AULA 6 MEDIDAS DE POSIÇÃO E TENDÊNCIA CENTRAL

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Estatística Aplicada a 
Administração
1º SEMESTRE – 2016
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI
AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E TENDÊNCIA CENTRAL
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE PAULISTA - UNORP
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CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP
1.2 - Média Aritmética
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2
1.3 – Desvio em Relação à Média
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3
1.4 – Propriedades da Média
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4
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5
1.4 – Propriedades da Média
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6
1.4 – Propriedades da Média
Sem Intervalo de Classe
Observe a seguinte distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o
número de filhos de sexo masculino:
Abaixo a fórmula da média aritmética ponderada, que
leva a calcular a intensidade de cada valor que
funcionam como fatores de ponderação:
Utilizando o método acima da fórmula de ponderação temos a seguinte tabela montada:
1.5 – Dados Agrupados
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8
1.5 – Dados Agrupados
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1.5 – Dados Agrupados
Média Aritmética Ponderada, temos:
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10
1.5 – Dados Agrupados
1.6 – Processo Breve
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11
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12
1.6 – Processo Breve
Amplitude da Classe:
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13
1.6 – Processo Breve
1.6 – Processo Breve
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14
1.7 – Lista de Exercícios para Aula 02
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1.7 – Lista de Exercícios para Aula 02
Moda (Mo): São valores ocorridos com maior frequência em uma série de
valores;
Dados não-agrupados
Existem algumas maneiras de classificarmos como:
Modal - Basta procurar o valor que mais se repete. Ex: (3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9).
A série tem moda igual a 6 (valor modal 6);
Amodal - Pode acontecer também uma série sem valor modal. Ex:
(1,2,3,4,5,6,7,8,9), série amodal;
 Bimodal - Pode acontecer também uma série com mais de uma moda. Ex: 
(1,2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8,9), a série tem duas modas (2 e 6) - série bimodal.
MODA
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2. Dados Agrupados
Sem intervalos de classe - Basta identificar o valor da variável que possui
maior freqüência. Ex: Seja a seguinte distribuição: Mo = 3
no de filhos (xi) que se deseja ter fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Total Σfi = 34
Maior índice de frequência, portanto Mo = 3, este número significa xi
MODA
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2. Com intervalos de classe - A classe com maior frequência é denominada classe modal,
o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de classe.
Ex: Seja a distribuição:
Então: a classe modal é i = 3, logo Mo = 160 pontos
MODA
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i Total de pontos xi fi
1 150 |- 154 152 4
2 154 |- 158 156 9
3 158 |- 162 160 11
4 162 |- 166 164 8
5 166 |- 170 168 5
6 170 |- 174 172 3
Total 40
2
L
xMo i



MODA
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i Total de pontos xi fi
1 150 |- 154 152 4
2 154 |- 158 156 9
3 158 |- 162 160 11
4 162 |- 166 164 8
5 166 |- 170 168 5
6 170 |- 174 172 3
Total 40
2
L
xMo i



Índice com 
maior 
frequência!
MODA
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*
21
1* h
DD
D
lMo 


Fórmula de Czuber:
MODA
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i Total de pontos xi fi
1 150 |- 154 152 4
2 154 |- 158 156 9
3 158 |- 162 160 11
4 162 |- 166 164 8
5 166 |- 170 168 5
6 170 |- 174 172 3
Total 40
*
21
1* h
DD
D
lMo 


Para a moda sempre
identificar o índice com
maior frequência!
EXEMPLO PRÁTICO
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i Salário Mensal dos alunos do 4o Adm [R$] fi
1 450 |- 550 8
2 550 |- 650 10
3 650 |- 750 11
4 750 |- 850 16
5 850 |- 950 13
6 950 |- 1050 5
7 1050 |- 1150 1
Total 64
Calcule a moda da seguinte distribuição:
MEDIANA
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Mediana: É o número que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, separa os
valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Dados não agrupados
Dada uma série de valores:
5,13,10,2,18,15,6,16,9
Deve-se então ordená-los:
2,5,6,9,10,13,15,16,18
Determina-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado)
Md = 10
Se a série tiver número par de valores, a mediana é a média dos dois valores centrais:
2,5,6,9,10,15,16,18 Md = (9+10)/2 = 9,5
MEDIANA
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no de filhos (xi) que se 
deseja ter
fi 𝑭𝒂𝒄𝒊
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Total 34
2
f i
17
2
34
2
f i


