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Mecânica das Estruturas Revisão: José Antonio Oliveira do Nascimento Projeto Gráfico: Leandro Schmidt Nilson Magagnin Filho CONTEÚDO 2.1. FORÇAS NO PLANO .................................................................................... 02 2.1.1. Ponto Material, Força e Resultante de Duas Forças ......................... 02 2.1.2. Vetores e Operações Vetoriais .......................................................... 03 2.1.3. Resultante de Várias Forças Concorrentes ....................................... 04 2.1.4. Decomposição de uma Força em Componentes ............................... 05 2.1.5. Componentes Cartesianas da Força e Vetores Unitários .................. 06 2.1.6. Adição de Forças pela Soma das Componentes ............................... 07 2.1.7. Equilíbrio de um Ponto Material ......................................................... 08 2.1.8. Primeira Lei de Movimento de Newton .............................................. 09 2.1.9. Diagrama de Corpo Livre ................................................................... 09 2.1.10. Exercícios Resolvidos ...................................................................... 10 2.2. FORÇAS NO ESPAÇO .................................................................................. 20 2.2.1. Componentes Cartesianas de uma Força no Espaço ........................ 20 2.2.2. Força Definida por seu Módulo e Dois Pontos de sua Linha de Ação .............................................................................. 25 2.2.3. Adição de Forças Concorrentes no Espaço ....................................... 26 2.2.4. Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço ....................................... 27 2.2.5. Exercícios Resolvidos ........................................................................ 27 ESTUDO DIRIGIDO .............................................................................................. 47 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................ 48 FONTES ................................................................................................................ 67 Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 2.1. FORÇAS NO PLANO 2.1.1. Ponto Material, Força Resultante de Duas Forças Chama-se Ponto Material a uma pequena porção da matéria que ocupa apenas um ponto no espaço. A utilização do conceito de ponto material não significa restringir o estudo a pequenos corpos, mas sim que o tamanho e a forma de tais corpos não afetam a solução dos problemas de modo significativo. Como já se sabe, Força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e sentido. Uma ou mais forças atuando em um ponto material faz concluir que todas elas estão aplicadas em um só ponto no espaço, ou seja, possuem o mesmo ponto de aplicação. Quando se tem duas forças, F1 e F2, atuando em um mesmo ponto material, constata-se experimentalmente que elas podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. Essa força R é chamada resultante e pode ser obtida utilizando-se de um paralelogramo cujos lados são as forças F1 e F2, como mostrado na figura abaixo. A diagonal do paralelogramo é a resultante das duas forças, que podem ser obtidas como se segue: F2 B Força F2 atuando no Ponto Material B. ?A ? F1 Força F1 atuando no Ponto Material A. F2 F1 A R ? ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 02 1cos ? = x / F ?1x = F cos ? 1sen ? = y / F ?1y = F sen ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 R = y + (F + x) R = F cos ? + F + 2 F x + y R = F sen ? + F + 2 F F cos ? + F cos ? R = F (sen ? + cos ?) + F + 2 F F cos ? R = F + F + 2 F ? ?2 F cos ? como ? e ? são suplementares, cos ? = - cos ? , daí, ? ? ?2 2 21 2 1 2R = F + F - 2 F F cos ? 2.1.2. Vetores e Operações Vetoriais Vetores são entidades matemáticas que possuem intensidade, direção e sentido e que se somam de acordo com a lei do paralelogramo. Forças são grandezas vetoriais pois seguem, também, a definição acima. Também o são os deslocamentos, as velocidades, as acelerações e os momentos. Todas essas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores. A adição de vetores, como já se sabe, é realizada segundo a lei do paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, formado pelas forças e suas paralelas, é o vetor soma, como na figura abaixo. Observando-se o paralelogramo acima pode-se deduzir a chamada “regra do triângulo” que significa se utilizar de uma das paralelas para a determinação da soma, como abaixo. F2 F1 R ? ? ? y x A 1F ? 2F ? 1 2F + F ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 03 ou A subtração de vetores se dá pela soma do correspondente vetor oposto, que é o mesmo vetor com sentido oposto. A multiplicação de um escalar por um vetor é definida como o produto de um número n pelo vetor qualquer F ? e representada por ?n F ? . Se n é positivo, o vetor resultante mantém o mesmo sentido e a intensidade se multiplica por n. Se n é negativo, o vetor resultante tem seu sentido invertido e a sua intensidade também multiplicada por n, como na figura. Observação: - a adição de três ou mais vetores é obtida pela construção de um polígono de forças eqüipolentes, como já visto em capítulo anterior. 2.1.3. Resultante de Várias Forças Concorrentes Considere-se um ponto material A sob a ação de diversas forças coplanares, isto é, contidas no mesmo plano. Elas são concorrentes por atuarem todas no mesmo ponto. A 1F ? 2F ? 1 2F + F ? ? A 1F ? 2F ? 1 2F + F ? ? 1 2F - F ? ? 2F ? 1F ? 2F ? 1F ? F ? 1,5 F ? - 1,5 F ? 0,5 F ? - 0,5 F ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 04 Para a adição desse sistema de forças vale a regra do polígono em que se constrói o polígono de forças eqüipolentes, como abaixo. Ligando-se os pontos inicial e final do polígono obtém-se o vetor soma, que é a própria resultante do sistema de forças, R ? . A resultante R ? é a força única capaz de produzir o mesmo efeito sobre o ponto material A que as forças concorrentes originais dadas, 1F ? , 2F ? e 3F ? . 2.1.4. Decomposição de uma Força em Componentes Uma força F ? que atua sobre um ponto material pode ser substituída por duas ou mais forças que tenham o mesmo efeito sobre o ponto. Tais forças são chamadas de componentes de F ? e o processo de substituição de F ? é chamado de decomposição de F ? em componentes. Para cada força F ? existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes, mas as decomposições mais importantes são aquelas que conduzem a duas componentes. Existem dois casos importantes: 1º Caso: Uma das componentes da força é conhecida - a segunda componente é obtida pela regra do triângulo. 1F ? 2F ? 3F ? A 1F ? 3F ? 