Estatística Unid II(1)

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Unidade II
5 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE
5.1 Conceitos fundamentais
Em um experimento aleatório, isto é, sujeito às leis do acaso, podemos conceituar:
Espaço Amostral (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis, enquanto n(S) é o número de 
elementos do espaço amostral.
Exemplos:
a) No lançamento de uma moeda, temos S = {cara,coroa}. 
n(S) = 2
b) No lançamento de um dado, temos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
n(S) = 6
c) Ao retirar uma carta de um baralho convencional, temos S = {A, 2, 3,.., K}.
n(S) = 52
Evento (E): é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Está relacionado com o experimento 
aleatório em questão. n(E) é o número de resultados possíveis do evento.
Exemplos:
a) No lançamento de uma moeda, o evento é sair coroa na face superior. Logo, E = {coroa}. 
n(E) = 1
b) No lançamento de um dado, o evento é sair um número par na face superior. Logo, E = {2,4,6}. 
n(E) = 3
c) Ao retirar uma carta de um baralho convencional, o evento é sair a carta Ás de Espadas (A ♠). 
Logo, E ={ A ♠}.
n(E) = 1
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Probabilidade (P): é a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um 
determinado evento (E) e o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral (S).
P
n E
n S
=
( )
( )
Exemplos:
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
• sair o número 3: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E = {3}
n(E) = 1
P =
1
6
• sair um número par:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E = {2, 4, 6}
n(E) = 3
P = =
3
6
1
2
• sair um múltiplo de 3:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E = {3, 6}
n(E) = 2
P = =
2
6
1
3
• sair um número menor ou igual a 4: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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n(S) = 6
E = {1, 2, 3, 4}
n(E) = 4
P = =
4
6
2
3
• sair um número maior que 6: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E = {Ø} = vazio
n(E) = 0
P = =
0
6
0 (Evento impossível)
• sair um número menor ou igual a 6: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
n(E) = 6
P Evento certo= = =
6
6
1 100% ( )
2. Considere um baralho comum de 52 cartas. Calcule a probabilidade de, ao retirar uma carta 
aleatoriamente, sair uma carta do naipe copas (♥).
n(S) = 52
Observação: Em um baralho convencional, são treze cartas para cada naipe.
n(E) = 13 
P = =
13
52
1
4
3. Considere o lançamento dois dados simultaneamente. Calcule a probabilidade de:
• sair um par de pontos iguais: 
Observação: Se para um dado n(S) = 6
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Para 2 dados n(s) = 62 = 36
Para 3 dados n(s) = 63 = 216
n(S) = 36
E = {1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6}
n(E) = 6 
P = =
6
36
1
6
• sair a soma 8: 
n(S) = 36
E = {2,6 6,2 4,4 3,5 5,3}
n(E) = 5 
P =
5
36
• sair a soma 12: 
n(S) = 36
E = {6,6}
n(E) = 1 
P =
1
36
4. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola, 
calcule a probabilidade de:
• sair bola azul: 
n(S) = 6 + 10 + 4 = 20 (total de bolas da urna)
n(E) = 6 
P = =
6
20
3
10
• sair bola vermelha: 
n(S) = 6 + 10 + 4 = 20 (total de bolas da urna)
n(E) = 10 
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P = =
10
20
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• sair bola amarela: 
n(S) = 6 + 10 + 4 = 20 (total de bolas da urna)
n(E) = 4 
P = =
4
20
1
5
 Observação
O cálculo de probabilidade pode ficar tanto na forma fracionária quanto 
na decimal. Na fracionária, mantemos a fração simplificada, e na decimal 
dividimos a fração. Assim, após a divisão, se o quociente for multiplicado 
por 100, teremos a probabilidade percentual de o evento ocorrer.
5.2 Eventos complementares 
Se P é a probabilidade de um evento ocorrer (sucesso), Q é a probabilidade de que o mesmo evento 
não ocorra (insucesso). Para obter Q, que é complementar de P, temos:
P + Q = 1 (100%)
Logo:
Q = 1 - P
Exemplo: se a probabilidade de um evento ocorrer é de 1/5, a probabilidade de o mesmo evento não 
ocorrer é calculada por:
Q = −1
1
5
Para resolver a expressão, pode-se utilizar o cálculo do MMC ou proceder da maneira a seguir (mais 
simples) para o resultado Q.
