Teste de Hipótese resumo

Prévia do material em texto

1 
TESTES DE HIPÓTESES 
 
 Assim como a Estimação, o teste de hipótese 
também é uma técnica para fazer inferência 
estatística. A partir do teste de hipótese 
realizado sobre uma amostra podemos inferir 
sobre a população. 
ESTIMAÇÃO 
Prof. Jorge Mattar Neto jmattar@up.edu.br 
TESTES DE HIPÓTESE 
 O objetivo da estimação é estimar algum 
parâmetro populacional, enquanto que o objetivo 
dos testes de significância é DECIDIR se 
determinada afirmação sobre um parâmetro 
populacional é verdadeira. 
 Exemplos: 
 A altura média da população brasileira é 1,65m; 
 H:  = 1,65m. 
 A proporção de paulista com a doença XZ é 40 %. 
 H:  = 0,40. 
 
Teste de Hipótese: É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar 
uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais. 
1) Hipótese nula (Ho): [dada p/uma igualdade] 
 
 
 
 
 
 
2) Hipótese alternativa(H1):[dada por uma desigualdade] 
 
 
TIPOS DE HIPÓTESES 
É uma afirmação que diz que o parâmetro 
populacional é tal como especificado (hipótese a 
ser testada). 
É uma afirmação que oferece uma alternativa a 
alegação; Parâmetro > ou <. 
a) Ho:  = 0. b) Ho:  ≤ 0. c) Ho:  ≥ 0. 
 H1:   0. H1:  > 0. H1:  < 0. 
 
 
 
TIPOS DE HIPÓTESES 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 5 10 15 20
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 5 10 15 20
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 5 10 15 20
 RA RA RA  
 
2 
 
2 
Z 
Z Z/2 Z/2 
TIPOS DE ERROS 
Erro do tipo I: Rejeitar a Ho quando esta é verdadeira; 
a probabilidade de cometer este erro é . 
 
 *  = P(Erro I) = P ( rejeitar Ho/ Ho é verdadeira) 
 
* é denominada “nível de significância” do teste; Probabilidade de Ho ser 
 rejeitada quando verdadeira. 
 
Erro do tipo II: Não rejeitar Ho quando Ho falsa; a 
probabilidade de cometer este erro é . 
 
 = P(Erro II) = P(não rejeitar Ho/Ho é falsa) 
TIPOS DE ERROS 
DECISÃO 
 
SE Ho É... 
 VERDADEIRA FALSA 
ACEITAR Ho Sem erro 
Erro tipo II 
() 
REJEITAR Ho 
Erro tipo I 
() 
Sem erro 
ERRO TIPO I 
 () 
ERRO TIPO II 
 () 
2 
EXEMPLO 1 
Uma máquina automática de encher pacotes de café enche-os 
segundo um D.N., com média  e variância 400g². O valor de 
 pode ser fixado num mostrador situado numa posição um 
pouco inacessível dessa máquina. A máquina foi regulada para 
 = 500g. Desejamos, de meia em meia hora, colher uma 
amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob 
controle, i.é., se =500g ou não. Se uma dessas amostras 
apresentasse uma média x = 492g, você pararia ou não a 
produção para verificar se o mostrador está na posição correta? 
1º) X = peso de cada pacote, então... 
 
 Ho:  = 500 g 
 H 1:   500 g, a máquina pode desregular para + ou para - . 
 
 
2º) Pelo problema temos que X:N(500;25) 
 
pois, ²X = ²  ²X = 400/16  ²X = 25  x =5 
 n 
 
Se Ho é verdadeira  X:N(500;25) 
RESOLUÇÃO 1 
3º) considerar  = 1 %; z = 2,58; x =5 
 
 x1  – 2,58 = x 1 – 500 :. X1 = 487,1 g 
 5 
 
 x2  2,58 = x 2 + 500 :. X2 = 512,9 g 
 5 
 
 
 RC = { x  IR / x < 487,1 ou x > 512,9 } 
RESOLUÇÃO 1 
4º) Valor da amostra : xo = 492 g. 
 
 
 
 
 
 
 
