Aula 02 (1)

Prévia do material em texto

Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1 
AULA 2 – Álgebra linear 
 
1. MATRIZES ....................................................................................................................................... 2 
1.1. Introdução .................................................................................................................................. 2 
1.2. Diagonais da matriz quadrada ................................................................................................... 5 
1.3. Matrizes “especiais” .................................................................................................................. 5 
1.4. Igualdade entre matrizes ........................................................................................................... 6 
1.5. Adição e subtração de matrizes ................................................................................................. 7 
1.6. Multiplicação de uma matriz por um número real .................................................................. 10 
1.7. Multiplicação entre matrizes. .................................................................................................. 10 
1.8. Matriz Inversa .......................................................................................................................... 17 
2. DETERMINANTES .......................................................................................................................... 21 
2.1. Introdução ................................................................................................................................ 21 
2.2. Propriedades dos Determinantes. ........................................................................................... 28 
2.3. Situações em que o determinante é nulo. ............................................................................... 29 
2.4. Situações em que o determinante não se altera. .................................................................... 30 
2.5. Situações em que o determinante se altera. ........................................................................... 31 
2.6. Determinante da matriz-produto e determinante da inversa. ................................................ 32 
2.7. Casos especiais: cálculo facilitado ........................................................................................... 40 
2.8. Detalhando um pouco mais: cálculo de qualquer determinante (opcional) ........................... 42 
3. SISTEMAS LINEARES ..................................................................................................................... 52 
4. RESUMÃO ..................................................................................................................................... 69 
5. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 72 
6. GABARITO ..................................................................................................................................... 78 
 
 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 2 
Álgebra linear envolve: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
Vamos começar nossa aula por matrizes. Existe um motivo importante para isso. Matrizes 
são ferramentas básicas para a resolução de sistemas lineares. Por isso, é interessante 
sabermos bem as propriedades das matrizes. 
 
1. MATRIZES 
1.1. Introdução 
Uma matriz é uma tabela cheia de números. Esta tabela apresenta algumas linhas e algumas 
colunas. Geralmente damos o nome para as matrizes de letras maiúsculas (A, B, C, etc). 
 
Exemplos: 
1
2
A = 
2 5 7
3 0 0
1 2 0,3
B
 
 
= − 
 
− 
 [ ]1 2 1 0C = 
Podemos usar colchetes, parênteses ou duplas barras para representar matrizes. Na aula, e 
no geral, são usados colchetes. 
Como todas as matrizes possuem linhas e colunas, costumamos colocar dois índices no 
nome dela. O primeiro é o número de linhas e o segundo é o número de colunas. 
Assim, a matriz A2x1 possui duas linhas e uma coluna. Simples assim. 
A matriz B3x3 possui três linhas e três colunas. Finalmente, a matriz C1x4 possui uma linha e 
quatro colunas. 
Quando queremos dizer que a matriz tem um número genérico de linhas e colunas, usamos 
fazer assim: Dmxn. Isto significa que a matriz D tem “m” linhas e “n” colunas. 
Para as matrizes que têm o número de linhas igual ao número de colunas, nós damos 
tratamento especial. São as chamadas matrizes quadradas (as outras são chamadas 
retangulares). A ordem da matriz quadrada é o número de linhas (e colunas, porque é o 
mesmo). Assim uma matriz Y quadrada de ordem 5 possui 5 linhas e, obviamente, 5 colunas. 
Exemplos de matrizes quadradas (X tem ordem 2 e A tem ordem 3): 
2 1
0 3
X
 
=  
− 
 
1 4 3
0 1 2
7 0 0
A
− 
 
=  
  
 
Para localizarmos os elementos das matrizes nós precisamos de duas informações: em que 
linha este elemento está e em que coluna. 
Para nos referirmos a algum elemento da matriz, costumamos usar letras minúsculas. 
Assim, por exemplo, na matriz A, temos o elemento a12. Vejam que este elemento tem dois 
“numerozinhos”. São dois índices. O que eles significam? O primeiro é a linha e o segundo é 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 3 
a coluna do elemento. Por isso, o elemento a12 é o elemento da matriz A que está localizado 
na primeira linha e na segunda coluna, deste jeito: 
 
Ou seja: 412 =a . 
Quando queremos falar, genericamente, de algum elemento da matriz A, costumamos 
utilizar aij. Significa que é o elemento que está na linha “i” e na coluna “j”. O primeiro índice 
sempre se refere à linha e o segundo sempre se refere à coluna, assim: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
  
 
Quando queremos falar matriz como um todo, formada por seus elementos, usamos falar 
assim: 
[ ]
mnijaA =
 
Esta é matriz A, formada pelos elementos aij. Esta matriz tem “m” linhas e “n” colunas. 
 
Exemplos 
 
Exemplo 1: 
Monte a matriz B3x4, cujos elementos são dados por jibij −= 2 . 
 
Resolução: 
A matriz B tem 3 linhas e 4 colunas. Desta forma: 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
b b b b
B b b b b
b b b b
 
 
=  
  
 
 
Sabemos que cada elemento de B é construído da seguinte maneira: 
jibij −= 2 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 4 
Vamos fazendo, então, cada elemento da matriz B. Por exemplo, o elemento b11 tem 1=i e 
1=j . Então 0112 =−=ijb 
Colocando na matriz: 
12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
0 b b b
B b b b b
b b b b
 
 
=  
  
 
Podemos achar todos os elementos dela assim: 
2 2 2 2
11 12 13 14
2 2 2 2
21 22 23 24
2 2 2 2
31 32 33 34
1 1 0 1 2 1 1 3 2 1 4 3
2 1 3 2 2 2 2 3 1 2 4 0
3 1 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5
b b b b
B b b b b
b b b b
 = − = = − = − = − = − = − = −
 
= = − = = − = = − = = − = 
 = − = = − = = − = = − = 
 
 
Assim, encontramos todos os elementos da matriz B. 
 
0 1 2 3
3 2 1 0
8 7 6 5
B
− − − 
 
=  
  
 
Exemplo 2: 
Construa a matriz C, quadradade ordem 2, sabendo que: 
• cij = 1, se i = j 
• cij = 0 se i ≠ j. 
 
Resolução: 
A matriz C é quadrada e tem duas linhas e duas colunas. Desse jeito: 
11 12
21 22
c c
C
c c
 
=  
 
 
 
Temos dois casos. Quando i = j, cij = 1. Quando i ≠ j, cij = 0. 
Quais são as situações em que i = j? Ora, é quando i = j = 1 (c11) e quando i = j = 2 (c22). Estes 
dois elemento, c11 e c22, serão iguais a 1: 
11 12
21 22
1
1
c c
C
c c
= 
=  
= 
 
Para os outros dois, i ≠ j. Neste caso, o valor é zero. Daí fica assim: 
11 12
21 22
1 0
0 1
c c
C
c c
= = 
=  
= = 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 5 
 
Pronto. Já achamos todos os elementos. 
1 0
0 1
C  =  
 
 
1.2. Diagonais da matriz quadrada 
Numa matriz quadrada temos duas diagonais. A diagonal principal e a diagonal secundária. 
Dada uma matriz A quadrada, a diagonal principal é formada pelos elementos aij quando i = 
j. Assim, os elementos a11 (primeira linha e primeira coluna), a22, a33, etc. compõem a 
diagonal principal de uma matriz quadrada. A diagonal secundária é a diagonal restante. 
Para a diagonal secundária vale a seguinte regra: aij quando i + j = n + 1, onde “n” é a ordem 
da nossa matriz quadrada. Assim, na matriz quadrada A de ordem 3, a diagonal secundária é 
formada pelos elementos a13, a22 (este também está na diagonal principal) e a31. Repare que 
a soma dos índices destes elementos da diagonal secundária é sempre 4 (=3 + 1). 
Vamos ver o exemplo para clarear as ideias. 
2 1 0
0 7 3
1 2 9
A
− 
 
=  
 − − 
 
 
 Os números 2, 7 e 9 formam a diagonal principal da matriz A, acima. Do mesmo modo, 
vejamos a diagonal secundária: 
2 1 0
0 7 3
1 2 9
A
− 
 
=  
 − − 
 
Os números –1, 7 e 0 formam a diagonal secundária da mesma matriz. Lembrem-se que só 
faz sentido em falar das diagonais (principal e secundária) para matrizes QUADRADAS. 
 