Dados agrupados
No caso de distribuição de frequência deve-se primeiramente determinar a frequência
acumulada. Determina-se então, o valor que divide a distribuição em duas partes iguais.
Aplica-se então:
A menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da
variável.
Md = 2
MEDIANA
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2
f i
2
 if
 
i
i
i
f
hantF
2
f
Md














Calculando com intervalos de classe: segue-se os seguintes passos:
1o - Determina-se as frequências acumuladas
2o - Calcula-se 
3o - Marca-se a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a 
(classe mediana) e emprega-se a fórmula:
onde: é o limite inferior da classe mediana;
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior a classe mediana;
h é a amplitude do intervalo da classe mediana;
fi é a frequência do intervalo da classe mediana;
MEDIANA
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1. Calcule a mediana das seguintes distribuições:
20
2
40
2

 if
Dividindo o Valor do Somatório
total da Frequência Simples
por 2, temos:
i Total de pontos fi 𝑭𝒂𝒄𝒊 Termos
1 150 |- 154 4 4 1 até 4
2 154 |- 158 9 13 4 até 13
3 158 |- 162 11 24 13 até 24
4 162 |- 166 8 32 24 até 32
5 166 |- 170 5 37 32 até 37
6 170 |- 174 3 40 37 até 40
Total Σfi =40
MEDIANA
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 
i
i
i
f
ATantF
f
Md









2

Fórmula:
Dicionário de Dados da seguinte Fórmula:
158i
20
2

 if
  13antF
4158162 AT11if
i Total de pontos fi 𝑭𝒂𝒄𝒊 Termos
1 150 |- 154 4 4 1 até 4
2 154 |- 158 9 13 4 até 13
3 158 |- 162 11 24 13 até 24
4 162 |- 166 8 32 24 até 32
5 166 |- 170 5 37 32 até 37
6 170 |- 174 3 40 37 até 40
Total Σfi =40
MEDIANA
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 
11
41320
158

Md
Calculandocom a Fórmula: 11
28
158Md
545,2158Md 545,160Md cmMd 161
EXEMPLO PRÁTICO 2
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i
Valor da hora de 
trabalho de 
profissionais de 
uma empresa de 
consultoria [R$]
fi 𝑭𝒂𝒄𝒊 Termos
1 30 |- 50 2 30 até 49
2 50 |- 70 8 50 até 69
3 70 |- 90 12 70 até 89
4 90 |- 110 10 90 até 109
5 110 |- 130 5 110 até 130
Total
1. Calcule a mediana com intervalos de classe:
Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Portanto, há três quartis. São mais aplicados em distribuição de frequência com intervalos
de classe.
Primeiro Quartil (Q1) - 25 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são
maiores;
 Segundo Quartil (Q2) - coincide com a mediana, 50 % para cada lado;
Terceiro Quartil (Q3) - 75 % dos dados são menores que ele e os 25 % restantes são
maiores.
Para o caso de dados agrupados, basta aplicar: sendo k o número de ordem do
quartil. No slide a seguir as fórmulas do quartil.
QUARTIL
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4
 ifk
QUARTIL
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 
i
i
ik
f
ATantF
fk
Q











4
1 
 
i
i
ik
f
ATantF
fk
Q











4
2 
 
i
i
ik
f
ATantF
fk
Q











4
3 
Primeiro Quartil (Q1) 
Segundo Quartil (𝑸𝟐) 
Terceiro Quartil (𝑸𝟑) 
Exemplo:
QUARTIL
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i Total de pontos fi 𝑭𝒂𝒄𝒊 Termos
1 150 |- 154 4 4 1 até 4
2 154 |- 158 9 13 4 até 13
3 158 |- 162 11 24 13 até 24
4 162 |- 166 8 32 24 até 32
5 166 |- 170 5 37 32 até 37
6 170 |- 174 3 40 37 até 40
Total Σfi =40
𝑄1
𝑄2 (𝑀𝑑)
𝑄3
QUARTIL
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EXEMPLO PRÁTICO 3
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Calcule os quartis da seguinte distribuição:
i
Salário Mensal dos 
alunos do 4o Adm [R$]
fi 𝑭𝒂𝒄𝒊 TERMOS
1 450 |- 550 8 450 até 549
2 550 |- 650 10 550 até 649
3 650 |- 750 11 650 até 749
4 750 |- 850 16 750 até 849
5 850 |- 950 13 850 até 949
6 950 |- 1050 5 950 até 1049
7 1050 |- 1150 1 1050 até 1149
Total Σfi=64
PERCENTIL
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Denomina-se percentis os noventa e nove valores que separam uma série em
100 partes iguais. Indica-se da seguinte forma:
 P1,P2,P3,...P99
 Note-se que: P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3
Calcula-se da mesma forma que os quartis, só que aplicando:
 
i
i
iK
f
ATantF
fk
P










100

PERCENTIL
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100
 ifk
, sendo k o número de ordem do percentil, temos: 
i Total de Pontos fi 𝑭𝒂𝒄𝒊
1 150 |- 154 4 4
2 154 |- 158 9 13
3 158 |- 162 11 24
4 162 |- 166 8 32
5 166 |- 170 5 37
6 170 |- 174 3 40
Total Σfi=40
𝑃8
PERCENTIL
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Calcule o percentil de ordem 𝑷𝟑 𝒆 𝑷𝟓𝟖 da seguinte distribuição:
i Estaturas (Cm) fi 𝑭𝒂𝒄𝒊 TERMOS
1 120 |- 130 8
2 130 |- 140 10
3 140 |- 150 11
4 150 |- 160 16
5 160 |- 170 13
6 170 |- 180 5
Total Σfi =64
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI 
CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP
39
3
9
BÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências
contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências
contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--
.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS