apostila de fundamentos

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Pertence a: 
 
 
_____________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE CIÊNCIAS EXATAS 
Referencial didático para o desenvolvimento de conteúdos 
introdutórios de Matemática e Física 
 
 
Elaboração e Organização: 
 
Unidades 1, 2 e 4: 
Profa. Msc. Maricélia Soares 
maricelia.soares@anhembimorumbi.edu.br 
 
Unidade 3: 
Prof. Dr. Ricardo Noboru Igarashi 
ricardoigarashi@anhembimorumbi.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2016-2 
 
 
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SUMÁRIO 
 
UNIDADE 1: Grandezas, Padrões e Unidades 
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. O Sistema Internacional de Unidades (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3. Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1. Determinando os algarismos significativos de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4. Arredondamento de Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5. Matematizando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.1. Números Fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.2. Potenciação em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.3. Potências de Base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.4. Notação Científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.5. Ordem de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.6. Radiciação em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
UNIDADE 2: Leis de Newton 
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.1. Força Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3. Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4. Princípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5. Massa de um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
6. Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7. Medida de uma Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8. Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9. Forças Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9.1. A Força Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9.2. Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10. Matematizando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.1. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.2. Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.3. Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.4. Estudo da Circunferência Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.5. Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
04 
04 
06 
08 
09 
11 
11 
17 
23 
25 
26 
28 
29 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
44 
45 
45 
46 
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48 
49 
49 
51 
51 
52 
62 
62 
63 
63 
72 
81 
86 
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UNIDADE 3: Aplicações das Leis de Newton 
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.1. Equilíbrio Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.2. Equilíbrio Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3. Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1. Plano Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.2. Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
UNIDADE 4: Cinemática: Descrição do Movimento 
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3. Movimento Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3.1. Funções Horárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4. Movimento Uniformemente Variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4.1. Funções Horárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5. Matematizando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.1. Definição: Expressões Algébricas e Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.2. Função: ferramental matemático para todas as áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.3. Função polinomial do 1° grau ou função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.4. Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5.5. Função polinomial do 2º grau ou função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Atividades de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
89 
89 
90 
93 
95 
95 
97 
99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
105 
113 
118 
118 
120 
126 
126 
129 
133 
133 
140 
140 
145 
146 
154 
160 
 
170 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 1: 
GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES 
 
 
1. Introdução 
 
Quando falamos em ciências, sempre nos vêm à mente os métodos científicos que lançam mão de medidas 
para interpretar, analisar e compreender os fenômenos que são pertinentes a cada ciência. 
Especificamente no caso da Física, faz-se necessário: 
 
1. determinar qual fenômeno físico pretende observar, dentro do “rol” (conjunto) de fenômenos físicos 
possíveis de serem medidos (esses fenômenos físicos serão denominados de variáveis); 
2. nomear o fenômeno físico, isto é, dar um nome para esta variável e 
3. encontrar uma unidade para este fenômeno físico (variável), para que possamos medi-lo. 
 
Grandeza física é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser representada por um número e uma 
unidade. Veja alguns exemplos: 
 A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros. 
 A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas. 
 O tempo de uma partida é de 90 minutos. 
Nesses exemplos estão três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir dessas grandezas 
fundamentais, pode-se definir outras que, por isso, chamam-se grandezas derivadas. São exemplos de grandezas 
derivadas a área de uma superfície, o volume e a densidade de um corpo, a velocidade e aceleração de um 
automóvel, a força exercida por um motor e muitas outras. 
Até há algum tempo, não havia ainda um conjunto de unidades fundamentais que fosse reconhecido e 
adotado em todo mundo. A partir de 1948, esse conjunto começou a ser estabelecido e, em 1960, recebeu o nome 
de Sistema Internacional de Unidades (SI). Atualmente, só os Estados Unidos ainda não adotam o SI, mas passarão 
a utilizá-lo em breve. 
 
 
2. O Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
O SI estabelece 7 grandezas físicas fundamentais das quais são derivadas todas as outras. 
 
COMPRIMENTO MASSA TEMPO 
CORRENTE 
ELÉTRICA 
TEMPERATURA 
QUANTIDADE 
DE MATÉRIA 
INTENSIDADE 
LUMINOSA 
 
Os padrões de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo, têm definições muito complicadas devido às 
exigências da Ciência e da Tecnologia modernas. O padrão de massa é o mais antigo, criado em 1889, e também o 
mais simples (Quadro 01). 
 
 
 
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QUADRO 01 – TRÊS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO 
Comprimento Metro m 
Distância percorrida pela luz, no vácuo, num intervalo de tempo de 
1299792458 s. 
Massa Quilograma kg 
Massa de um cilindro padrão de platina-irídio conservada no Bureau 
Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, na França. 
Tempo Segundo s 
Duração de 9.192.631.770 períodos da radiação de transição de dois 
níveis do estado fundamental do átomo do Césio 133. 
Observação: Note que os símbolos não são abreviaturas, por isso não têm ponto final. 
 
Cada país deve ter laboratórios capazes de reproduzir os padrões ou cópias devidamente aferidas e 
cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa é desempenhada pelo Inmetro – Instituto Nacional de Metrologia, 
Normalização e Qualidade Industrial, do Ministério da Indústria e do Comércio. 
Não é necessário saber essas definições, entretanto é importante saber que existem os padrões, as unidades 
fundamentais e derivadas e formas corretas de expressá-las (Quadro 02). 
 
QUADRO 02 – ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO SI 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO 
Área Metro quadrado m
2 
Volume Metro cúbico m
3 
Velocidade Metro por segundo ms 
Aceleração Metro por segundo ao quadrado ms2 
Densidade Quilograma por metro cúbico kgm3 
 
Existem inúmeras unidades práticas ainda em uso devido ao costume ou às suas aplicações tecnológicas. 
Muitas dessas unidades, principalmente as de origem inglesa, tendem a desaparecer com o tempo e serem 
substituídas por unidades do SI. Por enquanto elas ainda são muito usadas e é interessante conhecê-las (Quadro 03). 
 
QUADRO 03 – ALGUMAS UNIDADES PRÁTICAS MAIS USADAS 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO 
RELAÇÃO COM A UNIDADE 
CORRESPONDENTE DO SI 
Comprimento 
Milímetro  
Centímetro  
Quilômetro  
Polegada  
Pé  
Jarda  
Milha  
mm 
cm 
km 
in 
ft 
yd 
mi 
0,001 m 
0,01 m 
1.000 m 
0,0254 m ou 2,54 cm 
0,3048 m ou 30,48 cm 
0,9144 m ou 91,44 cm 
1.609 m ou 1,609 km 
Massa 
Grama  
Tonelada  
Quilate  
Libra  
Arroba  
g 
t 
 
lb 
 
0,001 kg 
1.000 kg 
0,0002 kg ou 0,2 g 
0,454 kg ou 454 g 
14,688 kg 
Tempo 
Minuto  
Hora  
Dia  
min 
h 
d 
60 s 
60 min ou 3.600 s 
24 h ou 86.400 s 
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Área 
Hectare  
Alqueire (SP)  
Alqueire (MG, RJ e GO)  
ha 
 
 
10.000 m
2
 
2,42 ha 
4,84 ha 
Volume Litro  l 0,001 m
3
 ou 1.000 cm
3 
Velocidade 
Quilômetro por hora  
Milha por hora  
Nó  
kmh 
minh 
 
(13,6) ms 
1,609 kmh 
1,852 kmh 
Legenda:  Submúltiplos do SI  Múltiplos do SI  Unidades não pertencentes ao SI 
 
 
Curiosidade: O Quilate é tanto uma medida de massa quanto uma medida de composição em ligas de ouro. 
A palavra vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga Grécia. 
Em função das disparidades de valores do quilate como unidade de massa, em 1907 foi adotada a correspondência 
de 200 miligramas (0,2 gramas) para cada quilate, que passou a ser desde então, o valor usado em joalherias. Desta 
forma a seguinte frase está correta: "20 quilates de ouro 14", significando o mesmo que "4 gramas de ouro cuja liga 
é 14 quilates". 
Apesar de alguns autores indicarem ct (do inglês carat) como sendo símbolo de quilate métrico, esta forma 
não existe na língua portuguesa, portanto indicamos que se use o termo por extenso, ou a abreviação ql, tal como 
citado no site da Academia Brasileira de Letras. 
 
 
Observe, no Quadro 03, que algumas unidadestêm símbolos diferentes, como 
a polegada, o pé e a jarda. 
Essas unidades foram adaptadas do inglês: polegada é inches, daí o símbolo 
in; pé é feet, por isso seu símbolo é ft e a jarda é yard, por isso seu símbolo yd. 
Atualmente é comum utilizar o símbolo pol para indicar polegada. 
 
 
 
 
3. Algarismos Significativos 
 
Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dúvida: com quantos algarismos se escreve uma 
medida 
Tente medir o diâmetro do seu lápis. Que resultado você obteve 
7 mm 7,1 mm 7,15 mm 
Essa pergunta tem inúmeras respostas, e todas podem estar certas! 
Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se 
você dispõe de um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um paquímetro, pode ter achado 7,34 mm 
ou 7,4082 mm. Se você repetir a medida várias vezes pode ser que em cada uma ache um valor diferente! 
Como saber qual é o valor correto? Como escrever esse valor? 
 
 
- 7 - 
 
 
Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valor de uma medida 
depende do instrumento utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes, do próprio objeto a ser medido e 
da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do diâmetro do lápis com uma régua comum será feita na 
escala em que ela é graduada (centímetros ou milímetros) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais 
de dois algarismos. Nesse caso, certamente o segundo algarismo é avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um 
instrumento mais preciso, é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda, acrescentar 
mais um, o duvidoso. 
Todos os algarismos que se obtêm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são algarismos 
significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um pouco diferente, mas, ao 
escrevê-lo, deverá utilizar o número correto de algarismos significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma régua comum não permite medidas muito precisas porque não há como subdividir o espaço de 1 mm: a 
distância entre os traços é muito pequena. O paquímetro e o micrômetro são instrumentos que utilizam duas 
escalas, uma fixa, semelhante à escala de uma régua comum e uma escala móvel que, de maneira muito engenhosa, 
permite dividir a menor divisão da escala fixa. No paquímetro, essa escala corre junto à escala fixa, enquanto que 
no micrômetro ela está gravada numa espécie de cilindro móvel que gira à medida que se ajusta ao instrumento 
para efetuar a medida. 
Imaginemos agora, a seguinte situação: ao medir o diâmetro de um lápis com um paquímetro, um aluno 
encontre o valor 7,34 mm enquanto que outro aluno, efetuando a mesma medição, encontre 7,37 mm. Pelo 
resultado, percebe-se que eles têm certeza do 7 e do 3, mas o último algarismo é incerto. Imagine agora que eles 
resolvam entrar num acordo e considerar, como melhor medida, um valor que seja igual à média aritmética dos 
 
Figura 01: Paquímetro Digital – Instrumento de Precisão 
 
Figura 02: Micrômetro Digital – Instrumento de Precisão 
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seus resultados, obtendo, assim 
355,7
2
37,734,7


. Estaria correto expressar o diâmetro do lápis acrescentando 
ainda um terceiro algarismo oriundo da média É certo que não! Se cada um só tinha certeza de dois algarismos e 
avaliaram, discordando quanto à segunda casa após a vírgula, não tem sentido dar uma resposta com três casas após 
a vírgula! 
Nesse caso, para manter a coerência e expressar a medida com o número correto de algarismos 
significativos, deve-se desprezar o último algarismo obtido no cálculo da média aritmética. 
É comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for maior ou igual a 5 
acrescenta-se 1 ao último algarismo que restou. 
Teremos então 7,355 mm  7,36 mm, que é a melhor forma de expressar a média aritmética das medidas de 
ambos os alunos: mantêm-se os mesmos dois algarismos dos quais têm certeza, o 7 e o 3, mas o algarismo 
duvidoso passa a ser o 6. É provável que esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor dessa medida. Se outras 
pessoas participarem e fizerem outras medidas, a média aritmética terá um número muito maior de parcelas e o seu 
valor representará melhor o diâmetro do lápis. 
 
3.1. Determinando os algarismos significativos de um número 
 
No item anterior verificamos que, para entender o conceito de números significativos de uma medida física, 
é necessário compreender que os resultados físicos que utilizamos são obtidos através de medições que os cientistas 
realizam. Logo, para efetuar essas medições os cientistas utilizam aparelhos que possuem incertezas, isto é, uma 
medida física nunca é exata e, sim, tem um erro do próprio instrumento de medida, que é determinado pela metade 
da menor medida do instrumento. 
Vejamos agora um exemplo de como determinar os algarismos significativos de um número. 
Quando medimos o tamanho do lápis com a régua escolar e verificamos que este tem 15,1 cm, o valor que se 
deve expressar é: 15,10  0,05cm. 
Observe que temos um valor de 0,05 cm (metade da menor medida indicada na régua) para mais ou para 
menos em relação ao tamanho do lápis, isto é, o tamanho do lápis está com certeza entre 15,05cm e 15,15cm, por 
causa do instrumento utilizado na medição, que neste caso, é a régua. 
Pelo fato de uma medida física possuir incerteza, a utilização do conceito de algarismos significativos se 
torna importante, pois quando efetuamos operações com números decorrentes de medições precisamos escrever o 
resultado de forma que este expresse o valor mais coerente com as certezas dos instrumentos utilizados para a 
determinação dos valores utilizados nas operações. 
Portanto, para determinar a quantidade de números significativos de uma medida física é necessário que: 
 Inicialmente apresente o valor da medida física em notação científica (veja o item 4.3, na página 12). 
 Verifique quantos números aparecem no primeiro fator (mantissa) da notação científica (desconsiderando a 
vírgula). 
 A quantidade de algarismos significativos é exatamente igual ao resultado obtido no item anterior, ou seja, 
na mantissa da expressa numérica em notação científica. 
- 9 - 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
a) 230.000.000 = 2,3  108, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 2. 
b) 0,000 000 000 000 148 = 1,48  10-13, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 3. 
c) 0,06289 = 6,289  10-2, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 4. 
d) 795.000.000.000.000 = 7,95  1014, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de 3. 
 
Observação: Quando fazendo operações com números (multiplicação, divisão adição e subtração) a resposta final 
deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o valor de menor algarismo significativo, isto é, o 
resultado não pode ser mais preciso que a pior precisão que temos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Arredondamento de Números 
 
As regras de arredondamento estão estabelecidas pela Resolução 886 de 06.10.66 do IBGE que corroboram 
com a Norma ABNT NBR 5891, de 1977. 
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conversado for inferior a 5, superior a 
5 ou igual a 5, estabeleceremos as regras de arredondamento que seguem na tabela abaixo. 
 
CONDIÇÃO PROCEDIMENTO EXEMPLO 
(ARREDONDAMENTO POR CENTÉSIMO) 
< 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 4,76201  4,76 
> 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 3,77620  3,78 
= 5(i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de 
zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer. 
5,75504  5,76 
(ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o 
último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma 
unidade se for ímpar. 
2,14500  2,14 
2,11500  2,12 
 
 
 
As grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez 
mais variadas e complexas, porém, toda medida resulta de um esforço do 
homem para compreender e interpretar a natureza. 
Fomos nós, seres humanos, que criamos as grandezas, os padrões, as unidades 
e os instrumentos de medida. 
Portanto, nenhuma medida é a expressão da verdade, independentemente do 
número de algarismos significativos que possua. 
Há, certamente, medidas e instrumentos mais confiáveis, processos de medição 
mais adequados a determinados fins; é importante distinguir uns dos outros. 
 
- 10 - 
 
 
 
Gostaria de mais informações sobre o conteúdo estudado Seguem dicas de vídeo-aulas sobre o tema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dicas de vídeos sobre o assunto desta aula: 
 
 Grandezas Físicas e Unidades de Medidas: 
https://www.youtube.com/watch?v=LZPiq8RK9j0 
 Múltiplos e Submúltiplos das Unidades de Medidas: 
https://www.youtube.com/watch?v=lQfZ_aSJ7xU 
 
- 11 - 
 
 
5. Matematizando 
 
5.1. Números Fracionários 
 
Números fracionários são números que representam uma ou mais partes de 
uma unidade que foi dividida em partes iguais. 
Os números fracionários são representados por dois números inteiros 
(termos da fração) separados por um traço horizontal (traço de fração). 
O número de cima (numerador) pode ser qualquer número inteiro e o 
número de baixo (denominador) deverá ser diferente de zero. 
 
Exemplos de alguns tipos de fração: 
 Fração Própria: o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 
4
3
. 
 Fração Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 
2
9
. 
 Fração Mista ou Numeral Misto: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Exemplo: 
3
1
2
. 
 Frações Equivalentes: frações que mantêm a mesma proporção de outra fração. Exemplo: 
2
5
 e 
4
10
. 
 Fração Irredutível: não pode ser simplificada. Exemplo: 
3
4
. 
 Fração Decimal: o denominador é uma potência de base 10. Exemplo: 
100
8
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer número escrito na forma de fração é um número fracionário? 
Pode parecer estranho, mas a resposta é não! 
Primeiro porque a definição diz que números fracionários são números que 
representam uma ou mais partes de um todo. 
Por exemplo, o número , que está escrito na forma de fração não é um 
número fracionário, porque representa o número 5 e este não é parte de um todo. 
Também o número está escrito na forma de fração, mas não é um número 
fracionário, porque o numerador não é um número inteiro. 
 
- 12 - 
 
 
5.1.1. Operações com Frações 
 
 
 Adição 
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se 
inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os 
numeradores e mantenhamos este denominador comum. 
 
Exemplos: 
a) Adição de frações com os mesmos denominadores: 
?
7
3
7
2
7
1

 
Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. 
Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo 
denominador 7. 
Portanto: 
7
6
7
321
7
3
7
2
7
1


 
 
b) Adição de frações com denominadores distintos 
 
 Através de Frações Equivalentes: 
?
5
4
3
2

 
O uso das frações equivalentes para somar ou subtrair frações é um recurso muito bom. Vamos analisar 
passo a passo o procedimento. 
1º Passo: As frações não possuem o mesmo denominador. Então precisamos encontrar um denominador igual 
(comum) que é um múltiplo de 3 e 5 ao mesmo tempo. 
Múltiplos de 3 e 5 (sem considerar o zero): 15, 30, 45,... 
Logo um desses múltiplos pode ser o denominador das frações equivalentes. Vamos escolher o número 15. 
 
2º Passo: Nessa etapa vamos descobrir o termo que falta para tornar as frações equivalentes. 
 
3
2
 = 
15
?
 (3  5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 5). 
É o número 10. Então 
3
2
 será substituída por 
15
10
. 
5
4
 = 
15
?
 (5  3 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 3). 
É o número 12. Então 
5
4
 será substituída por 
15
12
. 
Deste modo, a soma 
5
4
3
2

 será substituída por 
15
22
15
12
15
10

. 
 
- 13 - 
 
 
 
 Através do MMC (Mínimo Múltiplo Comum): 
?
13
3
5
2
3
1

 
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. 
Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. 
O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. 
 
 
 
 
 
Deste modo o MMC(3, 5, 13) = 195 e todas as frações terão este denominador comum. 
O novo numerador de cada uma delas será apurado, dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em 
seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original. 
 Para 
3
1
temos que: 195  3  1 = 65, logo: 
195
65
3
1

. 
 Para 
5
2
 
temos que: 195  5  2 = 78, logo: 
195
78
5
2

. 
 Para 
13
3
temos que: 195  13  3 = 45, logo: 
195
45
13
3

. 
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 195. 
Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: 
195
188
195
457865
195
45
195
78
195
65



 
 
No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e 
depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes fracionárias: 
24
19
9
24
3
5
24
16
4
8
1
5
3
2
4 
 
Podemos também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação de soma: 
24
235
24
123112
8
41
3
14
8
1
8
40
3
2
3
12
8
1
5
3
2
4 














 
 
 
 Subtração 
 
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as frações contenham 
um denominador comum. 
3, 5, 13 
1, 5, 13 
1, 1, 13 
1, 1, 13 
3 
5 
13 
 3·5·13 = 195 
= 
- 14 - 
 
 
Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, 
mantendo-se este denominador comum. 
Exemplos: 
a) Subtração de frações com os mesmos denominadores: 
?
9
2
9
1
9
8

 
Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. 
Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o 
denominador 9. 
Portanto: 
9
5
9
218
9
2
9
1
9
8


 
 
b) Subtração de frações com denominadores distintos: 
?
7
2
3
1
9
8

 
Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos apurar o MMC(9, 3, 7) 
para utilizá-lo como denominador comum. 
Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 comoo denominador comum. 
Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o denominador igual 
a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo 
seu numerador. 
 Para 
9
8
temos que: 63  9  8 = 56, logo: 
63
56
9
8

. 
 Para 
3
1
 
temos que: 63  3  1 = 21, logo: 
63
21
3
1

. 
 Para 
7
2
temos que: 63  7  2 = 18, logo: 
63
18
7
2

. 
Finalmente podemos realizar a subtração: 
63
17
63
182156
63
18
63
21
63
56
7
2
3
1
9
8



 
Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a parte fracionária 
toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração das partes inteiras e das partes 
fracionárias: 
20
3
4
20
5
3
20
8
7
4
1
3
5
2
7 
 
Alternativamente podemos transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação 
de subtração: 
20
83
20
65148
4
13
5
37
4
1
4
12
5
2
5
35
4
1
3
5
2
7 














 
= 
- 15 - 
 
 
 Multiplicação 
 
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais simples das operações 
aritméticas que as envolvem. 
Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. 
Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo 
em relação aos seus denominadores. 
Exemplos: 
a) 
105
8
753
421
7
4
5
2
3
1



 
b) 
27
40
333
425
3
4
3
2
3
5



 
c) 
32
11
20
32
651
84
2131
8
21
4
31
8
5
2
4
3
7 



 
 
 
 
 Divisão 
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu 
denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações. 
Exemplos: 
a) 
154
65
7
13
2
5
11
1
13
7
:
5
2
:
11
1
 
b) 
27
40
333
425
3
4
3
2
3
5



 
c) 
32
11
20
32
651
84
2131
8
21
4
31
8
5
2
4
3
7 



 
 
 
 
 Múltiplas Operações 
 
Assim como nas operações aritméticas com números naturais também nas operações aritméticas com frações 
a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração. Por isto, em expressões compostas que 
envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último 
as operações de soma e subtração. 
Exemplo: 
A multiplicação de frações 
mistas deve ser precedida da 
conversão das mesmas em 
frações impróprias. 
A divisão de frações mistas 
segue o mesmo princípio, no 
entanto devemos primeiramente 
convertê-las em frações 
impróprias. 
 
- 16 - 
 
 
1155
454
1155
195264385
77
13
35
8
3
1
11
13
7
1
35
8
3
1
13
11
:
7
1
35
8
3
1
13
11
:
7
1
75
42
3
1
13
11
:
7
1
7
4
5
2
3
1










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente executamos a multiplicação. 
Em seguida, executamos a divisão. 
Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o 
denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração. 
- 17 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Calcule as expressões numéricas e apresente a resposta na forma de fração irredutível: 
a) 
 2
3
1
7
3
 b) 

8
3
8
5
 c) 

3
2
4
1
6
3
 d) 

7
5
4
3
 e) 

9
1
9
3
9
2
 
f) 

12
5
2
 g) 

10
7
3
2
1
5
4
1
 h) 

5
3
2
5
1
3
 i) 

10
9
2
2
1
1
 j) 

4
3
6
5
3
1
2
1
 
 
E02. Efetue as multiplicações e apresente a resposta na forma de fração irredutível: 
a) 

2
1
.
4
3
 b) 

4
3
.
7
9
 c) 

8
7
.
5
8
 d) 

17
4
.
7
17
 e) 

5
8
.
4
1
.
3
2
 
f) 

6
49
.
7
2
.
5
14
 g) 

16
45
.
3
1
.
15
8
 h) 

3
14
.
9
4
.
7
3
 i) 

2
9
.
3
25
.
5
6
 j) 

8
5
.
14
7
.
15
16
 
 
E03. Efetue as divisões e apresente a resposta na forma de fração irredutível: 
a) 

3
2
:
5
4
 b) 

3
14
:
9
7
 c) 

8
3
:
4
3
 d) 

15
12
:
5
24
 
e) 

7
2
6
 
f) 
2:
5
4
 g) 

9
5
:
3
10
 h) 

5
4
:2
 i) 

17
25
:
34
100
 
j) 

8
3
24
12
 
E04. Calcule: 
a) 






2
2
1
 b) 






4
3
1
 c) 






0
3
2
 d) 






5
3
2
 e) 






2
2
3
 
f) 






3
2
1
1
 g) 






2
3
4
 h) 






0
9
11
 i) 






3
2
1
 j) 






2
4
7
2
 
k) 






3
3
1
3
 l) 






2
6
5
 m) 






3
8
7
 n) 






4
5
2
 o) 






1
7
2
 
 
E05. Calcule o valor das expressões numéricas: 
a) 













3
2
4
5
5
2
2
3
 
b) 













9
7
9
8
6
5
8
7
 
c) 













4
5
4
7
5
1
2
1
1
 
g) 













3
2
4
5
5
2
2
3
 
h) 
4
11
1
5
3
:
2
13
.
169
12
2
2















= 
m) 



















4
1
3.
3
1
12.
2
1
1
2
3
= 
n) 
4
5.
25
7
10
3
.
3
2
2.
14
3
7
4
.
2
3


 = 
 
- 18 - 
 
 
d) 













6
1
2
1
2
4
1
3
1
 
e) 



















4
3
1
3
1
1
2
3
6
7
= 
f) 



















3
2
8
5
1
4
1
3
1
2
1
 
 
i) 













8
7
7
8
.
3
4
4
3
 
j) 
3
7
.
2
3
5
2
.
3
1
5
3
.
2
1

= 
k) 













5
1
2
1
.
4
13
2
11
7
= 
l) 












5
1
.
2
1
6
1
.
5
1
3
1
.
2
1
5
1
.
2
1
= 
 
o) 













4
3
.
2
1
2:
5
7
.
7
10
5
3
.
3
1
 
p) 















6
1
:
25
27
:
5
3
2 
 
E06. Observe o gráfico ao lado e responda: 
a) Qual é a fração que representa o todo-referência? 
b) Qual é a fração que está faltando? 
 
 
 
 
E07. Em uma caixa foram colocadas 120 bolinhas coloridas. Dessas bolas: 
 
6
1
 é azul;  
5
2
 são vermelhas;  
10
3
 são verdes;  O restante é amarela. 
Com as informações acima, determine a quantidade de bolinhas de cada cor: 
a) azuis; b) vermelhas; c) verdes; d) amarelas. 
 
E08. Uma prova para selecionar candidatos para trabalhar em um banco era formada por questões de Português, 
Matemática e Sistema Bancário. Nessa prova, 
5
2
 do total das questões eram de Matemática e 
3
1
 de Português. 
a) Qual é a fração que representa a parte das questões de Português e Matemática? 
b) Qual é a fração que representa a parte das questões sobre o Sistema Bancário? 
 
E09. Considere os seguintes números: 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva as frações em ordem crescente. 
 
E10. Num quintal há 60 árvores. As mangueiras representam 
5
2
 das árvores, as jaqueiras, 
4
1
 e o restante das 
árvores são goiabeiras. 
a) Que fração representa a soma das mangueiras e das jaqueiras? _____________ 
b) Que fração representa as goiabeiras? ____________ 
 
 
 
 
 
- 19 - 
 
 
c) Quantas mangueiras há? ________________ 
d) Quantas jaqueiras há? __________________ 
 
E11. Classifique como V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmativas abaixo: 
 
________ Em duas frações de mesmo denominador, a maior é a que possui maior numerador. 
 
________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui menor denominador. 
 
________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui maior denominador. 
 
________ 
7
3
5
2
2
1

. 
 
________ 
200de%60
 tem o mesmo valor que o triplo da quinta parte de 200. 
________ Na malha ao lado estão pintados 
4
1
16
3

 do total de quadradinhos. 
 
 
E12. Classifique as seguintes frações como próprias, impróprias ou aparentes: 
 
 
E13. Passe para a forma mista as seguintes frações impróprias: 
a) 
5
26
 b) 
13
147
 c) 
8
125
 
d) 
2
59
 e) 
6
47
 f) 
25
1313
 
 
E14. Transforme as frações mistas em frações impróprias. 
a) 
3
1
2
 b) 
3
1
1
 c) 
7
2
1
 
d) 
5
3
2
 e) 
7
2
4
 f) 
11
5
3
 
 
E15. Coloque um dos sinais de ordem (<, >, =) entre as frações, tornando a relação verdadeira: 
a) 
7
1
____
14
2
 b) 
6
3
2
____
8
5
2
 c) 
2
3
____
3
4
 d) 
4
11
____
3
4
 
e) 
5
2
____
7
3
 f) 
4
7
____
5
8
 g) 
4
10
____
6
15
 h) 
4
1
3
____
4
1
2
 
 
- 20 - 
 
 
E16. Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da letra x para que se 
tenha: 
a) 
x
14
9
7

 b) 
28
x
7
4

 c) 
12
x
2
7

 d) 
2
x
30
15

 
e) 
x
9
11
3

 f) 
40
x
8
1

 g) 
x
1
18
6

 h) 
x
10
12
40

 
 
E17. Reduza as frações ao mesmo denominador comum: 
a) 
8
1
,
4
1
,
2
1
 b) 
9
1
,
3
1
,
6
1
 c) 
5
9
,
2
3
,
4
5
 d) 
5
2
,
6
5
,
15
4
,
10
7
 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. 
a) 
21
44
 b) 
4
1
 c) 
12
1
 d) 
28
41
 e) 
9
4
 
f) 
12
19
 g) 
6
5
 h) 
5
29
 i) 
5
13
 j) 
4
1
 
 
E02. 
a) 
8
3
 b) 
28
27
 c) 
5
7
 d) 
7
4
 e) 
15
4
 
f) 
15
98
 g) 
2
1
 h) 
9
8
 
i) 
45
 
j) 
3
1
 
 
E03. 
a) 
5
6
 b) 
6
1
 
c) 2 d) 6 
e) 
7
3
 
f) 
5
2
 
g) 6 
h) 
2
5
 
i) 2 
j) 
3
4
 
 
E04. 
a) 
4
1
 b) 
81
1
 
c) 1 
d) 
243
32
 e) 
4
9
 
f) 
8
27
 g) 
9
16
 
h) 1 
i) 
8
1
 j) 
16
225
 
k) 
27
1000
 l) 
36
25
 m) 
512
343
 n) 
625
16
 o) 
7
2
 
 
 
- 21 - 
 
 
E05. 
a) 
60
101
 
b) 
72
11
 
c) 
5
4
 
d) 
4
9
 
e) 
12
1
 
f) 
8
11
 
 
g) 
60
79
 
h) 
4
133
 
i) 
224
125
 
j) 
3
11
 
k) 
40
151
 
l) 
100
13
 
 
m) 
4
71
 
n) 
56
239
 
o) 
65
88
 
p) 2 
 
E06. a) 
12
12
 
b) 
6
1
 
 
E07. a) 20 b) 48 c) 36 d) 16 
 
E08. a) 
15
11
 
b) 
15
4
 
 
E09. 
4
7
4
5
10
12
5
4
5
3
2
1
100
3

 
 
E10. a) 
20
13
 
b) 
20
7
 
c) 24 d) 15 
 
E11. V – V – F – F – V – V 
 
E12. Própria – Aparente – Própria – Imprópria – Aparente – Própria – Aparente. 
 