• Manter o denominador da probabilidade (P = 1/5). No caso, o valor 5.
Q =
5
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• No numerador, colocar o número que falta para que o numerador e o denominador tenham os 
mesmos valores. No caso, o numerador é igual a 1. É preciso adicionar mais 4 unidades para que 
o numerador fique igual a 5. 
Logo: 
Q =
4
5
Esse exercício também pode ser resolvido sob a forma de porcentagem (que também é muito simples, 
porém requer o uso de calculadora), conforme já lembrado:
P
Q
Q x
= =
= − =
= =
1
5
0 20
1 0 20 0 80
0 80 100 80
,
, ,
, %
5.3 Eventos independentes
Dois eventos são independentes quando a realização de um deles não afeta a probabilidade de 
realização do outro, e vice-versa.
A probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada por:
P = P1 x P2
Onde P1 e P2 são os eventos independentes (também chamados de eventos produto).
Exemplos: 
a) Lançando dois dados, qual é a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e um número par no 
segundo dado?
P
P
P
1
1
6
2
3
6
1
6
3
6
3
36
1
12
=
=
= ⋅ = =
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b) Temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades: 
Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. 
Totalizando 55 bolinhas.
Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Totalizando 60 bolinhas.
Retiramos uma bolinha de cada caixa. Qual é a probabilidade de ambas as bolinhas retiradas serem azuis?
Caixa A: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: 
P1
10
55
=
Caixa B: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul: 
P2
20
60
=
Logo, a probabilidade de ambas serem azuis é: 
P = ⋅ = = =
10
55
20
60
200
3300
0 0606 6 06, , %
5.4 Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um interfere na realização do 
outro. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o tirar coroa são mutuamente 
exclusivos, pois, se um deles for realizado, o outro não será. 
A probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada por:
P = P1 + P2
Onde: P1 e P2 são os eventos mutuamente exclusivos (também chamados de eventos soma).
Exemplos: 
a) Lançando um dado, qual é a probabilidade de tirar 3 ou 5 na face superior?
P
P
P
1
1
6
2
1
6
1
6
1
6
2
6
1
3
=
=
= + = =
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b) Numa caixa existem dez bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de, ao se 
retirar uma bolinha, ela ser múltiplo de 2 ou de 5?
Espaço amostral: 
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10
Evento A – múltiplos de 2: 
A = {2, 4, 6, 8, 10} -> n(A)= 5
Evento B – múltiplos de 5: 
B= {5,10} -> n(B) = 2
Elemento comum (intersecção) entre A e B: = {10} 
 Observação
O elemento comum entre A e B deve ser contado apenas uma vez. 
Como está sendo contado duas vezes (nos dois eventos), subtrairemos 
um dos resultados possíveis do evento B, para evitar a contagem 
duplicada.
PA
PB
=
=
5
10
2
10
Subtraindo a contagem duplicada de P2, tem-se:
PB =
1
10
Logo:
PB = + = = =
5
10
1
10
6
10
0 60 60, %
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 Saiba mais
Neste tópico, foi mostrado apenas o básico do assunto Probabilidade, 
que é estudado tanto em disciplinas de Estatística quanto de Matemática. 
Esse assunto pode ser aprofundado, caso haja necessidade. Além de 
Probabilidade, vale o estudo do tópico Análise Combinatória, principalmente 
para quem quiser fazer concursos públicos (muito frequente nessas 
avaliações). 
Para saber mais, leia:
RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005.
5.4.1 Exercício resolvido
O exercício a ser resolvido envolve a maior parte dos conceitos apresentados no Tópico 5. É um tipo 
de exercício muito utilizado em concursos públicos e provas de admissão. Favor analisar o enunciado e 
a resolução pacientemente. 
Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas, e outra caixa contém 12, das quais 
4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. As probabilidades de que ambas 
não sejam defeituosas e de que uma seja perfeita e a outra não são de:
A) 88,33% e 45,00%. 
B) 43,33% e 45,00%. 
C) 43,33% e 55,00%. 
D) 23,33% e 45,00%. 
E) 23,33% e 55,00%. 
