Estatística Aplicada I AULA 02

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Estatística Aplicada I 
Capítulo I – Estatística Descritiva 
Universidade Federal do Pará 
Campus Universitário de Tucuruí 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof. Karen Bernardo 
Tucuruí - PA 
1 
I - Estatística Descritiva 
• Introdução 
• Conceitos e definições 
• Classificação dos dados 
• Caracterização dos dados 
• Estatísticas amostrais 
• Regressão linear 
2 
Estatísticas Amostrais 
• Nas seções anteriores foi visto a sintetização dos dados sob a forma 
de tabelas, gráficos e distribuição de frequências. 
 
• O cálculo de estatísticas amostrais é uma forma mais sintética de 
descrever um conjunto de dados, ou seja, possibilita representar um 
conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno 
de forma reduzida. 
 
• As estatísticas amostrais são calculadas com base nos dados, a partir 
das quais é possível descrever globalmente o conjunto de valores 
que os dados tomam. 
3 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 
• Essas medidas nos orientam quanto à posição da distribuição no 
eixo x (eixo dos números reais); 
 
• Possibilitam comparações de séries de dados entre si pelo confronto 
desses números. 
 
• São chamadas de medidas de tendência central, pelo fato de 
representarem os fenômenos pelos seus valores médios, em torno 
dos quais tendem a concentrar-se os dados. 
4 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética: 
 
• Para um conjunto de n dados de xi (i = 1,2,..., n) a média aritmética 
simples ou média amostral, representada por x é definida pela 
expressão: 
 
 
dados não agrupados 
5 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética: 
 
• Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de 
frequência usa-se a média aritmética dos valores xi ponderadas 
pelas respectivas frequências absolutas ni, assim: 
 
Dados agrupados 
6 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética: 
 
• Exemplo (dados agrupados): Determinar a média aritmética simples 
(média aritmética amostral) da distribuição dada abaixo: 
7 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética: 
 
• No caso da variável ser contínua, visto que se perdeu os valores 
concretos do conjunto (ficaram afetos a uma determinada classe) 
não se pode calcular a média amostral diretamente dos valores dos 
dados. 
8 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética: 
 
• Exemplo (dados agrupados em classes): Determinar a média da distribuição 
a seguir, a qual representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 
100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de 
enchimento automático (exemplo anterior): 
9 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética: 
 
• Exemplo (dados agrupados em classes): Determinar a média da distribuição 
a seguir, a qual representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 
100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de 
enchimento automático (exemplo anterior): 
10 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética (Ponderada): 
 
• Às vezes, associam-se os números x1, x2, ..., xk a certos fatores de 
ponderação ou pesos w1, w2, ... , wk que dependem do significado ou 
importância atribuída aos mesmos. Nesse caso 
é denominada de média aritmética ponderada. 
11 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.1) Média aritmética (Ponderada): 
 
• Exemplo: Em um curso, a avaliação final tem peso 3 e as parciais peso 1; a 
nota média de um estudante que obtenha nota 8,5 na avaliação final e 7,0 e 
9,0 nas provas parciais, será: 
 
12 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.2) Média geométrica (dados agrupados): 
 
• Se os elementos x1, x2, ..., xn ocorrem com as 
freqüências n1, n2,..., nk, sendo n1+n2+...+nk = n a 
frequência total, a média geométrica G desses elementos 
será deduzida como: 
13 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana: 
 
Para os dados colocados em ordem crescente, mediana (md ou Me) é o 
valor que divide a amostra, ou população, em duas partes iguais. 
Assim: 
14 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana: 
 
• Considerando que os dados que integram a amostra são colocados 
em ordem crescente, formando um vetor (x1, x2, ..., xn) - amostra 
• ordenada -, a mediana amostral é definida como segue: 
15 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana (para variável discreta): 
 
• Exemplo: Para as distribuições abaixo, determinar as respectivas 
medianas: 
16 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana (para variável discreta): 
 
• Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana: 
17 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana (para variável contínua): 
 
• Para variáveis contínuas, identifica-se a classe que contém a 
mediana (n/2), denominada classe Md (como a variável é contínua, 
não interessa se n é par ou ímpar); o valor aproximado para a 
mediana será calculado pela equação: 
onde: NMd-1 é a freqüência absoluta acumulada da classe antes da classe mediana, n a 
dimensão da amostra e lMd , aMd e nMd são, respectivamente, o limite inferior, a 
amplitude e a freqüência absoluta da classe mediana. 18 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana (para variável contínua): 
 
• Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: 
 
19 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.4) Mediana (para variável contínua): 
 
• Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: 
 
1º Passo: Calcula-se n/2; como n=58, então 58/2=29º. 
2º Passo: Identifica-se a classe Md pela Ni (classe Md=3º). 
3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
Neste caso li = 55, n = 58, Ni-1 = 17, ai = 10, ni = 18; logo: 
20 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.5) Quartis: 
 
• Como já visto anteriormente, a mediana é a medida de posição que 
divide um conjunto de dados em duas partes iguais; 
 
• Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, 
assim: 
21 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.5) Quartis: 
 
• A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), para o caso de variáveis contínuas, 
segue os passos: 
 - 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/4; 
 - 2º Passo: Identifica-se a classe Qk pela frequência acumulada N; 
 - Aplica-se a fórmula: 
22 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.5) Quartis: 
 
• Exemplo: Dada a distribuição amostral, determinar Q1 e Q3: 
23 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.5) Quartis: 
 
• Exemplo: Para Q1. 
1º Passo: Calcula-se n/4; como n=58, então 58/4=14,5º. 
2º Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Ni (classe Q1 =2º). 
3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
Neste caso lQ1 = 45, n = 58, NQ1-1 = 5, aQ1 = 10, nQ1 = 12; logo: 
24 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.5) Quartis: 
 
• Exemplo: Para Q3. 
1º Passo: Calcula-se 3n/4; como n = 58, então 3.58/4 = 43,5º. 
2º Passo: Identifica-se a classe Q3 pela NQ3 (classe Q3 = 4º). 
3º Passo: Aplica-se a fórmula: 
Neste caso lQ3 = 65, n = 58, NQ1-1 = 35, aQ1 = 10, nQ1 = 14; logo: 
25 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.6) Decis: 
 
• Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais, assim: 
26 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.6) Decis: 
 
• A determinação de Dk (k =1, 2, ..., 9), para o caso de variáveis 
contínuas, segue os passos: 
▫ 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/10; 
▫ 2º Passo: Identifica-se a classe Dk pela freqüência acumulada N; 
▫ Aplica-se a fórmula: 
27 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.7) Percentis: 
 
• Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais, 
assim: 
28 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.7) Percentis : 
 
• A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99), para o caso de variáveis 
contínuas, segue os passos: 
▫ 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/100; 
▫ 2º Passo: Identifica-se a classe Pk pela freqüência acumulada N; 
▫ Aplica-se a fórmula: 
29 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 
• Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da 
seguinte distribuição: 
30 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 
• Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da 
seguinte distribuição: 
31 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 
• Portanto, na distribuição analisada, tem-se que: 
 
▫ O valor 55,34 indica que 40% dos elementos da distribuição 
estão abaixo dele e os outros 60% acima. 
 
▫ O valor 69,82 indica que 72% dos elementos da distribuição 
estão abaixo dele e os outros 28% acima. 
32 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda 
 
• Moda (Mo) é a medida que indica o valor ou a gama de valores nos 
quais a concentração dos dados amostrais é máxima. 
 
• Para variáveis discretas, a moda é o valor dos dados que 
ocorre com maior freqüência; 
• Para variáveis contínuas, a moda é o intervalo de classe com 
maior freqüência. 
33 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda 
 
• Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente 
o valor que representa a moda ou a classe modal. 
34 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda (distribuições simples) 
 
• Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a 
identificação da moda é facilitada pela simples observação do 
elemento que apresenta maior freqüência. 
Exemplo: Para a distribuição abaixo Mo = 248. 
35 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda (distribuições simples) 
• Para dados agrupados em classe, existem diversas fórmulas para o 
cálculo da moda: 
 - Fórmula de Czuber: Após a identificação da classe modal, 
aplica-se a fórmula abaixo, onde 
36 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda (distribuições simples) 
 
• Exemplo: Determinar a moda para a distribuição: 
- A classe com maior frequência absoluta é 
[55, 65[; logo, ela é a classe modal. 
- Aplicando a fórmula de Czuber, tem-se: 
37 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda (dados agrupados) 
 
- Densidades de classes: 
 
• Quando as amplitudes das classes são diferentes, deve-se calcular as 
densidades de classes para identificar a classe modal, as quais são 
obtidas por meio da relação ni/ai. 
38 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda (dados agrupados) 
 
Exemplo: Determinar a moda para a distribuição 
39 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de posição: 
 a.8) Moda (dados agrupados) 
 
• Fórmula de Pearson: Fornece uma boa aproximação quando a 
distribuição apresenta razoável simetria em relação à média. É dada 
pela relação: 
 
 
• ou seja, a moda é aproximadamente igual a diferença entre o triplo 
da mediana e o dobro da média. 
40 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 
• São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade 
ou dispersão, dos valores em torno da média. 
 
• Servem para medir a representatividade da média. 
 
• Exemplo: Sejam as séries 20, 20, 20 e 15, 10, 20, 25, 30, como pode ser 
calculado, ambas possuem média aritmética igual a 20; entretanto, na 
primeira não existe dispersão, enquanto a segunda apresenta dispersão 
em torno da média 20; portanto, a média é muito mais representativa 
para a segunda série. 
41 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.1) Amplitude total (ou amplitude amostral): 
 
• É definida como sendo a diferença entre o maior e o menor dos 
valores da série, ou seja: 
 
 
- Exemplo: Para a série 10, 12, 15, 24, 25, 30, 36 
 
R = 36 – 10 = 26 
42 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.2) Desvio médio(dados agrupados): 
 
• Se x1, x2 , ... , xn ocorrerem com as freqüências n1, n2, ... , nn, 
• respectivamente, o desvio médio poderá ser indicado da seguinte 
forma: 
 
43 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.3) Variância: 
 
A variância de um conjunto de dados é definida como o quadrado do 
desvio padrão. 
 
• Quando é necessário distinguir entre o desvio padrão de uma 
população e o de uma amostra dela extraída, adota-se 
frequentemente o símbolo σ para o primeiro e s para o último. 
44 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.3) Variância: 
 
• Para o caso da variância populacional são adotadas as seguintes 
fórmulas: 
45 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.3) Variância: 
 
• Para o caso da variância amostral são adotadas as seguintes 
fórmulas: 
46 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.4) Desvio padrão: 
 
• Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade 
em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para se 
conseguir uma medida da variabilidade ou dispersão com as 
mesmas unidades que os dados, toma-se a raiz quadrada da 
variância e obtém-se o desvio padrão. 
47 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.4) Desvio padrão: 
 
• O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não 
negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. 
• Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam 
imediatamente da definição, são: 
▫ o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta 
mais variabilidade houver entre os dados; 
▫ se s= 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos 
iguais. 
48 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 
• Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da 
seguinte distribuição amostral: 
 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 
• Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da 
seguinte distribuição amostral: 
 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 
• Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da 
seguinte distribuição amostral: 
 
51 
Estatísticas Amostrais 
a) Medidas de dispersão: 
 b.5) Coeficiente de variação: 
 
• A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, 
ou qualquer outra medida de dispersão, é denominada dispersão 
absoluta; entretanto, uma variação ou dispersão, na medida de uma 
determinada distância, é inteiramente diferente quanto ao efeito, da 
mesma variação em uma distância menor. 
52 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.5) Coeficiente de variação: 
 
• A medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, 
definida por: 
53 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.5) Coeficiente de variação: 
 
• Se a dispersão absoluta é o desvio padrão e a média é a aritmética, a 
dispersão relativa é denominada coeficiente de variação ou de 
dispersão, dado por: 
 
 
• coeficiente de variação é uma medidarelativa de dispersão, útil para 
a comparação em termos relativos do grau de concentração em 
torno da média de séries distintas. 
 54 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.5) Coeficiente de variação: 
 
Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de 
$4.000,00, com desvio padrão de $1.500,00, e o das mulheres é em 
média de $3.000,00, com desvio padrão de $1.200,00. Então: 
55 
Estatísticas Amostrais 
b) Medidas de dispersão: 
 b.5) Coeficiente de variação: 
 
• Diz-se que a distribuição possui baixa, média ou alta variabilidade 
(dispersão) conforme os seguintes valores: 
▫ Baixa dispersão: CV ≤ 10% 
▫ Média dispersão: 10% < CV < 20% 
▫ Alta dispersão: CV ≥ 20% 
• Alguns analistas consideram valores diferentes: 
▫ Baixa dispersão: CV ≤ 15% 
▫ Média dispersão: 15% < CV < 30% 
▫ Alta dispersão: CV ≥ 30% 
 
56 
Estatísticas Amostrais 
c) Medidas de forma: 
 c.1) Medidas de assimetria: 
 
• Denomina-se assimetria o grau de desvio ou afastamento da 
simetria de uma distribuição. 
• Uma distribuição de freqüência pode simétrica, assimétrica 
positiva ou assimétrica negativa. 
 
57 
Estatísticas Amostrais 
c) Medidas de forma: 
 c.1) Medidas de assimetria: 
 
• Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria, dentre 
elas duas são bastante utilizadas: 
▫ - 1º Coeficiente de Pearson: 
 
▫ - 2º Coeficiente de Pearson: 
Se AS = 0, a distribuição é simétrica 
AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva 
AS < 0. a distribuição é assimétrica negativa. 58 
Estatísticas Amostrais 
c) Medidas de forma: 
 c.1) Medidas de assimetria: 
 
• Exemplo: Identificar o grau de assimetria da distribuição: 
 
59 
Estatísticas Amostrais 
c) Medidas de forma: 
 c.1) Medidas de assimetria: 
 
• Resolução 
 
60 
I - Estatística Descritiva 
• Introdução 
• Conceitos e definições 
• Classificação dos dados 
• Caracterização dos dados 
• Estatísticas amostrais 
• Regressão linear 
61 
Regressão linear 
• Relação entre duas variáveis 
 
• Em inúmeras ocasiões o estudo descritivo não se resume ao 
estudo de apenas uma variável.; para se ter uma visão global do 
problema em estudo, muitas vezes é necessário a observação de 
duas ou mais variáveis. 
• Nesse caso, em vez de uma amostra (x1, x2, ..., xn), passa-se a 
ter dados bivariados (xi, yi), i = 1, 2, ..., n. 
• Um dos objetivos desse estudo é a relação existente entre as 
variáveis do par. 
62 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
• Para se ter uma ideia de como as duas variáveis se relacionam é 
comum representar graficamente esta relação por meio de um 
diagrama de dispersão. Esta representação consiste na 
marcação das observações em um sistema de eixos cartesianos. 
 
• Se as variáveis fornecem um diagrama de dispersão em que os 
pontos se colocam ao redor de uma reta crescente ou 
decrescente, diz-se que essas variáveis estão linearmente 
correlacionadas. 
63 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
• Quanto menor a dispersão dos pontos em torno da reta, mais 
forte será a correlação. 
• A correlação linear será positiva ou negativa caso a tendência da 
reta seja crescente ou decrescente. 
• Se nenhuma tendência positiva ou negativa pode ser detectada, a 
explicação possível para os valores para a segunda variável é sua 
média. Nesse caso, o eixo da dispersão será horizontal, contendo a 
média da segunda variável, e diz-se que as variáveis não são 
linearmente correlacionadas. 
64 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
 
65 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
 
66 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás 
combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (kw-h) para uma 
turbina de combustão usada em refrigeração, construa o diagrama de 
dispersão para esses dados. 
 
67 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás 
combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (kw-h) para uma 
turbina de combustão usada em refrigeração, construa o diagrama de 
dispersão para esses dados. 
 
68 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás 
combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (kw-h) para uma 
turbina de combustão usada em refrigeração, construa o diagrama de 
dispersão para esses dados. 
 
Desse diagrama pode-se extrair que 
talvez exista uma correlação linear entre 
as variáveis; esta relação pode ser 
traduzida através de uma reta. 
69 
Regressão linear 
• Correlação linear 
 
• A determinação da correlação entre duas variáveis por meio de uma 
inspeção nos pares anotados ou no diagrama de dispersão 
correspondente é pouco precisa e subjetiva. 
 
• Essa dificuldade pode ser contornada pelo uso de uma medida que 
caracterize a correlação linear e seja independente do observador 
que esteja examinando os dados. 
70 
Regressão linear 
• Coeficiente de correlação linear 
 
Karl Pearson propôs o chamado coeficiente de correlação linear, o 
qual é dado pela relação: 
 
 
• onde: Cov (x,y) é a covariância das variáveis x e y, e seu cálculo é 
dado por: 
71 
Regressão linear 
• Coeficiente de correlação linear 
 
• Fazendo-se as devidas substituições e simplificações, obtém-se o 
coeficiente de correlação de forma mais simples: 
72 
Regressão linear 
• Coeficiente de correlação linear 
 
• r = -1, indica correlação linear negativa perfeita; os pontos (x,y) 
estão sobre uma reta com coeficiente angular negativo. 
 
• r = 0, indica que os pontos não estão correlacionados, nem 
apresentam tendência crescente ou decrescente. 
 
• r = 1, indica correlação linear positiva perfeita; os pontos (x,y) estão 
sobre uma reta com coeficiente angular positivo. 
73 
Regressão linear 
• Coeficiente de correlação linear 
 
• A correlação entre duas variáveis pretende captar o fato dessas 
variáveis apresentarem a mesma tendência ao crescimento, ou 
tendências contrárias. 
 
• O fato de duas variáveis evoluírem no mesmo sentido ou em 
sentidos opostos fornece uma idéia do que se pode esperar sobre um 
valor desconhecido da variável y para um particular valor de x. 
74 
Regressão linear 
• Coeficiente de correlação linear 
 
• Se as variáveis x e y são positivamente correlacionadas, e se procura 
estimar o valor de y1 para certo valor x1 menor que a média , deve-
se esperar o valor correspondente y1 menor que a média ; para um 
valor x2 maior que a média , deve-se esperar um valor y2 maior 
que a média , acompanhando a tendência do eixo crescente dos 
pontos. 
75 
Regressão linear 
• Coeficiente de correlação linear 
 
• Nos problemas que envolvem estimativas de valores desconhecidos 
a partir de valores históricos são chamados problemas de 
previsão ou predição. 
• O conhecimento da correlação entre duas variáveis, embora possa 
fornecer uma pista para a previsão de um valor desconhecido de 
uma delas, nada informa a respeito da qualidade dessa 
previsão, ou seja, não se pode, em geral, com base apenas no 
conhecimento da correlação, transformar a incerteza da previsão em 
risco (isto só é possível quando a correlação é perfeita). 
• Entretanto, o fato de duas variáveis serem correlacionadas levanta a 
possibilidade de uma relação causal entre elas, o que é importante 
em problemas de previsão. 
76 
Regressão linear 
• Regressão linear simples 
 
• Como visto anteriormente, uma previsão construída baseada nas 
informações obtidas da correlaçãonada diz a respeito da 
confiabilidade do valor previsto. 
 
• Um método de previsão que permite a avaliação em termos de 
confiabilidade é a regressão linear, pois, satisfeitas determinadas 
condições, ela proporciona a transformação da incerteza em risco 
77 
Regressão linear 
• Regressão linear simples – Modelo teórico 
 
• Considere o relacionamento de duas variáveis x e y com as 
seguintes 
▫ x: é a variável cujos valores são controlados e, portanto, 
determinados; ela é conhecida por variável independente 
ou variável de decisão; 
▫ y: variável aleatória; é a variável que se quer prever; seu 
valor depende do valor atribuído a x, embora para cada 
valor de x se possa ter vários valores de y, devido a sua 
característica aleatória (variável dependente de x). 
78 
Regressão linear 
• Regressão linear simples – Modelo teórico 
 
• O modelo teórico define a verdadeira reta de regressão, cuja 
equação pode ser escrita como: 
79 
Regressão linear 
• Regressão linear simples – Modelo teórico 
 
• Nessas condições, dado um valor para x, a previsão ou expectativa para 
o correspondente valor de y é: 
 
• Entretanto, dificilmente se conhece a população dos valores de y para 
cada valor da variável controlada x. O que se conhece, geralmente, são 
alguns valores dos pares (x,y), ou seja, apenas uma amostra dessas 
variáveis. 
• Portanto, com base nos dados amostrais, deve-se pensar como estimar 
os valores de e , o que pode ser feito de forma eficiente por meio do 
método dos mínimos quadrados. 
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Regressão linear 
• Método dos mínimos quadrados 
 
• Um dos métodos mais utilizados para ajustar uma reta a um conjunto 
de dados é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), o qual consiste 
em determinar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios 
(os chamados erros ou resíduos) entre os verdadeiros valores de y e os 
valores estimados a partir da reta de regressão que se pretende ajustar, 
y. 
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Regressão linear 
• Método dos mínimos quadrados 
 
• Adota-se o quadrado das diferenças, pois como os pontos se situam 
acima e abaixo da reta estimada, as diferenças podem ser positivas 
ou negativas, e na soma podem anular-se, não refletindo o 
ajustamento. 
 
• Sendo números positivos, esses quadrados refletem a qualidade do 
ajuste através de sua soma. 
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Regressão linear 
• Método dos mínimos quadrados 
 
• O modelo de regressão linear é a reta de regressão: 
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Regressão linear 
• Método dos mínimos quadrados 
 
• As estimativas dos mínimos quadrados para os parâmetros a e b 
são: 
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Regressão linear 
• Coeficiente de explicação 
 
• Calculada a estimativa de mínimos quadrados apara uma 
amostra dada, deve-se verificar a qualidade do ajuste dessa reta 
aos dados históricos. 
 
• Uma forma de medir a qualidade do ajuste é verificar qual a 
porcentagem da variação dos valores de y em relação à sua 
média pode ser explicada pela regressão de y sobre x. 
85 
Regressão linear 
• Coeficiente de explicação 
 
• Do gráfico abaixo, onde y = a + bx é a regressão de y sobre x, 
observa-se que o valor de yi correspondente a um valor xi pode ser 
composto de duas partes: a parte explicada pela média e a parte não 
explicada pela média. 
yi − ŷ = parte do valor de y não explicada 
ŷ − = parte do valor de y explicada pela regressão 
= parte do valor de y não explicada 
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Regressão linear 
• Coeficiente de explicação 
 
• Como no método dos mínimos quadrados, ao invés de somar essas 
diferenças, soma-se o quadrado delas para evitar que valores positivos e 
negativos se anulem. 
Designando: 
 VT = variação total, soma dos quadrados das variações de y em 
relação à sua média. 
 
 VE = variação explicada, a soma dos quadrados das variações em 
relação à média. 
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Regressão linear 
• Coeficiente de explicação 
 
• O coeficiente de explicação R² pode ser definido agora como sendo 
a porcentagem da variação total representada pela variação 
explicada. 
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Regressão linear 
• Exemplo: No exemplo anterior, observou-se no diagrama de dispersão uma 
possível relação linear entre as variáveis. 
a) Confirme essa relação por meio do coeficiente de correlação; 
b) Encontre a reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados. 
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Regressão linear 
• Exemplo: No exemplo anterior, observou-se no diagrama de dispersão uma 
possível relação linear entre as variáveis. 
a) Confirme essa relação por meio do coeficiente de correlação; 
b) Encontre a reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados. 
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Regressão linear 
• Exemplo: 
 
• O valor da correlação e do coeficiente de explicação indicam uma forte 
correlação linear entre a temperatura do gás combustível e a taxa de calor. 
Pode-se, portanto, estimar, através do MMQ os parâmetros a e b e traçar a 
reta de regressão: 
Sendo assim a reta de regressão é: 
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