2F ? A R ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 05 F ? e 1F ? ou 2F ? são conhecidos 2º Caso: A linha de ação de cada componente é conhecida - as componentes são obtidas pela lei do paralelogramo. 2.1.5. Componentes Cartesianas da Força e Vetores Unitários Em muitos casos é desejável decompor a força em duas componentes normais uma à outra. O paralelogramo resultante nestes casos é um retângulo e as componentes são denominadascomponentes cartesianas. As figuras abaixo ilustram decomposições segundo os eixos x e y. As componentes escalares de F ? , que são a intensidade de F ? segundo as direções x e y são dadas por: A 1F ? 2F ? F ? 1F ? 2F ? F ? A Linha de Ação de 2F ? Linha de Ação de 1F ? F ? O y x yF ? xF ? ? F ? O y x yF ? xF ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 06 ?xF = F cos ? ?yF = F sen ? As componentes cartesianas de uma força F ? podem ser expressas em função de vetores unitários segundo as direções de suas componentes. Para tal definem-se os vetores unitários ? i e ? j , respectivamente nas direções x e y. As componentes cartesianas xF ? e yF ? podem, então, ser obtidas pelo produto das componentes escalares Fx e Fy pelos vetores de intensidade unitária i e j, como indicados a seguir. ?x xF = F i ? ? ?y yF = F j ? ? ? ?x yF = F i + F j ? ? ? 2.1.6. Adição de Forças pela Soma das Componentes Quando se adicionam três ou mais forças não se pode obter uma solução trigonométrica da regra do polígono, como no caso de duas forças. A solução analítica recomendada é obtida pela decomposição de cada uma das forças em suas componentes cartesianas e a soma das respectivas componentes em cada direção, como na figura mostrada abaixo. y xO j ? i ? Vetores de Intensidade Unitária y xO j ? i ? F ? yF ? xF ? ? y x 1F ? 2F ? 3F ? xR ? R ? yR ? 1 yF ? 1 xF ? 3 yF ? 3 xF ? 2 yF ? 2 xF ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 07 x 1 x 2 x 3 xR = F + F + F y 1 y 2 y 3 yR = F + F + F ? n x i x i = 1 R = F ? n y i y i = 1 R = F Rx e Ry são as componentes escalares de R ? , são obtidas pela adição algébrica das componentes escalares das forças dadas. Vetorialmente a resultante R ? é definida pela relação: 1 2 3R = F + F + F ? ? ? ? que, expressa em componentes cartesianas adquiri a forma: x y 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 3 yR i + R j = (F + F + F ) i + (F + F + F ) j ? ? ? ? de onde se obtêm as relações á indicadas acima: x 1 x 2 x 3 xR = F + F + F y 1 y 2 y 3 yR = F + F + F 2.1.7. Equilíbrio de um Ponto Material O equilíbrio de um ponto material se dará quando o efeito global das forças que atuam sobre ele for nulo. Sabendo que o efeito de um sistema de forças pode ser substituído pelo da sua resultante pode-se afirmar, então, que: “quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto está em equilíbrio”. Para exprimir algebricamente as condições necessárias para o equilíbrio de um ponto material pode-se escrever: ?R = F = 0 ? ? Utilizando-se das componentes cartesianas tem-se: ? x y(F i + F j) = 0 ? ? ou ? ? ? ?? ?x yF i + F j = 0 ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 08 Logo, as condições de equilíbrio de um ponto material sujeito a forças no plano xy podem ser expressas por: ? n x i x i = 1 R = F = 0 ? n y i y i = 1 R = F = 0 Uma série de problemas de engenharia pode ser resolvida utilizando-se do conceito de ponto material e de suas condições de equilíbrio. Isto se faz escolhendo-se um ponto material conveniente. Uma das aplicações práticas se dá no cálculo dos esforços em treliças. 2.1.8. Primeira Lei do Movimento de Newton A primeira lei de Newton é enunciada como abaixo. “Se a força resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso, se assim o estava originalmente ou se move ao longo de uma reta com velocidade constante, se assim o fazia originalmente.” Dessa lei e da definição das condições de equilíbrio de um ponto material conclui-se que o ponto material em equilíbrio está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme. 2.1.9. Diagrama de Corpo Livre Diagrama de corpo livre é uma figura que esquematiza, em separado da situação física real, todas as forças que atuam no ponto material, de tal forma a propiciar melhor a compreensão e visualização do problema em questão. Diagrama Espacial Diagrama do Corpo Livre Triângulo de Forças C B A50º 30º ABT ACT A 30º50º 736 N ABT ACT 736 N 40º 60º 80º Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 09 2.1.10. Exercícios Resolvidos 01. As forças P ? e Q ? abaixo agem sobre o parafuso como indicado. Determinar sua resultante. Graficamente pode-se construir o paralelogramo de lados iguais a P ? e Q ? , em escala, e se determinar a resultante. Também pode-se usar a regra do triângulo. R = 98 N ? = 35º Paralelogramo Triângulo Trigonometricamente sabe-se que, da regra do triângulo, resulta: ? ? ?2 2 2R = P + Q - 2 P Q cos ? com ? = 155° ? ? ?2 2 2R = 40 + 60 - 2 40 60 cos 155° R = 97,73 N Também pode-se aplicar a Lei dos Senos como se segue: sen ? sen ? = Q R ? = ? - 20° 20º 25º A Q = 60N ? P = 40N ? P ? R ? Q ? A ? R ? Q = 60N ? A C B P = 40N ? ? 25º ? = 155º ? = 20º R ? Q ? A ? P ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 10 ?? ?sen ? sen 155° 60 sen 155° = sen ? = ? = 15° 60 97,73 97,73 logo, ?? = ? + 20° ? = 35° Trigonometricamente pode-se, também, construir o triângulo retângulo BCD como abaixo. daí, ? ? ?CDsen 25° = CD = 60 sen 25° CD = 25,36 N Q ? ? ?BDcos 25° = BD = 60 cos 25° BD = 54,38 N Q ?25,36tg ? = ? = 15° 94,38 ? ?25,36 25,36sen ? = R = R = 97,7N R sen 15° ? ?? = ? + 20° ? = 15° + 20° ? = 35° 02. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores como indica a figura abaixo. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 5000 N e tem a direção do eixo da barcaça, determine: (a) a força de tração em cada cabo de rebocador, sabendo que ? = 45° ; (b) o valor de ? para que a tração no cabo 2 seja mínima. Q = 60N ? R B C A D 25,36 54,38 40 94,38 20º 25º ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 11 (a) Graficamente pode-se usar a lei do paralelogramo com a resultante igual a 5000 N. Assim, T1 = 3700 N T2 = 2600 N Trigonometricamente pode-se usar a lei dos senos: 1 2T T R = = sen 45° sen 30° sen 105° ? ? ? ?1 1 1 sen 45° sen 45°T = R T = 5000 T = 3660 N sen 105° sen 105° ? ? ? ?2 2 2 sen 30° sen 30°T = R T = 5000 T = 2588 N sen 105° sen 105° (b) Valor de ? para T2 mínimo. Utilizando a regra do triângulo, como demonstra a figura abaixo com as possíveis posições de T2, é fácil perceber que o valor de T2 mínimo ocorre para T1 e T2 ortogonais. B A C 5000N ? = 45º T1 T2 30º ? A C B 1 2 ? 