1.3. Matrizes “especiais” 
Algumas matrizes têm nomes especiais. 
A matriz cujos elementos são todos zerados é chamada de matriz nula. Assim a matriz nula 
quadrada de ordem 2 e matriz retangular nula O3x1 são dadas por: 
2 2
0 0
0 0x
O  =  
 
 3 1
0
0
0
xO
 
 
=  
  
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 6 
Outra matriz importante é a matriz identidade. Uma matriz identidade é uma matriz 
quadrada, cuja diagonal principal é formada apenas por 1 e o restante é preenchido por 
zeros. 
Exemplos de matriz identidade: 
2
1 0
0 1
I
 
=  
 
 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
  
 
Reparem que quando a matriz é quadrada não precisamos colocar dois índices no nome 
dela para indicar a quantidade de linhas e colunas. Como ela tem o mesmo número de 
linhas e colunas, podemos colocar um índice só. Assim, I2 é a matriz identidade de ordem 2. 
 
A matriz oposta é a matriz “negativa” da matriz original. Assim, a oposta da matriz A é a 
matriz –A. A matriz oposta é formada invertendo todos os sinais dos elementos da matriz A. 
Exemplo: 
2 1
0 7
3,5 1
A
− 
 
=  
 − 
 
2 1
0 7
3,5 1
A
− 
 
− = − 
 − 
 
Uma matriz fundamental para conhecermos é a matriz transposta (cuidado para não 
confundir com oposta). A matriz transposta é construída trocando-se ordenadamente as 
linhas pelas colunas da matriz original. 
Como assim? 
A primeira linha da matriz A vai virar a primeira coluna na matriz transposta de A (chamada 
de AT). A segunda linha de A será a segunda coluna de AT, e assim por diante. 
Vejamos dois exemplos: 
2 3 5
2 3 1
0 0 1
A
 
 
= − ⇒ 
  
 
2 2 0
3 3 0
5 1 1
TA
 
 
=  
 − 
 
 
 
[ ]1 2 3B = ⇒ 
 
 
1
2
3
TB
 
 
=  
  
 
 
1.4. Igualdade entre matrizes 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 7 
Duas matrizes são iguais se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e se todos os seus 
elementos foram iguais. 
Assim, duas matrizes A = [aij] e B = [bij] são iguais se tiverem mesma quantidade de linhas e 
de colunas e se aij = bij para todos os valores de “i” e de “j”. 
 
Exemplos de matrizes que NÃO são iguais: 
0 0
0 0
A  =  
 
 
0 0
0 0
0 0
B
 
 
=  
  
 
Então A ≠ B. Já que B tem três 
linhas e A tem 2 linhas. 
 
 
2 2
1 0
C  =  
 
 
 
 
2 2
1 0
D
 
=  
− 
 
 
 
Então C ≠ D porque os elementos 
da segunda linha e primeira 
coluna são diferentes 
 
 
Exemplos de matrizes iguais: 
1 0
0 1
Y
 
=  
 
 
1 0
0 1
X
 
=  
 
 Então X = Y. 
 
 
1
2
3
Z
 
 
=  
  
 
 
 
1
2
3
W
 
 
=  
  
 
 
 
Então Z = W. 
 
1.5. Adição e subtração de matrizes 
Duas matrizes só podem ser somadas se possuírem o mesmo número de linhas e de 
colunas. 
Para somar as matrizes, basta somar os elementos que estão nas mesmas posições. 
Assim, considere as matrizes A e B abaixo. A matriz C = A + B é dada por: 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 8 
1 2
1 5
A  =  
− 
 
3 0
0 1
B
 
=  
− 
 
1 3 2 0
1 0 5 ( 1)C
+ + 
=  
− + + − 
 
 
Desta maneira, todos os elementos da matriz C são dados por cij = aij + bij. 
4 2
1 4
C  =  
− 
 
A subtração é a mesma coisa. Basta subtrair os elementos que estão na mesma posição. 
Assim, a matriz D = A – B será assim: 
1 2
1 5
A  =  
− 
 
3 0
0 1
B
 
=  
− 
 
1 3 2 0
1 0 5 ( 1)D
− − 
=  
− − − − 
 
Ou seja: 
2 2
1 6
D
− 
=  
− 
 
Já podemos fazer um exercício da Esaf!! 
 
Questão 1 CGU 2004 [ESAF] 
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por ijm , onde 
“i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz ijxX = , 
de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes )( ijaA = e )( ijbB = . 
Sabendo-se que 2)( iaij = e que 2)()( jibij −= , então o produto dos elementos 31x e 13x é 
igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
Resolução: 
A matriz X é de terceira ordem (então é quadrada). Ela tem essa cara: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
x x x
X x x x
x x x
 
 
=  
  
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 9 
Ela é a soma de A e B. Ou seja, X = A + B. Isto significa que as matrizes A e B também são 
quadradas de terceira ordem. Elas têm este aspecto: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
  
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
b b b
B b b b
b b b
 
 
=  
  
 
Sabemos que cada elemento de X é a soma dos respectivos elementos de A e de B. Ou seja, 
ijijij bax += , para cada valor de “i” e de “j”. Desta maneira: 
11 11 11 12 12 12 13 13 1321 21 21 22 22 22 23 23 23
31 31 31 32 32 32 33 32 32
x a b x a b x a b
X x a b x a b x a b
x a b x a b x a b
= + = + = + 
 
= = + = + = + 
 = + = + = + 
 
Sabemos como calcular cada elemento da matriz A e cada elemento da matriz B. Sabemos 
calcular porque o enunciado nos diz como fazer. 
2)( iaij = 
2)()( jibij −= 
Com estes dados nós somos capazes de calcular todos os elementos de A e todos os 
elementos de B. Com isso, podemos achar todos os elementos de X (que é a soma). Mas nós 
não precisamos de todos os elementos. O enunciado nos pediu apenas o produto dos 
elementos 31x e 13x . Para calcular 31x precisamos saber 31a e 31b . Para calcular 13x , 
precisamos de 13a e 13b . Vamos calcular estes elementos? 
93231 ==a 4)13( 231 =−=b 
a13 = 1
2 = 1 4)31( 213 =−=b 
 
Agora podemos calcular 31x e 13x . 
1349313131 =+=+= bax 
541131313 =+=+= bax 
Desse modo, o produto é igual a: 
655131331 =×=× xx 
Gabarito: D 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 10 
1.6. Multiplicação de uma matriz por um número real 
Quando tínhamos a adição, nós só podíamos somar uma matriz com outra matriz. Idem 
para subtração. Não podíamos, nunca, somar uma matriz com um número real. 
Aqui é diferente. Aqui nós podemos multiplicar uma matriz por um número real qualquer. 
Para tanto, a matriz resultante terá cada elemento da matriz original multiplicado por este 
número. 
Assim, dada a matriz A abaixo, a matriz 3B A= × será igual a: 
2 1
0 7
3,5 1
A
− 
 
=  
 − 
 










××−
××
×−×
=
3135,3
3730
3132
B 
Portanto: 
6 3
0 21
10,5 3
B
− 
 
=  
 − 
 
Veja que temos uma nova matriz, cujos elementos��� = 3 × ���, para todos os valores de 
“i”e de “j”. 
 
1.7. Multiplicação entre matrizes. 
Multiplicar duas matrizes NÃO é o mesmo que multiplicar os elementos que estão nas 
mesmas posições. Muita gente confunde isso. Como este era o procedimento usado lá na 
adição e na subtração, muitas pessoas acham que basta repetir o raciocínio aqui, no caso da 
multiplicação. 
Nem sempre é possível fazer o produto entre duas matrizes. Temos uma exigência para isso. 
Apenas podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for 
igual ao número de linhas da segunda. 
Exemplo: vamos dizer que temos as matrizes A2x3 e a matriz B3x1. Podemos multiplicar essas 
matrizes? Resposta: sim, nós podemos fazer a matriz � = 	
×� × ��×
. 
Por quê? Porque o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B 
(3 colunas em A e 3 linhas em B). 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 11 
 
Só podemos multiplicar duas matrizes se o número de COLUNAS DA PRIMEIRA for igual ao 
número de LINHAS DA SEGUNDA. 
 
 
Vamos agora aprender a multiplicar duas matrizes. Dadas duas matrizes, os elementos da 
matriz resultante do produto destas duas matrizes são obtidos multiplicando-se cada 
elemento de uma linha da primeira matriz pelo elemento correspondente na coluna da 
segunda matriz e somando-se os valores obtidos. 
 
Nossa!! Professor, agora não entendi nada!?! 
 
Vamos ver um exemplo. 
Sejam as matrizes A e B dadas: 
2 1
0 1
A  =  
− 
 
2 1 0
4 0 1
B
 
=  
− 
 
 
Queremos achar a matriz � = 	 × � 
Inicialmente, vamos ver se o produto é possível ou não. 
A matriz A tem duas linhas e duas colunas. A matriz B tem duas linhas e três colunas. 
Podemos multiplicar estas matrizes porque o número de colunas de A (duas) é o mesmo do 
número de linhas de B (duas também). 	
�; ��� 
Os números em vermelho são iguais (2 = 2), logo, a multiplicação é possível. 
 
A matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz, e o número de colunas da 
segunda matriz. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 12 
 
Agora vamos à multiplicação. 
Primeiro fazemos um quadro, assim: 
 
 
Agora, no canto inferior esquerdo colocamos a primeira matriz. 
No canto superior direito, a segunda matriz: 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 
0 -1 
 
Agora multiplicamos linha com coluna. 
O primeiro termo da matriz C (o termo c11) é encontrado multiplicando os termos da 
primeira linha de A pelos termos da primeira coluna de B e somando-se os valores obtidos. 
Ou seja, o primeiro termo da linha multiplicado pelo primeiro termo da coluna. O segundo 
termo da linha multiplicado pelo segundo termo da coluna. 
Por fim, somamos estes valores. O resultado é anotado no canto inferior direito: 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 
0 -1 
0 
2 × 2 + 1 × �−4� = 0 
 
O termo 12c segue o mesmo princípio, mas agora vamos usar a primeira linha de A e a 
segunda coluna de B. 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 0 2 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 13 
0 -1 
2 × 1 + 1 × 0 = 2 
O termo c13 é obtido usando a primeira linha de A e a terceira coluna de B. 
 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 
0 -1 
0 2 1 
2 × 0 + 1 × 1 = 1 
 
Do mesmo modo, o termo 21c é obtido usando a segunda linha de A e primeira coluna de B. 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 
0 -1 
0 2 1 
4 
0 × 2 + �−1� × �−4� = 4 
Continuando: 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 
0 -1 
0 2 1 
4 0 
0 × 1 + �−1� × 0 = 0 
E por fim: 
 2 1 0 
-4 0 1 
2 1 
0 -1 
0 2 1 
4 0 -1 
0 × 0 + �−1� × 1 = −1 
 
No canto inferior direito surgiu a matriz produto (C). 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 14 
 
Em geral, para acharmos qualquer termo cij de C, vamos usar a linha “i” de A e a coluna “j” 
de B. Multiplicar os termos e somar os resultados. Fica assim: 






×−+××−+×−×−+×
×+××+×−×+×
=
1)1(000)1(10)4()1(20
11020112)4(122
C 
 
Resumindo: 
0 2 1
.
4 0 1
C A B  = =  
−  
 
Dadas duas matrizes nmA , e Bnxp, a matriz C = BA× terá “m” linhas e “p” colunas: 
Cmxp 
Para frisar: a matriz-produto A.B terá o número de linhas da matriz A e o número de 
colunas da matriz B. 
Temos algumas conclusões importantes para tirar. A primeira é que, em geral, A.B ≠ B.A! 
Muitas vezes acontece de a matriz A.B existir (o número de linhas de A é igual ao de colunas 
de B) e a matriz B.A não existir (porque o número de linhas de B não igual ao número de 
colunas de A). 
 
Exemplo 1: A2x3 e B3x1. Existe C2x1 = A2x3. B3x1, mas não existe B3x1. A2x3 
Exemplo 2: A2x3 e B4x2. Não existe A2x3. B4x2, mas existe D4x3 = B4x2. A2x3 
 
No caso de matrizes quadradas de MESMA ORDEM existem tanto A.B como B.A. Mesmo 
assim, em regra, A.B ≠ B.A 
Exemplo: 
2 1
0 1
A  =  
− 
 
2 1
4 0
B
 
=  
− 
 
 
0 2
.
4 0
A B  =  
 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 15 
4 1
.
8 4
B A  =  
− − 
 
 
Duas outras conclusões importantes! 
Primeira: a multiplicação de uma matriz qualquerpor uma matriz nula resulta em outra 
matriz nula (com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda). 
Segunda e mais importante: multiplicar uma matriz A qualquer por uma matriz identidade 
tem como resultado a própria matriz A (desde que, obviamente, esta multiplicação seja 
possível). 
 
Exemplo: 
2 1
0 1
A  =  
− 
 
1 0
0 1
I
 
=  
 
 
Então: B = A.I = A 
2 1
0 1
B
 
=  
−  
 
 
Qualquer matriz X multiplicada por uma matriz identidade resulta na própria matriz X. 
Assim: 
X.I = I.X = X 
Mais uma observação deve ser feita com relação à multiplicação. Nós podemos usar a 
mesma notação de potenciação que usamos para os números. Assim A2 é o mesmo que A.A. 
Do mesmo modo, B3 é o mesmo que B.B.B. E assim por diante. 
Vamos fazer mais um exercício! 
 
Questão 2 MPU 2004 [ESAF] 
Sejam as matrizes: 










=
33
62
41
A e 





=
4321
5431
B 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 16 
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que 
TBAX )( ×= , isto é, a matriz X é a 
matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
 
Resolução: 
Podemos dizer que a matriz X = CT e C = A.B. Ou seja, X é a transposta da matriz C e C é o 
produto A.B. 
Vamos resolver esta questão sem achar todos os elementos de X. Por quê? Porque 
queremos ganhar tempo. 
O enunciado pede que achemos a razão entre x31 e x12, ou seja: 
31
12
x
x
=? 
Sabemos que X é a trasposta de C (ou C é a trasposta de X, dá no mesmo). Na trasposta, as 
linhas e as colunas estão trocadas. Assim: 
jiij cx = 
Isto é o mesmo que dizer que trocamos as linhas pelas colunas, ou seja, fizemos a 
transposta. 
Podemos concluir que: 
31 13x c= 
12 21x c= 
Ótimo. Agora temos que achar estes elementos da matriz C. 
O termo c13 é encontrado usando a primeira linha de A e a terceira coluna de B. 
1 4
2 6
3 3
A
 
 
=  
 
 
 
1 3 4 5
1 2 3 4
B
 
=  
  
 
13 11 13 12 23 13 13. . 1.4 4.3 16c a b a b c c= + ⇒ = + ⇒ = 
Da mesma maneira, o elemento c21 é encontrado usando a segunda linha de A e a primeira 
coluna de B. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 17 
1 4
2 6
3 3
A
 
 
=  
 
 
 
1 3 4 5
1 2 3 4
B
 
=  
  
 
21 21 11 22 21 21 21. . 2.1 6.1 8c a b a b c c= + ⇒ = + ⇒ = 
Pronto: 
31 13
12 21
16 2
8
x c
x c
= = =
 
Gabarito: B 
 
1.8. Matriz Inversa 
Lá nos números reais existe o inverso de um número. 
Para as matrizes quadradas é parecido: existe a matriz inversa. 
No caso dos números, o inverso de um número é aquele que multiplicado por este número 
resulta na unidade. Assim, dado um número x, dizemos que seu inverso é 1/x ou 1−x . Para o 
inverso vale a propriedade: 
1
. 1x x− = 
Do mesmo modo, para as matrizes, a inversa da matriz quadrada A (chamada de A-1) é uma 
matriz quadrada de mesma ordem de A que, multiplicada por ela, resulta na matriz 
identidade (I). Deste jeito: 
1 1
. .A A A A I− −= = 
Lembrem-se de que a regra é que a multiplicação de duas matrizes A e B resulte em 
matrizes diferentes, a depender da ordem em que a multiplicação acontece (em regra, AB ≠ 
BA ). 
Esta regra não vale para a inversa. Tanto A.A-1, como A-1.A resultam na matriz identidade. 
 
A matriz inversa sempre existe?? NÃO!! A condição para que a matriz inversa exista é que o 
determinante de A seja diferente de zero. 
Aqui também existe um paralelo com os números reais. O inverso de um número sempre 
existe? NÃO! Não existe o inverso de zero (1/0 não existe). 
Com as matrizes é parecido. 
Todas as matrizes com determinante nulo não possuem inversa. 
 
Existem métodos para determinar a matriz inversa. Em geral, as provas não pedem matrizes 
inversas de ordem maior que 2, porque o tempo para calcular seria grande. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 18 
Então fica a informação de que existe um modo sistemático para calcular qualquer inversa. 
Para ordens superiores a dois, este método é bem custoso de fazer na mão. 
Vejamos um exemplo: 
Seja a matriz A dada por: 
4 0
1 2
A  =  
− 
 
Vamos calcular a matriz inversa (A-1). Sabemos que a matriz inversa tem a mesma ordem de 
A (segunda ordem). Então ela vai ter esta cara: 
1 x yA
z w
−
 
=  
 
 
Até aqui não sabemos os valores dos elementos de A-1. Mas sabemos que: 
1
.A A I− = ⇒ 
4 0 1 0
.
1 2 0 1
x y
z w
     
=     
−     
 
 
Aprendemos a fazer a multiplicação de matriz, ficará assim: 
4 1
2 0
x
x z
=

− + =
1/ 4 0, 25x x⇒ = ⇒ = e 2 0,25 0,125z z= ⇒ = 
4 0
2 1
y
y w
=

− + =
0y⇒ = e 2 1 0,5w w= ⇒ = 
 
A matriz inversa fica: 
1 0,25 0
0,125 0,5
A−  =  
 
 
Sempre podemos usar este método para o cálculo da inversa. Para matrizes de segunda 
ordem, teremos dois sistemas de duas incógnitas. Para matriz de ordem 3 teremos três 
sistemas de três incógnitas cada (o que já é bastante trabalho), e assim por diante. 
 