Resolução: 
Caixa A
20 canetas 7 defeituosas 13 perfeitas
Caixa B
12 canetas 4 defeituosas 8 perfeitas
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• Probabilidade de ambas não serem defeituosas 
A probabilidade de uma ser perfeita e a outra não é dada pela situação a seguir:
A caneta da caixa A ser perfeita. 
e
A caneta da caixa B ser perfeita. 
Expressão: PcxaPerf e PcxbPerf
P ambas não defeituosas
Pcxa = 13/20
Pcxb = 8/12
P ambas não defeituosas 
13/20 x 8/12 = 104/240 = 0,4333 = 43,33%
• Probabilidade de uma ser perfeita e a outra não 
A probabilidade de uma ser perfeita e a outra não é dada pela situação a seguir:
A caneta da caixa A ser perfeita e a da B não ser. 
ou
A caneta da caixa A não ser perfeita e a da B ser. 
Expressão: PcxaPerf e PcxbDef ou PcxaDef e PcxbPerf
PcxaPerf = 13/20 
PcxbDef = 4/12 
PcxaPerf e PcxbDef = 13/20 x 4/12 = 52/240
PcxaDef = 7/20 
PcxbPerf = 8/12 
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PcxaDef e PcxbPerf = 7/20 x 8/12 = 56/240
P uma perfeita e outra não = PcxaPerf e PcxbDef ou PcxaDef e PcxbPerf 
52/240 + 56/240 = 108/240 = 0,4500 = 45,00% 
A alternativa correta é a B (43,33% e 45,00%). 
6 DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES
6.1 Conceitos fundamentais
Dentre as várias distribuições de probabilidade existentes, neste tópico, será estudada a distribuição 
normal, pois apresenta grande aplicação em pesquisas científicas e tecnológicas (a maior parte das 
variáveis contínuas de interesse prático segue essa distribuição.) Além disso, a distribuição normal é base 
para boa parte dos tópicos da Estatística Avançada.
A distribuição normal é uma distribuição de variáveis aleatórias contínuas. 
x
Figura 10 – Distribuição normal de probabilidades
Algumas características da distribuição normal:
• A curva tem a forma de sino.
• A curva é simétrica em relação à média.
• A área abaixo da curva é igual a 1 (100%). Portanto, é composta de duas partes de 50%: a parte 
com valores abaixo da média e a parte com valores acima da média.
• Para desenhar a curva normal (também chamada de curva de Gauss), dois parâmetros são 
necessários: média e desvio-padrão.
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 Lembrete
Os cálculos da média e do desvio-padrão (das três abordagens 
possíveis: para dados não agrupados e para tabelas de frequência sem 
e com intervalo) já foram detalhadamente mostrados nos tópicos 3 e 
4, respectivamente.
Para utilizar a tabela normal (a seguir), necessitamos de uma simples expressão para calcular 
o escore z. O escore z é um valor intermediário para busca na tabela normal visando obter a 
probabilidade desejada. Note que para obter o escore z basta possuir os valores da média e 
desvio-padrão.
z
x x
s
=
−
Tabela 72 – Tabela normal de probabilidades
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
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1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49990,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para trabalhar com a tabela normal a partir de um valor de z calculado, devemos seguir os 
exemplos:
Exemplo 1:
z = 1,27
Para buscar na tabela normal, z será separado em dois valores:
• O primeiro inteiro e a primeira casa decimal = 1,2 (valor 1)
• A segunda casa decimal = 7 (valor 2)
• O valor 1 será buscado nos valores de linha da tabela e o valor 2 será buscado nos valores de 
coluna da tabela normal. O cruzamento de linha e coluna fornece a probabilidade desejada para 
o valor de z.
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ESTATÍSTICA
Tabela 73 – Esboço da tabela normal de probabilidades
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0
0,1
0,2
0,3
...
1,2 0,3980
...
Logo, P = 0,3980 = 39,80%
Exemplo 2:
z = -0,64
Como a curva normal tem simetria em relação à média, basta considerar o valor de z sem o sinal 
negativo e obter P conforme o Exemplo 1.
Valor 1 = 0,6
Valor 2 = 4
P = 0,2389 = 23,89%
Exemplo 3:
z = 3
Como a tabela normal trabalha com valores de z com duas casas decimais, basta adaptar o valor de 
z para as duas casas.
Valor 1 = 3,0
Valor 2 = 0
P = 0,4987 = 49,87%
 Observação
Para valores de z com mais de duas casas decimais, bastar arredondar 
para duas casas decimais e utilizar a tabela.
