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Olá pessoal! 
De acordo com a nossa programação aula de hoje será sobre: 
Aula 3 :Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância. Noção de função, 
função composta e inversa. Sequências, reconhecimento de padrões, 
progressões aritmética e geométrica. 
Por se tratarem de assuntos não tanto convencionais, farei várias exposições 
teóricas ao longo das resoluções dos exercícios. 
Sem mais delongas, vamos às questões. 
01. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma 
função y = f(x). 
 
 
 
Resolução 
 
Como reconhecer se determinado gráfico representa uma função? 
 
Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma 
função de A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos 
os pontos do conjunto partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas 
um ponto, então a dada relação binária é uma função. 
Exemplos 
݂: ܣ ՜ ܴ ݁݉ ݍݑ݁ ܣ ൌ ሾെ1,2ሾ 
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A  curva  acima  representa  uma  função  já  que  todas  as  retas  verticais  encontram  o  gráfico 
apenas uma vez. 
݃: ܤ ՜ ܴ ݁݉ ݍݑ݁ ܤ ൌ ሾ0,6ሾ 
 
A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que 
encontram o gráfico mais de uma vez. 
 
 
O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. 
Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função. 
 
Letra C 
 
02. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja ݂ uma função que tem como domínio o conjunto 
A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A 
função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse 
elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar que 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no 
contradomínio. 
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b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
c) f não é uma função. 
d) ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
Resolução 
A função ݂ associa a cada elemendo ݔ em A o número de letras distintas desse 
elemento ݔ. 
Ana Æ possui 2 letras distintas. 
José Æ possui 4 letras distintas. 
Maria Æ possui 4 letras distintas. 
Paulo Æ possui 5 letras distintas. 
Pedro Æ possui 5 letras distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta maneira, podemos afirmar que: 
݂ሺܣ݊ܽሻ ൌ 2 
݂ሺܬ݋ݏéሻ ൌ ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4 
݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ ൌ ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ 5 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no 
contradomínio. 
Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao 
mesmo elemento no contradomínio. Por exemplo, ݂ሺܬ݋ݏéሻ ൌ ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4. 
ܣ݊ܽ 
ܬ݋ݏé 
ܯܽݎ݅ܽ 
ܲܽݑ݈݋ 
ܲ݁݀ݎ݋ 
A 
1
2 
3 
4 
5 
B
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b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado 
com algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado. 
 
c) f não é uma função. 
Esta alternativa é falsa, pois ݂ é uma função. Todos os elementos de A se 
relacionam uma única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e 
ninguém manda mais de uma flecha. 
 
d) ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
Falso. Maria tem 4 letras distintas. ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4. 
 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
Verdadeiro. Como foi visto, ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ ൌ ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ 5. 
Letra E 
03. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado 
que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, 
era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-
se afirmar, então, que um coelho: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta 
tentativa. 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. 
Resolução 
a) O número ݊ representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto. 
Obviamente, este número ݊ é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 
12 por um número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é 
positivo e maior que 3. 
Desta maneira, a letra A é falsa. 
b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos 
substituir ݊ por 5. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅
12
݊
 
ܥሺ5ሻ ൌ 3 ൅
12
5
ൌ 5,4 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൅ 0,4 ݉݅݊ݑݐ݋
ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൅ 0,4 · 60 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ 
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ܥሺ5ሻ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ݁ 24 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ 
A alternativa B é falsa. 
c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de ݊ por 
3. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅
12
݊
 
ܥሺ3ሻ ൌ 3 ൅
12
3
ൌ 7 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ 
A alternativa C é falsa. 
d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de ݊ por 
10. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅
12
݊
 
ܥሺ10ሻ ൌ 3 ൅
12
10
ൌ 4,2 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ 
A alternativa D é falsa. 
e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos. 
3 ൅
12
݊
ൌ 3,5 
12
݊
ൌ 0,5 
0,5݊ ൌ 12 
݊ ൌ
12
0,5
ൌ
120
5
ൌ 24 
Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa. 
Letra E 
Vamos falar um pouquinho sobre as funções afins (funções polinomiais do 1º grau). 
Função afim 
A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no cotidiano 
muitas pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau). 
Uma função ݂ é chamada de função afim quando for do tipo: 
݂: ܴ ՜ ܴ 
݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ ൅ ܾ , ܽ ് 0. 
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Vejamos alguns exemplos: 
ܽ ܾ ݂ሺݔሻ 
2 4 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4 
3 െ2 ݂ሺݔሻ ൌ 3ݔ െ 2 
െ1 5 ݂ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 5 
2 0 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ 
1 0 ݂ሺݔሻ ൌ ݔ 
 
O coeficiente ܽ é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. 
O coeficiente ܾ é chamado de coeficiente linear ou termo independente. 
 Dependendo dos valores de ܽ e ܾ, a função afim pode receber alguns nomes 
especiais. 
 
Sempre que ܾ ൌ 0, a função afim é chamada de função linear. 
 
A função linear ݂ሺݔሻ ൌ ݔ é chamada de função identidade. Ou seja, quando ܽ ൌ 1 e 
ܾ ൌ 0, a função é chamada de identidade. 
 
• Gráfico ՜ o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos 
coordenados. 
Veremos na aula de Geometria Plana que dois pontos distintos determinam uma reta. 
Desta maneira, para construir o gráfico da função afim devemos seguir os seguintes 
passos: 
i) Escolher dois valores arbitrários para ݔ. 
ii) Calcular os valores correspondentes de ݕ. 
iii) Marcar os dois pontos no plano cartesiano. 
iv) Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados. 
Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo: ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4. 
Vamos utilizar ݔ ൌ 1 ݁ ݔ ൌ െ1. 
Quando ݔ ൌ 1, temos ݂ሺ1ሻ ൌ 2 · 1 ൅ 4 ൌ 6. Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6). 
Quando ݔ ൌ െ1, temos ݂ሺെ1ሻ ൌ 2 · ሺെ1ሻ ൅ 4 ൌ 2. Ou seja, a reta passa pelo ponto (-
1,2). 
 
 
 
 
 
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Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta corta os 
eixos coordenados? 
Vimos que (na seção sobrezeros da função) para determinar o intercepto do gráfico 
com o eixo ݔ, devemos resolver a equação ݂ሺݔሻ ൌ 0. 
2ݔ ൅ 4 ൌ 0 
2ݔ ൌ െ4 
ݔ ൌ െ2 
 
 
 
 
 
 
Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função, seja ela 
afim, quadrática, exponencial, trigonométrica, etc. 
Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo ݕ? 
Basta calcular ݂ሺ0ሻ, ou seja, substituir ݔ por 0. 
݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4 
݂ሺ0ሻ ൌ 2 ڄ 0 ൅ 4 ൌ 4 
 
 
 
 
ݔ
ݕ
1‐1
2
6
ݔ 
ݕ
1‐1
2
6
െ૛
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Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ െ3ݔ ൅ 6. 
Resolução 
Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o gráfico 
com um pouco mais de velocidade. 
ܾ ൌ 6, logo o gráfico corta o eixo ݕ no ponto de ordenada igual a 6. 
Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo ݔ, devemos resolver a equação 
݂ሺݔሻ ൌ 0. 
െ3ݔ ൅ 6 ൌ 0 
െ3ݔ ൌ െ6 
3ݔ ൌ 6 
ݔ ൌ 2 
 
െ૛ 
ݔ
ݕ
1‐1
2
6૝
IMPORTANTE 
Vimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo ݕ basta calcular ݂ሺ0ሻ. Ora, a função 
afim  é  definida  por  ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ ൅ ܾ.  Desta  maneira,  ݂ሺ0ሻ ൌ ܽ ڄ 0 ൅ ܾ ൌ ܾ.  Resumindo:  a 
ordenada do ponto em que a  reta  toca o eixo ݕ é  igual a b. Note que no exemplo anterior, o 
valor de b é igual a 4 : exatamente o valor em que a reta toca o eixo ݕ. 
IMPORTANTE 
Vimos que  a  função  afim é  chamada de  função  linear quando  ܾ ൌ 0. Como o  valor de  ܾ é o 
intercepto do gráfico com o eixo ݕ, concluímos que o gráfico de uma função  linear é uma reta 
que passa pela origem do plano cartesiano. 
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Resumindo: a reta corta o eixo ݔ no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo ݕ no 
ponto de ordenada igual a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos comparar os dois gráficos construídos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
Quando ܽ ൐ 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda). 
Quando ܽ ൏ 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita). 
 
Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ െ3ݔ. 
Resolução 
Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do 
plano cartesiano. Além disso, como ܽ ൌ െ3 ൏ 0, a função é decrescente. 
Vamos calcular o valor da função para ݔ ൌ 1. 
݂ሺ1ሻ ൌ െ3 ڄ 1 ൌ െ3 
ݕ
ݔ
2
6
െ૛ 
ݔ
ݕ 
1 ‐1 
2
6 ૝ 
ݕ
ݔ
2
6
ݕ ൌ 2ݔ ൅ 4
ݕ ൌ െ3ݔ ൅ 6 
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Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto ሺ1, െ3ሻ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos ሺ2,5ሻ e ሺെ1, െ4ሻ. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular (ܽ). 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser 
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
 
Já que o gráfico passa pelos pontos ሺ2,5ሻ e ሺെ1, െ4ሻ, então o coeficiente “a” é dado 
por 
 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
െ4 െ 5
െ1 െ 2
ൌ
െ9
െ3
ൌ ൅3 
Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo ݕ ൌ ܽݔ ൅ ܾ. 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
 ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado 
para calcular o coeficiente “b”. 
ݕ
ݔ
3
1
Vale a pena lembrar! 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de 
variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este 
coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , 
a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função 
é decrescente (reta descendente). 
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O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Utilizemos por exemplo o ponto ሺ2,5ሻ. Este ponto nos informa que quando 
x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores 
na lei. 
3 · 2 ൅ ܾ ൌ 5 
6 ൅ ܾ ൌ 5 
ܾ ൌ െ1 
Assim, a lei de formação da função é ݕ ൌ 3ݔ െ 1. 
 
04. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos 
A(-1, -5) e B(5, 7) é 
(A) f(x) = 3x + 2 
(B) f(x) = 2x – 3 
(C) f(x) = x – 4 
(D) f(x) = x + 3 
(E) f(x) = 3x + 3 
Resolução 
Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também 
chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau. 
Amplamente definida, seu gráfico é uma reta. 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. 
Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é 
decrescente (reta descendente). 
 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser 
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
 
Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a” é dado 
por 
 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
7 െ ሺെ5ሻ
5 െ ሺെ1ሻ
ൌ
12
6
ൌ 2 
Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B. 
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Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
ݕ ൌ 2ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado 
para calcular o coeficiente “b”. 
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando 
x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 2ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores 
na lei. 
2 · 5 ൅ ܾ ൌ 7 
10 ൅ ܾ ൌ 7 
ܾ ൌ െ3 
Assim, a lei de formação da função é ݕ ൌ 2ݔ െ 3. 
Letra B 
Vejamos como aconteceu na CEPERJ... 
 
05. (Prefeitura de Cantagalo 2010/CEPERJ) A função polinomial do primeiro 
grau F(X) tal que F(0) = 4 e F(2) = 0 é: 
 
a) 2 +2x 
b) 4+2x 
c) -2x+4 
d) –x-2 
e) -4x+2 
 
Resolução 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. 
Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é 
decrescente (reta descendente). 
 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser 
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
 
Dizer que ܨሺ0ሻ ൌ 4 é o mesmo que dizer que a função passa pelo ponto ሺ0,4ሻ. 
Analogamente, dizer que ܨሺ2ሻ ൌ 0 é o mesmo que dizer que a função passa pelo 
ponto ሺ2,0ሻ. 
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Já que o gráfico passa pelos pontos (0,4) e (2, 0), então o coeficiente “a” é dado por 
 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
0 െ 4
2 െ 0
ൌ
െ4
2
ൌ െ2 
Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa C. 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
ݕ ൌ െ2ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo 
enunciado para calcular o coeficiente “b”.O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Utilizemos por exemplo o ponto (0,4). Esse ponto nos informa que quando 
x = 0, y = 4. Já que a lei de formação é ݕ ൌ െ2ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores 
na lei. 
െ2 · 0 ൅ ܾ ൌ 4 
0 ൅ ܾ ൌ 4 
ܾ ൌ 4 
Assim, a lei de formação da função é ܨሺݔሻ ൌ െ2ݔ ൅ 4. 
Letra C 
06. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O gráfico da função ݂ é uma reta. Sabendo que 
݂ሺെ2ሻ ൌ 2 e ݂ሺ14ሻ ൌ 50, então ݂ሺ11ሻ é igual a: 
a) 37 
b) 38 
c) 39 
d) 40 
e) 41 
Resolução 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser 
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
 
Dizer que ݂ሺെ2ሻ ൌ 2 é o mesmo que dizer que a função passa pelo ponto ሺെ2,2ሻ. 
Analogamente, dizer que ݂ሺ14ሻ ൌ 50, é o mesmo que dizer que a função passa pelo 
ponto ሺ14,50ሻ. 
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Já que o gráfico passa pelos pontos (-2,2) e (14, 50), então o coeficiente “a” é dado 
por 
 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
50 െ 2
14 െ ሺെ2ሻ
ൌ
48
16
ൌ 3 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado 
para calcular o coeficiente “b”. 
Utilizemos por exemplo o ponto (14,50). Esse ponto nos informa que quando 
x = 14, y = 50. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses 
valores na lei. 
3 · 14 ൅ ܾ ൌ 50 
42 ൅ ܾ ൌ 50 
ܾ ൌ 8 
Assim, a lei de formação da função é ݂ሺݔሻ ൌ 3ݔ ൅ 8. 
Queremos calcular o valor de ݂ሺ11ሻ. Devemos, na lei de formação, substituir ݔ por 11. 
݂ሺ11ሻ ൌ 3 · 11 ൅ 8 ൌ 41 
Letra E 
 
07. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de 
uma função do tipo f (x) = ax + b. 
 
 
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que 
 
(A) possui duas raízes reais. 
(B) a < 0. 
(C) b > 0. 
(D) ab < 0. 
(E) não possui raízes reais. 
 
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Resolução 
 
 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. 
Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é 
decrescente (reta descendente). 
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O ponto em 
que o gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da função. Para 
determinar o zero ou raiz da função basta resolver a equação f(x) = 0. 
 
Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é falsa). 
Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que 
b > 0 (a alternativa C é verdadeira). 
Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa). 
Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma raiz real 
(as alternativas A e E são falsas). 
Letra C 
08. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β 
interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, 
a) α > 0 e β > 0 
b) α > 0 e β < 0 
c) α < 0 e β < 0 
d) α < -1 e β < 0 
e) α > -1 e β > 0 
Resolução 
Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa (y < 0), 
concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro quadrante. 
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Vejamos a reta ݎଵ. Seu coeficiente linear (ܾሻ é igual a 0. Portanto, seu gráfico passa 
pela origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos duas 
possibilidades. 
Se ߙ ൐ 0, a função é crescente. 
Se ߙ ൏ 0, a função é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta ݎଵ deve ser ascendente 
(função crescente). 
Portanto, ߙ ൐ 0. 
Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r2 = -2x +β. Seu coeficiente angular é 
negativo e, portanto, a reta é descendente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que ߚ é o coeficiente linear da reta ݎଶ. O coeficiente linear indica onde a reta 
corta o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro quadrante, a reta ݎଶ 
deve cortar o eixo ݕ abaixo da origem, portanto, ߚ ൏ 0. 
Letra B 
ݔ
ݕݕ 
ݔ
3º quadrante 
r1 
ݕ
ݔ
ߚ
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09. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro 
obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro 
do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é 
representado na figura abaixo. 
 
 
 
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
 
Resolução 
 
Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ 
com ܽ ് 0. 
 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um 
ponto de mínimo. 
 
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um 
ponto de máximo. 
 
Se a < 0, a função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ admite o valor máximo 
ݕ௠á௫ ൌ
െΔ
4ܽ
 ݌ܽݎܽ ݔ௠á௫ ൌ
െb
2ܽ
 
 
Neste caso o valor ିΔ
ସ௔
 é denominado valor máximo da função e o valor ିୠ
ଶ௔
 é 
denominado maximante. 
 
Se a > 0, a função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ admite o valor mínimo 
ݕ௠í௡ ൌ
െΔ
4ܽ
 ݌ܽݎܽ ݔ௠í௡ ൌ
െb
2ܽ
 
 
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Neste caso o valor ିΔ
ସ௔
 é denominado valor mínimo da função e o valor ିୠ
ଶ௔
 é 
denominado minimante. 
 
O ponto ܸ ቀିୠ
ଶ௔
, ିΔ
ସ௔
ቁ é chamado vértice da parábola representativa da função 
quadrática. 
 
Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou 
tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis. 
 
 
Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a 
resposta só pode ser a letra D. 
 
Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. 
 
O valor máximo da função é dado por 
 
ݕ௠á௫ ൌ
െΔ
4ܽ
 
 
Lembrando que Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ. 
A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800. 
 
Então Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺ90ሻଶ െ 4 · ሺെ1ሻ · ሺെ800ሻ ൌ 4.900 
 
Assim, o valor máximo (lucro máximo) é 
 
ݕ௠á௫ ൌ
െΔ
4ܽ
ൌ
െ4.900
4 · ሺെ1ሻ
ൌ
4.900
4
ൌ 1.225 
 
Letra D 
 
Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo 
bastaríamos calcular xmáx. 
 
ݔ௠á௫ ൌ
െܾ
2ܽ
ൌ
െ90
2 · ሺെ1ሻ
ൌ 45 
 
Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x). 
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Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As 
raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que 
a parábola toca o eixo x em 
x = 10 e em x = 80. 
 
Assim, 
 
ݔ௠á௫ ൌ
10 ൅ 80
2
ൌ 45 
 
E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45. 
 
ܮሺݔሻ ൌ – ݔଶ ൅ 90ݔ – 800 
 
ܮሺ45ሻ ൌ – ሺ45ሻଶ ൅ 90 · 45 – 800 ൌ 1.225 
 
10. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) O valor mínimo da função 
 ݂ሺݔሻ ൌ ሺݔ ൅ 1ሻଷ െ ݔଷ é: 
a) 1/4 
b) 1/2 
c) 3/4 
d) 13/8 
e) 1 
Resolução 
Utilizamosa expressão ሺܽ ൅ ܾሻଷ na aula 2. 
 Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൅ ܾଷ 
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, 
mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o 
cubo do segundo termo. 
 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଷ ൅ 3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ 3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ
൅ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ 
Vamos desenvolver ሺݔ ൅ 1ሻଷ. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଷ ൌ ሺݔሻଷ ൌ ݔଷ 
3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 3 · ሺݔሻଶ · 1 ൌ 3ݔଶ 
3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ 3 · ݔ · ሺ1ሻଶ ൌ 3ݔ 
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ ൌ 1ଷ ൌ 1 
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Portanto, ሺݔ ൅ 1ሻଷ ൌ ݔଷ ൅ 3ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 1 
Agora estamos aptos para simplificar a função do enunciado. 
݂ሺݔሻ ൌ ሺݔ ൅ 1ሻଷ െ ݔଷ ൌ ݔଷ ൅ 3ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 1 െ ݔଷ 
݂ሺݔሻ ൌ 3ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 1 
Vimos na questão anterior que o valor mínimo de uma função quadrática é 
dado por 
െΔ
4ܽ
 
 
Lembrando que Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ. 
 
