Integração por partes

Prévia do material em texto

Lista de exerc´ıcios.
Disciplina: Ca´lculo II
Professor:Antoˆnio Carlos Telau
1 Integrac¸a˜o por partes
f(x).
∫
udv = uv − ∫ vdu
Exemplo 5∫
ex cos(x)dx
I.
∫
ex cos(x)dx = ex sinx− ∫ ex sinx dx
II.
∫
ex sinx dx = − (cosx) ex − ∫ (− (cosx) ex) dx
(I,II)⇒
∫
ex cos(x)dx = ex sinx− [− (cosx) ex − ∫ (− (cosx) ex) dx]
1-2 Calcule a integral usando a integrac¸a˜o por partes com as escolhas de u
e dv indicadas.
1.
∫
x2 ln(x)dx; u = ln(x), dv = x2dx.∫
x2 ln(x)dx = 13x
3 lnx− ∫ 13x2 dx
2.
∫
θ ln(θ)dθ; u = θ, dv = cos(θ)dθ.
3-32 Calcule a integral.
3.
∫
x cos(5x)dx = x. sen(5x)5 −
∫ sen(5x)
5 dx
u = x dv = cos(5x)dx
du = dx v = sen(5x)5
Soluc¸a˜o∫
x cos(5x)dx = x. sen(5x)5 −
∫ sen(5x)
5 dx
= x. sen(5x)5 − 15
∫
sen(5x)dx
= x. sen(5x)5 − 15 − cos(5x)5
= x. sen(5x)5 +
cos(5x)
25 + C
1
4.
∫
xe−xdx
4.
∫
xe−xdx
5.
∫
re
r
2 dr
6.
∫
tsen(2t)dt
7.
∫
x2 cos(3x)dx
8.
∫
x2sen(ax)dx
u = x2 , dv = sen(ax)dx
du = 2xdx , v = − 1a cos(ax)∫
x2sen(ax)dx = x2(− 1a cos(ax))−
∫
(− 1a cos(ax))2xdx
= −x2 1a cos(ax) + 2a
∫
x cos(ax)dx
Aplica integrac¸a˜o por partes novamente em
∫
x cos(ax)dx
9.
∫
ln(2x+ 1)dx
10.
∫
sin−1(x)dx,= x arcsinx− ∫ x√
1−x2 dx∫
cos−1(x)dx,∫
tan−1(x)dx∫
sec−1(x)dx∫
cos sec−1(x)dx∫
cot g−1(x)dx
13.
∫
t sec2(2t)dt
15.
∫
(lnx)2dx
Vamos tentar incicialmente esta escolha de u.
u = (lnx)2 , dv = dx
du = 2 ln(x) 1xdx , v = x∫
(lnx)2dx = x(lnx)2− ∫ x2 ln(x) 1xdx Esse caminho parece na˜o ser muito
bom, enta˜o vamos tentar outra escolha de u.
u = lnx , dv = lnxdx
du = 1xdx , v = x ln(x)− x∫
(lnx)2dx = (lnx)(x ln(x)− x)− ∫ (x ln(x)− x) 1xdx
= x(lnx)2 − x ln(x)− ∫ (ln(x)− 1)dx
= x(lnx)2 − x ln(x)− ∫ ln(x)dx+ ∫ 1dx
= x(lnx)2 − x ln(x)− [x ln(x)− x] + x+ C
= x(lnx)2 − x ln(x)− x ln(x) + x+ x+ C
= x(lnx)2 − 2x ln(x) + 2x+ C
d(x(ln x)2−2x ln(x)+2x+C)
dx = ln
2 x
17.
∫
e2θsen(3θ)dθ
18.
∫
e−θ cos(2θ)dθ
19.
∫ pi
0
tsen(3t)dt
20.
∫ 1
0
(x2 + 1)e−xdx
22.
∫ 9
4
ln(y)√
y dy
2
23.
∫ 2
0
ln(x)
x2 dx
24.
∫ pi
0
x3 cos(x)dx
25.
∫ 1
0
y
e2y dy
27.
∫ 1
2
0
cos−1(x)dx
28.
∫ 2
1
(ln x)2
x3 dx
29.
∫
cos(x) ln(sen(x))dx
30.
∫ 1
0
r3√
4+r2
dr
31.
∫ 2
1
x4(ln(x))2dx
32.
∫ t
0
essen(t− s)ds
33-38 Primeiro fac¸a uma substituic¸a˜o e enta˜o use integrac¸a˜o por partes para
calcular a integral.
33.
∫
cos(
√
x)dx
34.
∫
t3e−t
2
dt
37.
∫
x ln(1 + x)dx
38.
∫
sen(ln(x))dx
3