A matriz inversa é usada para “isolar matrizes”. O que isso significa? 
Vejamos um exemplo com números: 
3 9x = 
O que fazemos para isolar o x? Dividimos os dois lados por 3 (é o mesmo que dizer que 
passamos o 3 para o outro lado dividindo). Desse modo: 
1 13. . 9. 3
3 3
x x= ⇒ = 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 19 
Usamos o inverso do número 3 porque este inverso, multiplicado pelo próprio número 3, 
resulta em 1. E “um” multiplicado por x é o próprio x. 
Para matrizes vale a mesma coisa. Só temos que tomar cuidado porque o lado da 
multiplicação é importante, diferentemente do que acontece com os números. 
 
Vejamos um exemplo: 
Seja: 
1
. . .A B X C D−= 
Considere que todas as matrizes são quadradas e de mesma ordem. Queremos isolar a 
matriz X. 
Como fazemos? 
Usamos o conceito de matriz inversa. A matriz que eu usar para multiplicar de um lado da 
igualdade, também usarei do outro lado. 
Mais uma coisa: se eu multiplicar a matriz pela direita em um lado, terei que também 
multiplicar pela direita no outro. Isso é importante!! Do mesmo modo, se eu multiplicar 
uma matriz pela esquerda, também terei que multiplicar pelo lado esquerdo do outro lado 
da igualdade. 
 
Vamos começar eliminando a matriz B, que está ao lado de X. Para tanto, basta que 
multipliquemos os dois lados da equação por B-1 pelo LADO ESQUERDO. Deste modo: 
1 1 1
. . . . .B A B B X C D− − −= 
 
Qual o resultado de B-1.B? É a matriz identidade I: 
1 1
. . . .B A I X C D− −= 
Mas sabemos que I multiplicada por qualquer matriz, resulta na própria matriz. É como 
multiplicar um número por um. Resulta no próprio número. A matriz identidade “some” 
porque ela é um “elemento neutro” na multiplicação de matrizes. Do mesmo modo que o 1 
é o elemento neutro na multiplicação de números. Fica assim: 
1 1
. . .B A X C D− −= 
Ótimo. Agora vamos começar a sumir com o que está a direita deX. Temos que tirar 
primeiro o que está mais para fora. Porque só podemos multiplicar ou pela direita ou pela 
esquerda. Não podemos multiplicar nada “no meio”. Temos que sumir com D-1. Para tanto, 
basta multiplicarmos por D do lado DIREITO nos dois lados da equação. Assim: 
1 1
. . . . .B A D X C D D− −= 
Novamente, D-1.D resulta na identidade e ela, multiplicada pelas outras, “desaparece”. 
1
. . .B A D X C− = 
Só falta C. Vamos multiplicar por C-1 do lado direito nos dois lados da equação. Assim: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 20 
1 1 1
. . . . .B A D C X C C− − −= 
Resulta em: 
1 1
. . .B A D C X− − = 
Pronto, isolamos a matriz X. 
1 1
. . .X B A D C− −= 
Este método é útil quando sabemos os elementos das outras matrizes (A, B, C e D) e 
queremos saber os elementos de X. Bastaria, neste momento, achar as inversas e fazer as 
multiplicações. Nos exercícios, às vezes nem precisamos calcular mais nada. O examinador 
pode querer saber o que fizemos acima. 
 
Questão 3 SEFAZ/ MG 2005 [ESAF] 
A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz 
identidade. A matriz C é igual ao produto BZA ×× , onde Z é também uma matriz 
quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: 
a) A-1 B C 
b) A C-1 B-1 
c) A-1 C B-1 
d) A B C-1 
e) C-1 B-1 A-1 
 
Resolução: 
Este exercício é bem parecido com o que acabamos de fazer. Este é até mais simples. 
O enunciado diz que: 
C AZB= 
Queremos isolar Z. Vamos começar pelo lado esquerdo. Vamos sumir com A. Basta 
multiplicarmos os dois lados por A-1 pelo LADO ESQUERDO. Assim: 
1 1A C A AZB− −= 
Sabemos que AA ×−1 dá a identidade. E a identidade é o elemento neutro da multiplicação. 
Ou seja, ela “desaparece”. 
1A C ZB− = 
Agora queremos “sumir”com B. Basta multiplicarmos os dois lado por B-1 pelo LADO 
DIREITO. 
1 1 1A CB ZBB− − −= 
Novamente, simplificando, resulta em: 
1 1A CB Z− − = 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 21 
Pronto, isolamos Z. 
1 1Z A CB− −= 
Gabarito: C 
 
2. DETERMINANTES 
Vamos começar agora a estudar os determinantes. 
Um determinante é um número que se relaciona com uma determinada matriz quadrada. 
Cada matriz quadrada possui um e apenas um determinante. 
 
Todas as matrizes quadradas possuem determinante? SIM!! 
Por que ele é importante? Porque ele aparece por diversas vezes em várias áreas da 
matemática. Determinantes são muito úteis para resolver sistemas lineares. Aparecem 
também em Geometria Analítica, no cálculo de áreas. E por aí vai. 
 
2.1. Introdução 
Como já falamos, para cada matriz quadrada podemos associar um único número real. Este 
número é chamado de determinante da matriz e é calculado conforme as regras que vamos 
aprender. 
Dada a matriz A, quadrada, de terceira ordem: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
  
 
Podemos representar o determinante da matriz A assim: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det
a a a
A a a a
a a a
= 
As barras verticais significam que estamos falando do determinante e não da matriz. 
Existem outras maneiras de chamar o determinante de A. Esta, “detA”, é a mais comum. 
Também usamos as seguintes notações: |A| e ∆. 
Vamos ver como calculamos o determinante. Existe uma maneira que serve para todas as 
matrizes. Mas é um jeito mais complicado. É melhor aprendermos os atalhos. 
Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é igual ao elemento da matriz. 
Exemplo: 
[ ]7A = 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 22 
O determinante da matriz A é 7. Assim, detA = 7. 
Em uma matriz de ordem 2, que terá este aspecto: 
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
 
O determinante da matriz A é dado por: 
11 22 12 21det A a a a a= − 
Ou seja, em uma matriz de segunda ordem, o determinante é dado pelo produto dos 
elementos da diagonal principal subtraindo do produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
 
Vejamos um exemplo: 
5 1
2 1/ 5
A
− 
=  
− − 
 
O determinante de A será calculado assim: 
5 1
det det 5.( 1/ 5) ( 1).( 2) det 1 2
2 1/ 5
det 3
A A A
A
−
= ⇒ = − − − − ⇒ = − − ⇒
− −
= −
 
Vamos para o caso da matriz de terceira ordem, que tem esta aparência: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
  
 
Queremos encontrar o determinante de A: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det
a a a
A a a a
a a a
= 
Para tanto, vamos usar uma regra que é conhecida como regra prática de Sarrus. Nós 
repetimos a primeira e a segunda coluna, na ordem, após a terceira coluna, deste jeito: 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 23 
Agora multiplicamos as diagonais para direita e somados os valores. Assim: 
 
Esta primeira parte tem como resultado: 
11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a+ + 
Depois multiplicamos os valores nas diagonais para a esquerda com sinal negativo e 
somamos os valores. Assim: 
 
Esta segunda etapa resulta em: 
13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a− − − 
 
Agora é só somar as duas parcelas: 
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − − 
Vejamos um exemplo: 
2 2 0
3 3 2
5 1 1
A
 
 
= − 
 − 
 
Vamos calcular o determinante de A: 
2 2 0
det 3 3 2
5 1 1
A = −
−
 
Temos que repetir as duas primeiras colunas, na ordem, após a terceira coluna: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 24 
 
Assim, o determinante de A fica: 
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det
det 2.3.1 2.( 2).5 0.3.( 1) 0.3.5 2.( 2).( 1) 2.3.1
det 6 20 0 0 4 6
det 24
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
A
A
A
= + + − − −
⇒ = + − + − − − − − −
⇒ = − + − − −
⇒ = −
 