 487,1 492 500 512,9 X 
 
 
5º) Como xo  RC, logo a decisão é ACEITAR Ho, o desvio 
da média da amostra para a média proposta por Ho pode ser 
considerado como devido apenas ao sorteio aleatório dos 
pacotes. NÃO PARARIA a produção. 
RESOLUÇÃO 1 
RESOLUÇÃO 2- Teste de significância para a média 
5º) Como z cal =  RC, logo não se pode REJEITAR Ho com 
esse nível de significância. 
 – 1,6 
2º) Pelo problema temos que n = 16, D.N. e dp pop.  z 
 com  = 0,01 , então z 0,01 = 2,58 
- 2,58 0 2,58 z 
1º) Fixar Ho a ser testada e qual H1 alternativa; 
2º) Fixar a P(Erro I) =  (nível de confiança); 
3º) Selecionar a estatística do teste ( z, t, ², ... ); 
4º) Usar informações da amostra para encontrar o valor 
 da estatística que definirá a decisão; 
5º) Se o valor da estatística observado na amostra não 
 pertencer a Região Crítica, ACEITE Ho; 
 caso contrário rejeite. 
OBS: TESTE DE SIGNIFICÂNCIA : Consideram apenas o erro . 
PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DE UM TESTE 
DE HIPÓTESE /Significância: 
3 
ESTATÍSTICA DE TESTE: EXEMPLO 2 - Teste de significância para a média 
Os registros dos últimos anos de um colégio, atestam 
para os calouros admitidos uma nota média 90. Para 
testar a hipótese de que a média de uma nova turma é a 
mesma, tirou-se ao acaso, uma amostra de 20 notas, 
obtendo-se média 93 e desvio padrão 15. Admitir que  
= 0,05, para efetuar o teste. 
1º) X = notas , então... 
 
 Ho:  = 90 
 H 1:   90 
RESOLUÇÃO 
5º) Como t cal =  RC, logo não se pode REJEITAR Ho com 
esse nível de significância. 
 0,89 
2º) Pelo problema temos que n = 20 < 30  t 
 com  = 0,05 e gl = 20 – 1 = 19, então t 0,05 = 2,093 
 - 2,093 0 2,093 t 
EXEMPLO 3 - Teste de significância para a proporção 
Um instituto de pesquisa de opinião pública constatou 
que 496 dos 800 eleitores selecionados aleatoriamente, 
responderam que preferem o candidato A. Testar a 
hipótese ao nível de 10% para a informação que 65% 
preferem o candidato A. 
1º) Ho:  = 0,65 
 H1:   0,65 
2º) Pelo problema temos que n = 800 > 30  teste z 
 p = 496 = 0,62 
 800 
EXEMPLOS 
3º) Com  = 0,10 e H1:   0,65 temos a R.C.  z 0,90 =  1,65 
– 1,65 +1,65 
5º) Como zcal  R.C., logo a decisão é rejeitar H0, concluindo-
se que ao nível de 10%   0,65. 
– 1,78 
1º) Ho:  = 0,65 
 H1:   0,65 DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO 
É um modelo de distribuição contínua muito 
importante para a teoria da inferência estatística. 
Considere x1, x2, x3 ...xp, “n” variáveis aleatórias 
idependentes, normalmente distribuídas com 
média zero e variância 1, ou seja, “n” 
variáveis tipo normal padrão. 
4 
DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO 
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO 
1. n
2  0 2. Média = n 3. Variância = 2n 
4. A função densidade de probabilidade está representada 
 graficamente para alguns valores de n: 
Observe que à medida 
que n cresce, a 
funçãode densidade 
de probabilidade 
tende à forma da 
FUNÇÃO NORMAL. 
 
TABELA QUI-QUADRADO ( ²) 
A tabela do Qui-Quadrado em função do grau de 
liberdade n, apresenta o valor numérico da VA 
que deixa à sua direita determinada área , ou 
seja  = P(X  x) 
 Para cálculo da probabilidade P(X  x), ou seja, 
área na cauda esquerda da distribuição, utiliza-se a 
propriedade P(X  x) = 1 – P(X  x) = 1 – , 
conforme ilustrado a seguir. 
 
TABELA QUI-QUADRADO ( ²) 
1. O valor à direita, chamado qui-quadrado superior, é obtido 
 na tabela com n =12 e  =0,025. Logo, ² = 23,34 
2. O valor da abscissa à esquerda, chamado qui-quadrado inferior, 
 é obtido da tabela com n =12 e  =1 - 0,025, portanto  =0,975. 
 Logo, ² = 4,40 
EXEMPLO 4 - Teste de significância para a variância 
Para testar a hipótese de que a variância de uma 
população com distribuição normal é 25, retirou-se uma 
amostra de 27 elementos, obtendo-se Var(x)= 17,5. 
Admitindo  = 0,10, efetue o teste de significância 
unicaudal à esquerda. 
1º) Ho : ² = 25 
 H 1: ² < 25 
2º)  = 10 %, a variável de teste será ², com  (gl) = n – 1 
  (gl) = 10 – 1 = 9 
EXEMPLO 4 - Teste de significância para a variância 
3º) Com a tabela Qui-quadrado: Região Critica,  = 10 %, 
 
RA 0,90 
RC 
0,10 
 = 26 
17,29 
valor da tabela de ² 
Regiões críticas das hipóteses do teste sob 
a distribuição Qui-Quadrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consultar a tabela com 
/2 e  = n – 1 (sup) e 
1– /2 e  = n – 1 (inf). 
Consultar a tabela 
com  e 
  = n – 1 (superior) 
Consultar a tabela 
com 1– e 
 = n – 1 (inferior). 
RC RC RC RC 
RA 
RA RA 
1–  1–  1–  
  /2 /2