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Exercício introdutório 
Os comprimentos das peças produzidas por certa máquina apresentaram as seguintes medidas 
estatísticas:
Média = 2,00 cm
Desvio-padrão = 0,04 cm
Qual é a probabilidade de uma peça retirada aleatoriamente do lote analisado ter comprimento 
entre 2,00 cm e 2,05 cm? 
Passo 1: determinar a região de interesse da curva (de acordo com o enunciado). Recomenda-se 
fortemente desenhar a curva normal com os dados do exercício.
2 2,05
Figura 11 – Curva normal com os dados do exercício introdutório
Passo 2: como a região de interesse é composta pelo valor 2,05 e pela média (no eixo horizontal), 
calcule o valor do escore z usando a expressão a seguir e os dados do enunciado. 
z
x x
s
z
=
−
=
−
= =
2 05 2
0 04
0 05
0 04
125
,
,
,
,
,
Passo 3: com o valor de z, obter a probabilidade utilizando a tabela normal.
z = 1,25
Buscando na tabela normal (na linha 1,2 e coluna 5)
P = 0,3944 = 39,44%
A probabilidade de uma peça retirada aleatoriamente do lote analisado ter comprimento entre 2,00 
cm e 2,05 cm é de 39,44%.
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ESTATÍSTICA
 Observação
Este tópico é base para todo o estudo de Estatística Aplicada ou 
avançada. Compreender a curva normal e o cálculo de probabilidades com 
essa curva permite entender os vários modelos de amostragem e geração 
de estimativas para uma população a partir de dados de uma amostra, bem 
como os conceitos de controle estatístico de processo.
6.1.1 Exercícios resolvidos
1. A duração de certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio-padrão de 40 dias. 
Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse componente durar:
a) Entre 850 e 1000 dias
b) Entre 800 e 950 dias
c) Mais que 750 dias
d) Menos que 700 dias
e) Mais que 850 dias
Média = 850
Desvio-padrão = 40
a)
850 900 950 1000
Figura 12 – Curva normal com os dados do exercício 1a 
Análise: a área de interesse sob a curva está entre a média e 1000 dias. Logo, é possível obter 
diretamente a probabilidade.
z =
−
= =
1000 850
40
150
40
3 75,
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Buscando na tabela normal (linha 3,7 e coluna 5):
P = 0,4999 = 49,99%
b)
800 850 900 950 
Figura 13 – Curva normal com os dados do exercício 1b
Análise: a área de interesse sob a curva está entre 800 e 950 dias. Como a fórmula de z funcionará 
apenas se um dos valores do intervalo for a média, o cálculo será feito em duas partes (a primeira de 
800 até a média – chamada de z1 – e a segunda da média até 950 – chamada de z2). Após obter as 
probabilidades, bastar somar os seus valores.
z1
800 850
40
50
40
125=
−
=
−
= − ,
Buscando na tabela normal, sem considerar o sinal negativo (linha 1,2 e coluna 5): 
P1 = 0,3944 = 39,44%
z2
950 850
40
100
40
2 5=
−
= = ,
Buscando na tabela normal (linha 2,5 e coluna 0): 
P2 = 0,4938 = 49,38%
A probabilidade será obtida somando-se P1 e P2:
P = 39,44%+49,38% = 88,82%
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ESTATÍSTICA
c)
750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Figura 14 – Curva normal com os dados do exercício 1c
Análise: a área de interesse sob a curva está para valores superiores a 750 dias. Como a fórmula de z 
funcionará apenas se um dos valores do intervalo for a média, será calculada a parte de 750 até a média. 
A parte superior à média tem probabilidade de 50% (pela definição da curva normal) e não necessita de 
cálculo. Em seguida, basta somar as probabilidades.
z =
−
=
−
= −
750 850
40
100
40
2 5,
Buscando na tabela normal, sem considerar o sinal negativo (na linha 2,5 e coluna 0): 
P = 0,4938 = 49,38%
O resultado será obtido somando a probabilidade encontrada com os 50% da parte superior da curva 
(acima da média):
P = 49,38%+50% = 99,38%
d)
500 550 600 650 700 
Figura 15 – Curva normal com os dados do exercício 1d
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Análise: a área de interesse sob a curva está para valores inferiores a 700 dias. Como a fórmula de z 
funcionará apenas se um dos valores do intervalo for a média, será calculada a parte de 700 até a média. 
