,08 -1,08 -1,08
-0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,69 -0,69 -0,69 -0,69 -0,69 -0,69 -0,69 -0,69 -0,69
-0,50 -0,50 -0,50 -0,50 -0,30 -0,30 -0,30 -0,30 -0,30 -0,30 -0,30 -0,30 -0,30 -0,11 -0,11
0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,09 0,48 0,48
0,48 0,48 0,48 0,48 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87
0,87 0,87 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,25 1,25 1,25 1,45 1,45
1,45 1,45 1,45 1,45 1,45 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64
d)
i) A moda e´:
x∗ = 5
Pois e´ o valor de maior frequeˆncia.
ii) O coeficiente de assimetria e´:
e =
x− x∗
σ
=
11, 55 − 5
5, 14
=
6, 55
5, 21
= 1, 27.
e)
Os quartis e o intervalo interquartil:
Q2 e´ a mediana. Como temos 120 dados, enta˜o:
Q2 =
xn/2 + xn/2+1
2
=
x60 + x61
2
=
11 + 12
2
=
23
2
= 11, 5.
Para os ca´lculos de Q1 e Q3 , consideramos a mediana e, no primeiro caso, calculamos a mediana dos
dados do mı´nimo valor ate´ a mediana exclusive (Ou seja, de x1 a x60 )e no segundo caso, usamos os
dados da mediana exclusive ate´ o mx´imo valor (Ou seja, de x61 a x120 ). Assim, obtemos:
Q1 =
x30 + x31
2
=
6 + 7
2
=
13
2
= 6, 5.
e
Q3 =
x90 + x91
2
=
16 + 16
2
=
32
2
= 16.
3
O Intervalo interquartil e´ dado por:
I = Q3 −Q1 = 16 − 6, 5 = 9, 5.
f)
Para o Box-plot, usamos os valores dos quartis e os valores mı´nimo e mx´imo. Obtemos, enta˜o:
4
119_20100921-161050_ap1_meest_i_gab.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º Semestre de 2010
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
Versão Tutor
1. (2,0 Pontos) O gráfico abaixo se refere ao percentual de vendas (em relação ao total de veículos
vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro de 2009 em um determinado município.
Assumindo a população: “Veículos Vendidos no mês de Dezembro deste Município” e assumindo que
o tamanho da população seja 400, pede-se:
a) Juntando outras marcas que não aparecem na tabela, qual o percentual de vendas delas?
b) Construa uma tabela de distribuição de freqüências simples (absoluta e relativa %).
2. (3,0 pontos) O diagrama de ramo-e-folhas abaixo refere-se a notas de duas turmas de Estatística: A
(cuja menor nota é 1,3) e B (cuja menor nota é 1,0).
Turma A Turma B
8 8 7 5 5 5 3 1 0 0 1 4 5
9 9 9 6 6 6 6 4 4 2 5
5 5 5 5 3 3 2 3
3 3 3 2 2 1 4 5 8 9 9
0 0 0 5 0 0 0 0 3 3 3 7 7 9
3 2 2 2 6 0 0
7 6 6 8 8 8
4 4 4 2 8 3 3
3 3 1 9 4 4 4 6 7 8 9 9
Determine:
a) O número de alunos e a mediana das duas turmas.
b) A amplitude total e a moda das duas turmas.
c) A média das duas turmas.
3. (3,0 pontos) A tabela a seguir mostra a idade dos carros dos professores (em anos) em um
estacionamento de uma Faculdade:
Classes
(idade)
Freqüência
Simples
Ponto
Médio
Freqüência
Acumulada
[0; 3) 30 1,5 30
[3; 6) 47 4,5 77
[6; 9) 36 7,5 113
[9; 12) 30 10,5 143
[12; 15) 8 13,5 151
[15; 18) 0 16,5 151
[18; 21) 0 19,5 151
[21; 24) 1 22,5 152
¨Total 152
a) Determine a idade média e a idade modal dos carros dos professores desta faculdade.
b) Sabendo que , determine o desvio padrão da idade dos carros.
c) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 anos. Quais
seriam os escores padronizados destas 5 idades?
d) Determine o coeficiente de variação.
e) Determine o coeficiente de assimetria de Pearson. Existe assimetria? Se sim, de que tipo?
4. (2,0 pontos) considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes eventos:
A: soma das faces igual à 7.
B: pelo menos uma das faces igual à 6.
C: as duas faces iguais.
Determine:
a) ;
b) ;
c)
d)
Solução:
1.
a) Chamemos de “outras” as marcas que não aparecem no gráfico.
Se somarmos os percentuais das marcas presentes teremos:
Então, restam 8,75% para as outras marcas.