 
Questão 4 CGU 2008 [ESAF] 
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i” 
representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de 
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y = (yij). Sabendo-se 
que 2/1)( ixij = e que 2)( jiyij −= , então a potência dada por 12)( 22 aa (ou seja, 22a elevado 
a 12a ) e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: 
a) 2 e 2 
b) 2 e 0 
c) 2− e 1 
d) 2 e 0 
e) 2− e 0 
 
Resolução: 
Não seria necessário montar todas as matrizes. Vamos fazer isso apenas como treino. No 
fim, mostramos a solução mais rápida. 
Sabemos que X e Y são quadradas de terceira ordem, já que A é a soma das duas e A é 
quadrada de terceira ordem. Elas são assim: 










=
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
X 










=
333231
232221
131211
yyy
yyy
yyy
Y 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes– Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 25 
Sabemos calcular os elementos de X, já que do enunciado: 2/1)( ixij = . Fica assim: 










======
======
======
=
333333
222222
111111
2/1
33
2/1
32
2/1
31
2/1
23
2/1
22
2/1
21
2/1
13
2/1
12
2/1
11
xxx
xxx
xxx
X 
Então: 










=
333
222
111
X 
Agora vamos ver os elementos de Y: 2)( jiyij −= . Montando a matriz, fica: 










=−==−==−=
=−==−==−=
=−==−==−=
=
0)33(1)23(4)13(
1)32(0)22(1)12(
4)31(1)21(0)11(
2
33
2
32
2
31
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11
yyy
yyy
yyy
Y 
Logo: 










=
014
101
410
Y 
O exercício nos afirma que a matriz A é a soma das matrizes X e Y. A é assim: 










=+++
+=++
=+=+=+
=










+










=
3031343
1220212
541211101
014
101
410
333
222
111
A 










++
++=
31343
12212
521
A 
Precisamos dos valores de a22 e a12 para calcular a potência 12)( 22 aa : 
222 =a 
212 =a 
Logo: 
2)2()( 222 12 ==aa 
 
E com isso já dá para marcar a alternativa correta. Mas, para treinarmos, vamos calcular o 
determinante de X. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 26 










=
333
222
111
X 
Então: 
0666666
333
222
111
det =−−−++==X 
0det =⇒ X 
Gabarito: D 
 
Vamos ver um jeito mais rápido? 
02)22(2 22/1222222 +=−+=+= yxa 
222 =a 
 
11)21(1 22/1121212 +=−+=+= yxa 
212 =a 
Dessa forma: 
2)2()( 222 12 ==aa 
O que já é suficiente para responder a questão. 
Para calcular o determinante de X, não tem jeito; temos que calcular a matriz X inteira como 
foi feito na primeira resolução. Por sorte, nem era preciso calcular o determinante para 
marcar a resposta correta. 
 
Questão 5 MPU 2004 [ESAF] 
Sabendo-se que a matriz 





=
10
11
A e que Ν∈n e 1≥n então o determinante da matriz 
1−
−
nn AA é igual a: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) n 
e) n-1 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 27 
Resolução: 
Quando o enunciado fala An, ele está querendo dizer A.A.... A, ou seja, trata-se da matriz A 
multiplica por ela mesma “n” vezes. 
Beleza. O exercício fala que 1≥n . Vamos começar a análise com n = 1, já que este é o 
menor valor que n pode assumir. Neste caso temos: 
IAAA
AAA
n
n
===
==
−− 0111
1
 
Aqui temos um ponto interessante. Assim como qualquer número elevado a zero é igual a 1 
(menos 00 que não é determinado), assim também para as matrizes. Qualquer matriz não 
nula elevada à potência zero é igual à matriz identidade. 
Lembram-se de que a matriz identidade é nosso elemento neutro para a multiplicação de 
matrizes assim como o 1 é o elemento neutro para a multiplicação de números? Este é o 
motivo para que a matriz A (quadrada) elevada a zero seja igual à matriz identidade de 
mesma ordem (I). 
Deste modo temos: 






=





−





=−=−
−
00
10
10
01
10
111 IAAA nn 






=−⇒ −
00
101nn AA para n = 1 
Vejam que o determinante desta matriz é: 
00.10.0
00
10)det( 1 =−==− −nn AA 
 
Certo. Agora vamos ver para n = 2. 
Neste caso: 
AAAA
AAAA
n
n
===
==
−− 1121
2
.
 
Vamos calcular A.A: 






=











==
10
21
10
11
.
10
11
.
2 AAA 
 
Assim: 






=





−





=−=−
−
00
10
10
11
10
2121 AAAA nn para n = 2. 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 28 
O resultado foi o mesmo encontrado para n = 1. 
00.10.0
00
10)det( 1 =−==− −nn AA 
Vamos fazer para n = 3? 
Neste caso: 
2131
23
.
AAA
AAAA
n
n
==
==
−−
 
 
Já calculamos A2. Temos apenas que calcular A3. 






=











==
10
31
10
11
.
10
21
.
23 AAA 
Portanto: 






=





−





=−=−
−
00
10
10
21
10
31231 AAAA nn para n = 3. 
 
Agora, calculando o determinante: 
00.10.0
00
10)det( 1 =−==− −nn AA 
Se fizermos para outros valores de n, sempre vamos chegar à mesma matriz e o 
determinante desta matriz é sempre zero. 
Gabarito: C 
 
Aí vem a pergunta: 
Professor, como podemos ter certeza de que sempre vai dar zero se não fizemos para todos 
os valores de n? 
Resposta: Esta pergunta é muito pertinente. A priori, não temos como saber. Mas vejam que 
zero seria a única resposta possível, dadas as alternativas. Já que resolvemos para 3 valores 
de n e sempre deu zero como resposta. 
Existe um jeito de resolver que garanta que sempre vai dar zero? SIM!! 
Só que para resolver deste outro jeito temos que saber uma propriedade dos determinantes 
que ainda não vimos. Quando a virmos, vamos voltar nesta questão e fazer deste outro 
jeito. Ok? 
 
2.2. Propriedades dos Determinantes. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 29 
A idéia de conhecermos algumas propriedades dos determinantes, como sempre, é facilitar 
a nossa vida. 
Se não conhecermos as propriedades mais importantes, corremos o risco de perder 
questões simples. Algumas vezes, o exercício pede apenas e tão somente a aplicação 
imediata de uma propriedade conhecida sobre determinantes. 
Algumas propriedades têm nome de matemáticos famosos. Vez ou outra, vamos colocar o 
nome pelo qual a propriedade ficou conhecida. Não se preocupem com isso. Vocês não 
precisam saber o nome de ninguém. Isso não cai na prova. Vamos usar os nomes apenas 
para iniciar uma seção do texto e nada mais. 
 
2.3. Situações em que o determinante é nulo. 
Uma matriz possui determinante nulo quando: 
• uma fila (uma linha ou uma coluna) é toda preenchida por zeros; 
• uma fila é igual ou proporcional a uma fila paralela; 
• uma das filas é uma combinação linear de outras filas paralelas. 
O primeiro caso é bem simples de entender. Uma das filas sendo composta só por zeros, o 
determinante é nulo. 
Exemplos: 
⇒










−=
1804
101
001
A det A = 0 porque a segunda coluna é preenchida 
apenas por zeros. 
⇒





−
=
11
00
B det B = 0 porque a primeira linha de B é nula. 
O segundo caso é simples também. Sempre que duas filas paralelas forem iguais ou 
proporcionais, o determinante é nulo. Duas filas são proporcionais quando uma é igual à 
outra multiplicada por um número real qualquer. 
Exemplos: 
⇒










=
18018
707
131
A det A = 0 porque as colunas 1 e 3 são iguais. 
⇒





−
−
=
25,1
43
B det B = 0 porquea segunda linha é igual à primeira multiplicada por 
0,5. 
O terceiro caso nem sempre é fácil de identificar. Uma combinação linear significa que uma 
das filas é igual à soma de outras multiplicadas, cada uma, por algum número real. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 30 
Exemplos: 
⇒










−=
18018
437
431
A 
det A = 0 porque a terceira coluna é igual à 
soma das duas outras. Significa que: 
3ª coluna = 1× (1ª coluna) + 1 × (2ª coluna) 
⇒












−−
−
=
3190
0034
1102
0131
B 
detB = 0 porque: 
4ª linha = 2× (1ª linha) - 3× (2ª linha) + 1× 
(3ª linha) 
Reparem que muitas vezes é difícil de identificar que uma fila é combinação linear de outras 
paralelas. 
Fato é que sempre que o determinante for nulo, ou seja, sempre que nós o calcularmos e 
ele for zero, é porque uma três situações dadas acontece. Ou uma fila é nula, ou uma fila é 
proporcional a outra paralela, ou uma fila é combinação linear de outras paralelas (não 
precisa ser de todas as outras, pode ser só de algumas). 
Acontece que nem sempre somos capazes de bater o olho na matriz e verificar se um dos 
casos (em especial o último) está acontecendo. É o que ocorre, por exemplo, na última 
matriz dada acima. Se eu não tivesse inventado o exemplo, provavelmente não conseguiria 
bater o olho e ver que existe uma linha que é combinação linear de outras. 
Mesmo assim, sempre que conseguirmos verificar um destes casos, não precisamos calcular 
o determinante. Ele será, com certeza absoluta, zero. 
Aconteceu um caso destes lá na Questão 4. Tínhamos que calcular o determinante da matriz 
X dada por: 
0det
333
222
111
=⇒










= XX 
Podemos perceber que a segunda linha de X é igual à primeira linha multiplicada por raiz de 
2. Apenas sabendo disso, já concluiríamos que o determinante de X é zero. 
 