Desta maneira, Δ ൌ 3ଶ െ 4 · 3 · 1 ൌ 9 െ 12 ൌ െ3. 
 
E o valor mínimo é igual a: 
 
െΔ
4ܽ
ൌ
െሺെ3ሻ
4 · 3
ൌ
3
12
ൌ
1
4
 
Letra A 
 
11. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O valor mínimo da função ݕ ൌ ሺݔ െ 1ሻଶ ൅ ሺݔ ൅ 2ሻଶ 
é: 
a) 4 
b) 4,5 
c) 5 
d) 5,5 
e) 6 
Resolução 
Questão da mesma banca, 3 anos depois. Esta é a importância de 
resolver as questões anteriores! 
Para começar, vamos desenvolver os produtos notáveis. 
ሺܽ െ ܾሻଶ ൌ ܽଶ െ 2ܾܽ ൅ ܾଶ  
Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ െ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ െ 2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ 
Vamos começar com ሺݔ െ 1ሻଶ. 
 
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ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൌ ሺݔሻଶ ൌ ݔଶ 
2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 2 · ݔ · 1 ൌ 2ݔ 
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ1ሻଶ ൌ 1 
Assim, ሺݔ െ 1ሻଶ ൌ ݔ2 െ 2ݔ ൅ 1 
Vamos desenvolver ሺݔ ൅ 2ሻଶ. 
ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶ  
Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo 
termo, mais o quadrado do segundo termo. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൅ 2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ 
 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൌ ሺݔሻଶ ൌ ݔଶ 
2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 2 · ݔ · 2 ൌ 4ݔ 
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ2ሻଶ ൌ 4 
Assim, ሺݔ ൅ 2ሻଶ ൌ ݔ2 ൅ 4ݔ ൅ 4. 
Agora estamos aptos para simplificar a função do enunciado. 
ݕ ൌ ሺݔ െ 1ሻଶ ൅ ሺݔ ൅ 2ሻଶ ൌ ݔ2 െ 2ݔ ൅ 1 ൅ ݔ2 ൅ 4ݔ ൅ 4 
ݕ ൌ 2ݔ2 ൅ 2ݔ ൅ 5 
O valor mínimo de uma função quadrática é dado por 
െΔ
4ܽ
 
 
Lembrando que Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ. 
 
Desta maneira, Δ ൌ 2ଶ െ 4 · 2 · 5 ൌ 4 െ 40 ൌ െ36. 
 
E o valor mínimo é igual a: 
 
െΔ
4ܽ
ൌ
െሺെ36ሻ
4 · 2
ൌ
36
8
ൌ 4,5 
Letra B 
 
 
 
12. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0 ݁ ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. 
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Sabendo que A é o conjunto solução de ݂ሺݔሻ e B o conjunto solução de 
݃ሺݔሻ, então o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ é igual a: 
 
a) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൏ ݔ ൑ 2ቅ 
b) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൑ ݔ ൑ 2ቅ 
c) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ 
d) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 0ሽ 
e) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 0ሽ 
Resolução 
 
Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos 
reais pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ com ܽ ് 0. 
 
Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a 
concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da 
parábola está voltada para baixo. 
 
As raízes da função são dadas pela fórmula 
 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
 
O número ∆ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ é chamado de discriminante. 
 
Se ∆൐ 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico 
intercepta o eixo x em dois pontos distintos. 
 
Se ∆ൌ 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o 
gráfico tangencia o eixo x. 
 
Se ∆൏ 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o 
eixo x. 
 
Considere a função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1. O gráfico é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes. 
 
ݔ ൌ
െሺെ2ሻ േ ඥሺെ2ሻଶ െ 4 · 1 · 1
2 · 1
 
 
ݔ ൌ
2 േ 0
2
ൌ 1 
 
Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla). 
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Resolver a inequação ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0, significa responder quando é 
que a função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o 
gráfico exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 
apenas para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ. 
 
Olhemos a segunda inequação. ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. O gráfico da função 
g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as 
raízes: 
 
ݔ ൌ
െ3 േ ඥ3ଶ െ 4 · ሺെ2ሻ · 2
2 · ሺെ2ሻ
 
 
ݔ ൌ
െ3 േ 5
െ4
 
 
ݔ ൌ
െ3 ൅ 5
െ4
ൌ െ
1
2
 ݋ݑ ݔ ൌ
െ3 െ 5
െ4
ൌ 2 
 
Temos o seguinte gráfico. 
 
 
Resolver a inequação ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0 significar responder quando a 
função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto 
solução dessa inequação é o conjunto ܤ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൏ ݔ ൑ 2ቅ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O enunciado pede o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ. 
 
 
 
 
 
 
A interseção resume-se ao ponto x=1. ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ 
 
Letra C 
 
13. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 
 ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 e ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5. Assinale a alternativa que apresenta 
a solução da inequação definida por ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0. 
a) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 2ሽ 
b) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
c) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|1 ൑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
d) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൒ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
e) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 1 ݋ݑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
Resolução 
Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das funções. 
i) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 
Cálculo das raízes: 
ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݔ ൌ
െሺെ4ሻ േ ඥሺെ4ሻଶ െ 4 · 1 · 4
2 · 1
ൌ
4 േ 0
2
ൌ 2 
 
 
 
 
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Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de ݂ é uma parábola 
com a concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo ݔ no ponto de 
abscissa igual a 4. 
 
 
 
 
 
ii) ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5 ൌ 5ݔ െ 5 
Cálculo da raiz: 
5ݔ െ 5 ൌ 0 
ݔ ൌ 1 
Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função 
crescente) e que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 
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Vejamos a solução da inequação ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0 lembrando as regras dos 
sinais na multiplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a solução da inequação é o conjunto ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ. 
Letra B 
ATENÇÃO!!! 
Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e 
achava que o correto era ݃ሺݔሻ ൌ െݔ૛ ൅ 6ݔ െ 5 iria marcar a letra D!!!!! 
Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar... 
Eles colocaram ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5 para que você usasse ݃ሺݔሻ ൌ 5ݔ െ 5. 
14. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) O menor valor inteiro que satisfaz a 
inequação 
2ݔ ൅ 1
ݔ ൅ 4
൏ 1 
a) 1 
b) zero 
c) -3 
d) -5 
e) -4 
Resolução 
2
1 
݂ሺݔሻ 
݃ሺݔሻ 
݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ 
1  2
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A solução maisrápida (informal) é substituir cada valor das alternativas na 
inequação. É óbvio que o nosso intuito é acertar a questão e não mostrar que 
sabe matemática. Portanto, farei das duas maneiras. 
Vamos testar cada uma das alternativas. 
ܽሻ ݔ ൌ 1 ՜
2 · 1 ൅ 1
1 ൅ 4
ൌ
3
5
൏ 1 ሺݒ݁ݎ݀ܽ݀݁݅ݎ݋ሻ 
ܾሻݔ ൌ 0 ՜
2 · 0 ൅ 1
0 ൅ 4
ൌ
1
4
൏ 1 ሺݒ݁ݎ݀ܽ݀݁݅ݎ݋ሻ 
ܿሻ ݔ ൌ െ3 ՜
2 · ሺെ3ሻ ൅ 1
െ3 ൅ 4
ൌ
െ5
1
ൌ െ5 ൏ 1 ሺݒ݁ݎ݀ܽ݀݁݅ݎ݋ሻ 
݀ሻ ݔ ൌ െ5 ՜
2 · ሺെ5ሻ ൅ 1
െ5 ൅ 4
ൌ
െ9
െ1
ൌ 9 ൏ 1 ሺ݂݈ܽݏ݋, ݌݋݅ݏ 9 ൐ 1ሻ 
݁ሻ ݔ ൌ െ4 ՜
2 · ሺെ4ሻ ൅ 1
െ4 ൅ 4
ൌ
െ7
0
 ሺܾܽݏݑݎ݀݋, ݌݋݅ݏ é ݅݉݌݋ݏݏíݒ݈݁ ݀݅ݒ݅݀݅ݎ ݌݋ݎ 0ሻ 
Portanto, de acordo com as alternativas, o menor valor inteiro que satisfaz a 
inequação é െ3. Letra C. 
 
Vamos agora resolver a inequação algebricamente. 
 
2ݔ ൅ 1
ݔ ൅ 4
൏ 1 
Observe que em uma inequação não é válida a propriedade das proporções (o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou como muitos gostam de 
dizer, “multiplicar em cruz”). 
2ݔ ൅ 1
ݔ ൅ 4
െ 1 ൏ 0 
Reduzindo ao mesmo denominador (mmc dos denominadores). 
2ݔ ൅ 1 െ 1 · ሺݔ ൅ 4ሻ
ݔ ൅ 4
൏ 0 
 
ݔ െ 3
ݔ ൅ 4
൏ 0 
 
Temos agora uma inequação-quociente. Devemos analisar o sinal da função 
do numerador e o sinal da função do denominador. Lembrando que o 
denominador não pode ser igual a 0. 
 