.
b) Para a construção da tabela de distribuição de freqüência simples relativa, basta usar os dados do
enunciado e do item a).
Para as freqüências simples absolutas, usemos regras de três simples: Assim, para a marca GM, por
exemplo:
Assim, para determinar as respectivas freqüências simples absolutas, basta multiplicar as freqüências
relativas por 4.
Logo, obtemos:
Frequência Simples Marca do
veículo Absoluta Relativa (%)
GM 25 6.25
Ford 45 11.25
VW 60 15.00
Toyota 20 5.00
Renault 55 13.75
Fiat 60 15.00
BMW 30 7.50
Peugeot 45 11.25
Honda 25 6.25
Outras 35 8.75
Total 400 1.00
2.
Organizando os dados das duas turmas, temos:
Turma A Turma B
1,3 1,5 1,5 1,5 1,7 1,8 1,8 1,0 1,0 1,1 1,4 1,5
2,4 2,4 2,6 2,6 2,6 2,6 2,9 2,5 4,5 4,8 4,9 4,9
2,9 2,9 3,2 3,3 3,3 3,5 3,5 5,0 5,0 5,0 5,0 5,3
3,5 3,5 4,1 4,2 4,2 4,3 4,3 5,3 5,3 5,7 5,7 5,9
4,3 5,0 5,0 5,0 6,2 6,2 6,2 6,0 6,0 7,6 7,6 7,8
6,3 8,2 8,4 8,4 8,4 9,1 9,3 7,8 7,8 8,3 8,3 9,4
9,3 9,4 9,4 9,6 9,7 9,8
9,9 9,9
a) Para determinar o número de alunos de cada turma, basta uma contagem simples. Assim:
O número de alunos da turma A é de 43 alunos.
O número de alunos da turma B é de 37 alunos.
MEDIANA: Como os dois conjuntos de dados são ímpares, então a mediana é o elemento na posição
.
Para a turma A, Logo: a mediana é o elemento da posição
O elemento desta posição é: 3,5.
Logo: MEDIANA TURMA A = 3,5
Para a turma B, Logo: a mediana é o elemento da posição
O elemento desta posição é: 5,7.
Logo: MEDIANA TURMA B = 5,7
b) A amplitude total dos dados é a diferença entre o maior e o menor valor dos dados.
Turma A: .
Turma B:
A moda é o valor que possui a maior freqüência, assim:
Moda da turma A=2,6 e 3,5 (Bimodal) (freqüência 4);
Moda da turma B= 5,0 (freqüência 4);
c)Média da turma A:
Média da turma B:
3.
a) MODA:
Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior freqüência absoluta. No caso, é a classe [3;
6), cuja freqüência absoluta é: 47. A moda é o ponto médio desta classe, que é 4,5.
Logo:
MÉDIA:
Para o cálculo da média precisamos dos valore s de e . No caso, são as freqüências absolutas e
são os pontos médios das classes.
Assim, podemos formar a tabela complementar:
Classes
(idade)
Freqüência
Simples ( )
Ponto
Médio )
[0; 3) 30 1,5 45,0
[3; 6) 47 4,5 211,5
[6; 9) 36 7,5 270,0
[9; 12) 30 10,5 315,0
[12; 15) 8 13,5 108,0
[15; 18) 0 16,5 0,0
[18; 21) 0 19,5 0,0
[21; 24) 1 22,5 22,5
¨Total 152 972,0
Assim, a média será calculada através da fórmula:
anos.
Logo:
b)
Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula . Assim:
= =
Logo:
c)
Os escores padronizados são obtidos subtraindo-se a média e dividindo o desvio padrão. Ou seja.
Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos:
.
Assim, a seqüência de escores padronizados será:
-1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48
d)
O coeficiente de variação é dado pela fórmula:
Logo:
CV=0,58.
e)
O Coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula:
A distribuição é assimétrica à DIREITA.
4.
Inicialmente, vamos visualizar os eventos A, B e C.
a) é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a A e a B. Assim,
b) é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a B e a C. Assim,
c) A-C é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em C. Assim,
d) Para este item, façamos por partes:
inicialmente ,
obtido no item b).
Agora,
119_20100921-161129_ap1_mest_ii_2010_2_gab.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Primeira Avaliação Presencial - 2o. semestre de 2010 - Profa. Ana Maria Farias
1. Na Figura 1 é dado o gráfico de uma função f(x) .
Figura 1: Função de densidade para a questão 1
(a) (0,5 ponto) Sabendo que f(2) = k, determine o valor de k para que f(x) seja a função
de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
• k ≥ 0
• A área sob a curva deve ser 1: 12 × (4− 2)× k = 1.Logo, k = 1.
(b) (0,5 ponto) Mostre que a expressão de f(x).é dada por f(x) =
4− x
2
para 2 ≤ x ≤ 4.
Solução
f(x) = ax+ b− reta que passa pelos pontos (2, 1) e (4, 0)½
2a+ b = 1
4a+ b = 0
⇒ 2a = −1⇒ a = −1
2
⇒ b = 2
Logo
f(x) =
½
−x2 + 2 =
4−x
2 2 ≤ x ≤ 4
0 x < 2 oux > 4
(c) (0,5 ponto) Determine a função de distribuição acumulada de X.
Solução
• Para x < 2, F (x) = 0
• Para x > 4, F (x) = 1
• Para 2 ≤ x ≤ 4, F (x) é a área de um trapézio com bases f(2) e f(x) e altura m− 2.
Essa.área é igual a¡
1 + 4−x2
¢
(x− 2)
2
=
(2 + 4− x)(x− 2)
4
=
(6− x)(x− 2)
4
= −3− x
2
4
+ 2x
1
Logo,
F (x) =
⎧
⎨
⎩
0 se x < 2
−x24 + 2x− 3 se 2 ≤ x ≤ 4
1 se x > 4
(d) (0,5 ponto) Calcule Pr(X > 2, 5).
Solução
Pr(X > 2, 5) = 1− Pr(X ≤ 2, 5) = 1− F (2, 5) = 1−
µ
−2.5
2
4
+ 2× 2.5− 3
¶
= 0, 5625
(e) (0,5 ponto) Calcule Pr(X > 3|X > 2, 5).
Solução
Pr(X > 3|X > 2, 5) = Pr [(X > 3) ∩ (X > 2, 5)]
Pr(X > 2, 5)
=
Pr(X > 3)
0, 5625
=
1− F (3)
0, 5625
=
1−
¡
−94 + 6− 3
¢
0.5625
=
0.25
0.5625
' 0, 4444
2. Em um grande escritório de contabilidade, o tempo de
execução de determinada tarefa segue
uma distribuição Normal com média de 12 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Para o
andamento do serviço dentro das metas estabelecidas pelo escritório, o tempo de execução
dessa tarefa deve estar entre 10 e 17 minutos. A probabilidade de erro entre os funcionários
que executam a tarefa em menos de 10 minutos é de 15%. Essa probabilidade cai para 4%
entre os que executam a tarefa em mais de 17 minutos e para os que executam dentro dos
limites de 10 e 17 minutos, a probabilidade de erro é de 7%. Sorteia-se um registro referente
à execução dessa tarefa.
(a) (0,5 ponto) Construa um diagrama de árvore para representar as informações referentes
ao experimento em questão. Certifique-se de definir claramente os eventos relevantes.
Solução
Seja T a variável que representa o tempo de execução da tarefa. Então, T ∼ N(12; 22).
Sejam os eventos R = “tempo de execução menor que 10 minutos”; N =“tempo de
execução entre 10 minutos e 17 minutos”; L =“tempo de execução maior que 17 minutos”;
E =“tarefa com erro”; C =“tarefa certa”.
Figura 2: Diagrama de árvore do espaço amsotral para a questão 2
2
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de a tarefa ter sido executada em menos de 10
minutos?
Solução
Pr(R) = Pr(T < 10) = Pr(Z < −1) = Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de a tarefa ter sido executada emmais de 17 minutos?
Solução
Pr(L) = Pr(T > 17) = Pr(Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 49379 = 0, 00621
(d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o registro ser de uma tarefa executada com erro?
Solução
Pr(E) = Pr(R ∩E) + Pr(L ∩E) + Pr(N ∩E) =
= 0.15866× 0.15 + 0.00621× 0.04 + (1− 0.15866− 0.00621)× 0.07
= 0.023799 + 0, 000248 + 0, 058459 = 0, 082506
(e) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o registro ser de uma tarefa executada sem erro?
Solução
Pr(C) = 1− Pr(E) = 1− 0.082506 = 0, 917494
(f) (0,5 ponto) Se o registro refere-se a uma tarefa executada com erro, qual é a probabili-
dade de que tenha sido executada em mais de 17 minutos?
Solução
Pr(L|E) = Pr(L ∩E)
Pr(E)
=
0.00621× 0.04
0.082506
= 0, 003011
3. Seja X ∼ N(28; 52). Calcule:
(a) (0,5 ponto) Pr(X ≥ 32)
Solução
Figura 3: Solução da questão 3(a)
Pr(X ≥ 32) = Pr(Z ≥ 0, 8) = 0, 5− tab(0, 8) = 0.5− 0.28814 = 0, 21186
3
(b) (0,5 ponto) Pr(X < 19).
Solução
Pr(X < 19) = Pr(Z < −1, 8) = Pr(Z > 1, 8) = 0, 5− tab(1, 8) = 0.5− 0.46407 = 0, 03593
Figura 4: Solução da questão 3(b)
(c) (0,5 ponto) Ache o valor de k tal que Pr(X > k) = 0, 10.
Solução
Pr(X > k) = 0, 10⇔ Pr
µ
Z >
k − 28
5
¶
= 0, 10⇔ tab
µ
k − 28
5
¶
= 0, 40
⇔ k − 28
5
= 1, 28⇔ k = 34, 4
Figura 5: Solução da questão 3(c)
(d) (0,5 ponto) Extrai-se uma amostra aleatória de tamanho n = 9. Calcule a probabilidade
de a média amostral ser maior que 32.
Solução
Pr(X ≥ 32) = Pr
Ã
Z ≥ 32− 285
3
!
= Pr(Z ≥ 2, 4) = 0, 5−tab(2, 4) = 0.5−0.4918 = 0, 0082
Obs.: Faça um desenho ilustrando cada probabilidade pedida. Você tem que explicitar
todos os eventos.
4
4. Em uma sala, há 4 pessoas, duas do sexo feminino (F1, F2) e duas do sexo masculino (M1,M2).
(a) (1,0 ponto) Liste todas as 16 possíveis amostras aleatórias simples de tamanho 2 re-
tiradas com reposição dessa população e, para cada uma, calcule a proporção amostral
de mulheres. Alguns exemplos de amostra são (F1, F1); (F1, F2), (F1,M2) ..Coloque as
informações em forma de tabela para facilitar a solução do exercício.
Solução
Amostra bp Amostra
(F1, F1) 1,0 (M1, F1) 0,5
(F1, F2) 0,5 (M1, F2) 0,5
(F1,M1) 0,5 (M1,M1) 0,0
(F1,M2) 0,5 (M1,M2) 0,0
(F2, F1) 1,0 (M2, F1) 0,5
(F2, F2) 1,0 (M2, F2) 0,5
(F2,M1) 0,5 (M2,M1) 0,0
(F2,M2) 0,5 (M2,M2) 0,0
(b) (0,5 ponto) Construa a distribuição amostral da proporção amostral de mulheres.
Solução
x 0,0 0,5 1,0
Pr( bP = x) 0,25 0,5 0,25
(c) (0,5 ponto) Calcule a esperança (média) dessa distribuição.
Solução
E( bP ) = 0, 5× 0, 5 + 1× 0, 25 = 0, 5
(d) (0,5 ponto) Mostre que a proporção amostral é um estimador não viesado para a pro-
porção populacional.
Solução
A proporção populacional é p = 0, 5. Como E( bP ) = p, resulta que bP é um estimador não
viesado para p.
5
119_20101007-172429_ad2_mest_ii_2010_2_prova.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
2a Avaliação à Distância (AD2) - 2o. semestre de 2010 - Profa. Ana Maria Farias
Curso de Administração
QUESTÕES
Nas questões sobre intervalo de confiança, você deve explicitar a estatística de teste, a
margem de erro e fazer o desenvolvimento completo para obtenção do intervalo.
1. (0,5 ponto) Tendo emmente que a notação tn;α representa a abscissa da distribuição t−Student
com n graus de liberdade que deixa probabilidade α acima dela − Pr(t(n) > tn;α) = α − de-
termine:
(a) t19;0,05
(b) t15;0,90
(c) t12;0,5
(d) t10;0,98
(e) t2;0,01
2. (1,0 ponto) Com base na tabela e nas propriedades da função de densidade t−Student
determine a abscissa t que satisfaz as condições pedidas:
(a) Pr(t(10) > t) = 0, 05
(b) Pr(t(13) < t) = 0, 95
(c) Pr(t(25) < t) = 0, 005
(d) Pr(t(16) > t) = 0, 9975
(e) Pr(t(5) > t) = 0, 5
(f) Pr(|t(21)| > t) = 0, 01
(g) Pr(|t(16)| ≤ t) = 0, 85
(h) Pr(|t(9)| > t) = 0, 005
(i) Pr(|t(18)| ≤ t) = 0, 95
(j) Pr(|t(8)| < t) = 0, 90
1
3. Os pesos de determinado produto têm distribuição aproximadamente normal com desvio
padrão de 5 kg. Em um relatório interno, o encarregado do transporte afirma que o peso
médio desse produto é de 348 kg. O dono da empresa de transporte, querendo verificar a
veracidade de tal afirmativa, seleciona uma amostra aleatória , obtendo os seguintes valores:
338 329 418 350 350 329 321 327 345 340
(a) (0,5 ponto) Obtenha o intervalo de confiança para o peso médio com nível de significân-
cia de 5%.