2.4. Situações em que o determinante não se altera. 
Existem duas situações em que um determinante não muda de valor. A primeira é quando 
se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas. Ou seja, o determinante da transposta é 
igual ao determinante da matriz original. 
TAA detdet = para qualquer matriz quadrada A. 
A segunda situação é quando multiplicamos os elementos de uma fila por um número 
qualquer e somamos isso a uma fila paralela. 
Exemplo: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 31 










−−=
1809
431
301
A 
Vamos montar uma matriz B a partir da matriz A. 
Vamos repetir as duas primeiras colunas. 
A terceira coluna de B é igual à terceira coluna de A 
somando-se o valor da primeira coluna multiplicada 
por -3. 
Ou seja: 
b13 = a13 – 3.a11 = 3 – 3.(1) = 0 
b23 = a23 – 3.a21 = 4 – 3.(-1) = 7 
b33 = a33 – 3.a31 = 18 – 3.(9) = –9 
 










−
−−=
909
731
001
B Assim: det B = det A = 27 
 
2.5. Situações em que o determinante se altera. 
Existem duas situações importantes, em que o determinante se altera. A primeira é quando 
trocamos duas filas paralelas de lugar, uma com a outra. Neste caso, o determinante muda 
de sinal. 
Exemplo: 










−−=
1809
431
301
A Vamos montar uma matriz B repetindo a matriz A. 
Só que vamos trocar a segunda com a terceira linha. 










−−
=
431
1809
301
B Neste caso: det B = – det A = – 27 
Um outro caso importante de alteração do valor do determinante é quando multiplicamos 
uma fila (linha ou coluna) por um determinado número k. Neste caso, o determinante 
também fica multiplicado por este mesmo número k. 
Exemplo: 










−−=
1809
431
301
A Vamos montar uma matriz B repetindo a matriz A. 
Mas multiplicando a segunda coluna por 1/3. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 32 










−−=
1809
411
301
B Neste caso: det B = 9det
3
1
=× A 
 
De forma geral, se uma fila de uma matriz A é multiplicada por um número k qualquer, 
dando origem a uma nova matriz B, então temos: 
det B =k. det A 
Desta última informação, podemos tirar uma conclusão importante. Dada uma matriz A 
quadrada de ordem n, se multiplicarmos esta matriz por um número k qualquer, seu 
determinante é multiplicado kn. 
 
Por quê? 
 
Porque a matriz tem n linhas (e n colunas). Se eu multiplico a matriz toda por k, TODAS as 
suas linhas vão ficar multiplicadas por k. Cada linha multiplicada por k, faz com que o 
determinante seja multiplicado por k. Como são n linhas, o determinante vai ficar 
multiplicado por k.k.k.....k = kn. 
 
Assim: Seja A uma matriz quadrada. Se B = k.A, então det B = kn det A, onde n é a ordem de 
A e B. 
 
2.6. Determinante da matriz-produto e determinante da inversa. 
Uma propriedade bem interessante dos determinantes é que o determinante da 
multiplicação de duas matrizes é o produto dos determinantes. Simples assim! 
BACBAC det.detdet. =⇒= 
Esta propriedade é interessante porque podemos achar o determinante da matriz-produto 
apenas multiplicando os determinantes das matrizes originais, sem precisar fazer a 
multiplicação das matrizes, que é mais trabalhosa. 
Outra coisa que temos que saber é que o determinante da matriz inversa é o inverso do 
determinante da matriz original. Assim, seja A uma matriz que possui inversa (ou seja, que 
tem determinante diferente de zero), o determinante de A-1 é achado assim: 
1 1det
det
A
A
−
= 
Vamos resumir o que vimos até aqui sobre as propriedades dos determinantes? 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 33 
Propriedade 1 
Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é formada apenas por 
zeros, seu determinante é nulo. 
Propriedade 2 
Se uma fila é proporcional (ou igual) a outra paralela, o determinante é 
nulo. 
Propriedade 3 
Se uma fila é combinação linear de outras paralelas, o determinante é 
nulo. 
Propriedade 4 
det A = det AT para qualquer matriz. Ou seja, o determinante de uma 
matriz é igual ao de sua transposta. 
Propriedade 5 
O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela 
multiplicada por um número qualquer. 
Propriedade 6 
Se trocarmos uma fila de lugar com outra paralela, o determinante 
muda de sinal. 
Propriedade 7 
Se multiplicarmos um fila por um número k, o determinante também é 
multiplicado por k. 
Propriedade 8 
Se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é 
multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz. 
Propriedade 9 
O determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos 
determinantes. Assim: 
BABACBAC det.det).det(det. ==⇒= 
Propriedade 10 
O determinante da inversa é o inverso do determinante: 
1 1det
det
A
A
−
= 
 
Pratiquemos!! 
 
Questão 6 STN 2005 [ESAF] 
Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a 
terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira 
colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produtoentre os determinantes das matrizes A e B é igual a: 
a) –x-6 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 34 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
 
Resolução: 
Esta questão é uma questão típica de aplicação de propriedades dos determinantes. 
Vejam que A é uma matriz quadrada de terceira ordem. Então tem esta cara: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
  
 
A matriz B é parecida com a matriz A. A diferença é que as colunas estão de trás para frente, 
ou seja, a terceira coluna de A é a primeira de B, a segunda de A é a segunda de B e, por fim, 
a primeira de A é a terceira de B. Deste jeito: 
13 12 11
23 22 21
33 32 31
a a a
B a a a
a a a
 
 
=  
  
 
Sabemos do enunciado que: 
3det A x= 
A diferença entre a matriz A e a matriz B é que houve uma simples troca de colunas. A 
primeira coluna e a terceira coluna foram trocadas de lugar. Temos uma propriedade dos 
determinantes que diz: 
Se trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra paralela, o determinante muda 
de sinal. 
 
Esta é a propriedade 6 da nossa tabela-resumo. Então sabemos que: 
det detB A= − 
3det B x= − 
 
O que o enunciado pediu? O produto entre os determinantes das matrizes A e B! 
Agora já podemos calcular: 
3 3 6det .det .( )A B x x x= − = − 
Gabarito: B 
 
Questão 7 CGU 2008 [ESAF] 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 35 
Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha 
e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira 
ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por: 










===
===
===
133312321131
232322222121
331332123111
ababab
ababab
ababab
 
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B 
é igual a: 
a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
 
Resolução: 
Novamente, é aplicação direta da propriedade 6 da nossa tabela-resumo. 
A é uma matriz quadrada de terceira ordem, dessa forma: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
  
 
A matriz B é assim: 
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
B a a a
a a a
 
 
=  
  
 
 
Qual a diferença entre as duas? Na matriz B, a primeira linha foi trocada de posição com a 
terceira linha, se compararmos com a matriz A. 
 
Sabemos o determinante de A: 
det 100A = 
Então também sabemos o determinante de B: 
det detB A= − 
det 100B = − 
Gabarito: D 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 36 
Questão 8 MPOG 2008 [ESAF] 
Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida 
multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da 
matriz B é igual a: 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
 
Resolução: 
Outra vez, é aplicação direta de propriedades de determinantes. 
A matriz X é de quinta ordem e tem: 
10det =X 
 
A matriz B é obtida multiplicando-se a matriz X por 10. Assim: 
XB .10= 
Temos uma propriedade que diz: 
Se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por kn, 
onde n é a ordem da matriz. 
 