30º Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 12 ? ? ?2 2 2 Tsen 30° = T = 5000 sen 30° T = 2500 N 5000 ? ? ?1 1 1 Tcos 30° = T = 5000 cos 30° T = 4330 N 5000 ?? + 30° + 90° = 180° ? = 60° 03. Um homem puxa, com força de 300 N, uma corda fixada a uma construção, como mostra a figura. Quais são as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A? No ponto A tem-se o esquema abaixo. Assim, ? ?xF = F cos ? = 300 cos ? ? ?yF = - F sen ? = - 300 sen ? x y ? ? A xF yF F = 300N 8m 6 m A B ? B ? 5000 N T1 30º Mecânicadas Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 13 Da geometria vem: ? 2 2 2AB = 8 + 6 AB = 10 m 6sen ? = = 0,6 10 8cos ? = = 0,8 10 Daí, ? ?x xF = 300 0,8 F = 240 N ? ?y yF = -300 0,6 F = - 180 N Pode-se escrever, então, ? ? ? F = 240 i - 180 j . 04. A força F = (3,5 kN) i + (7,5 kN) j ? ? ? é aplicada a um parafuso no ponto A. Determine a intensidade da força resultante e o ângulo que ela forma com a horizontal. Sendo a força ? F genericamente indicada como na figura abaixo pode-se calcular ? por y x F tg ? = F . Daí, sendo xF = 3,5 kN e yF = 7,5 kN tem-se: ? ?? ?? ?? ? 7,5 7,5tg ? = ? = arc tg ? = 65° 3,5 3,5 A força resultante pode ser calculada como 2 2 2x yF = F + F . ?2 2 2F = 3,5 + 7,5 F = 8,28 kN ? y xi ? j ? F ?y yF = F j x xF = F i Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 14 05. Quatro forças atuam no parafuso A da figura. Determine a resultante dessas forças. As componentes segundo x e y estão indicadas abaixo: A resultante é dada por ? ? ? x yR = R i + R j , sendo ?x i xR = F e ?y i yR = F . Calculando-se as componentes Rx e Ry tem-se: ? ? ? ? ? ? ?x i x 1 x 2 x 3 x 4 x x 1 2 4 x x R = F = F + F + F + F R = F cos 30° - F sen 20° + 0 + F cos15° R = 150 cos 30° - 80 sen 20° + 100 cos 15° R = 199,13 N ? ? ? ? ? ? ?y i y 1 y 2 y 3 y 4 y y 1 2 3 4 y y R = F = F + F + F + F R = F sen 30° + F cos 20° - F - F sen 15° R = 150 sen 30° + 80 cos 20° - 110 - 100 sen 15° R = 14,29 N ?1(F cos 30 ) i ? ?2-(F sen 20 ) i ? ?4(F cos 15 ) i ? 3-F j ? ?1(F sen 30 )j ? ?2(F cos 20 )j ? ?4(F sen 15 )j ? y xA 1F = 150N2F = 80N 4F = 100N 3F = 110N 30º 15º 20º Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 15 Pode-se escrever, então, ? ? ? R = (199,13 N) i + (14,29 N) j , que já está representada abaixo. A inclinação ? pode ser calculada por: ? ?? ? ?? ?? ? y x R 14,29 14,29tg ? = tg ? = ? = arc tg ? = 4,1° R 199,13 199,13 06. Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 17,5 kN é suportado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o automóvel seja centralizado na posição desejada. O ângulo entre o cabo e a vertical é de 2º, enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal é de 30º. Qual é a tração nessa corda? Tomando o ponto A como corpo livre e desenhando o respectivo diagrama de corpo livre tem-se: ? Ry R = (14,3N)j ? xR = (199,1 N) i ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 16 TAB? Tração em AB TAC? Tração em AC As três forças que agem sobre o ponto A estão em equilíbrio e podem compor o triângulo de forças como abaixo. Aplicando a lei dos senos tem-se: ACAB TT 17,5 = = sen 120° sen 2° sen 58° logo, ?AB sen 120°T = 17,5 sen 58° e ?AC sen 2°T = 17,5 sen 58° . Daí, ABT = 17,87 kN e ACT = 0,72 kN . 07. Determinar a intensidade, a direção e o sentido da menor força ? F que manterá a caixa em equilíbrio. Observe que a força exercida pelos roletes sobre a caixa é perpendicular ao plano inclinado. 30 kg 15º ? F 2º 58º 120º 17,5 kN TAB TAC 30º 2º A TAC TAB 17,50 kN Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 17 O diagrama de corpo livre do problema é o mostrado abaixo, com três forças atuando sobre a caixa. A força peso vale ? ? 2P = m g = 30 Kgf 9,81 m/s = 294 N . A linha 1-1 representa a direção conhecida de ? Q . Para obter o valor mínimo da força ? F sabe-se que sua direção é a perpendicular a ? Q . Do triângulo de forças obtém-se: ? ?Fsen 15° = F = 294 sen 15° 294 F = 76,1 N e ? = 15° 08. Como parte do projeto de um navio veleiro deseja-se determinar a força de arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal por meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetros indicam que, para uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200 N e de 300 N no cabo AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC. 15º ? F 294 N Q 1 1 ? F P = (30 kg) · (9,81 m/s2) = 294 N 15º Q Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 18 As direções dos cabos AB e AC são dadas pelos ângulos ? e ? . ? ?2,1tg ? = = 1,75 ? = arc tg 1,75 ? = 60,26° 1,2 ? ?0,45tg ? = = 0,375 ? = arc tg 0,375 ? = 20,56° 1,2 O diagrama de corpo livre sendo A o ponto material será, sendo ? AF a força de arrasto. Condição de Equilíbrio: ? ? ? ? ? ? AB AC AE AR = 0 T + T + T + F = 0 Decompondo as forças segundo as direções x e y obtém-se: ? ?AB AB T = - (200 N) sen 60,26° i + (200 N) cos 60,26° j T = - (173,7 N) i + (99,21 N) j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AC AC AC AC AC AC T = T sen 20,56° i + T cos 20,56° j T = 0,35 T i + 0,94 T j ? ? ? ? ? ? -(300 N)j ? x y 60,26º 20,56º ?-(200 N) sen 60,26º i ? ?(200 N) cos 60,26º j ? ?ACT cos 20,56º j ? ?ACT sen 20,56º i ? AF i ? TAC TAB = 200 N ? = 60,26º ? = 20,56º FA TAE = 300 N Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 19 ? ? AET = - (300 N) j ? ? A AF = F i Aplicando a condição de equilíbrio tem-se: ? ? ? ? AC AC A AC A AC (- 173,7) i + (99,21) j + (0,35 T ) i + (0,94 T ) j - (300) j + F i = 0 (- 173,7 + 0,35 T + F ) i + (99,21 + 0,94 T - 300) j = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? que corresponde a: ?? i x AC AF = 0 = - 173,3 + 0,35 T + F = 0 ?? i y ACF = 0 = 99,21 + 0,94 T - 300 = 0 logo, ? ?AC AC0,94 T = 300 - 99,21 T = 213,61 N daí, ? ?A A- 173,7 + 0,35 213,61 + F = 0 F = 98,94 N 2.2. FORÇAS NO ESPAÇO 2.2.1. Componentes Cartesianas da Força no Espaço Até aqui os conceitos introduzidos trataram somente de problemas envolvendo forças em duas dimensões. A partir daqui os conceitos envolverão forças nas três dimensões do espaço. TAE = 300 N TAB = 200 N TAC = 214,5 N FD = 98,37 N ? = 60,26º ? = 20,56º Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 20 Para tal, considere-se uma força F ? aplicada na origem “O” de um sistema de eixos cartesianos x, y e z, como abaixo. O plano vertical OABC contém a força F ? e o eixo vertical y. Sua orientação é definida pelo ângulo ? que forma com o plano xy, enquanto que a orientação de F ? se define pelo ângulo y? que F ? forma com o eixo y. A força F ? pode ser decomposta, neste plano, em uma componente vertical yF ? e um horizontal hF ? , como abaixo. Tais componentes são dadas por: ?y yF = F cos ? ?h yF = F sen ? Mas a componente horizontal hF ? também pode ser decomposta, estando no plano xz, segundo estes dois eixos, como abaixo. y ?y x z A B C O F ? hF ? yF ? y ?y x z ? A B C O F ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 21 Tais componentes são dadas por: ? ?? ?x h yF = F cos = F sen ? cos ? ? ?? ?z h yF = F sen = F sen ? sen Tem-se, assim, a força F ? decomposta em suas três componentes xF ? , yF ? e zF ? , orientadas segundo os três eixos coordenados. Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD das figuras acima, obtém-se: 2 2 2 y hF = F + F 2 22 h x zF = F + F o que conduz a: 2 2 2 2 x y zF = F + F + F ou a 2 2 2x y zF = F + F + F A relação existente entre a força F ? e as três componentes xF ? , yF ? e zF ? pode ser visualizada melhor nas figuras abaixo, onde os triângulos OAB, OAD e OAE são retângulos. y x z D B C O E ? xF ? hF ? yF ? zF ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 22 Da observação dos triângulos retângulos acima e denominando de x? , y? e z? os ângulos que F ? forma com x, y e z, respectivamente, tem-se: ?x xF = F cos ? ?y yF = F cos ? ?z zF = F cos ? Os ângulos x? , y? e z? definem a direção da força F ? . Os co-senos dos ângulos x? , y? e z? são conhecidos como os co-senos diretores da força F ? . A expressão que relaciona a força F ? com suas componentes conduz a uma relação entre seus respectivos co-senos diretores. Assim, ? ? ? ? 2 2 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 2 2 2 2 x y z F = F + F + F F = F cos ? + F cos ? + F cos ? F = F (cos ? + cos ? + cos ? ) 2 2 2 x y zcos ? + cos ? + cos ? = 1 Introduzindo agora os vetores unitários ? i , ? j , ? k , orientados segundo os eixos x, y e z, como abaixo, pode-se exprimir F ? segundo tais vetores. x y z F = F i + F j + F k ? ? ? ? x y z j ? i ? k ? yF ? xF ? zF ? F ? ?x D B CE A O x z y yF ? xF ? zF ? F ??y D B CE A O x z y yF ? xF ? zF ? F ? ?z D B CE A O x z y Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 23 sendo ?x xF = F cos ? , ?y yF = F cos ? e ?z zF = F cos ? . A expressão acima também pode ser escrita sob a forma ? ? ?x y z F = F cos ? i + F cos ? j + F cos ? k ? ? ? ? ou ? x y z F = F (cos ? i + cos ? j + cos ? k) ? ? ? ? que mostra que a força F ? pode ser expressa pelo produto escalar F pelo vetor ? ? dado por: x y z ? = cos ? i + cos ? j + cos ? k ? ? ? ? sendo ? ? um vetor unitário de mesma direção e sentido que F ? , como na figura abaixo. Sendo x x? = cos ? , y y? = cos ? e z z? = cos ? , pode-se escrever ? ? como: x y z ? = ? i + ? j + ? k ? ? ? ? e, obviamente 2 2 2 x y z? + ? + ? = 1 y x z yF j ? xF i ? zF k ? ?F = F ? ? ? xcos ? i ? ? ? (Magnitude = 1) zcos ? k ? ycos ? j ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 24 Quando se conhecerem Fx, Fy e Fz de uma força F ? , o módulo da força é de fácil obtenção, como já foi visto. Os co-senos diretores podem ser encontrados por: x x Fcos ? = F y y F cos ? = F z z Fcos ? = F o que conduz à relação yx z x y z cos ?cos ? cos ? 1 = = = F F F F 2.2.2. Força Definida Por Seu Módulo e Dois Pontos de Sua Linha de Ação É usual, também, se definir a direção de uma força F ? pelas coordenadas de dois pontos pertencentes à sua linha de ação, por exemplo M(x1, y1, z1) e N(x2, y2, z2), como na figura abaixo. O vetor MN ???? tem o mesmo sentido de F ? e pode ser representado, de acordo com a figura, por: x y z MN = d i + d j + d k ???? ? ? ? O vetor unitário ? pode ser obtido por: x z y O M (x1,y1,z1) N (x2,y2,z2) dy = y2 – y1 dx = x2 – x1 dz = z2 – z1 < 0 ? ? F ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 25 ? x y z MN 1? = = (d i + d j + d k) MN d ???? ? ? ? e F ? pode ser escrita como: ? ? x y z FF = F ? = (d i + d j + d k) d ? ? ? ? ? . Daí, as componentes de F ? podem ser escritas como: ? xx dF = F d ? yy d F = F d ? zz dF = F d As componentes do vetor MN ???? e a distância “d”, de M a N podem ser escritas como: x 2 1d = x - x y 2 1d = y - y z 2 1d = z - z 2 2 2 x y zd = d + d + d e os co-senos diretores serão, então, dados por: yx z x y z cos ?cos ? cos ? 1 = = = d d d d 2.2.3. Adição de Forças Concorrentes no Espaço A resultante R ? de duas ou mais forças concorrentes no espaço pode ser obtida, analogamente ao caso plano, como a soma de suas componentes cartesianas. Os métodos gráficos e trigonométricos não são práticos para forças espaciais. Assim, pode-se escrever a resultante como: ?R = F ? ? ou ?x y z x y z R i + R j + R k = (F i + F j +F k) ? ? ? ? ? ? de onde se depreende que: Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 26 ? n x i x i = 1 R = F ? n y i y i = 1 R = F ? n z i z i = 1 R = F sendo 2 2 2 x y zR = R + R + R e os co-senos diretores x x Rcos ? = R y y R cos ? = R z z Rcos ? = R 2.2.4. Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço A condição de equilíbrio para um ponto material sujeito a forças espaciais é a mesma que no caso plano. Assim, ?R = F = 0 ? ? ou ? n i x i=1 F = 0 ? n i y i=1 F = 0 ? n i z i=1 F = 0 2.2.5. Exercícios Resolvidos 01. O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar: (a) as componentes Fx, Fy e Fz da força que atua sobre o parafuso; (b) os ângulos x? , y? e z? co-senos diretores da força. Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 27 (a) Componente da Força: a linha de ação da força que atua sobre o parafuso passa pelos pontos A e B e está orientada de A para B. As componentes do vetor AB ???? , que tem a mesma direção da força, são: ?x B A xd = x - x = 0 - 40 d = - 40 m ?y B A yd = y - y = 80 - 0 d = + 80 m ?z B A zd = z - z = 0 + 30 d = + 30 m a distância AB é: ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AB = d = d + d + d AB = d = (- 40) + 80 + 30 d = 94,34 m Em função dos vetores ? i , ? j , ? k unitários pode-se escrever: A B 40 m 30 m 80 m j ? i ? k ? x y z F ? ? ? A B 40 m 30 m 80 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 28 AB = (- 40m) i + (80 m) j + (30 m) k ???? ? ? ? O vetor ? ? é dado por AB? = AB ????? e a força F ? por: ? ?AB 2500 NF = F ? = F = AB AB 94,34 m ????? ? ???? o que leva a: ? ?? ? ? 2500 NF = - (40 m) i + (80 m) j + (30 m ) k 94,34 m F = - (1060 N) i + (2120 N) j + (795 N) k ? ? ? ? ? ? ? ? cujas componentes são: xF = - 1060 N yF = 2120 N zF = 795 N (b) Direção da Força: x x F - 1060cos ? = = = - 0,424 F 2500 y y F 2120cos ? = = = 0,848 F 2500 z z F 795cos ? = = = 0,318 F 2500 x? = 115,09° y? = 32,00° z? = 71,46° A B x y z x? z? y? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 29 02. Uma placa de concreto pré-moldado é temporariamente suspensa pelos cabos da figura. Conhecendo as trações de 4200 N no cabo AB, e 6000 N no cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas pelos cabos AB e AC na estaca em A. A força aplicada pelos cabos AB e AC será decomposta nas direções x, y e z com origem na parte inferior da placa, como indica a figura. Cabo AB: ?x B A xd = x - x = 0 - 4,8 d = - 4,8 m ?y B A yd = y - y = 2,4 - 0 d = 2,4 m ?z B A zd = z - z = 0 - (- 3,3) d = 3,3m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AB = d = d + d + d AB = d = (- 4,8) + 2,4 + 3,3 AB = 6,3 m j ? k ? y z x 2,40 m 4,80m 4,80 m i ? 