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ݕ ൌ ݔ െ 3 
É uma função afim (o gráfico é uma reta) e como o coeficiente angular é igual a 
1, a função é crescente. A função se anula no ponto de abscissa: 
ݔ െ 3 ൌ 0 ՜ ݔ ൌ 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
ݕ ൌ ݔ ൅ 4 
Também é uma função afim crescente e que se anula para o ponto de 
abscissa: 
ݔ ൅ 4 ൌ 0 ՜ ݔ ൌ െ4 
 
 
Lembrando que esta função está no denominador e, portanto, não pode ser 
igual a 0. Portanto, deveremos colocar uma “bola” aberta no gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
‐4 
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Vamos avaliar o sinal da função quociente (lembrando as regras dos sinais). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como queremos saber os valores menores que zero, estamos interessados em 
todos os números reais maiores que െ4 e menores ou iguais a 3. 
O problema pergunta qual o menor número inteiro que satisfaz a inequação. Os 
números inteiros que pertencem ao intervalo da solução são: 
ሼെ3, െ2, െ1,0,1,2,3ሽ 
Observe que െ4 não faz parte da resposta, pois ele faz com que o 
denominador seja igual a 0. Deste conjunto, o menor número inteiro é െ3. 
Letra C 
15. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Se ݂ሺ2ݔ െ 3ሻ ൌ ௫ାସ
௫ିଵ
, para ݔ ് 1, então ݂ሺ7ሻ é: 
a) 9/4 
b) 2 
c) 8/5 
d) 11/6 
e) 3 
Resolução 
A função dada é: 
݂ሺ2ݔ െ 3ሻ ൌ
ݔ ൅ 4
ݔ െ 1
 
3
‐4 
3‐4 
ݕ ൌ ݔ ൅ 4
ݕ ൌ ݔ െ 3
ݕ ൌ
ݔ െ 3
ݔ ൅ 4
 
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Para calcular ݂ሺ7ሻ não devemos fazer ݔ ൌ 7. Devemos achar um número ݔ tal 
que 2ݔ െ 3 seja igual a 7. 
2ݔ െ 3 ൌ 7 
2ݔ ൌ 10 
ݔ ൌ 5 
Desta maneira, fazendo ݔ ൌ 5, temos: 
݂ሺ2 · 5 െ 3ሻ ൌ
5 ൅ 4
5 െ 1
 
݂ሺ10 െ 3ሻ ൌ
9
4
 
݂ሺ7ሻ ൌ
9
4
 
Letra A 
16. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Seja a função 
f(x) = x² + 5, e g(x) = x – 4. A função composta f o g, para x = 2 é igual a 
a) 9. 
b) 5. 
c) 6. 
d) - 2. 
e) - 4. 
Resolução 
O símbolo f o g é lido como “f composta com g” ou “f bola g” (por favor, nunca fale em 
voz alta fog com a letra O no meio!). 
E o que significa “f composta com g”. Existe uma operação entre funções denominada 
composição. 
No caso, ݂ ݋ ݃ሺݔሻ ൌ ݂൫݃ሺݔሻ൯. 
Ou seja, primeiro aplicamos a função g. O resultado desta aplicação é colocado na 
função f. Assim, para x = 2, devemos calcular primeiramente g(2). 
݃ሺݔሻ ൌ ݔ െ 4 
݃ሺ2ሻ ൌ 2 െ 4 ൌ െ2 
Assim, 
݂݋݃ሺ2ሻ ൌ ݂൫݃ሺ2ሻ൯ ൌ ݂ሺെ2ሻ ൌ ሺെ2ሻଶ ൅ 5 ൌ 4 ൅ 5 ൌ 9. 
Letra A 
Poderíamos ter calculado a lei de formação da função f o g. 
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Sabemos que ݂ ݋ ݃ ሺݔሻ ൌ ݂൫݃ሺݔሻ൯. Para calcular ݂൫݃ሺݔሻ൯ devemos substituir o x da 
função f por g(x). 
Lembre-se que f(x) = x² + 5 e que g(x)=x – 4. 
Dessa forma, 
݂൫݃ሺݔሻ൯ ൌ ሾ݃ሺݔሻሿଶ ൅ 5 ൌ ሺݔ െ 4ሻଶ ൅ 5 ൌ ݔଶ െ 8ݔ ൅ 16 ൅ 5 
݂൫݃ሺݔሻ൯ ൌ ݔଶ െ 8ݔ ൅ 21 
Para x = 2, 
݂൫݃ሺ2ሻ൯ ൌ 2ଶ െ 8 · 2 ൅ 21 ൌ 4 െ 16 ൅ 21 ൌ 9 
17. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Se R denota o conjunto dos números reais e 
 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 7 e ݃ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 3 são funções de R em R, então a lei de definição 
da função composta ݂ ל ݃ é dada por 
 
a) ݔଶ െ 3ݔ ൅ 1 
b) 2ݔଶ െ 4ݔ ൅ 13 
c) ݔସ െ 3ݔଶ ൅ 9 
d) 2ݔସ െ 5ݔଶ ൅ 36 
e) ݔସ െ ݔଶ ൅ ݔ െ 1 
 
Resolução 
 
Queremos calcular a lei de formação da função ሾ݂ ל ݃ሿሺݔሻ ൌ ݂ሺ݃ሺݔሻሻ 
Devemos substituir o ݔ da função ݂ por ݃ሺݔሻ. 
݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 7 
 
݂൫݃ሺݔሻ൯ ൌ 2 ڄ ݃ሺݔሻ ൅ 7 
 
݂൫݃ሺݔሻ൯ ൌ 2 ڄ ሺݔଶ െ 2ݔ ൅ 3 ሻ ൅ 7 
 
݂൫݃ሺݔሻ൯ ൌ 2ݔଶ െ 4ݔ ൅ 6 ൅ 7 
 
݂൫݃ሺݔሻ൯ ൌ 2ݔଶ െ 4ݔ ൅ 13 
Letra B 
18. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere a função 
݂ሺݔሻ ൌ
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
 
para ݔ ് 1. A solução da equação ݂ ל ݂ሺݔሻ ൌ 1 é: 
a) ݔ ൌ 1/4 
b) ݔ ൌ 1/3 
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c) ݔ ൌ 2/3 
d) ݔ ൌ 3/4 
e) ݔ ൌ െ1 
Resolução 
Vamos obter a lei de formação da função composta ݂ ל ݂ሺݔሻ. Sabemos que 
݂ ݋ ݂ ሺݔሻ ൌ ݂൫݂ሺݔሻ൯. Para calcular ݂൫݂ሺݔሻ൯ devemos substituir o x da função f 
por f(x). 
݂ሺ࢞ሻ ൌ
2࢞ ൅ 1
࢞ െ 1
 
݂൫ࢌሺ࢞ሻ൯ ൌ
2 · ቀ૛࢞ ൅ ૚࢞ െ ૚ ቁ ൅ 1
૛࢞ ൅ ૚
࢞ െ ૚ െ 1
 
Queremos resolver a equação ݂ ל ݂ሺݔሻ ൌ 1. Basta igualar a expressão anterior 
a 1. 
2 · ቀ2ݔ ൅ 1ݔ െ 1 ቁ ൅ 1
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1 െ 1
ൌ 1 
O denominador ଶ௫ାଵ
௫ିଵ
െ 1 “vai para o segundo membro multiplicando). 
2 · ൬
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
൰ ൅ 1 ൌ 1 · ൬
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
െ 1൰ 
4ݔ ൅ 2
ݔ െ 1
൅ 1 ൌ
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
െ 1 
Vamos multiplicar os dois membros por ݔ െ 1 (para cancelar os 
denominadores). 
4ݔ ൅ 2
ݔ െ 1
· ሺݔ െ 1ሻ ൅ 1 · ሺݔ െ 1ሻ ൌ
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
· ሺݔ െ 1ሻ െ 1 · ሺݔ െ 1ሻ 
4ݔ ൅ 2 ൅ ݔ െ 1 ൌ 2ݔ ൅ 1 െ ݔ ൅ 1 
5ݔ ൅ 1 ൌ ݔ ൅ 2 
5ݔ െ ݔ ൌ 2 െ 1 
4ݔ ൌ 1 
ݔ ൌ
1
4
 
Letra A 
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19. (AFC-STN 2008/ESAF) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, 
T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t 
que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 
1– t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e 
alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1 , isto é: 
T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que após 1204 operações o visor 
mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane 
digitou no visor é igual a: 
a) 0,8 
b) 0,7 
c) 2,5 
d) 0,42 
e) 0,36 
Resolução 
Vamos começar com um exemplo numérico qualquer para entendermos bem o 
funcionamento da calculadora. Digamos ݐ ൌ 3. 
A tecla T1 transforma o número t no número 1/t. Ou seja, esta tecla inverte o número. 
O inverso de 3 é 1/3. 
3
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
3
 
Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no 
número 1-t. 
Como o número que está na tela é igual a 1/3, a tecla T2 transformá-lo-á no número: 
1 െ
1
3
ൌ
3 െ 1
3
ൌ
2
3
 
2
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
2
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
2
3
 
Vamos novamente apertar a tecla T1. A tecla T1 transforma o número t no número 1/t. 
Ou seja, esta tecla inverte o número. O inverso de 2/3 é 3/2. 
2
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
2
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
2
3
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
3
2
 
E assim sucessivamente...Vamos começar com um número genérico ݔ. 
Apertando a tecla T1 deveremos inverter o número ݔ obtendo 1/x. 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 
Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no 
número 1-t. 
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Como o número que está na tela é igual a 1/x, a tecla T2 transformá-lo-á no número: 
1 െ
1
ݔ
ൌ
ݔ െ 1
ݔ
 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ െ 1
ݔ
 
Apertando a tecla T1 deveremos inverter o número ௫ିଵ
௫
 obtendo ௫
௫ିଵ
. 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ െ 1
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ
ݔ െ 1
 
Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no 
número 1-t. 
Como o número que está na tela é igual a ௫
௫ିଵ
, a tecla T2 transformá-lo-á no número: 
1 െ
ݔ
ݔ െ 1
ൌ
ݔ െ 1 െ ݔ
ݔ െ 1
ൌ
െ1
ݔ െ 1
 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ െ 1
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ
ݔ െ 1
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
െ1
ݔ െ 1
 