Esta é a nossa propriedade 8, da tabela-resumo. 
Com isso: 
XB det10det 5= 
Lembrando que neste caso k = 10 e n = 5 (a matriz é de quinta ordem). Sabemos quanto vale 
o determinante de X, podemos substituir na equação: 
10.10det10det 55 == XB 
610det =⇒ B 
Gabarito: D 
 
Antes de passarmos para a próxima questão, vamos voltar, como prometido, para a 
Questão 5. O enunciado diz o seguinte: 
Sabendo-se que a matriz 





=
10
11
A e que Ν∈n e 1≥n então o determinante da matriz 
1−
−
nn AA é igual a: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 37 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) n 
e) n-1 
 
Outra resolução: 
Nós já calculamos o determinante para caso de n = 1. 






=





−





=−=−
−
00
10
10
01
10
111 IAAA nn 






=−⇒ −
00
101nn AA para n = 1 
Como a primeira coluna é preenchida apenas por zeros, o determinante é nulo: 
0)det( =− IA 
Agora, para qualquer valor de n > 1, podemos usar uma propriedade muito interessante: 
).(11 IAAAA nnn −=− −− 
Por que esta igualdade é válida? Porque, para matrizes, assim como para números, também 
podemos usar a propriedade distributiva (apenas cuidando para multiplicar pelo lado 
correto), ou seja: 
1111
..).( −−−− −=+=− nnnnn AAIAAAIAA 
Podemos usar a propriedade que diz: 
O determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos determinantes. 
Esta é a propriedade 9 da nossa tabelinha. 
Vejam que: 
00.det)det(.det)].(det[ 111 ==−=− −−− nnn AIAAIAA 
Concluímos que o determinante é nulo para qualquer valor de n ≥ 1. 
0)det( 1 =− −nn AA 
Pronto. Matamos a questão! Quando tínhamos feito este exercício lá atrás, nós fomos 
fazendo para cada valor de n. Agora, usando a propriedade, concluímos que não importa o 
valor de n, o determinante é sempre zero. 
 
Questão 9 ATRFB 2012 [ESAF] 
Dada a matriz 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 38 
	 = �2	10	1� 
o determinante de A5 é igual a 
a) 20. 
b) 28. 
c) 32. 
d) 30. 
e) 25. 
 
Resolução: 
Numa matriz quadrada de ordem 2, para calcular o determinante, fazemos os seguintes 
passos: 
• calculamos o produto dos elementos da diagonal principal 
• calculamos o produto dos elementos da diagonal secundária 
• subtraimos as duas quantias 
Logo: det�	� = 2 × 1 − 1 × 0 = 2 
 
Finalmente: det�	�� = det�	 × 	 × 	 × 	 × 	� = = det�	� × det�	� × det�	� × det�	� × det�	� = 2� = 32 
Gabarito: C 
 
Questão 10 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] 
O determinante de uma matriz 3x3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1ª 
linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por 1− , o determinante será: 
a) 2x− 
b) 22x− 
c) x2− 
d) 2x 
e) 24x 
 
Resolução: 
Exercício de aplicação da propriedade 7. Relembrando: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 39 
Se multiplicarmos um fila por um número k, o determinante também é multiplicado por k. 
Primeiro multiplicamos os elementos da 1ª linha por 2. Nesse momento, o determinante é 
dobrado. Ele valia x. Agora, vale x2 . 
Depois multiplicamos os elementos da 2ª coluna por 1− . O determinante também será 
multiplicado por 1− . O determinante passa a valer x2− . 
Gabarito: C 
 
Questão 11 ANA 2009 [ESAF] 
O determinante da matriz 










++
=
cba
cbaB
24
012
 é 
 
a) acbc −+2 
b) cb −2 
c) cba ++ 
d) cba +++6 
e) 0 
 
Resolução: 
Observem que a terceira linha é uma combinaçãolinear das duas primeiras linhas. Basta 
fazer assim: 
• multiplicamos a primeira linha por 2 
• multiplicamos a segunda linha por 1 (ou seja, a segunda linha permanece intacta) 
• somamos os resultados acima, obtendo a terceira linha 
Quando uma fila é combinação linear de outras paralelas a ela, o determinante é nulo. 
Gabarito: E 
 
Questão 12 AFRFB 2012 [ESAF] 
As matrizes A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, 
ou seja: B = 1/2 A. 
A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir da 
matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira 
linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é 
igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a 
a) 6. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 40 
b) 4. 
c) 12. 
d) 10. 
e) 8. 
Resolução: � !�	� = 2 
� = 12	 → det��� = #12$
% det	�	� 
Isso porque as matrizes são de quarta ordem. Então quando multiplicamos a matriz por uma 
constante k, o determinante é multiplicado kn, onde "n" é a ordem da matriz. Continuando: 
det��� = 12% × 32 = 2 � = �& → det��� = det��� = 2 
Para obter D, multiplicamos a primeira linha de C por 2. Então seu determinante também é 
dobrado. det�'� = 2det��� = 4 
O que resulta em: det��� + det��� + det�'� = 2 + 2 + 4 = 8 
Gabarito: E 
 
2.7. Casos especiais: cálculo facilitado 
Existem dois casos em que fica mais simples calcular o determinante. Vamos a eles. 
 
Matriz diagonal ou triangular. 
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da 
diagonal principal nulos. 
Exemplos: 










−
−=
700
030
004
A 












−
−
=
1000
0100
0010
0001
B 
 
Reparem que a matriz identidade é um caso particular de matriz diagonal. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 41 
 
Uma matriz triangular é a matriz que tem todos os elementos a direita ou a esquerda da 
diagonal principal nulos. 
Exemplos: 










−
−
=
700
0140
112
C 












−−−
−
=
13171
0337
0032
0001
D 
Em ambos os casos, o cálculo do determinante é feito multiplicando-se os elementos da 
diagonal principal. 
⇒










−
−=
700
030
004
A 
84det
)7).(3.(4det
=⇒
−−=
A
A
 
⇒












−−−
−
=
13171
0337
0032
0001
D 
9det
)1.(3).3.(1det
=⇒
−−=
D
D
 
 
Então guarde isso: 
Para uma matriz diagonal ou triangular de qualquer ordem, o determinante é calculado 
multiplicando-se os elementos da diagonal principal. 
 
Matriz de Vandermonde 
A matriz de Vandermonde é quadrada e apresenta a seguinte característica: a primeira linha 
ou a primeira coluna é formada só por 1. A segunda linha ou coluna é formada por números 
quaisquer. A terceira fila é feita por quadrados dos números da segunda fila. A quarta fila 
são cubos dos números da segunda fila e assim por diante. 
Exemplos: 










=
3694
632
111
A 












=
641641
27931
8421
1252551
B 
Para calcular o determinante, multiplicamos as diferenças, duas a duas, entre os elementos 
da segunda fila (linha ou coluna). Deste jeito: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 42 
 










=
222
111
cba
cbaA 
)).().((det bcacabA −−−=⇒ 














=
32
32
32
32
1
1
1
1
ddd
ccc
bbb
aaa
B 
)).().().().().((det cdbdadbcacabB −−−−−−=⇒ 
 
Questão 13 MPU 2004 [ESAF] 
O determinante da matriz 












−−
=
6000
500
0
022
b
aaa
b
X 
Onde a e b são inteiros positivos tais que a>1 e b>1, é igual a: 
a) -60a 
b) 0 
c) 60a 
d) 20ba2 
e) a(b-60) 
 
Resolução: 
A matriz X é uma matriz triangular. Para calcular o determinante, então, basta 
multiplicarmos os elementos da diagonal principal. 
6.5)..(2det aX −= 
aX 60det −= 
Gabarito: A 
 
2.8. Detalhando um pouco mais: cálculo de qualquer determinante 
(opcional) 
A coisa mais importante a se dizer nessa seção é que ela tem um péssimo custo/benefício. A 
teoria é mais complicadinha para aplicarmos. E a chance de cair algo que vamos falar a 
seguir é mínima! 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 43 
Dificilmente os conceitos vistos nesta parte vão cair. Se tiver alguma dificuldade aqui, não 
tenha pena de pular e ir direto para Sistemas Lineares, que podem cair com uma 
probabilidade muito maior. 
 
Então por que vamos estudar isso, professor? 
 
Primeiro, porque pode cair, apesar de a chance ser muito pequena. 
Segundo, porque ajuda a nos familiarizarmos um pouco mais com determinantes. 
É importante que fique claro, então, que o que consta nesta seção tem grandes chances de 
não cair. Existe uma questão, que faremos na seguida, que é de concurso e se refere a esta 
parte da matéria, mas o exercício nos guia como resolvê-lo. De forma que não precisamos 
saber profundamente o que vamos explicar. 
 