3,30 m B C A AB? ? AC? ? AB ABT = (4200 N) ? ? ? AC ACT = (16000 N) ? ? ? 8,10 m 3,30 m 4,80 m 2,40 m A B C D Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 30 Cabo AC: ?x C A xd = x - x = 0 - 4,8 d = - 4,8 m ?y C A yd = y - y = 2,4 - 0 d = 2,4 m ?z C A zd = z - z = - 8,1 - (- 3,3) d = - 4,8 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AC = d = d + d + d AC = d = (- 4,8) + 2,4 + (- 4,8) AC = 7,2 m Logo, AB = - (4,8 m) i + (2,4 m) j + (3,3 m) k ???? ? ? ? AC = - (4,8 m) i + (2,4 m) j - (4,8 m) k ???? ? ? ? Tração no Cabo AB: ? ?AB AB AB AB ABT = T ? = T AB ????? ? ? ?? ? ? ?AB AB 4200 N 4200 NT = AB = - (4,8 m) i + (2,4 m) j + (3,3 m) k 6,3 m 6,3m T = - (3200 N) i + (1600 N) j + (2200 N) k ? ???? ? ? ? ? ? ? ? Tração no Cabo AC: ? ?AC AC AC AC ACT = T ? = T AC ????? ? ? ?? ? ? ?AC AC 6000 N 6000 NT = AC = - (4,8 m) i + (2,4 m) j - (4,8 m) k 7,2 m 7,2 m T = - (4000 N) i + (2000 N) j - (4000 N) k ? ???? ? ? ? ? ? ? ? Resultante: AB ACR = T + T R = (- 3200 - 4000) i + (1600 + 2000) j + (2200 - 4000) k R = - (7200 N) i + (3600 N) j - (1800 N) k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 31 2 2 2 x y z 2 2 2 R = R + R + R R = (- 7200) + (3600) + (- 1800) R = 8248,64 N R = - (7200 N) i + (3600 N) j - (1800 N) k ? ? ? ? R = 8248,64 N Co-senos Diretores: ? ?? ?? ?? ? x x x x R - 7200 N - 7200 Ncos ? = = ? = arc cos ? = 150,8° R 8248,64 N 8248,64 N ? ?? ?? ?? ? y y y y R 3600 N 3600 Ncos ? = = ? = arc cos ? = 64,1° R 8248,64 N 8248,64 N ? ?? ?? ?? ? z z z z R - 1800 N - 1800 Ncos ? = = ? = arc cos ? = 102,6° R 8248,64 N 8248,64 N x? = 150,8° y? = 64,1° z? = 102,6° 03. Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC, amarrados ao topo de uma parede vertical, como mostra a figura. Uma força H ? horizontal e perpendicular à parede, mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a intensidade de H ? e a tração em cada cabo. 12 m 10 m 8 m B A C 1,2 m 2 m 200 kg H ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 32 Diagrama de Corpo Livre: o ponto material A está sujeito a quatro forças, das quais três são desconhecidas. ? ? ?2P = m g = 200 kg 9,81 m/s P =1962 N Cabo AB: ?x B A xd = x - x = 0 - 1,2 d = - 1,2 m ?y B A yd = y - y = 12 - 2 d = 10 m ?z B A zd = z - z = 8 - 0 d = 8 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AB = d = d + d + d AB = d = (- 1,2) + 10 + 8 AB = 12,86 m AB = - (1,2 m) i + (10 m) j + (8 m) k ???? ? ? ? Cabo AC: ?x C A xd = x - x = 0 - 1,2 d = - 1,2 m ?y C A yd = y - y = 12 - 2 d = 10 m ?z B A zd = z - z = - 10 - 0 d = - 10 m j ? k ? i ? B H ? 12 m 10 m 8 m C 1,2 m 2 m y z x P ? AB? ? AC? ? ACT ? ABT ? O A Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 33 ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AC = d = d + d + d AC = d = (- 1,2) + 10 + (- 10) AC = 14,19 m AC = - (1,2 m) i + (10 m) j - (10 m) k ???? ? ? ? Tração no Cabo AB: AB AB AB - (1,2 m) i + (10 m) j + (8 m) k? = = AB 12,86 m ? = - 0,0933 i + 0,778 j + 0,622 k ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?AB AB AB AB AB AB T = T ? = - 0,0933 T i + 0,778 T j + 0,622 T k ? ? ? ? ? Tração no Cabo AC: AC AC AC - (1,2 m) i + (10 m) j - (10 m) k? = = AC 14,19 m ? = - 0,0846 i + 0,705 j - 0,705 k ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?AC AC AC AC AC AC T = T ? = - 0,0846 T i + 0,705 T j - 0,705 T k ? ? ? ? ? Forças H e P: ?H = H i ? ? P = - (1962 N) j ? ? Equilíbrio do Ponto Material A: R = 0 ? ou AC ABT + T + P + H = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AC AB AC AB AC AB (- 0,0846 T - 0,0933 T + H) i + (0,705 T + 0,778 T - 1962) j + + (- 0,705 T + 0,622 T ) k = 0 ? ? ? ou: Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 34 ? ? ?? i x AB ACF = 0 H - 0,0933 T - 0,0846 T = 0 ? ? ?? i y AB ACF = 0 0,778 T + 0,705 T = 1962 ? ? ?? i z AB ACF = 0 0,622 T - 0,705 T = 0 substituição: ? ?AC AB0,705 T = 0,622 T logo, ? ? ? ? ?AB AB AB AB0,778 T + 0,622 T = 1962 1,4 T = 1962 T = 1401,43 N daí, ? ? ?AC0,705 T = 0,622 1401,43 T = 1236,44 N e ? ? ?H - 0,0933 1401,43 - 0,0846 1236,44 = 0 H = 235,36 N H = 235,36 N ABT = 1401,43 N ACT = 1236,44 N 04. Vários cabos de sustentação estão atados ao topo da torre abaixo no ponto A. A tração em Ab é de 26 kN e a atuante em AC é de 17,5 kN. Determinar a resultante das duas forças exercidas por esses cabos em A. Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 35 Diagrama de Corpo Livre: Cabo AB: x B Ad = x - x = 8 - 0 = 8 m y B Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m z B Ad = z - z = 6 - 0 = 6 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AB = d + d + d AB = 8 + (- 24) +6 AB = 26 m AB = (8 m) i - (24 m) j + (6 m) k ???? ? ? ? A TAB TAC y 18 m x z 8 m 6 m 12 m 8 m 24 m A B D C Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 36 Cabo AC: x C Ad = x - x = 8 - 0 = 8 m y C Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m z C Ad = z - z = - 12 - 0 = - 12 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AC = d + d + d AC = 8 + (- 24) + (- 12) AC = 28 m AB = (8 m) i - (24 m) j - (12 m) k ???? ? ? ? Tração em AB: ?AB ABT = T ? ? ? AB? = AB ????? ?AB AB ABT = T AB ????? ? ?? ?AB AB 26 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (6 m) k 26 m T = (8 kN) i + (- 24 kN) j + (6 kN) k ? ? ? ? ? ? ? ? Tração em AC: ?AC ACT = T ? ? ? AC? = AC ????? ?AC AC ACT = T AC ????? ? ?? ?AC AC 17,5 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (- 12 m) k 28 m T = (5 kN) i + (- 15 kN) j + (- 7,5 kN) k ? ? ? ? ? ? ? ? Resultante: ?R = F ? ? ? ? ?x y z i x i y i z x y z x y z R i + R j + R k = (F ) i + (F ) j + (F ) k R i + R j + R k = 8 kN i - 24 kN j + 6 kN k + 5 kN i - 15 kN j - 7,5 kN k R i + R j + R k = (13 kN) i - (39 kN) j - (1,5 kN) k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 37 xR = 13 kN yR = - 39 kN zR = - 1,5 kN 2 ? 2 2 x y z 2 2 2 R = R + R + R R = 13 + (- 39) + (- 1,5) R = 41,14 kN 05. Na mesma torre do problema 4, sabendo-se agora que a tensão em AC é de 35 kN, determine os valores requeridos para as tensões em AB e AD para que a resultante das três forças aplicadas em A seja vertical. Diagrama de Corpo Livre: Os vetores correspondentes aos cabos AB e AC já foram determinados e são os mesmos. Cabo AD: x D Ad = x - x = - 18 - 0 = - 18 m y D Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m z D Ad = z - z = 0 - 0 = 0 ? 