(b) (0,5 ponto) Obtenha o intervalo de confiança para o peso médio com nível de significân-
cia de 1%.
(c) (0,5 ponto) Em qual dos dois níveis de significância podemos afirmar que o encarregado
se baseou para fazer a afirmativa? Justifique sua resposta.
4. (a) (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo
de confiança de 99% para uma proporção populacional, se o erro máximo tolerável é de
1%?
(b) (1,0 ponto) Refaça a questão anterior, sabendo que a proporção populacional é de, no
máximo, 15%.
5. Em uma pesquisa de mercado, 180 de 500 pessoas entrevistadas afirmaram que comprariam de-
terminado produto sendo lançado por uma empresa. Deseja-se estimar a verdadeira proporção
de futuros compradores, com uma margem de erro de 4% e uma confiança de 90%.
(a) (0,5 ponto) A amostra é suficiente para o objetivo pretendido relativo à estimativa
intervalar? Caso o tamanho da amostra não seja suficiente, calcule o tamanho de amostra
necessário.
(b) (0,5 ponto) Caso o tamanho da amostra seja suficiente, obtenha o intervalo de confiança.
6. (2,0 pontos) De uma população normal, extrai-se uma amostra de tamanho 16 que acusa
média amostral x = 9, 87 e desvio padrão amostral s = 0, 59. Obtenha o intervalo de confiança
para a média populacional, utilizando o nível de confiança de 80%.
7. (2,0 pontos) Determinada característica populacional é descrita por uma distribuição normal.
Uma amostra de 25 observações resultou nas seguintes estimativas:
x = 21 s = 7, 2
Obtenha o intervalo de confiança (L1, L2) para a média populacional de modo que à descon-
fiança de que μ < L1 seja atribuída probabilidade de 2% e à desconfiança de que μ > L2 seja
atribuída probabilidade 0,5%. Esse é um intervalo de confiança assimétrico.
2
Valores Críticos da t-Student
0,150 0,100 0,060 0,050 0,040 0,030 0,025 0,020 0,010 0,005 0,0025 0,002 0,001
1 1,963
3,078 5,242 6,314 7,916 10,579 12,706 15,895 31,821 63,657 127,321 159,153 318,309
2 1,386 1,886 2,620 2,920 3,320 3,896 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 15,764 22,327
3 1,250 1,638 2,156 2,353 2,605 2,951 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 8,053 10,215
4 1,190 1,533 1,971 2,132 2,333 2,601 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 5,951 7,173
5 1,156 1,476 1,873 2,015 2,191 2,422 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 5,030 5,893
6 1,134 1,440 1,812 1,943 2,104 2,313 2,447 2,612 3,143 3,707 4,317 4,524 5,208
7 1,119 1,415 1,770 1,895 2,046 2,241 2,365 2,517 2,998 3,499 4,029 4,207 4,785
8 1,108 1,397 1,740 1,860 2,004 2,189 2,306 2,449 2,896 3,355 3,833 3,991 4,501
9 1,100 1,383 1,718 1,833 1,973 2,150 2,262 2,398 2,821 3,250 3,690 3,835 4,297
10 1,093 1,372 1,700 1,812 1,948 2,120 2,228 2,359 2,764 3,169 3,581 3,716 4,144
11 1,088 1,363 1,686 1,796 1,928 2,096 2,201 2,328 2,718 3,106 3,497 3,624 4,025
12 1,083 1,356 1,674 1,782 1,912 2,076 2,179 2,303 2,681 3,055 3,428 3,550 3,930
13 1,079 1,350 1,664 1,771 1,899 2,060 2,160 2,282 2,650 3,012 3,372 3,489 3,852
14 1,076 1,345 1,656 1,761 1,887 2,046 2,145 2,264 2,624 2,977 3,326 3,438 3,787
15 1,074 1,341 1,649 1,753 1,878 2,034 2,131 2,249 2,602 2,947 3,286 3,395 3,733
16 1,071 1,337 1,642 1,746 1,869 2,024 2,120 2,235 2,583 2,921 3,252 3,358 3,686
17 1,069 1,333 1,637 1,740 1,862 2,015 2,110 2,224 2,567 2,898 3,222 3,326 3,646
18 1,067 1,330 1,632 1,734 1,855 2,007 2,101 2,214 2,552 2,878 3,197 3,298 3,610
19 1,066 1,328 1,628 1,729 1,850 2,000 2,093 2,205 2,539 2,861 3,174 3,273 3,579
20 1,064 1,325 1,624 1,725 1,844 1,994 2,086 2,197 2,528 2,845 3,153 3,251 3,552
21 1,063 1,323 1,621 1,721 1,840 1,988 2,080 2,189 2,518 2,831 3,135 3,231 3,527
22 1,061 1,321 1,618 1,717 1,835 1,983 2,074 2,183 2,508 2,819 3,119 3,214 3,505
23 1,060 1,319 1,615 1,714 1,832 1,978 2,069 2,177 2,500 2,807 3,104 3,198 3,485
24 1,059 1,318 1,612 1,711 1,828 1,974 2,064 2,172 2,492 2,797 3,091 3,183 3,467
25 1,058 1,316 1,610 1,708 1,825 1,970 2,060 2,167 2,485 2,787 3,078 3,170 3,450
26 1,058 1,315 1,608 1,706 1,822 1,967 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 3,158 3,435
27 1,057 1,314 1,606 1,703 1,819 1,963 2,052 2,158 2,473 2,771 3,057 3,147 3,421
28 1,056 1,313 1,604 1,701 1,817 1,960 2,048 2,154 2,467 2,763 3,047 3,136 3,408
29 1,055 1,311 1,602 1,699 1,814 1,957 2,045 2,150 2,462 2,756 3,038 3,127 3,396
30 1,055 1,310 1,600 1,697 1,812 1,955 2,042 2,147 2,457 2,750 3,030 3,118 3,385
31 1,054 1,309 1,599 1,696 1,810 1,952 2,040 2,144 2,453 2,744 3,022 3,109 3,375
32 1,054 1,309 1,597 1,694 1,808 1,950 2,037 2,141 2,449 2,738 3,015 3,102 3,365
33 1,053 1,308 1,596 1,692 1,806 1,948 2,035 2,138 2,445 2,733 3,008 3,094 3,356
34 1,052 1,307 1,595 1,691 1,805 1,946 2,032 2,136 2,441 2,728 3,002 3,088 3,348
35 1,052 1,306 1,594 1,690 1,803 1,944 2,030 2,133 2,438 2,724 2,996 3,081 3,340
Obs.: Para n > 35, use a tabela da distribuição normal padronizada N(0;1
Área p na cauda superiorg.l.
n
Tabela 2
Pr( t(n) > t p ) = p
mestii_ad2_questões
TabelaT-unicaudal
119_20101007-172551_ad2_metdet_ii_2010_2_prova.pdf
Fundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD AD AD AD 2222 2020202010101010/2/2/2/2 Met. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. II
Entrega:Entrega:Entrega:Entrega:
25252525////11110 0 0 0 –––– postagem postagem postagem postagem
30303030////11110 0 0 0 –––– no polo no polo no polo no polo
1. Seja f definida por
≥−
<−
=
2,24
2,4)(
2
xx
xx
xf .
a. Faça um esboço do gráfico de f .
b. Prove que f é contínua em 2=x .
c. Determine se f é derivável em 1=x .
2. O custo C para se processar uma quantidade q de trigo é dado por 400)( 2 += qqC onde C é dado
em Reais (R$) e q é dado em toneladas (ton).
Determine:
a. Um esboço do gráfico de C(q).
b. A taxa de variação média do custo para o intervalo 1< q < 5.
c. A expressão da derivada do custo e seu valor em q = 2. Qual a unidade de medida dessa
derivada?
d. Qual o significado dessa derivada?
e. A equação da reta tangente à curva do Custo para q = 2 e o gráfico desta reta na curva C(q) .
3. Pode-se enunciar a lei da demanda de um produto em relação ao preço da seguinte forma:
A demanda ou procura por um produto pelos consumidores no mercado geralmente aumenta
quando o preço cai e diminui quando o preço aumenta.
Assim, estabelecendo a demanda q como função do preço p, ou seja, q = f (p) e considerando q dado
em unidades e p dado em Reais (R$), responda:
a. Qual o significado e a unidade de medida da derivada f’(2)?
b. Você espera que f’(2) seja positiva ou negativa. Justifique.
4. Se
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)(')(')('' lim
0
, ache )('' xf considerando
x
a
xf =)( .
5. Um líquido é produzido por certo processo químico e a função custo total para a produção de x litros
desse líquido é dada por xxC 46)( += . Determine:
a. A função custo marginal
b. O custo marginal quando 16l são produzidos.
c. A quantidade de litros produzidos quando o custo marginal é de R$ 0,40 por litro.