Porém, a parte de interesse é exatamente o restante da curva (cauda esquerda). Logo, para obtê-la, basta 
subtrair 50% da probabilidade calculada.
 
z =
−
=
−
= −
700 850
40
150
40
3 75,
Buscando na tabela normal, sem considerar o sinal negativo (linha 3,7 e coluna 5): 
P = 0,4999 = 49,99%
Subtraindo 50% para obter a cauda da curva, tem-se: 
P = 50% - 49,99% = 0,01%
e)
 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
Figura 16 – Curva normal com os dados do exercício 1e
Análise: a área de interesse sob a curva está para valores superiores à média. Pela definição da curva 
normal, a probabilidade é de 50% para valores acima da média e 50% para valores abaixo da média. 
Logo, não há a necessidade de cálculo.
P = 50%
2. Do total de 970 estudantes que prestaram um exame de admissão, apenas 3% foram aprovados. 
A nota média foi 5,5, e o desvio-padrão, 1,8. Sabendo que as notas seguem a distribuição normal, qual 
foi a nota de corte?
 Lembrete
A nota de corte é a nota que separa os aprovados dos reprovados em 
alguma avaliação.
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ESTATÍSTICA
Análise:
Aprovados: 3%
Reprovados: 97% (50% com notas abaixo da média e 47% com notas acima da média).
Média = 5,5
Desvio-padrão = 1,8
x (nota de corte)
3% (aprovados)
47% = 0,4700
5,5
Figura 17 – Curvanormal com os dados do exercício 2
Na Figura 18 foi indicada a região dos aprovados (3%). Como esta é a cauda da curva, será utilizada a 
região que vai da média até o início dos aprovados (47%), isto é, notas acima da média, porém menores 
que a nota de corte indicada na figura pela letra x.
47% = 0,4700
Buscando esse valor na parte central da tabela normal, foi encontrado o mais próximo, dado por:
0,4699 = 46,99%
Esse valor está alocado na linha 1,8 e na coluna 8 da tabela normal, logo:
z = 1,88
Substituindo os valores na fórmula do escore z, encontraremos o valor de x, que é a nota de corte 
desejada.
z
x x
s
x
=
−
=
−
188
5 5
18
,
,
,
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Manipulando algebricamente a expressão:
1,88 . 1,8 = x - 5,5
3,384 = x - 5,5
-x = -5,5 - 3,384
-x = -8,384
x = 8,384
A nota de corte para esse exame foi de aproximadamente 8,4. Portanto, os candidatos cuja nota 
ultrapassou os 8,4 fazem parte dos 3% aprovados.
7 CORRELAÇÃO LINEAR
7.1 Conceitos e diagrama de dispersão
Em Estatística, a correlação é um parâmetro que indica o grau de correspondência entre duas 
variáveis (neste estudo, simbolizadas por x e y).
• Exemplos:
— salário de um trabalhador X escolaridade do trabalhador;
— quantidade de livros que uma pessoa já leu X escolaridade;
— horas de estudo X nota na prova;
— temperatura de um forno X tempo de cozimento no forno;
— velocidade do carro X tempo para chegar ao destino. 
A correlação pode ser:
• Positiva: dada pela relação direta entre as variáveis (se a variável x aumentar, a variável y também 
aumentará, e vice-versa). Exemplos:
— salário de um trabalhador X escolaridade do trabalhador;
— quantidade de livros que uma pessoa já leu X escolaridade;
— horas de estudo X nota na prova. 
• Negativa: dada pela relação inversa entre as variáveis (se a variável x aumentar, a variável y 
tenderá a diminuir, e vice-versa). Exemplos:
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ESTATÍSTICA
— temperatura de um forno X tempo de cozimento no forno;
— velocidade do carro X tempo para chegar ao destino. 
De posse dos valores das variáveis x e y, podemos verificar a correlação entre elas utilizando um 
gráfico de dispersão.
Exemplo 1: Número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa já leu (yi).
Tabela 74 – Tabela de duas variáveis (número de anos de estudo X número de livros que a 
pessoa já leu) para obtenção do diagrama de dispersão
Xi 3 5 7 9 10 14 16
Yi 1 2 3 5 7 10 13
Construindo um gráfico cartesiano que associa as variáveis x e y, temos o diagrama de dispersão.