2 2 2 x y z 2 2 AD = d + d + d AD = (- 18) + (- 24) AD = 30 m AB = (- 18 m) i - (24 m) j ???? ? ? Tração em AD: ?AD ADT = T ? ? ? AD? = AD ????? ?AD AD ADT = T AD ????? A TACTAD TAB Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 38 ? ?? ? ? ? AD AD AC AD AD TT = (- 18 m) i + (- 24 m) j 30 m T = - 0,6 T i - 0,8 T j ? ? ? ? ? ? Tração em AC: ?AC ACT = T ? ? ? AC? = AC ????? ?AC ACACT = T AC ????? ? ?? ?AC AC 35 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (- 12 m) k 28 m T = (10 kN) i + (- 30 kN) j + (- 15 kN) k ? ? ? ? ? ? ? ? Tração em AB: ?AB ABT = T ? ? ? AB? = AB ????? ?AB AB ABT = T AB ????? ? ?? ? ? ? ? AB AB AB AB AB AB TT = (8 m) i + (- 24 m) j + (6 m) k 26 m T = 0,31 T i - 0,93 T j + 0,23 T k ? ? ? ? ? ? ? ? Equilíbrio do Ponto Material A: Condição: R vertical, ou seja, yR = R j ? ? ? n i AB AC AD i = 1 R = F = T + T + T ? ? ? ? ? ? ?y AB AB AB AD AD R j = 0,31 T i - 0,93 T j + 0,23 T k + 10 kN i - 30 kN j - 15 kN k - 0,6 T i - 0,8 T j ? ? ? ? ? ? ? ? ? Daí, ? ?? ? ? ?? ? ?? AB AD AB AD y AB 0,31 T + 10 - 0,6 T = 0 - 0,93 T - 30 - 0,8 T = R 0,23 T - 15 = 0 Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 39 ? ?AB AB0,23 T = 15 T = 65,22 kN Levando à primeira equação, ? ? ? ? ?AD AD AD0,31 65,22 + 10 - 0,6 T = 0 0,6 T = 30,22 T = 50,37 kN Logo, ? ? y- 0,93 65,22 - 30 - 0,8 50,37 = R yR = - 130 kN (sentido oposto a y para o equilíbrio) Logo, yR = R i = 130 kN j ? ? 06. Determinar as forças nos cabos de sustentação da torre abaixo quando atuam uma força horizontal em A na direção x e outra também horizontal em B na direção x de valores 1,2 kN e 2,4 kN respectivamente. 7,5 m 7,5 m 10 m 10 m 10 m10 m x z y B A C D F E O Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 40 Considerações Iniciais: Quando atuar a força horizontal em A, AH i = 1,2 kN ? , os cabos AD e AE não serão solicitados, pois estarão sujeitos a compressão. Neste caso os cabos AC e AF funcionarão a tração. Quando atuar a força horizontal em B, BH i = 2,4 kN ? , os cabos BD e BE não serão solicitados, pois estarão sujeitos a compressão. Neste caso os cabos BC e BF funcionarão a tração. Diagrama de Corpo Livre – Ponto A A força TA surge como reação no ponto A que equilibra as componentes verticais de TAC e TAF. Cabo AC: x C Ad = x - x = - 10 - 0 = - 10 m y C Ad = y - y = 0 - 15 = - 15 m z C Ad = z - z = 10 - 0 = 10 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AC = d + d + d AC = (- 10) + (- 15) + (10) AC = 20,62 m AC = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (10 m) k ???? ? ? ? Cabo AF: x F Ad = x - x = - 10 - 0 = - 10 m y F Ad = y - y = 0 - 15 = - 15 m z F Ad = z - z = - 10 - 0 = - 10 m TA HA TAC TAF A Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 41 ? 2 2 2 x y z 2 2 2 AF = d + d + d AF = (- 10) + (- 15) + (- 10) AF = 20,62 m AF = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (- 10 m) k ???? ? ? ? Tração AC: ?AC ACT = T ? ? ? AC? = AC ????? ?AC AC ACT = T AC ????? ? ?? ? ? ? ? AC AC AC AC AC AC TT = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (10 m) k 20,62 m T = (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (0,49 T ) k ? ? ? ? ? ? ? ? Tração AF: ?AF AFT = T ? ? ? AF? = AF ????? ?AF AF AFT = T AF ????? ? ?? ? ? ? ? AF AF AF AF AF AF TT = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (- 10 m) k 20,62 m T = (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (- 0,49 T ) k ? ? ? ? ? ? ? ? Força HA: ?A AH = H i H = (1,2 kN) i ? ? ? Força TA: A A T = T j ? ? Equilíbrio do Ponto A: ? n i A A AC AF i = 1 R = F = T + H + T + T = 0 ? ? ? ? ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 42 ? ? ? ? ? ? A AF AF AF AC AC AC T j + (1,2 KN) i + (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (- 0,49 T ) k + + (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (0,49 T ) k = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? AF AC A AF AC AF AC (1,2 - 0,49 T - 0,49 T ) i + (T - 0,73 T - 0,73 T ) j + + (- 0,49 T + 0,49 T ) k = 0 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? AF AC AF AC A AF AC 0,49 T + 0,49 T = 1,2 - 0,73 T - 0,73 T + T = 0 - 0,49 T + 0,49 T = 0 Da terceira equação, ? ? ?AC AF AC AF0,49 T = 0,49 T T = T Levando à primeira equação, ? ?AF AF0,49 T + 0,49 T = 1,2 ? ?AF AF AC0,98 T = 1,2 T = T = 1,23 kN Daí, ? ? ?A- 0,73 1,23 - 0,73 1,23 + T = 0 T = 1,80 kN Diagrama de Corpo Livre – Ponto B A força TB surge como reação no ponto B que equilibra as componentes verticais de TBC e TBF. Cabo BC: x C Bd = x - x = - 10 - 0 = - 10 m TB HB TBC TBF B Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 43 y C Bd = y - y = 0 - 7,5 = - 7,5 m z C Bd = z - z = 10 - 0 = 10 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 BC = d = d + d + d BC = d = (- 10) + (- 7,5) + (10) BC = d = 16 m Co-senos Diretores de BC: ?xx x d - 10cos ? = = cos ? = - 0,625 d 16 ?yy y d - 7,5cos ? = = cos ? = - 0,469 d 16 ?zz z d 10cos ? = = cos ? = 0,625 d 16 Componentes de TBC: ? ?BC x BC x BCT = T cos ? = - 0,625 T ? ?BC y BC y BCT = T cos ? = - 0,469 T ? ?BC z BC z BCT = T cos ? = 0,625 T Cabo BF: x F Bd = x - x = - 10 - 0 = - 10 m y F Bd = y - y = 0 - 7,5 = - 7,5 m z F Bd = z - z = - 10 - 0 = - 10 m ? 2 2 2 x y z 2 2 2 BF = d = d + d + d BF = d = (- 10) + (- 7,5) + (- 10) BF = d = 16 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 44 Co-senos Diretores de BF: ?xx x d - 10cos ? = = cos ? = - 0,625 d 16 ?yy y d - 7,5cos ? = = cos ? = - 0,469 d 16 ?zz z d - 10cos ? = = cos ? = - 0,625 d 16 Componentes de TBF: ? ?BF x BF x BFT = T cos ? = - 0,625 T ? ?BF y BF y BFT = T cos ? = - 0,469 T ? ?BF z BF z BFT = T cos ? = - 0,625 T Equilíbrio do Ponto B: ? n i BF BC B B i = 1 R = F = T + T + H + T = 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? n i x BF BC B i = 1 R = F = 0 - 0,625 T - 0,625 T + H = 0 ? ? ?? n i y BF BC B i = 1 R = F = 0 - 0,469 T - 0,469 T + T = 0 ? ? ?? n i z BF BC i = 1 R = F = 0 - 0,625 T + 0,625 T = 0 Da terceira equação, ? ? ?BF BC BC BF0,625 T = 0,625 T T = T Levando à primeira equação, Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 45 ? ?BC BF- 0,625 T - 0,625 T + 2,4 = 0 ? ?BC BC BF- 1,25 T = - 2,4 T = T = 1,92 kN Na segunda equação, ? ?BF BC B- 0,469 T - 0,469 T + T = 0 ? ? ?B B- 0,469 1,92 - 0,469 1,92 + T = 0 T = 1,8 kN Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 46 ESTUDO DIRIGIDO 01. O que é Ponto Material? 02. Quando se pode utilizar o conceito de ponto material? 03. O que é Força e como é caracterizada? 04. O que é a Resultante de um sistema de forças? 05. Como se determina a resultante quando se têm duas forças atuando em um único ponto material? 06. O que são vetores? 07. Como se faz a adição de vetores? Exemplifique. 08. Como se faz a subtração de vetores? Exemplifique. 09. Como se multiplica um vetor por um escalar? Exemplifique. 10. Como se encontra a resultante de um sistema de forças coplanares que atuam em um ponto material? 11. Como se procede para decompor uma força quando uma componente já é conhecida? 12. Como se faz a decomposição de uma força quando se conhecem as linhas de ação de suas componentes? 13. O que são Componentes Cartesianas de uma força? 14. De quais formas podem ser expressas as componentes cartesianas de uma força? 15. Como se pode adicionar forças utilizando suas componentes cartesianas? 16. Quais são as condiçõesde equilíbrio de um ponto material sujeito a um sistema de forças coplanares? 17. O que diz a 1ª Lei de Newton e quais são suas implicações no caso de um ponto material? 18. O que é um Diagrama de Corpo Livre? 19. Como se encontram as componentes cartesianas de uma força espacial? 20. O que são os co-senos diretores de uma força? 21. Que relação existe entre os co-senos diretores de uma força? 22. Como se expressa uma força em função de vetores unitários ? i , ? j e ? k ? 23. Como se procede para adicionar forças no espaço? 24. Quais são as condições de equilíbrio de um ponto material sujeito a um sistema de forças espaciais? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 47 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Determine graficamente a intensidade, a direção e o sentido da resultante das duas forças ilustradas utilizando: (a) a lei do paralelogramo; (b) a regra do triângulo. 1º Caso 2º Caso 02. A força F de intensidade 400 N é decomposta em duas componentes segundo os eixos a-a e b-b, como mostra a figura. Calcule, trigonometricamente, o ângulo ? sabendo que a componente segundo b-b vale 150 N. 03. Duas peças B e C estão rebitadas no suporte A como indica a figura. Ambas estão comprimidas por F1 e F2, respectivamente de valores 8 kN e 12 kN. Determine, graficamente, o módulo, a direção e o sentido da resultante na peça A. a F ? 60º a b b 40º 300 N 35º 450 N 65º 30º 5 kN 3,5 kN Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 48 04. Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como indica a figura. Pedem-se: (a) calcular trigonometricamente, com ? = 30° , o módulo da força P ? necessária para que a resultante na estaca seja vertical; (b) qual será o módulo da resultante correspondente? 05. Um carro quebrado é puxado por duas cordas, como indica a figura. A força de tração em AB é de 400 N e ? = 20° . Sabendo que a resultante das duas forças aplicadas em A tem direção do eixo do carro, calcular trigonometricamente: (a) a tração em AC; (b) a resultante. 45º 20º F2 F1 A 30º ? C A B Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 49 06. Na figura do problema número 4, determine trigonometricamente o módulo, a direção e o sentido da força P ? para que a resultante seja vertical de 160 N. 07. Na figura do problema número 4, impondo que a resultante das duas forças aplicadas à estaca seja vertical, calcule: (a) o valor de ? para que P ? seja mínima; (b) o valor correspondente de P ? . 08. Calcular trigonometricamente o módulo, a direção e o sentido das forças que agem no gancho abaixo. 09. Determine as componentes segundo x e y de cada uma das forças das quatro figuras abaixo. (a) (b) 45º 800 N 25º 350 N 60º 600 N x y 20º 50º 60 kN 75 kN 35º 45 kN y x 45º25º 200 N 300 N Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 50 (c) (d) 10. A haste CB exerce no bloco B uma força P ? dirigida ao longo da reta CB. Sabendo que P ? tem uma componente horizontal de 200 N, determine: (a) a intensidade da força P ? ; (b) sua componente vertical. 11. O cilindro hidráulico GE aplica à haste DF uma força P ? dirigida ao longo da reta GE. Sabendo que P ? deve ter uma componente de 600 N na direção perpendicular DF, determine: (a) a intensidade da força P ? ; (b) sua componente paralela a DF. 50º50º C B A ll Q 530 N 510 N y x AB O 150 mm 140 mm 80 mm 225 mm 58 N 75 N y x A B O 178 mm 533 mm 508 mm 610 mm Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 51 12. A tração no cabo AC do poste é 370 N. Determine as componentes horizontal e vertical da força exercida em C. 13. A haste de compressão BC exerce no pino C do sistema abaixo uma força dirigida ao longo de BC de intensidade 365 N. Determine as componentes horizontal e vertical dessa força. C B A 550 mm 480 mm A 1,83 m C 5,33 m B A B C D E F 30º 56º Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 52 14. Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto B. Um terceiro cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical. 15. Duas cargas são aplicadas na ponta C da haste BC abaixo. Determine a tração no cabo AC sabendo que a resultante das três forças que atuam em C deve ter a direção de BC. 16. O carrinho da figura é solicitado por três forças. Determine: (a) o valor do ângulo ? para o qual a resultante das três forças é vertical; (b) a correspondente intensidade da resultante. 40 N? ? 40 N 80 N 40º 40 N 60º 60 N C B A 20º 25º 10º 15 m 20 m CB A 30 kN 12 kN Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 53 17. Uma peça que pode deslizar ao longo de um eixo vertical está sujeita a três forças. Determine: (a) o valor do ângulo ? para que a resultante das três forças seja horizontal; (b) a intensidade correspondente da resultante. 18. Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada uma carga. Sabendo que P = 400 N e ? = 75° , determine as trações em AC e BC. 19. Dois cabos são atados em C, onde é aplicada uma carga. Sabendo que ? = 25° , determine as trações em AC e BC. 55º ? A B C 500 N 45º 25º ? A B C P ? 110 N 85 N 170 N ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 54 20. Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada a carga. Determine as trações AB e BC em cada um dos casos abaixo. (a) (b) (c) (d) 21. Duas forças P ? e Q ? são aplicadas a uma conexão como indica a figura. Sabendo que a conexão está em equilíbrio, determine a tração nas barras A e B. 30º A B Q P TA TB 60º 510 mm 1400 mm 1220 mm 4500 N A B C 600 mm 280 mm 450 mm 330 NC B A A 120 kg C B 30º 40º 50º 30ºA B C 400 N Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 55 22. Na figura abaixo dois cabos estão atados no ponto A, sujeito a uma carga de 960 N. Sabendo que P = 640 N , determine a tração em cada cabo. 23. A peça A da figura abaixo desliza sem atrito em um eixo vertical, com 7,5 kgf. Ela está presa por um fio através de uma polia sem atrito a um peso de 8,5 kgf. Determine a altura h para que o sistema esteja em equilíbrio. 24. Uma caixa e seu conteúdo pesam 480 kgf. Determine o menor tamanho da corrente ACB que pode ser utilizada para levantar a caixa e seu conteúdo se a tração na corrente não pode exceder 3650 N. 0,40 m A C 8,5 kg 7,5 kg h 280 mm 960 N C 960 mm 3 4 P A B Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 56 25. Caixotes de 300 kg estão suspensos por diversas combinações de corda e roldana, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tração na corda é a mesma dos dois lados, determine, em cada caso, a tração na corda. 26. A força P ? é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo ACB. Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750 N, determine o módulo e a direção de P ? . 30º 45º ? A B C P T T T T T (a) (b) (c) (d) (e) 690 mm 375 mm A B C Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 57 27. Um caixote de 300 Kg deve ser sustentado pelo arranjo de cordas e polias da figura abaixo. Determine o módulo e a direção de F ? que deve ser aplicada à extremidade da corda. 28. A peça Adesliza livremente sobre o eixo horizontal sem atrito. A mola presa a ela tem constante k = 1751 N/m e elongação nula quando A está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P ? necessária para manter o equilíbrio quando: (a) c = 228 mm ; (b) c = 406 mm. 29. Para a figura abaixo, determine: (a) as componentes da força de 500 N; 305 mm c P A B F3,60 m 1,05 m 300 kg ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 58 (b) os ângulos x? , y? e z? que a força de 500 N forma com os eixos coordenados; (c) as componentes cartesianas da força de 800 N; (d) os ângulos x? , y? e z? que a força de 800 N forma com os eixos coordenados. 30. Na estrutura da figura abaixo o cabo AC, de 21 m, está sujeito à tração de 26250 N, enquanto que o cabo AB, de 19,5 m, está sujeito à tração de 19500 N. Determine: (a) as componentes cartesianas da força aplicada pelo cabo em B e os ângulos x? , y? e z? que definem a direção desta força; (b) as componentes cartesianas da força aplicada pelo cabo em C e os ângulos x? , y? e z? que definem a direção desta força; (c) a resultante. O 25º 70º 40º z y x 800 N 500 N 30º Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 59 31. A fim de remover um caminhão acidentado, dois cabos são atados em A e puxados por dois guinchos B e C. Sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN, determine as componentes da força exercida pelo cabo AB no caminhão. 32. Determine o módulo, a direção e o sentido da força F = (2900 N) i + (3450 N) j - (1500 N) k ? ? ? ? . ? 50º 20º x y z A B C D 16,8 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 60 33. No problema 31, sabendo que a tração no cabo AC é de 7,5 kN, determine as componentes da força exercida pelo cabo AC no caminhão. 34. No problema 31, sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN e de 7,5 kN no cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas pelos cabos no caminhão. 35. Na figura abaixo, sabendo que a tração no cabo AB é de 1425 N e no cabo AC é de 2130 N, determine: (a) as componentes da força aplicada no ponto B; (b) as componentes da força aplicada no ponto C; (c) o módulo e a direção resultante das forças aplicadas em A pelos dois cabos. 36. Uma força é aplicada na origem do sistema cartesiano e tem direção determinada pelos ângulos x? = 75° e z? = 130° . Sabendo que a componente em y da força é de 1500 N, determine: (a) as componentes e o módulo da força; (b) o valor de x? . 37. À barra OA abaixo é aplicada uma carga P ? . Sabendo que a tração no cabo AB 1,125 m 1,15 m y x z C D O B A 0,75 m 0,45 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 61 é de 850 N e que a resultante da carga P ? e das forças aplicadas pelos cabos em A deve ter a direção de OA, determine a tração no cabo AC e o módulo da carga P ? . 38. Determine a resultante das forças da figura abaixo. 39. Uma caixa está suspensa por três cabos, como na figura. (a) Calcule o peso P da caixa sabendo que a tração no cabo AD é de 4620 N; (b) Calcule o peso P da caixa para tração no cabo AB de 6890 N. O 25º 20º 60º 40º z y x 300 N 250 N 360 mm 510 mm 320 mm 270 mm A O B C x z y 600 mm P ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 62 40. Um recipiente está suspenso por três cabos como na figura abaixo. Determine: (a) o peso P do recipiente sabendo que a tração no cabo AB é de 4 kN; (b) o peso do recipiente sabendo que a tração no cabo AD é de 3,87 kN; (c) se o peso do recipiente for P = 1165 N , determine a tração em cada cabo. 41. Três cabos estão atados em A, onde são aplicadas as forças P ? e Q ? , como ilustra a figura. Calcule: (a) a tração em cada cabo sabendo que P = 5,6 kN e Q = 0 ; z y x C A B D O 600 mm 500 mm 360 mm 450 mm 320 mm z y x C A B D O 0,65 m 0,45 m 0,70 m 0,60 m 1,125 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 63 (b) a tração em cada cabo para P = 0 e Q = 7,28 kN ; (c) sabendo que Q = 7,28 kN e que a tração em AD é nula, calcule as trações nos cabos AB e AC e o módulo e o sentido de P ? . 42. Uma placa circular de 6 kg e 17,5 cm de raio está suspensa, como ilustra a figura, por três fios, cada um com 62,5 cm de comprimento. Determine a tração em cada cabo para ? = 30° e para ? = 45° . 43. Tentando cruzar uma superfície gelada e escorregadia, um homem de 90 kg utiliza duas cordas, AB e AC. Sabendo que a força exercida pela superfície no homem é perpendicular à superfície, determine a tração em cada corda. ? ? B C D A O 4 m 4 m 7 m A D B C x z y P ? E Q ? 7 m 4 m 3 m 12 m 3 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 64 44. Um recipiente de peso P = 400 N é suspenso por dois cabos AB e AC atados ao anel A. Suponha que Q = 0 e determine: (a) o módulo da força H ? que deve ser aplicada ao anel para manter o recipiente na posição; (b) os valores correspondentes da tração em AB e AC. Suponha que Q = (80 N) k ? ? e determine: (c) o módulo da força H ? que deve ser aplicada ao anel para manter o recipiente na posição; (d) os valores correspondentes da tração em AB e AC. 150 mm z y x C A B O H ? 400 mm 240 mm 130 mm Q ? 160 mm 3,60 m 9,00 m 2,40 m 4,80 m 1,20 m A C B O x y z 9,60 m Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 65 45. No problema 44, determine o peso P do recipiente se H = 164 N. 46. O cabo BAC da figura abaixo passa, sem atrito, através do anel A e é atado nos pontos fixos B e C. Os cabos AD e AE são ambos atados ao anel e, respectivamente, aos suportes D e E. Pede-se: (a) determine a tração nos três cabos sabendo que uma carga vertical P ? de 750 N de intensidade é aplicada ao anel A; (b) sabendo que a tração no caso AE é de 250 N, determine o módulo da carga P ? e a tração nos cabos BAC e AD. 47. Uma placa circular de 10 kg tem 250 mm de raio e está suspensa por três fios iguais, de comprimento l. Sabendo que ? = 30° , determine o menor valor possível de l para que a tração não exceda o valor de 50 N em qualquer dos fios. ? ? B C D A O 1,20 m 1,60 m 0,50 m 0,35 m 0,90 m z y x C A B E D O P ? Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 66 FONTES - MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russel Johnston, Jr. Makron Books - MECÂNICA DAS ESTRUTURAS IA Notas de Aulas Valdir Bernardi Zerbinati - MECÂNICA TÉCNICA: ESTÁTICA S. Timoshenko D. H. Young Livros Técnicos e Científicos S.A. Mecânica das Estruturas I A Estática dos Pontos Materiais 67
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