Até aqui, já sabemos calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira 
ordem, além de alguns outros casos específicos. 
Existe uma maneira de se calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para tanto, 
temos que aprender alguns conceitos. 
 
Menor complementar 
Dada uma matriz quadrada A, o menor complementar de um elemento de A é o 
determinante que se obtém quando se extraem a linha e a coluna que contêm aquele 
elemento. 
Exemplo: 












=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A 
O determinante de A é representado assim: 
44434241
34333231
24232221
14131211
det
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A = 
Vamos fazer o menor complementar do elemento a23 (nós o destacamos no determinante). 
Nós chamamos este menor complementar de M23. Para tanto, temos que tirar a linha e a 
coluna que contêm este elemento. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 44 
 
O menor complementar, portanto, fica assim: 
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M = 
Vejam que podemos calcular o menor complementar de todos os elementos. Basta, para 
cada um deles, tirar a linha e a coluna que o contém e só. 
 
Adjunto ou Cofator 
O adjunto ou cofator deriva do menor complementar. Quando a soma da linha e da coluna 
do elemento que deu origem ao menor complementar for par, o adjunto coincide com o 
menor complementar. Se a soma da linha e da coluna do elemento for ímpar, o adjunto é o 
oposto do menor complementar (sinal negativo). 
Ou seja: 
ijij MA = se i +j for par. 
ijij MA −= se i + j for ímpar. 
Podemos representar estas duas possibilidades em uma única fórmula. 
ij
ji
ij MA
+
−= )1( 
Teorema de Laplace 
Agora que sabemos o que é um cofator (ou adjunto), podemos ver como se calcula o 
determinante de qualquer matriz quadrada, de qualquer ordem. 
A regra é essa: 
O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) 
pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 












−
−
−
=
4010
1777
0512
13021
X 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 45 
Podemos escolher qualquer linha ou coluna de X. Sempre será mais fácil quando 
escolhermos uma linha ou coluna que tenha muitos zeros. Assim teremos que fazer menos 
contas. Neste caso, uma das opções é a quarta linha. Vamos usá-la. 














−
−
−
=
4010
1777
0512
13021
X 
O determinante de X é dado assim: primeiro elemento da fila vezes o seu cofator, mais o 
segundo elemento da fila vezes o seu cofator, e assim por diante. No caso da quarta linha, 
fica assim: 
4444234342424141 ....det AaAaAaAaX +++= 
Onde Aij é o cofator (adjunto) do elemento aij. 
 
Vamos relembrar como calculamos o A41? 
Calculamos o menor complementar do elemento a41 retirando a linha e a coluna deste 
elemento. 
 
Então: 
177
051
1302
41
−
−=M 
Para achar o cofator é só fazer: 
41
14
41 )1( MA +−= 
41
2 0 13
1 5 0
7 7 1
A = − −
−
 
 
Do mesmo modo, fazemos para achar os outros cofatores. 
4444234342424141 ....det AaAaAaAaX +++= 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 46 
777
512
021
.)1.(4
177
012
1321
.)1.(0
177
052
1301
.)1).(1(
177
051
1302
.)1.(0det 8765
−
−−+−−+
−
−−+
−
−−=X
 
Veja que quando o elemento da fila for zero, o resultado já será zero, porque zero vezes 
qualquer coisa é zero. 
0.
177
051
1302
)1(
0
4141
14
41
41
=⇒
−
−−=
=
+
Aa
A
a
 
 
Este é o motivo para escolhermos a fila com o maior número de zeros possível. 
Poderíamos ter escolhido qualquer linha ou qualquer coluna, mas aquela que apresenta 
mais zeros nos deixará menos determinantes para calcular. 
O primeiro e o terceiro determinantes eu não preciso calcular porque eles estão 
multiplicados por zero. Assim: 
 
777
512
021
..4
177
052
1301
.det
−
−+
−
−=X 
Agora é só calcular dois determinantes de terceira ordem. Isto nós já sabemos fazer. � !) = �−1� × �5 + 0 − 182 − 455 − 0 − 0� + 4 × �7 + 70 + 0 − 0 + 28 − 35� � !) = 632 + 280 � !) = 912 
 
É isso: 
912
4010
1777
0512
13021
det =
−
−
−
=X 
 
Primeira pergunta: Este método serve para o determinante de qualquer matriz quadrada? 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 47 
Resposta: Sim! 
 
Segunda pergunta: Qual o problema do método? 
Resposta: A maior limitação é o trabalhão que ele dá. Na hora da prova é muito improvável 
que você tenha que usar tanta conta. Se eles pedirem o cálculo de um determinante, ou a 
ordem da matriz será no máximo três, ou estaremos diante de um caso simplificado de 
cálculo. Veja que para a ordem 4, caímos em determinantes de ordem 3, e estes nós 
sabemos calcular. O problema é que para ordem 5, por exemplo, cairemos em 
determinantes de ordem 4 e teríamos que aplicar o método de novo, situação que resultaria 
em zilhões de cálculos. Algo totalmente inviável. 
 
Terceira pergunta: Existe uma variante mais fácil de aplicar do método? Qual? 
Resposta: Sim! Nós podemos usar uma propriedade importante dos determinantes para 
“criar” zeros na fila e facilitar a aplicação do método. 
 
Vamos ver como. A propriedade que vamos usar diz assim: 
O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por 
um número qualquer. 
 
 É a propriedade 5 da nossa tabela-resumo. 
Com ela, nós podemos criar zeros e diminuir as contas. 
Vamos voltar ao nosso exemplo: 
4010
1777
0512
13021
det
−
−
−
=X 
Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira coluna inteira por -2 e somar na segunda 
coluna. Para que? Para surgir um zero. Veja: 
 
Vejam que surgiu um zero no elemento a12. 
Podemos repetir o procedimento. Agora, multiplicamos a primeira coluna por -13 e 
somamos na quarta coluna. 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 48 
 
Vejam que agora ficamos com uma fila (a primeira linha) com vários zeros. 
4010
90777
26552
0001
−
−−−
−−
 
 
Vamos agora aplica nosso método. Usaremos a primeira linha. 
Fica assim: 
11 11 12 12 13 13 14 14det . . . .X a A a A a A a A= + + + 
Acontece que: 
12 13 14 0a a a= = = 
Só vai sobrar o primeiro termo: 
11 11det .X a A= 
 
Como o primeiro termo é igual a 1, ficamos com: 
11 11 11det . 1.X a A A= = 
11det X A= 
 
Vamos ver quem é A11? Primeiro precisamos do menor complementar. 
 
11
5 5 26
7 7 90
1 0 4
M
− −
= − − −
−
 
 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 49 
O cofator é calculado assim: 
1 1
11 11 11( 1)A M M+= − = 
 
11
5 5 26
7 7 90
1 0 4
A
− −
⇒ = − − −
−
 
Portanto: 
5 5 26
det 7 7 90
1 0 4
X
− −
= − − −
−
 
Agora temos um determinante 3x3 e este nós sabemos calcular! 
 
Parece que fizemos muita coisa para chegar até aqui. Mas na verdade apenas fizemos com 
que surgissem zeros em uma determinada fila até que conseguimos “diminuir” uma ordem 
do determinante. 
Basicamente, quando uma fila tem um “1” e o restante de zeros, podemos retirar toda a 
linha e a coluna que contém o 1. Com isso o determinante vai ficar uma ordem menor. 
Apenas temos que cuidar se vai ser negativo ou não. Quando a soma da linha e da coluna 
for par, não terá um negativo na frente do determinante. 
Quando a soma da linha com a coluna for ímpar, aparece um negativo na frente do 
determinante, porque o cofator é o negativo do menor complementar neste caso. 
 Isto acontece porque, na hora que aplicamos o método, só vai sobrar o elemento diferente 
de zero multiplicado pelo seu cofator. 
 
Então, se você tiver que calcular um determinante assim: 
1 5 5 1 1
0 0 1 0 0
det 1 2 18 3 0
0 1 4 1 0
8 2 17 7 0
Y
−
= −
−
− − −
 
Veja que a segunda linha tem apenas um 1 e o restante é zero. Podemos tirar, portanto a 
segunda linha e a terceira coluna (é a coluna que contém o 1). Como a soma 2 (linha) + 3 
(coluna)= 5 é ímpar, temos que colocar um menos na frente. Assim: 
Raciocínio Lógico e Matemática Financeira 
para STN 
Prof. Vítor Menezes – Aula 02 
 
Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 50 
 
 
1 5 1 1
1 2 3 0
det
0 1 1 0
8 2 7 0
Y
−
−
= −
−
− −
 
Agora, reparem que acontece o mesmo com a quarta coluna. Temos um 1 e o restante é 
zero. Como a soma 1 + 4 = 5 é ímpar, temos que por