Apertando a tecla T1 deveremos inverter o número ିଵ
௫ିଵ
 obtendo ௫ିଵ
ିଵ
ൌ െݔ ൅ 1. 
 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ െ 1
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ
ݔ െ 1
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
െ1
ݔ െ 1
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ െݔ ൅ 1 
Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no 
número 1-t. 
Como o número que está na tela é igual a െݔ ൅ 1, a tecla T2 transformá-lo-á no 
número: 
1 െ ሺെݔ ൅ 1ሻ ൌ 1 ൅ ݔ െ 1 ൌ ݔ 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ െ 1
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ
ݔ െ 1
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
െ1
ݔ െ 1
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ െݔ ൅ 1
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ ݔ 
E assim, voltamos para a situação inicial: o número ݔ com a tecla T1 para ser 
apertada. 
Entramos em um loop. 
Resumindo: se você digita um número qualquer ݔ e aperta a sequência T1-T2-T1-T2-
T1-T2 a calculadora retorna o número inicialmente digitado. 
São 1.204 operações com as teclas. Já que elas se repetem a cada 6 operações, 
vamos dividir 1.204 por 6. 
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Isto significa que apertaremos a sequência T1-T2-T1-T2-T1-T2 duzentas vezes e 
ainda apertaremos mais 4 teclas: T1-T2-T1-T2 
Ao apertar a sequência T1-T2-T1-T2-T1-T2 duzentas vezes (um total de 6 x 200 = 
1.200 operações) voltamos para o número inicialmente digitado ݔ. Sabemos que 
começando com o número ݔ e apertando a sequência T1-T2-T1-T2 obtemos: 
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
1
ݔ
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ െ 1
ݔ
 ்ଵ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
ݔ
ݔ െ 1
 ்ଶ 
ሱۛ ۛۛ ۛۛ ሮۛ
െ1
ݔ െ 1
 
Então o número da tela é igual a ିଵ
௫ିଵ
. 
O enunciado nos disse que esse número é igual a 5. 
െ1
ݔ െ 1
ൌ 5 
5 · ሺݔ െ 1ሻ ൌ െ1 
5ݔ െ 5 ൌ െ1 
5ݔ ൌ െ1 ൅ 5 
5ݔ ൌ 4 
ݔ ൌ
4
5
ൌ 0,8 
Portanto, o número que Elaine digitou é igual a 0,8. 
Letra A 
20. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Considere a função ݂: ܰ ՜ ܰ tal que ݂ሺ0ሻ ൌ 0 e 
݂ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ݊ሻ ൅ ݊ ൅ 1 para todo ݊ א ܰ. O valor de ݂ሺ4ሻ é: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 13 
Resolução 
Já que o enunciado forneceu o valor de ݂ሺ0ሻ, vamos substituir ݊ por 0. 
݂ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ݊ሻ ൅ ݊ ൅ 1 
݂ሺ0 ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ0ሻ ൅ 0 ൅ 1 
1.204 6
2004
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݂ሺ1ሻ ൌ 0 ൅ 0 ൅ 1 
݂ሺ1ሻ ൌ 1 
Vamos fazer ݊ ൌ 1. 
݂ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ݊ሻ ൅ ݊ ൅ 1 
݂ሺ1 ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ1ሻ ൅ 1 ൅ 1 
݂ሺ2ሻ ൌ 1 ൅ 1 ൅ 1 
݂ሺ2ሻ ൌ 3 
Vamos fazer ݊ ൌ 2. 
݂ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ݊ሻ ൅ ݊ ൅ 1 
݂ሺ2 ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ2ሻ ൅ 2 ൅ 1 
݂ሺ3ሻ ൌ 3 ൅ 2 ൅ 1 
݂ሺ3ሻ ൌ 6 
Vamos fazer ݊ ൌ 3. 
݂ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ݊ሻ ൅ ݊ ൅ 1 
݂ሺ3 ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ3ሻ ൅ 3 ൅ 1 
݂ሺ4ሻ ൌ 6 ൅ 3 ൅ 1 
݂ሺ4ሻ ൌ 10 
Letra D 
Vamos agora falar um pouco sobre as progressões aritmética e geométrica. 
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. 
Exemplo: 
(2,5,8,11,14,...) Æ Progressão aritmética de razão r = 3. 
Observe que para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos 
calcular a diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede 
(antecedente). 
Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira: 
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ݎ ൌ 5 െ 2 ൌ 8 െ 5 ൌ 11 െ 8 ൌ ڮ ൌ 3 
Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão 
aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois 
termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A 
razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos 
consecutivos. Assim, 
ܾ െ ܽ ൌ ܿ െ ܾ 
2ܾ ൌ ܽ ൅ ܿ 
ܾ ൌ
ܽ ൅ ܿ
2
 
Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em 
P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética 
dos outros dois. Vejamos com um exemplo numérico: 
A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central 
é a média aritmética dos extremos. 
9 ൌ
4 ൅ 14
2
 
 
Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? 
Vejamos um exemplo: 
Qual o valor de x, de modo que x2, (x + 1)2 e (x + 3)2 formem, nessa ordem, 
uma P.A.? 
Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média 
aritmética dos outros dois. Dessa forma, 
ሺݔ ൅ 1ሻଶ ൌ
ݔଶ ൅ ሺݔ ൅ 3ሻଶ
2
 
ݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 1 ൌ
ݔଶ ൅ ݔଶ ൅ 6ݔ ൅ 9
2
 
2 · ሺݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 1ሻ ൌ 2ݔଶ ൅ 6ݔ ൅ 9 
2ݔଶ ൅ 4ݔ ൅ 2 ൌ 2ݔଶ ൅ 6ݔ ൅ 9 
4ݔ െ 6ݔ ൌ 9 െ 2 
െ2ݔ ൌ 7 
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ݔ ൌ െ
7
2
 
O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente 
denominado “Fórmula do Termo Geral”. Basicamente, essa fórmula serve para 
descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética. 
Voltemos àquela P.A. do início da aula: (2, 5, 8, 11, 14, ...). 
Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o próximo? 
17 + 3 = 20. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é muito fácil. 
O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? 
Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um 
método eficaz. E existe!! 
A fórmula do termo geral é a seguinte: 
ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · ݎ 
Em que ܽଵ é o primeiro termo, ݎ é a razão da progressão e ܽ௡ é o termo de 
ordem n (n-ésimo termo). 
Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar: 
ܽଵ.଴଴଴ ൌ ܽଵ ൅ ሺ1.000 െ 1ሻ · ݎ 
ܽଵ.଴଴଴ ൌ ܽଵ ൅ 999 · ݎ 
ܽଵ.଴଴଴ ൌ 2 ൅ 999 · 3 
ܽଵ.଴଴଴ ൌ 2.999 
O “ruim” desta fórmula é que ficamos “presos” a só poder calcular os termos da 
progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer 
uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer 
da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da 
progressão. 
Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo (ܽଵ଴) de uma progressão 
aritmética seja igual a 25 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo 
termo dessa progressão? 
Se você prestar bem atenção à fórmula ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · ݎ perceberá que não 
poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la 
se soubermos o valor do primeiro termo. 
Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de 
um prédio e precisa subir para o vigésimosétimo andar. Quantos andares 
preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os 
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termos de uma P.A.: Se “estamos” no décimo termo e preciso me deslocar até 
o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (27 – 10 = 17). E para 
avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim, 
ܽଶ଻ ൌ ܽଵ଴ ൅ 17 · ݎ 
ܽଶ଻ ൌ 25 ൅ 17 · 4 ൌ 93. 
 
Vamos fazer o “caminho da volta”: O vigésimo sétimo termo de uma 
progressão aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo 
termo? 
Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer 
do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. 
Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.). 
ܽଵ଴ ൌ ܽଶ଻ െ 17ݎ 
ܽଵ଴ ൌ 93 െ 17 · 4 ൌ 25 
 
Por fim, é importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros 
termos de uma Progressão Aritmética. 
ܵ௡ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽ௡ሻ · ݊
2
 
Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética 
(2, 5, 8, 11, ...). 
O primeiro passo é calcular o milésimo termo: já fizemos anteriormente e 
sabemos que ܽଵ.଴଴଴ ൌ 2.999. 
Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por: 
ܵ௡ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽ௡ሻ · ݊
2
 
ଵܵ.଴଴଴ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽଵ.଴଴଴ሻ · 1.000
2
 
ଵܵ.଴଴଴ ൌ
ሺ2 ൅ 2.999ሻ · 1.000
2
 
ଵܵ.଴଴଴ ൌ
ሺ2 ൅ 2.999ሻ · 1.000
2
ൌ 1.500.500 
Vamos às questões. 
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21. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais 
elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a 
mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as 
formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o 
trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: 
 
(A) 920 
(B) 905 
(C) 1.905 
(D) 1.920 
(E) 1.915 
Resolução 
A quantidade de folhas trazidas pelas formigas ao longo dos dias formam uma 
progressão aritmética de razão 3. 
ሺ20, 23, 26, … ሻ 
O problema pede o total de folhas armazenadas por essa colônia até o 
trigésimo dia. Ou seja, queremos saber a soma dos 30 primeiros termos desta 
progressão aritmética. Para isto, devemos calcular o trigésimo termo. 
ܽଷ଴ ൌ ܽଵ ൅ 29 · ݎ 
ܽଷ଴ ൌ 20 ൅ 29 · 3 ൌ 107 
Assim, a soma dos trinta primeiros termos será 
ܵଷ଴ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽଷ଴ሻ · 30
2
ൌ
ሺ20 ൅ 107ሻ · 30
2
ൌ 1.905 
Letra C 
22. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,......) é 
 
(A) 38 
(B) 28 
(C) 45 
(D) 35 
(E) 73/2 
Resolução 
O primeiro passo é calcular a razão da progressão. Para isto,devemos calcular 
a diferença entre dois termos consecutivos. 
ݎ ൌ 2 െ
1
2
ൌ
4 െ 1
2
ൌ
3
2
 
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Sabemos que o primeiro termo é igual a 1/2 e a razão é igual a 3/2. Queremos 
calcular o 24º termo. 
Do 1º ao 24º termo deveremos avançar 23 termos. Assim, 
ܽଶସ ൌ ܽଵ ൅ 23 · ݎ 
ܽଶସ ൌ
1
2
൅ 23 ·
3
2
ൌ
1
2
൅
69
2
ൌ
70
2
ൌ 35 
Letra D 
23. (Pref. Municipal de Barueri 2006/CETRO) A distância entre as placas na 
estrada da figura abaixo é sempre a mesma. Uma das alternativas apresenta 
valores corretos e organização em ordem crescente, no distanciamento entre 
as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C 
observadas no desenho, assinale-a. 
 
 
a) km 23, km 25 e km 10. 
b) km 21,25 ; km 21,5 e km 220/12 
c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12 
d) km 85/4 ; km 21 e km 200/10 
e) km 21, km 22 e km 23. 
Resolução 
Se a distância entre as placas na estrada da figura é a mesma, então os 
valores que serão escritos nas placas formarão uma Progressão Aritmética 
crescente. 
O primeiro termo da progressão é igual a 21 e o quinto termo da progressão é 
igual a 22. 
Sabemos que 
ܽହ ൌ ܽଵ ൅ 4 · ݎ 
Dessa forma, 
22 ൌ 21 ൅ 4 · ݎ 
1 ൌ 4 · ݎ 
ݎ ൌ 0,25 
Assim, a progressão aritmética será: 
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(21; 21,25; 21,5; 21,75; 22) 
A resposta é a alternativa c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12, pois 
85/4 = 21,25 e 261/12=21,75. 
Letra C 
24. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos 
dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado 
abaixo. 
 
 
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na 
tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número 
a) 2326 
b) 2418 
c) 2422 
d) 3452 
e) 3626 
Resolução 
Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que 
o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 
346 é dado por: 
ܽଷସ଺ ൌ ܽଵ ൅ 345 · ݎ ൌ 3 ൅ 345 · 7 ൌ 2.418 
Letra B 
25. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi 
construída segundo determinado padrão. 
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Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a 
 
a) 97 
b) 99 
c) 101 
d) 103 
e) 105 
Resolução 
A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira 
figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão 
aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. 
O vigésimo quinto termo é dado por: 
ܽଶହ ൌ ܽଵ ൅ 24 · ݎ ൌ 5 ൅ 24 · 4 ൌ 101 
Letra C 
26. (TRT – SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de 
gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de 
“T” (a inicial de seu nome), conforme a figura 
 
 
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o 
mesmo padrão, afirmar que ele possuía: 
a) exatamente 41 bolas de gude. 
b) menos de 220 bolas de gude. 
c) pelo menos 230 bolas de gude. 
d) mais de 300 bolas de gude. 
e) exatamente 300 bolas de gude. 
 
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Resolução 
 
A primeira figura possui 5 pontos, a segunda figura possui 9 pontos, a terceira 
figura possui 13 pontos, e assim sucessivamente. Temos uma progressão 
aritmética com primeiro termos igual a 5 e razão igual a 4. 
Quantas bolinhas Tisiu utilizou ao completar o décimo T? 
 
Devemos somar os 10 primeiros termos desta progressão aritmética. 
 
ܽଵ଴ ൌ ܽଵ ൅ 9 · ݎ 
 
ܽଵ଴ ൌ 5 ൅ 9 · 4 ൌ 41 
 
Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é dada por: 
 
ଵܵ଴ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽଵ଴ሻ · 10
2
ൌ
ሺ5 ൅ 41ሻ · 10
2
ൌ 230 
 
Como o problema não afirmou que ele utilizou TODAS as suas bolinhas de 
gude, podemos afirmar que Tisiu tem NO MÍNIMO 230 bolas de gude. 
 
Letra C 
 
27. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. 
 
Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido 
de: 
a) 720 
b) 840 
c) 780 
d) 680 
e) 880 
Resolução 
A figura 1 possui 4 bolinhas, a figura 2 possui 8 bolinhas, a figura 3 possui 12 
bolinhas... 
 
Temos uma P.A. com primeiro termo igual a 4 e razão igual a 4. Para 
calcularmos o total de bolinhas utilizadas ao terminar a figura 20, devemos 
calcular o vigésimo termo. 
 
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ܽଶ଴ ൌ ܽଵ ൅ 19 · ݎ 
 
ܽଶ଴ ൌ 4 ൅ 19 · 4 ൌ 80 
 
Assim, a soma dos vinte primeiros termos da progressão é igual a 
 
ܵଶ଴ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽଶ଴ሻ · 10
2
ൌ
ሺ4 ൅ 80ሻ · 20
2
ൌ 840 
 
Letra B 
 
28. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) Na seqüência aritmética: 2, 9, 16, 23, 29,... , o 
primeiro termo que ultrapassa 2007 é: 
A) 2009 
B) 2010 
C) 2011 
D) 2012 
E) 2013 
ResoluçãoTemos uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão igual a 
7. O termo geral é dado por: 
ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · ݎ 
ܽ௡ ൌ 2 ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · 7 
ܽ௡ ൌ 7݊ െ 5 
Queremos saber o primeiro termo que ultrapassa 2007. Portanto, ܽ௡ ൐ 2007. 
7݊ െ 5 ൐ 2007 
7݊ ൐ 2012 
݊ ൐ 287,42 … 
Assim, devemos considerar o primeiro número natural maior que 287,42... 
Vamos calcular o termo geral para ݊ ൌ 288. 
ܽ௡ ൌ 7݊ െ 5 
ܽଶ଼଼ ൌ 7 · 288 െ 5 ൌ 2011 
Letra C 
29. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na sequência aritmética: 6, 13, 20, 27, 
34,..., o primeiro termo que ultrapassa 2010 é: 
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a) 2012 
b) 2013 
c) 2014 
d) 2015 
e) 2016 
Resolução 
Estão notando que as provas da CEPERJ em 2010 foram copiadas das 
provas de 2007? 
Temos uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 6 e razão igual a 
7. O termo geral é dado por: 
ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · ݎ 
ܽ௡ ൌ 6 ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · 7 
ܽ௡ ൌ 7݊ െ 1 
Queremos saber o primeiro termo que ultrapassa 2010. Portanto, ܽ௡ ൐ 2010. 
7݊ െ 1 ൐ 2010 
7݊ ൐ 2011 
݊ ൐ 287,28 … 
Assim, devemos considerar o primeiro número natural maior que 287,28... 
Vamos calcular o termo geral para ݊ ൌ 288. 
ܽ௡ ൌ 7݊ െ 1 
ܽଶ଼଼ ൌ 7 · 288 െ 1 ൌ 2015 
Letra D 
30. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) Em uma adição de 15 números, as parcelas foram 
colocadas em ordem crescente e ocorreu que a primeira parcela era igual a 23, 
a última era igual a 117, e cada uma das outras era igual à média aritmética 
das duas parcelas vizinhas. O resultado desta operação foi: 
A) 900 
B) 975 
C) 980 
D) 1050 
E) 1200 
Resolução 
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Questão muito bem elaborada para privilegiar as pessoas que estudaram. 
Vimos anteriormente que dados três números em P.A. (progressão aritmética), 
o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Portanto, a 
sequência descrita no enunciado é uma progressão arirmética. Queremos 
calcular a soma dos 15 termos que estão em progressão aritmética. 
São 15 termos, portanto ݊ ൌ 15. O primeiro termo é igual a 23 e o último termo 
(o décimo quinto termo) é igual a 117. 
ଵܵହ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽଵହሻ · 15
2
ൌ
ሺ23 ൅ 117ሻ · 15
2
ൌ
140 · 15
2
ൌ 70 · 15 ൌ 1.050 
Letra D 
31. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Observe a sequência de figuras a 
seguir. 
 
O número de bolinhas usadas na 28ª figura é: 
a) 398 
b) 402 
c) 406 
d) 412 
e) 418 
Resolução 
Observe a 4ª figura: 
Ela tem uma bolinha na primeira linha, duas bolinhas na segunda linha, três 
bolinhas na terceira linha e quatro bolinhas na quarta linha. 
O total de bolinhas na quarta figura é igual a 1+2+3+4=10. 
Queremos calcular o número de bolinhas usadas na 28ª figura. Devemos 
calcular 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ڮ ൅ 28. 
É a soma de uma progressão aritmética com 28 termos com o primeiro termo 
igual a 1 e o último termo igual a 28. 
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ܵଶ଼ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽଶ଼ሻ · 28
2
ൌ
ሺ1 ൅ 28ሻ · 28
2
ൌ
29 · 28
2
ൌ 29 · 14 ൌ 406 
Letra C 
32. (Senado Federal/2008/FGV) Você vê abaixo os números triangulares: 
1, 3, 6, ... . 
 
O 60º número triangular é: 
a) 1830 
b) 1885 
c) 1891 
d) 1953 
e) 2016 
Resolução 
Questão idêntica à anterior, não? 
Queremos calcular o número de bolinhas usadas na 60ª figura. Devemos 
calcular 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ ڮ ൅ 60. 
É a soma de uma progressão aritmética com 60 termos com o primeiro termo 
igual a 1 e o último termo igual a 60. 
ܵ଺଴ ൌ
ሺܽଵ ൅ ܽ଺଴ሻ · 60
2
ൌ
ሺ1 ൅ 60ሻ · 60
2
ൌ
61 · 60
2
ൌ 61 · 30 ൌ 1.830 
Letra A 
Agora, finalmente a progressão geométrica! 
 
Progressão Geométrica é uma sequência em que qualquer termo, a partir do 
segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante q, chamada razão 
da P.G.. 
Por exemplo, a sequência (3, 6, 12, 24, 48, ...). 
É uma progressão geométrica de razão igual a 2. 
Observe que para calcular a razão de uma progressão geométrica, devemos 
dividir qualquer termo pelo termo que o antecede. Assim, 
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ݍ ൌ
6
3
ൌ
12
6
ൌ 2 
Suponha que temos três números (a,b,c) formando uma progressão 
geométrica. Dessa forma, a razão pode ser calculada como b/a ou c/b. 
ܾ
ܽ
ൌ
ܿ
ܾ
֜ ܾଶ ൌ ܽܿ 
Ou seja, sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo 
central será igual ao produto dos extremos. 
A fórmula do termo geral (que serve para descobrir qualquer termo da 
progressão) é muito parecida com a fórmula do termo geral da P.A.. 
ܽ௡ ൌ ܽଵ · ݍ௡ିଵ 
Lembrando que não somos obrigados a ficar “presos” com o primeiro termo. 
Podemos utilizar o mesmo artifício que utilizamos em P.A.. 
Por exemplo, se você conhece o décimo termo e quer descobrir o vigésimo 
sétimo termo, a fórmula do termo geral ficará 
ܽଶ଻ ൌ ܽଵ଴ · ݍଵ଻ 
Lembremos ainda a fórmula da soma dos termos de uma P.G. finita: 
ܵ௡ ൌ
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
E o limite da soma dos termos de uma P.G. infinita (o módulo da razão 
deve ser um número maior do que zero e menor do que 1). 
ܵஶ ൌ
ܽଵ
1 െ ݍ
 
33. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Em uma certa cultura de bactérias, o número de 
bactérias dobra a cada dia. Considerando que 210 é aproximadamente igual a 
1.000, uma cultura iniciada hoje (primeiro dia de trabalho) com 50 dessas 
bactérias, no 25º dia o número delas será de, aproximadamente: 
a) 400.000.000 
b) 800.000.000 
c) 2.000.000.000 
e) 4.000.000.000 
e) 8.000.000.000 
Resolução 
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A cultura é iniciada com 50 bactérias. No segundo dia terá o dobro: 100 
bactérias. No terceiro dia, teremos o dobro de 100: 200 bactérias. 
Temos a seguinte progressão geométrica de razão 2. 
ሺ50,100,200, … ሻ 
Queremos calcular o 25º termo desta progressão. 
ܽଶହ ൌ ܽଵ · ݍଶସ 
ܽଶହ ൌ 50 · 2ଶସ ൌ 50 · 2ସ · 2ଵ଴ · 2ଵ଴ 
Como o problema mandou considerar 2ଵ଴ ൌ 1.000: 
ܽଶହ ൌ 50 · 2ସ · 2ଵ଴ · 2ଵ଴ ൌ 50 · 16 · 1.000 · 1.000 ൌ 800.000.000 
Letra B 
34. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é 
igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, 
obtém-se: 
 
(A) 5.000 
(B) 5.115 
(C) 4.995 
(D) 5.015 
(E) 4.895 
Resolução 
Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos 
pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de 
uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o 
primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a 
seguinte: 
ܽ଻ ൌ ܽଵ · ݍ଺ 
320 ൌ 5 · ݍ଺ 
ݍ଺ ൌ 64 ֜ ݍ଺ ൌ 2଺ ֜ ݍ ൌ 2 
Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será: 
ܵ௡ ൌ
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
֜ ଵܵ଴ ൌ
ܽଵ · ሺݍଵ଴ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
ଵܵ଴ ൌ
5 · ሺ2ଵ଴ െ 1ሻ
2 െ 1
 
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ଵܵ଴ ൌ 5 · 1023 ൌ 5.115 
Letra B 
35. (TRT-SC 2005/FEPESE) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são 
atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações 
feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda 
semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na 
décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete 
árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é: 
a) menor que 824 
b) igual a 1024 
c) igual a 1030 
d) igual a 1320 
e) maior que 1502 
Resolução 
Eis o número de árvores atacadas ao longo das semanas: 
ሺ1, 2, 4, 8, … ሻ 
Temos uma progressão geométrica de razão igual a 2, pois cada termo é igual 
ao anterior multiplicado por 2. 
O totalde árvores atacadas nas 10 semanas é igual à soma dos 10 primeiros 
termos desta progressão geométrica. 
ܵ௡ ൌ
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
֜ ଵܵ଴ ൌ
ܽଵ · ሺݍଵ଴ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
ଵܵ଴ ൌ
1 · ሺ2ଵ଴ െ 1ሻ
2 െ 1
 
ଵܵ଴ ൌ 1 · 1023 ൌ 1.023 
Assim, o total de árvores é igual a 1.023 + 7 = 1.030 (7 árvores não foram 
atacadas). 
Letra C 
36. (Analista Administrativo – ANEEL 2006/ESAF) Os números A,B e 10 
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B 
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, 
pode-se afirmar que um possível valor para o produto das razões dessas 
progressões é igual a: 
a) -12 
b) -15 
c) 10 
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d) 12 
e) 8 
Resolução 
Vimos anteriormente que dados três números em P.A. (progressão aritmética), 
o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Então, se os 
números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos 
que: 
ܤ ൌ
ܣ ൅ 10
2
֜ 2ܤ ൌ ܣ ൅ 10 ሺܫሻ 
Sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo central será 
igual ao produto dos extremos. Então, se Os números 1, A e B formam, nessa 
ordem, uma progressão geométrica, temos que: 
ܣଶ ൌ 1 · ܤ ֜ ܤ ൌ ܣଶ ሺܫܫሻ 
Substituindo (II) em (I), 
2ܤ ൌ ܣ ൅ 10 
2ܣଶ ൌ ܣ ൅ 10 
2ܣଶ െ ܣ െ 10 ൌ 0 
A ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
A ൌ
െሺെ1ሻ േ ඥሺെ1ሻଶ െ 4 · 2 · ሺെ10ሻ
2 · 2
 
A ൌ
1 േ √81
4
֜ ܣ ൌ
1 േ 9
4
 
Logo, A=10/4=5/2 ou A = - 2. 
Como ܤ ൌ ܣଶ, 
Se A = 5/2 = 2,5, então B = 25/4 = 6,25 
Se A = -2, então B = 4. 
Temos duas possibilidades para as progressões: 
i) (2,5; 6,25; 10) é uma progressão aritmética de razão igual a 3,75. 
(1; 2,5; 6,25) é uma progressão geométrica de razão 2,5. 
O produto das razões é igual a 3,75 x 2,5 = 9,375. 
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ii) (-2, 4, 10) é uma progressão aritmética de razão igual a 6. 
(1, -2, 4) é uma progressão geométrica de razão igual a -2. 
O produto das razões é igual a -2 x 6 = -12. 
Letra A 
37. (FUVEST 1ª fase 2001) Uma progressão aritmética e uma progressão 
geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros 
termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo 
termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão 
geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é: 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 18 
Resolução 
Chamarei o terceiro termo das progressões de y (já que coincidem). Se o 
segundo termo da P.G. for igual a x, então o segundo termo da P.A. será igual 
a x+2. 
Temos então a P.A. (4, x+2, y) e a P.G. (4, x, y). 
Dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre 
será a média aritmética dos outros dois. Então, se os números 4, x+2 e y 
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos que: 
ݔ ൅ 2 ൌ
4 ൅ ݕ
2
֜ 2ݔ ൅ 4 ൌ 4 ൅ ݕ 
ݕ ൌ 2ݔ ሺܫሻ 
Sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo central será 
igual ao produto dos extremos. Então, se Os números 4, x e y formam, nessa 
ordem, uma progressão geométrica, temos que: 
ݔଶ ൌ 4 · ݕ ሺܫܫሻ 
Substituindo (I) em (II), 
ݔଶ ൌ 4 · 2ݔ 
ݔଶ െ 8ݔ ൌ 0 
Daí podemos concluir que x = 0 ou x = 8. 
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Mas se x = 0, então y = 0, o que é um absurdo visto que o terceiro termo é 
estritamente positivo. 
Concluímos que x = 8. 
Então y = 2 x 8 = 16. 
O terceiro termo das progressões é y = 16. 
Letra D 
38. (FNDE/2007/FGV) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58, ... , o 
termo seguinte ao 58 é: 
a) 75 
b) 77 
c) 76 
d) 78 
e) 79 
Resolução 
3 ,10 ,19 ,30 ,43 , 58,... 
 +7 +9 +11 +13 +15 
Para manter o padrão, devemos somar 17 ao número 58. Assim, o próximo 
número é 58 + 17 = 75. 
Letra A 
39. (FNDE/2007/FGV) Na sequência de algarismos 
1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3, ... , o 2007º algarismo é: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 3 
Resolução 
Observe a periodicidade da sequência acima. Há uma repetição dos 
algarismos 1,2,3,4,5,4,3,2, retornando novamente para o algarismo 1. Temos 
então uma repetição a cada 8 algarismos. 
Temos que 2007 250 8 7= ⋅ + (obtém-se este resultado dividindo 2007 por 8). 
Isso quer dizer que o grupo 1,2,3,4,5,4,3,2 se repete 250 vezes e ainda restam 
7 algarismos. Os próximos 7 algarismos são 1,2,3,4,5,4,3. Portanto o 2007º 
algarismo é 3. 
Letra E 
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40. (TCE/MG/2007/FCC) Os termos da sucessão seguinte foram obtidos 
considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 13,...). Segundo essa lei, o 
décimo terceiro termo dessa sequência é um número: 
a) menor que 200. 
b) compreendido entre 200 e 400. 
c) compreendido entre 500 e 700. 
d) compreendido entre 700 e 1000. 
e) maior que 1000. 
Resolução 
Observe o seguinte esquema: 
0, 1, 3, 4, 12, 13, 39, 40, 120, 121, 363, 364,1092 
 +1 x3 +1 x3 +1 x3 +1 x3 +1 x3 +1 x3 
Letra E 
 
 
 
Um abraço e até a próxima aula! 
Prof. Guilherme Neves 
guilherme@pontodosconcursos.com.br 
 
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Relação das questões comentadas nesta aula 
01. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma 
função y = f(x). 
 
 
02. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja ݂ uma função que tem como domínio o conjunto 
A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A 
função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse 
elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar que 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no 
contradomínio. 
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
c) f não é uma função. 
d) ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
03. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado 
que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, 
era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-
se afirmar, então, que um coelho: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta 
tentativa. 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. 
 
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04. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos 
A(-1, -5) e B(5, 7) é 
(A) f(x) = 3x + 2 
(B) f(x) = 2x – 3 
(C) f(x) = x – 4 
(D) f(x) = x + 3 
(E) f(x) = 3x + 3 
05. (Prefeitura de Cantagalo 2010/CEPERJ) A função polinomial do primeiro 
grau F(X) tal que F(0) = 4 e F(2) = 0 é: 
 
a) 2 +2x 
b) 4+2x 
c) -2x+4 
d) –x-2 
e) -4x+2 
 
06. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O gráfico da função ݂ é uma reta. Sabendo que 
݂ሺെ2ሻ ൌ 2 e ݂ሺ14ሻ ൌ 50, então ݂ሺ11ሻ é igual a: 
a) 37 
b) 38 
c) 39 
d) 40 
e) 41 
07. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de 
uma função do tipo f (x) = ax + b. 
 
 
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que 
 
(A) possui duas raízes reais. 
(B) a < 0. 
(C) b > 0. 
(D) ab < 0. 
(E) não possui raízes reais. 
 
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www.pontodosconcursos.com.br08. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β 
interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, 
a) α > 0 e β > 0 
b) α > 0 e β < 0 
c) α < 0 e β < 0 
d) α < -1 e β < 0 
e) α > -1 e β > 0 
09. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro 
obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro 
do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é 
representado na figura abaixo. 
 
 
 
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
 
10. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) O valor mínimo da função 
 ݂ሺݔሻ ൌ ሺݔ ൅ 1ሻଷ െ ݔଷ é: 
a) 1/4 
b) 1/2 
c) 3/4 
d) 13/8 
e) 1 
 
 
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11. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O valor mínimo da função ݕ ൌ ሺݔ െ 1ሻଶ ൅ ሺݔ ൅ 2ሻଶ 
é: 
a) 4 
b) 4,5 
c) 5 
d) 5,5 
e) 6 
12. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0 ݁ ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. 
Sabendo que A é o conjunto solução de ݂ሺݔሻ e B o conjunto solução de 
݃ሺݔሻ, então o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ é igual a: 
 
a) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൏ ݔ ൑ 2ቅ 
b) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൑ ݔ ൑ 2ቅ 
c) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ 
d) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 0ሽ 
e) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 0ሽ 
13. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 
 ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 e ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5. Assinale a alternativa que apresenta 
a solução da inequação definida por ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0. 
a) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 2ሽ 
b) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
c) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|1 ൑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
d) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൒ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
e) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 1 ݋ݑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
14. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) O menor valor inteiro que satisfaz a 
inequação 
2ݔ ൅ 1
ݔ ൅ 4
൏ 1 
a) 1 
b) zero 
c) -3 
d) -5 
e) -4 
 
 
 
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15. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Se ݂ሺ2ݔ െ 3ሻ ൌ ௫ାସ
௫ିଵ
, para ݔ ് 1, então ݂ሺ7ሻ é: 
a) 9/4 
b) 2 
c) 8/5 
d) 11/6 
e) 3 
16. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Seja a função 
f(x) = x² + 5, e g(x) = x – 4. A função composta f o g, para x = 2 é igual a 
a) 9. 
b) 5. 
c) 6. 
d) - 2. 
e) - 4. 
17. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Se R denota o conjunto dos números reais e 
 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 7 e ݃ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 3 são funções de R em R, então a lei de definição 
da função composta ݂ ל ݃ é dada por 
 
a) ݔଶ െ 3ݔ ൅ 1 
b) 2ݔଶ െ 4ݔ ൅ 13 
c) ݔସ െ 3ݔଶ ൅ 9 
d) 2ݔସ െ 5ݔଶ ൅ 36 
e) ݔସ െ ݔଶ ൅ ݔ െ 1 
18. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere a função 
݂ሺݔሻ ൌ
2ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
 
para ݔ ് 1. A solução da equação ݂ ל ݂ሺݔሻ ൌ 1 é: 
a) ݔ ൌ 1/4 
b) ݔ ൌ 1/3 
c) ݔ ൌ 2/3 
d) ݔ ൌ 3/4 
e) ݔ ൌ െ1 
19. (AFC-STN 2008/ESAF) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, 
T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t 
que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 
1– t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e 
alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1 , isto é: 
T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que após 1204 operações o visor 
mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane 
digitou no visor é igual a: 
a) 0,8 
b) 0,7 
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c) 2,5 
d) 0,42 
e) 0,36 
20. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Considere a função ݂: ܰ ՜ ܰ tal que ݂ሺ0ሻ ൌ 0 e 
݂ሺ݊ ൅ 1ሻ ൌ ݂ሺ݊ሻ ൅ ݊ ൅ 1 para todo ݊ א ܰ. O valor de ݂ሺ4ሻ é: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 13 
21. (EBDA 2006/CETRO) As formigas, quanto mais próximo o inverno, mais 
elas trabalham. Em uma colônia, a cada dia que passa, elas trazem 3 folhas a 
mais que o dia anterior, que servirão de alimento para todas. No primeiro dia as 
formigas trouxeram 20 folhas, no segundo dia, 23 e assim por diante até o 
trigésimo dia, então o total de folhas armazenadas por essa colônia, foi de: 
 
(A) 920 
(B) 905 
(C) 1.905 
(D) 1.920 
(E) 1.915 
22. (IMBEL 2004/CETRO) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2,......) é 
 
(A) 38 
(B) 28 
(C) 45 
(D) 35 
(E) 73/2 
23. (Pref. Municipal de Barueri 2006/CETRO) A distância entre as placas na 
estrada da figura abaixo é sempre a mesma. Uma das alternativas apresenta 
valores corretos e organização em ordem crescente, no distanciamento entre 
as placas de quilometragens indicadas, que podem substituir as letras A, B e C 
observadas no desenho, assinale-a. 
 
 
a) km 23, km 25 e km 10. 
b) km 21,25 ; km 21,5 e km 220/12 
c) km 85/4 ; km 21,5 e km 261/12 
d) km 85/4 ; km 21 e km 200/10 
e) km 21, km 22 e km 23. 
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24. (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos 
dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado 
abaixo. 
 
 
Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na 
tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número 
a) 2326 
b) 2418 
c) 2422 
d) 3452 
e) 3626 
25. (TCE PB 2006 FCC) Considere que a seguinte sequência de figuras foi 
construída segundo determinado padrão. 
 
Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a 
 
a) 97 
b) 99 
c) 101 
d) 103 
e) 105 
 
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26. (TRT – SC 2005/FEPESE) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de 
gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma sequência de 
“T” (a inicial de seu nome), conforme a figura 
 
 
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o 
mesmo padrão, afirmar que ele possuía: 
a) exatamente 41 bolas de gude. 
b) menos de 220 bolas de gude. 
c) pelo menos 230 bolas de gude. 
 
27. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de figuras abaixo. 
 
Quando terminarmos a figura 20, o número total de bolinhas utilizadas terá sido 
de: 
a) 720 
b) 840 
c) 780 
d) 680 
e) 880 
28. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) Na seqüência aritmética: 2, 9, 16, 23, 29,... , o 
primeiro termo que ultrapassa 2007 é: 
A) 2009 
B) 2010 
C) 2011 
D) 2012 
E) 2013 
29. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na sequência aritmética: 6, 13, 20, 27, 
34,..., o primeiro termo que ultrapassa 2010 é: 
a) 2012 
b) 2013 
c) 2014 
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d) 2015 
e) 2016 
30. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) Em uma adição de 15 números, as parcelas foram 
colocadas em ordem crescente e ocorreu que a primeira parcela era igual a 23, 
a última era igual a 117, e cada uma das outras era igual à média aritmética 
das duas parcelas vizinhas. O resultado desta operação foi: 
A) 900 
B) 975 
C) 980 
D) 1050 
E) 1200 
31. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Observe a sequência de figuras a 
seguir. 
 
O número de bolinhas usadas na 28ª figura é: 
a) 398 
b) 402 
c) 406 
d) 412 
e) 418 
32. (Senado Federal/2008/FGV) Você vê abaixo os números triangulares: 
1, 3, 6, ... . 
 
O 60º número triangular é: 
a) 1830 
b) 1885 
c) 1891 
d) 1953 
e) 2016 
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33. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Em uma certa cultura de bactérias, o número de 
bactérias dobra a cada dia. Considerando que 210 é aproximadamente igual a 
1.000, uma cultura iniciada hoje (primeiro dia de trabalho) com 50 dessas 
bactérias, no 25º dia o número delas será de, aproximadamente: 
a) 400.000.000 
b) 800.000.000 
c) 2.000.000.000 
e) 4.000.000.000 
e) 8.000.000.000 
34. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é 
igual a 5 e o sétimo