14
12
10
8
6
4
2
0
yi
xi
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Diagrama de Dispersão
Figura 18 – Diagrama de dispersão para o Exemplo 1
 Lembrete
Gráfico cartesiano é aquele em que cada ponto é obtido por meio de 
um valor x e do seu correspondente y (par ordenado). Em softwares de 
Matemática/Estatística, é chamado de gráfico de dispersão.
O perfil do gráfico é linear, pois se assemelha a uma reta ascendente, mesmo que quase perfeitamente. 
Este é um indicativo de que existe correlação entre as variáveis. Se a reta cruzasse perfeitamente todos 
os pontos, teríamos uma correlação linear perfeita.
Como a reta é ascendente, a correlação é positiva entre as variáveis, isto é, um aumento de x resultará 
em um aumento de y, e vice-versa. 
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Exemplo 2: preço do produto (xi) e demanda (procura) desse produto (yi) na prateleira de um 
supermercado qualquer.
Tabela 75 – Tabela de duas variáveis (preço X demanda de um produto)
para obtenção do diagrama de dispersão
Xi 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00
Yi 40 35 20 13 8 3
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
yi
xi
1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2
Diagrama de Dispersão
Figura 19 – Diagrama de dispersão para o Exemplo 2
O perfil do gráfico é linear, pois se assemelha a uma reta descendente, mesmo que quase perfeitamente. 
Logo, existe correlação entre as variáveis. 
Como a reta é descendente, a correlação é negativa entre as variáveis, isto é, um aumento de x 
resultará em uma diminuição de y, e vice-versa. 
8 COEFICIENTE DE PEARSON
Podemos verificar o quanto duas variáveis estão relacionadas entre si por meio do cálculo de um 
parâmetro. Esse parâmetro indica:
• se a correlação é positiva ou negativa, por meio do seu sinal (relação direta ou inversa entre as 
variáveis); 
• a “força” da correlação, por meio de seu valor (módulo).
Esse parâmetro é o coeficiente de correlação de Pearson (conhecido como coeficiente linear), 
indicado por r e calculado por:
r
n xi yi xi yi
n xi xi n yi yi
=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ ⋅ −
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ( ( ) ) ( ( ) )2 2 2 2
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ESTATÍSTICA
Os possíveis valores de r variam de -1 a 1. A classificação mais detalhada do coeficiente é mostrada 
a seguir:
• r = -1,00: correlação negativa perfeita.
• r = -0,75: correlação negativa forte.
• r = -0,50: correlação negativa média.
• r = -0,25: correlação negativa fraca.
• r = 0,00: correlação linear inexistente.
• r = +0,25: correlação positiva fraca.
• r = +0,50: correlação positiva média.
• r = +0,75: correlação positiva forte.
• r = +1,00: correlação positiva perfeita.
Para entender o coeficiente de Pearson, serão calculados os coeficientes de correlação linear para os 
dois exemplos abordados nos diagramas de dispersão.
Exemplo 1: número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa já leu (yi).
Tabela 76 – Tabela de duas variáveis (número de anos de estudo X número de livros que a 
pessoa já leu) para obtenção do coeficiente de Pearson
Xi Yi
3 1
5 2
7 3
9 5
10 7
14 10
16 13
Uma maneira simples de calcular r é criar as colunas xi.yi, xi2 e yi2, e em seguida somar todas as 
colunas (∑).
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Tabela 77 – Tabela de duas variáveis (número de anos de estudo X número de livros que a 
pessoa já leu) para obtenção do coeficiente de Pearson, com os cálculos efetuados
Xi Yi Xi · Yi Xi2 Yi2
3 1 3 9 1
5 2 10 25 4
7 3 21 49 9
9 5 45 81 25
10 7 70 100 49
14 10 140 196 100
16 13 208 256 169
64 41 497 716 357
Com a tabela devidamente preenchida, o cálculo de r pela fórmula pode ser efetuado.
r
n xi yi xi yi
n xi xi n yi yi
=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ ⋅ −
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ( ( ) ) ( ( ) )2 2 2 2
Onde:
n = 7
∑xi.yi = 497
∑xi = 64
∑yi = 41
∑xi2 = 716
∑ yi2 = 357
r
r
=
−
− ⋅ −
=
−
−
7 497 64 41
7 716 64 7 357 41
3479 2694
5012 4
2 2
. .
( . ( ) ) ( . ( ) )
( 0096 2499 1681
855
916 818
855
749288
855
865 61
) ( )
( ) ( )
.
⋅ −
=
⋅
= =
r
r
r = 0,988 (correlação positiva muito forte)
Exemplo 2: Preço do produto (xi) e demanda (procura) desse produto (yi) na prateleira de um 
supermercado qualquer.
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ESTATÍSTICA
Tabela 78 – Tabela de duas variáveis (preço X demanda de um produto)
para obtenção do coeficiente de PearsonXi Yi
2 40
2,2 35
2,4 20
2,6 13
2,8 8
3 3
Gerando as colunas e calculando os somatórios, temos:
Tabela 79 – Tabela de duas variáveis (preço X demanda de um produto) para obtenção do 
coeficiente de Pearson, com os cálculos efetuados
Xi Yi Xi.Yi Xi² Yi²
2 40 80 4 1600
2,2 35 77 4,84 1225
2,4 20 48 5,76 400
2,6 13 33,8 6,76 169
2,8 8 22,4 7,84 64
3 3 9 9 9
15 119 270,2 38,2 3467
 
r
n xi yi xi yi
n xi xi n yi yi
=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ ⋅ −
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ( ( ) ) ( ( ) )2 2 2 2
Onde:
n = 6
∑xi.yi = 270,2
∑xi = 15
∑yi = 119
∑xi2 = 38,2
∑ yi2 = 3467
r
r
=
−
− ⋅ −
=
−
6 270 2 15 119
6 38 2 15 6 3467 119
16212 178
2 2
. , .
( . , ( ) ) ( . ( ) )
, 55
229 2 225 20802 14161
163 8
4 2 6641
163 8
2789
( , ) ( )
,
( , ) ( )
,
− ⋅ −
=
−
⋅
=
r
r
22 2
163 8
167 01,
,
,
=
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r
r
=
−
− ⋅ −
=
−
6 270 2 15 119
6 38 2 15 6 3467 119
16212 178
2 2
. , .
( . , ( ) ) ( . ( ) )
, 55
229 2 225 20802 14161
163 8
4 2 6641
163 8
2789
( , ) ( )
,
( , ) ( )
,
− ⋅ −
=
−
⋅
=
r
r
22 2
163 8
167 01,
,
,
=
r = 0,981 (correlação negativa muito forte)
 Saiba mais
Após o cálculo do coeficiente de correlação entre duas variáveis, pode-
se estabelecer um modelo que explica o seu comportamento mútuo. Esse 
modelo é obtido pelo estudo de Regressão Linear. 
Para conhecer melhor esse assunto, leia:
MORETTIN, L. G. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999.
 Resumo
Nesta Unidade abordamos introdutoriamente o conceito de 
probabilidade. Vale lembrar que existem disciplinas somente voltadas para 
esse assunto. 
Inicialmente foram definidos os termos espaço amostral e evento, 
para podermos então conceituar probabilidade como o quociente entre o 
número de resultados favoráveis a um determinado evento e o total de 
resultados de um evento.
Em seguida, o assunto estudado foi eventos complementares, o qual 
pode ser definido pela probabilidade de um evento não ocorrer (lembrando 
que se somarmos a probabilidade de um evento ocorrer com a de não 
ocorrer, teremos 100% como resultado). 
Estudamos também o cálculo para eventos independentes (em que um 
não interfere na realização do outro, obtido pelo produto das probabilidades 
dos eventos isolados) e os eventos mutuamente exclusivos (em que um 
anula a realização do outro, obtido pela soma das probabilidades dos 
eventos isolados).
Abordamos introdutoriamente a utilização da distribuição normal 
de probabilidades. Esta é definida como uma distribuição de variáveis 
aleatórias contínuas, representada pela curva de Gauss.
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08
-1
2
ESTATÍSTICA
Vimos que é possível trabalhar com a curva de Gauss com duas medidas 
já estudadas neste material, a média e o desvio-padrão do conjunto de 
dados em estudo.