119_20101129-162500_ap2_mest_i_2010_2_gab.doc
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º Semestre de 2010
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
Versão Tutor
1. (2,0 pontos) Em uma indústria, três máquinas A, B e C produzem 6.000 peças em um dia. A máquina A produz 1.000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz 2.000, das quais 4% são defeituosas. A máquina C produz 3.000 peças, das quais 2% são defeituosas. Da produção total de um dia desta indústria, uma peça é escolhida ao acaso:
a) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
b) Sabendo que a peça escolhida não é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida
pela máquina B ?
2. (2,0 pontos) Resolva estes itens sobre análise combinatória:
a) (0,5) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A e terminando com I?
b) (1,0) Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser formadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
c) (0,5) Quantos números com três algarismos distintos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9?
3. (3,0 pontos) Uma empresa que fornece computadores pelos correios tem 6 linhas telefônicas. Seja X o número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a distribuição de X seja a seguinte:
x
0
1
2
3
4
5
6
p(x)
0,1
0,15
0,2
0,25
0,2
0,06
0,04
Qual a probabilidade de no máximo 3 linhas estarem em uso?
Qual a probabilidade de pelo menos 3 linhas estarem em uso?
Qual a probabilidade de entre 2 e 5 linhas, inclusive, estarem em uso?
Determine o número de linhas em uso esperado para este horário.
Qual a probabilidade de todas as linhas estarem em uso?
4. (1,0 ponto) Seja . Determine:
a) ;
b) .
5. (2,0 pontos). Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações no trânsito nos quais
o indivíduo foi reincidente nos últimos 3 anos. Y assume os valores 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivas: 0,6, 0,25, 0,1 e 0,05.
Determine o número esperado de infrações;
Suponha que o indivíduo com Y infrações reincidentes incorra em multa de US$100Y2. Calcule o valor esperado da multa.
Solução:
1.
Como a máquina A produz 1.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina A é .
Como a máquina B produz 2.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina B é .
Como a máquina C produz 3.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina C é .
Seja D o evento: peça defeituosa. As probabilidades de encontrar uma peça defeituosa em cada máquina, respectivamente, são:
, e .
a)
Para a solução deste item, usamos o teorema da Probabilidade Total.
b)
Agora, precisamos trabalhar com peças não defeituosas.
Inicialmente, A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente não ser defeituosa é o complementar de ela ser defeituosa. Assim,
.
Pela probabilidade condicional, a probabilidade de uma peça, sabendo que não é defeituosa, ter vindo da máquina B, é dada por:
Note que (as peças não defeituosas fabricadas por B).
Assim,
�
2.
a)
Fixando a primeira letra com A e a última com I, temos apenas as outras 7 letras BCDEFGH para permutar. Então são 7! = 5040.
Resposta: 5040.
b)
Neste caso, para cada grupo de 3 homens há todas as possibilidades de formação de grupos de 5 mulheres. Assim,
i) para selecionar as 3 mulheres de um total de 18, temos
ii) para selecionar os 5 homens de um total de 22, será .
Assim, para as comissões temos, 816 X 26.334 = 21.488.544.
Resposta: 21.488.544.
c) Como temos 5 algarismos, para formarmos os números de 3 algarismo distintos, teremos o seguinte esquema:
Para o 1º algarismo temos 5 números possíveis;
Para o 2º algarismo temos apenas 4 números possíveis;
Para o 3º algarismo temos apenas 3 números possíveis;
Assim, a quantidade de números distintos de 3 algarismos é :
Resposta: 60.
3.
Para o cálculo das probabilidades nesta questão consideremos a tabela abaixo:
x
0
1
2
3
4
5
6
p(x)
0,1
0,15
0,2
0,25
0,2
0,06
0,04
a)
Resposta: 0,70.
b)
Resposta: 0,55.
c)
Resposta: 0,71.
d)
Resposta: 2,64.
e)
Resposta: 0,04.
4.
Como X tem distribuição binomial, então e .
a)
Resposta: 0,1224.
b)
Solução: 4.
5.
Seja Y o número de infrações. A distribuição de probabilidade é:
Y
0
1
2
3
p(Y)
0,6
0,25
0,1
0,05
a)
O número esperado de infrações é:
Resposta: 0,6.
b)
Precisamos da distribuição de Y2 para em seguida calcular a esperança e enfim encontrar o valor desejado.
Y2
0
1
4
9
p()
0,6
0,25
0,1
0,05
Como a multa é de US$100Y2,
Então a multa esperada é:
Resposta: US$110,00.
119_20101129-162528_ap2_mest_ii_2010_2_gab.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
2a Prova Presencial - 2o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. (1,0 ponto) O reitor de uma universidade deseja estimar a proporção de funcionários fa-
voráveis a um determinado projeto. Sendo esse projeto fundamental para o sucesso da sua
administração, ele define, com seus assessores, um nível de confiança de 90% para uma margem
de erro máxima de 3%. Quantos funcionários deverão ser entrevistados?
Solução
Trabalhando no pior cenário (p = 0, 5) :
� = zα/2
r
0, 5× 0, 5
n
1, 64× 0, 5√
n
≤ 0, 03⇒
√
n ≥ 1.64× 0.5
0.03
⇒ n ≥
µ
1.64× 0.5
0.03
¶2
Logo, devem ser pesquisados pelo menos 748 funcionários.
2. (1,5 pontos) Uma amostra de tamanho 20 de uma população Normal forneceu os seguintes
resultados: x = 1, 1875 e s2 = 6, 1798. Construa um intervalo de confiança para média
populacional com nível de confiança de 95%.
Solução
Dos dados do problema resulta
x = 1, 1875
s2 = 6, 1798
e
X ∼ N(μ;σ2) =⇒ X − μS√
n
∼ t(n− 1)
95% de confiança =⇒ t19;0,025 = 2, 093 e o intervalo de confiança é"
1.1875− 2.093×
r
6.1798
20
; 1.1875 + 2.093×
r
6.1798
20
#
= [0, 024067; 2, 350933]
3. Num escritório de administração, o tempo de execução de determinada tarefa segue uma
distribuição normal com desvio padrão de 2 minutos. O tempo médio de execução dessa
tarefa deve ser no máximo 8 minutos para que não haja atraso nas tarefas subsequentes. O
gerente geral, preocupado com os funcionários, precisa saber se eles estão realizando a tarefa
a contento. Caso não estejam, ele proporá um treinamento. Você ajudará o gerente a tomar
a decisão com base em uma amostra de 25 tempos que acusou tempo médio de 8,4 minutos.
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
1
Seja X a variável aleatória que representa o tempo de execução da tarefa, em minutos..
Então, X ∼ N(μ; 4).
As suposições de interesse para o problema são
μ ≤ 8
μ > 8
Logo,
H0 : μ = 8
H1 : μ > 8
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
25
> 1, 64⇐⇒ X > 8 + 1.64× 2
5
= 8, 656
(c) (0,5 ponto) Com base na amostra colhida, determine a decisão a ser tomada pela
diretoria.
Solução
Como o tempo médio amostral não está na região crítica (8, 4 < 8, 656), conclui-se que
os funcionários estão trabalhando a contento e não será necessário treinamento.
(d) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é z0 =
8.4− 8
2√
25
= 1.0 e o teste é unilateral, o valor
P é
Pr(Z > 1, 0) = 0, 5− tab(1, 0) = 0.5− 0.34134 = 0, 15866
Em termos da média amostral:
Pr(X > 8, 4 |H0) = Pr
Ã
Z >
8.4− 8
2
5
!
= Pr(Z > 1) = 0, 15866
4. Contestanto a uma acusação de um cliente, o gerente de Recursos Humanos de um escritório
de contabilidade afirma que o tempo médio de espera para atendimento é de, no máximo, 23
minutos. Para comprovar sua observação, ele analisa uma amostra aleatória de 6 clientes, que
acusa os seguintes tempos de espera (em minutos): 27, 24, 21, 25, 26, 22. Com base na sua
experiência, ele sabe que os tempos de espera são aproximadamente normais.
Obs.:
P
xi = 145;
P
x2i = 3531
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
Se X representa o tempo de espera, então X ∼ N(μ;σ2) e X − μS√
n
∼ t(n− 1)
2
As suposições do problema são:
μ ≤ 23
μ > 23
Logo,
H0 : μ = 23
H1 : μ > 23
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 10%.
Solução
α = 10%; 5 graus de liberdade: t20;0,10 = 1, 476. A regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 23
S√
n
> 1, 476⇐⇒ X > 23 + 1.476×
r
5.35
6
= 24, 394
(c) (1,0 ponto) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão do gerente. Certifique-
se de estabelecer sua conclusão em termos não-técnicos.
Solução
Para a amostra obtida temos:
X =
6P
i=1
Xi
6
=
145
6
= 24, 167
S2 =
1
5
³
272 + 242 + 212 + 252 + 262 + 222 − 6× (24.167)2
´
=
=
1
5
[3531− 3504.263] ≈ 5, 35
e o valor observado da estatística de teste é
t0 =
24.167− 23q
5.35
6
= 1, 2359
Como o valor observado da estatística de teste ou da média amostralCompartilhar
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