E13. 
a) 
5
1
5
 b) 
13
4
11
 c) 
8
5
15
 
d) 
2
1
29
 e) 
6
5
7
 f) 
25
13
52
 
 
E14. 
a) 
3
7
 b) 
3
4
 c) 
7
9
 
- 22 - 
 
 
d) 
5
13
 e) 
7
30
 f) 
11
38
 
 
E15. 
a) 
7
1
=
14
2
 b) 
6
3
2
<
8
5
2
 c) 
2
3
>
3
4
 d) 
4
11
>
3
4
 
e) 
5
2
<
7
3
 f) 
4
7
>
5
8
 g) 
4
10
=
6
15
 h) 
4
1
3
>
4
1
2
 
 
E16. 
a) 
18
14
9
7

 b) 
28
16
7
4

 c) 
12
42
2
7

 d) 
2
1
30
15

 
e) 
33
9
11
3

 f) 
40
5
8
1

 g) 
3
1
18
6

 h) 
3
10
12
40

 
 
E17. 
a) 
8
1
,
8
2
,
8
4
 b) 
18
2
,
18
6
,
18
3
 c) 
20
36
,
20
30
,
20
25
 d) 
30
12
,
30
25
,
30
8
,
30
21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 23 - 
 
 
5.2. Potenciação em Z 
 
Potenciação é uma operação unária
1
 usada em Aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por 
ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente. O uso desta operação é muito costumeiro, tendo em vista que as 
potências estão envolvidas em grande variedade de problemas de cálculo e técnicas estatísticas. 
 
Dados dois números naturais a e n, chama-se potência n de a, e representa-se por a
n
, ao número obtido 
efetuando o produto de n fatores iguais a a. 
 
a
n
 = a  a  a  ...  a 
 
 
Chamamos a de base, n de expoente e ao resultado da operação a
n
 denominamos potência. 
Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que: 
 1n = 1 1  1  ...  1 = 1 
 0n = 0 
 
5.2.1. Propriedades da Potenciação em Z 
 
Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos as seguintes: 
 
 Produto de potências de mesma base: a, m, n  Z, temos que: 
 
a
m
  an = am + n 
 
Exemplos: a) 2
3
  24 = 23+4 = 27 b) 3-3  34 = 3-3+4 = 31 = 3 c) 105  103 = 108 
 
 
 Quociente de potências de mesma base: a, m, n  Z, temos que: 
 
nm
n
m
a
a
a 
 
 
Exemplos: a) 
2
1
2
2
2 1
4
3
 
 b) 
3333
3
3 143)4(3
4
 

3 c) 
1001010
10
10 235
3
5
 
 
 
 
 
 
 
1
 Em Matemática, denominamos de unária à operação que possui apenas um operador, ou seja, trata-se de uma função com somente uma variável de entrada. 
 n parcelas iguais 
- 24 - 
 
 
 Distributiva em relação ao produto e divisão: a, b, m  Z, temos que: 
 
(a  b)m = am  bm e 
m
mm
b
a
b
a






 
 
Exemplos: a) (2  3)3 = 23  33 = 8  27 = 216 b) 
3375
1
125
1
27
1
5
1
3
1
53)53(
33
333  
 
 c) 
9
25
3
5
3
5
2
22






 d) 
27
8
3
2
3
2
3
33






 
 
 
 Potência de potência: a, m, n  Z, temos que: 
 
(a
m
)
n
 = a
m  n 
 
Exemplos: a) (2
3
)
2
 = 2
6
 = 64 b) 
729
1
3
1
3)3(
6
623  
 c) (10
2
)
3
 = 10
6
 = 1.000.000
 
 
 
 Atenção: 
 Observe a diferença entre as expressões 
nm )a(
e nma . 
Por exemplo: 
6422)2( 62323  
, enquanto que 
512222 9333
2
 
. 
 Se n = 1, então: a1 = a. Por exemplo 
4
3
4
3
1







. 
 Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1. Por exemplo
1
4
3
0







. 
 Se n = -1 e a ≠ 0, então: 
a
1
a 1 
. 
Exemplos: a) 
3
1
3 1 
 b) 
3
5
5/3
1
5
3
1






 c) 
2
3
3/2
1
3
2
1









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 25 - 
 
 
5.3. Potências de Base 10 
 
Observe, na tabela abaixo, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros positivos e a quantidade de 
zeros da potência. 
 
 
EXPOENTE INTEIRO 
POSITIVO (n) 
INDICAÇÃO DE 10
n 
POTÊNCIA (RESULTADO) 
NÚMERO DE ZEROS DA 
POTÊNCIA 
1 10
1 
10 1 
2 10
2
 100 2 
3 10
3
 1.000 3 
4 10
4
 10.000 4 
 
n 10
n 100...0 
n 
 
Agora observe, nesta outra tabela, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros negativos e a 
quantidade de algarismos à direita da vírgula. 
 
EXPOENTE INTEIRO 
NEGATIVO (n) 
INDICAÇÃO DE 10
n 
POTÊNCIA (RESULTADO) 
NÚMERO DE ALGARISMOS 
À DIREITA DA VÍRGULA 
-1 10
-1 
0,1 1 
-2 10
-2
 0,01 2 
-3 10
-3
 0,001 3 
-4 10
-4
 0,0001 4 
 
n 10
n 0,00...1 
n 
 
A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo a escrever potências de base 10 na representação 
decimal e vice-versa. 
Por exemplo: 
 
a) 1.000.0000.000.000 = 10
12
 b) 10
-8
 = 0,00000001 
 
 
 
O uso das potências de base 10 é tão difundido nas Ciências Exatas, que alguns múltiplos e submúltiplos 
decimais recebem denominações especiais, conforme apresentamos no item abaixo. 
 
 
 
 
 
12 zeros 8 algarismos 
n zeros 
n algarismos 
- 26 - 
 
 
5.3.1. Prefixos das Potências de Base 10 
 
É comum utilizar prefixos para expressar números escritos em potência de 10, como, por exemplo, uma 
massa de 3.000 g, que pode ser expresso em potência de 10 como 3  103 g ou utilizando prefixo como 3 kg, em 
que o prefixo quilo (k) equivale a 10
3
. 
Abaixo é apresentada uma tabela com a relação dos principais prefixos. 
 
NOME SÍMBOLO
 
POTÊNCIA DE BASE DEZ 
exa E 10
18 
peta P 10
15
 
tera T 10
12
 
giga G 10
9
 
mega M 10
6
 
quilo k 10
3
 
hecto h 10
2 
deca da 10
1
 
 
 
10
0
 
deci d 10
-1
 
centi c 10
-2 
mili m 10
-3
 
micro μ 10
-6
 
nano n 10
-9
 
pico p 10
-12
 
femto f 10
-15
 
atto a 10
-18
 
 
 
 
 
5.4. Notação Científica 
 
Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000.000.005 cm ou que uma dada célula tem 
cerca de 2.000.000.000.000 de átomos dificilmente assimilaremos essas ideias, pois nossos sentidos não estão 
acostumados a perceber esses números. Eles estão fora do nosso quadro de referências. 
Dada a abrangência da Física atual micro-macro cosmo, é importante compreender números nessas ordens. 
A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio de potências de base 10, é um recurso 
comum para a representação simplificada de números muito grandes ou muito pequenos, tendo em vista a 
facilidade de operar com esses números ante a seus equivalentes numéricos. Na utilização dos computadores ou 
máquinas de calcular, por exemplo, a notação científica tem uso regular, tornando os cálculos mais rápidos devido 
às propriedades da potenciação. 
Um número escrito em notação científica segue a seguinte configuração: 
- 27 - 
 
 
 
 
m · 10
e 
 
Onde: 
 m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico 1 ≤ m < 10. 
 e, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza. 
 
Vejamos alguns exemplos e sua resolução: 
 
a) 230.000.000 = 2,3  108 
A vírgula se “deslocou” em 8 casas para a esquerda; o expoente da base 10 indica o deslocamento da vírgula e seu 
sinal é positivo. 
 
b) 0,000 000 000 000 148 = 1,48  10-13 
A vírgula se “deslocou” em 13 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento da vírgula e seu 
sinal é negativo. 
 
c) 0,06289 = 6,289  10-2 
A vírgula se “deslocou” em 2 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento da vírgula e seu 
sinal é negativo. 
 
d) 795.000.000.000.000 = 7,95  1014 
A vírgula se “deslocou” em 14 casas para esquerda; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento da vírgula e seu 
sinal é positivo. 
 
Observe outros exemplos de números grandes e pequenos, expressos em notação científica: 
 
 600.000 = 6 · 10
5
 
 30.000.000 = 3 · 107 
 500.000.000.000.000 = 5 · 10
14
 
 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 10
33
 
 0,0004 = 4 · 10
-4
 
 0,00000001 = 1 · 10
-8
 
 0,0000000000000006 = 6 · 10
-16
 
 
- 28 - 
 
 
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de representar 
adequadamente a quantidade de algarismos significativos, em detrimento de seus equivalentes numéricos que 
trazem pouco significado prático. 
Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. 
Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias de um modo geral, esses valores são frequentes. Também na 
área de Economia, ao se fazer referência a um valor monetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é comum o uso 
da notação científica. 
 
 
5.5. Ordem de Grandeza 
 
Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, apenas algumas casas decimais são relevantes, devido 
a imprecisões nos aparelhos de medida. 
Nesses casos é suficiente conhecer a potênciade 10 que mais se aproxima do seu valor. Essa potência é 
denominada ordem de grandeza da medida. 
 
 
 
 
 
Ordem de grandeza de um número é uma estimativa 
de potência de base 10 mais próxima deste número. 
 
Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a fronteira numérica de 
16,310 
. 
Observe os exemplos. 
 
Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas? 
 
 3  10-3 m  3 < 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-3. 
 4  102 m  4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 103. 
 7  10-6 m  7 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10-5. 
 0,00022 = 2,2  10-4  2,2 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10-4. 
 174.500.000 = 1,745  108  1,745 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 108. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não devemos nos preocupar em estabelecer critérios rigorosos para 
determinar a potência de base 10 mais próxima do número, pois o conceito de 
ordem de grandeza, por sua própria natureza, é uma avaliação aproximada, 
na qual não cabe nenhuma preocupação com rigor matemático. 
Por essa mesma razão, quando o número estiver aproximadamente no 
meio, entre duas potências de 10, será indiferente escolher uma ou outra para 
representar a ordem de grandeza daquele número. 
(MÁXIMO; ALVARENGA, 1992, p. 11.) 
 
- 29 - 
 
 
5.6. Radiciação em Z 
 
O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que, se fornecida uma potência de um número e 
o seu grau, pode-se determinar esse número, ou seja, uma operação recíproca à potenciação. 
Dados três números naturais a, b, n tais que a = b
n
. O número b é dito raiz de índice n de a e representa-se 
pelo símbolo 
n a
. 
 
Assim, a = b
n
 implica que 
ban 
, 
onde a é dito radicando e n índice do radical, a b chamamos de raiz enésima. 
 
 
 
5.6.1. Propriedades da Radiciação em Z 
 
 
Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes: 
 
 Distributiva em relação ao produto e à divisão: a, b, m  Z, temos que: 
 
nnn baba 
 
e 
n
n
n
b
a
b
a

 
 
 
Exemplos: a) 333 1025  b) 
3
2
27
8
27
8
3
3
3 
 
 
 a, m, n  Z, temos que: 
 
  n mn aa m
 
 
Exemplos: a)
   222 3 333  
b)
   32288 5533 5  
c)
   2555555555 3 33 33 333 663  
 
 
 
 
 
- 30 - 
 
 
 a, m, n  Z, temos que: 
n
m
n m
aa 
 
 
Exemplos: a)
   2222 13
3
3
3  b) 8222 33
9
3 9  
 
 
 a, m, n  Z, temos que: 
 
nmm n aa 
 
 
Exemplos:
 
a) 
22646464
6 66233   
 b) 
10000.10000.10 4  
 c) 
63 2525  
 
As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis. 
 
 
 
5.6.2. Simplificação de Radicais 
 
 
Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, colocando-os na forma mais simples 
possível. Essa forma simplificada é obtida através das propriedades dos radicais. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
a) 
10410252252252160 2445  
 
 
 
 
 
 
 
160 
80 
40 
20 
10 
5 
1 
2 
2 
2 
2 
2 
5 
 160 = 2
5
 · 5 
- 31 - 
 
 
 
 
b) 
333 33 33 43 222222216  
 
 
 
 
 
5.6.3. Operações com Radicais 
 
 
Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades operatórias da adição e multiplicação 
de números reais (comutativa, associativa e distributiva). 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) 
575)236(525356 
 
Lembre-se que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando. 
 
b) 
2182621222323483184 
 
Observe que neste exemplo, fez-se necessário, inicialmente, o processo de simplificação de radicais, tendo em vista 
que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando. 
 
c) 
  33333 61532)53(3523 
 
Lembre-se que só é possível o produto de radicais com mesmo índice. 
 
d) 
22
3
6
2
4
32
64
32:64 
 
De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com mesmo índice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
8 
4 
2 
1 
2 
2 
2 
2 
 
 16 = 2
4
 
- 32 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Calcule quantos metros estão contidos em: 
a) 108 km b) 10
3
 cm c) 10
-2
 mm 
 
E02. Transforme em quilômetros: 
a) 3600 m b) 2.160.000 cm c) 0,03 m 
d) 5.780 dm e) 27.600 m f) 5.800 mm 
 
E03. A espessura de uma folha de papel é de 0,05 mm. Seiscentas mil folhas iguais a essa foram empilhadas até 
atingirem uma altura h. Determine o valor de h em metros. 
 
E04. Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384.000 km, aproximadamente, e que entre a Terra e o Sol 
é de 150.000.000 km, aproximadamente, quantas vezes a primeira distância está contida na segunda? 
 
E05. Calcule quantos gramas estão contidos em: 
a) 75 kg b) 0,8 mg c) 10
-5 
kg 
 
E06. Sabendo que 1 tonelada (1 t) equivale a 1.000 quilogramas (103 kg), determine o número de pessoas de 50 kg 
e o de 80 kg que podem viajar juntas em um bondinho do tipo teleférico, que transporta no máximo 60 pessoas ou 
4,2 t. 
 
E07. Calcule o número de segundos de: 
a) 1 minuto b) 1 hora c) 1 dia d) 1 mês de 30 dias 
 
E08. Qual é a duração de um espetáculo teatral que se inicia às 19h20min10s e termina às 22h12min15s? 
 
E09. Podemos considerar o átomo de hidrogênio como uma esfera com diâmetro de 10-10 m. Admitindo que 
pudéssemos enfileirar esses átomos, quantos seriam necessários para cobrir a distância de 1 mm? 
 
E10. No século III a.C., Erastótenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com grande precisão: 
6.370 km. Escreva esse número em metros, fazendo uso de notação científica. 
 
E11. Um fumante consome por dia vinte cigarros de 100 mm. Imagine que fosse possível enfileirar os cigarros que 
esse fumante consome num período de dez anos. Qual seria, em metros, o comprimento dessa fila? 
 
 
- 33 - 
 
 
E12. Uma dona de casa curiosa teve a ideia de descobrir a massa de um grão de feijão. Utilizando uma balança 
descobriu que a massa de 1.000 grãos era de 0,57 kg. Determine a massa, aproximada, de um único grão, em 
miligramas. 
E13. Um analgésico deve ser ingerido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada não 
pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quantas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 
kg? 
 
E14. No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem a um jogo. Através de cada uma das 6 saídas disponíveis 
podem passar 1.000 pessoas por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para esvaziar o estádio? 
 
E15. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando as propriedades da potenciação: 
a) ______ 60203 222  
d) ______ 
4
49
7
2
2






 
b) ______ 
333 32)32(  
e) ______ 
  1642 55  
c) ______ 
  632 33  
f) ______ 
7
2
5
3
3
3


 
 
E16. Efetue, observando as definições e propriedades: 
a) 
   32
_______ 
b) 
201
_________ 
c) 
1500
________ 
d) 
0100
________ 
e) 
30
_________ 
f) 






1
3
4
______ 
g) 
15
________ 
h) 
32
________ 
i) 
   43
________j) 
  35,0
________ 
k) 
215
________ 
l) 
090
________ 
m) 
200
________ 
n) 






1
2
1
________ 
o) 






2
3
2
________ 
p) 






3
5
4
________ 
 
E17. Calcule o valor da expressão 32
3
5
2
2
3
)2(














. 
 
E18. Escreva os expoentes das potências de 10 conforme a indicação abaixo: 
a) 23.856 = 23,856  10_____ b) 23.856 = 2385,6  10_____ 
c) 23.856 = 238,56  10_____ d) 23.856 = 2,3856  10_____ 
 
E19. Coloque a vírgula nos números abaixo conforme a indicação das potências de 10, para que a igualdade seja 
válida: 
- 34 - 
 
 
a) 7,82  103 = 78200  102 b) 7,82  103 = 78200  101 
c) 7,82  103 = 78200 104 d) 7,82  103 = 78200  10-1 
 
E20. Escreva os números abaixo em notação científica: 
a) 529 = __________________ 
b) 7.843 = _________________ 
c) 5.971.432 = ______________ 
d) 73 = ______________ 
e) 0,7 = ______________ 
f) 0,52 = ______________ 
g) 0,278 = _________________ 
h) 0,05697 = _______________ 
i) 749  107 = ______________ 
j) 59,47  10-9 = ____________ 
k) 0,38  104 = ____________ 
l) 0,7159  10-12 = _________ 
 
E21. Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de  para que se tenha: 
a) 56,754 ·  = 567.540 c)  · 23 = 0,000023 
b) 0,003 ·  = 30 d)  · 4,5 = 0,00045 
 
E22. Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica: 
a) 



 2,110
106,3
2
4 b) 





7,010
101,2
3
2
 
 
E23. Diga, em cada caso, a quantidade de algarismos significativos: 
a) 1,324  104 b) 0,324  105 
c) 1200  10-2 d) 0,000424  105 
 
E24. Efetue as operações abaixo e responda utilizando os algarismos significativos na resposta: 
Lembre-se de que a resposta não pode ter mais algarismos significativos do que a menor quantidade de algarismos significativos dos 
números envolvidos nas operações. 
a) (0,0710-3)  (710-5) = b) 



5
3
1003,0
109 
c) (0,610-3) + (410-5) = d) (1,0910-3)  (8710-5) = 
 
E25. Indique a ordem de grandeza em cada um dos itens abaixo: 
a) 1,324  104 b) 0,324  105 
c) 1200  10-2 d) 0,000424  105 
 
E26. Uma partida normal de futebol é disputada em 90 min. O estádio do Morumbi, em São Paulo, já recebeu 
cerca de 30 milhões de torcedores desde sua abertura, em 1960. A média de torcedores por partida é de 
- 35 - 
 
 
aproximadamente 28 mil. Então, qual é a ordem de grandeza do total de minutos de futebol já jogados no 
Morumbi? 
 
E27. Em um hotel com 200 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é de 100 litros por dia. Qual 
a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em metros cúbicos, para abastecer todos os 
apartamentos durante um dia? 
 
E28. Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas: 
a) 
 56553
 b) 
 5555 3323235 
 
c) 
 39223624
 d) 
 45254 33 
e) 
 55 3333323 2
 f) 
 25723
 
 
E29. Reduza os radicais a uma expressão na forma 
ba
, com a e b inteiros, fazendo uso de simplificação de 
radicais: 
a) 
 4520
 b) 
 81850
 
c) 
 125272
 d) 
 7634
 
e)
 729850
 f) 
 1087512
 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. a) 108.000 m b) 10 m c) 10
-5
 m 
E02. a) 3,6 km b) 21,6 km c) 3,0  10-5 km 
 d) 0,578 km e) 27,6 km f) 5,8  10-3 km 
E03. 30 m 
E04. 390,625 vezes 
E05. a) 7,5  104 g b) 8,0  10-4 g c) 10-2 g 
E06. 40 pessoas de 80 kg e 20 pessoas de 50 kg. 
E07. a) 60 s b) 3.600 s c) 8,64  104 s d) 2,592  106 s 
E08. 2h 52min 5s 
E09. 10
7
 átomos 
E10. 6,37  106 m 
E11. 7.300 m 
E12. 570 mg 
E13. 40 gotas 
E14. 20 min 
E15. a) F b) F c) V d) V e) F f) V 
- 36 - 
 
 
E16. a) -8 b) 1 c) 500 d) 1 e) 0 f) 34 
 g) 15 h) 18 i) 81 j) 18 k) 1225 l) 1 
 m) 0 n) 2 o) 94 p) 64125 
E17. 798 
E18. a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 
E19. a) 78,2  102 b) 782,0  101 c) 0,782  104 d) 78200,  10-1 
E20. a) 5,29  102 
b) 7,843  103 
c) 5,971432  106 
d) 7,3  10 
e) 7  10-1 
f) 5,2  10-1 
g) 2,78  10-1 
h) 5,697  10-2 
i) 7,49  109 
j) 5,947  10-8 
k) 3,8  103 
l) 7,159  10-13 
E21. a) 10
4
 b) 10
4
 c) 10
-6
 d) 10
-4 
E22. a) 3  106 b) 3  10 
E23. a) 4 b) 3 c) 2 d) 3
 
E24. a) 5  10-9 b) 3  1010 c) 6  10-4 d) 2,2  10-4 
E25. a) 10
4
 b) 10
5
 c) 10
-1
 d) 10
2 
E26. 10
5 
E27. 10
1 
E28. a) 
52
 
b) 
5 36
 
c) 
22315 
 
d) 
3 538 
 
e) 
3355 
 
f) 
2410 
 
E29. a) 
55
 
b) 
26
 
c) 
34
 
d) 
711
 
e) 
26
 
f) 
313
 
 
 
 
- 37 - 
 
 
Testes: 
 
T01. Um caminhão consegue transportar 3,9 toneladas de carga. Sabendo que uma laranja pesa 130 gramas, 
quantas laranjas o caminhão pode carregar? 
a)  30 b)  300 c)  3.000 d)  30.000 e)  300.000 
 
T02. Em uma área disponível em formato retangular, de 3 metros por 4 metros, eu pretendo cavar uma cisterna 
para guardar 15.000 litros de água. A qual profundidade, em centímetros, eu devo cavar? 
a)  1,25 cm b)  12,5 cm c)  125 cm d)  1.250 cm e)  12.500 cm 
T03. Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento 32 cm e altura 
25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados? 
a)  0,03 b)  0,3 c)  3 d)  30 e)  300 
T04. Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml. Perguntando à 
menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para secar a enchente. Sabendo que o 
volume da enchente era de 70.000 m
3
, quantas viagens a menina teria que fazer para secar toda a água? 
a)  2102 b)  2104 c)  2106 d)  2108 e)  21010 
T05. Muitos remédios são tomados em doses menores que o mg. Um comprimido de certo remédio tem 0,025 mg 
de uma certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos comprimidos podem ser feitos? 
a)  < 1 b)  40 c)  40.000 d)  40.000.000 e)  400 
T06. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. Um destes tem largura de 4 metros e 
comprimento de 3 metros, e o outro tem largura e comprimento iguais, de 2 metros. A altura da sala é de 2,5 
metros. Eu quero comprar um ar condicionado para resfriar esta sala, e cada ar condicionado indica o volume, em 
litros, que ele consegue refrigerar. Então, é preciso comprar o menor ar condicionado, dentre aqueles que tem 
capacidade de resfriar esta sala. Das opções abaixo, qual é a mais indicada? 
a)  10.000 l b)  20.000 l c)  50.000 l d)  70.000 l e)  100.000 l 
 
T07. Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tanque pela metade. Coloquei 35 litros e enchi o tanque. 
Qual é a capacidade do tanque em m
3
? 
a)  0,07 m3 b)  17,5 m3 c)  70 m3 d)  17.500 m3 e)  175.000 m3 
 
T08. Um avião decolou às 15 horas e 30 minutos, e a viagem durou 17.358 segundos. 
Determine o horário em que o avião chegou. 
a)  18 horas, 17 minutos, 16 segundos 
-38 - 
 
 
b)  19 horas, 20 minutos, 19 segundos 
c)  20 horas, 19 minutos, 18 segundos 
d)  20 horas, 21 minutos, 22 segundos 
e)  20 horas, 22 minutos, 24 segundos 
 
T09. O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a: 
a)  310-40 b)  310-14 c)  3010-14 d)  3010-13 e)  310-4 
 
T10. O valor da expressão 
2112 )2()2()2()2(  
 é igual a: 
a)  -13 b)  -3 c)  
4
9

 d)  
4
7
 e)  0 
 
T11. (UFPE) Em um hotel com 500 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é de cerca de 170 
litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em metros cúbicos, para 
abastecer todos os apartamentos durante um dia de falta de água? 
a)  101 b)  102 c)  103 d)  104 e)  105 
 
T12. (Fuvest-SP) Qual é a ordem de grandeza do número de voltas dadas pela roda de um automóvel ao percorrer 
uma estrada de 200 km? 
 a)  102 b)  103 c)  105 d)  1010 e)  109 
 
T13. Um recipiente cúbico tem 3,000 m de aresta, n é o número máximo de cubos, de 3,01 mm de aresta, que 
cabem no recipiente. A ordem de grandeza de n é: 
 a)  106 b)  107 c)  108 d)  109 e)  1010 
 
T14. A ordem de grandeza em segundos, em um período correspondente a um mês, é: 
 a)  10 b)  103 c)  106 d)  109 e)  1012 
 
T15. Supondo-se que um grão de feijão ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo de arestas 0,5cm  0,5cm 
 1,0cm, qual das alternativas abaixo melhor estima à ordem de grandeza do número de feijões contido no volume 
de um litro? 
 a)  10 b)  102 c)  103 d)  104 e)  105 
 
T16. O fumo é comprovadamente um vício prejudicial à saúde. Segundo dados da Organização Mundial da Saúde, 
um fumante médio, ou seja, aquele que consome cerca de 10 cigarros por dia, ao chegar à meia-idade terá 
- 39 - 
 
 
problemas cardiovasculares. A ordem de grandeza do número de cigarros consumidos por este fumante durante 30 
anos é de: 
 a)  102 b)  103 c)  104 d)  105 e)  106 
 
T17. O censo populacional realizado em 1970 constatou que a população do Brasil era de 90 milhões de 
habitantes. Hoje, o censo estima uma população de 150 milhões de habitantes. A ordem de grandeza que melhor 
expressa o aumento populacional é: 
 a)  106 b)  107 c)  108 d)  109 e)  1010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. D 10. D 
 
02. C 11. B 
03. D 12. C 
 
04. D 13. D 
05. D 14. C 
06. C 15. E 
 
07. A 16. D 
08. C 17. C 
09. B 
 
- 40 - 
 
 
Questões Desafios 
 
D01. Relação entre volumes de reservatórios. 
Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani: O aquífero 
Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, 
Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 
quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados 
estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros 
cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. 
Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são 
usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades 
já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São 
Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja 
capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. 
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do 
aquífero Guarani é: 
a)  1,5  102 vezes a capacidade do reservatório novo. 
b)  1,5  103 vezes a capacidade do reservatório novo. 
c)  1,5  106 vezes a capacidade do reservatório novo. 
d)  1,5  108 vezes a capacidade do reservatório novo. 
e)  1,5  109 vezes a capacidade do reservatório novo. 
 
 
D02. Cálculo do peso mínimo de um carro de fórmula 1 para percorrer um certo número de volta. 
Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina 
deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa 
categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio 
de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. 
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 gl, esteja 
no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao 
ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo: 
a)  617 kg b)  668 kg c)  680 kg d)  689 kg e)  717 kg 
 
D03. Cálculo de elementos indicadores de peso e gordura corporal dado o IMC de uma pessoa. 
Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições 
teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o 
modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões 
cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: 
 
Respostas das 
Questões Desafios: 
 
01. E 
 
02. B 
03. E 
 
04. E 
05. B 
06. B 
 
07. C 
08. A 
 
 
- 41 - 
 
 
 
 
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kgm2, então ela possui RIP igual a: 
a) 
3/1kg
cm
4,0
 b)  
3/1kg
cm
5,2
 c)  
3/1kg
cm
8
 d)  
3/1kg
cm
20
 e)  
3/1kg
cm
40
 
D04. Cálculo da escala de um mapa. 
Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, 
localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua 
que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo 
estudante está na escala de: 
a)  1 : 250 b)  1 : 2.500 c)  1 : 25.000 d)  1 : 250.000 e)  1 : 25.000.000 
 
 
 
 
 
D05. Conversão de unidades de medidas de posição dada por um GPS. 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado). 
Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização 
geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com 
longitude de 124
o3’0’’ a leste do Meridiano de Greenwich. A representação angular da localização do vulcão 
com relação a sua longitude da forma decimal é: 
Dado: 1
o
 equivale a 60’ e 1’ equivale a 60’’. 
a)  124,02o b)  124,05o c)  124,220o d)  124,30o e)  124,50o 
 
 
 
 
D06. Cálculo do tempo mínimo para todos os espectadores de um show entrarem num estádio. 
Um show especial de Natal teve 45000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol 
que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, 
passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e 
catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles 
que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicadas. Qual é o 
tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? 
a)  1h b)  1h15min c)  5h d)  6h e)  6h15min 
 
 
 
D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil. 
As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um 
aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido umabaixa em relação ao mês de maio de 2012. 
(Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.) 
- 42 - 
 
 
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de: 
 
 
 
 
a)  4,129  103 b)  4,129  106 c)  4,129  109 d)  4,129  1012 e)  4,129  1015 
 
 
 
 
D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de uma família. 
Para economizar em suas contas mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja construir um reservatório para 
armazenar a água captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente para abastecer a família por 20 dias. Cada 
pessoa da família consome, diariamente, 0,08 m
3
 de água. Para que os objetivos da família sejam atingidos, a 
capacidade mínima, em litros, do reservatório a ser construído deve ser: 
a)  16.000 b)  8.000 c)  1.600 d)  800 e)  16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 43 - 
 
 
ANEXO A 
 
Medidas de Comprimento 
Unidade Símbolo Equivalência 
Gigametro Gm 1 Gm = 10
9
 m 
Megametro Mm 1 Mm = 10
6
 m 
Quilômetro km 1 km = 10
3
 m 
Hectômetro hm 1 hm = 10
2
 m 
Decâmetro dam 1 dam = 10
1
 m 
Metro m 1 m = 10
0
 m 
Decímetro dm 1 dm = 10
-1
 m 
Centímetro cm 1 cm = 10
-2
 m 
Milímetro mm 1 mm = 10
-3
 m 
Micrômetro m 1 m = 10-6 m 
Nanômetro nm 1 nm = 10
-9
 m 
Ångströn Å 1 Å = 10
-10
 m 
Picômetro pm 1 pm = 10
-12
 m 
 
 
Medidas de Massa 
Unidade Símbolo Equivalência 
Tonelada t 1 t = 10
3
 kg 
Quilograma kg  
Grama g 1 g = 10
-3
 kg 
Miligrama mg 1 mg = 10
-6
 kg 
 
 
Medidas de Intervalo de Tempo 
Unidade Símbolo Equivalência 
Segundo s  
Minuto min 1 min = 60 s 
Hora h 1 h = 3.600 s 
- 44 - 
 
 
UNIDADE 2: 
LEIS DE NEWTON 
 
 
1. Introdução 
 
Quando empurramos um carro, arrastamos uma caixa, 
saltamos ou pulamos algum obstáculo, estamos exercendo forças 
nesses corpos. Em todos esses casos, há relação entre as forças que 
estão agindo e as alterações que sofre o estado de movimento do 
corpo em questão. 
Nessa Unidade, nosso objetivo é tentar explicar as causas dos 
movimentos estudando o conceito de força e as Leis de Newton. 
A preocupação do homem em tentar explicar as causas dos movimentos dos corpos terrestres e celestes 
remonta há pelo menos 2000 anos. Mas foi Isaac Newton, que nasceu na Inglaterra no dia do Natal do ano de 1642, 
quem primeiro apresentou uma teoria que realmente explicava as causas do movimento. Publicou no ano de 1686 
seu principal trabalho: Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Sua contribuição foi de enorme importância 
para o desenvolvimento da Física, a tal ponto de receber uma homenagem da tripulação da Apolo XI: “Queremos 
agradecer à pessoa que tornou possível essa viagem: Isaac Newton”. 
A Mecânica Clássica ou Newtoniana continua válida até hoje para explicar as causas dos movimentos. 
Estudaremos as três Leis de Newton, mas antes é necessário conhecermos o conceito de força. 
 
2. Força 
 
Chutar, amassar, puxar, empurrar, deformar, arremessar, segurar, bater: são ações muito comuns em nossas 
vidas e que estão associadas à grandeza física força. Até hoje, não temos uma definição exata desta grandeza, mas, 
com facilidade, podemos observar suas causas e seus efeitos. O físico francês Henry Poincaré (1854 – 1912), fez 
sua tentativa: “A ideia de força é uma noção primitiva, irredutível e indefinível. Ela deriva de uma noção de 
esforço, que nos é familiar desde a infância”. 
Já Isaac Newton escreveu: “Uma força imprimida é uma ação exercida sobre um corpo a fim de alterar seu 
estado, seja de repouso, ou de movimento”. 
Atualmente, vários cientistas, afirmam que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força é um agente físico que surge da interação 
entre no mínimo dois corpos, capaz de produzir 
alterações em seu estado de movimento 
(variações de velocidade) ou deformação. 
- 45 - 
 
 
Em Dinâmica vamos tratar de forças cujo efeito principal é causar variações na velocidade de um corpo, isto 
é, aceleração. 
Tal qual a aceleração, a força é uma grandeza vetorial, exigindo, portanto, para ser caracterizada, uma 
intensidade, uma direção e um sentido. 
A unidade de força no Sistema Internacional 
(SI) é o Newton (N): uma força de 1 N é a força que 
aplicada a um corpo de 1 kg, provoca uma 
aceleração de 1 ms2. Abordaremos novamente este 
assunto mais adiante. 
 
 
2.1. Força Resultante 
 
Seja uma partícula na qual estão aplicadas várias forças. Esse sistema de forças pode ser substituído por uma 
única força, a força resultante, que é capaz de produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Equilíbrio 
 
Um ponto material está em equilíbrio quando a resultante das forças que nele atuam é nula. Podemos 
distinguir dois casos: 
 
 Equilíbrio Estático: um ponto material está em equilíbrio 
estático quando se encontra em repouso, isto é, sua velocidade 
vetorial é nula no decorrer do tempo. 
 
 Equilíbrio Dinâmico: o equilíbrio é dito dinâmico quando o 
ponto material está em movimento retilíneo e uniforme, isto é, 
sua velocidade vetorial é constante e diferente de zero. 
 
 
 
O conceito científico para grandeza é 
tudo o que pode ser medido. 
Grandeza escalar é aquela que fica 
perfeitamente caracterizada quando 
conhecemos um número e uma unidade. 
Grandeza vetorial é aquela que somente 
fica caracterizada quando conhecemos, 
pelo menos, uma direção, um sentido, um 
número e uma unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
REPOUSO 
 
 
MRU 
- 46 - 
 
 
4. Princípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton 
 
Considere um corpo não submetido à ação de força alguma. Nessa condição esse corpo não sofre variação de 
velocidade. Isso significa que, se ele está parado, permanece parado e, se está em movimento, permanece em 
movimento e sua velocidade se mantém constante. 
 
 
 
 
 
 
Podemos interpretar seu enunciado da seguinte maneira: todos os corpos são “preguiçosos” e não desejam 
modificar seu estado de movimento: se estão em movimento, querem continuar em movimento; se estão parados, 
não desejam mover-se. 
Os físicos chamam essa “preguiça” de inércia, característica de todos os corpos dotados de massa. 
 
 
 
O princípio da inércia pode ser observado no movimento de um ônibus. Quando o ônibus “arranca” a partir 
do repouso, os passageiros tendem a deslocar-se para trás, resistindo ao movimento. Da mesma forma, quando o 
ônibus já em movimento freia, os passageiros deslocam-se para frente, tendendo a continuar com a velocidade que 
possuíam. 
 
 
 
Para Galileu, o natural era o movimento – e não o repouso, como afirmava Aristóteles. Ao observar o 
movimento de um corpo, sua questão era “por que para” e não “por que se move”. 
 
 
Tal princípio, formulado pela primeira vez por Galileu e depois 
confirmado por Newton, é conhecido como primeiro princípio da 
Dinâmica (1ª Lei de Newton) ou Princípio da Inércia. 
 
G
a
rf
ie
ld
 –
 J
im
 D
a
vi
s 
®
 
- 47 - 
 
 
A afirmação de que “um corpo parado permanece parado se não agir sobre ele alguma força” pode 
facilmente ser compreendida em nossa vida prática (um corpo não se move por si só, é necessário aplicar-lhe uma 
força). 
 
 
Já a afirmação de que um corpo em movimento mantém velocidade constante se não atuarem forças sobre 
ele émenos intuitiva. Com efeito, um corpo em movimento não permanece sempre em movimento: depois de certo 
tempo – mais ou menos longo – o corpo para. Uma bolinha jogada sobre um plano horizontal para depois de 
percorrer poucos metros, mesmo que aparentemente não aja força alguma sobre ela. 
Na realidade existe uma força de freamento, indicada genericamente com o nome de atrito. Porém, no caso 
de essas forças não existirem ou serem reduzidas ao mínimo, o princípio da inércia é verificado plenamente. 
Por exemplo, uma nave espacial que se move no espaço interplanetário, por exemplo, não encontra atrito; 
por isso não tem necessidade de motor e, pelo princípio da inércia, continua a mover-se em linha reta com a 
velocidade com a qual foi lançada inicialmente. 
Os referenciais em que o princípio da inércia se verifica são chamados referenciais inerciais. Tais 
referenciais são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, 
isto é, possuem aceleração vetorial nula. 
Para movimentos de pequena duração (menor que 24h), podemos desprezar os efeitos de rotação da Terra e 
considerar sua velocidade como constante durante o movimento de translação. Nessas condições a Terra pode ser 
considerada um referencial inercial. 
 
 
 
5. Massa de um Corpo 
 
Sabemos que os corpos que apresentam maior inércia são aqueles de maior massa. Por exemplo, é mais fácil 
empurrar um carrinho vazio do que um carrinho cheio de compras. 
O carrinho com compras oferece maior resistência para sair do repouso. 
G
a
rf
ie
ld
 –
 J
im
 D
a
vi
s 
®
 
- 48 - 
 
 
Podemos, então, associar a massa de um corpo à sua inércia, dizendo que a massa de um corpo é a medida 
numérica de sua inércia. 
No Sistema Internacional de unidades (SI), a massa tem como padrão o quilograma. 
O submúltiplo e o múltiplo usuais do quilograma são, respectivamente, o grama (g) e a tonelada (t), sendo 
que 1 g = 10
-3
 kg e 1 t = 10
3
 kg. 
 
 
6. Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton 
 
A experiência nos mostra que uma mesma força produzirá diferentes acelerações sobre diferentes corpos. 
Uma mesma força provoca uma aceleração maior numa bola de tênis do que num automóvel, isto é, quanto maior a 
massa de um corpo mais força será necessária para produzir uma dada aceleração. Esse princípio estabelece uma 
proporcionalidade entre causa (força) e efeito (aceleração). 
Isaac Newton estabeleceu esta lei básica que analisa as causas gerais dos movimentos, relacionando as forças 
aplicadas a um ponto material de massa m constante e as acelerações que a provocam. Considerando como 
RF
a 
soma vetorial (resultante) de todas as forças aplicadas e 
a
 a aceleração adquirida, a segunda Lei de Newton 
estabelece: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No Sistema Internacional de unidades (SI) a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de aceleração 
é o metro por segundo ao quadrado (ms2). 
Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, temos a unidade de força newton (N). 
amFR

 
 
1 N = 
2s
m
kg 
 
 
 
 
A resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual ao 
produto de sua massa pela aceleração adquirida. 
 
Isso significa que a força resultante produz uma aceleração com a 
mesma direção e mesmo sentido da força resultante e suas intensidades 
são proporcionais. 
- 49 - 
 
 
 
Um newton (N) é a intensidade da força que, aplicada à massa de 1 kg, produz na sua direção e no seu 
sentido um movimento de aceleração de 1 ms2. 
No sistema CGS a unidade de massa é grama (g), a unidade de aceleração e o centímetro por segundo ao 
quadrado (cms2) e a unidade de força e o dina (dyn). 
 
2s
cm
gdyn 
 
 
A relação entre o newton e o dina é: 1 N = 10
5
 dyn. 
 
 
7. Medida de uma Força 
 
Podemos medir a intensidade de uma força pela deformação que ela produz 
num corpo elástico. 
O dispositivo utilizado é o dinamômetro, que consiste numa mola 
helicoidal de aço envolvida por um protetor. Na extremidade livre da mola há um 
ponteiro que se desloca ao longo de uma escala. 
A medida de uma força é feita por comparação da deformação causada por 
essa força com a de forças padrão. 
 
 
 
 
 
8. Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton 
 
Quando dois corpos interagem aparece um par de forças como resultado da ação que um corpo exerce sobre 
o outro. Essas forças são comumente chamadas de ação e reação. 
O princípio da ação e reação estabelece as seguintes propriedades das forças decorrentes de uma interação 
entre os corpos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A toda ação corresponde uma reação, com 
a mesma intensidade, mesma direção e 
sentido contrário. 
- 50 - 
 
 
 
 
 
Imagine dois patinadores, de massas inerciais iguais, parados um 
em frente ao outro numa superfície horizontal de gelo. 
 Se um empurrar o outro, os dois adquirirão movimento na mesma 
direção e em sentidos opostos, e os deslocamentos serão efetuados no 
mesmo intervalo de tempo, sugerindo que as forças aplicadas são opostas. 
 
Essa situação ilustra a Terceira lei de Newton, chamada Lei da ação e reação. Sempre que dois corpos 
quaisquer A e B interagem, as forças exercidas são mútuas. Tanto A exerce força em B, como B exerce força em A. 
A interação entre corpos é regida pelo princípio da ação e reação. 
 
 
Toda vez que um corpo A exerce uma força ⃗ num corpo B, este também 
exerce em A uma força ⃗ tal que essas forças: 
 Tem a mesma intensidade | ⃗ | | ⃗ | 
 Tem a mesma direção; 
 Tem sentidos opostos; 
 Tem a mesma natureza, sendo ambas de campo ou ambas de contato. 
 
 
Observação: As chamadas forças de ação e reação não se equilibram, pois estão aplicadas em corpos diferentes. 
 
Vamos analisar duas situações identificando as forças de reação aplicadas num determinado corpo: 
 
 
 
 
 
 
- 51 - 
 
 
 Força Normal ( ⃗⃗⃗): Toda força trocada entre superfícies sólidas que se 
comprimem. Sua direção é perpendicular à linha que tangencia as superfícies no 
ponto de apoio: 
 
 
 
 Força de tração ( ⃗⃗⃗): Força que um fio aplica em um corpo preso a ele. A essa força corresponde uma reação 
 ⃗⃗, aplicada no fio. 
 
 
 
 
 
 
 
9. Forças Especiais 
 
Formalizando o conceito de força, é o resultado da interação entre corpos, podendo ela produzir uma 
variação de velocidade, equilíbrio e deformação. Força é uma grandeza vetorial. 
 
9.1. A Força Peso 
A força peso ( ⃗⃗) é uma força de campo, pois ocorre pela ação a distância entre os corpos. Imagine a 
seguinte situação, duas bolas de massas m1 e m2, foram abandonadas do repouso no mesmo nível e estão em queda 
livre vertical próximo à superfície da Terra. 
Nesta situação, a única força que atua sobre cada bola é a força gravitacional ⃗⃗ A intensidade de ⃗⃗ pode 
ser calculada multiplicando a massa m pela intensidade da aceleração da gravidade ⃗⃗⃗: 
 De acordo com a Lei Fundamental da Dinâmica, a força ⃗⃗ é resultante e tem a mesma direção e sentido da 
aceleração ⃗. 
 O peso de um corpo não deve ser confundido com sua massa: enquanto a massa é uma propriedade da 
matéria e seu valor é constante em qualquer lugar, o peso é uma força e sua intensidade varia dependendo do local 
onde o corpo se encontra. 
No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de peso é o newton (N). 
 
 
- 52 - 
 
 
Uma unidade de força muito utilizada na engenharia é o 
quilograma-força (kgf), definido com a intensidade da força peso 
de um corpo de 1 kg de massa, próximo à superfícieterrestre: 
1 kgf = 9,8 N 
As faces de contato do bloco e da superfície são comprimidas, trocando forças 
normais. A compressão dessas faces é devida ao peso do bloco, que representa a 
atração que a Terra exerce sobre ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2. Força de Atrito 
A força de atrito pode ser encontrada frequentemente em nosso cotidiano: quando caminhamos, acendemos 
um palito de fósforo, escovamos os dentes, escrevemos, etc. 
Mas, o que são forças de atrito? 
São forças tangenciais que aparecem quando há escorregamento (ou tendência) entre superfícies sólidas que 
comprimem. A ocorrência desse fenômeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das 
superfícies. 
 
9.2.1. Força de atrito estático 
A força de atrito estático ocorre quando existe uma tendência a um deslizamento relativo entre duas 
superfícies que se comprimem. 
Na figura a seguir temos um bloco apoiado numa superfície horizontal, nele é aplicada uma força 
solicitadora de movimento ( ⃗) também horizontal. 
 
Enquanto o bloco permanece em repouso temos . Aumentando gradativamente a intensidade da força 
 ⃗, o bloco continua em repouso até que ⃗ atinja o valor limite entre o repouso e o movimento iminente. Nesse 
momento, o bloco se encontra na iminência de movimento. 
Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes leis para o atrito: 
 A intensidade da força de atrito estático varia de zero até o valor máximo de ⃗ 
 A intensidade da força de atrito máxima é diretamente proporcional à intensidade da força normal ( ⃗⃗⃗) que 
a superfície aplica sobre o bloco: , sendo o coeficiente de atrito estático. 
 O coeficiente de atrito estático depende do estado de polimento e da natureza das duas superfícies em 
contato. 
- 53 - 
 
 
 A intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as superfícies sólidas que 
se comprimem. 
 
 
9.2.2. Força de atrito cinético 
Quando a força solicitadora do movimento ( ⃗) atinge o valor da força de atrito máxima, o bloco fica na 
iminência de deslizamento. A partir daí, um pequeno acréscimo na intensidade da força solicitadora produz o 
movimento do bloco, ocorrendo, então, a força de atrito cinético ( ⃗ ). Experimentalmente, verifica-se que, 
quando o bloco está em movimento, a força de atrito é constante e não depende da velocidade de escorregamento 
das superfícies, desde que essa velocidade não atinja valores muitos elevados. 
O gráfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos estático e cinético entre as superfícies. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a força de atrito cinético, temos: , em que é o coeficiente de atrito cinético. 
Comparando os coeficientes estático e cinético, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 54 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Nas figuras abaixo, representamos as forças que agem nos blocos de massa igual a 2,0 kg. Determine, em 
cada caso, o módulo da aceleração que esses blocos adquirem. 
 
 
E02. Um ponto material de massa igual a 2 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante de intensidade 
6N, que atua durante 10 s, após os quais deixa de existir. Determine: 
a) a aceleração nos 10 s iniciais; 
b) a velocidade ao fim de 10 s. 
 
E03. Uma partícula de massa 0,50 kg realiza um movimento retilíneo uniformemente variado. Num percurso de 4,0 
m sua velocidade varia de 3,0 m/s a 5,0 m/s. Qual o módulo da força resultante que age sobre a partícula? 
 
E04. Determine a aceleração de um bloco de massa 2 kg e que desliza, num plano horizontal sem atrito, nas 
situações indicadas abaixo: 
 
 
 
E05. Uma partícula de massa 0,20 kg é submetida à ação das forças 
1F , 
2F , 3F e 4F , conforme indica a figura. Determine a aceleração da 
partícula. 
 
 
 
E06. Submete-se um corpo de massa igual a 5.000 kg à ação de uma força constante que, a partir do repouso, lhe 
imprime a velocidade de 72 km/h, ao fim de 40 s. Determine: 
a) a intensidade da força; 
b) o espaço percorrido. 
 
E07. Qual o valor, em newtons, da força média necessária para fazer parar, um percurso de 20 m, um automóvel de 
1,5103 kg a uma velocidade de 72 km/h? 
 
- 55 - 
 
 
E08. Duas forças, 
1F e 2F , aplicadas a um mesmo ponto, são perpendiculares entre si. Sabendo que suas 
intensidades são respectivamente iguais a 12 N e 16 N, determine: 
a) a intensidade resultante das forças; 
b) a aceleração da partícula, que tem 4 kg de massa. 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. a) 2 m/s
2
 b) 3,5 m/s
2
 c) 0,50 m/s
2
 d) 2,5 m/s
2
 
E02. a) 3 m/s
2
 b) v = 30 m/s 
E03. 
E04. a) 5 m/s
2
 b) 3 m/s
2
 
E05. 10 m/s
2 
E06. a) 2500 N b) 400 m 
E07. 1,5104 N 
E08. a) 
RF
 20 N b) 5 m/s
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 56 - 
 
 
Testes 
 
T01. Um corpo de massa m = 0,5 kg está sob a ação das duas forças colineares, 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ indicadas na figura. De acordo com a segunda lei de 
Newton, a aceleração resultante, em ms2, é de: 
a)  0 b)  10 c)  30 d)  40 e)  70 
 
T02. (UEL–PR) Sob a ação exclusiva de duas forças, ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ de mesma direção, um corpo de 6,0 kg de massa 
adquire aceleração de módulo igual a . Se o módulo de ⃗⃗ ⃗⃗ vale 20 N, o módulo de ⃗⃗⃗⃗⃗, em newtons, só pode 
valer: 
a)  0 b)  4,0 c)  44 d)  40 e)  4,0 ou 44 
 
T03. Um corpo de massa igual a 2 kg encontra-se inicialmente em 
repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Aplica-se uma força 
horizontal sobre o corpo (conforme o gráfico). A velocidade do corpo, 
após percorrer 4 m, será de: 
a)  3 m/s 
b)  4 m/s 
c)  5 m/s 
 
d)  6 m/s
 
e)  2 m/s 
 
T04. (UFAL) Um carrinho de massa m = 25 kg é puxado por uma força resultante horizontal F = 50 N, conforme a 
figura abaixo. De acordo com a Segunda lei de Newton, a aceleração resultante no carrinho será, em , igual a: 
a)  1250 b)  50 c)  25 d)  2 e)  0,5 
 
T05. (Fatec-SP) Uma motocicleta sofre aumento de velocidade de 10 m/s para 30 m/s enquanto percorre, em 
movimento retilíneo uniformemente variado, a distância de 100 m. Se a massa do conjunto piloto + moto é de 500 
kg, pode-se concluir que o módulo da força resultante sobre o conjunto é: 
a)  200 N b)  400 N c)  800 N d)  2000 N e)  4000 N 
 
T06. (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma trajetória retilínea, que obedece à equação horária 
 , na qual s é medido em metros e t em segundos. O módulo da força resultante que está atuando sobre o objeto é: 
a)  10 N b)  17 N c)  19 N d)  28 N e)  35 N 
𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗
 
𝐹 ⃗⃗ ⃗⃗
 
- 57 - 
 
 
T07. Abaixo, apresentamos três situações do seu dia-a-dia que devem ser associados com as três leis de Newton. 
 
I) Ao pisar no acelerador do seu carro, o velocímetro 
pode indicar variações de velocidade. 
A) Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia. 
II) João machucou o pé ao chutar uma pedra. 
B) Segunda Lei de Newton ou Princípio Fundamental 
da Dinâmica. 
III) Ao fazer uma curva ou frear, os passageiros de um 
ônibus que viajam em pé devem se segurar. 
C) Terceira Lei de Newton ou Lei da Ação e Reação. 
 
A opção que apresenta a sequência de associação correta é: 
a)  AI, BII, CIII 
b)  AII, BI, CIII 
c)  AII, BIII, CI
 
d)  AIII, BI, CII 
e)  AIII, BII, CI 
 
T08. Um cavalo puxa uma carroça em movimento. 
Qual das forças enumeradas a seguir é responsávelpelo movimento do cavalo? 
a)  A força de atrito entre a carroça e o solo. 
b)  A força que o cavalo exerce sobre a carroça. 
c)  A força que o solo exerce sobre o cavalo.
 
d)  A força que o cavalo exerce sobre o solo. 
e)  A força que a carroça exerce sobre o cavalo. 
 
T09. Em um trecho de uma estrada retilínea e horizontal, o velocímetro de um carro indica um valor constante. 
Nesta situação: 
I. A força resultante sobre o carro tem o mesmo sentido que o da velocidade. 
II. A soma vetorial das forças que atuam sobre o carro é nula. 
III. A aceleração do carro é nula. 
 
a)  Somente I é correta. 
b)  Somente II é correta. 
c)  Apenas I e II são corretas.
 
d)  Apenas I e III são corretas. 
e)  I, II e III são corretas. 
- 58 - 
 
 
T10. Dadas as afirmações: 
I. Um corpo pode permanecer em repouso quando solicitado por forças externa. 
II. As forças de ação e reação têm resultante nula, provocando sempre o equilíbrio 
do corpo em que atuam. 
III. A força resultante aplicada sobre um corpo, pela Segunda Lei de Newton, é o 
produto de sua massa pela aceleração que o corpo possui. 
Podemos afirmar que é(são) correta(s): 
a)  I e II b)  I e III c)  II e III d)  I e)  I, II e III
 
 
T11. (EFOA-MG) Dos corpos destacados (sublinhados), o que está em equilíbrio é: 
a)  a Lua movimentando-se em torno da Terra. 
b)  uma pedra caindo livremente. 
c)  um avião que voa em linha reta com velocidade constante.
 
d)  um carro descendo uma rua íngreme, sem atrito. 
e)  uma pedra no ponto mais alto, quando lançada verticalmente para cima. 
 
T12. (UFMG) Todas as alternativas contêm um par de forças ação e reação, exceto: 
a)  A força com que a Terra atrai um tijolo e a força com que o tijolo atrai a Terra. 
b)  A força com que uma pessoa, andando, empurra o chão para trás e a força com que o chão empurra a pessoa 
para a frente. 
c)  A força com que um avião empurra o ar para trás e a força com que o ar empurra o avião para a frente.
 
d)  A força com que um cavalo puxa uma carroça e a força com que a carroça puxa o cavalo. 
e)  O peso de um corpo colocado sobre uma mesa horizontal e a força normal da mesa sobre ele. 
 
T13. Um livro está em repouso sobre uma mesa. A força de reação ao peso do livro é: 
a)  a força normal. 
b)  a força que a terra exerce sobre o livro. 
c)  a força que o livro exerce sobre a terra. 
 
d)  a força que a mesa exerce sobre o livro. 
e)  a força que o livro exerce sobre a mesa. 
 
T14. Os choques de balões ou pássaros com os para-brisas dos aviões em processo de aterrissagem ou decolagem 
podem produzir avarias e até desastres indesejáveis em virtude da alta velocidade envolvida. Considere as 
afirmações abaixo: 
- 59 - 
 
 
I. A força sobre o pássaro tem a mesma intensidade da força sobre o para-brisa. 
II. A aceleração resultante no pássaro é maior do que a aceleração resultante no avião. 
III. A força sobre o pássaro é muito maior que a força sobre o avião. 
Pode-se afirmar que: 
a)  apenas I e III são corretas. 
b)  apenas II e III são corretas. 
c)  apenas III é correta. 
d)  I, II e III são corretas. 
e)  apenas I e II estão corretas. 
 
T15. (UFAL 96) Um corpo de massa 250 g parte do repouso e adquire a velocidade de 20 m/s após percorrer 20 m 
em movimento retilíneo uniformemente variado. A intensidade da força resultante que age no corpo, em Newtons, 
vale: 
a)  2,5 b)  5,0 c)  10,0 d)  20,0 e)  25,0
 
 
T16. Um corpo de massa M = 4 kg está apoiado sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito estático 
entre o corpo e o plano é de 0,30, e o coeficiente de atrito dinâmico é 0,20. Se empurrarmos o corpo com uma força 
F horizontal de intensidade F = 16 N, podemos afirmar que: (g = 10 m/s
2
) 
a)  a aceleração do corpo é 0,5 m/s2. 
b)  a força de atrito vale 20 N. 
c)  a aceleração do corpo será 2 m/s2. 
 
d)  o corpo fica em repouso. 
e)  Nenhuma das alternativas anteriores está correta. 
 
T17. Um bloco de madeira pesa 2,00  103 N. Para deslocá-lo sobre uma mesa horizontal com velocidade 
constante, é necessário aplicar uma força horizontal de intensidade 1,0  102 N. O coeficiente de atrito dinâmico 
entre o bloco e a mesa vale: 
 a)  5,0 10-2 b)  1,0 10-1 c)  2,0 10-1 d)  2,5 10-1 e)  5,0 10
-1 
 
T18. Um corpo desliza sobre um plano horizontal, solicitado por uma força de intensidade 100 N. Um observador 
determina o módulo da aceleração do corpo: a = 1,0 m/s
2
. Sabendo-se que o coeficiente atrito dinâmico entre o 
bloco e o plano de apoio é 0,10, podemos dizer que a massa do corpo é: (g = 10 m/s
2
) 
a)  10 kg b)  50 kg c)  100 kg d)  150 kg e)  200 kg
 
- 60 - 
 
 
T19. Dois corpos A e B (mA = 3 kg e mB = 6 kg) estão ligados por um 
fio ideal que passa por uma polia sem atrito, conforme a figura. Entre o 
corpo A e o apoio, há atrito cujo coeficiente é 0,5. Considerando-se g = 10 
m/s2, a aceleração dos corpos e a força de tração no fio valem: 
a)  5 m/s2 e 30 N. 
b)  3 m/s2 e 30 N. 
c)  8 m/s2 e 80 N. 
 
d)  2 m/s2 e 100 N. 
e)  6 m/s2 e 60 N. 
 
T20. (EFU-MG) O bloco da figura abaixo está em repouso e tem massa 
igual a 2 kg. Suponha que a força F = 4 N, representada na figura, seja 
horizontal e que o coeficiente de atrito estático das superfícies em contato 
vale 0,3. O valor da força de atrito é: (g = 10 m/s
2
.) 
a)  4 N b)  6 N c)  2 N d)  10 N e)  20 N
 
 
T21. Dois blocos idênticos, ambos com massa m, são ligados por um fio 
leve, flexível. Adotar g = 10 m/s
2
. A polia é leve e o coeficiente de atrito 
do bloco com a superfície é m = 0,2. A aceleração dos blocos é: 
a)  10 m/s2 
b)  6 m/s2 
c)  5 m/s2 
 
d)  4 m/s2 
e)  Nula 
 
T22. No esquema ao lado, considere desprezíveis a massa da roldana, a 
massa dos fios e o atrito. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 
m/s2 e t o instante em que os blocos A e B passam pela posição 
esquematizada. De acordo com todas as informações, inclusive as do 
esquema, a tração no fio F, em newtons, no instante t, é igual a: 
a)  40 
b)  48 
c)  60 
 
d)  96 
e)  100 
- 61 - 
 
 
Resposta dos Testes: 
T01. B T12. E 
T02. C T13. C 
T03. B T14. E 
T04. D T15. A 
T05. D T16. C 
T06. D T17. A 
T07. D T18. B 
T08. C T19. A 
T09. E T20. A 
T10. B T21. D 
T11. C T22. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 62 - 
 
 
10. Matematizando 
 
10.1. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 
 
Vamos definir seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos. Se ABC é um triângulo 
retângulo em A, temos: 
 
• a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); 
• b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto); 
• 
Bˆ
e
Cˆ
são ângulos agudos; 
• 
AC
 é o cateto oposto ao ângulo B; 
• 
AB
 é o cateto adjacente ao ângulo B. 
 
Consideremos agora um ângulo 
COˆA
, com 0
o
 <  < 90º, e tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. da 
semirreta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., à semirreta OB. 
 
Essa relação depende apenas do ângulo  (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual  é um dos 
ângulos agudos). Ela é chamada seno de  e escrevemos: 
 
oo 900 com ,
hipotenusa da medida
 ângulo ao oposto cateto do medida
OC
CD
)(sen 


 
 
De modo análogo, da semelhança de triângulos obtemos as relações: 
)(constante ...
OG
OH
OE
OF
OCOD
 
 
)(constante ...
OH
GH
OF
EF
OD
CD

 
 
que também dependem apenas do ângulo  e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulo  e 
tangente do ângulo : 
 
 
 
 
Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por terem os 
mesmos ângulos. Podemos, portanto, escrever: 
 
 
 
- 63 - 
 
 
 
oo 900 com ,
hipotenusa da medida
 ângulo ao adjacente cateto do medida
OC
OD
)cos( 


 
 
 
 
oo 900 com ,
 ângulo ao adjacente cateto do medida
 ângulo ao oposto cateto do medida
OD
CD
)(tg 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2. Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) 
 
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir: 
 
 Relação fundamental do triângulo retângulo: sen2  + cos2  = 1, (0o <  < 90º). 
 



cos
sen
tg
, (0
o
 <  < 90º). 
 Se dois ângulos,  e , são complementares ( +  = 90°), então sen  = cos  (o seno 
de um ângulo é igual ao cosseno do ângulo complementar, e vice-versa). Dessa 
propriedade surgiu o nome cosseno: seno do complemento. 
 
 
10.3. Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis 
 
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados ângulos 
notáveis, ou seja, ângulos que merecem atenção especial. Para os 
estudos de Trigonometria, é essencial que tais valores sejam 
memorizados. A tabela ao lado resume esses valores. 
Observe na tabela que a sequência de valores da linha do 
seno aparece invertida na linha do cosseno. Isso não é 
coincidência. Ocorre porque 30º e 60º são complementares, e 45º 
é complementar a si mesmo. 
 
As razões , e 
são chamadas razões trigonométricas com relação ao ângulo . 
 
 
- 64 - 
 
 
Assim: 
• sen 30º = cos 60º (30º + 60º = 90º) 
• sen 45º = cos 45º (45º + 45º = 90º) 
• sen 60º = cos 30º (60º + 30º = 90º) 
 
Além disso, os valores da linha da tangente equivalem à razão dos valores do seno e do cosseno, pois 
)xcos(
)x(sen
)x(tg 
. 
Por exemplo, na coluna do 45º, temos: 
• sen 45º = 
2
2 • cos 45º = 
2
2 • tg 45º = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
Dessa forma, nos exercícios que envolvem ângulos notáveis, você deve usar os valores memorizados e, nos 
demais exercícios, usar uma calculadora científica (lembre -se de que muitos modelos de celulares possuem esse 
tipo de calculadora). 
 
De onde vem o nome seno 
“Quando estudei Trigonometria no colégio, meu professor ensinou que seno vem 
do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade (como nas palavras enseada, 
sinuosidade). E usou o gráfico da função, que é realmente bastante sinuosos, para 
justificar o nome. 
Mais tarde vim a aprender que não é bem assim. Sinus é a tradução latina da 
palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não tem 
nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, 
que infelizmente, durou até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, 
seria jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Uma 
explicação para esse erro é proposta po A. Aaboe (Episódios da história antiga da 
Matemática, p.139): em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se apenas as 
consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além de jiba e 
jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois 
tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. 
Evidentemente, quando se buscam as origens das palavras, é quase inevitável que 
se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a 
conclusão. Há outras explicações possíveis para a palavra seno. Uma delas é de que se 
teria originado da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita).” 
 
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
(IMPA) e Vitae – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991, p.187. 
- 65 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
Exercícios 01 a 14 extraídos da obra: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 1. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013. 
 
E01. Um a rampa lisa de 10 m de comprimento faz 
ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que 
sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros 
verticalmente? 
 
 
 
 
 
E02. Um navio está situado exatamente 10 milhas a 
leste de um ponto A. Um observador, situado 
exatamente ao sul do navio, vê o ponto A sob um 
ângulo de 40º. Calcule a distância entre o observador e 
o navio. 
 
 
E03. Em um exercício de tiro esportivo, o alvo se 
encontra em uma parede e sua base está situada a 20 m 
do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um 
ângulo de 10º em relação à horizontal, calcule a que 
distância o centro do alvo se encontra do chão. 
 
 
E04. Para determinar a altura de uma torre, um 
topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém 
um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. 
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, 
qual é aproximadamente a altura da torre? 
 
 
E05. Na figura abaixo, qual é a altura do avião em 
relação ao chão 
 
 
E06. Observe a figura a seguir e responda às questões: 
 
 
a) Qual é o comprimento da escada? 
b) Qual é o ângulo formado pela escada e o chão? 
 
E07. Queremos saber a largura l de um rio sem 
atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo: 
• marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma 
árvore), um em cada margem; 
• marcamos um ponto C, 
distante 8 m de A, onde 
fixamos o aparelho para 
medir ângulos (teodolito), de 
tal modo que o ângulo no 
ponto A seja reto; 
 
 
 
- 66 - 
 
 
• obtemos uma medida de 70º 
para o ângulo ACB. 
Nessas condições, qual é a largura l do rio? 
 
E08. Em Física muitas grandezas são representadas por 
vetores, que são segmentos de reta orientados que 
possuem um tamanho (módulo), uma direção e um 
sentido (indicado pela flecha na ponta do vetor). 
Quando a direção desses vetores não é nem horizontal 
nem vertical, eles podem ser decompostos em outros 
dois vetores, sendo um horizontal e outro vertical. Na 
figura a seguir, observa-se um vetor V, de módulo 
(tamanho) 10, cuja direção está inclinada 30° em 
relação à horizontal. Usem seus conhecimentos de 
Trigonometria para calcular qual é o módulo (tamanho) 
do vetor Vx na horizontal e do vetor Vy na vertical. 
 
E09. As ruas Canário e Tico-Tico são perpendiculares. 
A distância entre os pontos A e B é de 50 m. As ruas 
Canário e Sabiá cruzam -se em B formando um ângulo 
de 60º. Qual é o perímetro do triângulo ABC 
determinado pelos cruzamentos dessas três ruas? 
(Use 
7,13 
) 
 
 
 
 
 
E10. Na construção de um telhado foram usadas telhas 
francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação 
ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da 
casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje 
do teto, a casa tem 3 m de altura, determine a que altura 
se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. 
 
 
E11. Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um 
ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura 
estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar 
uma torre situada a 2 km do ponto de partida? 
 
 
E12. Calcule a medida x indicada na figura abaixo: 
 
 
E13. Um segmento AB de 10 cm faz um ângulo agudo 
a com a horizontal. Sua projeção A’B’ na horizontalmede 
35
 cm. Qual é o valor do ângulo ? 
 
 
E14. Um arame de 120 m de comprimento é esticado 
do topo de um prédio até o solo. Calcule a altura do 
prédio sabendo que o arame forma com o solo um 
ângulo de 25º. 
 
- 67 - 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. 5 m 
E02. 12,05 milhas 
E03. 3,6 m 
E04. 59,7 m 
E05. 2500 m 
E06. a) 8m b) 30º 
E07. 22 m 
E08. Vx =
35
 e Vy = 5 
E09. 235 m 
E10. 5,04 m 
E11. h = 540 m e d = 2.062 m 
E12. 
350
 
E13.  = 30º 
E14. 50,4 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 68 - 
 
 
Testes 
 
T01. Acredita-se que a necessidade de avaliar distâncias 
inacessíveis tenha colaborado para o surgimento do cálculo 
trigonométrico, já que essas medidas podem ser estimadas 
com o auxílio da Trigonometria no triângulo retângulo. 
Atualmente, um instrumento óptico bastante usado para esse 
tipo de trabalho é o teodolito, que permite medir ângulos 
verticais e horizontais. 
 
 
 
a)  10 m b)  8 m c)  8,65 m d)  5,78 m e)  6,56 m 
 
T02. Um avião decola de um ponto B sob inclinação 
constante de 15º com a horizontal. A 2 km de B se encontra a 
projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 
m de altura, conforme figura. 
É correto afirmar que: 
a)  não haverá colisão do avião com a serra; 
b)  haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura; 
c)  haverá colisão do avião com a serra em D; 
d)  se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra. 
 
T03. Em uma aula prática de seu curso de Engenharia Civil, Edmílson teve de determinar a altura de um prédio 
situado em terreno plano. Instalado o teodolito em um ponto do terreno, o estudante conseguiu ver o topo do prédio 
sob ângulo de 60°. Afastando-se o aparelho mais 5 m do edifício, seu topo passou a ser visto sob ângulo de 45°. 
Considerando que o teodolito tem uma altura de 1,17 m e tomando 1,732 como aproximação para 
3
, a altura do 
edifício é: 
a)  9 m b)  6,82 m c)  11,83 m d)  13 m e)  11 m 
 
Usando um teodolito a partir do segmento AB 
apresentado na fotografia ao lado, foi possível 
medir dois ângulos: e . 
Como foi obtida a distância AB = 5 m, e 
tomando 1,73 como aproximação para , a 
distância entre os pontos A e C é: 
 
 
(Dados: cos 15º  0,97; sen 15º  0,26; tg 15º  0,27) 
 
- 69 - 
 
 
 
 
T04. (Enem-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na noite 
do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando 
agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, 
Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o 
cumprimento do tempo previsto de medição. 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. 
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o 
avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da 
posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no 
mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob 
um ângulo de 30°. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
 
a)  1,8 km b)  1,9 km c)  3,1 km d)  3,7 km e)  5,5 km 
 
T05. De um ponto A no solo, visam-se a base B e o topo C de um bastão 
colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30º e 45º, 
respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, 
em metros, é igual a: 
a) 
3
 
b)  2 
c)  
32
 
d)  
)13(2 
 
e)  
)33(2 
 
 
T06. (Enem-2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual  fazendo mira em um ponto fixo P da praia. 
Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P 
da praia, no entanto sob um ângulo visual 2. A figura ilustra essa situação: 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo  = 30° 
e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia 
percorrido a distância 
AB
2000 m. Com base nesses 
dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do 
barco até o ponto fixo P será: 
 
a)  1000 m b)  
31000 m c)  
3
3
2000 
m d)  2000 m e) 
32000
 m
 
 
- 70 - 
 
 
T07. Topografia é área do conhecimento que trabalha com levantamento de dados para a representação gráfica 
detalhada de uma região da superfície terrestre (distâncias, relevo, formas, etc.). Esse nome vem do idioma grego, 
em que topos significa ‘lugar’ e graphein significa ‘descrever’: “descrição de um lugar”. Desde as civilizações 
mais antigas, os povos já demarcavam a posição e limitavam a extensão de suas terras aplicando técnicas 
rudimentares de Topografia. 
Imagine que Thaís, estudante do curso de Engenharia Civil, cursando a disciplina de Topografia, caminha em uma 
pequena estrada retilínea paralela a uma praia, quando vê, da estrada, um grande barco parado no mar. Curiosa, 
quer saber a distância do barco à estrada. Pega seu teodolito no carro e verifica que a reta que une o barco ao ponto 
onde ela está forma 45° com a estrada. Após percorrer mais 1.350 m na estrada, Thaís verifica que a reta que une o 
barco ao novo ponto onde ela está forma com a estrada um ângulo de 30°; com essas informações, calcula a 
distância desejada. Se ela usou 1,7 como aproximação para 
3
 e acertou todos os cálculos, a distância que 
encontrou foi: 
a)  5 km b)  2,5 km c)  0,5 km d)  0,25 km e)  0,05 km
 
 
T08. (Enem-2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou 
como herança um terreno retangular de 3 km  2 km que contém 
uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo 
de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. 
Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos 
acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse 
com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, 
aproximadamente, a: 








 58,0
3
3
 Considere
 
a)  50% b)  43% c)  37% d)  33% e)  19%
 
 
T09. Um observador, no ponto B da figura ao lado, vê um prédio de modo que o 
ângulo ABC é de 105°. Se esse observador está situado a uma distância de 8 m do 
prédio e a uma altura de 8 m, qual é a altura do prédio? (Use 
7,13 
) 
a)  21,6 m 
b)  17 m 
c)  18,6 m
 
d)  25,5 m
 
e)  30,6 m 
 
 
 
- 71 - 
 
 
 
T10. Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício 
conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, 
devemos somar 1,65m a: 
a)  bcos() 
b)  acos() 
c)  asen()
 
d)  btg() 
e)  bsen() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. C 
 
02. B 
03. D 
04. C 
05. D 
06. B 
 
07. C 
08. E 
09. A 
10. E 
 
- 72 - 
 
 
10.4. Estudo da Circunferência Trigonométrica 
 
10.4.1. Introdução 
 
Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de um círculo, 
relacionados com arcos e cordas. As propriedades dos ângulos centrais de uma circunferência eram conhecidas 
desde o tempode Eudoxo — astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu no século IV a.C. —, que teria 
usado medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e da distância 
relativa entre o Sol e a Terra. 
Acredita-se que os sumérios e os acadianos, antigos povos habitantes da Mesopotâmia (3500 a.C.), já sabiam 
medir ângulos — é atribuída aos sumérios a criação da escrita cuneiforme, a mais antiga de que se tem notícia. 
Feita com o auxílio de uma cunha, a escrita cuneiforme era composta de traços verticais, horizontais e oblíquos. 
A divisão do círculo em partes iguais, obtida por meio de ângulos centrais congruentes, aparece bem mais 
tarde. Hipsicles (século III a.C.) foi um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em 360 partes iguais, 
mas não há evidência científica da escolha desse número. O que pode tê-la influenciado é o fato de já se saber que 
o movimento de translação da Terra em torno do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias. 
Mas a hipótese mais provável é ter havido a influência do sistema de numeração de base sexagesimal (base 60), 
utilizado na Babilônia, justificando também as subdivisões das medidas dos ângulos, que seguem essa base. 
A Trigonometria, como seu nome sugere, é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Seu propósito 
inicial é, portanto, a resolução de problemas relacionados a triângulos. 
Já estudamos as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo, as razões trigonométricas. 
Agora, vamos estender esses conceitos a ângulos maiores do que 180°, e para isso contaremos com o apoio de uma 
circunferência, chamada circunferência trigonométrica, na qual serão considerados os ângulos centrais. 
 
 
10.4.2. Conceitos Trigonométricos Básicos 
 
Neste tópico vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais 
recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições necessárias e 
precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a circunferência trigonométrica. 
Para isso, vamos relembrar alguns conceitos necessários: 
 
 Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se os dois 
pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta. 
 
- 73 - 
 
 
 Medida e comprimento de um arco: considere um 
ponto A sobre uma circunferência de raio r e centro O. 
Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele 
percorre uma distância l ao mesmo tempo em que gira um 
ângulo  em torno do centro O. 
Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferência de medida  e comprimento l. 
Para a medida  usam-se geralmente unidades como o grau e o radiano. 
Para o comprimento l usam-se em geral unidades como metro, centímetro, quilômetro, etc. 
• Medida de uma circunferência em graus: 360°. 
• Comprimento de uma circunferência de raio r: C = 2r . 
 
 Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do ângulo central que o subtende. 
 
 
 
 Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos): As unidades mais usadas para medir arcos de 
circunferência (ou ângulos) são o grau e o radiano. 
 Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um 
grau (1°). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário: 
 
 
 
 
O comprimento l depende 
do raio da circunferência, 
mas a medida  não. 
Arco: 
Medida de AB =  
 
Ângulo Central: 
Medida de =  
 
Considere cinco circunferências 
concêntricas de raios diferentes 
e um mesmo ângulo central 
subtendendo arcos em todas elas. 
Os cinco arcos terão a mesma medida? 
E terão o mesmo comprimento? 
 
arco AB de 270º 
(três quartos de volta) 
arco AB de 90º 
(um quarto de volta) 
arco AB de 180º 
(meia volta) 
arco AB de 360º ou 0
o
 
(uma volta ou nulo) 
O grau foi dividido em 60 partes 
menores denominadas minuto. 
 
O minuto foi dividido também em 60 
partes menores denominadas segundo. 
 
Assim, um arco de dois graus, trinta e 
cinco minutos e quarenta segundos é 
representado por: 2°35’40’’. 
- 74 - 
 
 
 Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. 
Isso deve ser interpretado da seguinte forma: 
 Se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um 
arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida 
do ângulo central) e comprimento de 1 raio. 
 Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um 
arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios. 
 Se temos um ângulo central de medida  radianos, então ele subtende um 
arco de medida  radianos e comprimento de  raios. Assim, se a medida 
 do arco for dada em radianos, teremos l = r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Relação entre as unidades para medir arcos (ou ângulos): Lembre-se de que o comprimento C da 
circunferência de raio r é igual a C = 2r, em que  = 3,141592... Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos 
afirmar que o arco correspondente à circunferência mede: 2r = 21 rad = 2 rad. 
 
Sabendo que um arco de 180º mede  rad , podemos fazer a conversão de unidades usando uma regra de três 
simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as principais conversões entre grau e radiano 
mentalmente, sem recorrer à regra de três. 
Esse procedimento é muito simples se observarmos que: 
 
 
 
Existem outras unidades para medir 
arcos, por exemplo, o grado, que é um 
arco obtido a partir da divisão da 
circunferência em 400 partes iguais. 
Porém, as unidades mais usadas são o 
grau e o radiano. 
 
- 75 - 
 
 
 90º é 
2
1
 de 180º; logo, é 
2
1
 de  rad  90º = 
2

 rad. 
 30º é 
6
1
 de 180º; logo, é 
6
1
 de  rad  30º = 
6

 rad. 
 60º é 
3
1
 de 180º; logo, é 
3
1
 de  rad  60º = 
3

 rad. 
 45º é 
4
1
 de 180º; logo, é 
4
1
 de  rad  45º = 
4

 rad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode (e deve!) 
memorizar estas relações para 
agilizar as conversões. 
Veja outro exemplo: 
120º é o dobro de 60º, então: 
120º = rad. 
- 76 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
Exercícios 01 a 14 extraídos da obra: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013. 
 
E01. Se o comprimento de uma circunferência é 2 cm, qual seria o comprimento de um arco de: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 d) 
 
 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 g) 
 
 
E02. Converta em radianos: 
a) 210º b) 300º c) 120º d) 115º e) 270º f) 135º g) 150º 
 
E03. Expresse em graus: 
a) 
6

 b) 
6
5
 c) 
4

 d) 
4
5
 e) 
3
4
 f) 
5
6
 g) 
7
2
 
 
 
 
 
E04. Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento contido em uma circunferência de 
raio 8 cm. 
 
E05. Qual e o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45° contido em uma circunferência 
de raio 2 cm? 
 
E06. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido 
numa circunferência de raio 3 cm. 
 
E07. Determine o ângulo, em radianos, em cada item: 
a) 
 
b) 
 
 
E08. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento,suas posições extremas formam um ângulo de 
60°. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve? 
 
- 77 - 
 
 
10.4.3. Circunferência Trigonométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À circunferência trigonométrica de centro O, vamos associar um 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A de 
coordenadas (1, 0) como origem dos arcos (conforme figura ao lado). 
Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes 
congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de 
A, no sentido positivo. 
 
 
 Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes. 
 Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos -1 x  1 e -1 y  1. 
 
 
 
 
Denomina-se circunferência trigonométrica à circunferência 
orientada, de centro na origem do sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de comprimento e 
na qual o sentido positivo é o anti-horário. 
 
- 78 - 
 
 
10.4.4. Arcos Côngruos ou Congruentes 
 
Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos 
diferentes (por exemplo, 0 e 2), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou congruentes. 
É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2, que é o 
comprimento de cada volta. 
 
 
Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos 
o seguinte: 
 na primeira figura, o ponto deslocou-se 
3

ou 60° de A até B; 
 na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2 ou 360°) e mais 
3

ou 60°; ou seja, deslocou-se 
3
7
ou 420°; 
 na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (22 ou 2  360°) 
e mais 
3

ou 60°; ou seja, 
3
13 ou 780°. 
 
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB seria 
escrito assim: 
 
 Zk com ,360k60ou 2k
3
oo 

 
 
Podemos então definir: 
 
 
 
 
 
 
 
Dois arcos são côngruos ou 
congruentes quando suas medidas 
diferem em um múltiplo de 
2 rad ou 360°. 
- 79 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Escreve a expressão geral dos arcos congruentes a: 
a) 60º b) 120º c) 
4
5 rad d) 
6
11
rad 
E02. Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados, considerando a origem 
em A: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
E03. Encontre a 1ª determinação, ou seja, o menor valor não negativo côngruo ao arco de: 
a) 780º b) 1140º c) -400º d) 
2
15
 rad e) 
3
10
rad f) 
2
9
rad 
 
E04. “Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na França uma reforma de pesos e medidas que culminou na 
adoção de uma nova unidade de medida de ângulos. Essa unidade dividia o ângulo reto em 100 partes iguais, 
chamadas grados. Um grado (1 gr) é, então, a unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais, e o minuto 
divide o grado em 100 partes, bem como o segundo divide o minuto também em 100 partes. Tudo isso para que a 
unidade de medição de ângulos ficasse em conformidade com o sistema métrico decimal. A ideia não foi muito 
bem-sucedida, mas até hoje encontramos na maioria das calculadoras científicas as três unidades: grau, radiano e 
grado.” (DANTE, 2013, p.34) 
Com base no texto acima, responda: 
a) A quantos grados equivale meia volta de circunferência? E uma volta inteira? 
 
- 80 - 
 
 
b) Em qual quadrante termina o arco trigonométrico de 250 gr? 
c) A quantos grados equivale 1 rad? 
d) A quantos graus equivale 1 gr? 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. 
E02. 
E03. 
E04. 
 
Testes 
 
T01. (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, 
que é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco de o
2
1






, 
a medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é: 
a)   b)  
4
3
 c)  
3
4
 d)  
9
10
 e)  
10
11
 
T02. (Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado 
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o 
segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta 
gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: 
a)  uma volta completa. 
b)  uma volta e meia. 
c)  duas voltas completas. 
d)  duas voltas e meia. 
e)  cinco voltas completas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 81 - 
 
 
10.5. Vetores 
 
10.5.1. Noção Intuitiva 
 
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam 
completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, 
área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que 
uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm
3
 ou que a temperatura ambiente é de 
30º C, estamos determinando perfeitamente estas grandezas. 
Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, 
pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente 
caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. 
Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. 
Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as ideias 
de direção e de sentido. 
A figura ao lado apresenta três retas. A reta r1 determina, ou define, uma 
direção. A reta r2 determina outra direção, diferente da direção de r1. Já 
a reta r3, por ser paralela a r1, possui a mesma direção de r1. Assim a 
noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são 
paralelas. Quer dizer, retas paralelas têm a mesma direção. 
Nesta outra figura, apresentada abaixo, a direção é definida pela 
reta que passa pelos pontos A e B. O deslocamento de uma pessoa nessa 
mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B 
ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos 
associar dois sentidos. Fica claro então que só podemos falar em 
“sentidos iguais” ou em “sentidos contrários” caso estejamos diante da 
mesma direção. 
 
Alguns exemplos: 
 
Situação 01: Consideremos um avião com uma velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para nordeste, 
sob um ângulo de 40º (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), em 
sentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha – figura 
abaixo), sendo o seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, 4 cm, e cada 1 cm corresponde a 100 
km/h), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40º. O sentido será indicado por uma seta na 
extremidade superior do segmento. 
 
 
r2 
r1 
r3 
A B 
- 82 - 
 
 
Observemos que no caso de o ângulo ser 220º (40º + 180º), a direção continua sendo a mesma, porém, o 
sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situação 02: Analisando o deslocamento de um carro de um pontoao outro em uma estrada, podemos representar 
esse movimento por um segmento de reta orientado, terminado em ponta de flecha, conforme mostra a figura 
abaixo. O segmento de reta orientado aponta no sentido em que o carro se desloca e possui um comprimento que 
meça a velocidade real dentro de uma escala conveniente, assim como no exemplo anterior. 
Esse segmento de reta representa o vetor-velocidade do carro. 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor-velocidade é um dos vários exemplos de vetores desse tipo que podem ser encontrados dentro da 
Física. 
Os vetores nos permitem raciocinar sobre problemas no espaço sem a ajuda de eixos de coordenadas. Dado 
que as leis fundamentais da física não dependem de uma posição particular no espaço dos eixos de coordenadas, os 
vetores são instrumentos adaptados à formulação dessas leis. 
Abstendo-se da ideia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado 
(um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo). 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma 
direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de 
um mesmo vetor. Na figura ao lado, todos os segmentos orientados paralelos, 
de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB, representam o mesmo vetor, 
que será indicado por 
AB
 ou B – A, onde A é a origem e B a extremidade do 
segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula 
encimada por uma flecha, tal como 
v

. 
N 
40º 
N 
 
 
 
 
 
 
S 
L O 
A 
B 
- 83 - 
 
 
Quando escrevemos 
v

 = 
AB
, estamos afirmando que o vetor 
v

 é determinado pelo segmento orientado 
AB. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa 
também o vetor 
v

. 
Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um 
segmento orientado que é representante do vetor 
v

. Esta é a razão de o vetor também ser 
chamado de vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada 
em qualquer ponto. 
O módulo, a direção e o sentido de um vetor 
v

 é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus 
representantes. Indica-se o módulo de 
v

 por 
v

 ou 
v

. 
 
 Dois vetores 
u

 e 
v

 são paralelos, e indica-se por 
u

 // 
v

, se os seus representantes tiverem a mesma direção. 
 Dois vetores 
u

 e 
v

 são ditos iguais, e indica-se por 
u

 = 
v

, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
 
- 84 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. A figura é constituída de nove quadrados congruentes. Associe V (verdadeiro) ou F (falso) a cada uma das 
seguintes afirmações: 
a) ( ) 
OFAB 
 b) ( ) 
PHAM 
 c) ( ) 
OPBC 
 
d) ( ) 
MCBL 
 e) ( ) 
EDDE 
 f) ( ) 
MGAO 
 
g) ( ) 
FIKN 
 h) ( ) 
HI//AC
 i) ( ) 
LD//JO
 
j) ( ) 
FG//AJ
 k) ( ) 
EGAB 
 l) ( ) 
BLAM 
 
m) ( ) 
ECPE 
 n) ( ) 
NBPN 
 o) ( ) 
AMPN 
 
p) ( ) 
FPAC 
 q) ( ) 
MFIF 
 r) ( ) 
ACAJ 
 
s) ( ) 
NP2AO 
 t) ( ) 
BLAM 
 
 
 
10.5.2. Operações com vetores 
 
 Adição de Vetores 
Consideremos os vetores 
u
 e 
v
 , cuja soma 
u
 + 
v
 pretendemos encontrar. 
Tomemos um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento 
orientado AB representante do vetor 
u
 . 
Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC 
representante do vetor 
v
 . O vetor representado pelo segmento orientado de 
origem A e extremidade C é, por definição, o vetor soma de 
u
 e 
v
 , isto é, 
u
 + 
v
 = AC ou ACBCAB  . 
Sendo 
u
 // 
v
 , a maneira de se obter o vetor 
u
 + 
v
 é a mesma e está ilustrada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B C D 
 
 
 
 
 L M N E 
 
 
 
 
 K P O F 
 
 
 J I H G 
A 
 
 
 + 
B 
C 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e de mesmo sentido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 e de sentidos contrários 
 
- 85 - 
 
 
No caso de os vetores 
u

 e 
v

 não serem paralelos, há uma outra 
maneira de se encontrar o vetor soma 
u

 + 
v

. Representam-se 
u

 = 
AB
 e 
v

 = 
AD
 por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-se o 
paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A, que 
corresponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor 
u

 + 
v

, isto é, 
u

 + 
v

 
= 
AC
, ou 
AB
 + 
AD
 = 
AC
. 
Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo e, em particular, se a 
extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro, a soma deles 
será o vetor zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 Multiplicação de um vetor por um escalar 
Dado um vetor 
v

  
0
 e um número real k  0, chama-se produto do numero real k pelo vetor 
v

, o vetor k
v

, tal 
que: 
a) módulo: k
v

 = k
v

, isto é, o comprimento de k
v

 é igual ao comprimento de 
v

 multiplicado por k; 
b) direção: k
v

 é paralelo a 
v

; 
c) sentido: k
v

 e 
v

 têm o mesmo sentido se k > 0, e contrário se k < 0. Se k = 0 ou 
v

 = 
0
, então k
v

 = 
0
. 
A figura apresenta o vetor 
v

 e alguns de seus 
múltiplos: 
 
 
 
 
 
 Ângulo de dois vetores 
O ângulo entre os vetores não-nulos 
u
 e 
v

 é o ângulo  formado por 
duas semi-retas AO e OB de mesma origem O, onde 
u
 = OA , v = OB 
e 0     ( em radianos) ou 0o    180º. 
 
Se 
u
 // 
v
 e 
u
 e 
v
 têm o mesmo sentido, então  = 0. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores 
u
 e 
u2
 que 
têm o mesmo sentido. Se 
u
 // 
v
 e 
u
 e 
v
 têm sentidos contrários, então  = 180º. É o caso de 
u
 e 
u3


. 
 A 
 B 
 C 
 D 
 
 
 
 + 
 
 
 + 
 
 + + 
 
 
 
 
 + + + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O 
 B 
 A 
 
 
 
- 86 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Com base na figura ao lado, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 
a) 
CNAC 
 b) 
BDAB 
 c) 
DCAC 
 
d) 
AKAC 
 e) 
EOAC 
 f) 
BLAM 
 
g) 
ANAK 
 h) 
OEAO 
 i) 
NPMO 
 
j) 
CBBC 
 k) 
NFPNLP 
 l) 
PBBNBL 
 
 
 
 
 
E02. Com base na figura ao lado, determinar os vetores abaixo, 
expressando-os com origem no ponto A: 
a) 
CGAB 
 b) 
DEBC 
 c) 
EHBF
 
d) 
BCEG 
 e) 
EHCG 
 f) 
FBEF
 
g) 
AEADAB 
 h) 
FHDAEG 
 
 
E03. Dados dois vetores 
u

 e 
v

 não-paralelos, construir no mesmo gráfico osvetores 
u

 + 
v

, 
u

  
v

, 
v

  
u

 e 
u



v

, todos com origem em um mesmo ponto. 
 
E04. A figura ao lado apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo 
ABCD, sendo O o ponto de intersecção das diagonais desse losango. 
Associe V para verdadeiro e F para falso a cada uma das seguintes 
afirmações: 
a) ( ) 
OGEO 
 b) ( ) 
CHAF 
 
c) ( ) 
HGDO 
 d) ( ) 
BOOC 
 e) ( ) 
DHOH 
 
f) ( ) 
COEH 
 g) ( ) 
BDAC 
 h) ( ) 
DB
2
1
OA 
 
i) ( ) 
CD//AF
 j) ( ) 
HG//GF
 k) ( ) 
OC//AO
 
l) ( ) 
OHAB 
 m) ( ) 
CBEO 
 n) ( ) 
HFAO 
 
o) ( ) 
FEOB 
 
 
A B 
 C 
 
 
 
 
D 
E 
 F 
G H 
 
 
 
 
 A F B 
 
 
 
 
 D H C 
 
 
 
 
 E O G 
 
 
 
 
 
 A B C D 
 
 
 
 
 L M N E 
 
 
 
 
 K P O F 
 
 
 J I H G 
- 87 - 
 
 
E05. Associe V ou F a cada uma das afirmações: 
a) ( ) Se 
u

 = 
v

, então 
u

 = 
v

. 
b) ( ) Se 
u

 = 
v

, então 
u

 = 
v

. 
c) ( ) Se 
u

 // 
v

, então 
u

 = 
v

. 
d) ( ) Se 
u

 = 
v

, então 
u

 // 
v

. 
e) ( ) Se 
w

 = 
u

 + 
v

, então 
w

  = 
u

+ 
v

. 
f) ( ) Se 
w

  = 
u

+ 
v

, então 
u

, 
v

 e 
w

 são paralelos. 
g) ( ) Se 
DCAB 
, então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo. 
h) ( ) 
v5

= 
v5


 = 5
v

. 
i) ( ) Os vetores 
v3

 e 
v4


 são paralelos e de mesmo sentido. 
j) ( ) Se 
u

 // 
v

, 
u

 = 2 e 
v

 = 4, então 
v

 =
u2

 ou 
v

 = 
u2


. 
 
E06. Com base na figura da questão 01, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 
a) 
CHOC
 b) 
FGEH 
 c) 
AF2AE2 
 d) 
EFEH 
 e) 
BGEO 
 
f) 
OC2OE2 
 g) 
EHBC
2
1

 h) 
FGFE 
 i) 
HOOG 
 j) 
AOFOAF 
 
 
E07. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
AB
 e 
AD
, sendo M e N pontos médios dos lados DC e 
AB, respectivamente. Determinar: 
a) 
ABAD 
 b) 
DABA 
 c) 
BCAC 
 
d) 
BCAN 
 e) 
MBMD
 f) 
DC
2
1
BM 
 
 
 
 
E08. Apresentar, graficamente, um representante do vetor 
u
  
v
 nos casos: 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) (d) 
 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
 
N 
 
 
 
 
 
 
M 
  
 
 
 
 
 
 
- 88 - 
 
 
E09. Determinar o vetor 
x
 nas figuras: 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) (d) 
 
E10. Sabendo que o ângulo entre os vetores 
u

 e 
v

 é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores: 
a) 
u

 e 
v


 b) 
u

 e 
v2

 c) 
u


 e 
v


 d) 
u3

 e 
v5

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 89 - 
 
 
UNIDADE 3: 
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 
 
 
1. Introdução 
 
No capítulo anterior verificamos que a segunda lei de Newton nos fornece que a força resultante que atua em 
um corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração adquirida. Assim, neste capítulo iremos estudar algumas 
aplicações das leis de Newton. Primeiramente vamos apresentar as condições segundo as quais os corpos, na 
natureza, podem ser mantidos continuamente em repouso ou em movimento uniforme. Depois, estudaremos os 
casos onde uma força resultante em um corpo fornece uma aceleração constante diferente de zero neste corpo. 
 
2. Equilíbrio 
 
Vamos considerar na figura o caso onde um homem tenta empurrar 
uma caixa, sendo que a caixa não sai do lugar. Primeiramente, devemos 
saber quais são as forças que atuam na caixa. Para isso usamos o diagrama 
de força na figura 2. Na vertical existem a força normal e peso. Enquanto 
na horizontal um homem aplica uma força para a direita, contudo existe 
uma força de atrito entre a caixa e o chão. 
 
Nesta situação notamos que a força normal para cima deve ser igual a força peso para baixo na direção 
vertical. Na direção horizontal a força do homem (FH) para direita deve ser igual a força de atrito (fat) para a 
esquerda. Lembrando que a força por ser uma grandeza vetorial, podemos garantir para que um corpo não tenha 
movimento translacional a soma vetorial de todas as forças deve ser nula. 
 
0FR


. (1) 
A equação (1) pode ser colocada em cada direção, neste caso, teremos FRx = 0 e FRy = 0, isto é, a somatória de 
todas as forças que atuam no eixo x deve ser zero (o mesmo acontecendo em y). 
 
 
 
 
 
Nas próximas seções apresentaremos os dois tipos de equilíbrio que podem surgir através da condição dada 
na equação (1). 
 
 
 
Estar em equilíbrio significa dizer que a força resultante que age em um corpo é nula. 
 
 Figura 1: O homem empurra a caixa para direita 
sendo que a caixa fica parada. 
 
- 90 - 
 
 
2.1. Equilíbrio Estático 
 
A condição de equilíbrio mostrado na Figura 1, onde 
não existe movimento, será chamado de equilíbrio estático. 
Esta situação é de muita importância na área de 
Engenharia, onde muitas vezes você está interessando em 
estudar os efeitos de forças externas em estruturas que não 
possuem movimento como mostrado na Figura 2. 
 
 
 
Primeiramente para analisarmos sistemas em equilíbrio 
estático devemos considerar que a dimensão do corpo será 
desconsiderada, isto é, podemos representar este corpo como 
sendo um ponto com uma massa m. Para analisar os efeitos de 
força externa frequentemente desenhamos um diagrama de 
corpo isolado. Neste diagrama, o corpo é representado por um 
ponto e cada força externa que atua no corpo é representado por 
um vetor com origem nesse ponto. Para ilustrar o diagrama de 
corpo isolado levamos em conta o exemplo do homem 
empurrando uma caixa mostrada na Figura 1. 
 
Vamos a seguir ilustrar o conceito de equilíbrio em alguns exemplos: 
 
Exemplo 01: Considere um móbile preso a um teto, com duas peças metálicas 
presas por uma corda de massa desprezível, conforme a figura ao lado. Calcule a 
tensão na corda inferior e na corda superior. Levar em conta que g = 10m/s
2
. 
Resolução: Para resolvermos esse problema vamos rotular m1 = 3,5 kg e m2 = 4,5 
kg, assim, P1 = 3,5  10 = 35N e P2 = 4,5  10 = 45N. 
Agora devemos desenhar o diagrama de forças para cada uma dessas massas. Na 
figura abaixo a tensão na corda inferior será chamado de T2 e na corda inferior T1. 
 
 
Figura 3: Diagrama de forças atuando sobre a caixa. 
 
 
Figura 2: A grua quando parada mantém o peso 
içado em equilíbrio estático. 
 
- 91 - 
 
 
 
Como o sistemaestá em equilíbrio estático devemos usar o somatório de forças igual à zero. 
 Começando com a massa m2 temos: 
.N45TPT0PT0F 22222Ry 
 
 Fazendo a análise de forças para a massa 1: 
.N804535TTPT0PTT0F 1211121Ry 
 
 
Exemplo 02: Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo. 
O peso do bloco será de 600 N. 
Resolução: O primeiro passo seria desenhar o diagrama de forças para esse 
sistema. Em problemas que envolvem fios devemos escolher o ponto onde os 
fios se encontram; na figura do problema seria o ponto A. 
As forças ficam da seguinte forma: 
 
Usando o conhecimento adquirido no capítulo anterior, sobre Trigonometria do Triângulo Retângulo, temos: 
11
0
1y1
11
0
1x1
T71,071,0T45senTT
T71,071,0T45cosTT

 
Devemos fazer o mesmo para T2: 
22
0
2y2
22
0
2x2
T71,071,0T45senTT
T71,071,0T45cosTT

 
Agora podemos fazer a soma de todas as forças em x e y: 
.600T71,0T71,00600T71,0T71,00F
0T71,0T71,00F
2121Ry
21Rx


 
Obtivemos um conjunto de equações lineares. Na literatura existem várias maneiras de resolver sistemas de 
equações, aqui usaremos a mais tradicional. 
Usando a equação em x: 
2212121Rx TT
71,0
71,0
TT71,0T71,00T71,0T71,00F 
. 
Vamos substituir a relação acima na resultante em y: 
 
.N5,422
42,1
600
T600T42,1
600T71,0T71,0600T71,0T71,060T71,0T71,0
22
222221

 
Para calcular a tração T1 devemos usar a relação: 
N5,422TT 21 
. 
 
 
Veja que temos que fazer a somatória das forças em x e y, contudo, 
devemos calcular as componentes das forças em x e y. 
Devemos reparar que a força peso já está colocada no eixo y (lembre-se 
que a força peso sempre aponta para baixo). 
- 92 - 
 
 
Exemplo 03: Um corpo de peso 80 N é mantido por fios ideias, 
conforme indica a figura ao lado. Determine as intensidades das 
trações suportadas pelos fios AB e AC. 
Resolução: O primeiro passo seria desenhar o diagrama de forças 
para esse sistema. Em problemas que envolvem fios devemos 
escolher o ponto onde os fios se encontram. Na figura do problema 
seria o ponto A. 
As forças ficam da seguinte forma: 
 
Construindo o diagrama de força teremos: 
 
Veja que temos que fazer a somatória das forças em x e y, contudo, devemos calcular as componentes das forças 
em x e y. Usando a mesma metodologia do exemplo anterior: 
11
0
1y1
11
0
1x1
T5,05,0T30senTT
T87,087,0T30cosTT

 
Devemos fazer o mesmo para T2: 
22
0
2y2
22
0
2x2
T87,087,0T60senTT
T5,05,0T60cosTT

 
Agora podemos fazer a soma de todas as forças em x e y: 
.80T87,0T5,0080T87,0T5,00F
0T5,0T87,00F
2121Ry
21Rx


 
Usando a equação em x: 
2212121Rx T57,0T
87,0
5,0
TT5,0T87,00T5,0T87,00F 
. 
Vamos substituir a relação acima na resultante em y: 
 
.N7,73
085,1
80
T80T085,1
80T87,0T285,080T87,0T57,05,080T87,0T5,0
22
222221

 
Para calcular a tração T1 devemos usar a relação: 
  N85,367,7357,0T57,0T 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 93 - 
 
 
2.2. Equilíbrio Dinâmico 
 
A condição de equilíbrio colocado na equação (1) mostra que a força resultante é igual à zero. Contudo, 
voltando ao exemplo do homem empurrando a caixa, mostrado na Figura 1, vamos supor agora que o homem 
aplique uma força de tal forma que a caixa se movimente em linha reta com velocidade constante. Lembrando que 
quando a velocidade é constante a aceleração será nula. Deste modo, novamente chegamos no resultado da equação 
(1), pois 
0FamF RR


. 
O sistema acima também está em equilíbrio, 
contudo, chamamos de equilíbrio dinâmico. No 
equilíbrio dinâmico necessariamente há movimento. Por 
exemplo, uma bicicleta sem condutor e parada não se 
mantém em equilíbrio na posição vertical, mas quando 
está em movimento dado pelo condutor esse equilíbrio é 
possível. Cabe observar que o movimento da bicicleta 
envolve muitas variáveis. Por essa razão, ao citá-lo 
como exemplo de equilíbrio dinâmico, é preciso deixar 
claro que se está referindo a uma situação particular: a 
bicicleta está em linha reta e velocidade constante. 
Nessa situação, a força resultante é nula. 
 
Agora faremos alguns exemplos referentes ao equilíbrio dinâmico. 
 
Exemplo 04: Um homem empurra uma caixa de 50 kg com velocidade 
constante uma caixa com velocidade constante. Supondo que o coeficiente 
de atrito dinâmico entre a superfície é a caixa seja de 0,2. Calcule a força 
necessária que o homem deve aplicar a caixa. Considere que g = 10m/s
2
. 
Resolução: O diagrama de forças é mostrado logo abaixo: 
 
Podemos verificar pelas equações acima que se calcularmos a força de atrito encontraremos a força do homem (FH). 
.N10010.50.2,0Ff Ndat 
 
Aqui usamos o fato que a força normal é igual ao peso (P = 500N). 
Assim FH = 100N. 
 
Figura 4: Para que a ciclista esteja em equilíbrio dinâmico é 
necessário que ela pedale em MRU. 
 
 
Usando as condições de equilíbrio devemos ter: 
 
 
- 94 - 
 
 
 
Exemplo 5: Um helicóptero da força área brasileira transporta uma carga 
de 2000 kg içando-a de um local ao outro, como ilustra a figura abaixo. 
Considerando que o helicóptero mantém altitude e velocidade constantes, 
determine a tensão que a corda deverá suportar nestas condições (considere 
g = 10 m/s
2
). 
Resolução: Novamente devemos fazer o diagrama de forças para esse 
sistema. Colocando a caixa na origem do diagrama de forças 
encontraremos: 
 
Assim, verificamos que a tração será igual ao peso: T = mg = 2000  10 = 20.000 N ou T = 20 kN. 
Observação: Lembre-se da tabela que apresenta o prefixo da notação cientifica, pois k = 1000. 
 
Exemplo 06: Um garoto puxa um treno com um peso de 40 N 
por uma superfície horizontal, com velocidade constante. A 
tração na corda será de 25 N. Calcule: 
a) A força de atrito. 
b) A força normal. 
 
Resolução: Novamente devemos fazer o diagrama de forças para esse sistema. Escolhendo o trenó para colocar na 
origem do diagrama de forças teremos: 
 
 
Na figura acima já apresentamos as componentes Tx e Ty. Os valores de Tx e Ty serão dados por: 
N5,1230sen25T
N7,2130cos25T
0
y
0
x

 
 
 
- 95 - 
 
 
Nesta situação a velocidade é constante, assim podemos usar as equações de equilíbrio para resolver esse problema. 
a) A soma das forças em x fornece: 
N7,21f0fT0F atatxRx 
. 
b) Para calcular a força normal devemos levar em conta Ty. Assim, a soma das forças no eixo y fornece: 
N5,275,1240TPF0PTF0F yNyNRy 
 
 
 
3. Dinâmica 
 
Consideraremos agora o caso onde exista uma força resultante constante (não nula) atuando no ponto 
material. Nesta situação, onde a força resultante é constante a aceleração vai ser constante. Assim, poderemos usar 
as equações do MRUV. 
Sa2VV
atVV
at
2
1
tVSS
2
0
2
o
2
o0



 (2) 
Deste modo, usaremos o conjunto de equações acima junto com a segunda lei de Newton. Nossa ênfase aqui 
será em aplicações onde o ponto material está em um plano horizontal e depois em um plano inclinado. 
 
 
3.1. Plano Horizontal 
 
Exemplo 07: Seja um corpo de massa 2 kg, em repouso, apoiado 
sobre um plano horizontal sob a ação das forças horizontais F1 e F2 
de intensidades 10N e 4N, respectivamente, conforme indica a 
figura. 
a) Calcule a aceleração adquirida pelo corpo. 
b) Calcule a velocidade e o espaço percorrido pelo corpo 10s após o início do movimento.Resolução: Nesta situação veja que a força peso será igual a força normal, deste modo, essas forças não 
influenciam no movimento do ponto material na direção horizontal. Na direção horizontal a força resultante será 
.N6410FFF 21Rx 
 
Através destas informações conseguimos calcular a aceleração: 
a) 
.s/m3
2
6
aa26maF 2Rx 
 
b) Para calcular a velocidade podemos usar a função horária da velocidade: 
s/m3010.30atVV 0 
 
o espaço percorrido será dado pela função horária da posição 
.m150)10(3
2
1
Sat
2
1
tVSS 2200 
 
 
 
- 96 - 
 
 
Exemplo 08: Um foguete experimental pode partir do repouso e alcançar a velocidade de 1600 km/h em 1,8 s, com 
aceleração constante. Calcule a intensidade da força necessária, se a massa do veículo é 500 kg. 
Resolução: Neste caso diferentemente do caso anterior devemos calcular a aceleração. Depois podemos usar a 
segunda lei de Newton para calcular a força resultante. 
2s/m9,246
8,1
44,444
t
V
a 



 
.kN5,123N1234509,246.500FmaF RR 
 
No cálculo da aceleração transformamos a velocidade de km/h para m/s. 
Outra observação que faremos seria que o movimento no plano se refere aqui a movimento em uma 
dimensão, pois neste caso o foguete teria movimento na direção horizontal. 
 
Exemplo 09: Se as rodas de um carro ficam “travadas” (impedidas de girar) durante uma frenagem de emergência, 
o carro desliza na pista. Pedaços de borracha arrancados dos pneus e pequenos trechos de asfalto fundido formam as 
“marcas da derrapagem” que revelam a ocorrência de soldagem a frio. O recorde de marcas de derrapagem em via 
pública foi estabelecido em 1960 pelo motorista de um Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra: as marcas tinham 290 
m de comprimento. Supondo que o coeficiente de atrito cinético seja igual a 0,60 e que a aceleração do carro se 
manteve constante durante a frenagem, calcule a velocidade do carro quando as rodas travaram. 
 
 
Resolução: Se fizermos o diagrama de forças para este sistema iremos encontrar: 
 
Desta forma, com as informações obtidas do enunciado V = 0, ΔS = 290m poderemos calcular V0 usando a equação 
Sa2VV 20
2  
devemos calcular a aceleração do carro, neste caso pelo diagrama de forças verificamos que a 
força resultante atuando no carro será Fr= fat. 
A força de atrito pode ser calculada através de 
10m6,0gm6,0Ff Nat 
, veja que usamos que a força 
normal deve ser igual a força peso nesta situação. 
Usando a segunda lei de Newton: 
.s/m6ama10m6,0maF 2R 
 
- 97 - 
 
 
A aceleração neste caso fica negativa, pois o veículo tem velocidade final igual à zero. Além disso, veja que este 
resultado independe da massa do carro. 
Por fim, podemos calcular a velocidade inicial: 
.h/km216s/m6029062V)290()6(2V0Sa2VV 0
2
0
22
0
2 
 
 
3.2. Plano Inclinado 
 
Diariamente temos oportunidades de observar objetos em movimento ou em repouso sobre uma superfície 
inclinada. 
 
Figura 5: Objetos em planos inclinados. 
Como exemplo, na figura à esquerda, usamos o plano inclinado para facilitar as nossas tarefas. 
 
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação da segunda lei de Newton no caso do plano inclinado. 
 
Exemplo 10: Um corpo de massa 8 kg é abandonado sobre um 
plano inclinado cujo ângulo de elevação é 30º. O atrito entre o 
corpo e o plano é desprezível. Admitindo que g = 10m/s
2
, calcule: 
a) a aceleração do corpo. 
b) a força normal. 
 
 
Resolução: Por conveniência, desenhamos o sistema de coordenadas (diagrama de corpo livre) também inclinado. 
Como o objeto está escorregando ao longo do plano vamos considerar que neste sentido a força será positiva. 
Assim, veja que o peso tem uma inclinação igual ao do plano inclinado em relação ao eixo y. Desta forma, 
devemos decompor a força peso nas direções x e y. 
N3,6930cos.10.8cosmgP
N4030sen.10.8mgsenP
0
y
0
x

 
Se você ficou com a dúvida da decomposição identifique quem são os catetos do triangulo retângulo. 
Por fim, faremos as resultantes nas forças em x e y. 
a) 
2
Rx s/m5aa840maF 
 
 
- 98 - 
 
 
b) 
N3,69F03,69F0F NNRy 
 
Veja que a força resultante em y será igual a zero, pois o movimento do ponto é ao longo do plano. 
 
 
Exemplo 11: Considere o mesmo plano inclinado do exemplo 
anterior (θ = 300; m = 8 kg) preso a uma corda. 
Calcule a tensão nesta corda e a força normal. 
Resolução: Neste caso temos o equilíbrio estático, assim a 
força normal fica com o mesmo valor do exemplo anterior. 
Enquanto na direção x teremos 
.N40TT400FRx 
 
 
O ponto importante que queremos mostrar, é que no plano inclinado devemos sempre fazer a decomposição da 
força peso na direção x e y. A partir destas componentes devemos sempre utilizar a segunda lei de Newton para 
cada eixo separadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 99 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
 
 
E01. Na figura o corpo suspenso tem massa igual a 2 kg. Os fios têm 
pesos desprezíveis e o sistema está em equilíbrio estático (repouso). 
Determine as trações nos fios AB e BC. (Considere: g = 10 m/s²) 
 
 
E02. No sistema em equilíbrio esquematizado, o fio BC deve 
permanecer horizontal. Os fios e a polia são ideais. 
Sendo M1 = 3 kg e g = 10 ms
2
, determine: 
a) A tração no fio AB. 
b) O peso do bloco 2. 
 
 
E03. Uma corda AB tem sua extremidade A fixa, enquanto a outra B 
está ligada ao bloco M em forma de paralelepípedo de peso 120 N. 
Esse bloco repousa sobre um plano horizontal. O coeficiente de 
atrito entre o plano e o bloco é de 0,30. Em um ponto C da corda é 
dependurado um peso Q tal que o ângulo formado pelo trecho AC 
com a horizontal seja 60º; o trecho CB é horizontal. 
Adotar g = 10 m/s². 
a) Qual a força de atrito exercida pelo plano sobre o bloco quando ele estiver na iminência de movimento? 
b) Qual o peso máximo que se pode pendurar em C? 
 
E04. Dez segundos após a partida, um veículo alcança a velocidade de 18 km/h. 
a) Calcule, em m/s
2
, sua aceleração média nesse intervalo de tempo. 
b) Calcule o valor médio da força resultante que imprimiu essa aceleração ao veículo, sabendo que sua massa é de 
1,2103 kg. 
 
E05. Você está à deriva no espaço, afastando de sua nave espacial. Por sorte, você tem uma unidade de propulsão 
que fornece uma força resultante F por 3,0 segundos. Após 3,0 s, você se moveu 2,25 m. Se sua massa é 68 kg, 
encontre F. Considere que a velocidade inicial como sendo nula. 
 
 
 
 
 
- 100 - 
 
 
E06. Durante as férias de inverno, você participa de uma corrida de trenós. Calçando botas de neve, com travas que 
permitem uma boa tração, você começa a corrida puxando uma corda atada ao trenó com uma força de 150 N a 25º 
acima da horizontal. O trenó tem uma massa de 80 kg e não existe atrito entre as lâminas do trenó e o gelo. 
Calcule: 
a) a aceleração do trenó e 
b) o valor da força normal exercida pela superfície sobre o trenó. 
 
E07. Consideremos um corpo de massa igual a 2 kg inicialmente em 
repouso sobre um plano horizontal perfeitamente liso. Sobre o corpo 
passa a atuar uma força F de intensidade 16 N, conforme indica a figura. 
Determine: 
a) a aceleração do corpo. 
b) a reação normal do plano de apoio (força normal). 
 
E08. Um carro de 900 Kg, andando a 72 km/h, freia bruscamente e para em 4s. 
a) Calcule o módulo da aceleração do carro. 
b) Calcule o módulo da força de atrito que atua sobre o carro. 
 
E09. A figura ilustra umajovem arrastando um caixote com uma corda, ao longo de uma superfície horizontal, com 
velocidade constante. A tração que ela exerce no fio é de 20 N. Determine a força de atrito que atua na caixa. 
 
 
E10. Um corpo de massa 5 kg desce um plano um plano 
inclinado que faz um ângulo α com a horizontal. O coeficiente 
de atrito entre as superfície s é 0,4. Considerando g = 10m/s
2
 e 
sendo sen α = 0,8 e cos α = 0,6, calcule: 
a) a reação normal do apoio; 
b) a aceleração do corpo. 
 
 
 
 
 
 
- 101 - 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. TAB =40 N TBC =35N 
E02. a) 60 N b) 52 N 
E03. a) 36 N b) 52 N 
E04. a) 0,5 m/s
2
 b) 600N 
E05. 34N 
E06. a) 0,17m/s
2
 b) aproximadamente 737 N 
E07. a) 4m/s
2
 b) 6,14 N 
E08. a) 5m/s
2
 b) 4500 N 
E09. Aproximadamente 16N 
E10. a) 30N b) 5,6m/s
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 102 - 
 
 
Testes 
 
T01. O sistema da figura encontra-se em equilíbrio estático. 
Determine as trações T1 e T2, nos fios AB e AC, respectivamente. 
O peso do corpo é 200N. 
a)  T1=200N e T2=120N 
b)  T1=185N e T2=283N 
c)  T1=215N e T2=325N 
d)  T1=283N e T2=200N 
e)  T1=300N e T2=200N 
 
 
T02. Para tirar um carro de um atoleiro é necessário aplicar-lhe 
uma força de módulo 6000N. Utilizando uma corda, como 
esquematizado na figura, um motorista deverá puxá-la com uma 
força F, cujo módulo, no mínimo, é igual a: 
a)  400 N 
b)  800 N 
c)  3.200 N 
d)  11.980 N 
e)  90.000 N 
 
 
T03. Dois blocos na posição vertical são ligados por uma corda. Outra corda é 
amarrada ao bloco superior. A força F (em kgf) necessária para manter o 
sistema em repouso vale: 
a)  2 
b)  3 
c)  4 
d)  6 
e)  4,5 
 
 
 
 
 
 
 
- 103 - 
 
 
T04. O corpo M representado na figura pesa 80 N e é mantido em equilíbrio 
por meio da corda AB e pela ação da força horizontal F de módulo 60 N. 
Considerando g = 10m/s
2
, a intensidade da tração na corda AB, suposta ideal, 
em N, é: 
a)  60 
b)  80 
c)  100 
d)  140 
e)  200 
 
T05. Os blocos A e B da figura pesam, respectivamente, 980 N e 196 N. 
O sistema está em repouso. 
Considere os seguintes dados cos 45º = sen 45º = 0,707 e µ=0,3. 
É correto afirmar que: 
a)  A força normal do plano sobre A, vale 196N. 
b)  A força de atrito estático entre A e a superfície horizontal vale 196N. 
c)  Há uma força de 294 N puxando o bloco A para a direita. 
d)  O bloco A não pode se mover porque não há força puxando-o para a direita. 
e)  O bloco B não pode se mover porque não há força puxando-o para baixo. 
 
T06. Uma força F de 70N, paralela à superfície de um plano inclinado 
conforme mostra a figura, empurra para cima um bloco de 50 N com 
velocidade constante. A força que empurra esse bloco para baixo, com 
velocidade constante, no mesmo plano inclinado, tem intensidade de: 
(Use cos 37º = 0,8; sem 37º = 0,6) 
a)  40 N b)  30 N c)  20 N d)  15 N e)  10 N 
 
T07. Na figura m1 = 100 kg, m2 = 76 kg, a roldana é ideal e o coeficiente 
de atrito entre o bloco de massa m1 e o plano inclinado é µ=0,3. 
Considerando que sen 30º = 0,5 e cos 30º = 0,86, o bloco de massa m1 se 
moverá: 
a)  para baixo, acelerado. 
b)  para cima, com velocidade constante. 
c)  para cima, acelerado. 
d)  para baixo, com velocidade constante. 
 
 
- 104 - 
 
 
T08. Um bloco de madeira de massa 400 g é arrastado sobre uma superfície horizontal, a partir do repouso, por 
uma força constante de 2,0 N, também horizontal. Sabendo que a aceleração do corpo é 1,0 m/s
2
, a força de atrito 
entre o corpo e a superfície horizontal, em newtons, vale: 
a)  0 b)  0,4 c)  0,8 d)  1,6 e)  2,4 
 
T09. Um bloco de massa 5,0 kg é lançado horizontalmente, com uma velocidade inicial de 72 km/h, sobre uma 
superfície horizontal, parando após percorrer 80m. Considerando que a aceleração da gravidade igual a 10m/s
2
, o 
coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície vale: 
a)  0,10 b)  0,25 c)  0,40 d)  0,50 e)  0,75 
 
T10. Considerando o exercício anterior, marque a opção referente ao tempo que o bloco chegou a v = 0. 
a)  8s b)  10s c)  14s d)  20s e)  23s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. D 
 
02. B 
03. D 
04. C 
05. C 
06. E 
 
07. C 
08. D 
09. B 
10. A 
 
- 105 - 
 
 
UNIDADE 4: 
CINEMÁTICA: DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO 
 
 
1. Introdução 
 
Nessa disciplina, nosso objetivo será estudar um dos vários ramos da Física: a Mecânica, que em termos 
muito simples, estudará os movimentos e as condições em que eles se realizam, sempre relacionando três grandezas 
físicas fundamentais: o comprimento, a massa e o tempo. 
Didaticamente dividimos a Mecânica em três partes: 
 
 
 
 
 
Nesta Unidade estudaremos a Cinemática, porém, inicialmente existe a necessidade de conhecermos alguns 
conceitos que serão utilizados neste estudo. 
 
2. Conceitos Fundamentais 
 
 Ponto Material: Suponha um carro percorrendo uma estrada muito extensa. Se compararmos as dimensões do 
carro com o comprimento total da estrada veremos que uma medida é muito menor que a outra. Nessa situação, 
podemos desprezar as dimensões do carro e denominá-lo ponto material ou partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha agora o mesmo carro estacionado numa garagem. Nesse caso as dimensões do carro não podem ser 
desprezadas, pois elas não são muito menores que as dimensões da garagem. Nessa situação, o carro é chamado de 
corpo extenso. 
 
 Referencial: Para determinar se um corpo se encontra ou não em movimento, é necessário ver a posição desse 
corpo em relação a outros corpos que o rodeiam. Pense na seguinte situação: um homem sentado na poltrona de um 
trem, que anda para a direita, acena para uma mulher na estação. Quando tomamos o trem em movimento como 
CINEMÁTICA: 
estuda o movimento sem considerar 
suas causas, isto é, sem se preocupar 
como o que o produziu. 
ESTÁTICA: 
estuda os corpos em equilíbrio. 
DINÂMICA: 
estuda os movimentos dos corpos 
e as causas que os originam, isto 
é, as forças. 
 
 
Ponto material é todo corpo cujas 
dimensões não interferem no estudo 
de um determinado fenômeno. 
 
- 106 - 
 
 
referência, a posição do homem sentado na poltrona, em relação ao trem, não varia. Dizemos que o homem está em 
repouso em relação ao trem. Se tomarmos como referência a mulher na estação, verificamos que a posição do 
homem está em movimento em relação à mulher. 
O corpo que tomamos como referência para dizer se um outro corpo está em movimento ou em repouso é 
denominado referencial. 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, no exemplo dado, um mesmo corpo pode estar em repouso ou em movimento, dependendo do 
referencial adotado. Portanto, os conceitos de repouso e de movimento são relativos. 
A escolha do referencial é arbitrária, e só depois que ele for escolhido é que podemos dizer se um corpo está 
em repouso ou em movimento. 
 
 Trajetória: Imagine um ciclista andando sobre a areia e deixando nela a marca do pneu de sua bicicleta. Esta 
marca sobre a areia representa o caminho percorrido por ele em relação a uma pessoa parada no solo. Essa marca é 
denominada trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
A trajetória depende do referencial adotado. Suponha, por exemplo, umavião voando com velocidade 
constante. Se num certo instante ele abandonar uma carga, ela cairá segunda uma trajetória vertical em relação às 
pessoas do avião. 
 
 
 
Para um observador parado no solo, que observa o avião de lado, a trajetória 
da carga será parabólica. 
 
 
 
Um corpo está em repouso quando a posição desse corpo 
em relação ao referencial não varia com o tempo. 
Um corpo está em movimento quando a posição desse 
corpo em relação ao referencial varia com o tempo. 
 
 
Trajetória é a linha determinada 
pelas diversas posições que um corpo 
ocupa no decorrer do tempo. 
- 107 - 
 
 
De acordo com a trajetória, os movimentos recebem as seguintes denominações: 
 Movimento retilíneo: a trajetória é uma reta; 
 Movimento curvilíneo: a trajetória é uma curva. 
Na Cinemática Escalar, estudamos o movimento de um ponto material ao longo de sua trajetória 
considerando a posição do ponto material, sua velocidade e aceleração como grandezas escalares. 
 
 Posição Escalar: Quando conhecemos a forma da trajetória de um corpo, podemos determinar sua posição no 
decorrer do tempo por meio de um único número. 
Como exemplo, vamos considerar um corpo movimentando-se sobre a trajetória da figura. 
 
Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um ponto O sobre a 
trajetória, ao qual chamamos origem das posições, e orientamos a trajetória – nesse ponto, positivamente para a 
direta – a partir de O. 
 
Para conhecer a posição do corpo, num certo instante, precisamos conhecer sua distância em relação ao ponto 
O. Essa posição será positiva se o corpo estiver à direita da origem, e negativa se estiver à esquerda. Costumamos 
representar a posição de um corpo num dado instante pela letra s. 
Na trajetória a seguir, temos: 
 
 a posição do corpo no instante t = 1h é s = -4 km; 
 a posição do corpo no instante t = 2h é s = 3 km. 
 
 Função Horária: No estudo da Cinemática não existe preocupação em explicar o movimento, mas somente em 
descrevê-lo no sentido estritamente geométrico. Esse estudo se restringe à escolha de um referencial e ao registro, 
em termos matemáticos, das sucessivas posições ocupadas por um corpo no decorrer do tempo. 
Assim, partindo da posição atual do corpo, num certo referencial, pode-se determinar a sua posição futura no 
mesmo referencial. 
A partir do aqui e do agora do corpo – posição e instante iniciais – para um dado observador, podemos 
prever o ali e o depois – posição e instante finais – do corpo em relação ao mesmo observador. 
Para prevermos o ali e o depois usamos a função horária, que relaciona a posição s ocupada pelo corpo com 
o tempo t. Toda função horária é do tipo s = f(t). 
- 108 - 
 
 
Como exemplo, vamos considerar um móvel percorrendo a trajetória retilínea indicada na figura, seguindo a 
função horária s = 2 + 3t (no SI). 
 
 Quando t = 0  s0 = 2 m.  Quando t = 4s  s4 = 14 m. 
Portanto, s0 é a posição do móvel no instante zero e s4 a posição no instante 4s. 
 
 Deslocamento Escalar e Distância Percorrida: Consideremos um móvel percorrendo uma pista circular com 
origem no ponto O e orientada em sentido anti-horário. 
 
Suponha que o móvel tenha partido do ponto A, 
deslocando-se 10 metros (l1) para o ponto B e, em seguida, 7 
metros (l2) para o ponto C. 
Chamamos de distância percorrida (d) pelo móvel, no 
movimento de A a C, a soma dos arcos l1 + l2 (10m + 7m = 
17m). O arco l3, cuja medida é 3m (10m – 7m) representa o 
deslocamento escalar (s) do móvel de A a C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento escalar é dado pela diferença entre a posição final sf e a posição inicial si: s = sf - si. 
O sinal algébrico do deslocamento escalar indica em que sentido ocorreu o deslocamento: se no mesmo 
sentido da trajetória (movimento progressivo) ou em sentido contrário (movimento retrógrado). 
 
 Se o movimento for no sentido positivo da trajetória (sf > si), s será positivo: 
 
s = sf – si  s = 40 – 10 = +30 km (O móvel deslocou-se no sentido positivo). 
 
 
 
 
Observe que deslocamento escalar e 
distância percorrida são conceitos 
físicos diferentes. 
 
- 109 - 
 
 
 Se o movimento for contrário ao sentido positivo da trajetória (sf < si), s será negativo: 
 
s = sf – si  s = 30 – 50 = -20 km (O móvel deslocou-se no sentido negativo) 
 
Se o móvel mudar de sentido, teremos deslocamentos escalares positivos e negativos. Nesse caso, a distância 
total percorrida (espaço percorrido) é igual à soma dos módulos de cada um dos deslocamentos. 
 
 Velocidade Escalar: 
 
Velocidade Escalar Média: Suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que 
o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante o trajeto, isto é, sua velocidade varia com o tempo. 
Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimento de uma forma 
global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada. 
A velocidade escalar média (vm) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-la, dividimos o 
deslocamento escalar pelo tempo gasto na viagem. 
Como exemplo, imagine que numa viagem de São Paulo a São José dos Campos um carro se deslocasse 100 
km em 2 h. 
50km/h
2h
100km
 v 
percurso no gasto tempo
todeslocamen
v mm 
 
 
É óbvio que, durante o trajeto, a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maior e outras vezes 
menor do que 50km/h. A velocidade escalar média representa a velocidade constante que o carro deveria manter 
para, partindo da mesma posição inicial, chegar à mesma posição final gastando o mesmo tempo. 
A velocidade escalar média também pode ser definida num intervalo de tempo. Como por exemplo, vamos 
considerar um carro percorrendo a trajetória indicada na figura. 
 
Suponhamos que, para percorrer a variação de espaço s = s2 – s1, o carro leve o tempo t = t2 – t1. 
 
 
- 110 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que, se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória, teremos: 
 
 Se o carro se movimentar no sentido contrário ao sentido positiva da trajetória, teremos: 
 
 
Velocidade Escalar Instantânea: Imagine-se dirigindo um carro numa viagem. A partir de certo instante, você 
olha para o velocímetro, consulta o relógio e começa a anotar as velocidades indicadas no decorrer do tempo. 
Suponha que os valores anotados sejam os da tabela ao lado. 
Observe que para cada instante podemos associar um valor para a 
velocidade do carro. A cada valor indicado pelo velocímetro num dado instante 
denominamos velocidade instantânea. 
Dependendo do sinal da velocidade escalar instantânea, podemos ter dois 
tipos de movimento: movimento progressivo e movimento retrógrado. 
 
 Movimento Progressivo: quando o móvel caminha no mesmo sentido da orientação da trajetória, isto é, as 
posições crescem algebricamente no decorrer do tempo. Neste caso, dizemos que a velocidade do móvel é positiva. 
 
 
 
 Movimento Retrógrado: quando o móvel caminha no sentido contrário da orientação da trajetória, isto é, as 
posições decrescem algebricamente no decorrer do tempo. Neste caso, dizemos que a velocidade do móvel é 
negativa. 
 
 
Tempo 
Velocidade 
(km/h) 
8h 80 
8h 10min 60 
8h 25min 90 
8h 30min 100 
8h 40min 40 
 
Movimento Progressivo: v > 0 
 
Movimento Retrógrado: v < 0 
 
s2 > s1  s > 0  vm > 0 
 
s2 < s1  s < 0  vm < 0 
 
 
 
Define-se como velocidade escalar média do carro, entre os 
instantes t1 e t2, a grandeza vm dada por:A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo (m/s). 
Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora (km/h). 
 
- 111 - 
 
 
 Aceleração Escalar: 
Aceleração Escalar Média: Consideremos um carro cujo velocímetro indica, num certo instante, uma velocidade 
de 10 km/h. Se, por exemplo, 1 s após pisar no acelerador o velocímetro indicar 30 km/h, podemos afirmar que a 
velocidade do carro aumentou de 20 km/h em 1 s. Assim, dizemos que o carro recebeu uma aceleração. 
A aceleração é relacionada com uma variação de velocidade. Para definirmos a aceleração escalar média, 
vamos considerar um móvel percorrendo a trajetória da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a velocidade escalar de um móvel em movimento, podemos afirmar: 
 se a velocidade for constante, isto é, for sempre a mesma, o movimento será uniforme; 
 se a velocidade variar, isto é, não for sempre a mesma, o movimento será variado. 
Num certo intervalo de tempo de um movimento variado pode ocorrer aumento ou diminuição da velocidade, 
com maior ou menor rapidez. 
A aceleração escalar média mede a rapidez dessa variação da velocidade. 
 
A aceleração escalar média é numericamente igual à 
variação de velocidade na unidade de tempo. 
 
 
Aceleração Escalar Instantânea: A aceleração escalar média indica o que ocorre com a velocidade num intervalo 
de tempo. Para o conhecimento mais preciso do comportamento da velocidade dentro desse intervalo de tempo, ou 
seja, em cada instante, é necessário reduzi-lo cada vez mais, aproximando-o do zero. 
Assim, chega-se ao valor da aceleração instantânea, cuja definição é: 
 
 
 
 
 
v1: velocidade no instante t1. 
v2: velocidade no instante t2. 
v = v2 – v1: variação de velocidade. 
t = t2 – t1: intervalo de tempo na variação v. 
 
 
Define-se como aceleração escalar média, entre os 
instantes t1 e t2, a grandeza am, dada por: 
 
A unidade de aceleração no SI é o 
metro por segundo ao quadrado (m/s2). 
 
 
A aceleração escalar instantânea é o limite 
para o qual tende a aceleração escalar média 
quando t tende a zero. 
 
- 112 - 
 
 
De acordo com os sinais da velocidade e da aceleração, podemos ter dois tipos de movimento: movimento 
acelerado e movimento retardado. 
 
 Movimento Acelerado: quando o módulo da velocidade aumenta no decorrer do tempo. Isso ocorre quando a 
velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal. 
 
Movimento Acelerado: v  a > 0 
 
Por exemplo, um carro percorrendo a trajetória no sentido indicado na figura e o motorista pisando no 
acelerador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimento Retardado: quando o módulo da velocidade diminui no decorrer do tempo. Isso ocorre quando a 
velocidade e a aceleração têm sinais contrários. 
 
Movimento Retardado: v  a < 0 
 
Por exemplo, um carro freando ao se aproximar de uma pessoa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t (h) 0 1 2 3 4 5 
v (km/h) 20 40 60 80 100 120 
 
 
v > 0 
a > 0 
v  a > 0 
t (h) 0 1 2 3 4 5 
v (km/h) 80 70 60 50 40 30 
 
 
v > 0 
a < 0 
v  a < 0 
- 113 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Uma pessoa movimenta-se do ponto A para o ponto C e depois para D, descrevendo a trajetória da figura. 
 
a) Qual a posição inicial da pessoa? E a posição final? 
b) Qual o módulo do deslocamento efetuado pela pessoa? 
c) Quantos metros ela percorreu no total? 
 
E02. Dizemos que os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois dependem do sistema de referência 
estabelecido. Com base nisso é correto afirmar que: 
I)  um corpo parado em relação a um referencial pode estar em movimento em relação a outro referencial. 
II)  um livro colocado sobre uma mesa está em repouso absoluto, pois, para qualquer referencial adotado, sua 
posição não varia com o tempo. 
III)  em relação a um edifício, o elevador estacionado no terceiro andar está em repouso. Porém, em relação ao 
Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento. 
 
E03. Observe as figuras abaixo e, em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e em 
acelerado ou retardado. 
 
 
- 114 - 
 
 
E04. A tabela indica a posição de um móvel, no decorrer do tempo, sobre uma trajetória retilínea. Determine o 
deslocamento efetuado pelo móvel entre os instantes: 
 
 
E05. A tabela mostra os valores dos instantes t, em segundos, e das posições s, em metros, referentes ao 
movimento de um ponto material sobre uma trajetória retilínea. 
 
a) Verifique se houve mudança de sentido do movimento. 
b) Qual o espaço percorrido de 0 a 6 s? 
c) Qual o módulo do deslocamento de 0 a 6 s? 
 
E06. Um ônibus sai de São Paulo às 8 horas e chega a Jabuticabal, que dista 350 km da capital, às 11h 30min. No 
trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h. 
a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São Paulo — Jabuticabal? 
b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí — Campinas? 
 
E07. Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempos, isto é, a medida do 
intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no 
Japão, pertenceu ao austríaco Gerard Berger, piloto da equipe McLaren, que percorreu os 5.874 m da pista em 
cerca de 1min 42s. Com base nesses dados, responda: 
a) qual o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo correspondente a uma volta 
completa no circuito? 
b) qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto austríaco, em sua melhor volta no circuito? 
 
E08. Se um ônibus durante uma viagem entre duas cidades, distantes 400 km, gasta exatamente 5 horas, qual valor 
de sua velocidade média 
 
E09. Durante uma viagem de carro, você observa que passou pelo km 20, às 7h e pelo km 170, às 10h. No km 100, 
uma pequena parada de 10 minutos foi feita para descanso. Determine a velocidade escalar média no intervalo de 
tempo das 7h às 10h. 
 
E10. Um motociclista percorre 54 km em 30 minutos. Determine sua velocidade escalar média, expressando-a em 
kmh e ms. 
 
E11. Em uma corrida, um atleta percorre 3600 m em 12 minutos. Determine sua velocidade escalar média em ms 
e kmh. 
a) 0 e 2 s 
b) 4 s e 9 s 
- 115 - 
 
 
E12. Um ciclista profissional, em treinamento, pedalou 5000 m, mantendo uma velocidade constante de 36 kmh. 
Calcule o intervalo de tempo, em segundos, gasto para percorrer essa distância. 
 
E13. Um fabricante de veículos anuncia que seu carro faz do repouso até atingir 108 kmh em apenas 10 segundos. 
Determine, em unidades do SI, a aceleração escalar média deste carro. 
 
E14. Um carro com velocidade constante de 90 kmh, trafega por uma avenida, quando, em um certo instante, o 
motorista percebe o sinal vermelho à sua frente. Imediatamente aciona os freios, parando em 5 segundos. 
Determine a aceleração adquirida pelo carro em ms2 e diga o significado do sinal negativo encontrado. 
 
E15. Um estudante de Física foi aferido por seu professor da seguinte forma: “A Terra está em movimento ou em 
repouso”. Obteve como resposta: “Depende do referencial adotado”. 
A esse respeito, julgue os itens a seguir: 
I)  
 
 
Um passageiro que viaja sentado numa poltrona em um trem em movimento está em repouso quando o 
sistema de referência é o próprio trem. 
II)  
 
 
 
Um cachorro que acabou de fazer xixi num poste se afasta dele. O posto está em repouso em relação aocachorro, pois não pode segui-lo. 
III)  
 
 
 
Um ponto material qualquer está em movimento em relação a um determinado referencial quando sua 
posição nesse referencial varia no decurso do tempo. 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. a) si = -40 m e sf = -120 m b) 80 m c) 320 m 
E02. I e III 
E03. a) Movimento Progressivo e Retardado b) Movimento Retrógrado e Acelerado 
 c) Movimento Retrógrado e Acelerado d) Movimento Progressivo e Retardado 
E04. a) 12 m b) 30 m 
E05. a) Não, movimento retrógrado. b) 110 m c) 110 m 
E06. a) 100 kmh b) 30 min 
E07. a) 5874 m b) 207,36 kmh 
E08. 80 kmh 
E09. 50 kmh 
E10. 30 ms 
E11. 18 kmh 
E12. 500 s 
E13. 3 ms2 
E14. -5 ms2, o que significa que o módulo da velocidade está diminuindo no decorrer do tempo. 
E15. V – F – V 
- 116 - 
 
 
Testes 
 
T01. (UFMS) Um corredor percorre 0,2 km em linha reta, em um intervalo de tempo de 6,0 minutos. Qual é a sua 
velocidade média em kmh? 
a)  1 b)  2 c)  3 d)  4 e)  5 
 
T02. (ESPM-SP) A distância da faculdade até a zona leste da cidade é de 24 km. Considerando a velocidade máxima 
permitida de 80 kmh, quantos minutos, no mínimo, uma pessoa deve gastar no percurso em trânsito 
completamente livre? 
a)  10 b)  12 c)  14 d)  16 e)  18 
 
T03. (Cesgranrio-RJ) Uma pessoa, correndo, percorre 4,0 km com velocidade escalar média de 12 kmh. O tempo do 
percurso é de: 
a)  3,0 min b)  8,0 min c)  20 min d)  30 min e)  33 min 
 
T04. (PUC-MG) Num passeio promovido pelo Jeep Clube de Minas Gerais, o navegador recebe uma planilha em 
que se diz que um trecho de 10 km deve ser percorrido a velocidade média de 30 kmh. Se o veículo iniciar o 
trajeto às 11h00min, ele deverá chegar ao final do referido trecho às: 
a)  11h30min b)  11h10min c)  12h40min d)  11h20min e)  14h00min 
 
T05. (FEI-SP) Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade média de 40 kmh. Um segundo carro, 
partindo uma hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade 
média do segundo carro 
a)  45 kmh b)  50 kmh c)  55 kmh d)  60 kmh e)  80 kmh 
 
T06. Um objeto percorre 250 m de um trajeto com uma velocidade média de 25 ms e os 50 m restantes com uma 
velocidade média de 10 ms. Determine a velocidade média no percurso total. 
a)  12,5 ms b)  15 ms c)  17,5 ms d)  20 ms e)  22,5 ms 
 
T07. Quando um motorista aumenta a velocidade escalar de seu automóvel de 60 kmh para 78 kmh em 10 s, ele 
está comunicando ao carro uma aceleração escalar média, em ms2, de: 
a)  18 b)  0,2 c)  5 d)  1,8 e)  0,5 
 
T08. (FGV-SP) Um avião parte do repouso e depois de 20 s decola com velocidade de 360 kmh. Admitindo-se 
constante a aceleração, qual o seu valor, em ms2 
a)  2 b)  5 c)  10 d)  18 e)  72 
- 117 - 
 
 
T09. (UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira 
metade da pista na velocidade média de 60 kmh e a segunda metade a 90 kmh. Qual a velocidade média 
desenvolvida durante o teste completo, em kmh 
a)  50 b)  65 c)  72 d)  80 e)  92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. B 
 
02. E 
03. C 
 
04. D 
05. B 
06. D 
 
07. E 
08. B 
09. C 
 
- 118 - 
 
 
3. Movimento Uniforme 
 
No nosso cotidiano, é muito comum exemplos de vários tipos de movimento. Basta olharmos para qualquer 
lugar e sempre observaremos alguém ou algo se deslocando. Neste momento, interessa-nos um destes movimentos 
em especial, o Movimento Uniforme. 
Para entendermos um pouco melhor, imagine alguns exemplos: 
 
 Um ônibus que em um trecho curto da viagem consegue manter a velocidade constante de 80 kmh. 
 Um avião, no meio do caminho entre Porto Alegre e Recife, onde o piloto automático é ligado e a 
velocidade se mantêm constante em 350 kmh. 
 Um metrô em movimento entre duas estações, após adquirir sua velocidade máxima, a mantém constante 
durante certo tempo em 36 kmh, até se aproximar da próxima estação onde precisará diminuir essa 
velocidade até parar por completo. 
 
Poderíamos citar vários outros exemplos, mas já podemos observar que em todos eles, sempre citamos que 
durante um certo tempo (para nós é mais correto dizer: intervalo de tempo), a velocidade do objeto se manteve 
constante, isto é, não mudou. Todos esses movimentos são, portanto, exemplos de Movimento Uniforme. 
No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. 
O movimento da Terra em torno do seu eixo, o movimento dos ponteiros de um relógio também são 
exemplos bem próximos de movimento uniforme. Na prática, os movimentos não são perfeitamente uniformes. 
Se a trajetória for retilínea, o movimento será chamado movimento retilíneo e uniforme (MRU). 
 
3.1. Funções Horárias 
 
Conhecidas as características do movimento, vamos agora estabelecer as leis que regem o movimento 
uniforme. Se a forma da trajetória for conhecida, essas leis permitirão determinar, em cada instante, a posição, a 
velocidade e a aceleração de um corpo em movimento. 
 
 Posição em função do tempo [s = f(t)] 
Seja um móvel percorrendo com movimento uniforme (velocidade escalar constante igual a v) a trajetória da 
figura. 
 
 s0: a posição do móvel no instante t0 = 0. 
 s: a posição do móvel no instante t. 
- 119 - 
 
 
A velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo t = t - t0 = t é: 
0
0
m
tt
ss
Δt
Δs
v



, em que vm = v = constante. 
s = s0 + vt 
 
A função horária das posições de um móvel em movimento uniforme em relação ao tempo é função do 1º 
grau. Essa função permite obter a posição de um móvel em movimento em qualquer instante. 
 
 Velocidade em função do tempo [v = f(t)] 
v = f(t) = constante  0 (o móvel tem, em toda trajetória, a velocidade do início do movimento). 
 
 Aceleração em função do tempo [v = f(t)] 
a = f(t) = 0 (não existe variação de velocidade durante o movimento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões sobre o Movimento Uniforme: 
 Em intervalo de tempos iguais, o móvel realiza deslocamentos iguais. 
 Para qualquer instante de tempo, a velocidade instantânea é sempre 
igual à velocidade média do móvel. 
 A aceleração de um móvel em Movimento Uniforme é nula, pois não 
houve variação na velocidade. 
 Se a trajetória for uma linha reta, o movimento é chamado de 
Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU). 
 
- 120 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Um caminhão movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária s = 10 + 2t (no SI). 
Determine: 
a) a posição inicial; 
b) a velocidade; 
c) a posição no instante t = 3s; 
d) o espaço percorrido após 6s; 
e) o instante em que o ponto material passa pela posição 36 m; 
 
E02. Um móvel desloca-se com movimento retilíneo segundo a lei horárias = 20 + 8t (no SI). Determine: 
a) a posição inicial do móvel; 
b) a posição do móvel quando t = 5 s; 
c) o instante em que o móvel passa pela posição 100 m; 
d) a distância percorrida pelo móvel durante o 10º segundo; 
e) o módulo do deslocamento e do espaço percorrido pelo móvel no intervalo de 5 s a 20 s. 
 
E03. Um ciclista A está com velocidadeconstante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue com velocidade 
constante vB = 38 km/h. Num certo instante, a distância que os separa é 80 m. 
a) A partir desse instante, quanto tempo o ciclista B levará para alcançar o A? 
b) Determine a posição dos ciclistas quando se encontrarem. 
c) Calcule a distância que cada ciclista percorreu até o encontro. 
 
E04. Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea representada pelo eixo orientado. 
 
No início da contagem dos tempos suas posições são A = 10 m e B = 80 m. Ambos percorrem a pista no sentido 
positivo do eixo com velocidades constantes, sendo vA = 30 m/s e vB = 20 m/s. Pedem-se: 
a) o instante em que A alcança B; 
b) a posição do encontro em relação ao marco zero da pista. 
 
 
- 121 - 
 
 
E05. Quanto tempo gasta um trem com 400 m de comprimento e velocidade de 20 m/s, para atravessar um túnel de 
1.800 m de comprimento? 
E06. Um trem viaja por estrada retilínea com velocidade constante de 36 km/h. Calcule o comprimento do trem, 
sabendo que ele leva 15 s para atravessar uma ponte de 60 m de comprimento. 
 
E07. Os móveis A, B e C partem de um mesmo ponto, com movimento retilíneo uniforme, em momentos 
diferentes. B parte 2 minutos após A, e ambos desenvolvem a mesma velocidade. C parte por último, gastando 10 
minutos para alcançar B e mais 5 minutos para alcançar A. Determine, em minutos, o tempo decorrido entre a 
partida de A e a de C. 
 
E08. No instante t0 = 0, a distância entre dois carros A e B é de 375 km. Eles se movem um ao encontro do outro 
com velocidades constantes e de módulos respectivamente iguais a 60 km/h e 90 km/h, descrevendo uma mesma 
trajetória retilínea. 
 
Com a trajetória orientada conforme indica a figura e adotando como origem dos espaços a posição inicial de A, 
pedem-se: 
a) as funções horárias dos espaços que descrevem os movimentos dos carros A e B; 
b) o instante em que os carros se encontram; 
c) a posição do ponto de encontro. 
 
E09. Dois trens, A e B, de comprimentos iguais a 40 m e 50 m, respectivamente, percorrem linhas retilíneas e 
paralelas com movimentos uniformes e velocidades constantes: vA = 90 km/h e vB = 72 km/h. Determine o tempo 
gasto durante a ultrapassagem, sabendo que eles se movem em sentidos contrários. 
 
E10. Um móvel realiza um movimento uniforme num determinado referencial. Seus espaços variam com o tempo 
segundo os dados da tabela: 
 t(s) 0 1 2 3 4 5 
s(m) 160 120 80 40 0 -40 
 
a) Determine o espaço inicial s0 e a velocidade escalar v do movimento. 
b) O movimento é progressivo ou retrógrado? 
c) Qual é a função horária do movimento? 
 
- 122 - 
 
 
E11. É dada a função horária do movimento de um móvel s = 100 + 80 t, onde s é medido em metros e t em 
segundos. Determine: 
a) o espaço inicial e a velocidade escalar; 
b) o espaço quando t = 2s; 
c) o instante em que o móvel se encontra a 500 m da origem dos espaços; 
d) se o movimento é progressivo ou retrógrado. 
 
E12. É dada a função horária do movimento de um móvel S = 60 – 12t, na qual s é medido em quilômetros e t em 
horas. Determine: 
a) o espaço inicial e a velocidade escalar; 
b) o espaço quando t = 3 h. 
c) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços; 
d) se o movimento é progressivo ou retrógrado. 
 
E13. Dois móveis percorrem a mesma trajetória e seus espaços estão medidos a partir do marco escolhido na 
trajetória. Suas funções horárias são: 
SA = 30 – 80t e SB = 10 + 20t 
Nestas funções, t é o tempo em horas e SA e SB são os espaços em quilômetros. 
Determine o instante e a posição de encontro. 
 
E14. Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo trajetórias perpendiculares entre si, 
com velocidades escalares constantes de 1,2 m/s e 0,9 m/s, respectivamente. Determine a distância que as separa 
após 10s. 
 
E15. Duas pequenas esferas A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com movimentos uniformes e 
velocidades escalares 8,0 m/s e 6,0 m/s, respectivamente. No instante t = 0s, as esferas estão posicionadas conforme 
a figura abaixo. 
 
Determine em que instantes a distância entre as esferas é de 4,0 m 
 
E16. Um atirador aponta para um alvo e dispara um projétil, que sai da arma com velocidade de 300 m/s. O 
impacto do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 3,2 s após o disparo. Sendo de 340 m/s a velocidade de 
propagação do som no ar, calcule a distância do atirador ao alvo. 
 
- 123 - 
 
 
E17. Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais expedidos simultaneamente por um posto na costa, 
um deles através do ar e outro através da água. Entre as recepções dos dois sons, decorre o intervalo de tempo t = 
4 s. Nas condições de experiência, a velocidade do som tem as grandezas 300 m/s no ar e 1.500 m/s na água. 
Determine a distância entre o barco e o posto emissor dos sinais, conforme os dados acima. 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. a) 10 m b) 2 ms c) 16 m d) 13 s 
E02. a) 20 m b) 60 m c) 10 s d) 80 m e) 120 m 
E03. a) 144 s b) 1520 m c) A: 1440 m e B: 120 m 
E04. a) 7 s b) 220 m 
E05. 1min 50s 
E06. 90 m 
E07. 12,14 min 
E08. a) sA = 60t; sB = 375 – 90t b) 2,5 h c) 150 km 
E09. 2 s 
E10. a) 160 m; -40 m/s b) Retrógrado c) s = 160 – 40t 
E11. a) 100 m e 80 m/s b) 260 m c) 5 s d) Progressivo 
E12. a) 60 km e -12 km/h b) 24 km c) 5 h d) Retrógrado 
E13. 0,2 h e 14 km 
E14. 15 m 
E15. 3,0 s; 7,0 s 
E16. 510 m 
E17. 1.500 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 124 - 
 
 
Testes 
 
T01. Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em movimento uniforme sobre a 
mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s. Se o encontro ocorre 50 s após a partida, 
podemos afirmar que a distância inicial entre os mesmos era de: 
a)  250 m b)  500 m c)  750 m d)  900 m e)  1025 m 
 
T02. Dois móveis, ambos com movimento uniforme, percorrem uma trajetória retilínea conforme mostra a figura. 
Em t = 0, eles se encontram, respectivamente, nos pontos A e B na trajetória. As velocidades escalares dos móveis 
são VA = 50 m/s e VB = 30 m/s no mesmo sentido. 
 
 Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro dos móveis? 
a)  200 m b)  225 m c)  250 m d)  300 m e)  150 m 
 
T03. Um movimento uniforme é descrito por s = 20 + 5t, onde s está em metros e t em segundos. O espaço inicial, 
a velocidade e o tipo de movimento serão, respectivamente: 
a)  20 m, 5 ms, movimento progressivo; 
b)  5 m, 20 ms, movimento progressivo; 
c)  20 m, 5 ms, movimento retrógrado; 
d)  5 m, 20 ms, movimento retrógrado; 
e)  20 m, 5t ms, movimento progressivo. 
 
T04. A tabela fornece, em vários instantes, a posição s de um automóvel em relação ao km zero da estrada em que 
se movimenta. 
 t(h) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 
s(km) 200 170 140 110 80 50 
 
A função horária que nos indica a posição do automóvel, com as unidades fornecidas, é: 
a)  s = 200 + 30t b)  s = 200 – 30t c)  s = 200 + 15t d)  s = 200 – 15t e)  s = 200 – 15t2 
 
 
 
- 125 - 
 
 
 
T05. (UFPA) O gráfico representa os deslocamentos de duas partículas, A e 
B. Pela interpretação do gráfico, podemos garantir que: 
a)  as partículas partem de pontos diferentes com velocidades diferentes; 
b)  as partículas partem de pontos diferentes com a mesma velocidade; 
c)  as partículas partem do mesmo ponto com velocidades diferentes; 
d)  as partículas partem do mesmo ponto com a mesma velocidade; 
e)  as partículas partem de pontos diferentes com velocidadesdistintas e conservam suas velocidades. 
 
T06. (Fuvest-SP) Um automóvel faz uma viagem em 6,0 h e sua velocidade 
escalar varia em função do tempo aproximadamente como mostra o 
gráfico. 
A velocidade escalar média do automóvel na viagem é de: 
 
a)  35 kmh b)  40 kmh c)  45 kmh d)  48 kmh e)  50 kmh 
 
T07. Qual é o tempo gasto para que uma composição de metrô de 200 m, a uma velocidade de 180 kmh, atravesse 
um túnel de 150 m, expressando sua resposta em segundos 
a)  5 b)  6 c)  7 d)  8 e)  9 
 
T08. Dois móveis A e B percorrem uma mesma trajetória e suas posições são dadas, a partir da mesma origem dos 
espaços, por SA = -30 + 10t e SB = -10 – 10t (com S em metros e t em segundos). O instante e a posição de encontro 
são iguais, respectivamente, a: 
a)  1s; -20 m b)  2s; -10 m c)  3s; -40 m d)  4s; 20 m e)  5s; -60 m 
 
T09. (UFRN) Um trem parte de Natal com destino a Recife às 6h, com velocidade constante de 60 kmh. 
Uma hora depois, parte de Natal, numa linha paralela, um segundo trem, 
mantendo uma velocidade constante de 75 kmh. Sabendo que a distância 
Natal-Recife é de 300 km, podemos afirmar que: 
a)  o segundo trem ultrapassará o primeiro a 70 km de Recife; 
b)  o segundo trem ultrapassará o primeiro a 80 km de Recife; 
c)  o segundo trem ultrapassará o primeiro a 100 km de Recife; 
d)  o segundo trem ultrapassará o primeiro a 120 km de Recife; 
e)  os dois trens chegarão a Recife ao mesmo tempo. 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. A 
 
02. D 
03. A 
 
04. D 
05. A 
06. B 
 
07. C 
08. A 
09. E 
 
 
- 126 - 
 
 
4. Movimento Uniformemente Variado 
 
Nos movimentos que observamos diariamente, as velocidades em geral não permanecem constantes, 
variando, portanto, no decorrer do tempo. São os chamados movimentos variados. 
Por outro lado, se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do tempo, isto é, se 
ocorrerem variações de velocidade sempre iguais em intervalos de tempo iguais, o movimento será denominado 
movimento uniformemente variado (MUV). 
Para que isso ocorra em qualquer intervalo de tempo, a aceleração escalar média deve ser constante, 
diferente de zero e igual à aceleração escalar instantânea. 
 
am = a = constante  0 
 
 
 
 
 
 
Observe a tabela, ao lado, que registra a velocidade indicada pelo velocímetro de um 
automóvel no decorrer do tempo. 
Note que a partir da velocidade inicial v0 = 8 km/h, a velocidade varia de 4 km/h a 
cada segundo decorrido. Portanto, a aceleração escalar média é igual à aceleração escalar 
instantânea. 
s
4km/h
a 
01
812
a 
Δt
Δv
aa m 



 
Então, esse automóvel executa um movimento uniformemente variado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de a trajetória ser retilínea, o movimento será denominado movimento retilíneo uniformemente 
variado (MRUV). 
 
 
4.1. Funções Horárias 
 
Vamos estudar agora as funções que permitem a descrição matemática de um movimento uniformemente 
variado. 
 
 
t (s) v (km/h) 
0 8 
1 12 
2 16 
3 20 
4 24 
5 28 
6 32 
 
 
 
No movimento uniformemente 
variado a velocidade escalar 
é variável e a aceleração escalar é 
constante e não-nula. 
- 127 - 
 
 
 Velocidade em função do tempo [v = f(t)] 
Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura. 
 
 v0: a velocidade do móvel no instante t0 = 0. 
 v: a velocidade do móvel no instante t. 
 
A aceleração média do móvel no intervalo de tempo t = t – t0 = t é: 
0
0
m
tt
vv
Δt
Δv
a



, em que am = a = constante. 
atvv
t
vv
a 0
0 


 v = v0 + at 
 
Observe que essa é uma função polinomial do 1º grau em relação à t. 
 
 Posição em função do tempo [s = f(t)] 
Seja um móvel percorrendo, com MUV, a trajetória da figura. 
 
 
 s0: posição do móvel no instante t0 = 0. 
 v0: velocidade do móvel no instante t0 = 0. 
 s: posição do móvel no instante t. 
 v: a velocidade do móvel no instante t. 
 a: aceleração. 
 
O gráfico da função v = v0 + at, representado por uma reta, é uma 
função polinomial do 1º grau. 
 
 
s 
t 
v 
v0 
0 
v 
t 
 
 
- 128 - 
 
 
A área do trapézio fornece o espaço percorrido s no intervalo de tempo t = t – t0. 
t
2
vv
s 0 


 () 
Como v = v0 + at e s = s – s0, substituindo em (), temos: 
t
2
vatv
ss 000 


  
2
attv2
ss
2
0
0


  
2
00 at
2
1
tvss 
 
 
Observe que esta é uma função polinomial do 2º grau em relação a t. 
 
 Aceleração em função do tempo [a = f(t)] 
a = f(t) = constante  0 
Portanto, a aceleração (variação da velocidade) em todo o percurso é a mesma do início dele. 
 
 Lei de Torricelli: 
Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua velocidade em relação ao 
tempo. Torna-se útil encontrar uma fórmula que possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo. 
A fórmula de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando-se 
o tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade. 
2
00 at
2
1
tvss 
 (1) 
atvv 0 
 (2) 
Isolando-se o tempo t em (2): 
a
v-v
t 0
 
Substituindo-se t em (1): 
Δsa2vv
)s(sa2vv
vv)s(sa2
vvv2vv2v-v2)s(sa2
a2
vvv2v
a
vv-v
ss
a
vvv2v
2
a
a
vv-v
ss
a
vv-
a
2
1
a
vv-
vss
2
0
2
0
2
0
2
22
00
2
00
22
000
2
00
22
00
0
2
2
00
22
00
0
2
00
00















 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 129 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Um ciclista desloca-se numa trajetória retilínea segundo a função horária s = 24 – 5t + t2 (no SI). 
a) Qual o tipo de movimento executado pelo ciclista: MU ou MUV? 
b) Qual a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do ciclista? 
c) Determine a função horária da velocidade do ciclista. 
d) Dê o instante em que o ciclista passa pela origem das posições da trajetória. 
 
E02. Um automóvel está parado diante de um semáforo. Imediatamente após o sinal ter aberto, um caminhão o 
ultrapassa com velocidade constante de 20 m/s. Nesse exato instante, o motorista do automóvel arranca com uma 
aceleração de 4 m/s
2
 em perseguição ao caminhão. 
a) Após quanto tempo o automóvel alcançará o caminhão? 
b) Quantos metros terá percorrido o automóvel? 
 
E03. Um móvel desloca-se sobre uma reta, obedecendo à função horária s = 6 – 5t + t2 (no SI). Determine: 
a) a função v = f(t); 
b) o instante em que o móvel inverte o sentido do seu movimento; 
c) o espaço percorrido entre os instantes 4s e 9s. 
 
E04. Com a vigência do novo Código Brasileiro de Trânsito, atravessar um sinal vermelho constitui infração 
gravíssima. Ao perceber um semáforo fechado à frente, o motorista de um carro, movendo-se a 20 m/s, aplica a 
este uma desaceleração de 5 m/s
2
. Determine: 
a) o tempo gasto durante a freada; 
b) a distância mínima do carro ao semáforo para não ocorrer a infração. 
 
E05. Um motorista está dirigindo um automóvel a uma velocidade de 54 km/h. Ao ver o semáforo fechado, pisa no 
freio. A aceleração máxima para que o automóvel não derrape tem módulo igual a 5 m/s
2
. Quala menor distância 
que o automóvel irá percorrer, sem derrapar e até parar, a partir do instante em que o motorista aciona o freio? 
 
E06. Ao iniciar a travessia de um túnel retilíneo de 200 m de comprimento, um automóvel de dimensões 
desprezíveis movimenta-se com velocidade de 25 m/s. Durante a travessia, desacelera uniformemente, saindo do 
túnel com velocidade de 5 m/s. Qual o módulo de sua aceleração escalar nesse percurso? 
 
 
E07. Um veículo parte de um ponto A para um ponto B e gasta 40 s nesse percurso, com uma aceleração de 3 m/s2 
e velocidade inicial de 4 m/s. Qual a distância entre os pontos A e B? 
 
 
- 130 - 
 
 
E08. Uma bala, que se move a uma velocidade escalar de 200 m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre 
um muro, é desacelerada uniformemente até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, 
se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10 cm? 
 
E09. Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada recomenda que os motoristas que 
nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma “distância” de 2 s. 
a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorram a estrada com a 
velocidade constante de 90 km/h? 
b) Suponha que, nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração constante 
de módulo 5 m/s
2
, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 0,5 s. Qual deve ser a aceleração 
mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente? 
 
E10. A velocidade de um móvel em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obedece à função horária v = 2 
+ 3t, com as unidades no SI. Para este móvel, determine: 
a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar; 
b) a velocidade 10 segundos após o início do movimento; 
c) se o movimento é acelerado ou retardado no instante 10 s. 
 
E11. O espaço de um móvel em MRUV obedece à função horária s = 4 + 3t + 2t2, com unidades no SI. Para este 
móvel, determine: 
a) o espaço inicial; 
b) a velocidade escalar; 
c) a aceleração escalar; 
d) o espaço ocupado após 2 segundos de movimento. 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. a) MUV b) 24m, 5 ms, 2 ms2 c) v = -5 + 2t d) 8s 
E02. a) 10 s b) 200 m 
E03. a) v = 5 + 2t b) 2,5 s c) 40 m 
E04. a) 4s b) 40 m 
E05. 22,5 m 
E06. 1,5 m/s
2
 
E07. 2560 m 
E08. 10
-3
 s 
E09. a) 50 m b) 3,125 m/s
2
 
E10. a) 2 ms, 3 ms2 b) 32 ms c) Acelerado 
E11. a) 4 m b) 3 ms c) 4 ms2 d) 18 m 
- 131 - 
 
 
Testes 
 
T01. A equação horária do movimento de um móvel é dada por s = 12 – 2t + 4t2. A equação da velocidade escalar 
desse móvel será: 
a)  v = 12 – 2t b)  v = 8t – 2 c)  v = 2 + 4t d)  v = -2 + 2t e)  v = 12 – 4t 
 
T02. Um móvel efetua um movimento retilíneo uniformemente variado obedecendo à função horária s = 10 + 10t 
– 5t2, onde o espaço s é medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4 s, 
em ms, vale: 
a)  50 b)  20 c)  0 d)  -20 e)  -30 
 
T03. Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 ms2. Pode-se dizer que sua velocidade e a 
distância percorrida, após 3 s, valem, respectivamente: 
a)  6ms; 9m b)  6ms; 18m c)  3ms; 12m d)  12ms; 36m e)  2ms; 12m 
 
T04. (PUC-PR) Um móvel parte do repouso e desloca-se em 
movimento retilíneo sobre um plano horizontal. O gráfico representa 
a aceleração (a) em função do tempo (t). 
Sabendo-se que no instante t = 0 a velocidade do móvel é nula, 
calcular a velocidade no instante t = 5s. 
a)  36 ms b)  6 ms c)  24 ms d)  15 ms e)  30 ms 
 
T05. Um móvel tem movimento com velocidade descrita pelo 
gráfico abaixo. 
Após 10 s, qual será sua distância do ponto de partida 
 
 
a)  500 m b)  20 m c)  75 m d)  25 m e)  100 m 
 
T06. (UFRGS) Um automóvel que anda com velocidade escalar de 72 kmh é freado de tal forma que, 6,0 s após o 
início da freada, sua velocidade escalar é de 8,0 ms. O tempo gasto pelo móvel até parar e a distância percorrida 
até então valem, respectivamente: 
a)  10s; 100m b)  10s; 200m c)  20s; 100m d)  20s; 200m e)  5s; 150m 
 
a (ms2) 
t (s) 
0 5 
v (ms) 
t (s) 0 5 
10  
- 132 - 
 
 
T07. (UFSC) Um carro está a 20 m de m sinal de tráfego quando este passa de verde a amarelo. Supondo que o 
motorista acione o freio imediatamente, aplicando ao carro uma desaceleração de 10 ms2, calcule, em kmh, a 
velocidade máxima que o carro pode ter, antes de frear, para que ele pare antes de cruzar o sinal. 
a)  36 b)  54 c)  72 d)  90 e)  108 
 
T08. (UEPB) Dois automóveis, A e B, deslocam-se um em direção ao outro numa competição. O automóvel A 
desloca-se a uma velocidade de 162 kmh; o automóvel B, a 108 kmh. Considere que os freios dos dois 
automóveis são acionados ao mesmo tempo e que a velocidade diminui a uma razão de 7,5 ms, em cada segundo. 
Qual é a menor distância entre os carros A e B para que eles não se choquem 
a)  135 m b)  60 m c)  210 m d)  195 m e)  75 m 
 
T09. (UEL-PR) Um corpo é abandonado a partir do repouso e atinge o chão com velocidade de 20 ms. 
Considerando g = 10 ms2, o corpo caiu da altura de: 
a)  200 m b)  100 m c)  50 m d)  20 m e)  10 m 
 
T10. (UECE) Uma pedra, partindo do repouso, cai de uma altura de 20 m. Despreza-se a resistência do ar e adota-se 
g = 10 ms2. A velocidade da pedra ao atingir o solo e o tempo gasto na queda, respectivamente, valem: 
a)  20ms; 2s b)  20ms; 4s c)  10ms; 2s d)  10ms; 4s e)  15ms; 2s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. B 
 
02. E 
03. A 
04. E 
05. E 
06. A 
 
07. C 
08. D 
09. D 
10. A 
 
- 133 - 
 
 
5. Matematizando 
 
5.1. Definição: Expressões Algébricas e Polinômios 
 
Chama-se expressão algébrica qualquer agrupamento de letras e números ligados por sinais de operações. O 
elemento fundamental da expressão algébrica é o termo, ou seja, um conjunto de letras e números ligados por 
operações quaisquer, exceto a adição e a subtração. 
Exemplo: Expressão Algébrica: 
ab2
xy3
yx2ba
2
22 
. Termos: 
ba2
; 
yx2 2
; 
 
ab2
xy3 2

 
Chama-se polinômio de grau n (n inteiro e positivo) na variável x, a expressão algébrica do tipo: 
 
P(x) = a0(x)
n
 + a1(x)
n1
 + a2(x)
n2
 + ... + an1(x) + an, onde a0, a1, a2, ..., na são números quaisquer e a0  0. 
 
 
5.1.1. Divisão de Polinômios 
 
A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enunciá-lo como sendo a divisão de 
um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios Q(x) e R(x). Esse algoritmo 
da divisão pode ser expresso pelo Método de Descartes também conhecido como Método dos coeficientes 
determinantes, da seguinte forma: E(x)  Q(x) + R(x) = D(x), ou seja: Quociente  Divisor + Resto = Dividendo. 
 
 Método da Chave: neste método, realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências 
de mesma base, conservando a base e subtraindo os expoentes. Quando trabalhamos com divisão, utilizamos 
também a multiplicação no processo. 
Observe o seguinte esquema: 
 
 
Quociente  Divisor + Resto = Dividendo 
 
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. 
 
Exemplo 01: Dividir o polinômio 12x
3
 + 4x
2
 – 8x por 4x. 
Resolução: 
 
- 134 - 
 
 
Caso queira verificar sea divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o 
dividendo como resultado. 
Verificando: Quociente  Divisor + Resto = Dividendo 
4x  (3x² + x – 2) + 0 = 
= 12x³ + 4x² – 8x 
Caso isso ocorra, a divisão está correta. 
 
Exemplo 02: Dividir o polinômio 12x
3
 + 4x
2
 – 8x por 4x. 
Resolução: 
 
Verificando: Quociente  Divisor + Resto = Dividendo 
 (2x – 5)  (5x – 9) + (–5) = 
= 10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) = 
= 10x² – 43x + 45 – 5 = 
= 10x² – 43x + 40 
 
Exemplo 03: Dividir o polinômio 6x
4
 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 por 2x2 – 4x + 5. 
Resolução: 
 
Verificando: Quociente  Divisor + Resto = Dividendo 
(3x² + x – 1)  (2x² – 4x + 5) + 0 = 
= 6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 = 
= 6x
4
 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 
 
Exemplo 04: Dividir o polinômio 12x
3
 – 19x2 + 15x – 3 por 3x2 – x + 2. 
Resolução: 
 
- 135 - 
 
 
Verificando: Quociente  Divisor + Resto = Dividendo 
(4x – 5)  (3x² – x + 2) + (2x + 7) = 
= 12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) = 
= 12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 = 
= 12x³ – 19x² + 15x – 3 
 
 Dispositivo de Briot-Ruffini: a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x – a) também pode 
ser feita utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Este algoritmo se caracteriza pela sua agilidade na divisão de 
polinômios por binômios do 1º grau do tipo (x – a). 
Vamos analisar o exemplo detalhado, apresentado em Barroso (2008, p.178): 
 
Exemplo: Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x
3
 – 4x + 1 por D(x) = x – 4, utilizando o 
dispositivo de Briot-Ruffini. 
Resolução: Inicialmente, colocamos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente segundo o grau do termo e 
completamos com zero, caso necessário. Assim, temos P(x) = 2x
3
 + 0x
2
 – 4x + 1. 
 
Dispomos os valores que participam do 
cálculo para montar o dispositivo. 
 
Repetimos o coefiente dominante do 
dividendo P(x) na linha de baixo. 
 
Multiplicamos o valor de a por esse 
coeficiente e somamos o produto obtido 
com o próximo coeficiente de P(x), 
colocando o resultado abaixo dele. 
 
Multiplicamos o valor de a pelo resultado 
que acabamos de obter, somamos o produto 
com o próximo coeficiente de P(x) e 
colocamos esse novo resultado abaixo desse 
coeficiente. 
- 136 - 
 
 
Repetimos o processo até o último coefiente 
de P(x), que está separado, à direita. 
 
 
 
Fonte: Barroso et al, 2008, p.174. 
 
O último resultado é o resto da divisão, e os demais números obtidos são os coeficientes do quociente, 
dispostos ordenadamente segundo as potências decrescentes de x. 
Dessa forma, no exemplo apresentado no quadro acima, temos que Q(x) = 2x
2
 + 8x + 28 e R(x) = 113. 
 
5.1.2. Fatoração 
 
Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la num produto utilizando, em geral, a lei distributiva. 
Exemplo: A
3
B + A
2
C – A2D = A2(AB + C – D)  neste caso, o fator comum A2 foi colocado em evidência. 
 
1º Caso: Fator Comum 
 
2ax
3
 + 6bx
2
 = 2axx2 + 23bx2 = 2x2(ax + 3b) 
 
 
 
 
 
 
2º Caso: Agrupamento 
 
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) 
 
 
 
 
 
 
3º Caso: Diferença de Quadrados 
 
a
2
 – b2 = (a + b)(a – b) 
 
 
 
 
 
 
4º Caso: Quadrado Perfeito 
 
a
2
  2ab – b2 = (a  b)2 
 
 
 
 
 
 
5º Caso: Cubo Perfeito 
 
a
3
  3a2b + 3ab2  b3 = (a  b)3 
6º Caso: Soma e Diferença de Cubos 
 
a
3
 + b
3
 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a
3
  b3 = (a  b)(a2 + ab + b2) 
 
 
 
 
 
 
7º Caso: Trinômio do 2º Grau 
 
ax
2
 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), onde x1, x2 são raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0. 
 
 
 
 
 
- 137 - 
 
 
5.1.3. Frações Algébricas 
 
São frações que contém expressões algébricas no numerador e no denominador. Se for possível fatorar o 
numerador e o denominador e a fatoração apresentar fatores iguais, então podemos cancelar os fatores comuns. 
Exemplo: 
1x2
x3
)1x2(x3
x3
x3x6 2




 CORRETO 
 
1x6
x3
x3x6 2
2


 INCORRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 138 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Efetue as operações: 
a) (2x
2
 – 3x + 1) + (2x – 3) + (4x2 + 5) 
b) (2x
2
 – 6x – 5)  (x2 – 3x – 5) 
c) (2x – 1)(x2 – 3x + 5) 
d) (x – 3y)(x2 – 3xy + y2) 
e) (3x – 1)(x + 2) – (x – 2)2 
f) 2(x – 2)3 – (x – 2)2 – 3(x – 2) 
g) (x + 2y)
3
 
h) (s + 7)(s – 2) 
i) (u – 3)(u + 3) 
j) (c – 9)(c – 6) 
k) (a + b)(a – b) 
l) (3y + 2)(3y – 2) 
 
E02. Efetue as divisões: 
a) 6x
2
 – x + 2 por 3x – 2 
b) 4x
4
 – 10x – 9x2 – 10 por 2x + 3 
c) 16x – 5x3 – 4 + 6x4 – 8x2 por 2x – 4 + 3x2 
d) x
3
 – 8 por x – 2 
 
E03. Fatore: 
a) 2x2 – 10x 
b) 2x
2
y – 12xy2 
c) a(x + y) – b(x + y) 
d) 2x
2
y – 12xy2 
e) x
3
 – x2 + x – 1 
f) a
2
 – 1 
 
g) a4 – 1 
h) x
2
 – 2xy + y2 
i) x
2
 + 2x + 1 
j) 4a
2
 + 20ab + 25b
2
 
k) 16x
2
 – 56x + 49 
l)
 4
y
xy3x9
2
2 
 
E04. Simplifique as frações: 
a) 
2)3x(
3x


 
b) 
)5y(2
)5y(8 2


 
c) 
3
2
)7x(x6
)7x(x2


 
d) 
4x2
x2x 2


 
e) 
y3
y3y9 2
 
f) 
9x6x
9x
2
2


 
g) 
22
22
xy6yx4
y9x4


 
h) 
y3xy
y3x3xyx 2


 
i) 
23
23
x4x12
x10x28x6


 
j) 
4x
8x
2
3


 
k) 
)3x(x4
6x2
)3x(x4
12x4





 
l)
 2)1x(9
2
)1x(6
5



 
 
 
- 139 - 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
 
E01. 
a) 6x2 – x + 3 
b) x
2
 – 3x 
c) 2x
3
 – 7x2 + 13x – 5 
d) x
3
 – 6x2y + 10xy2 – 3y3 
e) 2x
2
 + 9x – 6 
f) 2x
3
 – 13x2 + 25x – 18 
g) x
3
 + 6x
2
y + 12xy
2
 + 8y
3
 
h) s
2
 + 5s – 14 
i) u
2
 – 9 
j) c
2
 + 5c + 54 
k) a
2
 – b2 
l) 9y
2
 – 4 
 
E02. 
a) Q(x) = 2x + 1 R = 4 
b) Q(x) = 2x
3
 – 3x2 – 5 R = 5 
c) Q(x) = 2x
2
 – 3x + 2 R = 4 
d) Q(x) = x
2
 + 2x + 4 R = 0 
 
E03. 
a) 2x(x – 5) 
b) 2xy(x – 6y) 
c) (x + y)(a – b) 
d) (x + y)(a + b) 
e) (x – 1)(x2 + 1) 
f) (a + 1)(a – 1) 
g) (a
2
 + 1)(a + 1)(a – 1) 
h) (x – y)2 
i) (x + 1)
2
 
j) (2ª + 5b)
2 
 
 
 
 
 
E04. 
a) 
3x
1
 
b) 4(y – 5) 
 
c) 
2)7x(3
x
 
d) 
2
x
 
e) 3 – y 
f) 
3x
3x


 
g) 
xy2
y3x2 
 
h) 
y
yx 
 
i) 
x2
5x 
 
j) 
2x
4x2x 2


 
k) 
x2
1
 
l) 
2)1x(18
11x15


 
- 140 - 
 
 
5.2. Função: ferramental matemático para todas as áreas 
 
Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua companhia está relacionado com o seu nível de 
produção; um biólogo gostaria de saber como o tamanho da população de uma certa cultura de bactérias mudará ao 
longo do tempo; um psicólogo gostaria de conhecer a relação entre o tempo de aprendizado de um indivíduo e o 
tamanho de seu vocabulário; e um químico gostaria de saber como a velocidade inicial de uma reação química está 
relacionada à quantidade de substrato utilizada. 
Em cada uma dessas situações estamos preocupados com a mesma questão: como uma quantidadedepende 
da outra? A relação entre duas ou mais quantidades é convenientemente descrita em matemática pelo uso do 
conceito de função. 
 
 
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento 
de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio e B imagem da função. 
 
 
Muitas situações do mundo real podem ser modeladas a partir de funções. Modelar uma situação implica em 
construir um modelo matemático a partir de informações reais; este modelo pode descrever precisamente o 
problema em consideração, ou, mais frequentemente, pode fornecer apenas uma aproximação aceitável do 
problema. 
Existem muitos tipos de funções para modelar as mais diversas situações de diferentes áreas. Nesta disciplina 
estudaremos as principais funções que nos servirão de ferramenta para estudar problemas relacionados à área de 
Engenharia. 
 
 
5.3. Função polinomial do 1° grau ou função afim 
 
 
Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no 
valor de R$ 1.500,00 e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 6% (0,06) sobre o total das vendas 
que ele faz durante o mês. Nessas condições, podemos dizer que: 
 
 
Salário mensal = 1.500,00 + 0,06 vezes o total das vendas do mês 
 
Observamos, então, que o salário mensal desse vendedor é dado em função do total de vendas que ele faz 
durante o mês, ou seja: 
 
S(x) = 1.500,00 + 0,06x ou S(x) = 0,06x + 1.500,00 ou y = 1.500 + 0,06x, 
 
onde x é o total das vendas do mês. 
 
Este exemplo nos dá a ideia de uma função afim. 
- 141 - 
 
 
5.3.1. Definição 
 
Uma função chama-se função afim ou função polinomial do 1º grau quando existem dois números reais a e b 
tais que f(x) = ax + b, para todo x  R. 
 
5.3.2. Gráfico de uma função polinomial do 1º grau no plano cartesiano 
 
Vamos agora, construir gráficos de funções determinadas por leis y = f(x) em um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais. 
Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com x  D, no plano cartesiano, devemos: 
 Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores correspondentes 
para y = f(x); 
 A cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano; 
 Marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função. 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função f: R  R, dada por f(x) = 3x. 
 
x y = 3x 
-2 -6 
-1 -3 
0 0 
1 3 
2 6 
3 9 
 
 
 
O gráfico de uma função afim é uma reta, pois ela tem variação constante, dada pelo valor do coeficiente 
angular a. A constante b é chamada de coeficiente linear e representa no gráfico, a ordenada do ponto de 
intersecção da reta com o eixo y. 
 
5.3.3. Casos particulares importantes da função afim 
 
 Função linear: 
O gráfico é uma reta que contém a origem (0,0). 
Este tipo de função pode ser representada pelo faturamento de uma empresa. 
Um produto é vendido a R$ 15,00 a unidade (preço constante). A função receita será: 
x15xR )(
. 
 
f: R  R definida por f(x) = ax para todo x  R. Nesse caso, a  0 e b = 0. 
Exemplos: f(x) = 2x f(x) = -4x f(x) = 
x3
 
 
- 142 - 
 
 
 f(x) = 3x (crescente) f(x) = -3x (decrescente) 
x f(x) f(x) f(x) 
-2 -6 -2 6 
-1 -3 -1 3 
0 0 0 0 
1 3 1 -3 
2 6 2 -6 
 
 
 
 
 Função constante: 
Os custos fixos de uma empresa, tais como, aluguel e, despesas administrativas, representam muito bem uma 
função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo x. 
 
f: R  R definida por f(x) = k para todo x  R, onde k é uma constante real. 
 Exemplos: f(x) = 4 f(x) = 5 f(x) = 100 
f(x) = 2 
x f(x) 
-2 2 
-1 2 
0 2 
1 2 
2 2 
 
 
 
 
 Função afim (a  0 e b  0): 
 
f(x) = 2x + 1 (crescente) f(x) = -2x + 1 (decrescente) 
x f(x) f(x) f(x) 
-2 -3 -2 5 
-1 -1 -1 3 
0 1 0 1 
1 3 1 -1 
2 5 2 -3 
 
 
 
Sendo a função afim dada por y = ax + b, temos no exemplo seguinte os significados dos parâmetros a e b: 
 
 
 
- 143 - 
 
 
 
Exemplo: Considere a função polinomial do 1º grau y = 5x + 2. 
Coeficiente angular a = 5: um aumento unitário em x acarreta um 
aumento de 5 unidades em y. 
Coeficiente linear b = 2: a reta intercepta o eixo y em y = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.4. Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos 
 
Uma função afim f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus valores 
f(x1) e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1  x2. 
 
Exemplo 01: Dados o ponto P(2, 3), ou seja, x = 2 e y = 3, par ordenado, e o ponto Q(4, 5), ou seja, x = 4 e y = 5, 
podemos encontrar a função que passa por estes pontos, montando um sistema de equações, levando em 
consideração que y = ax + b. 
1 a 2 0 2a 
5b4a 
3b2a
 
5b4a
3b2a












 
Como 4a + b = 5, então:
 
 
 
41 + b = 5  b = 1 
 
Logo, a função afim é dada por f(x) = 1x + 1, ou simplesmente, f(x) = x + 1. 
 
Exemplo 02: Calcular a equação da reta que passa por dois pontos. 
Processo 01: Utilizando sistemas de equações. 
Calcular a equação da reta que passa pelos pontos 
1P
 = (1,3) e 
2P
 = (3,7). 
baxy 
 





ba37
ba3
 multiplicando a primeira equação por (-1), temos 








a24
ba37
ba3
  
 
Substituindo a = 2 em 3 = a + b, temos 3 = 2 + b e, portanto, . 
 
Logo, a função procurada é y = 2x + 1. 
 
 
a = 2 
b = 1 
- 144 - 
 
 
Processo 02: Dado dois pontos (1,3) e (3,7). 
Coeficiente angular 
12
12
xx
yy
a



  
2
13
37
a 



 
 
)xx(ayy 00 
 
 
1x2y
)1x(23y


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 145 - 
 
 
5.4. Função crescente e função decrescente 
 
Vamos analisar as seguintes situações. 
O gráfico ao lado mostra a população 
brasileira de 1940 a 1990. 
Pelo gráfico, notamos o aumento da 
população em função do aumento do 
tempo (dado em anos), ou seja, a curva 
é crescente. 
 
 
 
 
 
 
Este gráfico mostra um tanque de 
água se esvaziando. 
Pelo gráfico, notamos a diminuição 
do volume de água em função do 
aumento do tempo (dado em 
minutos), ou seja, a curva é 
decrescente. 
 
 
 
 
Considerando dois elementos quaisquer x1 e x2 de um subconjunto A do domínio de uma função f, dizemos que: 
 f é função crescente em A, quando para x1 < x2 temos f(x1) < f(x2); 
 f é função decrescente em A, quando para x1 < x2 temos f(x1) > f(x2). 
 
 
 
ATENÇÃO: No caso da função afim (y = ax + b), temos que: 
 
 a função será crescente quando a > 0 
 a função será decrescente quando a < 0 
 a função será constante quando a = 0. 
 
 
 
 
0
20
40
60
80
100
120
140
1940 1950 1960 1970 1980 1990
M
il
h
õ
e
s
 d
e
 h
a
b
it
an
te
s
 
Anos 
0
100
200
300
400
500
600
700
0 5 10 15 20 25 30 35 40
V
o
lu
m
e
 (
e
m
 l
it
ro
s
) 
Tempo (em min) 
 
 
- 146 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Esboçar o gráfico das seguintes funções, classificar em crescente, decrescente ou constante e indicar as 
coordenadas do ponto de intersecção com o eixo y: 
 
a) y = 5 b) y = x + 1 c) y = 3x + 2 d) y = -x + 2 e) y = -3x f) y = 6 – 10x 
 
E02. Obtenha a função que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: 
a) A (1,2) e B (2,3) b) A (-1,0) e B (4,2) c) A (2,1) e B (0,4) d) A (0,0) e B (2,4) 
 
E03. Escreva a função que contém o ponto P e tem a declividade a: 
a) P(0,0) e a = 3 b) P(1,3) e a = 2 c) P(-1,4) e a = -1 d) P(-2,0) e a = -1 
 
E04. Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida. 
a) Obtenha a função receita. 
b) Calcule R(40). 
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00? 
 
E05. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100 + 2x. 
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? 
b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades? 
c) Faça o esboço do gráfico da função custo. 
 
E06. Um taxista cobra R$ 0,25 por quilômetro rodado e R$ 2,00 de bandeirada (partida). Construa o gráfico que 
demonstra a situação. 
 
E07. Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais: 
Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida; 
Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida. 
a) Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial para o candidato à vaga. 
b) Qual a quantidade de coleções vendidas em que o salário das duas empresas será o mesmo? 
c) Apresente a situação problema por meio de um gráfico. 
 
E08. Uma agência de automóveis, cobra pelo aluguel de um de seus veículos, a diária de R$ 40,00 mais a quantia 
de R$ 0,25 por quilômetro rodado. Outra agência cobra, pelo mesmo tipo de veículo, a diária de R$ 60,00 mais R$ 
0,175 por quilômetro rodado. Encontre as funções que representam o plano de aluguel de cada uma das agências e 
mostre qual deles é melhor do ponto de vista do consumidor. 
 
- 147 - 
 
 
E09. O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00, somado ao custo de produção que 
é de R$ 15,00 por unidade. Nessas condições: 
a) Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas. 
b) Determine o número de unidades que devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 700,00. 
c) Determine o custo total para produzir 1500 unidades. 
 
E10. O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00 e o custo 
variável por unidade é R$ 6,00. 
a) Obtenha a função lucro mensal. 
b) Qual o lucro obtido na venda de 50.000 unidades? 
c) A partir de quantas unidades vendidas esta empresa começa a obter lucro? 
d) Qual a quantidade de unidades que determina o ponto de nivelamento? 
e) Faça o gráfico das funções custo e receita indicando as coordenadas do ponto de nivelamento. 
 
E11.O valor total cobrado por um eletricista x inclui uma parte 
fixa, como visita, transporte etc., e outra que depende da 
quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O gráfico ao 
lado representa o valor do serviço efetuado em função do número 
de metros utilizados. 
a) Qual é o valor da parte fixa cobrada pelo eletricista 
b) O preço cobrado por um eletricista y depende unicamente do 
número de metros utilizados, não sendo cobrada a parte fixa. Se o 
preço do serviço é de R$ 4,50 por metro de fio utilizado, a partir de 
que metragem o consumidor deve preferir x a y 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E01. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Constante 
 eixo y: (0, 5) 
Crescente 
 eixo y: (0, 1) 
 
 
72 
 
60 
 14 20 metros (m) 
 preço (R$) 
- 148 - 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E02. a) y = x + 1 b) 
5
2
x
5
2
y  
c) 
4x
2
3
y  
d) y = 2x 
E03. a) y = 3x b) y = 2x + 1
 
c) y = -x + 3
 
d) y = -x – 2 
E04. a) R(x) = 5x b) $ 200,00
 
c) x = 140
 
 
E05. a) $ 120,00 b) $ 2,00
 
c) 
 
E06. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E07. a) Para vendas inferiores a 40 coleções, a Empresa A é mais vantajosa para o empregado. 
Para vendas acima de 40 coleções, a Empresa B torna-se mais vantajosa. 
 
 
 
Crescente 
 eixo y: (0, 2) 
Decrescente 
 eixo y: (0, 2) 
Decrescente 
 eixo y: (0, 0) Decrescente 
 eixo y: (0,6) 
 
 
- 149 - 
 
 
b) Para x = 40 coleções, o salário das duas empresas será o mesmo. 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E08. Opção A: yA = 40 + 0,25x Opção B: yB = 60 + 0,175x 
Para x < 267 km, a opção B é mais econômica para o consumidor. 
Para x < 267 km, a opção A é mais interessante. 
 
E09. a) C = 200 + 15x b) x  33 c) R$ 22.700,00 
 
E10. a) L(x) = 2x – 30.000 b) R$ 70.000,00 c) A partir de 15.000 unidades d) x = 15.000 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E11. a) A parte fixa é de R$ 32,00. b) A partir de 12,8 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 150 - 
 
 
Testes 
 
T01. (ENEM-2015) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes 
que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que 
fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 
0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo 
mensal de R$ 32,00. 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor mensal pago nesse 
plano e o número de ligações feitas é: 
a)  
 
b)  
 
c)  
 
d)  
 
e)  
 
 
 
T02. (ENEM-2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São 
Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, 
houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. 
[Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado)]. 
 
 
 
 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do 
ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e 
- 151 - 
 
 
os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona 
essas quantidades nesses meses é: 
a)  y = 4.300x 
b)  y = 884.905x 
c)  y = 872.005 + 4.300x 
d)  y = 876.305 + 4.300x 
e)  y = 880.605 + 4.300x 
 
T03. (ENEM-2011) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por 
quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. 
Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a 
seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é 
a)  
 
b)  
 
c) 
 
d)  
 
e)  
 
 
 
 
 
- 152 - 
 
 
T04. Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à equação C = 400t, em 
que C e o consume em KWh e t é o tempo em dias. Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4.800 
KWh 
a)  12 b)  14 c)  13 d)  15 e)  20 
 
 
T05. O gráfico a seguir representa a posição y (em km) de um 
carro em movimento numa estrada, em função do tempo x (em 
horas). 
Determine a posição do carro no instante 7h. 
 
a)  90 km b)  105 km c)  110 km d)  120 km e)  150 km 
 
T06. Analisando a função f(x) = -3x – 5, podemos concluir que: 
a)  O gráfico da função é crescente. 
b)  O ponto onde a função corta o eixo y é (0, -5). 
c)  x = 
2
5

 é zero da função. 
d)  O gráfico da função é decrescente. 
e)  A intersecção com o eixo y se dá no ponto (0, -3). 
 
T07. Dada a função real f(x) = 
3x
5
3

, obtenha o valor de    
86
8f6f


: 
a)  
6
 b)  
8
 c)  
5
6
 d)  
5
3
 e)  
5
6
 
T08. (ENEM-2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades 
que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, 
essas curvas podem ser representadas por retas. 
Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas 
equações: QO = -20 + 4P e QD = 46 – 2P, em que QO é a quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é 
o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou 
seja, quando QO e QD se igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio 
a)  5 b)  11 c)  13 d)  23 e)  33 
 
- 153 - 
 
 
T09. O gráfico da função f: R  R, onde f(x) = (x – 2)2 – (x + 1)2 é melhor representado em: 
a)  
 
b)  
 
c)  
 
d)  
 
e)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. B 
 
02. C 
03. E 
04. A 
05. B 
06. D 
07. D 
08. B 
09. E 
 
- 154 - 
 
 
Fórmula resolutiva para equações do 2º grau: 
, sendo que . 
5.5. Função polinomial do 2º grau ou função quadrática 
 
 
5.5.1. Definição 
É a função 
f
 dada por 
cbxaxy 2 
, com 
Rx
 e onde a, b e c são números reais quaisquer, com a  0. 
 
5.5.2. Pontos Notáveis da Parábola 
 
O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso a seja 
positivo, e concavidade voltada para baixo, caso a seja negativo. Alguns pontos da parábola indicam características 
importantes em muitas situações problemas, como vértice e raízes. 
 
5.5.2.1. Os pontos de intersecção da parábola com o eixo x (se existirem) 
 
Os pontos de intersecção da parábola com o eixo x podem ser obtidos a partir da lei de formação da função, 
y = ax
2
 + bx + c, atribuindo-se zero à variável y e resolvendo a equação polinomial do 2º grau ax
2
 + bx + c = 0. 
Esta equação pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara, quando completa, ou através dos 
procedimentos ainda mais simples, quando incompleta. Os valores decorrentes do processo de resolução são ditos 
raízes ou zeros da função. 
 
 
 
 
 
 
 
A partir das raízes resultantes da equação ax
2
 + bx + c = 0, temos alguns casos a considerar: 
 
1º Caso:  > 0 implica em 2 raízes reais e distintas 
 
Se a equação ax
2
 + bx + c = 0 tiver  > 0, então ela terá duas raízes reais e distintas, ou seja, x1  x2. 
Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo x são (x1, 0) e (x2, 0). 
 
Exemplo: Dada a função do 2º grau y = 2x2 – x – 1, para obtermos os pontos de intersecção da parábola com o eixo 
x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação decorrente 2x
2
 – x – 1 = 0. 
Temos que: a = 2, b = -1, c = -1 
- 155 - 
 
 
9
)1(24)1(
ac4b
01xx2
2
2
2




 
5,0
2
1
x
1x
4
31
x
22
9)1(
x
a2
b
x
2
1









 
 
Portanto, os pontos de intersecção da parábola com o 
eixo x serão (1, 0) e (-0,5; 0). Sabemos ainda que o coeficiente 
a = 2, o que implica que a concavidade da parábola seja para 
cima, gerando a curva apresentada na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
2º Caso:  = 0 implica em 2 raízes reais e iguais 
 
Se a equação ax
2
 + bx + c = 0 tiver  = 0, então ela terá duas raízes reais e iguais, ou seja, x1 = x2. Assim, 
a parábola será tangente ao eixo x no ponto de abscissa x1 = x2. 
 
Exemplo: Dada a função do 2º grau y = -x
2
 + 6x – 9, obter o ponto de intersecção da parábola com o eixo x, 
atribuindo zero à variável y e resolvendo a equação decorrente -x
2
 + 6x – 9 = 0. 
Temos que: a = -1, b = 6, c = -9 
0
)9()1(46
ac4b
09x6x
2
2
2




 
 
3xx
2
06
x
)1(2
06
x
a2
b
x
21 








 
 
O ponto de intersecção da parábola com o eixo x será (3, 0). 
Como o coeficiente a = -1, a concavidade da parábola será 
voltada para baixo, gerando a curva apresentada na figura ao 
lado. 
 
 
 
- 156 - 
 
 
3º Caso:  < 0 implica na inexistência de raízes reais 
 
Se a equação ax
2
 + bx + c = 0 tiver  < 0, então ela não terá raízes reais, ou seja, x1, x2  R. Assim, a 
parábola não terá ponto em comum com o eixo x. 
Exemplo: Dada a função do 2º grau y = -x
2
 + 4x – 5, verificar a inexistência de raízes reais, atribuindo zero à 
variável y e resolvendo a equação decorrente -x
2
 + 4x – 5 = 0. 
Temos que: a = -1; b = 4; c = -5 
4
)5()1(44
ac4b
05x4x
2
2
2




 
Como  < 0, não há raízes reais, o que significa que a 
parábola correspondente à função não tem ponto em comum 
com o eixo x. Sabemos ainda que o coeficiente a = -1 e que, 
portanto, a concavidade é voltada para baixo, resultando na 
curva apresentada na figura ao lado. 
 
O quadro abaixo sintetiza o estudo que fizemos sobre as raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau. 
 
 
- 157 - 
 
 
5.5.2.2. Os pontos de intersecção da parábola com o eixo y 
 
Para obtermos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y a partir da função y = ax
2
 + bx + c, basta 
atribuirmos zero à variável x: 
y = ax
2
 + bx + c 
y = a02 + b0 + c 
y = c 
Portanto, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y, possui coordenadas (0, c). 
 
Exemplo: Dada a função y = x
2
 – 6x + 5, construa o gráfico da parábola, apresentando a(s) intersecção(ões) com 
eixo x e a intersecção com eixo y. 
 
 Cálculo das raízes ou zeros da função: 
Temos que: a = 1; b = -6; c = 5 
16
514)6(
ac4b
05x6x
2
2
2




 
 
5x
1x
2
46
x
12
16)6(
x
a2
b
x
2
1









 
 
 Intersecção com eixo y: y = x2 – 6x + 5  y = 02 – 60 + 5  y = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 G
ra
p
e
s
 6
.7
1
 -
 F
re
e
w
a
re
 
- 158 - 
 
 
Se o ponto V é vértice da parábola que representa graficamente a função do 2º grau f(x) = ax
2
 + bx + c, 
com a < 0, então a abscissa do vértice V,
 
, é o ponto de máximo e a ordenada do vértice V, , é 
o valor máximoda função f. 
 
5.5.2.3. O vértice da parábola 
 
O vértice da parábola também é um ponto notável, pois determina valores de máximo, ou de mínimo, que 
expressam importantes informações acerca de uma determinada situação problema que seja descrita pela função 
polinomial do 2º grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5.3. Máximo ou Mínimo de uma Função do 2º Grau 
 
Na fabricação de um produto, busca-se sempre o custo mínimo de produção e o lucro máximo. 
Os conceitos de valor máximo e de valor mínimo, fundamentais na Engenharia, Economia, Administração, 
Física, etc., serão estudados neste item, especificamente para funções polinomiais do 2º grau. 
 
 
5.5.3.1. Valor máximo de uma função do 2º grau 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da função definida por y = – x2 
+ 120x – 2000, sendo y o lucro em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base 
nisso, determine quantas unidades do produto devem ser produzidas para que a empresa atinja o lucro máximo e 
qual é esse lucro máximo. 
Resolução: 
unidades. 60
2
120
2
120
)1(2
120
a2
b
x V 



 
00,600.1
4
400.6
4
000.8400.14
)1(4
)2000()1(4120
a4
ac4b
a4
y
22
V 












 
Assim, concluímos que devem ser fabricadas 60 unidades do produto para que o lucro seja máximo; e esse 
lucro é de R$ 1.600,00. 
 
 
Por se tratar de um ponto da parábola, o vértice fica determinado a 
partir da identificação de sua abscissa (xv) e de sua ordenada (yv), 
que podem ser calculadas da seguinte forma: 
 
- 159 - 
 
 
Se o ponto V é vértice da parábola que representa graficamente a função do 2º grau f(x) = ax
2
 + bx + c, 
com a > 0, então a abscissa do vértice V,
 
, é o ponto de mínimo e a ordenada do vértice V, , é 
o valor mínimo da função f. 
 
5.5.3.2. Valor mínimo de uma função do 2º grau 
 
 
 
 
 
Exemplo: Em uma indústria de óleo comestível, o custo de produção y, por minuto, em função do número x de 
litros de óleo fabricados, por minuto, é dado por y = 2x
2
 – 40x + 250. Quantos litros de óleo devem ser fabricados, 
por minuto, para que o custo de produção, por minuto, seja mínimo? E qual é esse custo? 
Resolução: 
minuto.por óleo de litros 10
4
40
22
40
a2
b
xV 


 
00,50
8
400
8
000.2600.1
24
25024)40(
a4
ac4b
a4
y
22
V 









 
Assim, concluímos que devem ser fabricados 10 litros de óleo por minuto para que o custo seja mínimo; e 
esse custo é de R$ 50,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 160 - 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Esboce os gráficos das seguintes funções apresentando: 
 Interseção com o eixo x; 
 Interseção com o eixo y; 
 Vértice; 
 Análise de sinal da função. 
 
 
 
 
 
 
E02. O custo e a receita relativos a um determinado 
produto, fabricado por uma empresa, podem ser 
descritos pelo gráfico e pelas funções abaixo. 
Analisando-se a situação encontram-se duas situações 
de equilíbrio entre custo e receita. Baseando-se nas 
informações existentes, resolva as situações abaixo: 
a) Encontre a quantidade, o custo, a receita e o lucro 
para cada uma das situações dos pontos de 
nivelamento. 
b) Represente o intervalo de produção que garante a 
não existência de prejuízo. 
c) Determine a quantidade produzida que maximiza o 
lucro e o lucro máximo correspondente. 
 
E03. Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em metros, em função do tempo t, em 
segundos, é dada por h(t) = -20t
2
 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a 
bala atinge a altura máxima? 
 
E04. O lucro (L) de uma empresa para certo produto é obtido através da função definida por L = – 2x2 + 2000x – 
100 (x representa a quantidade do produto). Calcule quantas unidades desse produto são necessárias para se obter o 
lucro máximo possível. 
 
E05. O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele 
pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência pode 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
 
- 161 - 
 
 
ser representada matematicamente pela função N = x
2
 + 2x. Qual é o número de empregados necessários para 
fabricar 168 armários em um mês? 
 
E06. A trajetória de um projétil lançado por um canhão, num local plano e horizontal, é dada pela função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A que distância do canhão caiu o projétil ? 
 
E07. Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita R pela venda de uma quantidade q de um bem é dada 
pela equação R(q) = 10q – 2q2 e que o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade 
produzida é C(q) = 2q + 2,50, determinar: 
a) Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade 
produzida e comercializada. 
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor do lucro. 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
E02. a) Ponto A: x = 10  R(x) = C(x) = 1300,00 Ponto B: x = 30  R(x) = C(x) = 1500,00 
 b) x  (10, 30) c) x = 20 e L(x) = 400,00 
E03. 500 metros em 5 segundos. 
E04. 500 unidades 
E05. 12 funcionários 
E06. 4 km 
E07. a) L(x) = -2q
2
 + 8q – 2,5 b) x = 2; L(x) = 5,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
distância (km) 
altura (km) 
 
 
 
 ● 
 
- 162 - 
 
 
Testes 
 
T01. A estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da função definida por y = – x2 + 
120x – 2000, sendo y o lucro em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base 
nisso, pode-se afirmar que: 
a)  o lucro é máximo quando x = 60 unidades; 
b)  o lucro é máximo quando x = 1.600 unidades; 
c)  o lucro é máximo quando x = 20 ou x = 100; 
d)  o lucro é máximo quando x > 2000; 
e)  o lucro é máximo quando x = 2000. 
 
T02. (ANGLO) O vértice da parábola y = 2x2 – 4x + 5 é o ponto de coordenadas: 
a)  (2, 5) b)  
 11,1
 c)  (-1, 11) d)  
 3,1
 e)  (1, 3) 
 
T03. (ANGLO) A função f(x) = x2 – 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é: 
a)  8 b)  10 c)  12 d)  14 e)  16 
 
T04. (ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = x2 – 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é: 
a)  0 b)  5 c)  -5 d)  9 e)  -9 
 
T05. (VUNESP) A parábola de equação y = ax2, passa pelo vértice da parábola y = 4x – x2. Ache o valor de a: 
a)  1 b)  2 c)  3 d)  -1 e)  NDA 
 
T06. (METODISTA) O valor mínimo da função f(x) = x2 – kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k < 0, é: 
a)  -10 b)  -8 c)  -6 d)  
2
1

 e)  
8
1

 
 
T07. (ANGLO) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se: 
a)  m = 6 b)  -6 < m < 6 c)  
6m6 
 d)  
6m 
 e)  
6m 
 
 
T08. (ANGLO) Considere a parábola de equação y = x2 – 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa 
parábola sejam iguais, então m deve ser igual a: 
a)  -14 b)  -10 c)  2 d)  4 e)  6 
- 163 - 
 
 
T09. (VUNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = x2 – mx + (m – 1), onde m  R, tem um único 
ponto em comumcom o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: 
a)  -2 b)  -1 c)  0 d)  1 e)  2 
 
T10. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, 
as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = -x
2
 + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2  x 
 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? 
a)  20 b)  25 c)  30 d)  35 e)  40 
 
T11. (FATEC) A distância do vértice da parábola y= -x2 + 8x – 17 ao eixo das abscissas é: 
a)  1 b)  4 c)  8 d)  17 e)  34 
 
T12. (MACK) O gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (15 – m) tangencia o eixo das abscissas e corta o 
eixo das ordenadas no ponto (0, k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale: 
a)  25 b)  18 c)  12 d)  9 e)  6 
 
T13. (FUVEST) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no 
ponto de abscissa x = 
4
1

. Logo, o valor de f(1) é: 
a)  
10
1
 b)  
10
2
 c)  
10
3
 d)  
10
4
 e)  
10
5
 
 
T14. (FATEC) O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de 
máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g: R  R, definida por g(x) =
6x
3
4
x
9
2 2 
. A função f 
pode ser definida por: 
a)  –x2 + 6x + 5 b)  –x2 – 6x + 5 c)  –x2 – 6x – 5 d)  –x2 + 6x – 5 e)  x2 – 6x + 5 
 
T15. (UFPE) O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 – x² 
com relação à reta de equação cartesiana y = -2. Determine o valor de 8a + b + c. 
a)  -4 b)  
2
1
 c)  2 d)  1 e)  4 
 
T16. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um valor: 
- 164 - 
 
 
a)  mínimo, igual a -16, para x = 6. 
b)  mínimo, igual a 16, para x = -12. 
c)  máximo, igual a 56, para x = 6. 
d)  máximo, igual a 72, para x = 12. 
e)  máximo, igual a 240, para x = 20. 
 
T17. (UFMG) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja 
expressão é: 
a)  
x2
5
x
y
2

 
b)  
x10xy 2 
 
c)  
x10xy 2 
 
d)  
x10
5
x
y
2

 
e)  
x10
5
x
y
2

 
 
T18. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é 
igual a 8. A única afirmativa verdadeira sobre f(x) é: 
a)  
)3x)(1x(2y 
 
b)  
)3x)(1x(y 
 
c)  
)3x)(1x(2y 
 
d)  
)3x)(1x(y 
 
e)  
)3x)(1x(2y 
 
 
T19. (MACK) Se a função real definida por f(x) = –x² + (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos 
possíveis valores inteiros do real k é: 
a)  -2 b)  -1 c)  0 d)  1 e)  2 
 
T20. (FGV) A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² – 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e 
iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a: 
a)  4 b)  2 c)  0 d)  
2
1

 e)  -2 
 
- 165 - 
 
 
T21. (UFPE) O gráfico da função y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, 
respectivamente: 
a)  1, -6 e 0 
b)  -5, 30 e 0 
c)  -1, 3 e 0 
d)  -1, 6 e 0 
e)  -2, 9 e 0 
 
T22. (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é: 
a)  y = -2x + 2 
b)  y = x + 2 
c)  y = 2x + 1 
d)  y = 2x + 2 
e)  y = -2x – 2 
 
T23. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x² + bx +c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então 







3
2
f
 vale: 
a)  
9
2

 b)  
9
2
 c)  
4
1

 d)  
4
1
 e)  4 
 
T24. (PUCMG) Na parábola y = 2x² – (m – 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: 
a)  3 b)  4 c)  5 d)  6 e)  7 
 
T25. (UFMG) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice 
dessa parábola é: 
a)  
2
1
 b)  1 c)  
2
3
 d)  2 e)  0 
 
T26. (UEL) Uma função f, do 2grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É 
correto afirmar que o valor: 
a)  mínimo de f é 
6
5

. 
b)  máximo de f é 
6
5

. 
 
 
- 166 - 
 
 
c)  mínimo de f é 
3
13

. 
d)  máximo de f é 
9
49

. 
e)  mínimo de f é 
6
49

. 
 
T27. (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertencente ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x – 
1)(3 – x), é o par ordenado (a, b). Então a - b é igual a: 
a)  
8
39

 b)  
8
11

 c)  
8
3
 d)  
8
11
 e)  
8
39
 
 
T28. (UEL) Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o 
comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. 
Nessas condições, é verdade que: 
a)  f(x) > g(x) para 0 < x < 2. 
b)  f(x) = g(x) para x = 4. 
c)  g(x) > f(x) para 0 < x < 1. 
d)  f(x) > g(x) para x > 10. 
e)  f(x) > g(x) para qualquer valor de x. 
 
T29. (PUCCAMP) A soma e o produto das raízes de uma função do 2 grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor 
mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto: 
a)  (3, -4) b)  






4,
2
11
 c)  (0, -4) d)  (-4, 3) e)  (-4, 6) 
 
T30. (PUCRIO) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² – 1 é: 
a)  0 b)  1 c)  2 d)  3 e)  4 
 
T31. (UFV) O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 
5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis de b é: 
a)  {b  IR | b  -4} 
b)  {b  IR | b < -5} 
c)  {b  IR | b  -3} 
d)  {b IR | b  -2} 
e)  {b  IR | b  -1} 
- 167 - 
 
 
T32. (UFMG) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções 
2
x
)x(f
2

 
e 
5x3)x(g 
. Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das 
extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da 
função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim 
sendo, o comprimento do segmento S é: 
a)  
2
1
 b)  
4
3
 c)  1 d)  
4
5
 e)  
8
7
 
 
T33. (UNIFESP) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, -3) e 
(1, -1). O valor de b é: 
a)  -2 b)  -1 c)  0 d)  1 e)  2 
 
T34. (PUCCAMP) Considere a função dada por y = 3t² – 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um 
móvel, no instante t, em segundos. O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a: 
a)  -2 b)  -1 c)  0 d)  1 e)  2 
 
T35. (PUCCAMP) Considere a função dada por y = 3t² – 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um 
móvel, no instante t, em segundos. O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que: 
a)  a velocidade do móvel é nula. 
b)  a velocidade assume valor máximo. 
c)  a aceleração é nula. 
d)  a aceleração assume valor máximo. 
e)  o móvel se encontra no ponto mais distante da origem. 
 
T36. (PUCPR) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx +





 
7
8
cos
, x  R: 
a)  intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. 
b)  intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. 
c)  intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.d)  intercepta o eixo das abscissas na origem. 
e)  não intercepta o eixo das abscissas. 
 
- 168 - 
 
 
 
T37. (UFAL) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e 
intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é: 
a)  
8
27
 b)  
16
27
 c)  
32
27
 d)  
64
27
 e)  
128
27
 
 
T38. (UFES) O gráfico da função y = x2 – 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 
unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico 
da função: 
a)  y = – (x + 3)² 
b)  y = –(x – 3)² 
c)  y = –(x + 3)² – 2 
d)  y = (x – 3)² – 2 
e)  y = (x + 3)² 
 
T39. (PUCPR) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual 
a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é: 
a)  [-20, 

[ b)  [20, 

[ c)  ]- 

, -20] d)  ]- 

, 20] 
e)  ]- 

, 25] 
 
 
T40. (UFMG) O intervalo no qual a função f(x) = x2 – 6x + 5 é crescente é: 
a)  x < 5 b)  1 < x < 5 c)  x > 1 d)  x > 3 e)  x < 3 
 
T41. (UFSM) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática 
f. Se y = g(x) for outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o 
vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então 
g(-1) vale: 
a)  -8 b)  -6 c)  0 d)  6 e)  8 
 
T42. (MACK) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax² + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: 
a)  nessa ordem, termos de uma PA; 
b)  nessa ordem, termos de uma PG; 
c)  números inteiros; 
d)  tais que a < b < c; 
e)  tais que a > b > c. 
- 169 - 
 
 
Resposta dos Testes: 
T01. A T15. C T29. A 
T02. E T16. C T30. C 
T03. C T17. A T31. B 
T04. D T18. A T32. A 
T05. A T19. C T33. C 
T06. B T20. E T34. D 
T07. A T21. D T35. A 
T08. E T22. D T36. C 
T09. D T23. A T37. E 
T10. C T24. A T38. B 
T11. A T25. C T39. A 
T12. D T26. E T40. D 
T13. C T27. B T41. A 
T14. D T28. A T42. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 170 - 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. Vol. Único. 3ª Ed. São Paulo: Moderna, 
2003. 
___________________________________. Matemática. Vol. 1. São Paulo: Moderna, 2004. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vol. 1, São Paulo: Ática, 1999. 
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Administração e Contabilidade. 8ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
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MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. 
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PAIVA, Manoel. Matemática. Vol. 1. São Paulo: Moderna, 2000. 
_____________. Matemática. São Paulo: Moderna, 2002.