Foram resolvidos dois tipos de exercício utilizando a curva normal 
(ou de Gauss): o primeiro consistia na determinação do pedaço de 
interesse da curva e posterior consulta na tabela normal, para obtenção 
da probabilidade; o segundo, na identificação de um porcentual na curva, 
novamente consultando a tabela, para identificar qualquer ponto dar curva 
no eixo horizontal (além da média, que já é o centro da curva). 
Além disso, foi apresentado um estudo sobre o comportamento mútuo 
de duas variáveis qualitativas, definido com correlação. Para abordar 
a correlação entre duas variáveis, foram estudados dois métodos: a 
construção de um diagrama de dispersão (gráfico cartesiano) e o cálculo de 
um coeficiente de correlação, chamado de coeficiente de Pearson. Ambos 
indicavam a força da correlação e se esta era direta (se o valor da primeira 
variável aumenta, o da segunda também aumenta e vice-versa) ou inversa 
(se o valor da primeira variável aumenta, o da segunda diminui e vice versa). 
Destacamos que o coeficiente de Pearson só pode ter valores de -1 até 1, 
para correlações negativas (inversas) ou positivas (diretas). 
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2008, Matemática) Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, 
exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos 
para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? 
A) 1/45.
B) 1/20.
C) 1/10.
D) 1/5.
E) 1/2.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das afirmativas
Justificativa: pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes.
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Unidade II
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2
Solução 1: Utilizando a definição de probabilidade de ocorrência de um evento A, tem-se que:
P A
n A
n S
A S( )
( )
( )
;= ⊆
onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(S) representa o número de elementos do espaço 
amostral S.
O espaço amostral, definido como o conjunto dos resultados do experimento aleatório, tem 45 elementos 
que podem ser obtidos por meio da combinação dos dez postos (n = 10), tomados dois a dois (x = 2), isto é, 
n
x n x
:
: ( ) :
:
: :−
= =
10
2 8
45 .
Sendo o evento A o subconjunto de S formado pelos dois postos infratores, ou seja, n(A) = 1, tem-se, 
então, que P A( ) =
1
45
. Assim, a alternativa correta é A. 
Solução 2: Supondo que os dois postos foram sorteados sucessivamente e sem reposição, pode-se 
utilizar o chamado Teorema do Produto, P(A ∩ B) = P (A) × P(B/A).
Sejam A o primeiro sorteado e B o segundo sorteado; se eles forem os dois postos que adulteram a 
gasolina entre os dez da cidade, tem-se, então, que a probabilidade de sortear o posto A é P A( ) =
2
10
 , 
isto é, há duas chances em dez de se sortear um posto infrator na primeira tentativa. Sabendo-se que 
o posto A já foi sorteado, a chance de retirar, na segunda tentativa, o posto B, que também adultera a 
gasolina, fica P B A( / ) =
1
9
.
Então, tem-se P(A ∩ B) = P (A) ∙ P(B/A) = 
2
10
1
9
2
90
1
45
⋅ = =
Questão 2. Observe as curvas de distribuição normal da figura abaixo e assinale a alternativa incorreta:
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
d
b
c
a
µ = 0, σ2 = 0,2
µ = 0, σ2 = 1,0
µ = 0, σ2 = 5,0
µ = 0, σ2 = 0,5
a
b
c
d
Figura 20
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ESTATÍSTICA
A) As curvas de distribuição normal referentes às figuras a, b e c são de distribuição normal 
padronizada.
B) A curva a tem desvio-padrão no valor aproximado de 0,45.
C) As dispersões das distribuições a, b e c mudaram porque as variâncias mudaram.
D) A probabilidade de escolher um valor superior a 1,27 na curva b é de 0,102.
E) A probabilidade de escolher um valor entre 0 e -2,43 na curva b é de 0,4925.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 2
RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005. p. 39. 
Figura 3
RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005. p. 39. 
Figura 4
RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005. p. 40. 
Figura 5
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2004. p. 69. 
Figura 6
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2004. p. 70. 
Figura 7
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007. p. 68. 
REFERÊNCIAS 
AKANIME, C. T. Estatística descritiva.São Paulo: Érica, 1998.
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2004.
MARIANO, M. V. Estatística descritiva. São Paulo: Unip, 2010.
______. Estatística indutiva. São Paulo: Unip, 2010.
MOORE, D. S. Introdução à prática da Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
MORETTIN, L. G. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999.
RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005. 
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78
79
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000